2012版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用
2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)导数的应用
§9.2 导数的应用考点核心整合1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数f(x)的定义区间.(2)求f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根.(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间.(4)确定f′(x)在各小开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.2.求函数的极值、最值(1)求出可疑点,即f(x)=0的解x0;(2)用极值的方法确定极值;(3)在［a,b］上的最值的求法:将(a,b)内的极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值;当f(x)在(a,b)内有一个可疑点时,若在这一点处f(x)有极大(小)值,则可以确定f(x)在该点处取到最大(小)值.3.函数最值与极值的区别与联系:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体的概念.(2)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值.(4)如果函数不在闭区间［a,b］上可导,则确定函数的最值时,不仅要比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.(5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.考题名师诠释【例1】(2006山东高考，17)已知f(x)=2x3-3(a-1)x2+1(a≥1)(Ⅰ)求其单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值.解析：由已知得f′(x)=6x［x-(a-1)］,令f′(x)=0,解得x1=0,x2=a-1.(Ⅰ)当a=1时，f′(x)=6x2,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.当a＞1时，f′(x)=6x［x-(a-1)］.从表上可知函数f(x)在（-∞，0）上单调递增，在(0,a-1)上单调递减，在（a-1,+∞）上单调递增. (Ⅱ)由(Ⅰ)知.当a=1时，函数f(x)没有极值.当a＞1时，函数f(x)在x=0处取得极大值1，在x=a-1处取得极小值1-(a-1)3.评述：正确求导，利用导数的正负与单调性的关系进行求解，主要考查利用导数求单调区间与极值，考查分类讨论的思想方法.【例2】(2006江西高考，17)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 在x=-32与x=1时都取得极值. (1)求a 、b 的值及函数f(x)的单调区间; (2)若对x ∈［-1,2］，不等式f(x)＜c 2恒成立，求c 的取值范围. 解析：（1）f(x)=x 3+ax 2+bx+c, f ′(x)=3x 2+2ax+b, 由f ′(-32)=912-34a+b=0,f ′(1)=3+2a+b=0, 得a=-21,b=-2, 2所以函数f(x)的递增区间为（-∞，-3）与（1，+∞）；递减区间为（-3，1）. （2）f(x)=x 3-21x 2-2x+c, x ∈［-1,2］,且当x=-32时，f(x)=2722+c 为极大值.而f(2)=2+c,则f(2)=2+c 为最大值，要使f(x)＜c 2(x ∈［-1,2］)恒成立，只须c 2＞f(2)=2+c,解得c ＜-1或c ＞2.评述：本题借助于导数，重点考查了函数与不等式的综合应用，将不等式转化为函数的最值，利用导数求函数的最值，具有一定的综合性. 链接·思考f ′(x)=0,f(x)的单调性怎样? 答:不具有单调性.【例3】(2006湖北高考，19)设函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,在x=1处取极值-2，试用b 表示a 和b ，并求f(x)的单调区间.解析：依题意有f(1)=-2,f ′(1)=0,而f ′(x)=3x 2+3ax+b,故⎩⎨⎧=++-=-++,02321b a c b a 解得⎩⎨⎧--==.32,c b c a从而f ′(x)=3x 2+2cx-(2c+3)=(3x+2c+3)(x-1)令f ′(x)=0,得x=1或x=-332+c . 由于f(x)在x=1处取得极值，故-332+c ≠1,即c ≠-3. (1)若-332+c ＜1,即c ＞-3,则当x ∈(-∞,-332+c )时，f ′(x)＞0;当x ∈(-332+c ,1)时，f ′(x)＜0;当x ∈(1,+∞)时，f ′(x)＞0.从而f(x)的单调区间为（-∞,-332+c],［1，+∞)；单调减区间为［-332+c,1］.(2)若-332+c＞1,即c＜-3，同上可得，f(x)的单调增区间为（-∞，1]，［-332+c,+∞)；单调减区间为［1，-332+c］.评述：本小题主要考查导数的概念和计算，考查应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.由导数公式和已知条件利用待定系数法求出a、b、c，然后分类讨论思想由f′(x)的符号判断单调区间，最后单调区间要分开写，不能使用并集符号.【例4】(2005重庆高考,19文)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.(1)若f(x)在x=3处取得极值,求常数a的值;(2)若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.分析：在x=3处取极值,则x=3使导函数等于零;在(-∞,0)上为增函数,则f′(x)在(-∞,0)上恒正. 解：(1)f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1).因f(x)在x=3处取得极值,所以f′(3)=6(3-a)(3-1)=0.解得a=3.经检验知当a=3时,x=3为f(x)的极值点.(2)令f′(x)=6(x-a)(x-1)=0,得x1=a,x2=1.当a<1时,若x∈(-∞,a)∪(1,+∞),则f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上为增函数,故当0≤a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.当a≥1时,若x∈(-∞,1)∪(a,+∞),则f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上为增函数.从而f(x)在(-∞,0]上也为增函数.综上所述,当a∈［0,+∞)时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.评述：本题考查了导数、极值、单调性等知识,考查了函数与方程的转化思想.。
2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)导数的综合问题
13.3 导数的综合问题巩固·夯实基础一、自主梳理1.若函数f(x)有导数,它的极值可在方程f ′(x)=0的根处来考察,求函数y=f(x)的极值方法如下:(1)求导数f ′(x)；(2)求方程f ′(x)=0的根；(3)检查f ′(x)在方程f ′(x)=0的根的左右的值的符号,如果左负右正,那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值；如果左正右负,那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值.2.设y=f(x)是一多项式函数,比较函数在闭区间［a,b ］内所有的极值,以及f(a)和f(b),最大者为最大值,最小者为最小值.二、点击双基1.(2005合肥第二次教学质量检测)函数f(x)的定义域为R,导函数f ′(x)的图象如图所示,则函数f(x)( )A.无极大值点,有四个极小值点B.有三个极大值点、两个极小值点C.有两个极大值点,两个极小值点D.有四个极大值点,无极小值点解析:根据图象,用极值的定义直接判断,得出答案.答案:C2.(2005湖北孝感第一次联考)函数f(x)=x 3-3bx+3b 在(0,1)内有极小值,则( )A.b>0B.0<b<1C.b<1D.b<21 解析:利用导数,由题设可得f ′(x)=3x 2-3b,若该函数在(0,1)内有极小值时,只需该二次函数的较大根在此区间内即可,即0<b <1,从而有0<b<1成立.选项为B.答案:B3.(2005汕头模拟)如图所示曲线是函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的大致图象,则x 12+x 22等于( )A.98B.910C.916 D.45 解析:由图可知0,-1,2是方程f(x)=0的根,所以b=-1,c=-2,d=0.所以f(x)=x 3-x 2-2x,f ′(x)=3x 2-2x-2.又x 1、x 2是方程f ′(x)=0的根,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+.32,322121x x x x 所以x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=94+34=916.故选C. 答案:C4.已知函数y=x 3+ax 2+bx+27在x=-1处有极大值,在x=3处有极小值,则a+b=____________. 解析:y ′=3x 2+2ax+b,-1、3是3x 2+2ax+b=0的两根,∴a=-3,b=-9.答案:-125.(2005浙江五校第一次联考)已知f(x)=2x 3-6x 2+a(a 为常数)在［-2,2］上有最小值3,那么f(x)在［-2,2］上的最大值是_________________.解析:令f ′(x)=6x 2-12x=0,则x=0或x=2.因f(0)=a,f(2)=a-8,f(-2)=a-40,故a=43.［-2,2］上最大值为f(x)max =f(0)=43.答案:43诱思·实例点拨【例1】(2004天津高考)已知函数f(x)=ax 3+bx 2-3x 在x=±1处取得极值.(1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程.剖析:(1)分析x=±1处的极值情况,关键是分析x=±1左右f ′(x)的符号.(2)要分清点A(0,16)是否在曲线上.解:(1)f ′(x)=3ax 2+2bx-3，依题意，f ′(1)=f ′(-1)=0，即⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a 解得a=1,b=0.∴f(x)=x 3-3x,f ′(x)=3x 2-3=3(x+1)(x-1).令f ′(x)=0,得x=-1,x=1.若x ∈(-∞,-1)∪(1,+∞)，则f ′(x)＞0,故f(x)在(-∞，-1)上是增函数，f(x)在(1，+∞)上是增函数.若x ∈(-1,1)，则f ′(x)＜0，故f(x)在(-1，1)上是减函数.∴f(-1)=2是极大值,f(1)=-2是极小值.(2)曲线y=x 3-3x,点A(0,16)不在曲线上,设切点M(x 0,y 0),则y 0=x 03-3x 0.∵f ′(x 0)=3x 02-3,∴切线方程为y-y 0=3(x 02-1)(x-x 0).代入A(0,16)得16-x 03+3x 0=3(x 02-1)(0-x 0).解得x 0=-2,∴M(-2,-2),切线方程为9x-y+16=0.讲评:过已知点求切线,当点不在曲线上时,求切点的坐标成了解题的关键.链接·提示求函数的极值可分以下几条:(1)求出可能的点,即f ′(x)=0的解x 0与不可导点;(2)用确定极值的方法确定极值;(3)在［a,b ］上的最值的求法:将(a,b)内的极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值;当f(x)在(a,b)内有一个可能的点时,若在这一点处的f(x)有极大(小)值,则可以确定f(x)在该点处取到最大(小)值.【例2】已知函数f(x)=ax 3+cx+d(a ≠0)是R 上的奇函数,当x=-1时,f(x)取得极值2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若对于任意x 1、x 2∈［-1,1］,不等式|f(x 1)-f(x 2)|≤m,求m 的最小值.剖析:(1)由题设条件易求得a 、c 、d 的值.因此由f ′(x)>0和f ′(x)<0可求f(x)的单调区间.(2)若对于任意x 1、x 2∈［-1,1］,不等式|f(x 1)-f(x 2)|≤m 恒成立,即|f(x 1)-f(x 2)|是函数f(x)的最大值和最小值之差的绝对值.因此,这一问主要是f(x)在［-1,1］上的最大值和最小值. 解:(1)由f(-x)=-f(x),x ∈R,∴f(0)=0,即d=0.∴f(x)=ax 3+cx,f ′(x)=3ax 2+c.由题设f(-1)=2为f(x)的极值,必有f ′(-1)=0.∴⎩⎨⎧=+-=+.03,2c a c a 解得a=1,c=-3.∴f(x)=x 3-3x.∴f ′(x)=3x 2-3=3(x+1)(x-1).令f ′(x)>0,解得x>1或x<-1.f ′(x)<0,解得-1<x<1.∴f(x)在(-∞,-1)∪(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减.(2)由(1)知,f(x)=x 3-3x 在［-1,1］上是减函数且f(x)在［-1,1］上的最大值M=f(-1)=2,最小值N=f(1)=-2.∴对任意的x 1、x 2∈［-1,1］,恒有|f(x 1)-f(x 2)|≤M-N=2-(-2)=4.∴m 的最小值为4.讲评:由奇函数定义可知当x=0时,则有f(0)=0,即函数过原点.对于本题的第(2)问,是恒成立问题,只需使m 的最小值≥|f(x 1)-f(x 2)|即可.【例3】设函数f(x)=x 3+mx 2+nx+p 在(-∞,0］上是增函数,在［0,2］上是减函数,x=2是方程f(x)=0的一个根.(1)求n 的值；(2)求证:f(1)≥2.剖析:由题知x=0是极值点,那么另一个极值点在哪儿呢?是x=2吗?不一定.会在x=2的哪一侧呢?(1)解:f ′(x)=3x 2+2mx+n.∵f(x)在(-∞,0)上是增函数,在［0,2］上是减函数,∴当x=0时,f(x)取到极大值.∴f ′(0)=0.∴n=0.(2)证明:∵f(2)=0,∴p=-4(m+2).f ′(x)=3x 2+2mx=0的两个根分别为x 1=0,x 2=-32m , ∵函数f(x)在［0,2］上是减函数,∴x 2=-32m ≥2. ∴m ≤-3.∴f(1)=m+p+1=m-4(m+2)+1=-7-3m ≥2.讲评:此题学生往往错误地认为x=2是另一个极值点.再证f(1)≥2时,首先将f(1)化成关于m 的式子,知道m 的范围,便可证之.【例4】对于函数y=f(x)(x ∈D)若同时满足下列两个条件,则称f(x)为D 上的闭函数.①f(x)在D 上为单调函数；②存在闭区间［a,b ］⊆D,使f(x)在［a,b ］上的值域也是［a,b ］.(1)求闭函数y=-x 3符合上述条件的区间［a,b ］；(2)若f(x)=x 3-3x 2-9x+4,判断f(x)是否为闭函数.剖析:这是个知识迁移题,这类问题一般是考查学生的类比猜想能力、探索问题的能力. 解:(1)∵y=-x 3,∴y ′=-3x 2≤0.∴函数y=-x 3为减函数.故⎩⎨⎧==,)(,)(a b f b a f 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-.3,333a b b a ∴⎩⎨⎧-=-=.1,1b a 故所求闭区间为［-1,1］. (2)f ′(x)=3x 2-6x-9.由f ′(x)≥0,得x ≥3或x ≤-1.由f ′(x)≤0,得-1≤x ≤3.∴f(x)在定义域内不是单调函数.故f(x)不是闭函数.讲评:这类问题是近年高考命题的一个亮点,很能考查学生分析问题、探索问题的潜在的能力.。
2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)导数及其应用
§9.2 导数及其应用考点核心整合1.导函数(导数)是一个特殊的函数,它的引出和定义,始终贯穿着函数思想.2.求函数y=f(x)在点x 0处的导数的两种方法:导数定义法和导函数的函数法.3.导数的意义:①几何意义,f ′(x 0)是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率；②物理意义,s ′(t 0)是当物体的运动过程为s=s(t)时,物体运动在时刻t 0时的瞬时速度.4.要熟记常见函数的导数,掌握两个函数的和、差、积、商和复合函数的求导法则.5.掌握可导函数的单调性与其导数的关系,可导函数在某点取得极值的充要条件是导数在极值点两侧异号.链接·提示在相邻两区间单调性一致时,应考查相邻点函数是否连续.如函数y=x 3的单调性.6.设函数f(x)在\[a,b\]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在\[a,b\]上的最值步骤如下:(1)求f(x)在(a,b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 链接·拓展极值与最值有什么区别?提示:极值是相对于邻域而言,它仅是极值点附近的局部范围内的相对大小,而最值是函数在给定区间上的全部函数值中最大(小)的值.极值是局部的概念,最值则是整体的概念. 考题名师诠释【例1】求下列函数的导数. (1)y=(x +1)(x 1-1)+ln xx +-11； (2)y=cos n (x+21x +).解：(1)y=21-x -21x +21ln(1-x)-21ln(1+x), y ′=-2123-x -2121-x +21·x -11(-1)-21·x+11 =-21(2212x x x xx -++). (2)y ′=ncos n-1(x+21x +)[cos(x+21x +)]′=-ncos n-1(x+21x +)sin(x+21x +)·(x+21x +)′=-ncos n-1(x+21x +)sin(x+21x +)·［1+21212)1(-+x (1+x 2)′］ =-ncos n-1(x+21x +)sin(x+21x +)·(1+21x x+).评述：在求复合函数的导数时可不写中间变量而直接对x 求导，对多次复合的函数求导时要把握由外向里逐次求导.【例2】（2006山东高考，18)设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1), 其中a ≥-1.求f(x)的单调区间. 解：由已知得：函数f(x)的定义域为（-1，+∞），且f ′(x)=11+-x ax (a ≥-1). (1)当-1≤a ≤0时，f ′(x)＜0,函数f(x)在（-1,+∞）上单调递减.(2)当a ＞0时，由f ′(x)＞0,得x ＞a 1; 由f ′(x)＜0得,-1＜x ＜a1. 综上所述，当-1≤a ≤0时，函数f(x)在（-1，+∞）上单调递减；当a ＞0时，函数f(x)在（-1，a 1）上单调递减，在（a1,+∞）上单调递增. 【例3】（2006福建福州质量检查)已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+1在区间（-∞,-2］上单调递增，在区间［-2，2］上单调递减，且b ≥0.(1)求f(x)的表达式；(2)设0＜m ≤2，若对任意的x 1、x 2∈［m-2,m ］,不等式|f(x 1)-f(x 2)|≤16m 恒成立，求实数m 的最小值.解：（1）由题意知x=-2是该函数的一个极值点,由于f ′(x)=3x 2+2bx+c,∴f ′(-2)=0,即：12-4b+c=0,又f(x)在［-2，2］上单调递减，∴f ′(x)=3x 2+2bx+c 在［-2，2］上恒有f(x)≤0，∴f ′(2)≤0,即：12+4b+c ≤0.∴12+4b+4b-12≤0,∴b ≤0,又b ≥0,∴b=0,c=-12,f(x)=x 3-12x+1.(2)∵f ′(x)=3x 2-12=3(x-2)(x+2),0＜m ≤2,而当m-2≤x ≤m 时,0<m ≤x+2≤m+2,m-4≤x-2≤m-2≤0,∴f ′(x)≤0(x ∈［m-2,m ］).因此f(x)为［m-2,m ］上的减函数，∴对任意x 1,x 2∈［m-2,m ］都有|f(x 1)-f(x 2)|≤［f(x)］max -［f(x)］min =f(m-2)-f(m),=-6m 2+12m+16≤16m,∴m ≥34 即m min =34. 【例4】（2005全国高考Ⅲ，22理)已知函数f(x)=xx --2742,x ∈［0,1］. (1)求f(x)的单调区间和值域;(2)设a ≥1,函数g(x)=x 3-3a 2x-2a,x ∈［0,1］,若对于任意x 1∈［0,1］,总存在x 0∈［0,1］,使得g(x 0)=f(x 1)成立,求a 的取值范围.解：(1)对函数f(x)求导,得f ′(x)=222)2()72)(12()2(7164x x x x x x ---=--+-. 令f ′(x)=0,解得x=21或x=27.所以,当x ∈(0,2)时,f(x)是减函数; 当x ∈(21,1)时,f(x)是增函数. 当x ∈［0,1］时,f(x)的值域为［-4,-3］.(2)对函数g(x)求导,得g ′(x)=3(x 2-a 2).因为a ≥1,当x ∈(0,1)时,g ′(x)＜3(1-a 2)≤0, 因此当x ∈(0,1)时,g(x)为减函数,从而当x ∈［0,1］时,有g(x)∈［g(1),g(0)］.又g(1)=1-2a-3a 2,g(0)=-2a,即当x ∈［0,1］时,有g(x)∈［1-2a-3a 2,-2a ］.任给x 1∈［0,1］,f(x 1)∈［-4,-3］,存在x 0∈［0,1］使得g(x 0)=f(x 1),则［1-2a-3a 2,-2a ］⊇［-4,-3］,即⎩⎨⎧-≥--≤--)2(,32)1(,43212a a a 解①式得a ≥1或a ≤-35; 解②式得a ≤23. 又a ≥1,故a 的取值范围是1≤a ≤23. 评述：本题主要考查函数的性质、导数、不等式等基础知识,考查分析推理和知识的综合应用、转化的能力.运用导数求值域的一般步骤是:求导;令导数等于0;求y ′=0的根;求出最值点;写出范围.。
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第13节导数与函数的综合问题教学案含解析理
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第13节导数与函数的综合问题教学案含解析理第十三节 导数与函数的综合问题导数与不等式►考法1 【例1】 已知函数f (x )＝x ＋a e x(a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ＜0，a ≤1时，证明：x 2＋(a ＋1)x ＞xf ′(x )． [解] (1)由f (x )＝x ＋a e x可得f ′(x )＝1＋a e x.当a ≥0时，f ′(x )＞0，则函数f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．当a ＜0时，由f ′(x )＞0可得x ＜ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，由f ′(x )＜0可得x ＞ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a 上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上为减函数．(2)证明：设F (x )＝x 2＋(a ＋1)x －xf ′(x )＝x 2＋ax －ax e x＝x (x ＋a －a e x)． 设H (x )＝x ＋a －a e x ，则H ′(x )＝1－a e x. ∵x ＜0，∴0＜e x ＜1，又a ≤1，∴1－a e x ≥1－e x＞0.∴H (x )在(－∞，0)上为增函数，则H (x )＜H (0)＝0，即x ＋a －a e x＜0. 由x ＜0可得F (x )＝x (x ＋a －a e x)＞0，所以x 2＋(a ＋1)x ＞xf ′(x )． ►考法2 解决不等式恒成立(存在性)问题 【例2】 设f (x )＝ax＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(2)如果对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]m ax ≥M .由g (x )＝x 3－x 2－3，得g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23.令g ′(x )＞0得x ＜0，或x ＞23，令g ′(x )＜0得0＜x ＜23，又x ∈[0,2]，所以g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上单调递增， 所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－8527，又g (0)＝－3，g (2)＝1，所以g (x )m ax ＝g (2)＝1. 故[g (x 1)－g (x 2)]m ax ＝g (x )m ax －g (x )min ＝11227≥M ，则满足条件的最大整数M ＝4.(2)对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，等价于在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，函数f (x )min ≥g (x )m ax ，由(1)可知在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，g (x )的最大值为g (2)＝1. 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，f (x )＝a x ＋x ln x ≥1恒成立等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立．设h (x )＝x －x 2ln x ，h ′(x )＝1－2x ln x －x ，令m (x )＝x ln x ，由m ′(x )＝ln x ＋1＞0 得x ＞1e.即m (x )＝x ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上是增函数， 可知h ′(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数， 又h ′(1)＝0，所以当1＜x ＜2时，h ′(x )＜0； 当12＜x ＜1时，h ′(x )＞0. 即函数h (x )＝x －x 2ln x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h (x )m ax ＝h (1)＝1， 所以a ≥1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．[规律方法] 1.利用导数证明含“x ”不等式方法，证明：f x ＞g x .法一：移项，f x －g x ＞0，构造函数F x ＝f x －g x ，转化证明F xmin＞0，利用导数研究Fx 单调性，用上定义域的端点值.法二：转化证明：f x min＞g xmax.,法三：先对所求证不等式进行变形，分组或整合，再用法一或法二.2.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略1首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围.2也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f x ≥g a对于x ∈D恒成立，应求f x 的最小值；若存在x ∈D ，使得f x ≥g a 成立，应求f x 的最大值.应特别关注等号是否成立问题.(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝a e x－ln x －1.证明：当a ≥1e时，f (x )≥0.[解] 证明：当a ≥1e 时，f (x )≥exe －ln x －1.设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e xe －1x.当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0.所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.利用导数研究函数的零点问题【例3(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围．[解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b.因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ， 所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c . (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4.令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23.当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：x (－∞，－2)－2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23 －23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞ f ′(x ) ＋ 0－ 0＋ f (x )↗c ↘c －3227↗所以，当c ＞0且c －3227＜0，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点．[规律方法] 利用导数研究方程根的方法1研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.2根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极最值的位置.3可以通过数形结合的思想去分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k ＞0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．[解] (1)由f (x )＝x 22－k ln x (k ＞0)，得x ＞0且f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx.由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：x (0，k ) k(k ，＋∞)f ′(x ) － 0＋f (x )↘k 1－ln k2↗所以，f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)，f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k 1－ln k2，无极大值．(2)证明：由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k 1－ln k2.因为f (x )存在零点，所以k 1－ln k2≤0，从而k ≥e，当k＝e时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且f(e)＝0，所以x＝e是f(x)在区间(1，e]上的唯一零点．当k＞e时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且f(1)＝12＞0，f(e)＝e－k2＜0，所以f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点．利用导数研究生活中的优化问题【例4】某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路分别为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米．以l2，l1所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝ax2＋b(其中a，b为常数)模型．(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于点P，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．[解](1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)．将其分别代入y＝ax2＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧a 25＋b ＝40，a 400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2，设公路l 交x 轴，y 轴分别为A ，B 两点，如图所示， 又y ′＝－2 000x3，则直线l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22 ＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5,20]．②设g (t )＝t 2＋4×106t4，t ∈[5,20]，则g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈[5,102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数； 当t ∈(102，20]时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数． 所以当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值， 所以g (t )min ＝300， 此时f (t )min ＝15 3.故当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为1 60元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．又根据题意知200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r >0，又由h >0可得r <53， 故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)，令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍去)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8.即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．1．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ax 2＋x －1ex.(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，－1)处的切线方程； (2)证明：当a ≥1时，f (x )＋e≥0. [解] (1)f ′(x )＝－ax 2＋2a －1x ＋2ex，f ′(0)＝2. 因此曲线y ＝f (x )在(0，－1)处的切线方程是2x －y －1＝0. (2)当a ≥1时，f (x )＋e≥(x 2＋x －1＋e x ＋1)e －x.令g (x )＝x 2＋x －1＋ex ＋1，则g ′(x )＝2x ＋1＋e x ＋1.当x <－1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >－1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以g (x )≥g (－1)＝0.因此f (x )＋e≥0.2．(2015·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e 2x－a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a x(x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点； 当a >0时，设u (x )＝e 2x，v (x )＝－a x，因为u (x )＝e 2x在(0，＋∞)上单调递增，v (x )＝－a x在(0，＋∞)上单调递增， 所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点．(2)证明：由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)．由于2e2x 0－ax 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。
2012高考数学文一轮复习(北师大)精品学案12导数的应用
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(3)解法一:由题意知ex-a≤0在(-∞,0］上恒成立. ∴a≥ex在(-∞,0］上恒成立. ∵ex在(-∞,0］上为增函数. ∴x=0时,ex最大为1.∴a≥1. 同理可知ex-a≥0在［0,+∞)上恒成立. ∴a≤ex在［0,+∞)上恒成立. ∴a≤1,∴a=1. 解法二:由题意知,x=0为f(x)的极小值点. ∴f′(0)=0,即e0-a=0,∴a=1.
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(1)函数极值的定义 ①已知函数y=f(x),设x0是定义域(a,b)内任一点,如 果对x0附近的所有点x,都有f(x)<f(x0),则称函数f(x)在点 x0处取 极大值 ,记作 y极大=f(x0) .并把x0称为函数f(x) 的一个 极大值点 . ②如果在x0附近都有f(x)>f(x0),则称函数f(x)在点x0 处取 极小值 ,记作 y极小=f(x0) .并把x0称为函数f(x) 的一个 极小值点 . ③极大值与极小值统称为 极值 . 极大值点 与 极小值点 统称为极值点.
∵x∈［0,1］,则只考虑x= a的情况.
如下表所示:
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x
0 (0, a ) a ( a ,)
f′(x)
+
0
-
f(x)
↗
2a a ↘
(1)0＜ a＜1，即0＜a＜1，当x= a 时,f(x)有最大值 f( a )=2a a .
(2) a ≥1，即a≥1，当x=1时,f(x)有最大值f(1)=3a-1. 综上,当a≤0,x=0时，f(x)有最大值0;
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f′(x)=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a), 令f′(x)=0，解得x= 或a x=a.
2012届高考数学一轮复习 2-11导数的应用课件 理 北师大版
a a2 即当 x＝－ 时， f ′(x)取得最小值－ 9－ . 3 3 a2 ∴－ 9－ ＝－ 12，即 a2＝ 9. 3 解得 a＝ ± 3.由题设 a<0，得 a＝－ 3.
(2) 由(1)知a＝－3，因此 f(x) ＝x3－3x2－ 9x－1， f ′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)． 令f ′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 当x∈(－∞，－1)时，f ′(x)>0， 故 f(x)在(－∞，－1)上为增函数； 当x∈(－1,3)时，f ′(x)<0， 故 f(x)在(－1,3)上为减函数；
三基强化 1．函数y＝x3－3x的单调递减区间是( ) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－1,1) D ． ( － ∞ ，－ 1) ， (1 ， ＋∞) 解析：∵y′＝3x2－3，∴由3x2－3<0，得－ 1<x<1. 答案：C
2．函数 f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞) 上是增函数，则实数a的取值范围是( ) A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞) C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3) 解析：∵ f(x) ＝ x3 ＋ ax － 2 在 (1 ，＋ ∞ ) 上 是增函数， ∴f ′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立． 即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立． 又∵在(1，＋∞)上－3x2<－3，∴a≥－3. 答案：B
(4)确定f ′(x)在各个开区间内的符号，根据f ′(x) 的符号判定函数 f(x) 在每个相应小开区间 内的增减性． 2．证明可导函数 f(x)在(a，b)内的单调性 的步骤 (1)求 f ′(x)． (2)确认 f ′(x)在(a，b)内的符号． (3)作出结论： f ′(x)>0时 f(x)为增函数； f ′(x)<0时 f(x)为减函数．
2012届高考理科数学第一轮总复习导数及其应用教案
2012届高考理科数学第一轮总复习导数及其应用教案第三导数及其应用高考导航考试要求重难点击命题展望1导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景；(2)理解导数的几何意义2导数的运算(1)能根据导数定义，求函数＝(为常数)，＝x，＝x2，＝x3，＝，＝的导数；(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数3导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；(2)了解函数在某点取得极值的必要条和充分条；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)4生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题定积分与微积分基本定理(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；(2)了解微积分基本定理的含义本重点：1导数的概念；2利用导数求切线的斜率；3利用导数判断函数单调性或求单调区间；4利用导数求极值或最值；利用导数求实际问题最优解本难点：导数的综合应用导数与定积分是微积分的核心概念之一，也是中学选学内容中较为重要的知识之一由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数、数列问题提供了更一般、更有效的方法因此，本知识在高考题中常在函数、数列等有关最值不等式问题中有所体现，既考查数形结合思想，分类讨论思想，也考查学生灵活运用所学知识和方法的能力考题可能以选择题或填空题的形式考查导数与定积分的基本运算与简单的几何意义，而以解答题的形式综合考查学生的分析问题和解决问题的能力知识网络3 1导数的概念与运算典例精析题型一导数的概念【例1】已知函数f(x)＝2ln 3x＋8x，求f(1－2Δx)－f(1)Δx的值【解析】由导数的定义知：f(1－2Δx)－f(1)Δx＝－2 f(1－2Δx)－f(1)－2Δx＝－2f′(1)＝－20【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx→0时，平均变化率ΔΔx的极限【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量()与时间t(in)的函数关系可以近似地表示为f(t)＝t2100，则在时刻t＝10 in的降雨强度为()A1 /inB14 /in12 /inD1 /in【解析】选A题型二求导函数【例2】求下列函数的导数(1)＝ln(x＋1＋x2)；(2)＝(x2－2x＋3)e2x；(3)＝3x1－x【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则(1)′＝1x＋1＋x2(x＋1＋x2)′＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2(2)′＝(2x－2)e2x＋2(x2－2x＋3)e2x＝2(x2－x＋2)e2x(3)′＝13(x1－x 1－x＋x(1－x)2＝13(x1－x 1(1－x)2＝13x (1－x)【变式训练2】如下图，函数f(x)的图象是折线段AB，其中A、B、的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝；f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(用数字作答)【解析】f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2，由导数定义f(1＋Δx)－f(1)Δx＝f′(1)当0≤x≤2时，f(x)＝4－2x，f′(x)＝－2，f′(1)＝－2题型三利用导数求切线的斜率【例3】已知曲线：＝x3－3x2＋2x，直线l：＝x，且l与切于点P(x0，0) (x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标【解析】由l过原点，知＝0x0 (x0≠0)，又点P(x0，0) 在曲线上，0＝x30－3x20＋2x0，所以0x0＝x20－3x0＋2而′＝3x2－6x＋2，＝3x20－6x0＋2又＝0x0，所以3x20－6x0＋2＝x20－3x0＋2，其中x0≠0，解得x0＝32所以0＝－38，所以＝0x0＝－14，所以直线l的方程为＝－14x，切点坐标为(32，－38)【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数列方程，即可求得切点的坐标【变式训练3】若函数＝x3－3x＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程【解析】设切点为P(x0，0)，则由′＝3x2－3得切线的斜率为＝3x20－3所以函数＝x3－3x＋4在P(x0，0)处的切线方程为－0＝(3x20－3)(x－x0)又切线经过点(－2,2)，得2－0＝(3x20－3)(－2－x0)，①而切点在曲线上，得0＝x30－3x0＋4，②由①②解得x0＝1或x0＝－2则切线方程为＝2 或9x－＋20＝0总结提高1函数＝f(x)在x＝x0处的导数通常有以下两种求法：(1) 导数的定义，即求ΔΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx的值；(2)先求导函数f′(x)，再将x＝x0的值代入，即得f′(x0)的值2求＝f(x)的导函数的几种方法：(1)利用常见函数的导数公式；(2)利用四则运算的导数公式；(3)利用复合函数的求导方法3导数的几何意义：函数＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，就是函数＝f(x)的曲线在点P(x0，0)处的切线的斜率导数的应用(一)典例精析题型一求函数f(x)的单调区间【例1】已知函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)，求函数f(x)的单调区间【解析】函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)的定义域是(1，＋∞)f′(x)＝2x－a－ax－1＝2x(x－a＋22)x－1，①若a≤0，则a＋22≤1，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)②若a＞0，则a＋22＞1，故当x∈(1，a＋22]时，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1≤0；当x∈[a＋22，＋∞)时，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1≥0，所以a＞0时，f(x)的减区间为(1，a＋22]，f(x)的增区间为[a＋22，＋∞)【点拨】在定义域x＞1下，为了判定f′(x)符号，必须讨论实数a＋22与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键【变式训练1】已知函数f(x)＝x2＋ln x－ax在(0,1)上是增函数，求a 的取值范围【解析】因为f′(x)＝2x＋1x－a，f(x)在(0,1)上是增函数，所以2x＋1x－a≥0在(0,1)上恒成立，即a≤2x＋1x恒成立又2x＋1x≥22(当且仅当x＝22时，取等号)所以a≤22，故a的取值范围为(－∞，22]【点拨】当f(x)在区间(a，b)上是增函数时ͤf′(x)≥0在(a，b)上恒成立；同样，当函数f(x)在区间(a，b)上为减函数时ͤf′(x)≤0在(a，b)上恒成立然后就要根据不等式恒成立的条求参数的取值范围了题型二求函数的极值【例2】已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1(1)试求常数a，b，的值；(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋因为x＝±1是函数f(x)的极值点，所以x＝±1是方程f′(x)＝0，即3ax2＋2bx＋＝0的两根由根与系数的关系，得又f(1)＝－1，所以a＋b＋＝－1 ③由①②③解得a＝12，b＝0，＝－32(2)由(1)得f(x)＝12x3－32x，所以当f′(x)＝32x2－32＞0时，有x＜－1或x＞1；当f′(x)＝32x2－32＜0时，有－1＜x＜1所以函数f(x)＝12x3－32x在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数所以当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1【点拨】求函数的极值应先求导数对于多项式函数f(x)讲，f(x)在点x＝x0处取极值的必要条是f′(x)＝0但是，当x0满足f′(x0)＝0时，f(x)在点x＝x0处却未必取得极值，只有在x0的两侧f(x)的导数异号时，x0才是f(x)的极值点并且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f′(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值【变式训练2】定义在R上的函数＝f(x)，满足f(3－x)＝f(x)，(x－32)f′(x)＜0，若x1＜x2，且x1＋x2＞3，则有()A f(x1)＜f(x2)B f(x1)＞f(x2)f(x1)＝f(x2)D不确定【解析】由f(3－x)＝f(x)可得f[3－(x＋32)]＝f(x＋32)，即f(32－x)＝f(x＋32)，所以函数f(x)的图象关于x＝32对称又因为(x－32)f′(x)＜0，所以当x＞32时，函数f(x)单调递减，当x＜32时，函数f(x)单调递增当x1＋x22＝32时，f(x1)＝f(x2)，因为x1＋x2＞3，所以x1＋x22＞32，相当于x1，x2的中点向右偏离对称轴，所以f(x1)＞f(x2)故选B题型三求函数的最值【例3】求函数f(x)＝ln(1＋x)－14x2在区间[0,2]上的最大值和最小值【解析】f′(x)＝11＋x－12x，令11＋x－12x＝0，化简为x2＋x－2＝0，解得x1＝－2或x2＝1，其中x1＝－2舍去又由f′(x)＝11＋x－12x＞0，且x∈[0,2]，得知函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，同理，得知函数f(x)的单调递减区间是(1,2)，所以f(1)＝ln 2－14为函数f(x)的极大值又因为f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1＞0，f(1)＞f(2)，所以，f(0)＝0为函数f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)＝ln 2－14为函数f(x)在[0,2]上的最大值【点拨】求函数f(x)在某闭区间[a，b]上的最值，首先需求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后，将f(x)的各个极值与f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较，才能得出函数f(x)在[a，b]上的最值【变式训练3】(2008江苏)f(x)＝ax3－3x＋1对x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝【解析】若x＝0，则无论a为何值，f(x)≥0恒成立当x∈(0,1]时，f(x)≥0可以化为a≥3x2－1x3，设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝3(1－2x)x4，x∈(0，12)时，g′(x)＞0，x∈(12，1]时，g′(x)＜0因此g(x)ax＝g(12)＝4，所以a≥4当x∈[－1,0)时，f(x)≥0可以化为a≤3x2－1x3，此时g′(x)＝3(1－2x)x4＞0，g(x)in＝g(－1)＝4，所以a≤4综上可知，a＝4总结提高1求函数单调区间的步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域D；(2)求导数f′(x)；(3)根据f′(x)＞0，且x∈D，求得函数f(x)的单调递增区间；根据f′(x)＜0，且x∈D，求得函数f(x)的单调递减区间2求函数极值的步骤是：(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)判断f′(x)在方程根左右的值的符号，确定f(x)在这个根处取极大值还是取极小值3求函数最值的步骤是：先求f(x)在(a，b)内的极值；再将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值33导数的应用(二)典例精析题型一利用导数证明不等式【例1】已知函数f(x)＝12x2＋ln x(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的值域；(2)求证：x＞1时，f(x)＜23x3【解析】(1)由已知f′(x)＝x＋1x，当x∈[1，e]时，f′(x)＞0，因此f(x)在[1，e]上为增函数故f(x)ax＝f(e)＝e22＋1，f(x)in＝f(1)＝12，因而f(x)在区间[1，e]上的值域为[12，e22＋1](2)证明：令F(x)＝f(x)－23x3＝－23x3＋12x2＋ln x，则F′(x)＝x＋1x －2x2＝(1－x)(1＋x＋2x2)x，因为x＞1，所以F′(x)＜0，故F(x)在(1，＋∞)上为减函数又F(1)＝－16＜0，故x＞1时，F(x)＜0恒成立，即f(x)＜23x3【点拨】有关“超越性不等式”的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法【变式训练1】已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时()Af′(x)＞0，g′(x)＞0Bf′(x)＞0，g′(x)＜0f′(x)＜0，g′(x)＞0Df′(x)＜0，g′(x)＜0【解析】选B题型二优化问题【例2】(2009湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为26万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余下工程的费用为万元(1)试写出关于x的函数关系式；(2)当＝640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？【解析】(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝，即n＝x－1所以＝f(x)＝26n＋(n＋1)(2＋x)x＝26(x－1)＋x(2＋x)x＝26x＋x＋2－26(2)由(1)知f′(x)＝－26x2＋12x ＝2x2(x －12)令f′(x)＝0，得x ＝12所以x＝64当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增函数所以f(x)在x＝64处取得最小值此时n＝x－1＝64064－1＝9故需新建9个桥墩才能使最小【变式训练2】(2010上海)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用96米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到001平方米)【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，则由已知可得4(4r＋2h)＝96，所以2r＋h＝12S＝24πr－3πr2，h＝12－2r＞0，所以r＜06所以S＝24πr－3πr2(0＜r＜06)令f(r)＝24πr－3πr2，则f′(r)＝2 4π－6πr令f′(r)＝0得r＝04所以当0＜r＜04，f′(r)＞0；当04＜r＜06，f′(r)＜0所以r＝04时S最大，Sax＝11题型三导数与函数零点问题【例3】设函数f(x)＝13x3－x2＋(2－4)x，x∈R(1)当＝3时，求曲线＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β若对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，求实数的取值范围【解析】(1)当＝3时，f(x)＝13x3－3x2＋x，f′(x)＝x2－6x＋因为f(2)＝23，f′(2)＝－3，所以切点坐标为(2，23)，切线的斜率为－3，则所求的切线方程为－23＝－3(x－2)，即9x＋3－20＝0(2)f′(x)＝x2－2x＋(2－4)令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝＋2当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，－2)上是增函数；当x∈(－2，＋2)时，f′(x)＜0，f(x)在(－2，＋2)上是减函数；当x∈(＋2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(＋2，＋∞)上是增函数因为函数f(x)有三个互不相同的零点0，α，β，且f(x)＝13x[x2－3x ＋3(2－4)]，所以解得∈(－4，－2)∪(－2,2)∪(2,4)当∈(－4，－2)时，－2＜＋2＜0，所以α＜－2＜β＜＋2＜0此时f(α)＝0，f(1)＞f(0)＝0，与题意不合，故舍去当∈(－2,2)时，－2＜0＜＋2，所以α＜－2＜0＜＋2＜β因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值因为当x＝＋2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，所以＋2＝1，即＝－1当∈(2,4)时，0＜－2＜＋2，所以0＜－2＜α＜＋2＜β因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值因为当x＝＋2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，所以＋2＝1，即＝－1(舍去)综上可知，的取值范围是{－1}【变式训练3】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[2，e]上有两个不等解，求a的取值范围【解析】(1)当a＞0时，F(x)的递增区间为(1a，＋∞)，递减区间为(0，1a)；当a≤0时，F(x)的递减区间为(0，＋∞)(2)[12ln 2，1e)总结提高在应用导数处理方程、不等式有关问题时，首先应熟练地将方程、不等式问题直接转化为函数问题，再利用导数确定函数单调性、极值或最值34定积分与微积分基本定理典例精析题型一求常见函数的定积分【例1】计算下列定积分的值(1) (x－1)dx；(2) (x＋sin x)dx【解析】(1)因为[16(x－1)6]′＝(x－1)，所以(x－1)dx＝＝16(2)因为(x22－s x)′＝x＋sin x，所以(x＋sin x)dx＝＝π28＋1【点拨】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值；(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分；(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：①若f(x)是偶函数时，则f(x)dx＝2 f(x)dx；②若f(x)是奇函数时，则f(x)dx＝0【变式训练1】求(3x3＋4sin x)dx【解析】(3x3＋4sin x)dx表示直线x＝－，x＝，＝0和曲线＝3x3＋4sin x所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号又f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)＝－(3x3＋4sin x)＝－f(x)所以f(x)＝3x3＋4sin x在[－,]上是奇函数，所以(3x3＋4sin x)dx＝－(3x3＋4sin x)dx，所以(3x3＋4sin x)dx＝(3x3＋4sin x)dx＋(3x3＋4sin x)dx＝0题型二利用定积分计算曲边梯形的面积【例2】求抛物线2＝2x与直线＝4－x所围成的平面图形的面积【解析】方法一：如图，由得交点A(2,2)，B(8，－4)，则S＝[2x－(－2x)]dx＋[4－x－(－2x)]dx＝＋＝163＋383＝18方法二：S＝[(4－)－22]d＝＝18【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以为积分变量时，应注意将曲线方程变为x＝φ()的形式，同时，积分上、下限必须对应的取值【变式训练2】设是一个正整数，(1＋x)的展开式中x3的系数为116，则函数＝x2与＝x－3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为【解析】Tr＋1＝r(x)r，令r＝3，得x3的系数为313＝116，解得＝4由得函数＝x2与＝4x－3的图象的交点的横坐标分别为1,3所以阴影部分的面积为S＝(4x－3－x2)dx＝(2x2－3x－＝43题型三定积分在物理中的应用【例3】(1) 变速直线运动的物体的速度为v (t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置；(2)一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x＝0运动到x＝a时阻力所做的功【解析】(1)当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时，v(t)≤0，所以前2秒内所走过的路程为s＝v(t)dt＋(－v(t))dt＝(1－t2)dt＋(t2－1)dt= ＋＝22秒末所在的位置为x1＝x0＋v(t)dt＝1＋(1－t2)dt＝13所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x1＝13 (2) 物体的速度为v＝(bt3)′＝3bt2媒质阻力F阻＝v2＝(3bt2)2＝9b2t4，其中为比例常数，且＞0当x＝0时，t＝0；当x＝a时，t＝t1＝(ab) ，又ds＝vdt，故阻力所做的功为阻＝ds ＝v2•vdt＝v3dt＝(3bt 2)3dt＝277b3t71 ＝2773a7b2【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v(t)＝a(t)dt，s(t)＝v(t)dt 和＝F(x)dx这三个公式【变式训练3】定义F(x，)＝(1＋x)，x，∈(0，＋∞)令函数f(x)＝F[1，lg2(x2－4x＋9)]的图象为曲线1，曲线1与轴交于点A(0，)，过坐标原点向曲线1作切线，切点为B(n，t)(n＞0)，设曲线1在点A，B之间的曲线段与线段A，B所围成图形的面积为S，求S的值【解析】因为F(x，)＝(1＋x)，所以f(x)＝F(1，lg2(x2－4x＋9))＝＝x2－4x＋9，故A(0,9)，又过坐标原点向曲线1作切线，切点为B(n，t)(n＞0)，f′(x)＝2x－4所以解得B(3,6)，所以S＝(x2－4x＋9－2x)dx＝(x33－3x2＋9x) =9总结提高1定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数2定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理3利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；（4）计算定积分，写出答案。
2012届高三数学一轮复习基础导航 4.2导数在研究函数中的应用.
4.2导数在研究函数中的应用【考纲要求】1、导数在研究函数中的应用① 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.② 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 2、生活中的优化问题.会利用导数解决某些实际问题.. 【基础知识】1、用导数研究函数的单调性 （1）用导数证明函数的单调性 证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内'()f x ≥（≤）0 （2）用导数求函数的单调区间求函数的定义域D →求导'()f x →解不等式'()f x ＞()<0得解集P →求DP ,得函数的单调递增（减）区间。
一般地，函数()f x 在某个区间可导 ，'()f x ＞0 ⇒ ()f x 在这个区间是增函数 一般地，函数()f x 在某个区间可导 ，'()f x ＜0 ⇒ ()f x 在这个区间是减函数 （3）单调性的应用一般地，函数()f x 在某个区间可导，()f x 在这个区间是增(减)函数⇒ '()f x ≥()≤0 温馨提示：①求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式'()f x ＞ （＜)0（不要带等号），最后求二者的交集，把它写成区间。
②已知函数的增（减）区间，应得到'()f x ≥（≤）0，必须要带上等号。
③求函数的单调增（减）区间，要解不等式'()f x ＞()<0，此处不能带上等号。
④单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间， 不要写成闭区间；如果一种区间有多个，中间不能用“”连接。
2、求函数的极值（1）设函数)(x f y =在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的值都大（小），则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极大（小）值。
2012届高考数学一轮复习第二章 函数、导数及其应用
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－
3，求a，b的值； (2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．
解：(1)由函数f(x)的图象过原点，得b＝0.
又f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)，
f(x)在原点处的切线斜率是－3， 则－a(a＋2)＝－3，所以a＝－3或a＝1.
(2)法一：(数形结合法) 要讨论 y＝f(x)在(－1,1)内极值点的个数，即讨论 f′(x)＝0 在 (－1,1)内变号零点的个数． ∵f′(x)＝2x2－4ax－3，
f′－1≤0. 若 f′1≤0，
1 1 即－ ≤a≤ 时，函数 f(x)在(－1,1)上为减函数， 4 4
考点二
函数的极值与最值
(2010· 重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋ bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值 与最小值．
[自主解答]
(1)由题意得 f′(x)＝3ax2＋2x＋b.因此 g(x)＝f(x)
4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与
最小值分别为M，m，则M－m＝________.
解析：由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2， 且f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所 以M＝24，m＝－8，M－m＝32.
答案：32
|t＋1|＝2， f(－ 2)＝ f(1)＝ |t ＋ 1| ， f(－ 1)＝ |t － 3|， 所 以 |t－3|≤2 |t＋1|≤2， |t－3|＝2
2012版高三数学一轮精品复习学案：2.6函数应用《函数与方程和函数模型及其应用》
2012版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用第六节函数应用【高考目标导航】一、函数与方程1、考纲点击（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。
2、热点提示（1）函数与方程的零点、二分法是新课标的新增内容，在近年的高考中一定有所体现。
（2）本节内容多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，不排除与其他知识，在知识交汇处命题。
二、函数模型及其应用1、考纲点击（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。
2、热点提示（1）函数的模型及其应用是考查重点。
（2）现实生活中的生产经营、环境保护、工程建设等热点问题中的增长、减少问题，一次函数、二次函数、指数函数、对数函数模型等问题是重点，也是难点，主要考查建模能力及分析问题和解决问题的能力。
（3）题型方面选择题、填空题及解答题都有所体现，但以解答题为主。
【考纲知识梳理】一、函数与方程1、函数的零点（1）函数零点的定义对于函数()()y f x x D=∈，把使()0f x=成立的实数x叫做函数()()y f x x D=∈的零点。
（2）几个等价关系方程()0f x=有实数根⇔函数()()y f x x D=∈的图象与x轴有交点⇔函数()()y f x x D=∈有零点注：①函数的零点不是函数()()y f x x D=∈与x轴的交点，而是()()y f x x D=∈与x轴的交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数。
②并非任意函数都有零点，只有()0f x =有根的函数()()y f x x D =∈才有零点。
（3）函数零点的判定（零点存在性定理） 如果函数()()y f x x D =∈在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b < ，那么函数()()y f x x D =∈在区间（a,b ）内有零点，即存在c ∈（a,b ），使得f(c)=0，这个c 也就是()0f x =的根注：在上面的条件下，（a,b ）内的零点至少有一个c ，还可能有其他根，个数不确定。
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2012版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用【知识特点】1．函数、导数及其应用是高中数学的重要内容，本章主要包括函数的概念及其性质，基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数），导数的概念，导数及其几何意义，导数与函数的单调性、最值，导数在实际问题中的应用等内容。
2．本章内容集中体现了函数与方程、数形结合、分类讨论的思想方法，函数的类型较多，概念、公式较多，具有较强的综合性。
【重点关注】1．函数的概念及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）是高考考查的主要内容，函数的定义域、解析式、值域是高考考查重点，函数性质的综合考查在历年考试中久考不衰，应重点研究。
2．函数的图象及其变换既是高考考查的重点，又是学生学习的一个难点，应注意区分各函数的图象及图象的变换，利用图象来研究性质。
3．导数的几何意义，导数在函数的最值及单调性方面的应用是高中数学的一个重点内容，也是高等数学的必修内容，是近几年高考的一大热点，复习时应引起足够的重视。
4．注意思想方法的应用。
数形结合思想、函数与方程的思想、分类讨论思想在各种题型中均有体现，应引起重视。
【地位与作用】一、函数在高考中的地位与作用从2009年、2010年和2011年的全国各地的高考试题中可以看出，近几年高考在函数中的考查有如下特点：1、知识点的考查情况①映射与函数：以考查概念与运算为主，部分涉及新定义运算；②定义域、值域、解析式是考查的重点，而且比较稳定，有时结合其它知识点（一本部分内容为背景），分段函数较多、花样翻新；③函数的单调性在历年考试中久考不衰，且比例有上升趋势，和导函数联系较多；④函数的奇偶性主要和单调性、不等式、最值、三角函数等综合，与周期性、对称性、抽象函数等问题联系较多；⑤反函数出现在选择题、填空题中，考反函数概念运算可能性较大，若出现在解答题中，则必定与单调性、奇偶性、不等式、导函数等知识综合，难度较大；⑥二次函数问题是每年的必考题，一方面直接考查二次函数，另一方面是利用二次函数的性质解题，三个“二次”问题（即二次函数、二次方程、二次不等式）是函数考试题中永恒的主题⑦指数函数与对数函数以基本概念、性质为主设计试题，考查指数、对数的定义域、值域、单调性和运算，选择、填空题属中等难度，若解答题涉及到指、对数函数，往往难度会上升；⑧函数的图像与最值每年必考，体现“形是数的直观反映，数是形的抽象概括”，是数学思想方法中的数相结合思想的最直接的表现形式，尤其是函数y=x+a/x（a＞0）的图像和性质，从未间断过；⑨函数应用题与综合应用题是最能体现考生函数水平的试题：一次函数、二次函数、y=x+a/x（a＞0）型、指数型、对数型与现实生活相结合，考查学生的建模能力，而函数与数列、不等式、导函数等众多知识的交汇已经成为函数综合应用中的典型问题。
2、常考题型及分值情况函数在选择、填空、解答三种题型中每年都有考题，所占分值30分以上，占全卷的20%以上。
在高考中占有重要地位。
3、命题热点及生长点情况近年来有关函数内容的高考命题趋势是：①全方位. 近几年来的高考题中，函数的所有知识点都考过，虽然近几年不强调知识点的覆盖率，但每一年函数知识点的覆盖率依然没有减少。
②多层次. 在每年的高考题中，函数题抵挡、中档、高档难度都有，且选择、填空、解答题题型齐全。
抵挡难度一般仅涉及函数本身的内容，诸如定义域、值域、单调性、周期性、图像、反函数，且对能力的要求不高；中、高档难度题多为综合程度较大的问题，或者是函数与其它知识结合，或者是多种方法的渗透。
③巧综合. 为了突出函数在中学中的主要地位，近几年来高考强化了函数对其它知识的渗透，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力的综合程度。
④变角度. 出于“立意”和创新情况的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新。
重视函数思想的考查，加大了函数应用题、探索题和信息题的考查力度，从而使函数考题显得新颖、生动、灵活。
二、导数在高考中的地位与作用导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。
在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2010年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）2010年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。
定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际问题中非常广泛，因而07年的高考预测会在这方面考察，预测2010年高考呈现以下几个特点：（1）注意基本概念、基本性质、基本公式的考察及简单的应用；高考中本讲的题目一般为选择题、填空题，考查定积分的基本概念及简单运算，属于中低档题；（2）定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型第一节、函数及其表示 【高考目标导航】 一、考纲点击1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。
3．了解简单的分段函数，并能简单应用。
二、热点、难点提示1．函数的概念、表示方法、分段函数是近几年高考的热点； 2．函数的概念、三要素、分段函数等问题是重点，也是难点；3．题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题的形式出现。
【考纲知识梳理】 一、函数与映射的概念函数 映射 两集合 设A B 、是两个非空数集 设A B 、是两个非空集合对应关系 :f A B → 如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应。
如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应。
名称称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射记法()y f x =，x A ∈对应:f A B →是一个映射注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。
二、函数的其他有关概念 （1）函数的定义域、值域在函数()y f x =，x A ∈中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值{()|}f x x A ∈的集合叫做函数的值域 （2）一个函数的构成要素 定义域、值域和对应关系 （3）相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。
注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。
如果函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx与y=cosx，其定义域为R，值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。
因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系）（4）函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。
（5）分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。
【要点名师透析】一、求函数的定义域1、确定函数的定义域的原则（1）当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合;（2）当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数的集合；（3）当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合；（4）当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。
2、确定函数定义域的依据（1）若f(x)是整式，则定义域为全体实数；（2）若f(x)是分式，则定义域为使分式的分母不为零的x取值的集合；（3）当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负的x取值的集合；（4）当f(x)是非正数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x取值的集合；（5）若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f(g(x))定义域由不等式a≤g(x)≤b解出;(6)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域。
3、例题解析〖例1〗(1)函数的定义域为( )(A)［-4,1］(B)［-4,0)(C)(0,1］(D)［-4,0)∪(0,1］(2)已知函数f(2x+1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域.解析：(1)本题是判断函数的定义域，实际上是求使函数解析式有意义的x的集合，先列出不等式(组)，然后再解不等式(组)，求出解集；(2)注意在对应法则f下，函数f(2x+1)中2x+1 的范围与函数f(x)中x的范围相同.解答：(1)选D.要使有意义，则有：x≠0-x2-3x+4≥0 ，解得：-4≤x＜0或0＜x≤1.所以所求函数的定义域为［-4，0)∪(0，1］.(2)∵函数f(2x+1)的定义域为(0,1)，∴1＜2x+1＜3,∴f(x)的定义域为(1,3).【规律方法】求函数定义域的方法(1)求具体函数y=f(x)的定义域：(2)求抽象函数的定义域：①若已知函数f(x)的定义域为［a,b ］，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 求出. ②若已知函数f(g(x))的定义域为［a,b ］，则f(x)的定义域为g(x)在x ∈［a,b ］时的值域. 提醒：定义域必须写成集合或区间的形式.〖例2〗设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ A ）A.),3()1,3(+∞⋃-B.),2()1,3(+∞⋃-C.),3()1,1(+∞⋃-D.)3,1()3,(⋃--∞解析 由已知，函数先增后减再增 当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x 。
当0<x ，3,36-==+x x故3)1()(=>f x f ，解得313><<-x x 或【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用以及一元二次不等式的求解 〖例3〗试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x （3）f （x ）=1212++n n x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1（n ∈N*）； （4）f （x ）=x1+x ，g （x ）=x x +2；（5）f （x ）=x2－2x －1，g （t ）=t2－2t －1。