2021年高三1月月考卷理科数学试题 含解析

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（ ）

A． 5﹣4i B． 5+4i C． 3﹣4i D． 3+4i

【考点】： 复数代数形式的乘除运算． 【专题】： 数系的扩充和复数． 【分析】： 由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值． 【解析】： 解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1， ∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i， 故选：D． 【点评】： 本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．

2．（5分）设集合A={x∈R||x﹣1|＜2}，B={y∈R|y=2x，x∈R}，则A∩B=（ ） A． ∅ B． 的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（ ） A． 7 B． 9 C． 10 D． 15

【考点】： 系统抽样方法． 【专题】： 概率与统计． 【分析】： 由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数． 【解析】： 解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为an=9+（n﹣1）30=30n﹣21． 由 451≤30n﹣21≤750 解得 15.7≤n≤25.7． 再由n为正整数可得 16≤n≤25，且 n∈z，故做问卷B的人数为10， 故选：C． 精品文档 实用文档 【点评】： 本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题． 8．（5分）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么称k是集合A的一个“好元素”．给定集合S={1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ） A． 2个 B． 4个 C． 6个 D． 8个

【考点】： 元素与集合关系的判断． 【专题】： 集合． 【分析】： 根据题意，要使S的三个元素构成的集合中不含好元素，只要这三个元素相连即可，所以找出相连的三个数构成的集合即可． 【解析】： 解：根据好元素的定义，由S的3个元素构成的集合中，不含好元素的集合为： {1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}． 故选C． 【点评】： 考查对好元素概念的理解，以及子集的概念，元素与集合的关系．

二、填空题（本大题共7小题，其中第9～第13题为必做题，第14～第15题为选做题，考生从中任选一题作答，两题均选按第14题给分，每小题5分，总分30分） 9．（5分）若二项式（+2）n（n∈N*）的展开式中的第5项是常数项，则n= 6 ．

【考点】： 二项式系数的性质． 【专题】： 二项式定理． 【分析】： 先求出二项式展开式的通项公式，再根据r=4时，x的幂指数等于0，求得n的值． 【解析】： 解：二项式（+2）n（n∈N*）的展开式的通项公式为 Tr+1=•2r•， 由于第5项是常数项，可得﹣n=0，∴n=6， 故答案为：6． 【点评】： 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．

10．（5分）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k= ﹣1 ． 【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】： 导数的概念及应用． 【分析】： 先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值． 【解析】： 解：由题意得，y′=k+， ∵在点（1，k）处的切线平行于x轴， ∴k+1=0，得k=﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】： 本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．

11．（5分）（xx秋•赤坎区校级月考）若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2=b2=2．则a5b5= 80 ．

【考点】： 等差数列的通项公式；等比数列的通项公式． 精品文档 实用文档 【专题】： 等差数列与等比数列． 【分析】： 由已知结合等差数列和等比数列的通项公式求得等差数列的公差和等比数列的公比，然后求得a5，b5，则答案可求． 【解析】： 解：由等差数列{an}满足a1=1，a2=2，得d=1， ∴a5=5， 等比数列{bn}满足b1=1，b2=2，得q=2， ∴b5=24=16， ∴a5b5=80． 故答案为：80． 【点评】： 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础的计算题．

12．（5分）按如图的程序框图运行后，输出的S应为 40 ．

【考点】： 程序框图． 【专题】： 算法和程序框图． 【分析】： 根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i＞5，计算输出S的值． 【解析】： 解：由程序框图知：第一次运行i=1，T=3×1﹣1=2，S=0+2=2，i=2，不满足条件i＞5，循环， 第二次运行i=2，T=3×2﹣1=5，S=5+2=7，i=3，不满足条件i＞5，循环， 第三次运行i=3，T=3×3﹣1=8，S=7+8=15，i=4，不满足条件i＞5，循环， 第四次运行i=4，T=3×4﹣1=11，S=15+11=26，i=5，不满足条件i＞5，循环， 第五次运行i=5，T=3×5﹣1=14，S=26+14=40，i=6，满足条件i＞5，程序终止， 输出S=40． 故答案是：40 【点评】： 本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．比较基础．

13．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，B=120°，则△ABC的面积等于 ． 精品文档 实用文档 【考点】： 正弦定理． 【专题】： 计算题；解三角形． 【分析】： 先根据余弦定理建立关于a的等式，解出a=．再根据三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积． 【解析】： 解：根据余弦定理，可得b2=a2+c2﹣2accosB， 即6=a2+2﹣2×a××（﹣），解之得a=． 因此△ABC的面积S===． 故答案为： 【点评】： 本题给出三角形的两条边和其中一条边的对角，求它的面积．着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形的面积求法等知识，属于中档题．

14．（5分）已知在直角坐标系中曲线C1的参数方程为（t为参数且t≠0），在以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线C2的极坐标方程为θ=（ρ∈R），则曲线C1与C2

交点的直角坐标为 （2，2） ．

【考点】： 简单曲线的极坐标方程． 【专题】： 坐标系和参数方程． 【分析】： 由曲线C1的参数方程（t为参数且t≠0），消去参数t可得x2=y+2．由曲线C2的极坐标方程为θ=（ρ∈R），可得y=x．联立解得即可． 【解析】： 解：由曲线C1的参数方程（t为参数且t≠0），可得x2=+2=y+2（y＞0）． 由曲线C2的极坐标方程为θ=（ρ∈R），可得y=x． 联立，解得x=y=2． ∴曲线C1与C2交点的直角坐标为（2，2）． 故答案为：（2，2）． 【点评】： 本题考查了把参数方程与极坐标方程化为直角坐标方程，属于基础题．

15．如图，PT切圆O于点T，PA交圆O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= 15 ．

【考点】： 与圆有关的比例线段． 【专题】： 计算题；压轴题． 【分析】： 首先根据题中圆的相交弦定理得DT，再依据直角三角形的勾股定理用PB表示出PT，最后结合切割线定理求得一个关于PB线段的方程式，解此方程即可． 【解析】： 解：如图，由相交弦定理可知， 2•DT=3•6 ⇒DT=9． 在直角三角形PTD中， 精品文档 实用文档 由切割线定理可知 PT2=PB•PA ⇒（6+x）2﹣92=x（x+9）

⇒x=15． 故填：15． 【点评】： 此题综合运用了切割线定理、圆的相交弦定理以及与圆有关的直角三角形，属于基础题．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（12分）已知函数． 的部分图象如图所示，其中点P是图象的一个最高点． （1）求函数f（x）的解析式； （2）已知且，求．

【考点】： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值． 【专题】： 计算题；三角函数的图像与性质． 【分析】： （1）依题意知，A=2，由图得T=π．从而可得ω=2；又2×+φ=2kπ+，k∈Z，φ∈（0，），可求得φ，于是可得函数f（x）的解析式； （2）易求cosα=﹣，利用两角和的正弦即可求得f（）=2sin（α+）的值． 【解析】： 解：（1）由函数最大值为2，得A=2． 由图可得周期T=4=π， ∴ω==2． 又2×+φ=2kπ+，k∈Z， ∴φ=2kπ+，k∈Z，又φ∈（0，）， ∴φ=， ∴f（x）=2sin（2x+）； （2）∵α∈（，π），且sinα=， ∴cosα=﹣=﹣， ∴f（）=2sin（2•+） =2（sinαcos+cosαsin） =2 =． 【点评】： 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的化简求值，属于中档题．