一种强素数生成算法

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素数的序乘以及与序乘相关的素数的生成公式

素数的序乘以及与序乘相关的素数的生成公式1陈惟昌1，陈志义2，陈志华1，王自强11卫生部中日友好临床医学研究所，北京 (100029)2中国科学院自动化研究所国家模式识别实验室，北京 (100080)E-mail: chenweic@摘要：素数的序乘是指素数按大小顺序的连乘积。

第n个素数的序乘称为第n个欧几里德合数。

根据欧几里德合数可将自然数列依次划分为欧几里德区间。

欧几里德合数及其后续的各素数之和组成的素数系列称为超序素数系列。

应用超序素数的生成公式可以产生一系列的大型素数。

这在RSA密钥的编码中有一定实用价值。

本文对与序乘相关素数的性质进行了讨论，并提出与序乘有关素数的综合猜想。

关键词：素数序乘；欧几里德区间；超序素数；素数生成公式；RSA密钥系统中图分类号：0156.11. 引言多年来数学家一直致力于寻找产生素数的普适公式。

最著名的如麦森数M p = 2p −1，费马数F m = 22^m＋1以及欧拉公式f(n)= n2 + n + 41，欧拉公式可产生41个素数（当n = 0，1，… 40时）。

但f (41)却为合数[1]。

麦森数的发现与测试，十分复杂，而费马数F m当m＞4时是否仍为素数尚不明确。

本文提出应用素数序乘公式Pω(n, d)=P n(!)+P n+d以产生任意大的素数的方法。

式中P n(!)为素数P n的序乘。

100位以上的大型素数在RSA密钥的编码中有一定实用价值。

2. 素数的序乘2.1 序乘的概念参考数字阶乘的定义：n! = 1• 2 • … • (n −1) • n ……………………………………………(2.1) 以及0! = 1 …………………………………………………………………(2.2)可以对有序函数或数列的序乘(sequential factorial，或简称sequorial)进行定义：X n(!) = X1 • X2 • … • X n－1 • X n ………………………………………(2.3) 以及X0(!) = 1 ………………………………………………………………(2.4)n称为序乘的阶数(rank)。

使用费马小定理素数判定法生成大素数python

使用费马小定理素数判定法生成大素数 Python一、概述在计算机科学和密码学中，生成大素数是一项非常重要的任务。

大素数在RSA加密算法和其他密码学应用中起着至关重要的作用。

费马小定理素数判定法是一种常用的方法，用于生成大素数。

本文将介绍使用Python编程语言实现费马小定理素数判定法生成大素数的方法。

二、费马小定理费马小定理是由法国数学家皮埃尔·德·费尔马（Pierre de Fermat）在17世纪提出的数论定理。

该定理表示，如果p是一个素数，那么对于任意整数a，都有以下等式成立：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)其中，a是一个整数，p是一个素数。

这个定理在素数判定中有着重要的应用，因为它可以帮助我们验证一个数是否为素数。

三、素数的生成在使用费马小定理素数判定法生成大素数时，我们可以按照以下步骤进行操作：1. 选择一个随机数n作为候选素数。

2. 随机选择一个整数a，使得1 < a < n。

3. 使用费马小定理判定n是否为素数。

4. 如果n通过费马小定理的检验，即a^(n-1) ≡ 1 (mod n)，则n有很大概率是一个素数。

5. 如果n未通过费马小定理的检验，则返回步骤1，选择一个新的候选素数。

四、Python实现以下是使用Python实现费马小定理素数判定法生成大素数的代码：```pythonimport randomdef is_prime(n, k=5):if n <= 1 or n == 4:return Falseif n <= 3:return Truewhile k > 0:a = random.randint(2, n - 2)if pow(a, n - 1, n) != 1:return Falsek -= 1return Truedef generate_large_prime(size=1024):while True:n = random.getrandbits(size)if is_prime(n):return nprime = generate_large_prime()print("Generated prime number:", prime)```以上代码中，我们首先定义了一个is_prime函数，用于判定一个数是否为素数。

RSA算法中大素数快速生成和运算方法实现

RSA算法中大素数快速生成和运算方法实现目录1. 内容概要 (2)1.1 研究背景 (2)1.2 RSA算法简介 (3)1.3 大素数的重要性 (3)2. RSA算法原理 (4)2.1 算法核心 (5)2.2 密钥生成过程 (5)2.3 加密和解密原理 (6)3. 大素数生成方法 (6)3.1 Miller-Rabin素数测试 (8)3.2 算法实现步骤 (9)3.3 优化措施 (10)4. 大素数运算方法 (11)4.1 高性能计算技术 (12)4.2 并行计算优化 (14)4.3 大规模数据处理 (15)5. 快速大素数生成和运算实现 (15)5.1 代码框架设计 (17)5.2 关键算法实现 (17)5.2.1 MillerRabin测试实现 (18)5.2.2 快速幂运算优化 (18)5.3 系统接口与集成 (19)6. 性能评估 (20)6.1 基准测试 (22)6.2 性能指标 (22)6.3 与其他方法比较 (23)7. 应用案例 (25)7.1 实际应用场景 (25)7.2 优化效果分析 (26)8. 结论与展望 (27)8.1 研究成果总结 (28)8.2 未来研究方向 (29)1. 内容概要本文档主要介绍了RSA算法中大素数快速生成和运算方法的实现。

RSA算法是一种非对称加密算法，广泛应用于安全通信、数字签名等领域。

在RSA算法中，密钥对由两个大素数p和q组成，公钥为互质的整数。

为了方便计算，通常会将大素数分解为若干个较小的素数的乘积。

本文将详细介绍如何实现大素数的快速生成和运算方法，以提高RSA算法的计算效率和安全性。

1.1 研究背景RSA算法是一种广泛应用的公钥密码体制，它基于大整数的因数分解难问题。

RSA算法的加密和解密分别使用公钥和私钥，这两个密钥是通过生成一对足够大的大素数来制备的。

在RSA算法中，由于大素数的生成和运算通常需要较高的计算资源，因此高效的大素数生成和运算方法的研究对于提高RSA算法的安全性和提升其应用效率至关重要。

大素数生成方法

１ＲＳＡ公钥密码体制与大素数
ＲＳＡ算法是公钥密码体制的典型算法它具有密钥管理方便破译难度大的优点因而在网络中常用于敏感信息的加密［１］
ＲＳＡ公钥密码体制的安全性是基于大数的因子分解的困难性因为迄今没有找到一个有效算法可用于分解因子ＲＳＡ算法的具体实现过程如下
加密解密过程如下假设要加密的明文为 n（０ n＜m）将 n 的 e 次方用 m 除后得到余数 c c 为密文这就是加密过程将密文 c 的
收稿日期２００５－１２－１６作者简介谢建全１９６４年生男教授研究方向为信息安全
d 次方用 m 除后得到的余数刚好为 n 即明文这就是解密过程
３素数的测试
因为素数在正整数序列中分布不规则无法用公式直
接计算出一个指定长度的大素数也无法用公式直接证明
一个随机选择的大整数是否为素数如果先计算好并存储
一个足够大的素数表以备用不仅耗费巨大而不现实且
不利于 p 和 q 的安全因此要为ＲＳＡ算法选择一个指定
位数的素数还是有难度的当前实际采用的方法是任意选
通过以上步骤在普通Ｐ微机上１小时可以产生几十个１０２４位（二进制）的素数
参考文献［１］王育民刘建伟．通信网的安全理论与技术［Ｍ］．北京北京大学出版社２０００［２］李文卿．数论及其应用［Ｍ］．北京北京大学出版社２００１［３］卢开澄．计算机密码学［Ｍ］．北京清华大学出版社１９９８［４］陈鲁生沈世镒．现代密码学［Ｍ］．北京科学出版社２００２［５］刘少涛凌捷．数据加密算法与大素数的生成及运算．广东工业大学学报［Ｊ］２００１１８（４）２５２９［６］崔竞松等．嵌入式系统中大素数的快速生成［Ｊ］．计算机工程２００３２９（５）２４２５

素数算法——精选推荐

素数算法
看着空荡荡的博客不知道写些什么，写些以前的⼼得吧
素数算法⽐较的常⽤，这次就写它了。

这⾥我给出⾃⼰常⽤的写法
写法1：
int n=10000;
int prime[10000]; //⽤于存储素数
int num=0;
int j;
for(int i=2;i<=n;i++){
for(j=2;j<=sqrt(i);j++){ //⾥层只要循环到sqrt(i)就⾏了
if(i%j==0)
break;
}
if(j>sqrt(i))prime[num++]=i;
没有太多好讲的地⽅，就这⼏⾏，思路⾮常简单，只是把最基础的内层循环j<=n替换成了j<=sqrt[i]，⼩优化了⼀下⽽已
写法2：素数筛
int num=0;
int n=10000;
int prime[10000]; //⽤于存放素数
int flag[10005]; //⽤于判断i是否为素数
memset(flag,0,sizeof(flag));
for(int i=2;i<=n;i++){
if(flag[i]==0){
prime[num++]=i;
for(int j = i+i; j<=n; j+=i)
flag[j]=1;
}
}
⾮常常⽤的⼀个算法，思路也很简单，每找到⼀个素数之后，把它的倍数筛掉（因为肯定不是素数），这样时间复杂度就被降低到了线性，所以⼜称线性素数筛法。

有效解决RSA共模攻击的素数生成方案

有效解决RSA共模攻击的素数生成方案
邹惠;余梅生;王建东
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2004(040)027
【摘要】RSA公钥密码体制是一种被广泛使用的公钥密码体制.为了求取RSA加密体制的加解密密钥,首先需要获得两个大素数.因此,大素数的选取及使用是保证RSA安全性的一个重要环节,不当的素数选取及使用将会使其很容易遭受攻击,共模攻击即为较常见的一种.针对这一问题,论文提出一种新的素数生成方案,保证为每一用户生成不同的大素数,消除RSA体制在使用中遭受共模攻击的可能,提高体制的安全性.
【总页数】3页(P88-89,153)
【作者】邹惠;余梅生;王建东
【作者单位】燕山大学信息与工程学院,秦皇岛,066004;燕山大学信息与工程学院,秦皇岛,066004;燕山大学信息与工程学院,秦皇岛,066004
【正文语种】中文
【中图分类】TP393.08
【相关文献】
1.小素数筛值法生成素数实现RSA加密算法 [J], 池越;;
2.小素数筛值法生成素数实现RSA加密算法 [J], 池越
3.RSA加密中大素数的生成方法及其改进 [J], 叶建龙
4.RSA中素数生成的研究及两种实现方案的比较 [J], 刘秀莲;李东生;侯晓芳;张顺利;张莉
5.RSA算法中大素数硬件生成方法研究与设计 [J], 姚霁
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ELGamal数字签名

摘要随着网络的发展，人们之间的各种交流变得越来越来方便，但同时也对信息传递的安全提出了新的要求，数字签名随之广泛的深入到了人们的日常生活中。

ELGamal作为目前应用比较广泛的数字签名算法，其信息安全性，以及可实现程度，在很大程度上决定了它的应用范围。

本文主要对ELGamal数字签名体制中的签名和认证过程中所需的模块，以及用户如何由离散对数难题保证了签名的正确性进行了必要的描述。

接下来对ELGamal数字签名安全性以及他在基于身份认证中的应用做了一定介绍。

论文重点是对密码算法前提的大整数运算算法做了进一步研究，对大素数的生成，其中包括素性测试和随机数生成算法原理做了一定介绍，然后介绍了乘法群的生成元的生成原理，论文最后将系统介绍签名过程。

关键词：ELGamal数字签名验证大整数运算大素数生成元ABSTRACTWith the development of network, the communions between people become more and more convenient, but also it brings forward the new security requirements of in-formation transfer. Digital Signature goes into the people's daily life along with these processes.As one of the most widely used Digital Signature, the application of the ELGamal Signature is largely depend on his information security and the operation process. In this paper, we will discuss the process of the ELGamal Signature and the attestation. One can check his authorization of the sign which rely on the problem of the discrete logarithm. And then we will analyze the security of the signature. The application the ELGamal signature in the ID-BASE system will also be discussed. The key part of this paper is to introduce the concept the large integer. The arithmetic of the large in-teger is crucial in most cryptosystems.As to the construction of a large prime inte-ger,we will discuss the method to construct a Random Number and the primality test.Then the high-order-cycle generator method for the formation of the foundation will introduced too.In the last part of the paper,we will go through the process of the ELGamal Signature.keywords: ELGamal Digital Signature authorization large Integer large Prime Number generator目录错误！未定义书签。

RSA算法中快速生成大素数方法的改进

RSA算法中快速生成大素数方法的改进
王萍;廖芳燕;廖芳午;张树贵
【期刊名称】《重庆高教研究》
【年(卷),期】2009(000)003
【摘要】根据同余理论提出一种快速试除法来更快地判断一个大整数是否能被小素数整除,从而进一步提高RSA算法中所需要的大素数的生成速度。

【总页数】3页(P9-11)
【作者】王萍;廖芳燕;廖芳午;张树贵
【作者单位】成都理工大学信息管理学院;成都理工大学环境与土木工程学院【正文语种】中文
【中图分类】TN918.1
【相关文献】
1.RSA算法中安全大素数生成方法研究与改进 [J], 游新娥
2.RSA算法中大素数的快速生成方法研究 [J], 魏钦冰
3.RSA算法中快速生成大素数方法的改进 [J], 王萍;廖芳燕;廖芳午;张树贵
4.RSA算法中安全大素数生成方法及其改进 [J], 游新娥
5.RSA算法中大素数的快速生成方法 [J], 王英
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一种基于OpenACC指令加速的素数生成算法

图１　大数序号与计算耗时关系图
从图1可以看出，随着素数序号的增大，OPENACC
（上接第84页）
间是否存在问题，如果可以ping通，则表明网络协议的设置以及计算机网卡均没有发生故障。

而网络与计算机指之间的连接就是问题所在之处。

所以，不仅要仔细检查网线以及，而且还要检查Hub接口处是否发生故障。

如果不能够通，则表明TCP/CP协议存在一定问题。

此时需要打开“控制面板”，选择系统工具栏，判断网卡安装是否出现异常。

（3）更换计算机确定故障。

如果协议以及网卡都没有问题，此时网络依然不通，初步判断问题可能出在双绞线或者Hub上。

可以更换一台计算机来对其进行更加深入的判断，假如该设备与本机之间的连接处于正常状态，则表明故障出现在之前的那台计算机与对应的接口上。

如果已确定故障出于Hub，那么首先需要做的就是检查对应的指示灯是否发生异常，假如Hub与之前的计算机之间的接口对应的LED灯没有亮，则表明故障出于Hub 接口处。

经过故障压缩，可以判断Hub、双绞线以及网卡是出现故障的主要原因。

假如计算机中的协议出现故障，第一种可能就是协议安装错误，第二种可能就是参数设置错误，可以按照以下步骤来判断故障出现的原因。

（1）首先检查该计算机是否安装了NetBEUI协议以及。

RSA算法中大素数的快速生成方法

RSA算法中大素数的快速生成方法
王英
【期刊名称】《湖南科技学院学报》
【年(卷),期】2005(026)005
【摘要】RSA加密算法的安全性是基于两个非常大的质数的乘积用目前的计算机水平无法分解这一前提的,生成两个满足长度要求的大素数是保证RSA加密的数据安全可靠的前提.本文介绍了几种可行的大素数测试方法,给出了实现用计算机实现相应算法的步骤,并给出了快速生成大素数的有效方法.
【总页数】3页(P14-16)
【作者】王英
【作者单位】湖南税务高等专科学校,基础课部,湖南,长沙,410116
【正文语种】中文
【中图分类】O143
【相关文献】
1.RSA中大素数的快速生成方法研究 [J], 王宝杏;杨菲菲;王冬
2.RSA算法中快速生成大素数方法的改进 [J], 王萍;廖芳燕;廖芳午;张树贵;
3.RSA算法中大素数的快速生成方法研究 [J], 魏钦冰
4.RSA算法中快速生成大素数方法的改进 [J], 王萍;廖芳燕;廖芳午;张树贵
5.RSA算法中大素数硬件生成方法研究与设计 [J], 姚霁
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ｄｉｆｃｔｏｅｔｅｒｍｆｃｒｏｔｅｒｕｔｆｔｏｆｉｕ１ｔｇｔｈｐｉｅａｔｏｓｆｈｐｏｄｃｏｗｂｉｐｍｅｇｒｉｓ．ＳｉｅｔｅｎｅｈｄｅｅｏｎｏｆｈｅＳｖｌｐｌｇｔＲＡ
ｆｒｔｅｇｎｒｔｏｆｓｒｎｉｅｎｍｅｓ．ＷｓｉｒｄｕｅａｋｎｏｓｕｏｒｎｄｍｎＩｂｒｅｅａｔｒｃＰＧＪｏｈｅｅａｉｎｏｔｏＲｐｒｍｕｂｒｅａｌｏｎｔｏｃｉｄｆｐｅｄａｏ【ＩｅｇｎｒｏＰ￣ｌｌ＼
０引售ＲＡ密码体系的流程如下：Ｓｓ：ｌ找出两个大素数：ｐ和ｑ：
ｓ：２计算ｎｐｑ＝巾（）：（１’ｑ１；－ ’．ｚ－ｎｐ）（－）－ｓ：取ｅ使得（，）】ｑ，＃３选，ｅｚ＝。ｎ为公开密钥：ｓ：４计算ｄ使得ｄ；１ｒｄｚ，ｄｎ作为私有密钥。．ｅ（）＜，ｏｏ）对于明文块Ｐ和密文块Ｃ，加解密的过程如下：
ｔｅＥｌｒｈｏｙａｄｃｍｕｉｇｃｐｅｉｙｔｅｒｙＩｓａｓｏｇｈｒｕｔｏｗｉｒｍｈｕｅｔｅｒｎｏｐｔｎ￣ｌｘｔｈｏ．ｔｉｅｙｔｅｔｔｅｐｏｄｃｆｔｏｂｇｐｉｅｓｂｔｅｔｅｅｌ．ｕｘｒｍｙ
摘要：ＳＲＡ岱钥加密体制由美国麻省理工学院干１７８年提出，它是第一个成熟的、最为成功曲公开密码体制．它的９原理和安全性是基于数论中曲Ｅｌｒｕｅ定理和计算复杂性理论中的论断：求两个大素数的乘积是容品计算的．但要把两个大素数的乘积分解成素因子则是非常困难的。随着密码体系分析的发展．ＳＲＡ需要具有更强性质的素数（强素数）本文提出了一种简单的强素数生成算法．同时夼绍了一种伪随机微生成嚣和ＲｂｎＭｌｒ卓素性检测算法。ａｉ— ｉｅ概ｌ关键词： ‘强素数：Ｒ概率索性检测：伪随机数生成嚣
12素性检测对于一个奇数进行素性检测有很多方法但是当这个数很大时采用试除法直接检测往往耗费太大因此人们提出了概率素性检测算法即以多大概率保证一个大奇数是一个素数这种方法可以在有限的时间内以极大的概率保证一个数是素数
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中圈分类号：Ｔ３．Ｐｌ１１文献标识码：Ａ文章鳙号：ｌ７ —４９一２０）ｌ０９－２６１７２（０６１一０４０
ａｔｔＴｅＲＡｃｙｔＲａｙｉａｄａｅｙＲｖｔ。ｈｍｒａｄｅａＩｊｎ１７Ａｒｅｔ，ｔｉｈｂｓｒ：ｈＳｒｐｏｎｌｓｓＷＳａｖｎｃｄｂｉｅｓＳａｉｎｄＡｌｍｎｉ９８．ｔｐｅｓｎｊＳｔｅａｃ．Ｔ
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ｃｙｔａａｌｓｓ．ｅｎＷｎｅｓｒｏｇｒｉｅｎｍｅｓｈｅｔＩｈｉａｅｒｐｏｎｙｉｗＯｅｄｔｎｅｒｐｍｕｂｒｔａｎｅｖ．ｎｔｓｐｐｒ，ｗｅａｖｒｅｔｄｉｐｌｔｏｈｅｐｅｓｎｅａｓｍｅｍｅｈｄ