3.1用解析法解决问题PPT课件
高中数学第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.1函数及其表示方法第2课时函数的表示方法课件新人教B
图，根据这张表或这张图，由自变量x的值可查找到和它对应的唯一 的函数值y.
基础自测 1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表 示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为( ) A．y＝2x B．y＝2x(x∈R) C．y＝2x(x∈{1，2，3，…}) D．y＝2x(x∈{1，2，3，4})
当x∈[0，2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5].
x2345…
y1
…
③y＝x2＋2x，x∈[－2，2].
【解析】③列表：
x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分，由图可知函数的值 域是[－1，8].
(2) 某 学 生 离 家 去 学 校 ， 一 开 始 跑 步 前 进 ， 跑 累 了 再 走 余 下 的 路 程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符 合该学生走法的是( )
【解析】 因为f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由f(0)＝1，得c＝1. 又因为f(x－1)－f(x)＝4x， 所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求 得a＝－2，b＝－2， 所以f(x)＝－2x2－2x＋1.
【解析】 设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ ax＋8a＋b＝2x＋21， 所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x＋5.
(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的 解析式；
数学五下3.1《列方程解应用题》课件(2)
1.在理解题意的基础上寻找等量关系，初步学 习相遇问题的列方程解决问题的一般方法。
2.联系生活，以大家互动为主线，以说促思， 让大家在探索、认识相遇的过程中理解运用等 量关系的解决问题，帮助大家建立行程问题的 观念。
3.培养大家独立思考、解决问题的习惯和能力。
复习引入：
根据题意，说出下列各题的等量关系式，并列出方程。
（158＋125）×2
在巴塞罗那奥运会上，伏明霞赢得女子10米 跳台比赛的冠军，成为迄今中国夺得奥运冠
军年龄最小的运动员，那一年，她才（14）
岁。 196÷（712－698）
在（ 19）92年举行的巴塞罗
那奥运会上，上海选手庄泳 在女子100米自由泳比赛中 夺冠。她是中国奥运史上的 第一位游泳冠军。
A
?
B
2小时 解:设A、B两地相距ｘ千米。
张 45千米/时
李 15千米/时
2小时
15×2＋ｘ＝45×2 30＋ｘ＝90 ｘ＝60
答： A、B两地相距60千米。
李忠行的路程＋ A、B两地距离＝张兴行的路程
练习一:
小胖上学时忘了带文具盒，爸爸发现时，小胖刚好离家512米， 正以72米/分的速度走向学校，爸爸骑车以200米/分的速度追 赶，爸爸几分钟后在途中追上小胖？
在大约六、七百年前，中国人发明 了算盘，它结合了十进制计数法和 一整套计算口诀并一直沿用至今， 被许多人看作是最早的数字计算机。
1.复习加、减、乘、除四则运算及两、三
步计算式题。
2.在探究过程中巩固四则运算的运算顺序，
会对题目进行辨析，并选择合适的方法 进行解答。
3.结合教材内容了解有关奥运知识，激发
2.甲乙两人赛跑，甲的速度是7米/秒，乙的速度是 5.5米/秒，甲在乙后面21米，两人同时同向跑步， 问甲经过几秒钟追上乙？
高中数学 第3章 函数 3.1 函数的概念与性质 3.1.1 函数及其表示方法 第2课时 函数的表示
第2课时函数的表示方法学习目标核心素养1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图像法、列表法．(重点)2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点)3．理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图像．(重点，难点) 4．能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的函数关系，并能解决有关问题．(重点、难点)1.通过函数表示的图像法培养直观想象素养．2．通过函数解析式的求法培养运算素养．3．利用函数解决实际问题，培养数学建模素养．(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值为380千米/时．若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．(2)如图是我国人口出生率变化曲线：(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：污染源距离50100200300500 氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01 问题根据初中学过的知识，说出问题(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的？1．函数的图像(1)定义：将函数y ＝f (x )，x ∈A 中的自变量x 和对应的函数值y ，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x ，y )组成的集合F 称为函数的图像，即F ＝{(x ，y )|y ＝f (x )，x ∈A }．(2)F 是函数y ＝f (x )的图像，必经满足下列两条①图像上任意一点的坐标(x ，y )都满足函数关系y ＝f (x )； ②满足函数关系y ＝f (x )的点(x ，y )都在函数图像F 上． 2．函数的表示法思考1：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图像法三种形式表示吗？ [提示] 不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图像法也不适用于所有函数，如D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．3．分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．思考2：分段函数是一个函数还是几个函数？ [提示] 分段函数是一个函数，而不是几个函数． [拓展] 分段函数的定义域、值域和图像(1)定义域：各段自变量取值范围的并集，注意各段自变量取值范围的交集为空集． (2)值域：各段函数在相应区间上函数取值集合的并集．(3)图像：根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图像．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用解析法表示．( ) (2)函数的图像一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( )(3)分段函数由几个函数构成．( ) (4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤1，－x ＋3，x >1是分段函数．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( )x 1≤x <2 2 2<x ≤4 f (x )12 3A ．1B ．2C ．3D ．不存在C [∵当2<x ≤4时，f (x )＝3，∴f (3)＝3.]3．二次函数的图像的顶点为(0，－1)，对称轴为y 轴，则二次函数的解析式可以为( ) A ．y ＝－14x 2＋1B ．y ＝14x 2－1C ．y ＝4x 2－16D ．y ＝－4x 2＋16B [把点(0，－1)代入四个选项可知，只有B 正确．]4．(教材P93练习A 第8题改编)下列给出的式子是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1.②f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2.③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1.④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④B [结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B.]函数的三种表示方法【例1】某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．[解]①列表法如下：x(台)1234 5y(元) 3 000 6 0009 00012 00015 000 x(台)678910y(元)18 00021 00024 00027 00030 000②图像法：如图所示．③解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．列表法、图像法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图像法中要注意是否连线．[跟进训练]1．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则给出的下列图形表示为定义在A上的函数图像的是( )A B C D(2)由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于( )x 1234 5y 4532 1A.1 B ．2 C ．4 D ．5(1)D (2)B [(1)A 中的对应不满足函数的存在性，即存在x ∈A ，但B 中无与之对应的y ；B 、C 均不满足函数的唯一性，只有D 正确．(2)由题意可知，f (1)＝4，f (4)＝2，∴f (f (1))＝f (4)＝2，故选B.]函数解析式的求法【例2】 (1)已知f (x ＋1)＝x －2x ，求f (x )的解析式；(2)已知函数f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，求f (x )的解析式；(3)如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式．[思路点拨] (1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)可按点E 所在的位置分E 在线段AB ，E 在线段AD 及E 在线段CD 三类分别求解．[解] (1)法一(换元法)：令t ＝x ＋1，则t ≥1，x ＝(t －1)2，代入原式有f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1).法二(配凑法)：f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1－4x －4＋3＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， 因为x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1). (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又f (f (x ))＝4x ＋8， 所以a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋8，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－8.所以f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8.(3)过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H .因为四边形ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝2 2 cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm ，又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm.①当点F 在BG 上，即x ∈[0，2]时，y ＝12x 2；②当点F 在GH 上，即x ∈(2，5]时，y ＝x ＋x －22×2＝2x －2；③当点F 在HC 上，即x ∈(5，7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x )2＝－12(x －7)2＋10.综合①②③，得函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2，x ∈[0，2]，2x －2，x ∈（2，5]，－12（x －7）2＋10，x ∈（5，7].求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知f (x )的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．(2)换元法：设t ＝g (x )，解出x ，代入f (g (x ))，求f (t )的解析式即可．(3)配凑法：对f (g (x ))的解析式进行配凑变形，使它能用g (x )表示出来，再用x 代替两边所有的“g (x )”即可．(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个元素之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．提醒：(1)应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．(2)在实际问题背景下，自变量取值区间不同，对应关系也不同，此时需要用分段函数表示．[跟进训练]2．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝3x －1 B ．f (x )＝3x ＋1 C ．f (x )＝3x ＋2D ．f (x )＝3x ＋4A [令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，∴f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1.∴f (x )＝3x －1.] 3．已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，则f (x )＝________． 23x －1 [由题意，在f (x )－2f (－x )＝1＋2x 中，以－x 代替x 可得f (－x )－2f (x )＝1－2x ，联立可得⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）－2f （－x ）＝1＋2x ，f （－x ）－2f （x ）＝1－2x ，消去f (－x )可得f (x )＝23x －1.]分段函数的求值问题【例3】 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≤1，－x ＋1，x ＞1，则f (f (－1))＝________；若f (x )＝－1，则x ＝________．[思路点拨] 已知x 0，求f (x 0).求解时首先要分清x 0所在的范围，然后选择相应的解析式代入即可．已知f (x 0)＝t ，求x 0，求解时要先对不同的范围进行分类讨论，分别求出x 0，并验证求得的x 0是否满足要求，最后得出结果．－1 0或2 [由－1≤1，得f (－1)＝(－1)2－1＝0，由0≤1，得f (0)＝－1， 所以f (f (－1))＝f (0)＝－1.因为f (x )＝－1，故⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x 2－1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，－x ＋1＝－1，解得x ＝0或x ＝2，满足题意．]分段函数求值问题的求解策略分段函数的求值问题，要根据自变量的范围选择适当的解析式去求函数值．若不确定，则需要分类讨论．如果知道分段函数的函数值，则应分类讨论求出不同范围上的自变量的值，但要检验所求得的值是否符合相应分段上自变量的取值范围，也可以先画出分段函数的函数图像，结合图像求函数值或相应的自变量的值．[跟进训练]4．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜2，2x －4，x ≥2，若f (a )＝f (a ＋2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8B [若0＜a ＜2，则a ＋2＞2，由f (a )＝f (a ＋2)，得a ＝2(a ＋2)－4， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×4－4＝4. 若a ≥2，由f (a )＝f (a ＋2)，得2a －4＝2(a ＋2)－4，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝4，故选B.]函数的图像及应用【例4】 (1)作出函数y ＝2x，x ∈[2，＋∞)的图像并求出其值域．(2)某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： ①5公里以内(含5公里)，票价2元；②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像．[思路点拨] (1)列表→描点→连结；(2)分段函数的图像需要在同一坐标系中分段画出． [解] (1)列表x 2 3 4 5 … y1231225…当x ∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数y ＝2x的一部分，观察图像可知其值域为(0，1].(2)设票价为y 元，里程为x 公里，定义域为(0，20]. 由题意得函数的解析式如下：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤5，3，5<x ≤10，4，10<x ≤15，5，15<x ≤20.函数图像如图所示：描点法作函数图像的三个关注点(1)画函数图像时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图． (2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像．(3)要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．提醒：(1)函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等． (2)分段函数的图像是在同一个直角坐标系内分别作出各段的图像，在作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．[跟进训练]5．已知函数f (x )＝1＋|x |－x 2(－2<x ≤2).(1)用分段函数的形式表示f (x )； (2)画出f (x )的图像；(3)若f (a )＝2，求实数a 的值． [解] (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x ， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f(x)的图像如图所示．(3)∵f(a)＝2，由函数图像可知a∈(－2，0)，∴1－a＝2，即a＝－1.知识：1．函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式表示函数，解析式后不注明定义域即可视为该函数的定义域为使此解析式有意义的实数集R或R的子集．2．作函数图像必须要让作出的图像反映出图像的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图像有无对称性，并标明特殊点．3．分段函数是一个函数，而不是几个函数．4．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．方法：求函数的值域是一个比较复杂的问题(因为它和求函数的最值紧密相连)，无论用什么方法求函数的值域都要考虑函数的定义域．(1)当函数的解析式给出时，函数的值域是由函数的定义域及其对应关系确定的．常用的方法有：①观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域或利用函数图像的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域．②配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，将解析式配成完全平方的形式，再求函数的值域．③换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函数，进而利用基本函数的取值范围求函数的值域．④分离常数法：先将形如y＝cx＋dax＋b(a≠0)的函数分离常数，变形过程为cx＋dax＋b＝c a （ax ＋b ）＋d －bc a ax ＋b ＝c a ＋d －bc a ax ＋b ，再结合x 的取值范围确定d －bc a ax ＋b的取值范围，从而确定函数的值域．⑤判别式法：将函数视为关于自变量的二次函数，利用相应一元二次方程根的判别式求函数值的范围，常用于“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围．(2)当函数是根据实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定．1．已知函数f (x )的定义域A ＝{x |0≤x ≤2}，值域B ＝{y |1≤y ≤2}，下列选项中，能表示f (x )的图像的只可能是( )D [选项A ，B 的值域为B ＝{y |0≤y ≤2}，不满足题意；选项C 中，当x ＝0时，对应两个不同的函数值，不是函数．故选D.] 2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝( ) A ．15B ．3C ．23D ．139 D [∵f (3)＝23≤1，∴f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.] 3．函数y ＝f (x )的图像如图所示，则其解析式为________．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2[当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，又函数过点(1，2)，故k ＝2，∴f (x )＝2x ；当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.]4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1＜x ＜2，若f (x )＝3，则x ＝________． 3 [若x ≤－1，由x ＋2＝3，得x ＝1＞－1(舍去)；若－1＜x ＜2，由x 2＝3，得x ＝±3，由于－3＜－1(舍去)，故x ＝ 3.]5．已知函数f (x )＝x 2－2x (－1≤x ≤2).(1)画出f (x )图像的简图；(2)根据图像写出f (x )的值域．[解] (1)f (x )图像的简图如图所示．(2)观察f (x )的图像可知，f (x )图像上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，即f (x )的值域是[－1，3].。
解析法课件
例：用长度为L的铁丝制作一个面积为S的矩形框，问： 矩形的长和宽各为多少？
定义：通过分析问题各要素之间的关系，并经过一系 列的推导得到解决问题的解析式，然后编程解决问题 的方法。
应用场合：能根据已知条件，把问题求解归结到对方 程、方程组、公式或函数求解的实际问题。
二、娱乐一下
请点击教学系统主页上的“汉诺塔”链接进入游戏页面;
………………………
解析式二
五、算法实现
法1：利用循环和解析式f(n)=2*f(n-1)+1递推求解； 法2：直接将n代入解析式f(n)=2^n-1求解；
六、练一练
登录高二同步教学系统，打开“VB实验E1”进行练习。
七、总结
用解析法编程解决问题的关键： 分析问题各要素之间的关系，灵活运用已有知识，构 造解决问题所需的解析式。
move (1, 2, 3, 1) ⑤
move (2, 2, 1, 3)
move (1, 2, 1, 3) ⑥
move (1, 1, 2, 3) ⑦
f(3)=f(2)+1+f(2)=(f(1)+1+f(1))+1+(f(1)+1+f(1))
1
2
3
1
2
3
10
解析式一
f(n) =f(n-1)+1+f(n-1) =2*f(n-1)+1，(n>=1)
谢谢大家O(∩_∩)O~
初始条件：f(0)=0
f(n) = 2*f(n-1)+1
f(0)=0
f(1)=2*0+1=1
f(2)=2*1+1=3 f(3)=2*3+1=7
函数的概念及表示法PPT课件
4
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6
y（元）
巩固知识 典型例题
例４ 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅 笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示 这个函数．
解 （2）以上表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角 坐标系中依次作出点（1 ， 0.12）、（2 ， 0.24）、（3 ， 0.36）、 （4，0.48）、（5，0.6）、（6，0.72），则函数的图像法表示如图所示．
巩固知识 典型例题
例２ 设 f x 2x 1 ，求 f 0 ， f 2 ， f 5 ， f b ．
3
分析 本题是求自变量x=x0时对应的函数值，方法是将x0代入 到函数表达式中求值.
解 f 0 20 1
3
f 5 2 5 1
3
， f 2 2 2 1
3
， f b 2b 1
3
， ．
巩固知识 典型例题
动 脑思考 探索新 知
作函数图像的一般方法——描点法
.
巩固知识 典型例题
例４ 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅 笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示 这个函数．
解 （3）关系式y=0.12 x就是函数的解析式， 故函数的解析法表示为 y=0. .12 x， x ∈{1,2,3,4,5,6}
总结演示
判断下列对应能否表示y是x的函数
(1)能(2)不能(3) 能 (4)不能
应用知识 强化练习
教材练习3.1.1
1．求下列函数的定义域：
（１） f x 2 ；（２） f x x2 6x 5 ．
x4
2．已知 f x 3x 2 ，求 f 0 ， f 1 ， f a ．
《函数及其表示方法》函数的概念与性质PPT(第1课时函数的概念)
求函数值和值域
第三章 函 数
已知 f(x)＝2－1 x(x∈R，x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R)． (1)求 f(1)，g(1)的值； (2)求 f(g(x))． 【解】 (1)f(1)＝2－1 1＝1，g(1)＝1＋4＝5. (2)f(g(x))＝f(x＋4)＝2－(1x＋4)＝－21－x＝－x＋1 2(x∈R，且 x≠ －2)．
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第三章 函 数
下列各组函数表示同一个函数的是( ) A．f(x)＝x－，xx，≥x0<，0 与 g(x)＝|x| B．f(x)＝1 与 g(x)＝(x＋1)0 C．f(x)＝ x2与 g(x)＝( x)2 D．f(x)＝x＋1 与 g(x)＝xx2－－11
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第三章 函 数
解析：选 A.A 项中两函数的定义域和对应关系相同，为同一个 函数；B 项中，f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为(－∞，－1)∪ (－1，＋∞)；C 项中 f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为[0， ＋∞)；D 项中，f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为(－∞，1)∪(1， ＋∞)．B，C，D 三项中两个函数的定义域都不相同，所以不 是同一个函数．故选 A.
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第三章 函 数
■名师点拨 对函数概念的 5 点说明
(1)当 A，B 为非空数集时，符号“f：A→B”表示 A 到 B 的一 个函数． (2)集合 A 中的数具有任意性，集合 B 中的数具有唯一性． (3)符号“f”表示对应关系，在不同的函数中 f 的具体含义不一 样． (4)函数的定义强调的是“对应关系”，对应关系也可用小写英 文字母如 g，h 表示． (5)在函数的表示中，自变量与因变量与用什么字母表示无关紧 要，如 f(x)＝2x＋1，x∈R 与 y＝2s＋1，s∈R 是同一个函数．
人教版高中数学新教材必修第一册课件：3.1.2函数表示法2求函数解析式
将f(x1)＝2f(xx)－1代入f(x)＝2f(1x) x－1中，
可求得 f(x)＝23 x＋13.
方法小结 函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、 二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式， 可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
k(kx b) b 4x 1,
k 2 (k
4 1)b
1
k b
2
1 3
或
k b
2 1Βιβλιοθήκη f (x) 2x 1 或f (x) 2x 1 3
典型例题
例 3 已知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 且 f(x)＝2f(1x)· x－1，求 f(x)的表示式.
解：在 f(x)＝2f(1x) x－1 中，用1x代替 x，
巩固练习
x
（1）如果
f
(
1 x
)
1
x x
2
，则f(x)=
x2 1
;
（2）如果f ( x 1 ) ( x 1 )2,则f(x+1)= x2 2x ;5
x
x
（3）如果函数f(x)满足方程3f(x)+
f
(
1 x
)
=3x,
x∈R,且x≠0,则f(x)=
. 9x 3
8 8x
【分析】求f(x)的关键就在于弄清相对于“x” 而言， “f”是一种怎样的对应关系.
解：令 u=2x+1,则 x u 1 , 因为 f(2x+1)=3x-2, 2
所以 f(u)=3×( u 1 )-2= 3 u - 7 , 2 22
即：f (x) 3 x 7 22
2015-2016学年高一数学人教版必修2课件：3.1.1 倾斜角与斜率
不存在
0
【合作探究】 1.当直线P1P2与x轴平行或重合时上述式子还成立吗?与y轴平行或重 合呢? 提示:当直线P1P2与x轴平行或重合时上述式子仍然成立,但当直线P1P2 与y轴平行或重合时上述式子不成立,即公式k= 成立的前提条 件是x1≠x2.
2.若把问题1中的点P1的坐标改为(x1,y1),P2的坐标改为(x2,y2),试思考下面的问题: (1)直线l的斜率是否存在? 提示:当x1≠x2时,斜率存在; 当x1=x2,即直线l与x轴垂直时,斜率不存在.
(2)若直线l斜率存在,能否根据点P1和点P2的坐标求出直线l的斜率? 提示:能.如图过P1作P1Q平行于x轴,过点P2作P2Q垂直于x轴,交P1Q于Q 点,则在Rt△P1P2Q中,
2.过平面内的一点P可作多少条直线,这些直线的区别在哪里呢? 提示:过一点P可作无数条直线,这些直线的倾斜程度不同.
➡根据以上探究过程,既然过一点的直线的倾斜程度不同,怎样描述直线的倾斜程度呢, 试完成直线倾斜角与斜率的概念:
1.直线的倾斜角
定 当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准正,向x轴_____ 义 与向直上 线l
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主题一:直线的倾斜角与斜率 【自主认知】 1.为了用代数方法研究几何问题,笛卡儿发明了平面直角坐标系.对于平面直角坐标系 内的一条直线l,它的位置由哪些条件确定呢?一点能确定一条直线吗? 提示:对于平面直角坐标系内的一条直线l,它的位置可以由直线上的两点或一点及该直 线与x轴正方向的夹角来确定.过一点不能确定一条直线.
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利用解析法实现钻石图案的打印 ：
小组讨论：观察钻石图案，找出解题的数学模型， 分析其组成元素，找出绘图的规律。
2021
任务一 ：建立一个易于完成此图形的坐标系， 可考虑将坐标系原点放在图形中心位置。
（-1.5，1.5）
（1.5，-1.5）
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任务二 ：如果将圆n等分（n=15），请参照图 例，画出点（x1，y1）
y = Sin(x) Form1.PSet (x, y), vbRed Next x
思考：程序中步长的大小与绘出线 条的清晰程度有什么样的关系？
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知识链接：
画点方法 —— 对象名.Pset (点坐标),颜色代码 画线方法 —— 对象名.Line (x1,y1)-(x2,y2), 颜色代码
设置坐标系 —— 对象名.Scale (左上角坐标)-(右下角坐标)
3.1 用解析法解决问题
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什么是解析法
通过分析获得数学模型
分解为若干个解析表达式
表达式
问题
解决
解决
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解析法的一般步骤:
第一步：建立数学模型 第二步：分析出解析表达式 第三步：选择合适的程序结构完成算法
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问题引入:
——了解解析法具体实现的各个环节
问题：求sin (x)函数在x ∈ [-2π，2π] 范围内的轨迹
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任务三 ：描绘出圆周上所有的点 小组讨论：应采用程序设计中哪一种程序结构
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任务四 ：如图，由A点向其他点辐射画线
A
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任务五 ：将顶点A移到下一位置，重复任务四的 操作。经过14次同样的操作后，完成图案的绘制。
小组讨论：根据上面的方法绘制图形后，将会产生许多重复的线条，如 何修改程序，避免出现这些重复线条，提高程序的运行效率？
练习要求：独立思考，用解析法分析出蕴含的 解析表达式，并设计算法，完成程序。
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思考:
1、用学过的数学知识在纸上画出正弦函数 在x ∈ [-2π，2π]范围内的轨迹。
2、在vb中正弦曲线的绘制过程，类似于 程序设计中哪一种程序结构？
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第一步：建立数学模型
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第二步：分析出解析表达式 y=sin（x） x ∈ [-2π，2π]
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第三步：选择合适的程序结构完成算法
算法：
程序：
①建立坐标系
③令X=-2*3.14159 ④Y=Sin(x) ⑤画点（X，Y） ⑥如果X≤2*3.14159
则返回④，否则下 一步
⑦结束
Form1.Scale (-10, 10)-(10, -10) Const pi=3.14159 For x = -2 * pi To 2 * pi Step 0.1
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小结：什么是解析算法
在分析具体问题的基础上，抽取数 学模型。通过分析问题中各要素间的关 系，用数学表达式表示它们的关系，找 到了这些表达式，问题也就得以解决。
20铁丝，希望用 来制作一个面积为S的矩形框。他问李明：这 个矩形的长和宽应当是多少，才能使制作出 来的矩形框面积为指定的值呢？