逻辑学第四章谓词逻辑
谓词逻辑的语义逻辑学教案
谓词逻辑的语义逻辑学教案一、引言语义逻辑学是逻辑学的重要分支，它研究的是语言中词句的意义以及它们之间的关系。
在语义逻辑学中，谓词逻辑是一种重要的逻辑形式，它可以用于描述和分析自然语言中的句子结构和逻辑关系。
本教案将介绍谓词逻辑的基本概念、语义理论以及应用，并提供相应的教学活动。
二、谓词逻辑的基本概念1. 术语解释谓词：表达句子中某种属性或关系的词语，如“是”、“有”等。
宇词：描述个体对象的词语，如“猫”、“人”等。
谓词项：由宇词和谓词组成的结构，用于描述某个宇词与某个谓词的关系。
量词：用于对宇词或谓词项进行量化的词语，如“所有”、“存在”等。
2. 语义解释谓词逻辑中的谓词项可以被赋予具体的解释和意义，以便用于逻辑推理和证明。
比如，对于宇词“猫”和谓词“是”，谓词项“是猫”可以理解为“存在某只猫”。
三、语义理论1. 逻辑语义逻辑语义是对谓词逻辑中的词语和句子进行解释和赋予意义的理论。
在逻辑语义中，需要解释的主要概念包括宇词、谓词、谓词项以及量词等。
通过逻辑语义的分析，可以理清句子间的逻辑关系和语义关系。
2. 谓词逻辑的公理系统在谓词逻辑的语义理论中，公理系统起到了重要的作用。
公理是作为论证的起点和基础，它们是不需要证明的前提条件。
一个完备的公理系统应该能够涵盖所有可能的推理结果，并且不产生矛盾。
四、教学活动1. 案例分析：谓词逻辑的应用让学生分析一些具体的案例，如“所有狗都是动物”和“有些鸟会飞”，并利用谓词逻辑的语义理论进行解析和推理。
2. 团队讨论：逻辑语义将学生分成小组，让每个小组选择一些句子进行逻辑语义的讨论。
要求学生解释句子中各个词语的意义，并分析它们之间的逻辑关系。
3. 比较研究：不同逻辑系统的比较引导学生对比谓词逻辑与其他逻辑系统（如命题逻辑、模态逻辑）之间的差异，并讨论其优缺点及应用领域。
五、总结通过本教案的学习，学生们对谓词逻辑的基本概念、语义理论和应用有了初步的了解。
希望通过这些教学活动的开展，能够培养学生的逻辑思维和语义分析能力，为他们今后的学习和研究打下坚实的基础。
谓词逻辑定义
谓词逻辑定义谓词逻辑是一种用来描述事物真假性的语言，它的核心是谓词（Predicate）和符号表示法，它可以用来表达自然语言中的复杂概念和描述一些事实及其关系。
谓词逻辑是一种强大的数学模型，可以用来表示我们对自然现象的知识，并且可以推断出未来的情况。
谓词逻辑的发展源自上世纪六十年代，受到欧几里得的哲学思想的启发，以便为数学模型提供更完整的语言。
它发展成为一种用来描述事物的语言，可以用来描述一些事实及其关系，实现机器模拟思维的目的，它主要用于计算机科学领域，其他领域如哲学也有广泛的应用。
谓词逻辑通过谓词（predicates）来描述一般状况和条件，它是一种抽象的数学语言，可以表达自然语言中的复杂概念，以符号表示法来表达一些有关真假性的概念，并通过推断技术来完成其任务。
谓词逻辑由以下几个部分组成：1.尔谓词：它是一些布尔谓词（Boolean predicates），用来描述一般状况和条件，比如P（x），Q（x），R（x）等等。
2.号表示：谓词逻辑使用比较简单的符号表示法，以表达一些有关真假性的概念，比如“&”（且），“”（否定），“∨”（或）等等。
3.词逻辑语句（Logical Sentences）：谓词逻辑语句是谓词逻辑中使用的一种有用结构，它由谓词和符号表示法组成，可以表达一些真假性概念。
4.型：谓词逻辑的模型是一种强大的数学模型，它可以用来描述自然现象的知识，它可以用来表达一些事实及其关系（fact and relationship）。
谓词逻辑的最大优势在于它是一种可以描述一些有关真假性的复杂概念的语言，它不但可以用来表达自然语言中的复杂概念，也可以用来描述一些事实及其关系，实现机器模拟思维的目的，从而实现机器智能。
谓词逻辑使用比较简单的符号表示法，可以表达一些有关真假性的概念，可以用来计算机科学中的解释和推理，可以用来描述一些事实及其关系，实现机器模拟思维的目的，也可以用于哲学等其他领域。
逻辑学导论第四章
一个变项，如果在一个公式中有约束出现，则称它是“约束 变项”；如果在一个公式中有自由出现，则称它是“自由变 项”。因此，一个体变项在一个公式中可以既是约束变项又 是自由变项。
一个含有至少一个自由变项的公式，叫做“开公式”。开公 式的意义不确定，没有确定的真假。一个不含任何自由变项 的公式，叫做“闭公式”。在给定论域及其解释后，闭公式 有确定的意义，也有确定的真假。
◦ （ii）如果A是公式，则A是公式。 ◦ （iii）如果A和B都是公式，则A∧B，A∨B，AB，AB是公
式。 ◦ （iv）如果A是公式，则xA，xA是公式。 ◦ （v）只有按以上方式形成的符号串是公式。
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重叠的量词和重叠的量化式
◦ “重叠量词”指在一个量词的辖域内还有另外的量词。包 含重叠量词的公式就叫做“重叠量化式”。
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一阶语言 （Ⅰ）初始符号
◦ （i）个体变项：x，y，z，… ◦ （ii）个体常项：a，b，c，… ◦ （iii）谓词符号：F，G，R，S，… ◦ （iv）量词：全称量词，存在量词 ◦ （v）联结词：，∧，∨，， ◦ （vi）辅足性符号：逗号，，左括号（，右括号）。
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（Ⅱ）形成规则
◦ （i）一个谓词符号F，后面跟有写在一对括号内、并用逗点适当 分开的n个个体词（n≥1），是原子公式。
如果一个谓词逻辑的公式，对于有些赋值为真，对于有些赋 值为假，则称该公式是偶真式，但非普遍有效式。所有的偶 真式都是可满足式。
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普遍有效式举例
◦ （1）xF(x)F(y) ◦ （2）F(y) xF(x) ◦ （3）x(F(x)∨F(x)) ◦ （4）x(F(x)∧F(x))
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◦ （5）xF(x) xF(x) ◦ （6）xF(x) xF(x) ◦ （7）x(F(x) G(x))(xF(x) xG(x)) ◦ （8）x(F(x)∧G(x))(xF(x)∧xG(x)) ◦ （9）x(F(x)∨G(x))( xF(x)∨xG(x)) ◦ （10）xyR(x, y)yx R(x, y)
数理逻辑-谓词逻辑
体事物或抽象的概念 ；个体域 个体域是个体（客体）的取 个体域 值范围；谓词 谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间 谓词 的关系的词
大写字母表示谓词，小写字母表示个体（客体） 注意：单独的个体词和谓词不能构成命题，将个体
词和谓词分开不是命题.
2.1 谓词逻辑基本概念
个体词与谓词
谓词也称为命题函数 命题函数或简单命题函数 命题函数 相关概念：零元谓词，n元谓词，全总个体域，复合命题
求在解释I下各公式的真值.
(1) x( F(x)∧G(x,a)) (2) xy L(x,y)
2.3 谓词的等值演算
谓词公式分类
在任何解释下，谓词公式A取真值1，公式A 为逻辑有效式(永真式)； 在任何解释下谓词公式A取真值0，公式A为 永假式； 至少有一个解释是公式A取真值1，公式A称 为可满足式。
函数
命题是谓词的特殊情况
2.1 谓词逻辑基本概念
全称量词与存在量词
量词是在命题中表示数量的词 量词有两类：
全称量词，表示“所有的”，“任何的”，或 “每一个”； 存在量词，表示“存在某个”或“至少有一 个”.
命题符号化必须指明个体域
2.1 谓词逻辑基本概念
全称量词与存在量词
对于一个谓词，如果其中每个变量都有一个量词作 用之下，则它就不再是命题函数，而是一个命题了。 在谓词逻辑，使用量词应注意以下几点：
2.2 谓词公式
相关概念：
字母表 项：递归定义 P43 原子公式
2.2 谓词公式
合式公式
递归定义：P43
命题常数0，1，一个命题和命题变元以及一个命题 0 1 函数P(x1,x2, ,xn) P(x ,…,x )，统称原子公式 由原子公式、联结词和量词可构成谓词公式(严格定 义见教材). 命题的符号化结果都是谓词公式。
谓词逻辑教案
谓词逻辑教案一、导入篇谓词逻辑是一门重要且具有广泛应用的逻辑学分支，它在数理逻辑、计算机科学、哲学等领域扮演着重要角色。
本教案将引导学生了解谓词逻辑的基本概念、符号表示以及推理规则，以帮助他们提升逻辑思维和解决问题的能力。
二、知识讲解篇2.1 谓词逻辑概述在开始学习谓词逻辑之前，我们先来了解谓词逻辑的定义和基本概念。
谓词逻辑是一种用于描述命题中直接关系的形式系统，它引入了谓词和变量的概念，用于描述命题中的主语和谓语关系。
谓词表示命题中的陈述或性质，而变量则用于代替命题中的主语或对象。
2.2 谓词逻辑的符号表示谓词逻辑使用一系列符号来表示命题的关系和逻辑结构。
其中，常见的符号包括量词、谓词符号、变量符号和逻辑连接词。
量词主要用于表示命题的范围，谓词符号用于表示命题中的谓词或性质，变量符号用于替代命题中的主语或对象，逻辑连接词用于连接不同的逻辑关系。
2.3 谓词逻辑的推理规则谓词逻辑的推理规则是应用谓词逻辑进行逻辑推理的基础。
其中，常见的推理规则包括全称推理、存在推理和量词否定规则。
全称推理用于从普遍情况推出特殊情况，存在推理用于从特殊情况推出普遍情况，量词否定规则用于否定命题中的量词。
三、实例演练篇为了帮助学生更好地理解谓词逻辑的应用，我们将通过一些实例进行演练。
以下是几个典型的实例：3.1 实例一：猫的属性假设有命题"P(x)：x是一只猫"，我们可以使用谓词逻辑的符号表示为∀x P(x)。
通过全称推理规则，我们可以推出∃x P(x)，即存在一只猫。
3.2 实例二：人类的属性假设有命题"H(x)：x是一个人类"，我们可以使用谓词逻辑的符号表示为∀x H(x)。
通过存在推理规则，我们可以推出∃x H(x)，即存在一个人类。
3.3 实例三：父子关系假设有命题"F(x, y)：x是y的父亲"，我们可以使用谓词逻辑的符号表示为∀x∀y F(x, y)。
第4章一阶逻辑基本概念
8/5/2021
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合式公式
CHAPTER FOUR
定义4.4 一阶语言L 中的合式公式 (也称为谓词公式或公式) 定义如下：
(1) 原子公式是合式公式；
(2) 若A是合式公式，则 (┐A)也是合式公式；
(3) 若A, B 是合式公式，则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B)也是合 式公式；
F(x,y)：表示个体变项 x, y具有关系F (同上) 。
一般地, 用P(x1,x2,…,xn)表示含n(n≥1)个命题变项x1,x2,…,xn 的n元谓词。 它可看成以个体域为定义域,以{0,1}为值域的n元函数关系.
当P取常项,且(x1,x2,…,xn)取定常项(a1,a2,…,an)时, P(a1,a2,…,an)是一个命题.
一阶逻辑中命题符号化问题
例4.2-1 在个体域为人类集合将下面两个命题符号化：
CHAPTER FOUR
(1) 凡是人都要呼吸； (2) 有的人用左手写字。
解：令 F(x): x 呼吸; G(x): x 用左手写字。则
(1) x F(x); (2) x G(x)。
例4.2-2 上例中，将个体域改为全总个体域后，两命题的符号化形式如何？
则可符号化为（1） xF(x)，（2） xG(x) 。
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一阶逻辑中命题符号化问题 CHAPTER
FOUR
例4.4 将下列命题符号化，并讨论其真值。
(1) 所有的人都长着黑头发；(2)有的人登上过月球；
(3) 没有人登上过木星； 解：令 M(x)：x 为人。
(4)在美国留学的学生未必都是亚洲人。
chenchen241一阶谓词逻辑符号化42一阶谓词逻辑公式及解释chapterchapterfourfour在命题逻辑中命题是最基本的单位对简单命题不再进行分解不关心命题中个体与总体的内在联系和数量关系
谓 词 推 理
谓词推理
定义1 若在各种解释下A1A2A3…AnB只 能为真,则称为前提A1,A2,…,An可推出结论B。
定义2 当A1A2A3…An为真时B为真，即 当A1,A2,A3…,An为真时B为真。 方法：
当前提条件A1,A2,…,An为真时， 利用等值式推出其他公式也为真，或
利用谓词推理规律，推出其他公式为真，
x0是论域中的任意个体 存在量词的推广EG或+：A(c) xA(x)
c为某个体
例题 (x(H(x)O(x))H(c)O(c)，
亚里斯多德的三段论
(1) x(H(x)O(x))为真 (前提)
(2) H(c)O(c) 为真
(全称指定x=c时为真)
(3) H(c) 为真
(前提)
(4) O(c) 为真
((2)(3)与假言推理代换实例)
(5) G(c)为真 ( (2),(4)分离)
(6) xG(x)为真 ((5)存在推广)
通过指定将量词去掉,通过代换实例使用命题逻辑 的方法.
通过推广加上量词,对于存在只有一个实例,对推广 全称,一定要注意x是全称指定的.
一定要注意先用“存在指定”，再用“全称指定”
例 x(F(x)G(x)),xF(x)xG(x)
三、谓词逻辑推理公理:仅能理解左真时右真
(1)xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)) (2)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) 别反了 (3) 四条推理铁律 全称量词的指定US或-：xA(x)A(x0)
x0是论域中的任意个体 存在量词的指定ES或-：xA(x)A(c)
c为某个特定的个体，不是任意的个体 全称量词的推广UG或+：A(x0) xA(x)
证明: 本例用到“存在指定”与“全称指定”，
谓词逻辑定义
谓词逻辑定义谓词逻辑，又称词义逻辑，是20世纪晚期出现的一种对概念的认知逻辑和思维方式，在当今的社会发展过程中发挥着越来越重要的作用。
谓词逻辑涉及多方面的内容，其定义可以分为两部分概括：一是逻辑概念：谓词逻辑是指以有意义的形式表达出概念、定义和结论的一种逻辑思维方法，主要用于解决日常生活中复杂的推理问题。
二是形式概念：这里指的是谓词逻辑的形式系统。
谓词演绎语言（First-Order Logic，FOL）是其中最核心的内容，它由一组基本形式模式（变元、谓词、量词和逻辑符号）组成，用来构成更加复杂的语句，形成一种关系系统。
谓词逻辑的定义是以概念与形式为基础的，其目的是用正确的方法更好地表达概念，特别是当表达的概念非常复杂、也涉及到很多因素时，谓词逻辑便发挥了它的作用。
举个例子，当我们要求一个团体每一位成员都要参与一次活动时，为了使这个活动有效，我们就可以用谓词逻辑来表达：“对于X，X是每一位成员”。
从这个简单的定义就能看出，谓词逻辑的主要目的就是帮助我们更加准确、更加简洁、更加明确地表达出概念来。
当我们更进一步地深入研究谓词逻辑时，我们会发现，它不仅仅是一种表达概念的方法，还可以被用于许多其他用途，比如它可以帮助我们更加清楚、更有效地定义问题本身，以及在处理模糊问题时使用模糊逻辑，当处理逻辑错误时就可以使用模式识别，帮助我们区分正确与错误。
除此之外，谓词逻辑也能应用到数理逻辑，用来解决一些难解的数学问题。
总之，谓词逻辑是一种全面、系统的思维方式，它能够用来处理一些语言和逻辑计算的关系。
它能够帮助我们更加正确、清楚地表达出概念和定义，也可以用来处理一些日常生活中的模糊问题，这使得它成为当今社会对概念认知和思维方式的一种重要发展。
谓词逻辑表示知识的一般步骤
谓词逻辑（Predicate Logic）是一种形式化的逻辑体系，用于表示和推理关于事物及其关系的陈述。
表示知识的一般步骤如下：
1. 定义命题符号：确定用于表示事实和关系的基本命题符号。
这些符号通常表示对象、性质、关系等。
2. 定义谓词符号：引入谓词符号，用于描述对象之间的关系或属性。
谓词符号包含一个或多个参数，表示关系的参与者。
3. 定义量词：引入全称量词(∀) 和存在量词(∃)，用于表示某种性质或关系是否对所有对象成立或是否存在至少一个对象满足。
4. 建立谓词逻辑语句：使用定义好的命题符号、谓词符号和量词构建逻辑语句。
这些语句用于表示关于对象、关系和属性的陈述。
5. 表示规则和知识：使用谓词逻辑语句表示领域中的事实、规则和知识。
这可能涉及到使用特定的谓词符号和量词来表达领域特定的关系和规则。
6. 建立推理规则：定义基于谓词逻辑语句进行推理的规则。
这可能包括经典的逻辑规则、蕴含规则、量词约束等。
7. 应用推理规则：利用定义好的推理规则，对谓词逻辑语句进行推理，从而得到新的结论。
8. 知识库：将所有定义、事实、规则和推理结果组织成一个知识库。
知识库用于支持对领域知识的查询和推理。
这些步骤提供了一种形式化的方法来表示和推理关于世界的知识，谓词逻辑作为一种强大的逻辑体系在人工智能和计算机科学领域得到广泛应用。
谓词逻辑的概念与基本要素
谓词逻辑的概念与基本要素谓词逻辑（Predicate Logic），也称一阶逻辑（First-order Logic），是逻辑学中的一个重要分支。
它是对命题逻辑的扩展，通过引入谓词和变量，使得我们能够更加准确地描述自然语言的复杂逻辑关系。
本文将介绍谓词逻辑的概念与基本要素，帮助读者理解和运用这一逻辑工具。
一、概念1. 谓词逻辑的定义谓词逻辑是一种用来描述对象之间关系的逻辑系统。
它通过引入谓词和变量来表示命题中的主体和特性，以更加细致和准确的方式分析和推理。
2. 谓词谓词是用来描述对象特性或关系的符号。
在谓词逻辑中，谓词可以是单个个体或者多个个体之间的关系。
例如，谓词"P(x)"表示x具有性质P，谓词"R(x, y)"表示x与y之间存在关系R。
3. 变量变量用来表示命题中的主体，可以是个体、集合或其他对象。
变量在谓词逻辑中是可以被替换的，通过替换不同的变量，我们可以针对不同情况进行推理。
二、基本要素1. 基本命题在谓词逻辑中，基本命题由谓词和变量构成。
它们可以是简单的描述性语句，也可以是较为复杂的逻辑判断。
例如，命题"P(x)"表示x具有性质P，命题"R(x, y)"表示x与y之间存在关系R。
2. 量词量词用来限定变量的范围。
谓词逻辑中有两种常见的量词：全称量词（∀，表示“对于所有”）和存在量词（∃，表示“存在某个”）。
全称量词用来表示命题在所有情况下都成立，存在量词用来表示命题在某些情况下成立。
3. 逻辑连接词逻辑连接词用来连接不同的命题，以构成更复杂的逻辑表达式。
谓词逻辑中常见的逻辑连接词有：否定（¬）、合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）和等值（↔）。
这些逻辑连接词能够帮助我们表达命题之间的逻辑关系。
4. 推理规则推理规则是谓词逻辑中用来推导新命题的方法。
常见的推理规则有：全称推理规则、存在推理规则、析取引入规则、蕴含引入规则和等值引入规则等。
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则形式为: xyRxy
一阶逻辑：量词是只对命题中的个体变元进行量化，而不 对谓词变元进行量化。
高阶谓词：不仅对个体变元而且对谓词变元进行量化。
2020/11/12
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量词
表示论域D中个体数量的语词
➢全称量词：指称论域D中个体的全部。 例如：所有，任何，每一个，…。
➢存在量词：指称论域D中个体至少有一个存在。 例如：存在，有，有些，…。
➢符号化的量： 全称量词：所有x，任何x，…，均记为：x。 存在量词：有x，存在x，…，均记为：x。
➢全称命题：含有全称量词的命题。 ➢特称(存在)命题：含有存在量词的命题。
（2）形成规则：包括项的形成规则和公式的形成规则。 ①项的形成规则：单个的个体变元（v，u，w，…）和个体常项（a，
b，c，…）称为项。
2020/11/12
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一阶语言L
②公式的形成规则： 1、如果R是n元谓词（n1）,t1…tn是n个项，则Rt1…tn是公式（原子 公式）； 2、如果A是公式，则A 3、如果A和B是公式，则A∧B、A∨B、A→B是公式； 4、如果A是公式，v是个体变元，则vA和vA是公式（vA称为全称公 式；vA称为存在（特称）公式）。
（4）有的大学生是儿童：x(Sｘ∧Cｘ) （5）小李没有同任何人吵架。
a：小李；Ｍ：…是人，D：…同…吵架，形式化为：x（Ｍx→Ｄax） （6）有些大一学生认识小李。
a：小李；F ：…是大一学生，R：…认识…，形式化为： x(Fx∧Rxa)
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命题的形式化
在对以上命题形式化时，没有限制论域，即论域是全 域。我们也可在一定的范围内讨论问题，因些个体变元的 变域往往被限制在某个特定的范围内。
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第四章 谓词逻辑
第二节 一阶语言及其语义解释
一阶语言L
（1）初始符号
➢个体变元符号：x,y,z,…；x1,x2,… ➢若干（可以为0个）个体常项符号：a,b,c… ➢若干（至少一个）谓词符号：D,E,F,G,R，… ➢联结词符号：,∧,∨,→ ➢量词符号：,； ➢辅助符号：括号：（，）；逗号：，。
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个体词和谓词的符号化
➢个体常项：表示一定范围内确定的个体，记为小写的：a,b,c,…； ➢个体变元：表示一定范围内不确定的个体，记为小写的： x,y,z,…； ➢个体域也称论域：个体变元的变化范围，记为：D。 ➢谓词符号：表示性质或关系的符号，记为大写：D、E、F、G…； ➢一元谓词公式，记为：Dx，Ex，Fx，…； ➢二元谓词公式，记为：Dxy，Exy，Hxy，Rxy，…；
主讲人：何向东
--进入--
第四章 谓词逻辑
第一节 谓词逻辑概述
命题逻辑和谓词逻辑
命题逻辑：不分析简单命题内部结构，讨论关于联 结词的推理理论。例如：
如果某甲作案，那么他一定有作案动机。 某甲没有作案动机。 所以，某甲没有作案。
谓词逻辑：分析简单命题的内部结构，讨论关于量 词的推理理论。例如：
所有的作案者都有作案动机。 某甲没有作案动机。 所以，某甲不是作案者。
约束变元就是约束出现的变元；自由变元就是自由 出现的变元。
例如：在 xＤx∨Ｅx中，变元x出现了三次，前两次出 现是在量词x的辖域中，因而是约束出现的，第三次是自 由出现的。
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自由变元的代入
如果公式A中有自由变元v，则把该公式记为：A(v)。以个体词t代入A(v) 中的v，则记为：A(v/t)。例如：
带横线部分指明了存在量词的辖域。 (1)xＤx∨Ｅx (2)x（Ｆxy∧yＧy） (3)xy（Ｆxy∧xz（Ｇxz→Ｈyz）
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约束变元和自由变元
➢变元的约束出现：一个变元在公式里的出现是 约束的，当且仅当，这种出现是在采用该变元的 量词的辖域内。
➢变元的自由出现：一个变元在公式里的出现是 自由的,当且仅当，该变元的出现不是约束的。
（1）对于公式Px→Qx，用A(x)来表示x是自由变元：A(x)：Px→Qx （2）对于公式x(Qx∧Rxy)，用B(y)来表示y是自由变元：B（y）：x(Qx∧Rxy)；（3）用个 体变元y代替A(x)中的自由变元：A(x/y)：Py→Qy； （4）用常元a代替A(x)中的自由变元：A(x/a)：Pa→Qa。
➢三元谓词公式，记为：Gxyz，Bxyz，Pxyz，Kxyz，…；
➢n元谓词公式，记为：Sx1x2…xn，Wx1x2…xn，…。
个体词和谓词的符号化实例:
用a表示“张三”，用Dx表示一元谓词“会死” ，则命题“张三会死”可表 示为：Da。 如是Fxy表示二元谓词“…是…的朋友”，那么：Fab表示“a是b的朋 友”;¬Fab表示“a不是b的朋友”。
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开语句
没有真假的命题函数，即从个体到真值的函数。例如:
P：…是紫色的。 Px：x是紫色的。
让开语句有真值的方法：
（1）用个体常项代替个体变元。 用a表示“这朵玫瑰花”，则Pa表示语句“这朵玫瑰花是紫色的”。 （2）对个体变元进行量化。 例如:命题“存在玫瑰花是紫色的”为真。
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➢ 一阶语言L 的一个符号串是（合式）公式，当且仅当它符合以上形成规则。 ➢ 一阶语言L 的全体（合式）公式，记为Form（L ）。 ➢ 一阶语言L 是形式语言L ′的扩充。
（3）定义：用来表示符号串的缩写。
如：AB=df (A→B)∧(B→A)。
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量词的辖域
量词的辖域：量词的作用范围。 量词的辖域可定义为：如果B是vB和vB的子公式，则称B 为量词v和v的辖域。 在公式中，量词的辖域是该量词及紧接该量词的最短公式。
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命题的形式化
（1）凡事物都是发展的。 用x表示个体词，用D表示“是发展的”，形式化为：xDx
（2）凡是自然数都大于零。 用N表示“是自然数”，用E表示“大于零”，形式化为： x(NxEx）
（3）所有大学生都不是儿童。 用S表示“是大学生”，用C表示“是儿童”，形式化为： x(SxCx)