2020届二轮(理科数学) 函数概念 与基本初等函数 专题卷(全国通用)
2020届二轮(理科数学)函数概念与基本初等函数专题卷(全国通用)
1.(2019·高考天津卷)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为()
A.c<b<a B.a<b<c
C.b<c<a D.c<a<b
解析:选A.因为a=log27>log24=2,b=log38<log39=2,b=log38>1,c=0.30.2<1,所以c<b<a.故选A.
2.(2019·河南平顶山模拟)函数f(x)=log a|x+1|(a>0,a≠1),当x∈(-1,0)时,恒有f(x)>0,则()
A.f(x)在(-∞,0)上是减函数
B.f(x)在(-∞,-1)上是减函数
C.f(x)在(0,+∞)上是增函数
D.f(x)在(-∞,-1)上是增函数
解析:选D.由题意,函数f(x)=log a|x+1|(a>0且a≠1),则说明函数f(x)关于直线x=-1对称,当x∈(-1,0)时,恒有f(x)>0,即|x+1|∈(0,1),f(x)>0,则0 3.已知函数y=log a(x-1)(a>0,a≠1)的图象过定点A,若点A也在函数f(x)=2x+b的图象上,则f(log23)=________. 解析:由题意得A(2,0),因此f(2)=4+b=0,b=-4,从而f(log23)=3-4=-1. 答案:-1 4.若函数f(x)=log a x(0 解析:因为0 =log a2a,所以1=3log a2a?a=(2a)3?8a2=1?a= 2 4. 答案: 2 4 5.已知函数f(x-3)=log a x 6-x (a>0,a≠1). (1)求f(x)的解析式; (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 解:(1)令x -3=u ,则x =u +3,于是f (u )=log a 3+u 3-u (a >0,a ≠1,-3 所以f (x )=log a 3+x 3-x (a >0,a ≠1,-3 (2)因为f (-x )+f (x )=log a 3-x 3+x +log a 3+x 3-x =log a 1=0, 所以f (-x )=-f (x ),又定义域(-3,3)关于原点对称. 所以f (x )是奇函数. 6.已知函数f (x )=log 4(ax 2+2x +3). (1)若f (1)=1,求f (x )的单调区间; (2)若f (x )的最小值为0,求出a 的值. 解:(1)因为f (1)=1,所以log 4(a +5)=1,因此a +5=4,a =-1, 这时f (x )=log 4(-x 2+2x +3). 由-x 2+2x +3>0得-1 则g (x )在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减. 又y =log 4x 在(0,+∞)上单调递增, 所以f (x )的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3). (2)因f (x )的最小值为0, 则h (x )=ax 2+2x +3应有最小值1, 因此应有???a >0, 3a -1a =1, 解得a =1 2. 故实数a 的值为1 2 . [综合题组练] 1.(2019·广东汕头金山中学期中)已知当0 2 时,不等式log a x <-2恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) A .(2,2) B .(1,2) C.??? ? 22,1 D .(0,2) 解析:选B.当0 2,所以a >1, 因此y =log a x 是增函数,故x 2 故选B. 2.已知函数f (x )=log a (ax -3)在[1,3]上单调递增,则a 的取值范围是( ) A .(1,+∞) B .(0,1) C.??? ?0,13 D .(3,+∞) 解析:选D.由于a >0,且a ≠1, 所以u =ax -3为增函数, 所以若函数f (x )为增函数,则f (x )=log a u 必为增函数, 所以a >1. 又u =ax -3在[1,3]上恒为正, 所以a -3>0,即a >1. 1.若函数f (x )=log a (2x 2+x )(a >0,a ≠1)在区间????0,1 2上恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间是____________. 解析:函数f (x )=log a (2x 2+x )(a >0,a ≠1)在区间????0,1 2上恒有f (x )>0, 由x ∈????0,1 2,得2x 2+x ∈(0,1), 故有a ∈(0,1). 又f (x )的定义域为????-∞,-1 2∪(0,+∞), 根据复合函数的单调性的判断规则知, 函数的单调递增区间为????-∞,-1 2. 答案:? ???-∞,-1 2 2.函数f (x )=log 2 x ·log 2(2x )的最小值为________. 解析:依题意得f (x )=12log 2x ·(2+2log 2x )=(log 2x )2+log 2x =????log 2x +122-14≥-14, 当且仅当log 2x =-12,即x =2 2时等号成立, 所以函数f (x )的最小值为-1 4. 答案:-1 4 3.已知f (x )=log a (a x -1)(a >0且a ≠1). (1)求f (x )的定义域; (2)判断函数f (x )的单调性. 解:(1)由a x -1>0,得a x >1,当a >1时,x >0; 当0 所以当a >1时,f (x )的定义域为(0,+∞); 当01时,设0 所以log a (a x 1-1)