汕头市金平区九年级上期末数学测试卷(含答案)

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精选汕头市金平区九年级上期末数学测试卷(含答案)

2019-2020学年广东省汕头市金平区九年级（上）期末测试数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）已知x=1是方程x2+px+1=0的一个实数根，则p的值是（）A．0 B．1 C．2 D．﹣22．（3分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）反比例函数y=﹣的图象在（）A．第二、四象限B．第一、三象限C．第一、二象限D．第三、四象限4．（3分）下列事件为必然事件的是（）A．打开电视机，它正在播广告B．六边形的外角和是360°C．明天太阳从西方升起D．抛掷一枚硬币，一定正面朝上5．（3分）正方形的边长为2，则正方形外接圆的半径是（）A．1 B．C．D．26．（3分）m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2016的值为（）A．2013 B．2016 C．2017 D．20187．（3分）若将半径为6cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm8．（3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（）A．18°B．36°C．54°D．72°9．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2070张照片．如果全班各有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x﹣1）=2070 B．x（x﹣1）=2070×2 C．x（x+1）=2070 D．2x（x+1）=2070 10．（3分）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac=0，②2a﹣b=0，③a+b+c＜0；④c﹣a=3，其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本题6小题，每题4分，共24分）11．（4分）方程（x﹣3）（x+2）=0的根是．12．（4分）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个白球、若干红球，从中随机摸取1个球，摸到红球的概率是，则这个袋子中有红球个．13．（4分）如图，已知桥拱形状为抛物线，其函数关系式为y=﹣x2，当水位线在AB位置时，水面的宽度为12m，这时水面离桥拱顶部的距离是．14．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度得矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为．15．（4分）如图，△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为（结果保留π）16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点B和CD边中点E，则k的值为．三、解答题一（本题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）解方程：x2﹣2x﹣3=0．18．（6分）某公司2016的年利润为250万元，该公司拓展业务，预计该公司2018年的年利润为360万元．求2016年至2018年该公司的年利润平均增长率．19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．（1）用直尺和圆规作⊙O，使圆心O在BC边，且⊙O经过A，B两点上（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AO，求证：AO平分∠CAB．四、解答题二（本题共3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）小王、小李在班里选拔赛中并列第一名，小王提议通过摸球的方式来决定谁代表班级参加学校数学竞赛，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于5，那么小王去参加，否则就是小李去参加．（1）用树状图或列表法求出小王去参加的概率；（2）小李说：“可以，这种规则公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．21．（7分）如图，足球场上守门员在O处开出一记手跑高球，球从地面1.4米的A处抛出（A 在y轴上），运动员甲在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面3.2米高，球落地点为C点．（1）求足球开始抛出到第一次落地时，该抛物线的解析式．（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？22．（7分）已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．（1）求证：PB=QC；（2）若PA=3，PB=4，∠APB=150°，求PC的长度．五、解答题三（本题共3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）如图，直线y=2x与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（4，n），AB⊥x轴，垂足为B．（1）求k的值；（2）点C在AB上，若OC=AC，求AC的长；（3）点D为x轴正半轴上一点，在（2）的条件下，若S△OCD =S△ACD，求点D的坐标．24．（9分）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AC与BD交于点E，且AE=AB．（1）DA=DB，求证：AB=CB；（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△FGC，点A经过的路径为，若AC=4，求图中阴影部分面积S；（3）在（2）的条件下，连接FB，求证：FB为⊙O的切线．25．（9分）已知直线y=x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B．（1）A点坐标，B点坐标，抛物线解析式；（2）点C（m，0）在线段OA上（点C不与A、O点重合），CD⊥OA交AB于点D，交抛物线于点E，若DE=AD，求m的值；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，在（2）的条件下，是否存在以点D、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020学年广东省汕头市金平区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）已知x=1是方程x2+px+1=0的一个实数根，则p的值是（）A．0 B．1 C．2 D．﹣2【解答】解：把x=1代入方程x2+px+1=0得：1+p+1=0，即p=﹣2，故选：D．2．（3分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．故选：C．3．（3分）反比例函数y=﹣的图象在（）A．第二、四象限B．第一、三象限C．第一、二象限D．第三、四象限【解答】解：反比例函数y=﹣的图形在：第二、四象限．故选：A．4．（3分）下列事件为必然事件的是（）A．打开电视机，它正在播广告B．六边形的外角和是360°C．明天太阳从西方升起D．抛掷一枚硬币，一定正面朝上【解答】解：A、是随机事件，故A不符合题意；B、是必然事件，故B符合题意；C、是不可能事件，故C不符合题意；D、是随机事件，故D不符合题意；故选：B．5．（3分）正方形的边长为2，则正方形外接圆的半径是（）A．1 B．C．D．2【解答】解：∵正方形的边长为2，由中心角只有四个可得出：=90°，∴中心角是：90°，正方形的外接圆半径是：sin∠AOC=，∵AC=，∠AOC=45°，∴OA=，故选：B．6．（3分）m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2016的值为（）A．2013 B．2016 C．2017 D．2018【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1=0的根，∴m2+m﹣1=0，∴m2+m=1，∴2m2+2m+2016=2（m2+m）+2016=2×1+2016=2018．故选：D．7．（3分）若将半径为6cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×6÷2=6π（cm），∴圆锥的底面半径为6π÷2π=3（cm），故选：C．8．（3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（）A．18°B．36°C．54°D．72°【解答】解：∵AB是直径，AB⊥CD，∴=，∴∠CAB=∠BAD=36°，∵∠BCD=∠BAD，∴∠BCD=36°，故选：B．9．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2070张照片．如果全班各有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x﹣1）=2070 B．x（x﹣1）=2070×2 C．x（x+1）=2070 D．2x（x+1）=2070【解答】解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x﹣1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=2070．故选：A．10．（3分）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac=0，②2a﹣b=0，③a+b+c＜0；④c﹣a=3，其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，故①错误；由于对称轴为x=﹣1，∴x=﹣3与x=1关于x=﹣1对称，∵x=﹣3时，y＜0，∴x=1时，y=a+b+c＜0，故③正确；∵对称轴为x=﹣=﹣1，∴2a﹣b=0，故②正确；∵顶点为B（﹣1，3），∴y=a﹣b+c=3，∴y=a﹣2a+c=3，即c﹣a=3，故④正确；故选：C．二、填空题（本题6小题，每题4分，共24分）11．（4分）方程（x﹣3）（x+2）=0的根是x=3或x=﹣2 ．【解答】解：∵（x﹣3）（x+2）=0．∴x﹣3=0或x+2=0，解得：x=3或x=﹣2，故答案为：x=3或x=﹣2．12．（4分）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个白球、若干红球，从中随机摸取1个球，摸到红球的概率是，则这个袋子中有红球 5 个．【解答】解：设这个袋子中有红球x个，∵摸到红球的概率是，∴=，∴x=5，故答案为：5．13．（4分）如图，已知桥拱形状为抛物线，其函数关系式为y=﹣x2，当水位线在AB位置时，水面的宽度为12m，这时水面离桥拱顶部的距离是9m ．【解答】解：根据题意，当x=6时，原式=﹣×62=﹣9，即水面离桥拱顶部的距离是9m，故答案为：9m．14．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度得矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为 2 ．【解答】解：由旋转的性质得到AB=AB′=10，在直角△AB′D中，∠D=90°，AD=6，AB′=AB=10，所以B′D==8，所以B′C=10﹣B′D=2．故答案是：2．15．（4分）如图，△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为π（结果保留π）【解答】解：连接OE、OF，∵AC=3，BC=4，∠C=90°，∴AB=5，∵⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，∴FB=DB，CE=CF，AD=AF，OE⊥BC，OF⊥AC，又∵∠C=90°，OF=OE，∴四边形ECFO为正方形，∴设OE=OF=CF=CE=x，∴BE=4﹣x，FA=3﹣x；∴DB=4﹣x，AD=3﹣x，∴3﹣x+4﹣x=5，解得：x=1，则⊙O的面积为：π．故答案为：π．16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点B和CD边中点E，则k的值为﹣4 ．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，∴AB=AD=2，设B（，2），∵E是CD边中点，∴E（﹣2，1），∴﹣2=k，解得：k=﹣4，故答案为：﹣4．三、解答题一（本题共3小题，每小题6分，共18分） 17．（6分）解方程：x 2﹣2x ﹣3=0．【解答】解：原方程可以变形为（x ﹣3）（x+1）=0 x ﹣3=0，x+1=0 ∴x 1=3，x 2=﹣1．18．（6分）某公司2016的年利润为250万元，该公司拓展业务，预计该公司2018年的年利润为360万元．求2016年至2018年该公司的年利润平均增长率．【解答】解：设这两年该企业年利润平均增长率为x ．根据题意得 250（1+x ）2=360，解得 x 1 =0.2=20%，x 2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）．答：这两年该企业年利润平均增长率为20%．19．（6分）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°．（1）用直尺和圆规作⊙O ，使圆心O 在BC 边，且⊙O 经过A ，B 两点上（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AO ，求证：A O 平分∠CAB ．【解答】（1）解：如图，⊙O 为所作；（2）证明：∵OA=OB，∴∠OAB=∠B=30°，而∠CAB=90°﹣∠B=60°，∴∠CAO=∠BAO=30°，∴OC平分∠CAB．四、解答题二（本题共3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）小王、小李在班里选拔赛中并列第一名，小王提议通过摸球的方式来决定谁代表班级参加学校数学竞赛，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于5，那么小王去参加，否则就是小李去参加．（1）用树状图或列表法求出小王去参加的概率；（2）小李说：“可以，这种规则公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．【解答】解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中摸出的球上的数字之和小于5的情况有6种，所以P（小王）==；（2）公平，理由如下：∵P（小王）=，P（小李）=，∴规则公平．21．（7分）如图，足球场上守门员在O 处开出一记手跑高球，球从地面1.4米的A 处抛出（A 在y 轴上），运动员甲在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面3.2米高，球落地点为C 点．（1）求足球开始抛出到第一次落地时，该抛物线的解析式．（2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a （x ﹣6）2+3.2，将点A （0，1.4）代入，得：36a+3.2=1.4，解得：a=﹣0.05，则抛物线的解析式为y=﹣0.05（x ﹣6）2+3.2；（2）当y=0时，﹣0.05（x ﹣6）2+3.2=0，解得：x 1=﹣2（舍），x 2=14，所以足球第一次落地点C 距守门员14米．22．（7分）已知，点P 是等边三角形△ABC 中一点，线段AP 绕点A 逆时针旋转60°到AQ ，连接PQ 、QC ．（1）求证：PB=QC ；（2）若PA=3，PB=4，∠APB=150°，求PC 的长度．【解答】（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，∴AP=AQ，∠PAQ=60°，∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，∴∠BAP=∠CAQ，在△BAP和△CAQ中，∴△BAP≌△CAQ（SAS），∴PB=QC；（2）解：∵由（1）得△APQ是等边三角形，∴AP=PQ=3，∠AQP=60°，∵∠APB=150°，∴∠PQC=150°﹣60°=90°，∵PB=QC，∴QC=4，∴△PQC是直角三角形，∴PC===5．五、解答题三（本题共3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）如图，直线y=2x与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（4，n），AB⊥x轴，垂足为B．（1）求k的值；（2）点C在AB上，若OC=AC，求AC的长；（3）点D为x轴正半轴上一点，在（2）的条件下，若S△OCD =S△ACD，求点D的坐标．【解答】解（1）∵直线y=2x与反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象交于点A（4，n），∴n=2×4=8，∴A（4，8），∴k=4×8=32，∴反比例函数为y=．（2）设AC=x，则OC=x，BC=8﹣x，由勾股定理得：OC2=OB2+BC2，∴x2=42+（8﹣x）2，x=5，∴AC=5；（3）设点D的坐标为（x，0）分两种情况：①当x＞4时，如图1，∵S△OCD =S△ACD，∴OD•BC=AC•BD，3x=5（x﹣4），x=10，②当0＜x＜4时，如图2，同理得：3x=5（4﹣x），x=，∴点D的坐标为（10，0）或（，0）．24．（9分）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AC与BD交于点E，且AE=AB．（1）DA=DB，求证：AB=CB；（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△FGC，点A经过的路径为，若AC=4，求图中阴影部分面积S；（3）在（2）的条件下，连接FB，求证：FB为⊙O的切线．【解答】（1）证明：如图1中，∵DA=DB，∴∠DAB=∠DBA，∵AE=AB，∴∠AEB=∠ABE，∴∠AEB=∠DAB，∴∠EAD+∠ADE=∠EAD+∠EAB，∴∠EAB=∠ADE，∵∠ADE=∠ACB，∴∠EAB=∠ACB，∴AB=BC．（2）如图2中，设AB的延长线交FG于M，连接CM，在BC上取一点N，使得CN=NM．∵△ABC是等腰直角三角形，AC=4，∴AB=BC=2，∵BC=CG，CM=CM，∴Rt△CBM≌Rt△CGM，∴∠MCB=∠MCG=15°，∵NC=NM，∴∠NCM=∠NMC=15°，∴∠MNB=30°，设BM=a，则MN=CN=2a，BN=a，∴2a+a=2，∴a=4﹣2，=2××BM×BC=（4﹣2）×=16﹣8．∴S（3）如图2﹣1中，连接OB、BF、作FH⊥AC于H．∵∠ACF=30°，∠FHC=90°，∴FH=CF=AC=OA=OB，∵BA=BC，OA=OC，∴BO⊥AC，∴FH∥OB，∴四边形OBFH是平行四边形，∵∠BOH=90°，∴四边形OBFH是矩形，∴∠OBF=90°，即OB⊥BF；∴BF是⊙O的切线．25．（9分）已知直线y=x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B．（1）A点坐标（﹣3，0），B点坐标（0，3），抛物线解析式y=﹣x2﹣2x+3 ；（2）点C（m，0）在线段OA上（点C不与A、O点重合），CD⊥OA交AB于点D，交抛物线于点E，若DE=AD，求m的值；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，在（2）的条件下，是否存在以点D、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当x=0时，y=3，∴B（0，3），当y=0时，x+3=0，x=﹣3，∴A（﹣3，0），把A（﹣3，0），B（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣2x+3，故答案为：（﹣3，0）；（0，3）；y=﹣x 2﹣2x+3；（2）∵CD ⊥OA ，C （m ，0），∴D （m ，m+3），E （m ，﹣m 2﹣2m+3），∴DE=（﹣m 2﹣2m+3）﹣（m+3）=﹣m 2﹣3m ，∵AC=m+3，CD=m+3，由勾股定理得：AD=（m+3），∵DE=AD ，∴﹣m 2﹣3m=2（m+3），m 2+5m+6=0，（m+3）（m+2）=0，m 1=﹣3（舍），m 2=﹣2；（3）存在，分两种情况：①以BC 为一边，如图1，设对称轴与x 轴交于点G ，∵C （﹣2，0），∴D （﹣2，1），E （﹣2，3），∴E 与B 关于对称轴对称，∴BE ∥x 轴，∵四边形DNMB 是平行四边形，∴BD=MN ，BD ∥MN ，∵∠DEB=∠NGM=90°，∠EDB=∠GNM ，∴△EDB ≌△GNM ，∴NG=ED=2，∴N （﹣1，﹣2）；②当BD 为对角线时，如图2，M 在抛物线的顶点，N 是对称轴与x 轴的交点，此时四边形BMDN 是平行四边形，此时N（﹣1，0）；综上所述，点N的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，0）．。

广东省汕头市金平区2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题(含答案)

广东省汕头市金平区2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写准考证号、姓名、学生考号，再用2B 铅笔把学生考号的对应数字涂黑.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应答案选项涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再重新选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑.1.已知是方程的一个实数根，那么m 的值是（）2x =220x mx -+=A.0B.1C.2D.32.画圆时圆规两脚间可叉开的距离是圆的（）A.周长B.直径C.半径D.面积3.下列图形中，中心对称图形的是（）A.B. C. D.4.已知反比例函数（）的图象经过点，那么下列四个点中，在这个函数ky x=0k ≠()2,4-图象上的是（）A. B. C. D.()1,8()2,4-()1,8--()2,4--5.将抛物线如何平移就可得到抛物线（）22y x =()2232y x =--A.向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度D.向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度6.随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（）A.B.C.D.141312347.如图，AB 为的直径，点C ，D 在上，若，则的度数为O O 130ADC =︒∠BAC ∠（）A.30°B.35°C.40°D.50°8.若关于x 的一元二次方程有实数根，则实数m 的取值范围是（）220x x m ++=A. B. C. D.1m <1m ≤1m >1m ≥9.若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是180°，该扇形的半径是12cm ，则圆锥底面圆的半径是（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm10.已知，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）0a ≠a y x=2y ax a =-+A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是______.()4,3M -M '12.任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，则朝上的点数是奇数的概率是______.13.若关于x 的方程的两根为、，则______.230x x +=1x 2x 12x x =14.的圆形贴片上剪出一个圆心角为90°的扇形，那么这个扇形的面积为______.（结果保留π）15.抛物线的顶点为P 在y 轴上，______.()27232y x b x b =+-+-OP =16.如图，在中，，.顶点在双曲线（）11OA B △111OA A B =1190OA B ∠=︒1A 14y x=0x >上，点的坐标为.过作交双曲线于点，过作交x 轴于1B ()1,01B 121//B A OA 2A 2A 2211//A B A B 点，得到；过作交双曲线于点，过作交x 轴于2B 122B A B △2B 2312//B A B A 3A 3A 3322//A B A B 点，得到；以此类推，…，则点的坐标为______.3B 233B A B △4B三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17.解方程.2230x x +-=18.一个不透明的袋中装有3个白球，1个蓝球，6个红球，每个球除颜色外都相同.（1）从中任意摸出一个球，摸到黑球是______事件；摸到蓝球是______事件；（填“不可能”或“必然”或“随机”）（2）现在再将若干个同样的蓝球放入袋中，与原来10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为蓝球的概率为，求出后来放入袋中的蓝球个数.1419.如图，A 为上一点，按以下步骤作图；O ①连接OA ，②以点A 为圆心，AO 长为半径作弧，交于点B ；O ③在射线OB 上截取；④连接AC .BC OB =求证：AC 为的切线.O四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）20.如图，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为B ，C .连接BC 交OA 于点D .反比例函()4,2A 数（）的图象经点D ，与AB ，AC 分别相交于点E ，F .连接EF 并延长交x 轴于yy x=0x >点G .（1）填空：______；k =（2）求证：四边形BCGE 为平行四边形.21.如图，菱形ABCD 中，，.点E 为对角线AC （不含A ，C 点）上任4AB =30DAB ∠=︒意一点，连接DE ，将绕点A 逆时针旋转60°得到，连接BE .ADE △AFG △（1）证明：；FG BE =（2）设，请直接写出y 的最小值.y EA EB ED =++22.在四边形ABCD 中，.以BC 为直径的经过A 、D .点E 在BC 延长线上，且AD CD =O .连接BD 、DE .CE AB =（1）求证：，BD DE =（2）若DE 为的切线，的半径为4，求DE 的长.O O 五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题10分，共30分）23.已知一品牌月饼的成本价每盒80元，市场调查发现中秋节前，该种月饼每天的销售量y （盒）与销售单价x （元）有如下关系：（）.设这种月饼每天2320y x =-+80145x ≤≤的销售利润为w 元.（1）求w 与x 的函数关系式；（2）若该商店销售这种月饼要想每天获得销售利润1400元，应如何定价？（3）该种月饼的销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？24.如图1，中，，.点D 在AC 上，且.点E 在ABC △6AC BC ==90ACB ∠=︒2AD =AB 上，过C 、D ，E 三点的交BC 于点F .O图1 图2（1）______°；DEF ∠=（2）若，求AE 的长；CF EF =（3）如图2，若点E 为的中点，求四边形CDEF 的面积S . CFD25.如图1，抛物线与x 轴交于、，与y 轴交于点C .直线23y ax bx =++()1,0A -()3,0B 与抛物线交于点B 与点C .3y x =+图1 图2 图3（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点D 是第一象限抛物线上一点，设D 点横坐标为m .连接OD ，将线段OD 绕O 点逆时针旋转90°，得到线段OE ，过点E 作轴交直线BC 于F ，求线段EF 的最大//EF x 值；（3）如图3，将抛物线在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，与原抛物23y ax bx =++线在x 轴下方部分的图象组成新图象，若直线与新图象有且只有两个交点，请你5y x n =+直接写出n 的取值范围.答案一．选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)1. D2. C3. B4. B5. D6. A7. C8. B9. D 10. A 二．填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11. （-4，3） 12.13.0 14.π 15. 1 16. （2，0）12三．解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分)17.解：x 2+2x -3=0．（x +3）（x -1）=0， 2分∴x +3=0或x -1=0. 4分∴x 1=-3，x 2=1.6分18.解：（1）从中任意摸出一个球，摸到黑球是不可能事件； 1分摸到蓝球是随机事件；2分（2）设后来放入袋中的蓝球x 个，依题意，得 3分1+x =（10+x ）， 5分14解得x =2.∴后来放入袋中的蓝球2个.19. 解：连接AB ，如图， 1分由作法得OB =AB =BC . 2分∴点A 在OC 为直径的⊙B 上. 3分∴∠OAC =90°. 4分∴OA ⊥AC . 5分∴AC 为⊙O 的切线．6分四．解答题（二）(本大题共3小题，每小题8分，共24分)20.（1）k = 2 ；2分（2）证明：∵点A （4，2），AB ⊥y 轴，AC ⊥x 轴，∴B （0，2），C （4，0）. 把y =2代入y =，解得x =1.∴E （1，2）.2x∴BE =1. 把x =4代入y =，解得y =0.5. ∴F （4，0.5）. 3分2x设直线EF 的解析式为y =mx +n ，∴.解得.240.5m n m n +=⎧⎨+=⎩0.52.5m n =-⎧⎨=⎩∴直线EF 的解析式为y =-0.5x +2.5. 4分当y =0时，解得x =5.∴G （5，0）. 5分∴CG =1=BE. 6分∵CG ∥BE ， 7分∴四边形BCGE 为平行四边形．8分21. （1）证明：由旋转性质得，FG=DE .1分在菱形ABCD 中，AD=AB ，∠DAC=∠BAC ， 2分∵AE=AE ，∴△DAE ≌△BAE . 3分∴DE=BE . 4分∴FG=BE ；5分（2）.8分（如图，当F 、G 、E 、B 四点共线时，y 的值最小）22. （1）证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°.又∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE. 1分∵AD=CD，CE=AB，∴△ABD≌△CDE. 2分∴BD=DE；3分（2）解：连接OD，4分∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE.∴∠ODE=90°. 5分∵BD=DE（已证），∴∠E=∠DBC.∵∠DOC=2∠DBC，∠ODC+∠E=90°，∴3∠E=90°.∴∠E=30°. 6分∴OE=2OD=2×4=8. 7分在Rt△ODE中，DE.8分==五．解答题（三）(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 23. 解：（1）由题意得：w=（x-80）•y1分=（x -80）（-2x +320） 2分=-2x 2+480x -分∴w 与x 的函数关系式为：w =-2x 2+480x -25600；（2）当w =1400时，-2x 2+480x -25600=1400 ． 4分解得：x 1=90，x 2=150． 5分∵80≤x ≤145，∴x =90．∴要想每天获得销售利润1400元，应定价为90元每盒； 6分（3）w =-2x 2+480x -25600=-2（x -120）2+3200 8分∵-2＜0，80≤x ≤145，9分∴当x =120时，w 有最大值，w 的最大值为3200元． 10分24. 解：（1）∠DEF = 90 °；2分（2）如图，连接FD ，作DG ⊥AE ，垂足为G .在Rt △EDF 与Rt △CDF 中，EF CFDF DF=⎧⎨=⎩∴Rt △EDF ≌Rt △CDF .∴DE=CD=AC -AD =6-2=4. 3分∵AC =BC ，∠C =90°，∴∠A =∠B=45°.∴∠GDA =∠A =45°.∴AG=DG .在Rt △ADG 中，，AD =2，222AD AG DG =+∴AG=DG. 4分在Rt △EDG 中，EG，5分==AE=AG+EG6分（3）连接EO ，并延长交CD 于点M ，∵点E 为的中点，∴EM ⊥CD ，CM=DM =CD =.7分CFD 121422⨯=∴EM=AM=AC-CM =6-2=4. 8分作ON ⊥CF ，垂足为N .则四边形CMON 为矩形.∴OM=CN=CF.12设OM=y ，则OC=OE =4-y ，CF =2y.在Rt △OMC 中，OC 2=OM 2+CM 2，∴（4-y ）2=y 2+22.∴y =.32∴CF =2y =3. 9分∴S=（3+4）×2+×4×2=11. 10分121225.解：（1）抛物线y =ax 2+b x +3与x 轴交于A （-1,0）、B （3,0），∴. 1分解得.309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩12a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3； 2分（2）过D 作DG ⊥x 轴于G ，EF 交y 轴于H ，∴∠EHO =∠DGO =90°.∵∠EOA +∠EOH =∠HOA =90°，∠EOA +∠DOG =180°-∠EOD =90°，∴∠EOH =∠DOG .∵OE=OD ，∴△EOH ≌△DOG .∴EH=DG ，OH=OG .3分∵D 点横坐标为m ，∴OG =m .∴OH =OG =m .∵点D 在抛物线y =-x 2+2x +3上，∴DG =-m 2+2m +3.∴EH=DG=-m 2+2m +3. 4分把y=m 代入y =-x +3得m =-x +3，∴x =3-m .∴FH =3-m . 5分∴EF=EH +FH =-m 2+2m +3+3-m =-m 2+m +6=-（m -）2+.12254∴线段EF 的最大值为； 6分254（3）n 的取值范围为-15<n <5或n <-. 10分614。

2022-2023学年汕头市金平区数学九上期末综合测试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）1．菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形两邻角度数比为（）A ．3：1B ．4：1C ．5：1D ．6：12．在单词probability （概率）中任意选择一个字母，选中字母“i ”的概率是（）A ．211B ．29C ．12D ．9113．如图，已知,ADE ABC 若:1:3,AD AB ABC =的面积为9，则ADE 的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．94．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转50°得△DEC ，若AC ⊥DE ，则∠BAC 等于( )A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°5．已知关于x 的一元二次方程2230x x a ++=有一个根是-2，那么a 的值是( )A ．-2B ．-1C ．2D ．106．如图在正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（）A ．B ．C ．D ．7．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（）A ．x(x+1)=1035B ．x(x-1)=1035C ．12x(x+1)=1035D ．12x(x-1)=1035 8．已知圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C =1：2：3，则∠D 的大小是（）A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°9．定义新运算：对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{}max ,a b 表示a ，b 中的较大值，如：{}max 2,44=．因此，{}max 2,42--=-；按照这个规定，若{}232max ,2x x x x ---=，则x 的值是（） A ．－1 B ．－1或5332+ C ．5332+ D ．1或5332- 10．如图，平行四边形ABCD 中，EF ∥BC ，AE ：EB=2：3，EF=4，则AD 的长为（）A ．B ．8C ．10D ．1611．如图，一边靠墙(墙有足够长)，其它三边用12 m 长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个花园的最大面积是( )A ．16 m 2B ．12 m 2C ．18 m 2D ．以上都不对12．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD BD ＝12，DE ＝4cm ，则BC 的长为（）A ．8cmB ．12cmC ．11cmD ．10cm二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，要拧开一个边长为8a mm =的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为__________mm ．14．已知一元二次方程260x x c -+=有一个根为2，则另一根为________．15．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球运动时间t （秒）之间的函数关系式是h=12t ﹣6t 2，则小球运动到的最大高度为________米；16．方程2x 2－6x －1＝0的负数根为___________.17．（2016广东省茂名市）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点B 顺时针旋转到△A 1BO 1的位置，使点A 的对应点A 1落在直线33y x =上，再将△A 1BO 1绕点A 1顺时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线33y x =上，依次进行下去…，若点A 的坐标是（0，1），点B 的坐标是（3，1），则点A 8的横坐标是__________．18．如图所示，矩形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D ，G 分别在边AB ，AC 上.已知6AC =，8AB =，10BC =，设EF x =，矩形DEFG 的面积为y ，则y 关于x 的函数关系式为______.（不必写出定义域）三、解答题（共78分）19．（8分）如图所示，在Rt △ABC 中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作圆O ，分别与BC 、AB 相交于点D 、E ，连接AD ，已知∠CAD ＝∠B ．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠B＝30°，CD＝32，求劣弧BD的长；（3）若AC＝2，BD＝3，求AE的长．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）在AC上方的抛物线上有一动点G，如图，当点G运动到某位置时，以AG，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点G的坐标；（3）若抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标．21．（8分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A(﹣1，0)、B(5，0)，与y轴相交于点C(053)．（1）求该函数的表达式；（2）设E为对称轴上一点，连接AE、CE；①当AE+CE取得最小值时，点E的坐标为；②点P从点A出发，先以1个单位长度/的速度沿线段AE到达点E，再以2个单位长度的速度沿对称轴到达顶点D．当点P到达顶点D所用时间最短时，求出点E的坐标．22．（10分）如图，正方形ABCD 的边长为1，点E 是AD 边上的动点，从点A 沿AD 向点D 运动，以BE 为边，在BE 的上方作正方形BEFG ，连接CG ．（1）求证：AEB CGB △≌△；（2）若设AE=x ，DH=y ，当x 取何值时，y 有最大值？并求出这个最大值；（3）连接BH ，当点E 运动到AD 的何位置时有BEH BAE ∽？23．（10分）如图，抛物线22y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求点A ，点B 和点C 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一动点P ，求PB PC +的值最小时的点P 的坐标；（3）若点M 是直线AC 下方抛物线上一动点，M 运动到何处时四边形ABCM 面积最大，最大值面积是多少？24．（10分）解方程：(1)x 2+3＝4x(2)3x （x-3）＝-425．（12分）在△ABC中，P为边AB上一点．（1）如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；（2）若M为CP的中点，AC＝2，①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D 作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD．（1）求证：△DOB∽△ACB；（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】菱形的性质；含30度角的直角三角形的性质.【详解】如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5：1，故选C.2、A【解析】字母“i”出现的次数占字母总个数的比即为选中字母“i”的概率.【详解】解：共有11个字母，每个字母出现的可能性是相同的，字母i出现两次，其概率为2 11．故选：A．【点睛】本题考查简单事件的概率，利用概率公式求解是解答此题的关键.3、A【分析】根据相似三角形的性质得出21=3ADEABCSS⎛⎫⎪⎝⎭，代入求出即可．【详解】解：∵△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：3，∴21=3ADEABCSS⎛⎫⎪⎝⎭，∵△ABC的面积为9，∴1=99ADES，∴S△ADE＝1，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的性质定理，能熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键．4、B【分析】根据旋转的性质可求得∠ACD，根据互余关系可求∠D，根据对应角相等即可得∠BAC的大小．【详解】解：依题意得旋转角∠ACD=50°，由于AC⊥DE，由互余关系可得∠D=90°-50°=40°，由旋转后对应角相等，得∠BAC=∠D=40°，故B选项正确．【点睛】本题考查了图形的旋转变化，要分清是顺时针还是逆时针旋转，旋转了多少度，难度不大，但容易出错，细心点即可．5、C【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x ＝−1代入关于x 的一元二次方程2230x x a ++=，列出关于a 的一元一次方程，通过解方程即可求得a 的值．【详解】根据题意知，x ＝−1是关于x 的一元二次方程2230x x a ++=的根，∴（−1）1＋3×（−1）＋a ＝0，即−1＋a ＝0，解得，a ＝1．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解使方程的左右两边相等．6、C【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用一角相等且夹边对应成比例两个三角形相似，根据各个选项条件筛选即可．【详解】解：根据勾股定理，=，，所以，28AC =,22BC =,210AB =,则2AC +2BC =2AB所以，利用勾股定理逆定理得△ABC 是直角三角形所以,ACBC =2= A.不存在直角，所以不与△ABC 相似；B.两直角边比（较长的直角边：较短的直角边）=32≠2，所以不与△ABC 相似； C.选项中图形是直角三角形，且两直角边比（较长的直角边：较短的直角边）=2，故C 中图形与所给图形的三角形相似．D. 不存在直角，所以不与△ABC 相似.故选：C ．【点睛】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，及判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．7、B【解析】试题分析：如果全班有x 名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x 名学生，那么总共送的张数应该是x （x-1）张，即可列出方程．∵全班有x 名同学，∴每名同学要送出（x-1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x （x-1）=1．故选B考点：由实际问题抽象出一元二次方程．8、C【分析】根据圆内接四边形对角互补，结合已知条件可得∠A ：∠B ：∠C ：∠D=1：2：3：2，∠B+∠D=180°，由此即可求得∠D 的度数.【详解】∵四边形ABCD 为圆的内接四边形，∠A ：∠B ：∠C =1：2：3，∴∠A ：∠B ：∠C ：∠D =1：2：3：2，而∠B +∠D =180°，∴∠D =24×180°=90°．故选C ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练运用圆内接四边形对角互补的性质是解决问题的关键.9、B【分析】分x>0和0x<0两种情况分析，利用公式法解一元二次方程即可．【详解】解：当x>0时，有2322x x x --=，解得152x +=，252x = (舍去)， x<0时，有2322x x x --=-，解得，x 1=−1，x 2=2(舍去)．故选B.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握新定义以及掌握因式分解法以及公式法解方程的方法步骤，掌握降次的方法，把二次化为一次，再解一元一次方程．10、C【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，可证明△AEF ∽△ABC ，再根据相似三角形的对应边成比例可解得BC 的长，而在▱ABCD 中，AD=BC ，问题得解．【详解】解：∵EF ∥BC∴△AEF ∽△ABC ，∴EF ：BC=AE ：AB ，∵AE：EB=2：3，∴AE：AB=2：5，∵EF=4，∴4：BC=2：5，∴BC=1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=1．【点睛】本题考查(1)、相似三角形的判定与性质；(2)、平行四边形的性质．11、C【分析】设AB边为x，则BC边为（12-2x）,根据矩形的面积可列二次函数，再求出最大值即可. 【详解】设AB边为x，则BC边为（12-2x），则矩形ABCD的面积y=x（12-2x）=-2（x-3）2+18，∴当x=3时，面积最大为18，选C.【点睛】此题主要考察二次函数的应用，正确列出函数是解题的关键.12、B【分析】由平行可得ADAB＝DEBC，再由条件可求得ADAB＝13，代入可求得BC．【详解】解：∵DE∥BC，∴ADAB＝DEBC，∵ADAB＝12，∴ADAB＝13，∴DEBC＝13，且DE＝4cm，∴4BC＝13，解得：BC＝12cm，故选：B．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段成比例是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、83【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30°，再根据锐角三角函数的知识求解．【详解】设正多边形的中心是O ，其一边是AB ，∴∠AOB ＝∠BOC ＝60°，∴OA ＝OB ＝AB ＝OC ＝BC ，∴四边形ABCO 是菱形，∵AB ＝8mm ，∠AOB ＝60°，∴cos ∠BAC ＝AM AB， ∴AM ＝833mm ）， ∵OA ＝OC ，且∠AOB ＝∠BOC ，∴AM ＝MC ＝12AC ， ∴AC ＝2AM ＝3mm ）．故答案为：83【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，运用锐角三角函数进行求解是解此题的关键．14、4【分析】先把x=2代入一元二次方程，即可求出c ，然后根据一元二次方程求解即可.【详解】解：把x=2代入260x x c -+=得4﹣12+c=0c=8,2680x x -+=（x-2）（x-4）=0x 1=2，x 2=4,故答案为4.【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是求出c 的值.15、6【分析】现将函数解析式配方得221266(1)6h tt t =--=+﹣，即可得到答案. 【详解】221266(1)6h tt t =--=+﹣， ∴当t=1时，h 有最大值6.故答案为：6.【点睛】此题考查最值问题，确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式，再根据开口方向确定最值.16、32x = 【分析】先计算判别式的值，再利用求根公式法解方程，然后找出负数根即可．【详解】△=（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）=44，x ，所以x 1＞1，x 21．即方程的负数根为x =32．故答案为x =32．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．17、6．【解析】试题分析：由题意点A 2的横坐标（+1），点A 4的横坐标3（+1），点A 6的横坐标（+1），点A 8的横坐标6（+1）．考点：（1）坐标与图形变化-旋转；（2）一次函数图象与几何变换18、24.80.48y x x =-【分析】易证得△ADG ∽△ABC ，那么它们的对应边和对应高的比相等，可据此求出AP 的表达式，进而可求出PH 即DE 、GF 的长，已知矩形的长和宽，即可根据矩形的面积公式得到y 、x 的函数关系式；【详解】如图，作AH 为BC 边上的高，AH 交DG 于点P ，∵AC=6，AB=8，BC=10，∴三角形ABC 是直角三角形，∴△ABC 的高=6810⨯=4.8， ∵矩形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，∴DG ∥BC ，∴△ADG ∽△ABC ，∵AH ⊥BC ，∴AP ⊥DG ∴AP DG =AH BC， ∴AP DG =4.810， ∴AP DG =4.8=0.484.810⨯x ∴PH=4.80.48-x ，∴()2DG PH= 4.80.48 4.80.48=⋅-=-y x x x x 故答案为：24.80.48y x x =-【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出矩形的边长.三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）233π；（3）AE ＝52 【分析】（1）如图1，连接OD ，由等腰三角形的性质可证∠B ＝∠ODB ＝∠CAD ，由直角三角形的性质可求∠ADO ＝90°，可得结论；（2）分别求出OD 的长度和∠DOB 的度数，再由弧长公式可求解；（3）通过证明ACD ∽BDE ，可得23AC CD BD DE ==，设CD ＝2x ，DE ＝3x ，由平行线的性质可求x ＝12，由勾股定理可求AB 的长，即可求解．【详解】解：（1）如图1，连接OD ，∵∠ACB ＝90°，∴∠CAD +∠ADC ＝90°，∵OB ＝OD ，∴∠B ＝∠ODB ，∵∠CAD ＝∠B ，∴∠CAD ＝∠ODB ，∴∠ODB +∠ADC ＝90°，∴∠ADO ＝90°，又∵OD 是半径，∴AD 是⊙O 的切线；（2）∵∠B ＝30°，∠ACB ＝90°，∴∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，∴AD＝2CD＝3，∠DAB＝30°，∴AD＝3OD，∴OD＝3，∵OD＝OB，∠B＝30°，∴∠B＝∠ODB＝30°，∴∠DOB＝120°，∴劣弧BD的长＝1203180π⨯＝233π；（3）如图2，连接DE，∵BE是直径，∴∠BDE＝90°，∴∠ACB＝∠EDB＝90°，∴AC∥DE，∵∠B＝∠CAD，∠ACD＝∠EDB，∴ACD∽BDE，∴23 AC CDBD DE==，∴设CD＝2x，DE＝3x，∵AC∥DE，∴DE BD AC BC=，∴33 232xx=+，∴x＝12，∴CD＝1，BC＝BD+CD＝4，∴AB∵DE∥AC，∴AE CD AB BC=，∴AE．【点睛】此题考查的是圆的综合大题、勾股定理和相似三角形的判定及性质，掌握切线的判定定理、弧长公式圆周角定理及推论、勾股定理和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．20、（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）点G的坐标为（72，94）；（3）点P（2，6）或（﹣2，﹣6）．【分析】（1）由点A的坐标及OA=OC=4OB,可得出点B,C的坐标, 根据点A,B,C的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;（2）由二次函数的解析式利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴, 由AO的长度结合平行四边形的性质可得出点G的横坐标, 再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点G的坐标;（3）设点P的坐标为（m,-m2+3m+4）,结合点A,C的坐标可得出AP2,CP2,AC2的值, 分∠ACP=90°及∠PAC=90°两种情况, 利用勾股定理即可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出结论．【详解】解:（1）∵点A的坐标是（4,0）,∴OA=4,又∵OA=OC=4OB,∴OA=OC=4,OB=1,∴点C的坐标为（0,4）,点B的坐标为（﹣1,0）.设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）,将A（4,0）,B（﹣1,0）,C（0,4）代入y=ax2+bx+c,得16404a b ca b cc,解得:134abc,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4, （2）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4,∴抛物线的对称轴为直线x=3 2 ,∵如图1,动点G在AC上方的抛物线上,且以AG,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点H也在抛物线上,∴GH∥AO,GH=AO=4,∵点G,H都在抛物线上,∴G,H关于直线x=32对称,∴点G的横坐标为72,∵当x=72时,y=﹣x2+3x+4=94,∴点G的坐标为（72,94）．（3）假设存在,设点P的坐标为（m,-m2+3m+4）,∵点A的坐标为（4,0）,点C的坐标为（0,4）,∴AP2=（m-4）2+（-m2+3m+4-0）2=m4-6m3+2m2+16m+32,CP2=（m-0）2+（-m2+3m+4-4）2=m4-6m3+10m2,AC2=（0-4）2+（4-0）2=32, 分两种情况考虑,如图2所示,①当∠ACP=90°时,AP2=CP2+AC2,即m 4-6m 3+2m 2+16m +32=m 4-6m 3+10m 2+32, 整理得：m 2-2m =0,解得:m 1=0（舍去）,m 2=2,∴点P 的坐标为（2,6）;整理得:m 2-2m -8=0,解得:m 3=-2,m 4=4（舍去）,∴点P 的坐标为（-2,-6）．综上所述,假设成立,抛物线上存在点P （2,6）或（﹣2,﹣6）,使得△ACP 是以为直角边的直角三角形．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、二次函数的性质以及勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象性质和平行四边形的性质.21、（1）2y x x =+；（2）①(2；②点E (2．【分析】（1）抛物线的表达式为：y ＝a (x +1)(x ﹣5)＝a (x 2﹣4x ﹣5)，故﹣5a ，解得：a （2）①点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点E ，则点E 为所求，即可求解；②t ＝AE +2DE ，t ＝AE +2DE ＝AE +EH ，当A 、E 、H 共线时，t 最小，即可求解．【详解】（1）抛物线的表达式为：y ＝a (x +1)(x ﹣5)＝a (x 2﹣4x ﹣5)，故﹣5a ，解得：a ＝﹣故抛物线的表达式为：2y x x =+；（2）①函数的对称轴为：x ＝2，点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点E ，则点E 为所求，由点B 、C 的坐标得，BC 的表达式为：y ＝﹣3x +3，当x ＝2时，y故答案为：(2；②t ＝AE +12DE ，过点D 作直线DH ，使∠EDH ＝30°，作HE ⊥DH 于点H ，则HE ＝12DE ，t＝AE+12DE＝AE+EH，当A、E、H共线时，t最小，则直线A(E)H的倾斜角为：30°，直线AH的表达式为：y＝33(x+1)当x＝2时，y＝3，故点E(2，3)．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，掌握二次函数的性质以及解析式、对称的性质是解题的关键．22、（1）见解析；（2）当12x=，y有最大值14；（3）当点E是AD的中点【分析】（1）由同角的余角相等得到∠ABE=∠CBG，从而全等三角形可证；（2）先证明△ABE∽△DEH，得到AB AEDE DH=，即可求出函数解析式y=-x2+x，继而求出最值．（3）由（2）12EH HDBE EA==，再由12AEAB=，可得12EH AEBE AB==，则问题可证．【详解】（1）证明：∵∠ABE+∠EBC=∠CBG+∠EBC=90°∴∠ABE=∠CBG在△AEB和△CGB中：∠BAE=∠BCG=90°，AB=BC ，∠ABE=∠CBG∴△AEB≌△CGB （ASA）（2）如图∵四边形ABCD ，四边形BEFG 均为正方形∴∠A=∠D=90°, ∠HEB=90° ∴∠DEH+∠AEB=90°，∠DEH+∠DHE=90°∴∠DHE=∠AEB∴△ABE ∽△DEH ∴AB AE DE DH= ∴11x x y=- ∴2211()24y x x x =-+=--+故当12x =，y 有最大值14 （3）当点E 是AD 的中点时有 △BEH ∽△BAE ．理由：∵ 点E 是AD 的中点时由（2）可得1124AE DH ==，又∵△ABE ∽△DEH∴12EH HD BE EA ==，又∵12AE AB = ∴12EH AE BE AB == 又∠BEH=∠BAE=90°∴△BEH ∽△BAE【点睛】本题结合正方形的性质考查二次函数的综合应用，以及正方形的性质和相似三角形的判定，解答关键是根据题意找出相似三角形构造等式．23、（1）A （﹣1，0），B （l ，0），C （0，﹣1）；（1）P （1-2，32-）；（3）(-1，-1)；2 【分析】（1）令x=0，y=0，代入函数解析式，即可求解；（1）连接AC 与对称轴的交点即为点P ．求出直线AC 的解析式即可解决问题．（3）过点M 作MN ⊥x 轴与点N ，设点M （x ，x 1+x-1），则AN=x+1，ON=-x ，OB=1，OC=1，MN=-（x 1+x-1）=-x 1-x+1，根据S 四边形ABCM =S △AOM +S △OCM +S △BOC 构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：（1）由 y=0，得 x 1+x ﹣1=0 解得 x 1=﹣1，x 1=l ，∴A （﹣1，0），B （l ，0），由x=0，得y=﹣1，∴C（0，﹣1）．（1）连接AC与对称轴的交点即为点P．设直线AC 为y=kx+b，则202k bb+=⎧⎨=⎩﹣﹣，得k=﹣l，∴y=﹣x﹣1．对称轴为x=1-2，当x=1-2时，y=-（1-2）﹣1=32-，∴P（1-2，32-）．（3）过点M作MN丄x轴与点N，设点M（x，x1+x﹣1），则OA=1，ON=﹣x，OB=1，OC=1，MN=﹣（x1+x﹣1）=﹣x1﹣x+1，S四边形ABCM=S△AOM+S△OCM+S△BOC=12×1×（﹣x1﹣x+1）+12×1（﹣x）+12×1×1=﹣x1﹣1x+3=﹣（x+1）1+2．∵a=﹣1＜0，∴当x=﹣1时，S四边形ABCM的最大值为2．∴点M 坐标为（﹣1，﹣1）时，S 四边形ABCM 的最大值为2．【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、两点之间线段最短、最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称解决在性质问题，学会构建二次函数解决最值问题．24、（1）x 1＝3，x 2＝1；（2）x 1＝6 ，x 2＝96．【分析】(1)根据因式分解法即可求解；(2)根据公式法即可求解．【详解】（1）称项得：x 2-4x+3＝0∵（x-3）（x-1）=0∴x-3=0，x-1=0∴x 1 ＝3，x 2＝1（2）整理得：3x 2-9x+4=0∵a ＝3，b ＝﹣9，c ＝4∴△＝b 2﹣4a c ＝（﹣9）2﹣4×3×4＝33＞0∴方程有两个不相等的实数根为 x ＝923±⨯x 1，x 2．【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知解解法．25、（1）证明见解析；（2）①BP BP 1．【解析】试题分析：（1）根据已知条件易证△ACP ∽△ABC ，由相似三角形的性质即可证得结论；（2）①如图，作CQ ∥BM 交AB 延长线于Q ，设BP ＝x ，则PQ ＝2x ，易证△APC ∽△ACQ ，所以AC 2＝AP·AQ ，由此列方程，解方程即可求得BP 的长；②如图：作CQ ⊥AB 于点Q ，作CP 0＝CP 交AB 于点P 0，再证△AP 0C ∽△MPB ，（2）的方法求得AP 0的长，即可得BP 的长．试题解析：（1）证明：∵∠ACP ＝∠B ，∠BAC ＝∠CAP ，∴△ACP ∽△ABC ，∴AC ：AB ＝AP ：AC ，∴AC 2＝AP·AB ；（2）①如图，作CQ ∥BM 交AB 延长线于Q ，设BP ＝x ，则PQ ＝2x∵∠PBM ＝∠ACP ，∠PAC ＝∠CAQ ，∴△APC ∽△ACQ ，由AC 2＝AP·AQ 得：22＝（3－x ）（3＋x ），∴x ＝5 即BP ＝5；②如图：作CQ ⊥AB 于点Q ，作CP 0＝CP 交AB 于点P 0，∵AC ＝2，∴AQ ＝1，CQ ＝BQ ＝3 ，设AP 0=x ，P 0Q ＝PQ ＝1－x ，BP ＝3－1＋x ，∵∠BPM ＝∠CP 0A ，∠BMP ＝∠CAP 0，∴△AP 0C ∽△MPB ，∴00AP P C MP BP=， ∴MP∙P 0C ＝22201(3)(1)22x P C +-==AP 0∙BP ＝x （3－1＋x ），解得x ＝73-∴BP ＝3－1＋73-＝71-．考点：三角形综合题.26、（1）证明见试题解析；（2）1；（3）5013．【解析】试题分析：（1）公共角和直角两个角相等，所以相似.(2)由（1）可得三角形相似比，设BD ＝x ，CD ，BD ，BO 用x 表示出来，所以可得BD 长.(3)同（2）原理，BD ＝B′D ＝x ,AB′，B′O ，BO 用x 表示,利用等腰三角形求BD 长.试题解析：（1）证明:∵DO ⊥AB ，∴∠DOB ＝90°，∴∠ACB ＝∠DOB ＝90°, 又∵∠B ＝∠B ．∴△DOB ∽△ACB ．（2）∵AD 平分∠CAB ，DC ⊥AC,DO ⊥AB,∴DO ＝DC ,在 Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝,8，∴AB ＝10,∵△DOB ∽△ACB,∴DO ∶BO ∶BD ＝AC ∶BC ∶AB ＝3∶4∶1,设BD ＝x ，则DO ＝DC ＝35x ，BO ＝45x , ∵CD ＋BD ＝8，∴35x ＋x ＝8，解得x ＝,1，即：BD ＝1．（3）∵点B 与点B′关于直线DO 对称，∴∠B ＝∠OB′D ，BO ＝B′O ＝45x ，BD ＝B′D ＝x , ∵∠B 为锐角，∴∠OB′D 也为锐角，∴∠AB′D 为钝角,∴当△AB′D 是等腰三角形时，AB′＝DB′,∵AB′＋B′O ＋BO ＝10，∴x ＋45x ＋45x ＝10，解得x ＝5013，即BD ＝5013， ∴当△AB′D 为等腰三角形时，BD ＝5013. 点睛：角平分线问题的辅助线添加及其解题模型.①垂两边：如图（1），已知BP 平分ABC ∠，过点P 作PA AB ⊥，PC BC ⊥，则PA PC =.②截两边：如图（2），已知BP 平分MBN ∠，点A BM 上，在BN 上截取BC BA =，则ABP ∆≌CBP ∆. ③角平分线+平行线→等腰三角形：如图（3），已知BP 平分ABC ∠，//PA AC ，则AB AP =；如图（4），已知BP 平分ABC ∠，//EF PB ，则BE BF =.(1) (2) (3) (4) ④三线合一（利用角平分线+垂线→等腰三角形）：如图（1），已知AD 平分BAC ∠，且AD BC ⊥，则AB AC =，BD CD =.(1)。

2025届金平区数学九上期末监测试题含解析

2025届金平区数学九上期末监测试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）1．在△ABC 中，AB=AC=13，BC=24，则tanB 等于（）A ．513B ．512C ．1213D ．1252．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，如果20AB =，16CD =，那么线段OE 的长为（）A ．6B ．8C ．10D ．123．一元二次方程x 2+bx ﹣2=0中，若b ＜0，则这个方程根的情况是（）A ．有两个正根B ．有一正根一负根且正根的绝对值大C ．有两个负根D ．有一正根一负根且负根的绝对值大4．将方程x 2-6x+3=0左边配成完全平方式，得到的方程是（）A ．（x-3）2=-3B ．（x-3）2=6C ．（x-3）2=3D ．（x-3）2=125．在一个不透明的袋子中，装有红球、黄球、篮球、白球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机取出一个球，取出红球的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．1 6．在反比例函数1m yx 的图象的每一条曲线上，y 都随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（） A ．1m B ．m 1≥ C ．1m < D ．1m7．如图，反比例函数y ＝16x（x ＞0）的图象经过Rt △BOC 斜边上的中点A ，与边BC 交于点D ，连接AD ，则△ADB 的面积为（）A ．12B ．16C ．20D ．248．如图，正三角形ABC 的边长为4cm ，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，2cm 为半径作圆．则图中阴影部分面积为（）A ．（23-π）cm 2B ．（π-3）cm 2C ．（43-2π）cm 2D ．（2π-23）cm 29．设a ，b 是方程x 2+2x ﹣20＝0的两个实数根，则a 2+3a+b 的值为（）A ．﹣18B ．21C ．﹣20D ．1810．如图，在Rt△ACB 中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将△ABC 绕点C 逆时针旋转α角到△A1B1C 的位置，A1B1恰好经过点B ，则旋转角α的度数等（）A ．70°B ．65°C ．55°D ．35° 11．反比例函数6y x =图象上的两点为()11,x y ，()22,x y 且12x x <，则下列表达式成立的是（） A ．1y y < B ．1y y = C ．1y y > D ．不能确定12．一元二次方程22310x x --=的一次项系数是（）A ．2B ．3C ．3-D ．1-二、填空题（每题4分，共24分）13．把一元二次方程x （x +1）=4（x ﹣1）+2化为一般形式为_____．14．如图在Rt △OAB 中∠AOB ＝20°，将△OAB 绕点O 逆时针旋转100°得到△OA 1B 1，则∠A 1OB ＝____．15．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x 1，第二个三角形数记为x 2，…第n 个三角形数记为x n ，则x n +x n+1= ．16．等边三角形ABC 中，2AB =，将ABC 绕AC 的中点O 逆时针旋转90︒，得到111A B C △，其中点B 的运动路径为1BB ，则图中阴影部分的面积为__________．17．正八边形的每个外角的度数和是_____．18．如图，PA 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 的直径，在⊙O 上存在一点C 满足PA ＝PC ，连结PB 、AC 相交于点F ，且∠APB ＝3∠BPC ，则PF BF＝_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若DC ＝25，AC ＝4，求OE 的长．20．（8分）解不等式组1(1)222323x x x ⎧+≤⎪⎪⎨++⎪≥⎪⎩，并求出不等式组的整数解之和． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，己知点()0,4C，点A B 、在x 轴上，并且4OA OC OB ==，动点P 在过、、A B C 三点的拋物线上．（1）求抛物线的解析式．（2）作垂直x 轴的直线，在第一象限交直线AC 于点D ，交抛物线于点P ，求当线段PD 的长有最大值时P 的坐标．并求出PD 最大值是多少．（3）在x 轴上是否存在点Q ，使得△ACQ 是等腰三角形?若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（10分）如图，DEF 是ABC 经过某种变换得到的图形，点A 与点D ，点B 与点E ，点C 与点F 分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：()1分别写出点A 与点D ，点B 与点E ，点C 与点F 的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；() 2若点()P a 3,4b +-与点()Q 2a,2b 3-也是通过上述变换得到的对应点，求a 、b 的值．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，边CD 在x 轴上，点B 在y 轴上．已知2CD =．（1）点A 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由．（2）若该反比例函数图象与DE 交于点Q ，求点Q 的横坐标．（3）平移正六边形ABCDEF ，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD⊥DC于D，且AC平分∠DAB．延长DC交AB的延长线于点P．（1）求证：PC2＝PA•PB；（2）若3AC＝4BC，⊙O的直径为7，求线段PC的长．25．（12分）如图，一次函数1522y x=-+的图像与反比例函数kyx=(k＞0)的图像交于A，B两点，过点A做x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标.26．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，CD切⊙O于点C，AE⊥CD于点E （1）求证：AC平分∠DAE；（2）若AB＝6，BD＝2，求CE的长．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解析】如图，等腰△ABC 中，AB=AC=13，BC=24，过A 作AD ⊥BC 于D ，则BD=12，在Rt △ABD 中，AB=13，BD=12，则， 225AB BD -=，故tanB=512AD BD =. 故选B ．【点睛】考查的是锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质及勾股定理．2、A【分析】连接OD ，由直径AB 与弦CD 垂直，根据垂径定理得到E 为CD 的中点，由CD 的长求出DE 的长，又由直径的长求出半径OD 的长，在直角三角形ODE 中，由DE 及OD 的长，利用勾股定理即可求出OE 的长．【详解】解：如图所示，连接OD ．∵弦CD ⊥AB ，AB 为圆O 的直径，∴E 为CD 的中点，又∵CD=16，∴CE=DE=12CD=8，又∵OD=12AB=10， ∵CD ⊥AB ，∴∠OED=90°，在Rt △ODE 中，DE=8，OD=10，根据勾股定理得：22OD DE -，则OE 的长度为6，故选：A ．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理是解答此题的关键．3、B【解析】先根据根的判别式得出方程有两个不相等的实数根，设方程x2+bx-2=0的两个根为c、d，根据根与系数的关系得出c+d=-b，cd=-2，再判断即可．【详解】x2+bx−2=0，△=b2−4×1×(−2)=b2+8，即方程有两个不相等的实数根，设方程x2+bx−2=0的两个根为c、d，则c+d=−b，cd=−2，由cd=−2得出方程的两个根一正一负，由c+d=−b和b<0得出方程的两个根中，正数的绝对值大于负数的绝对值，故答案选：B.【点睛】本题考查的知识点是根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握根的判别式及根与系数的关系.4、B【解析】试题分析：移项，得x2－1x＝－3，等式两边同时加上一次项系数一半的平方(－3)2，得x2－1x＋(－3)2＝－3＋(－3)2，即(x－3)2＝1．故选B．点睛：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．5、C【详解】解：∵共有4个球，红球有1个，∴摸出的球是红球的概率是：P=14．故选C．【点睛】本题考查概率公式．6、C【分析】根据反比例函数的性质，可得出1-m＞0，从而得出m的取值范围．【详解】∵反比例函数1myx的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，∴1-m＞0，解得m＜1，故答案为m＜1．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，当k＞0时，在每个象限内，y都随x的增大而减小；当k＜0时，在每个象限内，y都随x的增大而增大．7、A【解析】过A作AE⊥OC于E，设A（a，b），求得B（2a，2b），ab＝16，得到S△BCO＝2ab＝32，于是得到结论．【详解】过A作AE⊥OC于E，设A（a，b），∵当A是OB的中点，∴B（2a，2b），∵反比例函数y＝16x（x＞0）的图象经过Rt△BOC斜边上的中点A，∴ab＝16，∴S△BCO＝2ab＝32，∵点D在反比例函数数y＝16x（x＞0）的图象上，∴S△OCD＝16÷2=8，∴S△BOD＝32﹣8＝24，∴△ADB的面积＝12S△BOD＝12，故选：A．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与三角形的综合，掌握反比例函数的比例系数k 的几何意义，添加合适的辅助线，是解题的关键.8、C【分析】连接AD ，由等边三角形的性质可知AD ⊥BC ，∠A=∠B=∠C=60°，根据S 阴影=S △ABC -3S 扇形AEF 即可得出结论．【详解】连接AD ，∵△ABC 是正三角形，∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，∵BD=CD ，∴AD ⊥BC ，∴AD=22AB BD -=224223-=，∴S 阴影=S △ABC -3S 扇形AEF =12×4×23﹣26023360π⨯⨯=(43﹣2π)cm 2，故选C ．【点睛】本题考查了有关扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．9、D【分析】根据根与系数的关系看得a+b ＝﹣2，由a ，b 是方程x 2+2x ﹣20＝0的两个实数根看得a 2+2a ＝20，进而可以得解．【详解】解：∵a ，b 是方程x 2+2x ﹣20＝0的两个实数根，∴a 2+2a ＝20，a+b ＝﹣2，∴a 2+3a+b＝a 2+2a+a+b＝20﹣2＝1则a 2+3a+b 的值为1．故选：D ．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系式解此题的关键. 10、A【解析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵在 Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝35°，∴∠ABC ＝55°，∵将△ABC 绕点 C 逆时针旋转α角到△A ′B ′C 的位置，∴∠B ′＝∠ABC ＝55°，∠B ′CA ′＝∠ACB ＝90°，CB ＝CB ′，∴∠CBB ′＝∠B ′＝55°，∴∠α＝70°，故选：A.【点睛】本题考查旋转的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键． 11、D 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到116=x y ，226=y x ，然后分类讨论：0＜1x ＜2x 得到12y y >；当1x ＜0＜2x 得到1y ＜2y ；当1x ＜2x ＜0得到12y y >．【详解】∵反比例函数6y x=图象上的两点为()11,x y ，()22,x y ， ∴1122==6x y x y ， ∴116=x y ，226=y x ，当0＜1x ＜2x ，12y y >；当1x ＜0＜2x ，1y ＜2y ；当1x ＜2x ＜0，12y y >；故选D.【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键.12、C【分析】根据一元二次方程的一般式判断即可.【详解】解：该方程的一次项系数为3-.故选：C【点睛】本题考查的是一元二次方程的项的系数，不是一般式的先化成一般式再判断.二、填空题（每题4分，共24分）13、x 2﹣3x +2=1．【分析】按照去括号、移项、合并同类项的步骤化为ax 2+bx+c=1的形式即可.【详解】x 2+x =4x ﹣4+2，x 2﹣3x +2=1．故答案为：x 2﹣3x +2=1．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=1（a ≠1）．其中a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项.14、80°．【分析】由将△OAB 绕点O 逆时针旋转100°得到△OA 1B 1，可求得∠A 1OA 的度数，继而求得答案．【详解】∵将△OAB 绕点O 逆时针旋转100°得到△OA 1B 1，∴∠A 1OA ＝100°，∵∠AOB ＝20°，∴∠A 1OB ＝∠A 1OA ﹣∠AOB ＝80°．故答案为：80°．【点睛】此题考查了旋转的性质．注意找到旋转角是解此题的关键．15、2(1)n +．【分析】根据三角形数得到x 1=1，x 1=3=1+1，x 3=6=1+1+3，x 4=10=1+1+3+4，x 5=15=1+1+3+4+5，即三角形数为从1到它的顺号数之间所有整数的和，即x n =1+1+3+…+n=()21n n +、x n+1=()()122n n ++，然后计算x n +x n+1可得．【详解】∵x 1=1，x 1═3=1+1，x 3=6=1+1+3，x 4═10=1+1+3+4，x 5═15=1+1+3+4+5，…∴x n =1+1+3+…+n=()21n n +， x n+1=()()122n n ++，则x n +x n+1=()()122n n +++()21n n +=（n+1）1，故答案为：（n+1）1．16、34π- 【分析】先利用勾股定理求出OB ，再根据1OBC BOB S S S=-阴影扇形，计算即可．【详解】解：在等边三角形ABC 中，O 为AC 的中点，2AB =∴OB ⊥OC ，112OC AB ==,2BC AB == ∴∠BOC=90°∴OB =∵将ABC 绕AC 的中点O 逆时针旋转90︒，得到111A B C △∴1BOB 90∠=︒∴1O C B 、、三点共线∴1OBC B B 2O 9013-1-36S 022S S 4=⨯⨯⨯π=-π阴影扇形故答案为：342π-【点睛】本题考查旋转变换、扇形面积公式，三角形的面积公式，以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17、360°．【分析】根据题意利用正多边形的外角和等于360度，进行分析计算即可得出答案．【详解】解：因为任何一个多边形的外角和都是360°，所以正八边形的每个外角的度数和是360°．故答案为：360°．【点睛】本题主要考查多边形的外角和定理，熟练掌握任何一个多边形的外角和都是360°是解题的关键．18、171 4-．【分析】连接OP，OC，证明△OAP≌△OCP，可得PC与⊙O相切于点C，证明BC=CP，设OM＝x，则BC＝CP＝AP＝2x，PM＝y,证得△AMP∽△OAP，可得：1178x y+=，证明△PMF∽△BCF，由PF PMBF AP=可得出答案.【详解】解：连接OP，OC.∵PA与⊙O相切于点A，PA＝PC，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OAP＝∠OCP＝90°，∴PC与⊙O相切于点C，∵∠APB＝3∠BPC，∠APO＝∠CPO，∴∠CPB＝∠OPB，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵OP⊥AC，∴OP∥BC，∴∠CBP＝∠CPB，∴BC＝CP＝AP．∵OA ＝OB ，∴OM ＝1122BC AP =．设OM ＝x ，则BC ＝CP ＝AP ＝2x ，PM ＝y ，∵∠OAP ＝∠AMP ＝90°，∠MPA ＝∠APO ，∴△AMP ∽△OAP ， ∴AP OP PM AP=． ∴AP 2＝PM •OP ，∴（2x ）2＝y （y +x ），解得：18x y +=，18x y -=（舍去）． ∵PM ∥BC ，∴△PMF ∽△BCF ，∴PF PM PM BF BC AP ==＝2y x=．故答案为：14．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理. 正确作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.三、解答题（共78分）19、（1）证明见解析；（2）1.【分析】（1）由AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，可得AD ＝AB ，结合AD ∥BC ，可得四边形ABCD 是平行四边形，进而，可证明四边形ABCD 是菱形，（2）由四边形ABCD 是菱形，可得OC ＝12AC ＝2，在Rt △OCD 中，由勾股定理得：OD ＝1，根据“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”，即可求解.【详解】（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∴∠ADB ＝∠ABD ，∴AD ＝AB ，∵AB ＝BC ，∴AD ＝BC ，∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵AB ＝BC ，∴四边形ABCD 是菱形；（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OB ＝OD ，OA ＝OC ＝12AC ＝2，在Rt △OCD 中，由勾股定理得：OD 1，∴BD ＝2OD ＝8，∵DE ⊥BC ，∴∠DEB ＝90°，∵OB ＝OD ，∴OE ＝12BD ＝1．【点睛】本题主要考查菱形的判定定理及性质定理，题目中的“双平等腰”模型是证明四边形是菱形的关键，掌握直角三角形的性质和勾股定理，是求OE 长的关键.20、1.【解析】分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出整数解即可．详解：解不等式12（x+1）≤2，得：x≤3，解不等式2323x x ++≥，得：x≥0，则不等式组的解集为0≤x≤3，所以不等式组的整数解之和为0+1+2+3=1．点睛：此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21、（1）234y x x =-++；（2）存在，PD 最大值为4，此时P 的坐标为()2,6；（3）存在，()0,0或()4,0-或()4+或()442,0-【分析】（1）先确定A （4，0），B （-1，0），再设交点式y=a （x+1）（x-4），然后把C 点坐标代入求出a 即可；（2）作PE ⊥x 轴，交AC 于D ，垂足为E ，如图，易得直线AC 的解析式为y=-x+4，设P （x ，-x 2+3x+4）（0＜x ＜4），则D （x ，-x+4），再用x 表示出PD ，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）先计算出AC=42，再分类讨论：当QA=QC 时，易得Q （0，0）；当CQ=CA 时，利用点Q 与点A 关于y 轴对称得到Q 点坐标；当AQ=AC=42时可直接写出Q 点的坐标．【详解】（1）∵C （0，4），∴OC=4，∵OA=OC=4OB ，∴OA=4，OB=1，∴A （4，0），B （-1，0），设抛物线解析式为y=a （x+1）（x-4），把C （0，4）代入得a×1×（-4）=4，解得a=-1，∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-4），即y=-x 2+3x+4；（2）作PE⊥x 轴，交AC 于D ，垂足为E ，如图，设直线AC 的解析式为：y=kx+b ，∵A （4，0），C （0，4）∴404k b b +=⎧⎨=⎩解得，14k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线AC 的解析式为y=-x+4，设P （x ，-x 2+3x+4）（0＜x ＜4），则D （x ，-x+4），∴PD=-x 2+3x+4-（-x+4）=-x 2+4x =-（x-2）2+4，当x=2时，PD 有最大值，最大值为4，此时P 点坐标为（2，6）；（3）存在．∵OA=OC=4，∴，∴当QA=QC 时，Q 点在原点，即Q （0，0）；当CQ=CA 时，点Q 与点A 关于y 轴对称，则Q （-4，0）；当时，Q 点的坐标（，0）或（，0），综上所述，Q 点的坐标为（0，0）或（-4，0）或（，0）或（，0）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图形上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．22、（1）见解析；（2）a 1=-；b 1=-；【解析】(1)在坐标系中直接读出点的坐标即可，再由所读数值发现坐标之间的特征；(2)由上问所得结论可求解a 、b 的值.【详解】()1由图象可知，点()A 2,3，点()D 2,3--，点()B 1,2，点()E 1,2--，点()C 3,1，点()F 3,1--；对应点的坐标特征为：横坐标、纵坐标都互为相反数；()2由()1可知，a 32a 0++=，4b 2b 30-+-=，解得a 1=-，b 1=-．【点睛】本题考查了图形在坐标系中的旋转，根据坐标系中点的坐标确定旋转特点，从而确定旋转前后对应坐标之间的关系是解题关键.23、（1）点A 在该反比例函数的图像上，见解析；（2）Q 的横坐标是32；（3）见解析.【分析】（1）连接PC ，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，由此可求得点P 的坐标为（2；即可求得反比例函数的解析式为(0)y x x=>，连接AC ，过点B 作BG AC ⊥于点C ，求得点A 的坐标，由此即可判定点A 是否在该反比例函数的图象上；（2）过点Q 作QM x ⊥轴于点M ，设DM b =，则QM =，由此可得点Q 的坐标为()b +，(3)b +=b 值，即可求得点Q 的横坐标；（3）连接AP ，AP BC EF ==，AP BC EF ∥∥，结合（1）中的条件，将正六边形ABCDEF 先向右平移1个单位，个单位（平移后的点B 、C 在反比例函数的图象上）或将正六边形ABCDEF 向左平移2个单位（平移后的点E 、F 在反比例函数的图象上）.【详解】解：（1）连接PC ，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，在正六边形ABCDEF 中，点B 在y 轴上OBC ∴∆和PCH ∆都是含有30︒角的直角三角形，2BC PC CD ===1OC CH ∴==，3PH =∴点P 的坐标为3)3k ∴=∴反比例函数的表达式为230)y x => 连接AC ，过点B 作BG AC ⊥于点C120ABC ︒∠=，2AB BC ==1BG ∴=，3AG CG ==∴点A 的坐标为(1,3)当1x =时，3y =所以点A 在该反比例函数的图像上（2）过点Q 作QM x ⊥轴于点M六边形ABCDEF 是正六边形，60EDM ︒∴∠=设DM b =，则3QM b =∴点Q 的坐标为(3)b b +3(3)23b b +=解得1b =，2b =3b ∴+=∴点Q 的横坐标是32（3）连接AP ，AP BC EF ==，AP BC EF ∥∥∴平移过程：将正六边形ABCDEF 先向右平移1个单位，或将正六边形ABCDEF 向左平移2个单位【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标相结合是解决问题的关系．24、（1）见解析；（2）PC ＝1．【分析】（1）证明△PAC ∽△PCB ，可得PC PA PB PC =，即可证明PC 2=PA •PB ；（2）若3AC =4BC ，则43PC PB =，由（1）可求线段PC 的长．【详解】（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．∵AD ⊥DC 于D ，且AC 平分∠DAB ，∴∠PDA =90°，∠DAC =∠BAC ．∵∠PCA =∠PDA +∠DAC ，∠PBC =∠ACB +∠BAC ，∴∠PCA =∠PBC ．∵∠BPC =∠CPA ，∴△PAC ∽△PCB ， ∴PC PA AC PB PC CB==， ∴PC 2=PA •PB ；（2）∵3AC =4BC ， ∴43PC AC PB CB ==．设PC =4k ，则PB =3k ，PA =3k +7，∴(4k )2=3k (3k +7)，∴k =3或k =0(舍去)，∴PC =1．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，圆周角定理，解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．25、（1）y=2x ；（2，P （0，1710）. 【解析】（1）根据反比例函数比例系数k 的几何意义得出112k =，进而得到反比例函数的解析式；（2）作点A 关于y 轴的对称点A '，连接A B '，交y 轴于点P ，得到PA PB +最小时，点P 的位置，根据两点间的距离公式求出最小值A B '的长；利用待定系数法求出直线A B '的解析式，得到它与y 轴的交点，即点P 的坐标．【详解】（1）反比例函数(0)k y k x=>的图象过点A ，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，AOM ∆面积为1， ∴ 112k =， 0k >，2k ∴=，故反比例函数的解析式为：2y x=；（2）作点A 关于y 轴的对称点'A ，连接'A B ，交y 轴于点P ，则PA PB +最小．由15222y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，或412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ()1,2A ∴，14,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()'1,2A ∴-，最小值'A B == 设直线'A B 的解析式为y mx n =+，则2142m n m n -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3101710m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线'A B的解析式为3171010y x=-+，x∴=时，1710y=，P∴点坐标为17 0,10⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及最短路线问题，解题的关键是确定PA PB+最小时，点P的位置，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键．26、（1）见解析；（2）【解析】（1）连接OC．只要证明AE∥OC即可解决问题；（2）根据角平分线的性质定理可知CE=CF，利用面积法求出CF即可；【详解】（1）证明：连接O C．∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∵∠AEC＝90°，∴∠OCD＝∠AEC，∴AE∥OC，∴∠EAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAE．（2）作CF⊥AB于F．在Rt△OCD中，∵OC＝3，OD＝5，∴CD＝4，∵•OC•CD＝•OD•CF，∴CF＝，∵AC平分∠DAE，CE⊥AE，CF⊥AD，∴CE＝CF＝．【点睛】本题主要考查平行线的判定、角平分线的性质，熟练掌握这些知识点是解答的关键.。

2019-2020广东汕头金平区九年级上数学期末试题答案

2019-2020学年度（上）金平区九年级期末质量监测数学试卷参考答案一.选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)1.D2.C3.D4.D5.C6.C7.B8.B9.A 10.A二．填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）11. 1 12. 4 13. 3 14.2024 15.-2416. 24π17.②④三．解答题（一）（本题共3小题，每小题6分，共18分）18.解：配方得：x2﹣4x+4＝9，1分即（x﹣2）2＝9，3分开方得：x﹣2＝±3，4分解得：x1＝5，x2＝﹣1．6分（错一个扣1分）（其他解法参考给分）19.（1）旋转中心是 B ，1分旋转角度是60 度；2分（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，3分∴旋转角是60°；∴∠DBD′＝60°，4分又∵BD＝BD′，5分∴△BDD′是等边三角形．6分20.解：（1）如图，CD为所求；（3分，没结论扣1分）（2）连接OD，∵⊙O的直径AB＝10，∴∠ACB=90°，AO=DO=5. 4分∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=12∠ACB=45°.∴∠AOD=2∠ACD=90°. 5分在Rt△AOD中，==6分（其他解法参考给分）四．解答题（二）（本题共3小题，每小题8分，共24分）21.解：（1）（40-2x），2分D（2）根据题意得方程：x（40-2x）=150，4分解得：x1=5，x2=15，6分当x1=5时，40-2x=30＞25（不合题意，舍去），当x2=15时，40-2x=10＜25（符合题意）．7分答：花园面积为150米2时，篱笆AB长为15米．8分22.解：（1）；2分（2）记这三个项目分别为A、B、C，3分画树状图为：5分共有9种等可能的结果数，6分其中小红和小青被分配到同一个项目组的结果数为3，7分所以小红和小青被分到同一个项目组进行志愿服务的概率为＝．8分23.解：（1）把点A（2，a）代入y＝﹣x+6，得a＝-2+6，解得：a＝4，∴A（2，4）1分把A（2，4）代入反比例函数y＝，∴k＝2×4＝8；2分∴反比例函数的表达式为y＝8x；3分（2）∵一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于点C，∴C（6，0），4分设M（x，0），∴MC＝|6﹣x|，5分∴S△AMC＝|6﹣x|×4＝10，6分∴x＝1或x＝11，7分∴M的坐标为（1，0）或（11，0）. 8分五．解答题（三）（本题共2小题，每小题10分，共20分）24.（1）①证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA=90°. 1分∵BC AC=，∴∠CBA=∠BAC=45°，∠BOC=90°.∴∠BCO=45°.∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA. 2分∵∠CED=∠CBD+∠BCE，∠CDE=∠ABD+∠BAC，∴∠CED=∠CDE.∴CE=CD；3分②解法一：如图，取BD中点G，连接OG，∵O为AB的中点，∴AD=2OG，OG∥AD. 4分∴∠OGE=∠CDE.∵∠OEG=∠CED，∠CED=∠CDE，∴∠OGE=∠OEG. 5分∴OG=OE=1.∴AD=2OG=2；6分解法二：如图，作EM⊥BC，垂足为M，∵BD平分∠CBA，EO⊥AB，∴EM=EO=1. 4分∵∠BCO=45°.∴∠MEC=∠BCE=45°.∴CM=EM=1.∴==∴. 5分∴1.在Rt△AOD中，AC= 1)2==.∴AD=AC-CD=2；6分解法三：如图，作DN⊥AB，垂足为N.（余下略）（2）证明（法一）：如图，在BC上截取BP=AD，连接DP. 7分∵∠CBA=∠BAC=45°，∴BC=AC.∴CP=CD.∴∠CPD=45°.∴∠BPD=135°. 8分由旋转性质得，∠BDF=90°，BD=FD.∴∠BDC+∠FDA=90°.∵∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CBD=∠ADF.∴△DFA≌△BDP（SAS）. （SAS没写不扣分）∴∠FAD=∠DBO=135°. 9分∴∠FAB=∠FAD-∠BAC=135°-45°=90°.∴OA⊥AF.∴AF为⊙O的切线．10分证法二：如图，延长DA到Q，使DQ=CB. 7分由旋转性质得，∠BDF=90°，BD=FD.∴∠BDC+∠FDA=90°.∵∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CBD=∠ADF.∴△DFQ≌△BDC（SAS）. （SAS没写不扣分）∴FQ=CD，∠DQF=∠BCD=90°. 8分∵BC AC，∴BC=AC.∴DQ=AC.∴AQ=DC.∴FQ=DC.∴∠FAQ=∠AFQ=45°. 9分∴∠FAB=180°-∠FAQ-∠BAC=90°.∴OA⊥AF.∴AF为⊙O的切线．10分证法三：作FH⊥CA交CA延长线于点H.（余下略）25.解：（1）一次函数y=-2x-2与x 轴交于点A ，则A 的坐标为（-1,0）. 1分 ∵抛物线的顶点为（1，4），∴设抛物线解析式为()214y a x =-+. 2分 ∵抛物线经过点A （-1,0）， ∴()20114a =--+. ∴1a =-.∴抛物线解析式为()221423y x x x =--+=-++； 3分（2）解法一：连接OC.点C 为第一象限抛物线上一动点.点C 的横坐标为m ， ∴C （m ，223m m -++）.一次函数y=-2x-2与y 轴交于点B.则OB=2，∵A 的坐标为（-1,0），∴OA=1. 4分∴1112122AOBSOA OB =⋅=⨯⨯=， 22113(23)222AOC S OA m m m m =⨯⨯-++=-++，12BOC S OB m m =⨯⨯=.∴22213151912(2)222222ABC AOB AOC BOC S S S S m m m m m m =++=-+++=-++=--+. 5分当m=2时，S 的值最大，最大值为92； 6分解法二：作CE ∥y 轴，交AB 于点E. ∵A 的坐标为（-1,0），∴OA=1.点C 为第一象限抛物线上一动点.点C 的横坐标为m ，∴C （m ，223m m -++），E （m ，-2m-2）.∴CE=2223(22)45m m m m m -++---=-++. 4分∴2211191(45)(2)2222ABC ACE BECSSSCE OA m m m =-=⋅=⨯⨯-++=--+. 5分当m=2时，S 的值最大，最大值为92； 6分解法三：作CD ∥x 轴，交AB 于点D. 一次函数y=-2x-2与y 轴交于点B.则OB=2，点C 为第一象限抛物线上一动点.点C 的横坐标为m ， ∴C （m ，223m m -++）.把223y m m =-++代入y=-2x-2，解得x=21522m m --， ∴CD=m-（21522m m --）=215222m m -++. 4分∴221115192(2)(2)222222ABC BCD ADC S S S CD OB m m m =-=⋅=⨯⨯-++=--+. 5分当m=2时，S 的值最大，最大值为92； 6分解法四：构造矩形CC 1C 2C 3. （或构造梯形BCC 3C 2）一次函数y=-2x-2与y 轴交于点B.则OB=2， ∵A 的坐标为（-1,0），∴OA=1.点C 为第一象限抛物线上一动点.点C 的横坐标为m ，设点C 的纵坐标为n ，∴223n m m =-++，CC 1=n+2，CC 3=m+1，C 3A=m ，AC 2=2，C 2B=1，BC 1=m. 4分1111(1)(2)(2)(1)2112222ABCSm n m n n m n m =++-+-+-⨯⨯=++ =2215192(2)2222m m m -++=--+. 5分当m=2时，S 的值最大，最大值为92； 6分解法五：设过点C 平行直线AB 的直线l 的解析式为y=-2x+b ，由直线l 与抛物线解析式组成方程组，消掉y ，由△=0，求b 的值.（余下略）（3）点M 的坐标为（0，-1）、（0,5）、（0，317+）或（0，317-）.10分（对一个得一分）。

广东省汕头市金平区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题 (1)

广东省汕头市金平区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列方程式属于一元二次方程的是（）A ．330x x +-=B ．212+=x xC ．221x xy +=D ．22x = 2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ． 3．下列事件中为必然事件的是（）A ．抛一枚硬币，正面向上B ．打开电视，正在播放广告C ．购买一张彩票，中奖D ．从三个黑球中摸出一个是黑球 4．如图，O 的半径为10，圆心O 到弦AB 的距离为6，则AB 的长为（）A ．8B ．10C ．12D ．16 5．先将抛物线()213y x =-+关于x 轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（）A ．()213y x =--+B ．()213y x =-++ C ．()213y x =---D ．()213y x =-+- 6．在反比例函数3m y x -=的图象在某象限内，y 随着x 的增大而增大，则m 的取值范围是（）A ．3m >-B ．3m <-C ．3m >D ．3m < 7．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，P 为DE 上的一点（点P 不与点D 重合），则CPD ∠的度数为（）A ．30B ．36︒C ．60︒D ．72︒8．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（） A ．m≥1 B ．m≤1 C ．m ＞1 D ．m ＜19．下列语句，错误的是（）A ．直径是弦B ．相等的圆心角所对的弧相等C ．弦的垂直平分线一定经过圆心D ．平分弧的半径垂直于弧所对的弦 10．如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，动点P ，Q 同时从点A 出发，在正方形的边上，分别按A D C →→，A B C →→的方向，都以1/cm s 的速度运动，到达点C 运动终止，连接PQ ，设运动时间为x s ，APQ ∆的面积为2y cm ，则下列图象中能大致表示y 与x 的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．若点()2,1A -与()2,B m -关于原点对称，则m 的值是___________.12．在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色兵乓球和若干个白色兵乓球，从盒子里随机摸出一个兵乓球，摸到黄色兵乓球的概率为13，那么盒子内白色兵乓球的个数为________.13．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点为()5,0与()1,0，则抛物线的对称轴为直线x =___________.14．已知1x =-是关于x 的方程220ax bx +-=的一个根，则202022a b +-=___________.15．如图，ABC ∆的顶点A 和C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且//AB y 轴，点()2,6B ，将ABC ∆以点B 为旋转中心顺时针方向旋转90︒得到DBE ∆，恰好有一反比例函数k y x=图象恰好过点D ，则k 的值为___________.16．如图，在矩形ABCD 中，12AD =，以点C 为圆心，以CB 的长为半径画弧交AD 于E ，点E 恰好是AD 中点，则图中阴影部分的面积为___________.（结果保留π）17．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列四个代数式：①abc ，②93a b c -+，③24b ac -；④2a b +中，其值小于0的有___________（填序号）.三、解答题18．解方程：2450x x --=.19．如图，ABC ∆是等边三角形，ABD ∆顺时针方向旋转后能与CBD '∆重合.（1）旋转中心是___________，旋转角度是___________度，（2）连接DD '，证明：BDD '∆为等边三角形.20．如图，O 的直径10AB =，点C 为O 上一点，连接AC 、BC .（1）作ACB ∠的角平分线，交O 于点D ；（2）在（1）的条件下，连接AD .求AD 的长.21．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段再用40米长的篱笆围三面，形成一个矩形花园ABCD （院墙MN 长25米）.（1）设AB x =米，则BC =___________米；（2）若矩形花园的面积为150平方米，求篱笆AB 的长.22．2019汕头国际马拉松赛事设有“马拉松（42.195公里）”，“半程马拉松（21.0975公里）”，“迷你马拉松（5公里）”三个项目，小红和小青参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组.（1）小红被分配到“马拉松（42.195公里）”项目组的概率为___________.（2）用树状图或列表法求小红和小青被分到同一个项目组进行志愿服务的概率. 23．如图，一次函数6y x =-+的图象与反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限的图象交于()2,A a 和B 两点，与x 轴交于点C .（1）求反比例函数的解析式；（2）若点M 在x 轴上，且AMC ∆的面积为10，求点M 的坐标.24．已知：AB 为O 的直径，BC AC =,D 为AC 上一动点（不与A 、C 重合）.（1）如图1，若BD 平分CBA ∠，连接OC 交BD 于点E .①求证：CE CD =；②若1OE =，求AD 的长；（2）如图2，若BD 绕点D 顺时针旋转90︒得DF ，连接AF .求证：AF 为O 的切线.25．一次函数22y x =--分别与x 轴、y 轴交于点A 、B .顶点为()1,4的抛物线经过点A .（1）求抛物线的解析式；∆的面积为S.当m （2）点C为第一象限抛物线上一动点.设点C的横坐标为m，ABC为何值时，S的值最大，并求S的最大值；∆为直角三角形，请直接写出点M （3）在（2）的结论下，若点M在y轴上，ACM的坐标.参考答案1．D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可.【详解】A、是一元三次方程，故不符合题意；B、是分式方程，故不符合题意；C、是二元二次方程，故不符合题意；D、是一元二次方程，符合题意.故选：D.【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握定义是关键.2．C【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐项进行判断即可.【详解】A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意.故选：C.【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握定义是关键.3．D【分析】根据必然事件指在一定条件下一定发生的事件逐项进行判断即可.【详解】A，B，C选项中，都是可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合题意；D是必然事件，符合题意.故选：D.【点睛】本题考查必然事件的定义，熟练掌握定义是关键.4．D【分析】过点O 作OC ⊥AB 于C ，连接OA ，根据勾股定理求出AC 长，根据垂径定理得出AB=2CA ，代入求出即可.【详解】过点O 作OC ⊥AB 于C ，连接OA ，则OC=6，OA=10，由勾股定理得：8AC ==，∵OC ⊥AB ，OC 过圆心O ，∴AB=2AC=16，故选D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理等知识点的应用，正确作出辅助线是关键.5．C【分析】根据平面直角坐标系中，二次函数关于x 轴对称的特点得出答案．【详解】根据二次函数关于x 轴对称的特点：两抛物线关于x 轴对称，二次项系数，一次项系数，常数项均互为相反数，可得：抛物线()213y x =-+关于x 轴对称的新抛物线的解析式为()213y x =---故选：C.【点睛】本题主要考查二次函数关于x轴对称的特点，熟知两抛物线关于x轴对称，二次项系数，一次项系数，常数项均互为相反数，对称轴不变是关键.6．C【分析】由于反比例函数3myx-=的图象在某象限内y随着x的增大而增大，则满足30m<，再解不等式求出m的取值范围即可．【详解】∵反比例函数3myx-=的图象在某象限内，y随着x的增大而增大∴30m<解得：3m>故选：C.【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握图象在各象限的变化情况跟系数之间的关系是关键.7．B【分析】根据圆周角的性质即可求解.【详解】连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°，同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，故∠CPD=172362︒⨯=︒,故选B.【点睛】此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用.8．D【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根，∴()2240m =-->，解得：m ＜1．故选D ．点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．9．B【分析】将每一句话进行分析和处理即可得出本题答案.【详解】A.直径是弦，正确.B.∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,∴相等的圆心角所对的弧相等，错误.C.弦的垂直平分线一定经过圆心，正确.D.平分弧的半径垂直于弧所对的弦，正确.故答案选：B.【点睛】本题考查了圆中弦、圆心角、弧度之间的关系，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 10．A【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①02x ≤≤时，根据12APQ S AQ AP ∆=⋅，列出函数关系式，从而得到函数图象；②24x ≤≤时，根据''''APQ CP Q ABQ AP D ABCD S S S S S ∆∆∆∆=---正方形列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．【详解】①当02x ≤≤时，∵正方形的边长为2cm ， ∴21122APQ y S AQ AP x ∆==⋅=； ②当24x ≤≤时，APQ y S ∆=''''CP Q ABQ AP D ABCD S S S S ∆∆∆=---正方形()()()21112242222222x x x =⨯---⨯⨯--⨯⨯- 2122x x =-+，所以，y 与x 之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A 选项图象符合，故选A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．11．1【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反.【详解】∵点()2,1A -与()2,B m -关于原点对称∴1m =故填：1.【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握点的变化规律是关键．12．4【分析】先求出盒子内乒乓球的总个数，然后用总个数减去黄色兵乓球个数得到白色乒乓球的个数．【详解】解：盒子内乒乓球的总个数为2÷13＝6（个），白色兵乓球的个数6−2＝4（个），故答案为：4．【点睛】此题主要考查了概率公式，关键是掌握随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．13．3【分析】函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的交点的横坐标就是方程20ax bx c ++=的根，再根据两根之和公式与对称轴公式即可求解．【详解】根据两根之和公式可得15b a +=-，即6b a -= 则抛物线的对称轴：32b a-= 故填：3.【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式与对称轴公式，熟练掌握公式是关键．14．2024【分析】把1x =-代入方程得出-a b 的值，再整体代入202022a b +-中即可求解.【详解】把1x =-代入方程220ax bx +-=得：20a b --=，即2a b -=∴20202220202()2020222024a b a b +-=+-=+⨯=故填：2024.【点睛】本题考查一元二次方程的解法，运用整体代入法是解题的关键.15．-24【分析】先根据图形旋转的性质得BD=BA ，∠DBA=90°，再得出DB x ∥轴，然后求得点D 的坐标，最后利用待定系数法求解反比例函数的解析式即可.【详解】设DB 与y 轴的交点为F ，如图所示：∵ABC ∆以点B 为旋转中心顺时针方向旋转90︒得到DBE ∆，点()2,6B ，//AB y 轴∴BD=BA=6，∠DBA=90°∴DB x ∥轴∴DF=6-2=4∴点D 的坐标为（-4,6） ∵反比例函数k y x =图象恰好过点D ∴64k =-，解得：24k =- 故填：24-【点睛】本题主要考查坐标与图形变化-旋转、待定系数法求反比例函数解析式，根据图形旋转的性质得出点D 的坐标是关键.16．24π【分析】连接EC ，先根据题意得出162ED EC ==，再得出30ECD ∠=︒，然后计算出ECD ∆和BCE 扇形的面积即可求解.【详解】连接EC ，如下图所示：由题意可得：12EC BC AD ===∵E 是AD 中点 ∴162ED EC == ∴30ECD ∠=︒∴60ECB ∠=︒∴DC ==∴1182ECD S ED DC ∆== 60=144=24360BCE S ππ︒⨯︒扇形∴=24ECD BCE S S S π∆+=阴影扇形故填：24π.【点睛】本题主要考查扇形面积的计算、矩形的性质、解直角三角形，准确作出辅助线是关键. 17．②④【分析】①根据函数图象可得a b c 、、的正负性，即可判断；②令3x =-，即可判断；③令0y =，方程有两个不相等的实数根即可判断240b ac ->；④根据对称轴大于0小于1即可判断.【详解】①由函数图象可得0a <、0c < ∵对称轴02b a -> ∴0b >∴0abc >②令3x =-，则930y a b c =-+<③令0y =，由图像可知方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根∴240b ac ∆=-> ④∵对称轴12b a-< ∴20a b +<∴综上所述，值小于0的有②④.【点睛】本题考察二次函数图象与系数的关系，充分利用图象获取解题的关键信息是关键. 18．15=x ，21x =-【分析】先利用配方法，把左边配成完全平方，然后直接开方解方程即可.【详解】解：配方得：2449x x -+=，即()229x -=，开方得：23x -=±，解得：15=x ，21x =-．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种基本解法是关键.19．（1）B ，60；（2）见解析【分析】（1）根据三角形三个顶点中没有变动的点就是旋转中心来判断，再根据旋转的性质判断出旋转的角度即可；（2）先根据旋转的性质得出60DBD '∠=︒和BD BD '=即可证明.【详解】解：（1）旋转中心是B ，旋转角度是60度；（2）证明：ABC ∆是等边三角形，60ABC ∴∠=︒，∴旋转角是60︒；60DBD '∴∠=︒，又BD BD '=，BDD '∴∆是等边三角形．【点睛】本题主要考察正三角形的判定及性质、图形的旋转性质，熟练掌握性质是关键.20．（1）见解析；（2）【分析】（1）以点C 为圆心，任意长为半径(不大于AC 为佳)画弧于AC 和BC 交于两点，然后以这两个交点为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径画两段弧交于一点，过点C 和该交点的线就是ACB ∠的角平分线；（2）连接OD ，先根据角平分线的定义得出45ACD ∠=︒，再根据圆周角定理得出90AOD ∠=︒，最后再利用勾股定理求解即可.【详解】解：（1）如图，CD 为所求的角平分线；（2）连接OD ， O 的直径10AB =，90ACB ∴∠=︒，5AO DO ==. CD 平分ACB ∠，1452ACD ACB ∴∠=∠=︒. 290AOD ACD ∴∠=∠=︒.在Rt AOD ∆中，AD ==【点睛】本题主要考察基本作图、角平分线定义、圆周角定理、勾股定理，准确作出辅助线是关键. 21．（1）402x -；（2）15米【分析】（1）根据题意知道BC 的长度=篱笆总长-2AB 列出式子即可；（2）根据（1）中的代数式列出方程，解方程即可.【详解】解：（1）()402x -，（2）根据题意得方程：()402150x x -=，解得：15=x ，215x =，当15=x 时，4023025x -=>（不合题意，舍去），当215x =时，4021025x -=<（符合题意）．答：花园面积为150米2时，篱笆AB 长为15米．【点睛】本题主要考察列代数式、一元二次方程的应用，注意篱笆只围三面有一面是墙. 22．（1）13；（2）图见解析，13【分析】（1）直接利用概率公式可得；（2）记这三个项目分别为A 、B 、C ，画树状图列出所有可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算即可.【详解】解：（1）13P =；（2）记这三个项目分别为A 、B 、C ，画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中小红和小青被分配到同一个项目组的结果数为3，所以小红和小青被分到同一个项目组进行志愿服务的概率为3193=．【点睛】本题主要考察概率公式、树状图、列表法，熟练掌握公式是关键.23．（1）8y x =；（2）()1,0或()11,0 【分析】（1）先把点()2,A a 代入6y x =-+解得a 的值，再代入反比例函数(0)k y k x=≠中解得k 的值即可；（2）AMC ∆的面积可以理解为是以MC 为底，点A 的纵坐标为高，根据三角形的面积公式列式求解即可.【详解】解：（1）把点()2,A a 代入6y x =-+，得26a =-+，解得：4a =， ()2,4A ∴把()2,4A 代入反比例函数k y x=， 248k ∴=⨯=；∴反比例函数的表达式为8y x =；（2）一次函数6y x =-+的图象与x 轴交于点C ，()6,0C ∴，设(),0M x ，6MC x ∴=-，164102AMC S x ∆∴=-⨯=， 1x ∴=或11x =，M ∴的坐标为()1,0或()11,0.【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，注意MC 的值有两个.24．（1）①见解析，②2；（2）见解析【分析】（1）①先根据圆周角定理得出45CBA BAC ∠=∠=︒，再得出45BCO ∠=︒，再根据角平分线的定义得出CBD DBA ∠=∠，最后根据三角形外角定理即可求证；②取BD 中点G ，连接OG ，可得OG 是中位线，根据平行线的性质得OGE OEG ∠=∠，然后根据等腰三角形的性质得出1OG OE ==，最后再根据中位线的性质得出22AD OG ==；（2）BC 上截取BP AD =，连接DP ，由题意先得出BC AC =，再得出135BPD ∠=︒，然后由旋转性质得90BDF ∠=︒、BD FD =，再根据同角的补角相等得出CBD ADF ∠=∠，然后证的()DFA BDP SAS ∆≅∆，最后得出90FAB ∠=︒即可证明.【详解】解：（1）①证明：AB 为O 的直径，90BCA ∴∠=︒.BC AC =，45CBA BAC ∴∠=∠=︒，90BOC ∠=°.45BCO ∴∠=︒. BD 平分CBA ∠，CBD DBA ∴∠=∠.∠=∠+∠，CED CBD BCE∠=∠+∠，CDE ABD BAC∴∠=∠.CED CDE∴=；CE CD②解法一：如图，取BD中点G，连接OG，O为AB的中点，OG AD.∴=，//2AD OG∴∠=∠.OGE CDE∠=∠，∠=∠，CED CDEOEG CED∴∠=∠.OGE OEG∴==.1OG OE∴==；22AD OG⊥，垂足为M，解法二：如图，作EM BC⊥，BD平分CBA∠，EO AB∴==.1EM EO∠=︒.BCO45∴∠=∠=︒.45MEC BCE∴==.1CM EME C ∴=CD CE ∴==1OC OE CE ∴=+=.在Rt AOC ∆中，)12C C A ====+2AD AC CD ∴=-=；解法三：如图，作DN AB ⊥，垂足为N ，设CE x = BD 平分CBA ∠，DN AB ⊥，ND CD CE x ∴===.45BAC ∠=︒∴AD ==∴AC =，即)CD AD CE OE +=+∴1)x x =+解得：x =∴2AD ==（2）证明（法一）：如图，在BC 上截取BP AD =，连接DP .45CBA BAC ∠=∠=︒，BC AC ∴=.CP CD ∴=.45CPD ∴∠=︒.135BPD ∴∠=︒.由旋转性质得，90BDF ∠=︒，BD FD =.90.BDC FDA ∴∠+∠=︒90BDC CBD ∠+∠=︒，CBD ADF ∴∠=∠.()DFA BDP SAS ∴∆≅∆.（SAS 没写不扣分）135FAD DBO ∴∠=∠=︒.1354590FAB FAD BAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒.OA AF ∴⊥.AF ∴为O 的切线．证法二：如图，延长DA 到Q ，使DQ CB =.由旋转性质得，90BDF ∠=︒，BD FD =.90BDC FDA ∴∠+∠=︒.90BDC CBD ∠+∠=︒，CBD ADF ∴∠=∠.()DFQ BDC SAS ∴∆≅∆.（SAS 没写不扣分）FQ CD ∴=，90DQF BCD ∠=∠=︒.BC AC =，BC AC ∴=.DQ AC ∴=.AQ DC ∴=.FQ DC ∴=.45FAQ AFQ ∴∠=∠=︒.18090FAB FAQ BAC ∴∠=︒-∠-∠=︒.OA AF ∴⊥.AF ∴为O 的切线．证法三：作FH CA ⊥交CA 延长线于点H .（余下略）由旋转性质得，90BDF ∠=︒，BD DF =∴90.BDC FDA ∠+∠=︒90BDC CBD ∠+∠=︒，∴CBD ADF ∠=∠.∵90BCD DHF ∠=∠=︒∴()BDC DFH AAS ∆≅∆∴DC FH =、BC DH =BC AC =∴BC AC =∴DH AC =∴AH DC =∴45FAH AFH ∠=∠=︒∵AB 为O 的直径，∴90BCA ∠=︒∴45CAB ABC ∠=∠=︒∴18090FAB FAH BAC ∠=︒-∠-∠=︒∴OA AF ⊥.∴AF 为O 的切线．【点睛】本题主要考察圆周角定理、角平分线定义、中位线性质、全等三角形的判定及性质等，准确作出辅助线是关键.25．（1）2y x 2x 3=-++；（2）当2m =时，S 的值最大，最大值为92；（3）()0,1-、()0,5、30,2⎛+ ⎝⎭或30,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）设抛物线的解析式为()214y a x =-+，代入点A 的坐标即可求解；（2）连接OC ，可得点()23,2m m C m -++，根据一次函数22y x =--得出点A 、B 的坐标，然后利用三角形面积公式得出ABC AOB AOC BOC S S S S ∆∆∆∆=++的表达式，利用二次函数的表达式即可求解；（3）①当AC 为直角边时，过点A 和点C 做垂线交y 轴于点1M 和点2M ，过点C 的垂线交x 轴于点N ，得出45CAO ∠=︒，再利用等腰直角三角形和坐标即可求解；②当AC 为斜边时，设AC 的中点为K ，以K 为圆心AC 为直径做圆于y 轴于点3M 和点4M ，过点K 作KW y ⊥轴，先得出WK 和4312M K M K AC ==的值，再求出43M W M W =的值即可求解.【详解】解：（1）一次函数22y x =--与x 轴交于点A ，则A 的坐标为()1,0-.抛物线的顶点为()1,4，∴设抛物线解析式为()214y a x =-+.抛物线经过点()1,0A -， ()20114a -∴=-+.1a ∴=-. ∴抛物线解析式为()221423y x x x =--+=-++；（2）解法一：连接OC .点C 为第一象限抛物线上一动点.点C 的横坐标为m ，()223,m m C m ∴-++.一次函数22y x =--与y 轴交于点B .则2OB =， A 的坐标为()1,0-，1OA ∴=.1112122AOB S OA OB ∆∴=⋅=⨯⨯=， ()2211323222AOC S OA m m m m ∆=⨯⨯-++=-++， 12BOC S OB m m ∆=⨯⨯=. 22213151912(2)222222ABC AOB AOC BOC S S S S m m m m m m ∆∆∆∆=++=-+++=-++=--+∴.当2m =时，S 的值最大，最大值为92；解法二：作//CE y 轴，交AB 于点E .A 的坐标为()1,0-，1OA ∴=.点C 为第一象限抛物线上一动点.点C 的横坐标为m ，()223,m m C m ∴-++，(,22)E m m --.2223(22)45m m m C m E m -++---=-+∴+=.()221119145(2)2222ABC ACE BEC S S S CE OA m m m ∆∆∆=-=⋅=⨯⨯-++=--+∴. 当2m =时，S 的值最大，最大值为92；解法三：作//CD x 轴，交AB 于点D .一次函数22y x =--与y 轴交于点B .则2OB =，点C 为第一象限抛物线上一动点.点C 的横坐标为m ，()223,m m C m ∴-++.把223y m m =-++代入22y x =--，解得21522m x m --=， 22151522222m m C m D m m ⎛⎫∴=-= ⎪⎝-+⎭--+. 2211151922(2)222222ABC BCD ADC S S S CD OB m m m ∆∆∆⎛⎫=-=⋅=⨯⨯-++=--+ ⎪⎝⎭∴. 当2m =时，S 的值最大，最大值为92；解法四：构造矩形123CC C C .（或构造梯形32BCC C ）一次函数22y x =--与y 轴交于点B .则2OB =， A 的坐标为()1,0-，1OA ∴=.点C 为第一象限抛物线上一动点.点C 的横坐标为m ，设点C 的纵坐标为n ，223n m m =-++∴，12CC n =+，31CC m =+，3C A m =，22AC =，21C B =，1BC m =.1111(1)(2)(2)(1)2112222ABC S m n m n n m n m ∆=++-+-+-⨯⨯=++ 2215192(2)2222m m m -++=--+=. 当2m =时，S 的值最大，最大值为92；（3）由（2）易得点C 的坐标为()2,3，①当AC 为直角边时，过点A 和点C 做垂线交y 轴于点1M 和点2M ，过点C 的垂线交x 轴于点N ，如下图所示：由点A 和点C 的坐标可知：3tan 121CAO ∠==+ ∴45CAO ∠=︒∴11OM OA ==∴点1M 的坐标为()0,1-由题可知：325ON =+=∴25OM ON ==∴点2M 的坐标为()0,5； ②当AC 为斜边时，设AC 的中点为K ，以K 为圆心AC 为直径做圆于y 轴于点3M 和点4M ，过点K 作KW y ⊥轴，如下图所示：由点A 和点C 的坐标可得点K 的坐标是13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭∴12WK =，4312M K M K AC ===∴43M W M W ===∴点3M 的坐标为30,2⎛ ⎝⎭，点4M 的坐标为30,2⎛ ⎝⎭根据圆周角定理即可知道3490AM C AM C ∠=∠=︒∴点3M 和点4M 符合要求∴综上所述点M 的坐标为()0,1-、()0,5、30,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或30,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考察了待定系数法求抛物线解析式、一次函数、动点问题等，利用数形结合思想是关键.。

广东省汕头市金平区2022-2023学年九年级上学期期末教学质量监测数学试卷及解析

广东省汕头市金平区2022-2023学年九年级上学期期末教学质量监测数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（）A ．()213x x -=B ．1xy y +=C ．()10x x -=D ．10x x+= 2．已知反比例函数8y x =-，则它的图象不经过点（） A ．()1,8- B ．()1,8--C ．()1,8-D ．()2,4- 3．下列成语或词语所反映的事件中，发生的可能性大小最小的是（）A ．刻舟求剑B ．旭日东升C ．夕阳西下D ．瓜熟蒂落4．下列图案中，是中心对称图形的是（）A ．等边三角形B ．菱形C ．等腰梯形D ．等腰直角三角形5．已知一个扇形的圆心角为120︒，半径是6cm ，则这个扇形的弧长是（）A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π 6．对于二次函数23(2)y x =--的图象，下列说法正确的是（）A ．开口向上B ．对称轴是直线2x =-C ．当2x >-时，y 随x 的增大而减小D ．顶点坐标为()2,07．若方程230x x m -+=没有实数根，则m 值可以是（）A ．3B ．2C ．1D ．08．如图，AB 是O 的弦，OD 为O 半径．OC AB ⊥，垂足为C ，OD AB ∥，2OD OC =，则ODB ∠为（）度A ．60B ．65C ．70D ．759．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x 人，则根据题意可列出方程（）A ．()1256x x +=B ．2(1)256x x ++=C ．()1256x x x ++=D ．()11256x x x +++=10．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，并与x 轴交于A ，B 两点，若3OB OA =，则下列结论中：①0abc >；①22()0a c b +-=；①30a c +=；①若m 为任意实数，则234am bm b a +->，正确的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题11．将抛物线23y x =向下平移1个单位后得到新的抛物线的表达式为_______．12．一个正方形要绕它的中心至少旋转_______度才能与原来的图形重合.13．在一个不透明的盒子中装有10个大小相同的乒乓球，做了1000次摸球试验，摸到红球的频数是399，估计盒子中的红球的个数是_______．14．如图，点A 点B 是4y x=的图象上关于原点对称的两点，且AC y ∥轴，BC x ∥轴，ABC 面积为S ，则S 的值为 __．三、解答题15．如图，四边形ABCD 内接于O ，90ADC ∠=︒，DA DC =，24AB BC ==．则BD的长为_______．16．用配方法解方程：2660x x +-=．17．如图，正比例函数2y x =的图象与反比例函数k y x=的图象有一个交点为()2,P m ．(1)求反比例函数k y x=的函数表达式； (2)当0x >时，根据图象，直接写出2k x x <的解集． 18．在等边ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将BCD △绕点B 逆时针旋转60︒，得到BAE ，连接ED ．求证：AE BC ∥．19．如图，点P 为O 外一点．(1)过点P 作O 两条切线PA 、PB （尺规作图，保留痕迹，不写作法）(2)证明：PO 平分APB ∠．20．某景区检票口有A ，B ，C 共3个检票通道．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票．(1)求甲选择A 检票通道的概率；(2)求甲乙两人选择的检票通道恰好不同的概率．21．某景区的门票价格为每人80元，每天最多能接待2500名游客，在旅游旺季平均每天能售出1000张门票．为了吸引更多的游客，提高景区知名度，景区决定适当降低门票价格．经过调查发现，当票价每降低2元时，在旅游旺季每天可以多卖出100张票．(1)设每张门票降低x 元，则每天可售出_______张门票；(2)若景区想每天获得12万元的门票收入，则每张门票应降低多少元？22．如图，O 为ABC 的外接圆，连接BO 、CO ，并分别延长交AC 、AB 于点D 和点E ．若60A ∠=︒，BC =(1)求O 的面积S ；(2)证明：2OE OD +=．23．如图，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于点()2,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点C ，对称轴l 与x 轴交于点E ．点A 绕l 上一点P 逆时针旋转90︒，与点C 重合．(1)求抛物线的表达式；(2)求点P 的坐标；(3)在平面内存在一点Q ，使以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形．请直接写出点Q 的坐标．参考答案：1．C【分析】根据一元二次方程的定义即可求解，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．【详解】解：A. ()213x x -=，是一元一次方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；B. 1xy y +=，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；C. ()10x x -=即20x x -=，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；D. 10x x+=，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．2．B【分析】求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照k 即可得出结论．【详解】解：A 、()188⨯-=-，故反比例函数8y x =-图象经过点()1,8-，不合题意； B 、()188-⨯-=，故反比例函数8y x =-图象不经过点()1,8--，符合题意； C 、188-⨯=-，故反比例函数8y x=-图象经过点()1,8-，不合题意； D 、()248⨯-=-，故反比例函数8y x =-图象经过点()2,4-，不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．3．A【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．【详解】解：A ．刻舟求剑所反映的事件可能不发生，符合题意；B ．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；C ．夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；D ．瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．4．B【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】解：选项A 、C 、D 均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项B 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；故选：B ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．5．C 【分析】根据弧长的公式180n r l π=进行计算即可．【详解】解：根据弧长的公式：180n r l π=，得到：12064cm 180l ππ⨯==，故选：C ．【点睛】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．6．D【分析】根据二次函数解析式可得，该二次函数的图象开口向下，对称轴是直线2x =，顶点坐标为()2,0，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，【详解】对于二次函数23(2)y x =--，30-<，则开口向下，对称轴是直线2x =，顶点坐标为()2,0，故A ，B 选项错误，D 选项正确，当2x <时，y 随x 的增大而增大，当2x >时，y 随x 的增大而减小，①当2x >-时，y 随x 的增大先减小后增大，故C 选项错误，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．7．A【分析】利用根的判别式的意义得到()2340m ∆=--<，然后解不等式得到m 的范围，从而可对各选项进行判断．【详解】解：根据题意得()2340m ∆=--<，解得94m >， ①m 的值可以是3，故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．8．D【分析】连接OB ，则OB OD =，由OC AB ⊥，则30OBC ∠=︒，再由OD AB ∥，即可求出答案．【详解】解：如图：连接OB ，则OB OD =，12OC OD =， 12OC OB ∴=， OC AB ⊥，30OBC ∴∠=︒，OD AB ∥，30BOD OBC ∴∠=∠=︒，75OBD ODB ∴∠=∠=︒，故选D ．【点睛】本题考查了圆，平行线的性质，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．9．D【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x 人，则第一轮传染了()1+x 人，第二轮后则传染了()11x x x +++人，根据题意列出方程即可求解．【详解】解：每轮传染中平均每个人传染了x 人，根据题意可列出方程，()11256x x x +++=，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．10．A【分析】根据函数的图像即可得0a >，20b a =-<，0c <，即可判断①；根据抛物线对称轴1x =，3OB OA =得3OB =，1OA =，即可得点(10)A -，，(30)B ，，根据当=1x -时，0y =，即0a b c -+=，得22()()()0a c b a b c a b c +-=+++-=，即可判断①；根据2b a =-，当=1x -时，0y =，即0a b c -+=，即可得(2)30a b c a a c a c -+=--+=+=，即可判断①；当1x =时，函数有最小值y a b c =++，由2c am bm a b c ++≥++和对称性质变形可得243am bm c a b c ++>++，即可得若m 为任意实数，则234am bm b a +->，即可判断①，综上即可得．【详解】解：①抛物线开口向上，①0a >，①抛物线对称轴为直线12b x a=-=， ①20b a =-<，①抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，①0c <，①0abc >，①正确；①抛物线对称轴1x =，3OB OA =，①3OB =，1OA =，①点(10)A -，，(30)B ，， ①当=1x -时，0y =，即0a b c -+=，①22()()()0a c b a b c a b c +-=+++-=，故①正确；①2b a =-，当=1x -时，0y =，即0a b c -+=①(2)30a b c a a c a c -+=--+=+=，故①正确；当1x =时，函数有最小值y a b c =++，则2am bm c a b c ++≥++，2222233322350am bm a b am bm b a b b am bm b a b b a am bm b a a am bm ∴+≥+∴+-≥+-∴+-≥-=-∴+-≥>∴+-①若m 为任意实数，则234am bm b a +->，故①正确；综上，①①①①正确，正确的个数有4个；故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图像与系数的关系．11．231y x =-##213y x =-+【分析】利用平移的性质求解即可，可根据“上加下减” 进行解答．【详解】由“上加下减” 的原则可知，将抛物线23y x =向下平移1个单位后得到新的抛物线的表达式为231y x =-．故答案为：231y x =-．【点睛】本题主要考查二次函数的平移，掌握二次函数的平移方法是关键．12．90【详解】试题分析：要与原来正方形重合，故为360÷4=90°．故一个正方形绕它的中心至少旋转90°才能和原来的五边形重合．故答案为：90考点：旋转对称图形13．4【分析】根据概率公式先求出摸到红球的概率，然后乘以总球的个数即可得出答案．【详解】解：①做了1000次摸球试验，摸到红球的频数为399，①摸到红球的频率是：0.41000399≈， ①估计盒子中的红球的个数为：100.4⨯=4（个）；故答案为：4．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．14．8【分析】设A 点的坐标是(,)a b ，则4ab =；由函数的对称性可得(,)B a b --；进而得出2AC b =，2BC a =；然后根据三角形的面积公式计算即可；【详解】解：设A 点的坐标是(,)a b ；由反比例函数的对称性得：(,)B a b --；则：2AC b =，2BC a =①点A 在4y x=的图象上 ①4ab = ①S BC AC a b ab ==⨯⨯==11222822 故答案为：8【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质；熟练掌握反比例函数图像与表达式之间的关系是解题的关键．15．【分析】连接AC ，过点D 作DE AB ⊥于点E ，根据圆周角定理得出AC 是直径，ADC △是等腰直角三角形，勾股定理求得AC 的长，进而得出AD 的长，设DE x =，则4AE AB BE x =-=-，在Rt ADE △中，勾股定理求得DE 的长，进而即可求解．【详解】解：如图所示，连接AC ，过点D 作DE AB ⊥于点E ，①90ADC ∠=︒，①AC 是直径，①90ABC ∠=︒①24AB BC ==，①AC ==①DA DC =，90ADC ∠=︒①ADC △是等腰直角三角形，①45CD ∠=︒，AD AC == ①AD AD =，①45ABD ACD ∠=∠=︒，①DBE 是等腰直角三角形，①DE EB =，设DE x =，则4AE AB BE x =-=-，在Rt ADE △中，AD = 222AD AE DE =+，①()2224x x =-+，解得：3x =或1x =（舍去） ①BD ==故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键．16．123,3x x ==【分析】根据配方法解一元二次方程即可求解．【详解】解：2660x x +-=，①266x x += ．①26969x x ++=+．①()2315x +=．①3x +=解得：123,3x x ==．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．17．(1)8y x=(2)2x >【分析】（1）将点(2,)P m 代入2y x =，求出(2,4)P ，将点P 代入k y x=即可求出反比例函数表达式；（2）根据图像得到双曲线在直线下方对应的x 范围即可得出结论．【详解】（1）解：将点(2,)P m 代入2y x =， 4m ∴=，∴点P 坐标为(2,4)，将点(2,4)P 代入k y x=， 248k ∴=⨯=， ∴反比例函数为8y x=；（2）当0x >时，在点P 右侧，双曲线图像在直线下方， ①2k x x<的解集为2x >．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答问题．18．见解析【分析】先根据等边三角形的性质得BA BC =，60ABC C BAC ∠=∠=∠=︒，再根据旋转的性质得到60BAE BCD ∠=∠=︒，所以60BAE ABC ∠=∠=︒，则根据平行线的判定方法即可得到AE BC ∥．【详解】解：ABC 为等边三角形，BA BC ∴=，60ABC C BAC ∠=∠=∠=︒， BCD 绕点B 逆时针旋转60︒，得到BAE ，60BAE BCD ∴∠=∠=︒，BAE ABC ∴∠=∠，∴AE BC ∥．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质，平行线的判定．19．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接OP ，作OP 的垂直平分线，以OP 的中点为圆心，12OP 长为半径作圆，交O 于点,A B ，作直线,PA PB ，则,PA PB 即为所求；（2）根据切线的性质，证明Rt Rt PAO PBO ≌，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】（1）如图，P A 、PB 为所求；理由：①OP 为直径，①90,90OAP OBP ∠=︒∠=︒，①,PA PB 是O 的切线；（2）证明：连接OA 、OB ， PA 、PB 为O 两条切线，OA PA ∴⊥，OB PB ⊥．在Rt PAO 与Rt PBO 中，OA OB OP OP =⎧⎨=⎩， Rt Rt PAO PBO ∴≌．APO BPO ∠∠∴=．PO ∴平分APB ∠【点睛】本题考查了作垂线，作圆的切线，直径所对的圆周角是直角，切线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握切线的性质与判定是解题的关键．20．(1)13(2)23【分析】（1）由某景区检票口有A ，B ，C 共3个检票通道，根据概率公式直接计算可得答案；（2）先列表，求解所有的等可能的结果数，再得到符合条件的结果数，再利用概率公式进行计算即可.【详解】（1）解：某景区检票口有A ，B ，C 共3个检票通道，∴ 甲选择A 检票通道的概率为：1.3（2）解：列表如下：由表格信息可得：一共有9种等可能结果，甲乙两人选择的检票通道恰好不同的结果数有6种，所以甲乙两人选择的检票通道恰好不同的概率62.93【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，利用画树状图或列表的方法求解等可能事件的概率，掌握“列表法求概率”是解本题的关键.21．(1)()100050x +(2)每张门票应降低20元【分析】（1）根据题意“当票价每降低2元时，在旅游旺季每天可以多卖出100张票”，列出代数式；（2）根据题意列出一元二次方程，解方程，然后根据每天最多能接待2500名游客，取舍x 的值，即可求解．【详解】（1）解：设每张门票降低x 元，则每天可售出()10010001000502x x +=+张门票；故答案为：()100050x +．（2）解：依题意得：()()80100050120000x x -+=，整理得：2608000x x -+=，解得：122040x x ==，，当20x =时，1000501000502020002500x +=+⨯=<，符合题意；当40x =时，1000501000504030002500x +=+⨯=>，不符合题意，舍去．答：每张门票应降低20元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，根据题意列出方程是解题的关键． 22．(1)4π(2)见解析【分析】（1）作OF BC ⊥，垂足为F ，根据圆周角定理得出120BOC ∠∴=︒，进而得出30OBC OCB ∠∠==︒，在Rt OCF 中，勾股定理得出2OC =,即可求解．（2）延长CE 交①O 于点G ，连接BG ，得出OGB 为等边三角形，证明BGE OCD ≌，得出GE OD =，根据OE OD += 2OE GE OG OC +===，即可得证．【详解】（1）证明：作OF BC ⊥，垂足为F ，60A ∠=︒，120BOC ∠∴=︒．OB OC =，2BC =CF ∴=12BC =30OBC OCB ∠∠==︒． OF ∴=12OC ．在Rt OCF 中，222OF CF OC +=，∴2221()2OC OC +=， 2OC ∴=．①①O 的面积4πS =；（2）证明：延长CE 交①O 于点G ，连接BG ，120BOC ∠=︒，18060BOG DOC BOC ∠∠∠∴==︒-=︒．OG OB =，OGB ∴为等边三角形．BG OB ∴=，60G ∠=︒．,BG OC ∴= G ∠ DOC ∠=．又GBE OCD ∠∠=，BGE OCD ∴≌．GE OD ∴=．OE OD ∴+= 2OE GE OG OC +===．【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．23．(1)2142y x x =-- (2)P (1,1-)(3)Q 的坐标为(3,3--)、(1,3-)或(3,5-)．【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可求解；（2）连接PA 、PC ，作CD l ⊥于点D ，证明AEP PDC ≌，根据全等三角形的性质，结合图形即可求解；（3）根据平行四边形的性质，分,,AP PC AC 分别为平行四边形的对角线，根据平行四边形的性质，即可求解．【详解】（1）解：①抛物线212y x bx c =++与x 轴交于点()2,0A -，点()4,0B ， ①()()1242y x x =+-， ∴抛物线解析式为：2142y x x =--；（2）连接PA 、PC ，作CD l ⊥于点D ．抛物线解析式为2142y x x =--的对称轴l 为1x =， 1CD ∴=．点A 绕l 上一点P 逆时针旋转90︒，与点C 重合，PA PC ∴=，90APC ∠=︒．90APE DPC ∠∠∴+=︒．90APE PAE ∠∠+=︒，DPC ∠∴ PAE ∠=．AEP PDC ∴≌．1PE CD ∴==．∴点P 的坐标为(1,1-)；（3）解：由2142y x x =--令0x =，解得：4y =-， ①()0,4C -，如图所示，①点()2,0A -，点()1,1P -，()0,4C -，设(),Q x y ，依题意，①当AP 为平行四边形的对角线时，212240122x y -+⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得：13x y =-⎧⎨=⎩， ①()1,3Q -；①当AC 为平行四边形的对角线时，1202210422x y +-+⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得：33x y =-⎧⎨=-⎩， ①()3,3Q --①当PC 为平行四边形的对角线时，2102204122x y -+⎧=⎪⎪⎨+--⎪=⎪⎩，解得：35x y =⎧⎨=-⎩，①()3,5Q -综上所述，Q 的坐标为(3,3--)、(1,3-)或(3,5-)．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，旋转的性质，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．。

广东省汕头市金平区2022年数学九年级第一学期期末监测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为（）A ．（3，2）B ．（3，1）C ．（2，2）D ．（4，2）2．已知点()()()1233,2,,1,A y B y C y --,都在函数3y x =-的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（） A ．y 2＞y 1＞y 3 B ．y 1＞y 2＞y 3 C ．y 1＞y 3＞y 2D ．y 3＞y 1＞y 2 3．如图，BC 是⊙O 的直径，点A 、D 在⊙O 上，若∠ADC ＝48°，则∠ACB 等于（）度．A ．42B ．48C ．46D ．50 4．若2a=5b ，则a b =（） A ．25 B ．52 C ．2 D ．55．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，P 为DE 上的一点（点P 不与点D 重合），则CPD ∠的度数为（）A ．30B ．36︒C ．60︒D ．72︒6．如图是某货站传送货物的机器的侧面示意图.AD DB ⊥，原传送带AB 与地面DB 的夹角为30，为了缩短货物传送距离，工人师傅欲增大传送带与地面的夹角，使其由30改为45︒，原传送带AB 长为8m .则新传送带AC 的长度为（）A ．4B ．42C ．6D ．无法计算7．在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠C ＝45°，sinB ＝13，AD ＝1．则△ABC 的面积为（）A ．122+B ．1102+C ．1222+D ．221-8．如图，在Rt ABC ∆中，AC BC =，52AB =，以AB 为斜边向上作Rt ABD ∆，90ADB ∠=︒.连接CD ，若7CD =，则AD 的长度为（）A ．3242B ．3或4C ．22D ．2或49．抛物线29y x =-与x 轴交于A 、B 两点，则A 、B 两点的距离是（）A ．3B ．6C ．9D ．1810．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，且AE=CD=8，∠BAC=12∠BOD ，则⊙O 的半径为A．42B．5 C．4 D．3二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，AE、BE是△ABC的两个内角的平分线，过点A作AD⊥AE．交BE的延长线于点D．若AD＝AB，BE：ED＝1：2，则cos∠ABC＝_____．12．一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是________．13．已知反比例函数kyx的图象如图所示，则k_____ 0，在图象的每一支上，y随x的增大而_____．14．如图，已知菱形ABCD的面积为26cm，BD的长为4cm，则AC的长为__________cm．15．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.16．如图，这是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x的取值范围为_____．17．如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为________．18．四边形ABCD 为O 的内接四边形，AD 为O 的直径，E 为AD 延长线上一点，CE 为O 的切线，若020E ∠=，则ABC ∠=_________.若8,12DE CE ==，则ACE S ∆=__________．三、解答题(共66分)19．（10分） “辑里湖丝”是世界闻名最好的蚕丝，是浙江省的传统丝织品，属于南浔特产，南浔某公司用辑丝为原料生产的新产品丝巾，其生产成本为20元/条．此产品在网上的月销售量y （万件）与售价x （元/件）之间的函数关系为y ＝﹣0.2x +10（由于受产能限制，月销售量无法超过4万件）．（1）若该产品某月售价为30元/件时，则该月的利润为多少万元？（2）若该产品第一个月的利润为25万元，那么该产品第一个月的售价是多少？（3）第二个月，该公司将第一个月的利润25万元（25万元只计入第二个月成本）投入研发，使产品的生产成本降为18元/件．为保持市场占有率，公司规定第二个月产品售价不超过第一个月的售价．请计算该公司第二个月通过销售产品所获的利润w 为多少万元？20．（6分）综合与探究：三角形旋转中的数学问题．''''9090AB O OB C DAO DC O ∠+∠=︒∴∠+∠=︒实验与操作： Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°．将Rt △ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到Rt △AB′C′（点B′，C′分别是点B ，C 的对应点）．设旋转角为α（0°＜α＜180°），旋转过程中直线B′B 和线段CC′相交于点D ．猜想与证明：（1）如图1，当AC′经过点B 时，探究下列问题：①此时，旋转角α的度数为 °；②判断此时四边形AB′DC 的形状，并证明你的猜想；（2）如图2，当旋转角α＝90°时，求证：CD ＝C′D ；（3）如图3，当旋转角α在0°＜α＜180°范围内时，连接AD ，直接写出线段AD 与C 'C 之间的位置关系（不必证明）．21．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）如果AC=8，BC=6，CD=3，求AE的长．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．（1）请画出将△ABC向下平移5个单位后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长．23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90º，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．(1)求证:AE=CE ．(2)若EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，且CD=CF=2cm，求⊙O的直径．(3)若EF与⊙O相切于点E，点C在线段FD上，且CF:CD=2:1，求sin∠CAB ．24．（8分）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用500元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？25．（10分）小明和小亮两同学做游戏，游戏规则是：有一个不透明的盒子，里面装有两张红卡片，两张绿卡片，卡片除颜色外其他均相同，两人先后从盒子中取出一张卡片（不放回），若两人所取卡片的颜色相同，则小明获胜，否则小亮获胜．（1）请用画树状图或列表法列出游戏所有可能的结果；（2）请根据你的计算结果说明游戏是否公平，若不公平，你认为对谁有利？26．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB=10，动点E、F分别在边AB、AD上，且AF=12AE．将△AEF绕点E顺时针旋转10°得到△A'EF'，设AE=x，△A'EF'与矩形ABCD重叠部分面积为S，S的最大值为1．（1）求AD 的长；（2）求S 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【详解】∵正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13， ∴AD BG =13， ∵BG =6，∴AD =BC =2，∵AD ∥BG ，∴△OAD ∽△OBG ， ∴OA OB =13， ∴2OA OA +=13，解得：OA =1，∴OB =3，∴C 点坐标为：（3，2），故选A ．2、A【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点()()()1233,2,,1,A y B y C y --,分别代入函数3y x=-，求得123,,y y y 的，然后比较它们的大小．【详解】解：把()()()1233,2,,1,A y B y C y --,分别代入：3,y x=- 12331,,3,2y y y ∴===- ∵32＞1＞3-， ∴2y ＞1y ＞3y故选：A ．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，考查根据自变量的值判断函数值的大小，掌握判断方法是解题的关键． 3、A 【分析】连接AB ，由圆周角定理得出∠BAC=90°，∠B=∠ADC=48°，再由直角三角形的性质即可得出答案．【详解】解：连接AB ，如图所示：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC=90°，∵∠B=∠ADC=48°，∴∠ACB=90°-∠B=42°；故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．4、B【分析】逆用比例的基本性质作答，即在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．【详解】解：因为2a=5b ，所以a ：b=5：2；所以a b =52故选B ．【点睛】本题主要是灵活利用比例的基本性质解决问题．5、B【分析】根据圆周角的性质即可求解.【详解】连接CO 、DO ，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°，同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，故∠CPD=172362︒⨯=︒, 故选B.【点睛】此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用.6、B【分析】根据已知条件，在Rt ABD ∆中，求出AD 的长，再在Rt ACD ∆中求出AC 的值.【详解】AD DB ⊥，30ABD ∠=︒，AB =8 ∴30sin AD AB ︒=即128AD = ∴4=AD45ACD ∠=︒∴sin 45AD AC ︒=即242AC= 42AC ∴=故选B.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.7、C【分析】先由三角形的高的定义得出∠ADB ＝∠ADC ＝90°，解Rt △ADB ，得出AB ＝3，根据勾股定理求出BD ＝2，解Rt △ADC ，得出DC ＝1，然后根据三角形的面积公式计算即可；【详解】在Rt △ABD 中，∵sinB ＝AD AB ＝13，又∵AD ＝1，∴AB ＝3，∵BD 2＝AB 2﹣AD 2，∴BD 223122=-=．在Rt △ADC 中，∵∠C ＝45°，∴CD ＝AD ＝1．∴BC ＝BD+DC ＝22+1，∴S △ABC ＝12•BC•AD ＝12×（22+1）×1＝1222+，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的面积问题，掌握三角形的面积公式是解题的关键．8、A【分析】利用A 、B 、C 、D 四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等，得出ADC ABC ∠∠=，再作AE CD ⊥，设AE=DE=x ，最后利用勾股定理求解即可.【详解】解：如图所示，∵△ABC 、△ABD 都是直角三角形，∴A,B,C,D 四点共圆，∵AC=BC ，∴BAC ABC 45∠∠==︒，∴ADC ABC 45∠∠==︒，作AE CD ⊥于点E,∴△AED 是等腰直角三角形，设AE=DE=x,则AD =， ∵CD=7,CE=7-x,∵AB =∴AC=BC=5，在Rt△AEC 中，222AC AE EC =+，∴()22257x x =+-解得，x=3或x=4，∴AD ==故答案为：A.【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的综合应用，解题的关键是根据题目得出四点共圆，作出合理辅助线，在圆内利用勾股定理求解.9、B【分析】令y=0，求出抛物线与x 轴交点的横坐标，再把横坐标作差即可．【详解】解：令0y =，即290x ，解得13x =，23x =-， ∴A 、B 两点的距离为1．故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴交点坐标的求法，两点之间距离的表示方法．10、B【解析】试题分析：∵∠BAC=12∠BOD ，∴BCBD =．∴AB ⊥CD ． ∵AE=CD=8，∴DE=12CD=1．设OD=r ，则OE=AE ﹣r=8﹣r ，在RtODE 中，OD=r ，DE=1，OE=8﹣r ，∴OD 2=DE 2+OE 2，即r 2=12+（8﹣r ）2，解得r=2．故选B ．二、填空题(每小题3分,共24分)11、32【分析】取DE 的中点F ，连接AF ，根据直角三角形斜边中点的性质得出AF ＝EF ，然后证得△BAF ≌△DAE ，得出AE ＝AF ，从而证得△AEF 是等边三角形，进一步证得∠ABC ＝60°，即可求得结论．【详解】取DE 的中点F ，连接AF ，∴EF ＝DF ，∵BE ：ED ＝1：2，∴BE ＝EF ＝DF ，∴BF ＝DE ，∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠D ，∵AD ⊥AE ，EF ＝DF ，∴AF ＝EF ，在△BAF 和△DAE 中AB AD ABF D BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAF ≌△DAE （SAS ），∴AE ＝AF ，∴△AEF 是等边三角形，∴∠AED ＝60°，∴∠D ＝30°，∵∠ABC ＝2∠ABD ，∠ABD ＝∠D ，∴∠ABC ＝60°，∴cos ∠ABC ＝cos60°3【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．12、38【分析】由题意根据概率的概念以及求概念公式进行分析即可求解.【详解】解：由题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，共8个，从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是38．故答案为：38．【点睛】本题考查概率的求法，即如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n. 13、<, 增大.【解析】根据反比例函数的图象所在的象限可以确定k 的符号；根据图象可以直接回答在图象的每一支上，y 随x 的增大而增大．【详解】根据图象知，该函数图象经过第二、四象限，故k ＜0；由图象可知，反比例函数y ＝k x 在图象的每一支上，y 随x 的增大而增大．故答案是：＜；增大．【点睛】本题考查了反比例函数的图象．解题时，采用了“数形结合”的数学思想．14、3【分析】根据菱形面积公式求得. 【详解】解：21==62ABCD S AC BD cm ⋅菱形 1462AC ⨯= 3AC cm =【点睛】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直，菱形的面积公式.15、1；【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数．【详解】∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，∴360°÷45°=1即该正多边形的边数是1．【点睛】本题主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）．16、﹣1＜x＜1．【分析】根据图象直接可以得出答案【详解】如图，从二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象中可以看出函数值小于0时x的取值范围为：﹣1＜x＜1【点睛】此题重点考察学生对二次函数图象的理解，抓住图象性质是解题的关键17、直线x＝2【解析】试题分析：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，∴这两点一定关于对称轴对称，∴对称轴是：x==1考点: 二次函数的性质18、125540 13【分析】连接OC，AC、过点A作AF⊥CE于点F，根据相似三角形的性质与判定，以及勾股定理即可求出答案．【详解】解：连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE=90°，∵∠E=20°，∴∠COD=70°，∵OC=OD ， 18070552ODC ︒︒︒-∴∠== ∴∠ABC=180°-55°=125°，连接AC ，过点A 做AF ⊥CE 交CE 于点F ，设OC=OD=r ， ∴OE=8+r ，在Rt △OEC 中，由勾股定理可知：（8+r ）2=r 2+122，∴r=5， ∵OC ∥AF∴△OCE ∽△AEF ，OE OC AE AF∴= 13518AF∴= 9013AF ∴= 1540213ACE S AF CE ∆∴=⋅= 故答案为：540125,13︒ 【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，相似三角形的性质与判定，切线的性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．三、解答题(共66分)19、（1）该月的利润为40万元；（1）该产品第一个月的售价是45元；（3）该公司第二个月通过销售产品所获的利润w 至少为13万元，最多获利润16.1万元．【分析】（1）根据题意销售量与售价的关系式代入值即可求解;（1）根据月利润等于销售量乘以单件利润即可求解;（3）根据根据（1）中的关系利用二次函数的性质即可求解．【详解】（1）根据题意,得:当x ＝30时,y ＝﹣0.1×30+10＝4,4×10＝40,答:该月的利润为40万元．（1）15＝（x ﹣10）（﹣0.1x +10）,解得x 1＝45,x 1＝15（月销售量无法超过4万件,舍去）．答:该产品第一个月的售价是45元．（3）∵由于受产能限制,月销售量无法超过4万件,且公司规定第二个月产品售价不超过第一个月的售价．∴30≤x ≤45,w ＝y （x ﹣18）﹣15＝（﹣0.1x +10）（x ﹣18）﹣15＝﹣0.1x 1+13.6x ﹣105＝﹣0.1（x ﹣34）1+16.1．当30≤x ≤45时,13≤w ≤16.1．答:该公司第二个月通过销售产品所获的利润w 至少为13万元,最多获利润16.1万元.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用,解决本题的关键是掌握销售问题各个量之间的关系并熟练运用二次函数.20、（1）①60；②四边形AB′DC 是平行四边形，证明见解析．（2）证明见解析；（3）'AD CC ⊥【分析】（1）①根据矩形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定方法解题；'''AO OB AB B ACD DO OC∴=∠=∠， ②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解题；（2）过点'C 作''B C 的垂线，交'B D 于点E ，由旋转的性质得到对应边、对应角相等，进而证明△CDB ≌△'C DE ，即可解题；（3）先证明''AOB DOC ，再由相似三角形的性质解题，进而证明''AOD B OC 即可证明'AD CC ⊥.【详解】解：（1）①60；②四边形AB′DC 是平行四边形．证明：∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴∠CAB=90°-30°=60°．∵Rt △AB′C′是由 Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，∴∠C′AB′=∠CAB=60°，'AB AB =，'AC AC =．'ACC ∴与ABB '都是等边三角形．∴∠ACC′=∠AB′B=60°．∵∠CAB′=∠CAB+∠C′AB′=120°，∴∠ACC′+∠CAB′=180°，∠CAB′+∠ABB′=180°．∴AB′//CD ，AC//B′D ．∴四边形AB′DC 是平行四边形．（2）证明：过点'C 作''B C 的垂线，交'B D 于点E ，∴∠B′C′E=90°．∵Rt △AB′C′是由 Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到的，∴∠CAC′=∠BAB′=∠B′C′E=90°，'AB AB =，''BC B C =．∴∠A 'B B=∠AB 'B =45°，BC ∥AB′∥C′E∵∠A 'B C=∠ABC=90°，∴∠B 'B 'C =∠CBE=45°．∴∠''B EC =90°－45°=45°=∠B 'B 'C ． ∴'''B C C E BC ==．在△CBD 和△'C ED 中，CDB C DE CBD C ED CB C E ∠∠⎧⎪∠=∠'=''⎨⎪⎩＝∴△CDB ≌△'C DE ．∴CD= 'C D ．（3）AD ⊥C 'C ,理由如下：设AC 与D 'B 交于点O ，连接AD ，''''AB AB CAC BA C B AC A ==∠=∠，，，''''AB B ABB ACC AC ∴∠=∠∠∠==C ，''AOB DOC ∴ ''AO DO OB OC ∴= ''AOD B OC ∠=∠''AOD B OC ∴''DAO OB C ∴∠=∠∴∠ADC′=180°-∠DAO-∠AC′C=180°-∠OB′C′-∠AB′B ，90ADC ∴='∠︒，AD CC ∴⊥'【点睛】本题考查几何综合，其中涉及三角形的旋转、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定等知识，综合性较强，是常见考点，掌握相关知识、学会作适当辅助线是解题关键.21、（1）见解析；（2）2【分析】（1）由∠AED=∠C=90°以及∠A=∠A 公共角，从而求证△ABC ∽△ADE ；（2）由△ABC ∽△ADE ，可知AE AD AC AB=，代入条件求解即可. 【详解】（1）证明：∵DE ⊥AB 于点E ，∴∠AED=∠C=90°．∵∠A=∠A ，∴△ABC ∽△ADE ．（2）解： ∵AC=8，BC=6，∴AB=1．∵△ABC ∽△ADE ，∴AE AD AC AB=． ∴AE=2．【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等难度题型．22、（1）图见解析；（2）图见解析；路径长5π．【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点即可得到△A 1B 1C 1为所作；（2）利用网格特定和旋转的性质画出A 、B 、C 的对应点A 2、B 2、C 2，从而得到△A 2B 2C 2，然后计算出OB 的长后利用弧长公式计算点B 旋转到点B 2所经过的路径长．【详解】解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；（2）如图，△A 2B 2C 2为所作，OB 2224+5点B 旋转到点B 29025π⋅⋅5．【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．23、（1）见解析；（2）3；（3）12【分析】（1）连接DE ，根据90ABC ∠=︒可知：AE 是O 直径，可得90ADE ∠=︒，结合点D 是AC 的中点，可得出ED 是AC 的中垂线，从而可证得结论；（2）根据ADE AEF ∽，可将AE 解出，即求出⊙O 的直径；（3）根据等角代换得出CAB DEA ∠=∠，然后根据CF:CD=2:1，可得AC=CF ，继而根据斜边中线等于斜边一半得出2AE CE AC CF CD ====，在RT ADE 中，求出sin ∠CAB 即可．【详解】证明：（1）连接DE ，90ABC ∠=︒ ，90ABE ∴∠=︒ ，∴AE 是O 直径∴90ADE ∠=︒，即DE AC ⊥，又∵D 是AC 的中点，∴DE 是AC 的垂直平分线，∴AE CE =；（2）在ADE 和EFA △中，90ADE AEF DAE EAF∠∠︒⎧⎨∠∠⎩＝＝＝，故可得ADE AEF ∽，从而AE AD AF AE = ，即26AE AE=，解得：3cm ；即⊙O 的直径为3cm ．（3）9090CAB ACB DEA DAE DAE ACB ∠+∠=︒∠+∠=︒∠=∠，，， CAB DEA ∴∠=∠，21CF CD =：：，D 是AC 的中点， 22CF CD AC CD ∴==，，2AE CE AC CF CD ∴====，在RT ADE 中，122AD CD sin DEA AE CD ∠===．故可得12sin CAB sin DEA ∠=∠=．【点睛】本题主要考查圆周角定理、切线的性质及相似三角形的性质和应用，属于圆的综合题目，难度较大，解答本题的关键是熟悉各个基础知识的内容，并能准确应用．24、（1）()22003060y x x =-+≤≤ ；（2）销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1900元.【分析】（1）根据图象利用待定系数法，即可求出直线解析式；（2）利用每件利润×总销量=总利润，进而求出二次函数最值即可．【详解】解：（1）设一次函数关系式为(0)y kx b k =+≠由图象可得，当30x =时，140y =；50x =时，100y =.∴1403010050k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得2200k b =-⎧⎨=⎩∴y 与x 之间的关系式为()22003060y x x =-+≤≤（2）设该公司日获利为W 元，由题意得2(30)(2200)5002(65)1950W x x x =--+-=--+∵20a =-<；∴抛物线开口向下；∵对称轴65x =；∴当65x <时，W 随着x 的增大而增大；∵3060x ≤≤，∴60x =时，W 有最大值；()22606519501900W =-⨯-+=最大值.即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1900元.【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在2b x a=-时取得。

广东省汕头市金平区2020-2021学年第一学期九年级数学质量监测试卷原卷(含答案)

2020-2021学年度（上）金平区九年级期末质量监测数学试卷参考答案一.选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)1．B． 2．D． 3．B． 4．D． 5．C． 6．C． 7．C． 8．A． 9．A． 10．B．二．填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）11．二． 12． 1． 13．20． 14．x 1=-1,x2=3． 15．15π． 16．（-2，22）． 17．3．三．解答题（一）（本题共3小题，每小题6分，共18分）18．解：x2-6x+5=0，（x-5）（x-1）=0，2分∴x-5=0或x-1=0，4分∴x1=5，x2=1．6分19．解：设每次下降的百分率为x，1分依题意，得：2500（1-x）2=1600，3分解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）．5分答：每次下降的百分率为20%．6分20．解：（1）如图所示，AD即为所求．4分（2）∵∠BCA=59°、∠B=65°，∴∠B AC=180°-∠BCA-∠B=56°，5分由作图可知AD平分∠BAC，∴∠DCB=∠DAC=12∠BAC=28°．6分四．解答题（二）（本题共3小题，每小题8分，共24分）21．解：（1）13； 2分（2）用树状图表示所有可能出现的结果如下：5分共有12种等可能出现的结果，其中选中“地理”“思品”的有2种，6分∴P（地理思品）=21126=．8分22．证明：（1）由旋转性质得，∠DAF=90°，AF=AD ． 1分∵∠DAE =45°，∴∠FAE=∠DAF-∠DAE =45°．∴∠FAE=∠DAE ． 2分∵AE=AE ，∴△AED ≌△AEF ）． 3分∴DE=EF ； 4分（2）∵BC=4，BD=1，∴CD=3，即DE+CE=3． 5分由旋转性质得，∠ACF=∠ABC=45°，CF=BD=1．∵∠AC B=45°，∴∠EC F=90°． 6分∴CF 2+CE 2=EF 2．∴1+（3-DE ）2=DE 2． 7分 ∴DF=53． 8分 23．解：（1）如图，过点A 作AD ⊥OB ，垂足为D ． 1分∵点B （4，0），∴OB=4．∵AO=AB ，∴OD ＝BD ＝2． 2分把x=2代入y 1=3x ，解得y = 32， ∴AD=32． 3分在Rt △AOD 中，AO=222235222OD AD ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭； 4分（2）由题意得'A 点的坐标为(2，32+m)， 5分 ∵'O C= ''A O ＝OA ＝52， ∴C 点的坐标为(52，m)， 6分 ∵点'A ，C 都在反比例函数y 2＝k x (x ＞0)的图象上，∴2(32+m)＝52m ，解得m=6； 7分∴k=52m=15． 8分五．解答题（三）（本题共2小题，每小题10分，共20分）24．（1）证明：连接OD ， 1分∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠OBD ＝∠CBD ．∴∠ODB ＝∠CBD ．∴OD ∥BE ． 2分∵BE ⊥DE ，∴OD ⊥DE ．∴DE 与⊙O 相切； 3分（2）证明：作OP ⊥BC ，垂足为P ，∴BC=2PC ， 4分∵BE ⊥DE ，OD ⊥DE ，∴∠ODE=∠DEP=∠EPO=90°．∴四边形ODEP 为矩形．∴OD=PE ． 5分∴AB=2OD=2PE=2（PC+EC ）=2PC+2EC=BC+CE+CE= BE+CE ； 6分（3）解：设OD 交AC 于点Q ，∵∠OBD ＝∠CBD ，∴AD CD =．∴AQ=CQ ． 7分∵OA=OB ，∴OQ=12BC ． 8分 ∵∠ODB ＝∠CBD ，∠DFQ ＝∠BFC ，∵点F 为DB 中点，∴DF=BF ．∴△DQF ≌△BFC ．∴QD ＝BC ． 9分∴OD=OQ+DQ=12BC+BC=32BC=OA=3． ∴BC=2． 10分25．解：（1）OA ＝2＝BC ，故函数的对称轴为x ＝1，则x ＝﹣＝1①， 1分将点A 的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a ﹣2b +3②， 2分联立①②并解得3834a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故抛物线的表达式为：y ＝﹣38x 2+34x +3； 3分（2）抛物线y ＝﹣38x 2+34x +3与y 轴交点B 的坐标为（0,3），∴OB=3．作AD ⊥BC ，垂足为D ，则四边形OADB 为矩形． ∴AD=OB=3，CD=BD+BC=OA+BC=4． 4分 M 在抛物线上，横坐标为m ，则M （m ，﹣38m 2+34m +3）． 5分连接DM ，∴S △ACM =S △ADM +S △DCM -S △ADC =()2113313243422842m m m ⎛⎫⨯⨯++⨯⨯−−⨯⨯ ⎪⎝⎭=2334m −． 6分 ∵S △ACM =24， ∴2334m −=24．∵m>2，∴解得m=6； 7分（3）点P 的坐标（2，-9），（10，-3），或（-6，9）． 10分。

2023届金平区数学九年级第一学期期末综合测试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，则在下列五个条件中：①∠AED ＝∠B ；②DE ∥BC ；③AD AC ＝AE AB；④AD ·BC ＝DE ·AC ；⑤∠ADE ＝∠C ，能满足△ADE ∽△ACB 的条件有( )A ．1个B ．2C ．3个D ．4个2．如图，在▱ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，若BG=42，则△CEF 的面积是（）A ．22B 2C ．32D ．423．在平面直角坐标系中，点P （﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为（）A ．（﹣1，﹣2）B ．（1，﹣2）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，1）4．已知⊙O 的半径为4cm ，点P 在⊙O 上，则OP 的长为（）A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm 5．抛物线()2221y x =--关于x 轴对称的抛物线的解析式为（）.A ．()2221y x =-+B ．()2221y x =--+ C ．()221y x =--- D ．()221y x =-+- 6．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =．将ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后得到EDC △，此时点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A ．302，B ．602，C ．3602， D ．603， 7．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C 为位似中心，在网格中画111A B C △，使111A B C △与ABC 位似，且111A B C △与ABC 的位似比为2:1，则点1B 的坐标可以为（）A ．()3,2-B ．()4,0C ．(5,1)-D ．()5,08．用10m 长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为62m ．若设它的一条边长为xm ，则根据题意可列出关于x 的方程为（）A ．(5)6x x -=B ．(5)6x x +=C ．(10)6x x -=D ．(102)6x x -=9．如图，二次函数2y x bx =-+的图象与x 轴交于点（4，0），若关于x 的方程20x bx t -+-= 在13x <<的范围内有实根，则t 的取值范围是（）A ．34t <<B ．34t <≤C ．34t ≤≤D ．34t ≤<10．如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置，若四边形AECF 的面积为25，DE=3，则AE 的长为( )A ．34B ．5C ．8D ．411．下列说法中，不正确的是（）A ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形B ．圆有无数条对称轴C ．圆的每一条直径都是它的对称轴D ．圆的对称中心是它的圆心12．如图钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长32m ，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 逆时针转动15°到AC ′的位置，此时露在水面上的鱼线B 'C '长度是（）A ．3mB ．33 mC ．23 mD ．4m二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，如果点A 的坐标为（1，0），那么点2019B 的坐标为________．14．如图，正方形ABCD 中，点E 为射线BD 上一点，15EAD ∠=︒，EF AE ⊥交BC 的延长线于点F ，若6BF =，则AB =______15．某车间生产的零件不合格的概率为．如果每天从他们生产的零件中任取10个做试验，那么在大量的重复试验中，平均来说，天会查出1个次品．16．一种药品原价每盒25元，两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，可列方程________．17．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为__．18．反比例函数kyx的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随x值增大而减小．那么k的取值范围是_____________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B 在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明．20．（8分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2=1．求证：对于任意实数t，方程都有实数根；21．（8分）用适当的方法解下列方程：(1)x2－6x＋1＝022．（10分）()1计算：02cos30(π 3.14)12+--()2解方程：2x 4x 12+=23．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数(0)y ax b a =+≠的图象与反比例函数(0)k y k x=≠的图象交于一、三象限内的A ．B 两点，与x 轴交于C 点，点A 的坐标为（2,m)，点B 的坐标为（n ，－2），tan ∠BOC ＝25．（l ）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x 轴上有一点E （O 点除外），使得△BCE 与△BCO 的面积相等，求出点E 的坐标．24．（10分）如图,在△ABC 中,D 为BC 边上的一点,且∠CAD=∠B,CD=4，BD=2,求AC 的长25．（12分）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中的x ，y 满足下表x… －1 0 1 3 … y … 0 3 1 0 …不求关系式，仅观察上表，直接写出该函数三条不同类型的性质：（1）；（2）；（3）．26．如图，E 是□ ABCD 的边BA 延长线上一点，连接EC ，交AD 于点F ．求证：△EBC ∽△CDF ．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．【详解】解：①由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；②DE∥BC，则有∠AED=∠C，∠ADE=∠B，则可判断△ADE∽△ACB；③ADAC＝AEAB，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；④AD·BC＝DE·AC，可化为AD DEAC BC，此时不确定∠ADE=∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；⑤由∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；所以能满足△ADE∽△ACB的条件是：①②③⑤，共4个，故选：D．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的三种判定定理．2、A【详解】解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE；又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=42，∴AG=22AB BG-=2，∴AE=2AG=4；∴S△ABE=12AE•BG=1442822⨯⨯=．∵BE=6，BC=AD=9，∴CE=BC﹣BE=9﹣6=3，∴BE：CE=6：3=2：1，∵AB∥FC，∴△ABE∽△FCE，∴S△ABE：S△CEF=（BE：CE）2=4：1，则S△CEF=14S△ABE=22．故选A．【点睛】本题考查1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．3、B【解析】用关于原点的对称点的坐标特征进行判断即可.【详解】点P(-1,2)关于原点的对称点的坐标为(1,-2),故选: B.【点睛】根据两个点关于原点对称时, 它们的坐标符号相反.4、B【分析】根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解．【详解】∵⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，∴OP=4cm．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP=d ，则有：点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d=r ；点P 在圆内⇔d ＜r ．5、B【解析】先求出抛物线y=2（x ﹣2）2﹣1关于x 轴对称的顶点坐标，再根据关于x 轴对称开口大小不变，开口方向相反求出a 的值，即可求出答案.【详解】抛物线y =2（x ﹣2）2﹣1的顶点坐标为（2，﹣1），而（2，﹣1）关于x 轴对称的点的坐标为（2，1），所以所求抛物线的解析式为y =﹣2（x ﹣2）2+1．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的轴对称变换，此图形变换包括x 轴对称和y 轴对称两种方式.二次函数关于x 轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a 值为原来的相反数，顶点位置改变，只要根据关于x 轴对称的点坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定解析式. 二次函数关于y 轴对称的图像，其形状不变，开口方向也不变，因此a 值不变，但是顶点位置改变，只要根据关于y 轴对称的点坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定解析式.6、C【解析】试题分析：∵△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴∠B=60°，AC=BC×cot ∠AB=2BC=4， ∵△EDC 是△ABC 旋转而成，∴BC=CD=BD=12AB=2， ∵∠B=60°，∴△BCD 是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE ⊥AC ，∴DE ∥BC ，∵BD=12AB=2， ∴DF 是△ABC 的中位线，∴DF=12BC=12×2=1，CF=12AC=12×∴S 阴影=12DF×CF=122考点：1.旋转的性质2.含30度角的直角三角形．7、B【解析】利用位似性质和网格特点，延长CA 到A 1，使CA 1=2CA ，延长CB 到B 1，使CB 1=2CB ，则△A 1B 1C 1满足条件；或延长AC 到A 1，使CA 1=2CA ，延长BC 到B 1，使CB 1=2CB ，则△A 1B 1C 1也满足条件，然后写出点B 1的坐标．【详解】解：由图可知，点B 的坐标为（3，-2），如图，以点C 为位似中心，在网格中画△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C 1与△ABC 位似，且△A 1B 1C 1与△ABC 的位似比为2:1，则点B 1的坐标为（4，0）或（-8，0），位于题目图中网格点内的是（4,0），故选：B ．【点睛】本题考查了位似变换及坐标与图形的知识，解题的关键是根据两图形的位似比画出图形，注意有两种情况． 8、A【分析】一边长为xm ，则另外一边长为（5﹣x ）m ，根据它的面积为1m 2，即可列出方程式．【详解】一边长为xm ，则另外一边长为（5﹣x ）m ，由题意得：x （5﹣x ）=1．故选A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意列出方程式．9、B【分析】将点 (1，0)代入函数解析式求出b =1，即要使240x x t -+-=在13x <<的范围内有实根，即要使24=x x t-+在13x <<的范围内有实根，即要使二次函数2y x bx =-+与一次函数y =t 在13x <<的范围内有交点，求出13x <<时，二次函数值的范围，写出t 的范围即可．【详解】将x =1代入函数解析式可得：0=－16+1b ，解得b =1，∴二次函数解析式为：24y x x =-+，要使240x x t -+-=在13x <<的范围内有实根，即要使二次函数2y x bx =-+与一次函数y =t 在13x <<的范围内有交点，二次函数对称轴为x =2，且当x =2时，函数最大值y =1，x =1或x =3时，y =3，∴3<y ≤1．∴3<t ≤1．故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，数形结合，将方程有实根的问题转化为函数的交点问题是解题关键．10、A【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．【详解】把ADE 顺时针旋转ABF 的位置，∴四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于25，AD DC 5∴==，DE 3=，Rt ADE ∴中，AE =故选A ．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．11、C【分析】圆有无数条对称轴，但圆的对称轴是直线，故C 圆的每一条直线都是它的对称轴的说法是错误的【详解】本题不正确的选C ，理由：圆有无数条对称轴，其对称轴都是直线，故任何一条直径都是它的对称轴的说法是错误的，正确的说法应该是圆有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴故选C【点睛】此题主要考察对称轴图形和中心对称图形，难度不大12、B弦来解题，求出∠CAB，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度．【详解】解：∵sin∠CAB＝32262 BCAC==∴∠CAB＝45°．∵∠C′AC＝15°，∴∠C′AB′＝60°．∴sin60°＝''3 62B C=，解得：B′C′＝33．故选：B．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题．二、填空题（每题4分，共24分）13、(2,0)-【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心,以OB为半径的圆上运动,由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45∘后得到正方形OA1B1C1,相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45∘，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论.【详解】∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B(1,1),连接OB，由勾股定理得：2由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=…2，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45∘后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45∘,依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45∘，∴B12),B2(−1,1),B32,0)，…，发现是8次一循环，所以2019÷8=252…3，∴点B2019的坐标为,0)【点睛】本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连接线段的夹角等于旋转角，也考查了坐标与图形的变化、规律型、点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法.14、BF=【分析】连接AC交BD于O，作FG⊥BE于G，证出△BFG是等腰直角三角形，得出BG=FG=2角形的外角性质得出∠AED=30°，由直角三角形的性质得出，求出∠FEG=60°，∠EFG=30°,进而求出OA的值，即可得出答案.【详解】连接AC交BD于O，作FG⊥BE于G，如图所示则∠BGF=∠EGF=90°∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，∠ADB=∠CBG=45°∴△BFG是等腰直角三角形BF=∴BG=FG=2∵∠ADB=∠EAD+∠AED，∠EAD=15°∴∠AED=30°∴OA∵EF⊥AE∴∠FEG=60°∴∠EFG=30°∴∴BE=BG+EG=∵解得：∴OA=故答案为23【点睛】本题考查了正方形和等腰直角三角形的性质，综合性较强，需要熟练掌握相关性质.15、1．【解析】试题分析：根据题意首先得出抽取10个零件需要1天，进而得出答案．解：∵某车间生产的零件不合格的概率为，每天从他们生产的零件中任取10个做试验， ∴抽取10个零件需要1天，则1天会查出1个次品．故答案为1．考点：概率的意义．16、25(1－x )²＝16【解析】试题分析：对于增长率和降低率问题的一般公式为：增长前数量×()1+增长次数增长率=增长后的数量，降低前数量×()1-降低次数降低率=降低后的数量，故本题的答案为：()2251x 16．-= 17、1【分析】本题是典型的一线三角模型，根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得△AFB ≌△AED ；然后由全等三角形的对应边相等推知AF ＝DE 、BF ＝AE ，所以EF ＝AF +AE ＝1．【详解】解：∵ABCD 是正方形（已知），∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°；又∵∠FAB+∠FBA ＝∠FAB+∠EAD ＝90°，∴∠FBA ＝∠EAD （等量代换）；∵BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，∴在Rt △AFB 和Rt △AED 中，∵90AFB DEA FBA EAD AB DA ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFB ≌△DEA （AAS ），∴AF ＝DE ＝8，BF ＝AE ＝5（全等三角形的对应边相等），∴EF ＝AF+AE ＝DE+BF ＝8+5＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及熟悉一线三角模型是解本题的关键． 18、0k >【分析】直接利用当k ＞1，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜1，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大，进而得出答案．【详解】解：∵反比例函数k y x =的图象在所在象限内，y 的值随x 值的增大而减小， ∴k ＞1．故答案为：k ＞1．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，掌握基本性质是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）21234y x x =-+；（2）相交，证明见解析【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A 点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l 的解析式及B 、C 的坐标，分别求出直线AB 、BD 、CE 的解析式，再求出CE 的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可．【详解】解：（1）设抛物线为y ＝a （x ﹣4）2﹣1，∵抛物线经过点()0,3A ，∴3＝a （0﹣4）2﹣1，a ＝14； ∴抛物线的表达式为：21234y x x =-+；（2）相交．证明：连接CE，则CE⊥BD，14（x﹣4）2﹣1＝0时，x1＝2，x2＝1．()0,3A，()2,0B，()6,0C，对称轴x＝4，∴OB＝2，AB13BC＝4，∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBC＝90°，∴△AOB∽△BEC，∴AB OBBC CE=，即1324CE=，解得813CE13=，813>2，故抛物线的对称轴l与⊙C相交．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、直线与圆的位置关系等内容，掌握数形结合的思想是解题的关键．20、见解析【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=（t-3）2≥1，由此可证出：对于任意实数t，方程都有实数根．【详解】证明：△=[-（t﹣1）]2﹣4×1×（t﹣2）=t2﹣6t+9=（t﹣3）2，∴对于任意实数t，都有（t﹣3）2≥1，∴方程都有实数根．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是：牢记“当△≥1时，方程有实数根” ．21、（1）x1＝3＋2，x2＝3－2；（2）x1＝－2，x2＝4【分析】（1）利用配方法进行求解一元二次方程即可；（2）根据十字相乘法进行求解一元二次方程即可．【详解】解：（1）2610x x -+=2698x x +-=，()238x -=，解得：1233x x =+=-；（2）2424x x -=+2280x x --=，()()240x x +-=，解得：122,4x x =-=．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．22、（1）1（2）12x =，26x =-【分析】根据三角函数性质和一元二次方程的概念即可解题.【详解】（1）解：原式212=⨯+-1=-1=（2）解：24120x x +-=()()260x x -+=20x -=，60x +=12x =，26x =-【点睛】本题考查了三角函数和一元二次方程的求解,属于简单题,熟悉运算性质是解题关键.23、（1）反比例函数解析式为y=10x，一次函数解析式为y=x+3；（2）（﹣6，0）．【分析】（1）过B 点作BD ⊥x 轴，垂足为D ，由B （n ，-2）得BD=2，由tan ∠BOC="2/5" ，解直角三角形求OD ，确定B 点坐标，得出反比例函数关系式，再由A 、B 两点横坐标与纵坐标的积相等求n 的值，由“两点法”求直线AB 的解析式；（2）点E为x轴上的点，要使得△BCE与△BCO的面积相等，只需要CE=CO即可，根据直线AB解析式求CO，再确定E点坐标．【详解】解：（1）过B点作BD⊥x轴，垂足为D，∵B（n，﹣2），∴BD=2，在Rt△OBD在，tan∠BOC=BDOD，即225OD=，解得OD=5，又∵B点在第三象限，∴B（﹣5，﹣2），将B（﹣5，﹣2）代入y=kx中，得k=xy=10，∴反比例函数解析式为y=10x，将A（2，m）代入y=10x中，得m=5，∴A（2，5），将A（2，5），B（﹣5，﹣2）代入y=ax+b中，得2552a ba b+=⎧⎨-+=-⎩，解得13ab=⎧⎨=⎩，则一次函数解析式为y=x+3；（2）由y=x+3得C（﹣3，0），即OC=3，∵S△BCE=S△BCO，∴CE=OC=3，∴OE=6，即E（﹣6，0）．24、6AC=【分析】根据相似三角形的判定定理可得△CAD∽△CBA，列出比例式即可求出AC. 【详解】解：∵CD=4，BD=2,∴BC=CD＋BD=6∵∠CAD=∠B,∠C=∠C∴△CAD ∽△CBA ∴AC DC BC AC= ∴26424AC BC CD =•=⨯=解得：AC =或-即AC =【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握有两组对应角相等的两个三角形相似和相似三角形的对应边成比例是解决此题的关键.25、（1）抛物线与x 轴交于点（-1,0）和（3,0）；与y 轴交于点（0,3）；（2）抛物线的对称轴为直线x=1;（3）当x ＜1时，y 随x 的增大而增大【分析】根据表格中数据，可得抛物线与x 轴交点坐标，与y 轴交点坐标，抛物线的对称轴直线以及抛物线在对称轴左侧的增减性，从而进行解答.【详解】解：由表格数据可知：当x=0时，y=3；当y=0时，x=-1或3∴该函数三条不同的性质为：（1）抛物线与x 轴交于点（-1,0）和（3,0）；与y 轴交于点（0,3）；（2）抛物线的对称轴为直线x=1;（3）当x ＜1时，y 随x 的增大而增大【点睛】本题考查二次函数性质，数形结合思想解题是本题的解题关键.26、详见解析【分析】利用平行四边形的性质即可证明.【详解】证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B =∠D ，BE ∥CD ，∴∠E =∠DCF ．∴△EBC ∽△CDF【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握平行四边形的性质是解题的关键.。

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广东省汕头市金平区九年级（上）期末测试数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）已知x=1是方程x2+px+1=0的一个实数根，则p的值是（）A．0 B．1 C．2 D．﹣22．（3分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）反比例函数y=﹣的图象在（）A．第二、四象限B．第一、三象限C．第一、二象限D．第三、四象限4．（3分）下列事件为必然事件的是（）A．打开电视机，它正在播广告B．六边形的外角和是360°C．明天太阳从西方升起D．抛掷一枚硬币，一定正面朝上5．（3分）正方形的边长为2，则正方形外接圆的半径是（）A．1 B．C．D．26．（3分）m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2016的值为（）A．2013 B．2016 C．2017 D．20187．（3分）若将半径为6cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm8．（3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（）A．18°B．36°C．54°D．72°9．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2070张照片．如果全班各有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x﹣1）=2070 B．x（x﹣1）=2070×2 C．x（x+1）=2070 D．2x（x+1）=207010．（3分）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac=0，②2a﹣b=0，③a+b+c＜0；④c﹣a=3，其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本题6小题，每题4分，共24分）11．（4分）方程（x﹣3）（x+2）=0的根是．12．（4分）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个白球、若干红球，从中随机摸取1个球，摸到红球的概率是，则这个袋子中有红球个．13．（4分）如图，已知桥拱形状为抛物线，其函数关系式为y=﹣x2，当水位线在AB位置时，水面的宽度为12m，这时水面离桥拱顶部的距离是．14．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度得矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为．15．（4分）如图，△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为（结果保留π）16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点B和CD边中点E，则k的值为．三、解答题一（本题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）解方程：x2﹣2x﹣3=0．18．（6分）某公司2016的年利润为250万元，该公司拓展业务，预计该公司2018年的年利润为360万元．求2016年至2018年该公司的年利润平均增长率．19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．（1）用直尺和圆规作⊙O，使圆心O在BC边，且⊙O经过A，B两点上（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AO，求证：AO平分∠CAB．四、解答题二（本题共3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）小王、小李在班里选拔赛中并列第一名，小王提议通过摸球的方式来决定谁代表班级参加学校数学竞赛，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于5，那么小王去参加，否则就是小李去参加．（1）用树状图或列表法求出小王去参加的概率；（2）小李说：“可以，这种规则公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．21．（7分）如图，足球场上守门员在O处开出一记手跑高球，球从地面1.4米的A处抛出（A 在y轴上），运动员甲在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面3.2米高，球落地点为C点．（1）求足球开始抛出到第一次落地时，该抛物线的解析式．（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？22．（7分）已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．（1）求证：PB=QC；（2）若PA=3，PB=4，∠APB=150°，求PC的长度．五、解答题三（本题共3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）如图，直线y=2x与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（4，n），AB⊥x轴，垂足为B．（1）求k的值；（2）点C在AB上，若OC=AC，求AC的长；（3）点D为x轴正半轴上一点，在（2）的条件下，若S△OCD =S△ACD，求点D的坐标．24．（9分）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AC与BD交于点E，且AE=AB．（1）DA=DB，求证：AB=CB；（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△FGC，点A经过的路径为，若AC=4，求图中阴影部分面积S；（3）在（2）的条件下，连接FB，求证：FB为⊙O的切线．25．（9分）已知直线y=x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B．（1）A点坐标，B点坐标，抛物线解析式；（2）点C（m，0）在线段OA上（点C不与A、O点重合），CD⊥OA交AB于点D，交抛物线于点E，若DE=AD，求m的值；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，在（2）的条件下，是否存在以点D、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．广东省汕头市金平区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）已知x=1是方程x2+px+1=0的一个实数根，则p的值是（）A．0 B．1 C．2 D．﹣2【解答】解：把x=1代入方程x2+px+1=0得：1+p+1=0，即p=﹣2，故选：D．2．（3分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．故选：C．3．（3分）反比例函数y=﹣的图象在（）A．第二、四象限B．第一、三象限C．第一、二象限D．第三、四象限【解答】解：反比例函数y=﹣的图形在：第二、四象限．故选：A．4．（3分）下列事件为必然事件的是（）A．打开电视机，它正在播广告B．六边形的外角和是360°C．明天太阳从西方升起D．抛掷一枚硬币，一定正面朝上【解答】解：A、是随机事件，故A不符合题意；B、是必然事件，故B符合题意；C、是不可能事件，故C不符合题意；D、是随机事件，故D不符合题意；故选：B．5．（3分）正方形的边长为2，则正方形外接圆的半径是（）A．1 B．C．D．2【解答】解：∵正方形的边长为2，由中心角只有四个可得出： =90°，∴中心角是：90°，正方形的外接圆半径是：sin∠AOC=，∵AC=，∠AOC=45°，∴OA=，故选：B．6．（3分）m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2016的值为（）A．2013 B．2016 C．2017 D．2018【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1=0的根，∴m2+m﹣1=0，∴m2+m=1，∴2m2+2m+2016=2（m2+m）+2016=2×1+2016=2018．故选：D．7．（3分）若将半径为6cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×6÷2=6π（cm），∴圆锥的底面半径为6π÷2π=3（cm），故选：C．8．（3分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（）A．18°B．36°C．54°D．72°【解答】解：∵AB是直径，AB⊥CD，∴=，∴∠CAB=∠BAD=36°，∵∠BCD=∠BAD，∴∠BCD=36°，故选：B．9．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2070张照片．如果全班各有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x﹣1）=2070 B．x（x﹣1）=2070×2 C．x（x+1）=2070 D．2x（x+1）=2070【解答】解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x﹣1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=2070．故选：A．10．（3分）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac=0，②2a﹣b=0，③a+b+c＜0；④c﹣a=3，其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，故①错误；由于对称轴为x=﹣1，∴x=﹣3与x=1关于x=﹣1对称，∵x=﹣3时，y＜0，∴x=1时，y=a+b+c＜0，故③正确；∵对称轴为x=﹣=﹣1，∴2a﹣b=0，故②正确；∵顶点为B（﹣1，3），∴y=a﹣b+c=3，∴y=a﹣2a+c=3，即c﹣a=3，故④正确；故选：C．二、填空题（本题6小题，每题4分，共24分）11．（4分）方程（x﹣3）（x+2）=0的根是x=3或x=﹣2 ．【解答】解：∵（x﹣3）（x+2）=0．∴x﹣3=0或x+2=0，解得：x=3或x=﹣2，故答案为：x=3或x=﹣2．12．（4分）在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个白球、若干红球，从中随机摸取1个球，摸到红球的概率是，则这个袋子中有红球 5 个．【解答】解：设这个袋子中有红球x个，∵摸到红球的概率是，∴=，∴x=5，故答案为：5．13．（4分）如图，已知桥拱形状为抛物线，其函数关系式为y=﹣x2，当水位线在AB位置时，水面的宽度为12m，这时水面离桥拱顶部的距离是9m ．【解答】解：根据题意，当x=6时，原式=﹣×62=﹣9，即水面离桥拱顶部的距离是9m，故答案为：9m．14．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，矩形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度得矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上，则B′C的长为 2 ．【解答】解：由旋转的性质得到AB=AB′=10，在直角△AB′D中，∠D=90°，AD=6，AB′=AB=10，所以B′D==8，所以B′C=10﹣B′D=2．故答案是：2．15．（4分）如图，△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为π（结果保留π）【解答】解：连接OE、OF，∵AC=3，BC=4，∠C=90°，∴AB=5，∵⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，∴FB=DB，CE=CF，AD=AF，OE⊥BC，OF⊥AC，又∵∠C=90°，OF=OE，∴四边形ECFO为正方形，∴设OE=OF=CF=CE=x，∴BE=4﹣x，FA=3﹣x；∴DB=4﹣x，AD=3﹣x，∴3﹣x+4﹣x=5，解得：x=1，则⊙O的面积为：π．故答案为：π．16．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点B和CD边中点E，则k的值为﹣4 ．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，∴AB=AD=2，设B（，2），∵E是CD边中点，∴E（﹣2，1），∴﹣2=k，解得：k=﹣4，故答案为：﹣4．三、解答题一（本题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）解方程：x2﹣2x﹣3=0．【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）=0x﹣3=0，x+1=0∴x1=3，x2=﹣1．18．（6分）某公司2016的年利润为250万元，该公司拓展业务，预计该公司2018年的年利润为360万元．求2016年至2018年该公司的年利润平均增长率．【解答】解：设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得250（1+x）2=360，解得 x1 =0.2=20%，x2=﹣2.2 （不合题意，舍去）．答：这两年该企业年利润平均增长率为20%．19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．（1）用直尺和圆规作⊙O，使圆心O在BC边，且⊙O经过A，B两点上（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AO，求证：A O平分∠CAB．【解答】（1）解：如图，⊙O为所作；（2）证明：∵OA=OB，∴∠OAB=∠B=30°，而∠CAB=90°﹣∠B=60°，∴∠CAO=∠BAO=30°，∴OC平分∠CAB．四、解答题二（本题共3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）小王、小李在班里选拔赛中并列第一名，小王提议通过摸球的方式来决定谁代表班级参加学校数学竞赛，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于5，那么小王去参加，否则就是小李去参加．（1）用树状图或列表法求出小王去参加的概率；（2）小李说：“可以，这种规则公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．【解答】解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中摸出的球上的数字之和小于5的情况有6种，所以P （小王）==；（2）公平，理由如下：∵P （小王）=，P （小李）=，∴规则公平．21．（7分）如图，足球场上守门员在O 处开出一记手跑高球，球从地面1.4米的A 处抛出（A 在y 轴上），运动员甲在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面3.2米高，球落地点为C 点．（1）求足球开始抛出到第一次落地时，该抛物线的解析式．（2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a （x ﹣6）2+3.2，将点A （0，1.4）代入，得：36a+3.2=1.4，解得：a=﹣0.05，则抛物线的解析式为y=﹣0.05（x ﹣6）2+3.2；（2）当y=0时，﹣0.05（x ﹣6）2+3.2=0，解得：x 1=﹣2（舍），x 2=14，所以足球第一次落地点C 距守门员14米．22．（7分）已知，点P 是等边三角形△ABC 中一点，线段AP 绕点A 逆时针旋转60°到AQ ，连接PQ、QC．（1）求证：PB=QC；（2）若PA=3，PB=4，∠APB=150°，求PC的长度．【解答】（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，∴AP=AQ，∠PAQ=60°，∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，∴∠BAP=∠CAQ，在△BAP和△CAQ中，∴△BAP≌△CAQ（SAS），∴PB=QC；（2）解：∵由（1）得△APQ是等边三角形，∴AP=PQ=3，∠AQP=60°，∵∠APB=150°，∴∠PQC=150°﹣60°=90°，∵PB=QC，∴QC=4，∴△PQC是直角三角形，∴PC===5．五、解答题三（本题共3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）如图，直线y=2x与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（4，n），AB⊥x轴，垂足为B．（1）求k的值；（2）点C在AB上，若OC=AC，求AC的长；（3）点D为x轴正半轴上一点，在（2）的条件下，若S△OCD =S△ACD，求点D的坐标．【解答】解（1）∵直线y=2x与反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象交于点A（4，n），∴n=2×4=8，∴A（4，8），∴k=4×8=32，∴反比例函数为y=．（2）设AC=x，则OC=x，BC=8﹣x，由勾股定理得：OC2=OB2+BC2，∴x2=42+（8﹣x）2，x=5，∴AC=5；（3）设点D的坐标为（x，0）分两种情况：①当x＞4时，如图1，∵S△OCD =S△ACD，∴OD•BC=AC•BD，3x=5（x﹣4），x=10，②当0＜x＜4时，如图2，同理得：3x=5（4﹣x），x=，∴点D的坐标为（10，0）或（，0）．24．（9分）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AC与BD交于点E，且AE=AB．（1）DA=DB，求证：AB=CB；（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△FGC，点A经过的路径为，若AC=4，求图中阴影部分面积S；（3）在（2）的条件下，连接FB，求证：FB为⊙O的切线．【解答】（1）证明：如图1中，∵DA=DB，∴∠DAB=∠DBA，∵AE=AB，∴∠AEB=∠ABE，∴∠AEB=∠DAB，∴∠EAD+∠ADE=∠EAD+∠EAB，∴∠EAB=∠ADE，∵∠ADE=∠ACB，∴∠EAB=∠ACB，∴AB=BC．（2）如图2中，设AB的延长线交FG于M，连接CM，在BC上取一点N，使得CN=NM．∵△ABC是等腰直角三角形，AC=4，∴AB=BC=2，∵BC=CG，CM=CM，∴Rt△CBM≌Rt△CGM，∴∠MCB=∠MCG=15°，∵NC=NM，∴∠NCM=∠NMC=15°，∴∠MNB=30°，设BM=a，则MN=CN=2a，BN=a，∴2a+a=2，∴a=4﹣2，=2××BM×BC=（4﹣2）×=16﹣8．∴S阴（3）如图2﹣1中，连接OB、BF、作FH⊥AC于H．∵∠ACF=30°，∠FHC=90°，∴FH=CF=AC=OA=OB，∵BA=BC ，OA=OC ，∴BO ⊥AC ，∴FH ∥OB ，∴四边形OBFH 是平行四边形，∵∠BOH=90°，∴四边形OBFH 是矩形，∴∠OBF=90°，即OB ⊥BF ；∴BF 是⊙O 的切线．25．（9分）已知直线y=x+3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过点A 、B ．（1）A 点坐标（﹣3，0），B 点坐标（0，3），抛物线解析式 y=﹣x 2﹣2x+3 ；（2）点C （m ，0）在线段OA 上（点C 不与A 、O 点重合），CD ⊥OA 交AB 于点D ，交抛物线于点E ，若DE=AD ，求m 的值；（3）点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，在（2）的条件下，是否存在以点D 、B 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当x=0时，y=3，∴B （0，3），当y=0时，x+3=0，x=﹣3，∴A （﹣3，0），把A （﹣3，0），B （0，3）代入抛物线y=﹣x 2+bx+c 中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣2x+3，故答案为：（﹣3，0）；（0，3）；y=﹣x 2﹣2x+3；（2）∵CD ⊥OA ，C （m ，0），∴D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），∴DE=（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）=﹣m2﹣3m，∵AC=m+3，CD=m+3，由勾股定理得：AD=（m+3），∵DE=AD，∴﹣m2﹣3m=2（m+3），m2+5m+6=0，（m+3）（m+2）=0，m1=﹣3（舍），m2=﹣2；（3）存在，分两种情况：①以BC为一边，如图1，设对称轴与x轴交于点G，∵C（﹣2，0），∴D（﹣2，1），E（﹣2，3），∴E与B关于对称轴对称，∴BE∥x轴，∵四边形DNMB是平行四边形，∴BD=MN，BD∥MN，∵∠DEB=∠NGM=90°，∠EDB=∠GNM，∴△EDB≌△GNM，∴NG=ED=2，∴N（﹣1，﹣2）；②当BD为对角线时，如图2，M在抛物线的顶点，N是对称轴与x轴的交点，此时四边形BMDN是平行四边形，此时N（﹣1，0）；综上所述，点N的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，0）．。