2020届二轮(理科数学) 函数概念 与基本初等函数 专题卷(全国通用)

2020届二轮（理科数学）函数概念与基本初等函数专题卷（全国通用）
1.(2019·高考天津卷)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为()
A．c＜b＜a B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
解析：选A.因为a＝log27＞log24＝2，b＝log38＜log39＝2，b＝log38＞1，c＝0.30.2＜1，所以c＜b＜a.故选A.
2.(2019·河南平顶山模拟)函数f(x)＝log a|x＋1|(a>0，a≠1)，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)>0，则()
A．f(x)在(－∞，0)上是减函数
B．f(x)在(－∞，－1)上是减函数
C．f(x)在(0，＋∞)上是增函数
D．f(x)在(－∞，－1)上是增函数
解析：选D.由题意，函数f(x)＝log a|x＋1|(a>0且a≠1)，则说明函数f(x)关于直线x＝－1对称，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)>0，即|x＋1|∈(0，1)，f(x)>0，则0<a<1.又u＝|x＋1|在(－∞，－1)上是减函数，在(－1，＋∞)上是增函数，结合复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，－1)上是增函数，选D.
3.已知函数y＝log a(x－1)(a>0，a≠1)的图象过定点A，若点A也在函数f(x)＝2x＋b的图象上，则f(log23)＝________．
解析：由题意得A(2，0)，因此f(2)＝4＋b＝0，b＝－4，从而f(log23)＝3－4＝－1.
答案：－1
4.若函数f(x)＝log a x(0<a<1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为____________．
解析：因为0<a<1，所以函数f(x)是定义域上的减函数，所以f(x)max＝log a a＝1，f(x)min
＝log a2a，所以1＝3log a2a⇒a＝(2a)3⇒8a2＝1⇒a＝
2 4.
答案：
2 4
5.已知函数f(x－3)＝log a
x
6－x
(a>0，a≠1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．
解：(1)令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u
3－u (a >0，a ≠1，－3<u <3)，
所以f (x )＝log a 3＋x
3－x
(a >0，a ≠1，－3<x <3)．
(2)因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x
3－x ＝log a 1＝0，
所以f (－x )＝－f (x )，又定义域(－3，3)关于原点对称． 所以f (x )是奇函数．
6.已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )的最小值为0，求出a 的值．
解：(1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．
由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，即函数的定义域为(－1，3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋1.
则g (x )在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，
所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)． (2)因f (x )的最小值为0，
则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，
因此应有⎩⎨⎧a >0，
3a －1a ＝1，
解得a ＝1
2.
故实数a 的值为1
2
.
[综合题组练]
1．(2019·广东汕头金山中学期中)已知当0<x ≤1
2
时，不等式log a x <－2恒成立，则实数
a 的取值范围是( )
A ．(2，2)
B ．(1，2) C.⎝⎛⎭
⎫
22，1
D ．(0，2)
解析：选B.当0<x ≤12时，不等式log a x <－2恒成立，所以log a x <0.又0<x ≤1
2，所以a >1，
因此y ＝log a x 是增函数，故x <a －2恒成立，所以1
2
<a －2，得1<a <2，
故选B.
2．已知函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0，1) C.⎝⎛⎭
⎫0，13 D ．(3，＋∞)
解析：选D.由于a >0，且a ≠1， 所以u ＝ax －3为增函数，
所以若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数， 所以a >1.
又u ＝ax －3在[1，3]上恒为正， 所以a －3>0，即a >1.
1.若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫0，1
2上恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间是____________．
解析：函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫0，1
2上恒有f (x )>0， 由x ∈⎝⎛⎭⎫0，1
2，得2x 2＋x ∈(0，1)， 故有a ∈(0，1)．
又f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，－1
2∪(0，＋∞)， 根据复合函数的单调性的判断规则知， 函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－1
2. 答案：⎝
⎛⎭⎫－∞，－1
2
2.函数f (x )＝log 2 x ·log 2(2x )的最小值为________．
解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，
当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝2
2时等号成立，
所以函数f (x )的最小值为－1
4.
答案：－1
4
3.已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．
解：(1)由a x －1>0，得a x >1，当a >1时，x >0； 当0<a <1时，x <0.
所以当a >1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)； 当0<a <1时，f (x )的定义域为(－∞，0)． (2)当a >1时，设0<x 1<x 2，则1<ax 1<ax 2， 故0<a x 1－1<a x 2－1，
所以log a (a x 1－1)<log a (a x 2－1)．所以f (x 1)<f (x 2)． 故当a >1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
类似地，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数． 综上知，函数f (x )在定义域上单调递增．
4.(应用型)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12
x .
(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.
解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12
(－x )．
因为函数f (x )是偶函数， 所以f (－x )＝f (x )＝log 12
(－x )，
所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，
0，x ＝0，
log 1
2
（－x ），x <0.
(2)因为f (4)＝log 12
4＝－2，f (x )是偶函数，
所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．。