三重积分奇函数积分为0
三重积分公式
三重积分公式三重积分是数学中的一个重要概念，对于很多同学来说，可能一开始会觉得有点头疼。
但别担心，咱们一起来把它拿下！先来说说啥是三重积分。
想象一下，咱们有一个三维的空间，就像一个大大的立体盒子。
在这个盒子里，有个函数值在每一个点上都有定义。
三重积分呢，就是要把这个函数在这个立体盒子里的总体“效果”给算出来。
比如说，咱们假设这个立体盒子是一个大蛋糕。
这个蛋糕的密度不是均匀的，有的地方松软，有的地方紧实。
咱们想知道这个蛋糕的总质量，这时候就得用到三重积分啦。
那三重积分的公式是咋来的呢？这可不是凭空冒出来的。
它其实是从一重积分、二重积分慢慢“进化”来的。
一重积分呢，就像是在一条线上算面积；二重积分呢，就在一个平面上算体积；那三重积分，自然就是在一个三维空间里算某种“量”啦。
给大家举个具体的例子吧。
有一次我在课堂上讲三重积分，有个同学怎么都理解不了。
我就问他：“你想想，假如你有一堆形状不规则的积木堆在一起，你怎么知道这堆积木的总体积呢？”这同学挠挠头说不知道。
我就接着说：“咱们把这堆积木所在的空间划分成很多很多小格子，每个小格子的体积咱们能算出来，然后再根据每个小格子里积木的情况，乘以对应的函数值，把这些都加起来，不就得到总体的量了嘛！”这同学恍然大悟，眼睛一下子亮了起来。
再来说说三重积分的公式形式。
它看起来有点复杂，一堆的符号和表达式。
但别怕，咱们一点点拆解。
三重积分的一般形式是这样的：∭Ω f(x,y,z) dV 。
这里的Ω 表示积分区域，f(x,y,z) 就是咱们要积分的那个函数，dV 呢，表示体积元素。
计算三重积分的时候，咱们得根据积分区域的形状，选择合适的坐标。
常见的有直角坐标、柱坐标和球坐标。
直角坐标大家都比较熟悉啦，就是咱们平常的 x、y、z 轴。
柱坐标呢，就是多了个极径 r 和极角θ 。
球坐标呢，则是多了个球半径ρ 和两个角度φ 和θ 。
每种坐标都有自己的适用情况。
比如说，如果积分区域是个圆柱体，那用柱坐标可能就会简单很多；要是积分区域是个球体，那球坐标就派上用场啦。
高等数学§9.3.2三重积分的计算2
x c os z
显 然 ： y s 。 in
z z
M(x,y,z)
c o s 0 i s n
y J ( ( x , , y , , z z ) ) s i c n 0 o ， s O
00 1 x
P(,)
∴ f (x, y, z)dxdydz f ( cos, sin, z) dddz.
z cr cos .
x2 a2
by22
cz22
r2.
r1
I (a x 2 2 b y2 2c z2 2)dx d y r2 d Jd z rd d
Jabcr2sin
I a b c 0 2 d0 s in d0 1 r 4 d r 54abc.
例 1 1 . 求 I ( a x 2 2 b y 2 2 c z 2 2 ) d x d y d z , :a x 2 2 b y 2 2 c z 2 2 1 .
f (rs ic n o ,rss isn i,r n c o )r2 s id n r d d
例 1 1 . 求 I ( a x 2 2 b y 2 2 c z 2 2 ) d x d y d z , :a x 2 2 b y 2 2 c z 2 2 1 .
x ar sin cos , 解： y br sin sin ,
zzu,v,w
（ 2 ） 上 面 变 换 中 的 函 数 在 区 域 具 连 续 偏 导 有 数 ；
（ 3 ） J u x , , v y , , w z 0 , u , v , w ， 则
f (x, y,z)dxdydz
f(xu ,v,w ,yu ,v,w ,z(u ,v,w )Jdudv
z
d
d
dz
16重积分——直角坐标系下三重积分的计算
xdx
0 1 0
D xy 1
d
1 x y
xdxdydz
z C (0,0,1)
0
1 x
xdz
1 x y 0
0 1 x
dy
dz
o x A (1,0,0) y
1
B(0,1,0) y
xdx
0
(1 x y )dy
1 1 1 2 , x(1 x ) dx 24 2 0 ( x y z )dv 3 xdv
z
解 (1) 及在zox面上的投影如下图
o
x
H
y
o
Dzx
R x
10
z
R
z o
H
x
y
H
o
Dzx
R x
f ( x , y , z )dv (
D zx
0
f ( x , y, z ) dy)d
dz
R
R
R2 z2
2 2
R z
dx
H 0
H
0
f ( x , y , z )dy
2
2 2 y z x 2 1所围成的空间闭区域。 2 2 a b c 2
解
z c z Dz
Dz
20
f ( x, y, z )dv
c2
c1
dz f ( x, y, z )dxdy
Dz
z
Dz
上式的适用范围： ①Dz简单（圆、椭圆、长方形等）
o ② f (x,y,z)在Dz上对x、y的二重积 分简单， x 特别当f (x,y,z)只是 z 的函数：f (x,y,z)=(z),
高数下第10讲：两类曲面积分
高数下第10讲：两类曲面积分(倒数第四次)1 对面积的曲面积分上连续，则有：在偏导数连续，，函数面上的投影为在，的方程为单值函数设光滑曲面∑=∑=∑),,(),(),(z y x f y x z z D xoy y x z z dxdy z z y x z y x f dS z y x f Dy x ⎰⎰⎰⎰∑++=221)),(,,(),,(0:.1积分值为轴对称，则于的奇函数，积分区域关是关于若二重积分的被积函数求证y x0:.2积分值为面对称，则于的奇函数，积分区域关是关于若三重积分的被积函数求证yoz x整个边界曲面所围成的四面体的及是由其中曲面计算⎰⎰∑=++===∑=10,0,0,.3z y x z y x xyzdS I所割下的部分被柱面为圆锥面其中曲面计算)0(2,)(.42222>=++=∑++=⎰⎰∑a ayy x y x z dS yz xz xy I⎰⎰∑=++∑=2222,.5R z y x zdS I 是球面其中计算所围立体的表面是锥面及平面其中计算1,)(.622=∑+=⎰⎰∑z dS y x I所截下的部分被平面为旋转抛物面其中计算1,.722=+=∑=⎰⎰∑z y x z dS xyz I求：的密度为上点设锥面壳,),,()10(.822z u z y x z y x z =≤≤+=锥面壳的质量；)1( 锥面壳的质心)2(Rx y x R z y x =+=++222222,.9柱面已知球面；求球面在柱面内的面积)1( 求柱面在球面内的面积)2(2 对坐标的曲面积分2.1 ⎰⎰⎰⎰∑∑→→++=⋅Rdxdy Qdzdx Pdydz dS n z y x F ),,(→→→→++=k z y x R j z y x Q i z y x P z y x F ),,(),,(),,(),,(.其中2.2 ⎰⎰⎰⎰∑±=xy D dxdy y x z y x R dxdy z y x R )),(,,(),,(侧取正，下侧取负的单值函数，右端在上和是其中y x z部分的外侧在是球面其中计算0,01,)(.1022223≥≥=++∑++=⎰⎰∑y x z y x dxdy z y x I的外侧是球面其中计算222232.)(.11R z y x dydz z y x I =++∑++=⎰⎰∑外侧所围成的正方体表面的平面是由三个坐标面与其中计算)0(,,.)()()(.12222>===∑-+-+-=⎰⎰∑a a z a y a x dxdy xy z dzdx zx y dydz yz x I所围成正方体的外侧是平面其中1,1,1,.1322===∑=⎰⎰∑z y x zdxdy y x I所围立体表面的外侧以及两平面是由曲面其中计算)0(,,.142222222>-===+∑+++=⎰⎰∑R R z R z R y x z y x dxdy z xdydz I的下侧的部分在是锥面，其中0,0)10(.1522≥≥≤≤+=∑++⎰⎰∑y x z y x z zdxdy ydzdx xdydz面上方部分的外侧在是抛物面，其中化成对面积的曲面积分把对坐标的曲面积分xoy y x z dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P 228),,(),,(),,(.16--=∑++⎰⎰∑22202020220002222)(4])()()[()(4,),,(.17R d R dS z z y y x x R d R M d z y x M R z y x +≤-+-+-≤-=++∑⎰⎰∑ππ到原点的距离，求证：为是球面外一点，是球面设的外侧为球面计算1,cos cos cos 2.18222222=++∑-+=⎰⎰∑z y x zz dxdy y dzdx z x dydz I⎰⎰∑++=≥≤-+=++∑dxdyz dzdx y dydz x I z x y x z y x 222222220,01.19的部分，试计算的外侧位于表示球面设⎰⎰∑>>>=++∑dSz y x z y x c b a c z b y a x z y x ),,(),,()0,0,0(1),,(.20222222ϕϕ切平面的距离，求处上点：为原点到椭球面设期中部分题目回顾⎰⎰-=10022.1x y dy e dx I 计算),(,14,),(),(.222y x f y x y x y D y x dxdy y x f y x f D求所围区域及是由曲线，设===++=⎰⎰方向导数最大的点沿在，使函数上求点在曲面)0,1,1(),,(122.3222222-=++==++→l P z y x z y x u P z y xds n u y x y u x u y x u L n a a y x L L ⎰→→∂∂+=∂∂+∂∂>=+求偏导数且具有二阶连续的外法向量为为圆周设平面曲线,),(,),0(.4222222222。
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是数学中的重要概念，用于计算三维空间中的体积、质量、重心等物理量。
在本文中，我们将介绍三重积分的计算方法，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。
一、直角坐标系下的三重积分在直角坐标系下，三重积分的计算方法可以通过迭代法实现。
首先，我们需要确定被积函数的积分区域。
假设被积函数为f(x, y, z)，积分区域为V。
我们可以将V分割成若干个小立方体，每个小立方体的体积为ΔV。
将V分割成小立方体后，我们需要选择一个小立方体，并在其中选择一个点(x,y,z)作为积分点。
然后，我们将小立方体的体积ΔV乘以被积函数在积分点的值f(x,y,z)，得到积分项f(x,y,z)ΔV。
最后，将所有积分项相加并取极限，即可求得三重积分的值。
这个计算过程可以表达为以下公式：∭V f(x,y,z) dV = lim ΔV→0 ∑ ∑ ∑ f(x,y,z)ΔV其中，ΔV表示小立方体的体积，Σ表示对整个区域V内的小立方体进行求和。
举例来说，如果我们要计算函数f(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2在立方体V: 0≤x≤1，0≤y≤2，0≤z≤3上的三重积分，那么我们可以将V分割成许多小立方体，并选择一个小立方体上的点(x,y,z)作为积分点。
然后，将小立方体体积ΔV乘以函数值f(x,y,z)，并对所有小立方体进行求和，最后取极限即可得到结果。
二、柱坐标系和球坐标系下的三重积分在某些情况下，采用直角坐标系计算三重积分可能会比较复杂。
此时，我们可以选择转换到柱坐标系或球坐标系下进行计算，以简化问题。
在柱坐标系下，我们将积分区域V进行柱坐标变换，得到新的积分区域。
具体的变换公式可以参考相关数学教材。
然后，按照直角坐标系下的计算方法进行计算。
在球坐标系下的计算方法与柱坐标系类似，先进行球坐标变换，然后按照直角坐标系下的计算方法进行计算。
三、应用举例现在，让我们通过一个应用举例来更好地理解三重积分的计算方法。
三重积分详解
1
x2 y xz 1 dy 0
1
1 x 2
( x x 2 2 xy )dy
2
0 ( x x ) y xy
2
2
0
1 x 2
1 1 dx 0 ( x 2 x 2 x 3 )dx 4
1
x 1 2 1 3 4 x x 1 . 4 2 3 4 0 48
Ω
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
6
x+y+z=6
3x+y=6
0
.
6
2
y
x
6
例
：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域
Ω
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
z
6
x+y+z=6
3x+y=6
1
1 x
I
.
dxdy
D
xy
0
f ( x , y , z )dz
dx
0
1
0
dy
xy
0
f ( x , y , z )dz
x
2.截面法（先二后一法）
I f ( x , y , z )dxdydz
c2
z
其中 Ω ( x , y , z ) | c1 z c 2 ,( x , y ) Dz
0
.
6
2
y
x
6
：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = z6所围成的区域
三重积分知识点总结
三重积分知识点总结一、三重积分的基本概念1. 几何意义三重积分的几何意义是在三维空间中求某一区域内函数的平均值。
我们可以想象三维空间被分割成无数个小立方体，每个小立方体的体积趋于零。
然后将函数在每个小立方体上的值相加，并对整个区域进行求和，得到的就是三重积分的值。
2. 定义三重积分的定义是对平面上的二重积分的推广。
设函数f(x, y, z)在空间区域V上有定义，V的边界为S，那么三重积分可以表示为：∭V f(x, y, z) dV其中，dV表示体积元素，它等于dxdydz，即三个方向上的微小长度的乘积。
3. 坐标变换在进行三重积分的计算时，有时需要进行坐标变换，以便简化积分的计算。
常见的坐标变换包括球坐标、柱坐标和直角坐标之间的转化。
通过坐标变换，可以将原积分区域变换成更容易处理的形式，从而简化计算步骤。
二、三重积分的计算方法1. 直角坐标系下的三重积分直角坐标系下的三重积分是最基本的计算方法，它通常通过分割积分区域，并利用定积分的性质逐步进行计算。
对于简单的积分区域和函数，直角坐标系下的三重积分计算比较直观和容易理解。
2. 球坐标系下的三重积分在球坐标系下进行三重积分的计算，可以避免一些复杂的计算步骤。
球坐标系下的积分区域通常是球形或者球形的一部分，利用球坐标系的简洁性可以简化积分的计算过程。
3. 柱坐标系下的三重积分柱坐标系下进行三重积分的计算，适用于柱状或圆柱状的积分区域。
柱坐标系的简化性使得积分的计算更加方便和高效。
三、三重积分的应用1. 物理学中的应用在物理学中，三重积分被广泛应用于计算物体的质量、密度、电荷分布等问题。
例如，通过三重积分可以计算物体的质心、转动惯量等物理量，也可以计算电荷在空间中的分布情况。
2. 工程学中的应用在工程学中，三重积分被用于计算空间中的流体流动、物体的温度分布、材料的应力分布等问题。
通过三重积分可以得到流体的流速、压强分布等关键信息，也能够计算物体的热传导、热辐射等问题。
三重积分(2)
y
球面坐标与直角坐标的关系: x r sin cos , 0 r y r sin sin , 0 2 z r cos . 0 如图，三坐标面分别为
r 为常数
x
P
球 面； 半平面; 圆锥面.
z ln( x y z 1 )
2 2 2
x y z 1
2 2 2
dxdydz
其中积分区域 {( x , y , z ) | x 2 y 2 z 2 1 } .
解 积分域关于 xoy 坐标面对称，
被积函数是 z 的奇函数,
z ln( x y z 1 )
二、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x , y , z ) R ，并设点
3
M 在 xoy 面上的投影 M 的柱面坐标．
z
P
的极坐标为
r , ，则 ( r , , z ) 就称为点
柱面坐标与直角坐标的关系:
x r cos , y r sin , z z.
y2 2z 解1 由 x 0
旋转面方程为
2 2
绕
oz
轴旋转得，
x y 2z,
2 2
令 D 1 : x y 16 ,
D2 : x y 4,
2 2
D1
D2
I
D1
dxdy
2
8 x y 2
2 2
( x y )dz
2 2
D2
dxdy
2
2 x y 2
( x z ) dv
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三重积分奇函数积分为0
引言
三重积分是微积分中重要的概念之一，用于计算三维空间中曲线下方的体积、质量、
重心等物理量。而奇函数是具有关于原点对称性的函数，其特点在于函数值为奇数。
本文将探讨三重积分中奇函数积分为0的情况。
三重积分的定义
在三维空间内，对于一个有界闭区域D，可以将其分割成无数个小体积ΔV。设函
数f(x, y, z)在闭区域D上有定义，三重积分定义如下：
∭f(x, y, z)dV = lim(Δx,Δy,Δz->0) ∑∑∑ f(x,y,z)ΔV
这里的ΔV就是小体积ΔxΔyΔz。当Δx、Δy、Δz趋近于0时，ΔV趋近于0。
整个求和的极限就是对整个区域D的积分结果。
奇函数的性质
奇函数是具有关于原点对称性的函数，其特点在于函数值为奇数。即f(-x) = -
f(x)。在三维空间中，奇函数的图像通常关于原点对称。
奇函数具有以下性质： 1. 奇函数与奇函数相乘，结果为偶函数。 2. 奇函数与偶
函数相乘，结果为奇函数。 3. 奇函数在区间[-a, a]上的积分为0。
三重积分中的奇函数积分为0
在三重积分中，如果被积函数f(x, y, z)是一个奇函数，并且积分的区域D是关
于原点对称的，那么三重积分的结果将为0。
证明如下： 由于函数f(x, y, z)是奇函数，满足f(-x, -y, -z) = -f(x, y, z)。
同时，如果D是关于原点对称的，那么对于任意(x, y, z)∈D，有(-x, -y, -
z)∈D。
因此，根据三重积分的定义，可以将整个区域D划分成ΔV_i（i = 1, 2, …,
n），则有：
∭f(x, y, z)dV = lim(Δx,Δy,Δz->0) ∑∑∑ f(x,y,z)ΔV_i =
lim(Δx,Δy,Δz->0) ∑∑∑ [-f(-x,-y,-z)]ΔV_i = lim(Δx,Δy,Δz->0)
∑∑∑ -f(-x,-y,-z)ΔV_i
由于D关于原点对称，每一小体积ΔV_i对应的ΔV_i’ = -ΔV_i，因此上式可
以变形为：
∭f(x, y, z)dV = -lim(Δx,Δy,Δz->0) ∑∑∑ f(-x,-y,-z)ΔV_i’
根据奇函数的性质，f(-x, -y, -z)也是一个奇函数，且D关于原点对称。因此，
该积分表达式与原积分表达式相等。即：
∭f(x, y, z)dV = -∭f(x, y, z)dV
由于函数f(x, y, z)是奇函数，等式两边函数值相等，因此有：
∭f(x, y, z)dV = 0
因此，当被积函数是一个奇函数，并且积分区域关于原点对称时，三重积分的结果
将为0。
应用举例
以下是一些应用奇函数积分为0的例子：
例1：计算关于原点对称的立方体的体积
考虑一个边长为2a的立方体，在三维空间中关于原点对称。我们想要计算这个立
方体的体积。
选择坐标系，使得立方体的一个顶点位于原点，另一个顶点位于(x, y, z) = (a,
a, a)。那么立方体的体积可以表示为：
V = ∭dV
其中dV为微元体积。由于立方体关于原点对称，可以将整个立方体分为八个等体
积的部分，每个部分的体积可以表示为：
V_i = ∭dV_i
其中dV_i为每一部分的微元体积。由于每一部分都满足f(x, y, z) = f(-x, -y,
-z)，且区域D关于原点对称，根据奇函数积分为0的性质，可以得知每一部分的
积分结果为0。
因此，整个立方体的体积为：
V = ∑V_i = 0
这和我们直观上认为的立方体具有体积是一致的。
例2：计算关于原点对称的球体的体积
考虑一个半径为R的球体，在三维空间中关于原点对称。我们想要计算这个球体的
体积。
选择坐标系，使得球体的中心位于原点，另一个点位于(x, y, z) = (R, 0, 0)。
那么球体的体积可以表示为：
V = ∭dV
其中dV为微元体积。由于球体关于原点对称，可以将整个球体分为八个等体积的
部分，每个部分的体积可以表示为：
V_i = ∭dV_i
其中dV_i为每一部分的微元体积。由于每一部分都满足f(x, y, z) = f(-x, -y,
-z)，且区域D关于原点对称，根据奇函数积分为0的性质，可以得知每一部分的
积分结果为0。
因此，整个球体的体积为：
V = ∑V_i = 0
这和我们直观上认为的球体具有体积是一致的。
结论
奇函数在三重积分中的应用十分广泛。当被积函数是一个奇函数，并且积分区域关
于原点对称时，三重积分的结果将为0。这一性质可以应用于各种计算问题中，如
计算体积、质量、重心等。奇函数积分为0的特点使得我们可以简化复杂的积分计
算，提高计算效率。
参考文献
[1] 黄昆, 张柳. 多重积分[M]. 中国人民大学出版社, 2010. [2] 徐磊, 种志强.
多元函数微积分[M]. 清华大学出版社, 2009.