《矩阵分析》(第3版)史荣昌-魏丰.第一章课后习题答案Word版
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第1章 线性空间和线性变换（详解）
1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用
ij E (,1,2,
,1)i j i n <=-表示n 阶矩阵中除第i 行，
第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外，其余元素全为0的矩阵.
显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1)
2
n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1)
2
n n +个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成
(1)
2
n n +维线性空间. 同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1)
2
n n -.
评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1)
2
n n +维线性空间，只需找出
(1)2n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这(1)
2
n n +个向量线性表示即可.
1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令 解出1234,,,x x x x 即可.
1-3 解：方法一 设11223344x x x x =+++A E E E E
即 123412111111100311100000x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
故
1234
1231211203x x x x x x x x x x +++++⎡⎤
⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣
⎦
于是
12341231,2x x x x x x x +++=++=
1210,3x x x +==
解之得
12343,3,2,1x x x x ==-==-
即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T
--.
方法二 应用同构的概念，22R ⨯是一个四维空间，并且可将矩阵A 看做(1,2,0,3)T
，
1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有
111111
000
31110201003110000
01021000300011⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢
⎥→⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥
-⎣⎦⎣⎦
因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T
--.
1-4 解：证：设112233440k k k k αααα+++=
即
12341234123134
12411111110110110110
k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
+++++⎡⎤==⎢⎥++++⎣⎦
于是
12341230,0k k k k k k k +++=++= 1341240,0k k k k k k ++=++=
解之得
12340k k k k ====
故1234,,,αααα线性无关. 设
12341234123134
1241111111011011011a b x x x x c d x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
+++++⎡⎤=⎢⎥
++++⎣⎦
于是
12341230,0x x x x x x x +++=++= 1341240,0x x x x x x ++=++=
解之得
122,x b c d a x a c
=++-=-
34,x a d x a b =-=-
1234,,,x x x x 即为所求坐标.
1-5 解：方法一 （用线性空间理论计算）
32312233410()121,,,021,1,(1),(1)p x x x x x y y x x x y y ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎡⎤=+=⎣⎦⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎡⎤=---⎣⎦⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
又由于
23
231,1,(1),(1)111101231,,,001
3000
1x x x x x x ⎡⎤---⎣⎦
⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥-⎢
⎥⎣⎦
于是()p x 在基23
1,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为
1
12341111130123060013060
00122y y y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
方法二 将3
()12p x x =+根据幂级数公式按1x -展开可得
3
2323()12(1)(1)
(1)(1)(1)(1)(1)2!3!
36(1)6(1)2(1)p x x p p p p x x x x x x =+''''''=+-+
-+-=+-+-+- 因此()p x 在基2
3
1,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为[]3,6,6,2T
.
评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些.
1-6 解：①设
[][]12341234,,,,,,=ββββααααP