等比数列及其前n项和

等比数列及其前n 项和

1．等比数列的有关概念

(1)定义：

2 项起，每一项与它的前一项的比等于________ (不为零 )，那么这个

如果一个数列从第

数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的________，通常用字母 q 表示，定义的表达式为 ________

(2)等比中项：

如果 a、 G、 b 成等比数列，那么 ________叫做 a 与 b 的等比中项．即：G 是 a 与 b 的等比中项 ? a， G， b 成等比数列 ? _______

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式： a n＝ ________．

na1， q＝ 1，

(2)前 n 项和公式： S n＝

a1（1－ q n）

＝ a1

－ a

1－ q

n q， q≠ 1.

1－ q

3．等比数列的性质

已知数列 { a n} 是等比数列， S n是其前 n 项和． (m， n， p， q， r， k∈N* )

(1)若 m＋n＝ p＋ q＝ 2r ，则 a m· a n＝ ________=________

(2)数列 a m， a m＋k， a m＋2k， a m＋3 k，, 仍是等比数列；

(3)数列 S m， S2m－ S m， S3m－ S2m，, 仍是等比数列(此时 { a n} 的公比 q≠－ 1)．

[做一做 ]

1． (2014 ·考重庆卷高)对任意等比数列 { a n} ，下列说法一定正确的是()

A ． a1， a3， a9成等比数列B． a2， a3， a6成等比数列

C．a2， a4， a8成等比数列D． a3， a6， a9成等比数列

2． (2014 ·考江苏卷高)在各项均为正数的等比数列{ a n} 中，若 a2＝ 1， a8＝ a6＋ 2a4，则a6的值是 ________．

1．辨明三个易误点

(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此 q 也不能为 0，但 q 可为正数，也可为负数．

(2)由 a n＋1＝ qa n，q≠ 0，并不能立即断言 { a n} 为等比数列，还要验证a1≠0.

(3)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q＝ 1与 q≠ 1分类讨论，防止因忽

略 q＝ 1 这一特殊情形而导致解题失

误．2．等比数列的三种判定方法

a n＋1*

(1)定义：a n＝ q(q 是不为零的常数， n∈N)? { a n} 是等比数列．

(2)通项公式： a n＝ cq n－1(c、 q 均是不为零的常数， n∈N* ) ? { a n} 是等比数列．

(3)等比中项法： a n2＋1 ＝a n ·a n＋ 2(a n·a n＋ 1·a n＋ 2≠0，n∈N*)? { a n}是等比数列．

3．求解等比数列的基本量常用的思想方法

a1，q，n，a n，

(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前 n 项和的公式中联系着五个量：

S n，已知其中三个量，可以通过解方程(组 )求出另外两个量；其中基本量是a1与 q，在解题中根据已知条件建立关于a1与 q 的方程或者方程组，是解题的关键．

(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当q＝1 时， S n＝

a1（ 1－q n）

a1与 q 分类讨论．na1；当 q≠ 1 时， S n＝；在判断等比数列单调性时，也必须对

1－ q

[做一做 ]

)在数列 { a n} 中，“ a n＝ 2a n－1，n＝ 2，3，4，, ”是“ { a n} 3．(2015 海·淀区第二学期期中练习

是公比为 2 的等比数列”的 ( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．若等比数列 { a n } 满足 a 1＋ a 4＝ 10， a 2＋a 5＝20，则 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ ________．

考点一 __等比数列的基本运算 (高频考点 )________

等比数列的基本运算是高考的常考内容， 题型既有选择题、填空题，也有解答题， 难度适中，属中、低档题．

高考对等比数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度：

(1)求首项 a 1、公比 q 或项数 n ； (2)求通项或特定项； (3)求前 n 项和．

(1)(2015 ·江苏扬州中学期中测试 )设等比数列 { a n } 的各项均为正数， 其前 n 项和

为 S n ，若 a 1＝ 1，a 3＝ 4， S k ＝ 63，则 k ＝ ________．

(2)已知等比数列 { a n } 为递增数列，且 a 25＝ a 10，2(a n ＋ a n ＋2 )＝ 5a n ＋1，则数列 { a n } 的通项公

式 a n ＝ ________．

(3)(2014 高·考重庆卷节选 )已知 { a n } 是首项为 1，公差为 2 的等差数列， S n 表示 { a n } 的前

n 项和．设 { b n } 是首项为 2 的等比数列，公比

2

－(a 4＋ 1)q ＋ S 4＝ 0，求 { b n } 的通项公

q 满足 q 式及其前 n 项和 T n .

[ 规律方法 ] 等比数列运算的通法：

样，

求等比数列的基本量也常运用方程的思想和方法． 从方程的观点看等na 1， q ＝ 1

比数列的通项公式

n －1 项和公式 S n ＝ 1 （1－ q n

） 中共有五个 a n ＝ a 1 ·q (a 1 q ≠ 0)及前 n

， q ≠1

1－ q

变量，已知其中的三个变量，可以通过构造方程或方程组求另外两个变量，在求公比 q 时，

要注意应用 q ≠ 0 验证求得的结果．

1.(1)(2015 北·京海淀模拟 )已知等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S 1，

S 2＋ a 2，S 3 成等差数列，则数列 { a n } 的公比为 (

)

A ． 1

B ． 2

1

C.2

D ． 3

(2)(2015 河·北唐山高三统考

)在公比大于 1 的等比数列 { a n } 中， a 3a 7＝ 72， a 2＋a 8＝ 27，

则 a 12＝ ( )

A ．96

B ． 64

C ．72

D ． 48

(3)(2015 东·北三校第二次模拟 ) 已知数列 { a n } 满足 2a n ＋ 1＋ a n ＝ 0，a 2＝ 1，则数列 { a n } 的前

10 项和 S 10 为( )

4 10 － 1) 4 (2 10 ＋1) A. (2 B.

3 3

4 －10 4 －10 ＋ 1) C. (2 － 1) D. (2

3 3 考点二 __等比数列的判定与证明 ________________