最新北京小学奥数排列组合经典例题.doc

排列组合问题

教学目标：

1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；

2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；

3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；

4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。

5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。

知识点拨：

一.加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，

在第一类办法中有M1中不同的方法，

在第二类办法中有M2中不同的方法，……，

在第N类办法中有M n种不同的方法，

那么完成这件事情共有M1+M2+……+M n种不同的方法。

二.乘法原理：如果完成某项任务，可分为k个步骤，

完成第一步有n1种不同的方法，

完成第二步有n2种不同的方法，……

完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法，

那么完成此项任务共有ｎ

１×ｎ

２

×……×ｎ

ｋ

种不同的方法。

三.两个原理的区别

⏹做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法

原理。

每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)

⏹做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的

步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同

这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．

四.排列及组合基本公式

1.排列及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同

元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的

个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 P m

n

表示.

P m

n

=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)

=

n!

(n-m)!(规定0!=1).

2.组合及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号C m

n

表示.

C m

n = P m

n

/m!=

n!

(n-m)!×m!

一般当遇到m比较大时（常常是m>0.5n时），可用C m

n = C n-m

n

来简化计算。

规定：C n

n =1, C0

n

=1.

3.n的阶乘(n!)——n个不同元素的全排列

P n

n

=n!=n×(n-1)×(n-2)…3×2×1

例题精讲：

一、排列组合的应用

【例 1】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？

（1）七个人排成一排；

（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.

（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.

（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.

（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.

（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.

（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。

【解析】 （1）775040

P =（种）。 （2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P =（种）.

（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×66P =1440(种)．

（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P ⨯= (种)．

（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，25552400P P ⨯=（种）.

（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置

还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．775040

P =（种）. （7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所

以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×55P ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情

况再去全排列。

【例 2】 用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？

【解析】 个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知5n =，2m =，根据排列数公式，

一共可以组成255420P =⨯=(个)符合题意的三位数。

【巩固】 用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？

【解析】 可以分两类来看：

⑴ 把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有44432124P =⨯⨯⨯=(种)放法，对应24个不同的五位数；

⑵ 把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有336P =种选择．由乘法原理，可

以组成33654⨯⨯=(个)不同的五位数。

由加法原理，可以组成245478+=(个)不同的五位数。

【巩固】 用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第

几个数？

【解析】 从高位到低位逐层分类：

⑴ 千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0~9中除千位已确定的数字之

外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、十、个位可有39987504P =⨯⨯=(种)排列方式．由乘法原理，有45042016⨯=(个)．

⑵ 千位上排5，百位上排0~4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个数

字中选择．也就是从8个元素中取2个的排列问题，即288756P =⨯=，由乘法原理，有

1556280⨯⨯=(个)．

⑶ 千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有

116742⨯⨯⨯=(个)．

⑷ 千位上排5，百位上排6，十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择0，1，2，3，4共5个．