2013年高中数学教学论文-处理三角函数易错题的六绝招
高考数学热点难点突破技巧 三角函数的零点问题的处理
第09讲三角函数零点问题的处理【知识要点】三角函数的零点问题，是考试经常考察的重点、热点和难点.三角函数的零点问题的处理一般有以下三种方法：1、单调性+数形结合 .2、分离参数+数形结合. 3、方程+数形结合. 三种方法也不是绝对的，要注意灵活使用.【方法讲评】方法一单调性+数形结合解题步骤一般先研究三角函数的单调性，再数形结合分析.【例1】已知向量，，设函数．（1）若函数的图象关于直线对称，且时，求函数的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．（1）∵函数图象关于直线对称，∴，解得：，∵，∴，∴，由，解得：，所以函数的单调增区间为．∴当或时函数有且只有一个零点．即或，所以满足条件的．【点评】（1）本题第2小问是在第1问的前提下进行的，第1问求出了函数的单调增区间，所以第2小问对零点问题的研究，可以利用单调性+数形结合方法分析解答.第2问首先求复合函数在上的单调性，再数形结合分析函数零点的个数. （2）在解答数学问题时，只要写不等式，一定要注意取等问题，本题第2问，左边可以取等，右边不能取等.【反馈检测1】设P是⊙O：上的一点，以轴的非负半轴为始边、OP为终边的角记为，又向量。
且.（1）求的单调减区间；（2）若关于的方程在内有两个不同的解，求的取值范围.方法二分离参数+数形结合解题步骤先分离参数，再画出方程两边的函数的图像，数形结合分析解答.【例2】已知函数的最大值为．（1）求函数的单调递增区间；（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程-＝0在∈上有解，求实数的取值范围．【解析】（1），由，解得，所以函数的单调递增区间当时，，取最小值-3．方程在∈上有解，即 -3≤≤【点评】(1)本题就是先分离参数，再分别画方程左右两边的函数的图像数形结合分析.(2)本题也可以单调性+数形结合的方法分析解答.它们之间不是绝对的，要注意灵活使用. 【反馈检测2】已知函数的周期为.（1）若，求它的振幅、初相；（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在的图像；（3）当时，根据实数的不同取值，讨论函数的零点个数.方法三方程+数形结合解题步骤先解方程，再数形结合分析解答.【例3】已知函数.（Ⅰ）当时，求值；（Ⅱ）若存在区间(且)，使得在上至少含有6个零点，在满足上述条件的中，求的最小值.【点评】（1）本题就是先解方程，再数形结合分析解答.本题如果用前面的两种方法，也可以解答，不过比较复杂. （2）如果，所以它不是最小值.【反馈检测3】已知函数，其中常数；（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．高中数学热点难点突破技巧第09讲：三角函数零点问题的处理参考答案【反馈检测1答案】（1）的单调减区间是：、；（2），且.【反馈检测1详细解析】（2）因，则.设，所以有两个不同的解，由题得. 借助函数图象可知：，即所以得：，且【反馈检测2答案】（1），；（2）详见解析；（3）当或时，函数无零点；当时，函数仅有一个零点；当或时，函数有两个零点；当时，函数有三个零点.【反馈检测2详细解析】（1）化为，由得，即.（1）函数的振幅是，初相为（2）列表2 0 0【反馈检测3答案】（1）（2）【反馈检测3详细解析】(1)因为，根据题意有(2) ，或，即的零点相离间隔依次为和，故若在上至少含有30个零点，则的最小值为．。
三角函数易错点剖析
ʏ安徽省宿城第一中学 孙桂英ʏ安徽省合肥市第一中学毕 飞 三角函数问题是高中数学学习的重要内容之一,因其概念性较强,解题方法灵活等特点,在解题的过程中如果审题不清,概念理解不到位,忽视隐含条件等,很容易导致解题出错,下面就常见的典型错误加以分析,希望引起同学们的重视㊂易错点一㊁三角函数的定义运算出错例1 已知角α的终边上有一点P (4t ,-3t )(t ʂ0),求α的各三角函数值㊂错解:因为点P 的坐标是(4t ,-3t ),且t ʂ0,所以r =|P O |=(4t )2+(-3t)2=5t ㊂所以s i n α=yr =-3t 5t =-35,c o s α=x r =4t 5t =45,t a n α=y x =-3t 4t =-34㊂剖析:设角α的终边上任一点的坐标为(x ,y ),它与原点的距离为r =x 2+y 2>0,则s i n α=y r ,c o s α=x r ,t a n α=y x(x ʂ0)㊂当已知坐标中含有参数时,需注意分类讨论㊂错解中有两处错误:(1)去根号后没有加绝对值;(2)没有对t ʂ0这个条件加以分析㊂正解:因为点P 的坐标是(4t ,-3t ),且t ʂ0,所以r =|P O |=(4t )2+(-3t)2=5|t |㊂当t >0时,α是第四象限角,则r =|P O |=5t ,所以s i n α=yr =-3t 5t =-35,c o s α=x r =4t 5t =45,t a n α=y x =-3t 4t =-34;当t <0时,α是第二象限角,则r =|P O |=-5t ,所以s i n α=yr =-3t -5t =35,c o s α=x r=4t -5t =-45,t a n α=-3t 4t =-34㊂易错点二㊁忽视三角函数的值域致误例2 (2023年安徽安庆统考二模)若s i n 2α+2s i n 2β=2c o s α,则s i n 2α+s i n 2β的最大值是,最小值是㊂错解:由已知得s i n 2β=c o s α-12s i n 2α,则有s i n 2α+s i n 2β=s i n 2α+c o s α-12s i n 2α=c o s α+12(1-c o s 2α)=-12(c o s α-1)2+1㊂所以当c o s α=1时,s i n 2α+c o s 2β取得最大值1;当c o s α=-1时,s i n 2α+c o s 2β取得最小值-1㊂剖析:最小值求错了,错的原因是未注意正弦函数的有界性㊂正解:由已知得s i n 2β=c o s α-12s i n 2α,则有s i n 2α+s i n 2β=s i n 2α+c o s α-12s i n 2α=c o s α+12(1-c o s 2α)=-12(c o s α-1)2+1㊂由s i n 2α+2s i n 2β=2c o s α,可知2ȡc o s 2α+2c o s α-1=2s i n 2βȡ0,解得2-1ɤc o s αɤ1㊂故s i n 2α+s i n 2β的最大值与最小值分别为1和2(2-1)㊂易错点三㊁忽略定义域导致求错单调区间例3 (2023年山东德州第一中学质量检测)函数y =l o g 2si n x +π3的单调递增区间为㊂错解:因为2>1,所以只需求函数u =s i n x +π3的单调递增区间即可㊂于是-π2+2k πɤx +π3ɤπ2+2k π,即-5π6+2k πɤx ɤπ6+2k π,k ɪZ ㊂所以函数y =l o g 2si n x +π3的单调递增区间为-5π6+2k π,π6+2k π(k ɪZ )㊂42 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.剖析:该解法错误的原因在于忘记考虑对数函数的定义域㊂应先求出函数的定义域,单调区间是定义域的子集㊂正解:由题意得s i n x +π3>0,所以2k π<x +π3<π+2k π,解得-π3+2k π<x <2π3+2k π㊂又因为2>1,所以只需求函数u =s i n x +π3的单调递增区间即可㊂令-π2+2k πɤx +π3ɤπ2+2k π,得-5π6+2k πɤx ɤπ6+2k π,k ɪZ ㊂所以函数u =s i n x +π3的单调递增区间为-5π6+2k π,π6+2k π (k ɪZ )㊂结合定义域得函数y =l o g 2s i n x +π3 的单调递增区间为-π3+2k π,π6+2k π (k ɪZ)㊂易错点四㊁对函数图像的变换规则把握不透致误例4 (2023年湖北安陆第一高中一模)为了得到函数y =2s i n 2x -π3的图像,只需把函数y =2s i n 2x +π6 的图像()㊂A.向左平移π4个单位长度B .向右平移π4个单位长度C .向左平移π2个单位长度D .向右平移π2个单位长度错解:选D 或A ㊂剖析:选D ,是没有考虑x 前的系数2;选A ,是没有弄清楚 谁平移到谁 ,平移的方向反了㊂正解:因为函数y =s i n 2x +π6=s i n 2x +π12,且y =s i n 2x -π3=s i n 2x -π6,所以将y =2s i n 2x +π6 的图像向右平移π4个单位长度可以得到y =2s i n 2x -π3的图像㊂故选B ㊂易错点五㊁忽视复合函数单调性的法则致误例5 (2023年黑龙江鹤岗一中质量检测)函数y =2s i nπ4-2x 的递增区间是㊂错解:令u =π4-2x ,则y =2s i n u 在2k π-π2,2k π+π2(k ɪZ )上是增函数㊂由已知得2k π-π2ɤπ4-2x ɤ2k π+π2,所以函数y =2s i nπ4-2x 的递增区间为-k π-π8,-k π+3π8 (k ɪZ )㊂剖析:上述解法忽视了复合函数的单调性,导致答案错误㊂本题涉及两个函数,其中y =s i n u ,u =-2x +π4,需要利用 同增异减 的法则来求解㊂正解:已知函数y =2s i n π4-2x=-2s i n 2x -π4,求该函数的递增区间,即求函数u =s i n 2x -π4的递减区间㊂由2k π+π2ɤ2x -π4ɤ2k π+3π2,可得k π+3π8ɤx ɤk π+7π8(k ɪZ ),故所求函数的递增区间为k π+3π8,k π+7π8(k ɪZ )㊂易错点六㊁应用诱导公式时忽视对参数的讨论致误例6 (2023年安徽霍邱一中高一期末考试)化简:c o s4n +14π+x+52解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.c o s 4n -14π-x(n ɪZ )㊂错解:原式=c o s n π+π4+x+c o s n π-π4-x =c o sπ4+x +c o s -π4+x=2c o s π4+x ㊂剖析:上述解法错在没有对n 进行分类讨论㊂化简s i n (n π+α),c o s (n π+α)(n ɪZ )时,需对n 是奇数还是偶数进行分类讨论,但要注意t a n (n π+α)=t a n α(n ɪZ )对任意的n ɪZ 均成立㊂正解:原式=c o s n π+π4+x+c o s n π-π4-x㊂(1)当n 为奇数,即n =2k +1(k ɪZ )时,原式=c o s(2k +1)π+π4+x+c o s (2k +1)π-π4-x =-c o s π4+x -c o s -π4-x =-2c o sπ4+x ;(2)当n 为偶数,即n =2k (k ɪZ)时,原式=c o s 2k π+π4+x+c o s 2k π-π4-x=c o s π4+x +c o s -π4-x =2c o s π4+x ㊂故原式=(-1)n2c o s x +π4 ㊂易错点七㊁忽视三角函数值对角范围的制约致误例7 (2023年福建泉州一中期末考试)已知t a n α,t a n β是方程x 2-6x +7=0的两根,α,βɪ(0,π),αʂβ,求α+β的值㊂错解:由韦达定理得t a n α+t a n β=6,t a n αt a n β=7㊂因为t a n (α+β)=t a n α+t a n β1-t a n αt a n β=61-7=-1,又0<α<π,0<β<π,所以0<α+β<2π,所以α+β=3π4或α+β=7π4㊂剖析:三角求值或求角的大小时,不仅要注意有关角的范围,还要结合有关角的三角函数值把角的范围缩小到尽可能小的范围内,不然容易出错㊂上述解法未能根据已知的三角函数值进一步缩小角的范围,从而导致了增根㊂正解:在错解的基础上进一步说明:t a n α,t a n β同号且均大于0,所以α,βɪ0,π2,0<α+β<π,故α+β=3π4㊂易错点八㊁忽视变形式子对角范围的制约致误例8 已知0ɤα<β<γ<2π,且c o s α+c o s β+c o s γ=0,s i n α+s i n β+s i n γ=0,求α-β的值㊂错解:由已知等式得c o s α+c o s β=-c o s γ,s i n α+s i n β=-s i n γ,两式分别平方再相加得2+2c o s (α-β)=1,即c o s (α-β)=-12㊂因为0ɤα<β<2π,所以-2π<α-β<0,所以α-β=-2π3或α-β=-4π3㊂剖析:在三角变形过程中,有时要利用变形后的式子来进一步缩小角的范围,这样才能得出正确的结果㊂上述解法错在没有利用题设条件进一步缩小角的范围,从而产生了增根㊂正解:由已知等式得c o s α+c o s β=-c o s γ,s i n α+s i n β=-s i n γ,两式分别平方再相加得2+2c o s (α-β)=1,即c o s (α-β)=-12㊂同理可得c o s (α-γ)=-12;c o s (γ-β)=-12㊂由0ɤα<β<γ<2π,可得-2π<α-γ<0,0<γ-β<2π,所以-3π2<α-γ<-π2,π2<γ-β<3π2,所以-π<α-β<π㊂又因为α<β,所以-π<α-β<0,故α-β=-2π3㊂(责任编辑 王福华)62 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高考数学之三角函数压轴小题的解法
教海探索摘要：纵观这几年的高考数学题目，经常在三角函数这块出一些比较难的压轴小题，这类题目深度考查三角函数的图象与性质，然而学生对于这类压轴小题的得分却很低，所以本文详细介绍这一类三角函数压轴小题的解法，旨在帮助学生攻克这类三角函数压轴小题。
关键词：三角函数；压轴小题；取值范围；整体换元本文中笔者将讲解这类压轴小题的具体考法以及“正面解法”，正面解法是指在小题里，特别是选择题里，不采用特值检验选项的方法，完全依据题目给的条件推出正确选项.在平时做练习题的时候，训练正面解法有助于提升我们的数学思维，加深对三角函数图象与性质的理解。
一、从单调性方面考查w 的取值范围这种题目会给出正余弦型函数在某区间上是单调递增或单调递减或者直接说是单调的，只要题目中提到正余弦型函数在某区间上是单调的，那这个单调区间的长度一定小于等于T2（T 是正余弦型函数的最小正周期），这时再结合最小正周期公式T =2πw，可以初步确定w 的一个大范围。
确定了w 的一个大范围，接下来我们用整体换元法来推出w 的具体范围：题目中给出了单调区间，等于给出了x 的范围，我们可以推出wx +φ的范围，这时我们将wx +φ视为一个整体，令t =wx +φ，此时正余弦型函数就变成了我们熟悉的正余弦函数。
这时我们一定要明白wx +φ的范围是由题目中给的单调区间推过来的，而正余弦函数的单调区间公式是一个总的单调区间。
所以wx +φ的范围一定是包含于（⊆）正余弦函数的单调区间公式，这时就可以解出w 的范围，再联立一开始利用单调区间的长度一定小于等于T2求得的w 的大范围，从而求出w的具体范围。
接下来以一道高考题为例：2012年高考新课标卷理科第9题：已知w >0，函数f (x )=sin(wx +π4)在区间(π2,π)上单调递减，求w 的取值范围。
解析：在(π2,π)上单调递减，可以得出π-π2≤T2，结合最小正周期公式T =2πw ，可以得出π2≤πw 。
例析三角函数解题错误及防范
例析三角函数解题错误及防范作者：张晓辉来源：《理科考试研究·高中》2012年第02期高中数学的三角函数是高考必考内容.由于对三角函数基本概念的理解不够透彻,思考问题不够严谨,或因运算能力不够强,不少同学在解题中常有失误.下面举例说明,希望同学们今后能够避免出现同样的错误.1.忽视定义域三角函数是周期函数，定义域对它来说尤其显得重要.若在运用三角公式进行化简时不注意函数定义域的变化，就会产生不易察觉的错误.例1判断函数f(x)=1+sinx-cosx1+sinx+cosx的奇偶性.错解f(x)=2sin2x2+2sinx2cosx22cos2x2+2sinx2cosx2=2sinx2(sinx2+cosx2)2cosx2(sinx2+cosx2)=tanx2.易证y=tanx2是奇函数，故f(x)是奇函数.评析化简得很漂亮，但是函数是奇函数或偶函数的前提条件是定义域关于原点对称.易见x=π2在定义域内，x=-π2不在定义域内，此函数的定义域不关于原点对称，所以应该是非奇非偶函数.2.角的范围太大根据三角函数的符号法则，若我们知道某个角的某个三角函数值，我们很容易可以确定该角所在的象限.但是，有的问题中我们要根据已知条件进一步缩小角的范围，否则就容易产生多解和范围过大等错误.例2若sinα2=-35，cosα2=45，则角α的终边在象限.错解因为sinα20，所以2kπ-π2有4kπ-π故α在第三或第四象限.评析我们可以从另外一个角度考虑一下这个问题：sinα=2sinα2cosα2=2×(-35)×45=-425cosα=2cos2α2-sin2α2=(45)2-(-35)2=725>0,可知α在第四象限.原先的错误主要出在角的范围给得过大，我们应该进一步把它缩小.因为cosα2=45∈(22,1)，α2已肯定在第四象限，所以2kπ-π4即4kπ-π2这样就可以得到α在第四象限的正确答案了.例3已知tan(α-β)=12，tanβ=-17，且α，β∈(0,π)，求2α-β之值.错解学生的答案有很多种：(1)π4；(2)2kπ+π4；(3)-3π4或π4或5π4；(4)-3π4或π4；(5)-3π4.评析学生先是这样解的：tan［2(α-β)］=2tan(α-β)1-tan2(α-β)=2×121-14=43，所以tan(2α-β)=tan［2(α-β)+β］=tan［2(α-β)］+tanβ1-tan［2(α-β)］·tanβ=43+(-17)1-43×(-17)=1.接着以上一些不同的答案出来了.分析一下，错误的主要原因还是对角范围没有比较精确地限制.例如：第一种答案说明学生根本没有相同终边角的意识.第二种答案说明学生对题目条件中角的范围视而不见.第三种答案是这么来的：所以-π在这个范围里确实有三解.第四种答案是这样得到的：tanα=tan［(α-β)+β］=12+(-17)1-12×(-17)=13，所以0又tanβ故-π在这个范围里有两解，但是角的范围还是太大.实际上因为0-1所以0由此可得-π在这个范围里只有一解-3π4.3.未注意隐含条件三角函数的符号法则和有界性等特点使得我们可以充分挖掘已知条件中的隐含条件，若不重视对隐含条件的研究，我们解题时就会多解或做错题.例4设α是第二象限的角，cosα2+sinα2=-52，求sinα2-cosα2的值.错解因为(sinα2+cosα2)2=54，所以2sinα2cosα2=14.于是(sinα2-cosα2)2=(sinα2+cosα2)2-4sinα2cosα2因为2kπ+π2所以kπ+π4因此sinα2-cosα2=±52.评析错误的主要原因是没有注意题设中的隐含条件cosα2+sinα2所以2kπ+5π4于是sinα2故sinα2-cosα2=-52，只有一解.例5已知sinx+siny=13，求sinx-cos2y的最值.错解sinx-cos2y=13-siny-1+sin2y=(siny-12)2-1112.当siny=12时，最小值是-1112；当siny=-1时，最大值是43.评析实际上，由-1≤sinx=13-siny≤1得-23≤siny≤1.因此当siny=-23时，有sinx-cos2y的最大值为(-23-12)2-1112=49.4.对周期理解不深刻有很多三角函数的问题是与三角函数的周期性有关的，对三角函数的周期性我们结合三角函数的图象要有正确的理解.例6为使函数y=2sinωx(ω>0)在［0，1］上至少出现50次最大值，则ω的最小值为.错解学生主要有两种错误答案：100π和99π.分别是这样得到的：由2πω·50≤1，得ω≥100π；或由2πω·(49+12)≤1，得ω≥99π.评析前一个解法学生认为至少出现50次最大值需要50个周期，后面一个解法学生想到了不一定要50个周期那么多，但是错误地认为需要4912个周期.这两种解法都是由于对三角函数的周期性理解不深刻.正确的解法是2πω·(49+14)≤1，ω≥2972π.5.未注意三角形内角之和为π我们在解决三角形内的三角函数问题时，要充分运用三角形内角和为π，三角形的任意两边之和大于第三边等构成三角形的基本条件.例7在△ABC 中，已知sinB=35，cosA=513，则cosC=.错解因为sinB=35，所以cosB=±45.cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=1213×35-(±45)×513=5665或1665.评析当cosB=-45时，B∈(π2，π)，并且sinB=23所以B>3π4.又cosA=513所以A>π3.所以A+B>13π12，与三角形内角之和为π相矛盾，5665是错解.6.未注意题目有两解已知某个角的某个三角函数值，求该角的问题中，不要忽视有两组解的情况.例8已知角α终边在直线y=-3x上，则1cosα的值为.错解很多学生的答案是-2或者是2.评析因为角α终边在直线上，所以有两种情况：终边在第二象限或在第四象限.在第二象限时：cosα在第四象限时：cosα>0，答案是2.综上：答案是±2.7.审题不仔细解三角函数题时，审题要特别仔细.有时括号里角的范围等补充说明倒是影响最终解题结果的重要条件.例9函数f(x)=sinx-3cosx(x∈［-π,0］)的单调递增区间为.错解f(x)=2sin(x-π3)，由2kπ-π2≤x-π3≤2kπ+π2，得2kπ-π6≤x≤2kπ+5π6.评析错误的主要原因是学生没有注意已知条件中x是有范围的.应取k=0，得-π5≤x≤5π6.再与已知的范围取公共部分得单调递增区间为［-π6,0］.8.图象变换要针对自变量本身三角函数图象的左右平移和伸缩变换都是图象针对自变量而言，与系数和符号无关.例10要得到函数y=cos(2x-π4)的图象，只要将函数y=sin2x的图象向平移个单位.错解y=cos(2x-π4)=sin［π2-(2x-π4)］=sin(3π4-2x)=sin［π-(3π4-2x)］=sin(2x+π4)(*)，所以只要把y=sin2x的图象向左平移π4个单位.评析错误的原因是图象平移没有针对自变量x而言.本题应该是由(*)得到y=sin2(x+π8)，所以只要把y=sin2x的图象向左平移π8个单位.。
三角函数很难？3招解决全部难题！
三角函数很难？3招解决全部难题！
最近，有很多同学都来问我三角函数怎么学，有的同学说三角函数这部分的公式太多了，总是记不住，老是张冠李戴。
其实，不是同学们记不住公式，而是同学们根本就没有理解到这些公式，因为三角函数额诱导公式非常多，他们的变换都很相似，如果不去理解的话，是很难记住这些公式的。
而且就算孩子整天摇头晃脑背公式，好不容易背下来了，但是一道做题目的时候，还是什么都不会做。
其实，以前我的学生们都给我说过这样一个问题，只是现在我已经见惯不怪了。
三角函数，是高考的必考点，不仅仅是选择题、填空题，在大题里也会考，所以说如果同学们掌握不到三角函数的学习的话，数学自然就是考不出高分的。
数学，是最拉分的科目，但是也是最好提升的科目，特别是选择题和填空题，稍微有点基础的同学都应该要求自己在选择题和填空题上不能够丢分，这样的话，数学上一百三四十分，就不难了；基础稍微差一点的同学们，至少要保证自己在选择题、填空题上70分以上，这样的话，上一百一十分也就不难了。
而且选择题和填空题一定不能花太多的时间，尽量控制在半个小时之内，不然的话，不仅后面的题目没有足够的时间完成同学们也会
因为紧张而大大降低自己的答题质量。
学习不是一蹴而就的事情，高考更不是，所以说为了顺利高考，你必须在高考之前做好充分的准备。
尽快发现自己的问题，尽早解决自己的问题，只有这样，才能够让自己有最大的提升，顺顺利利地迎接高考。
方法一切割化弦
方法二统一配凑
方法三公式活用
求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。
方法一配方法
方法二化一法
方法三直线斜率法
你最想去哪个城市上大学？。
数学三角函数解题技巧
（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例1】已知θ同时满足和,且a、b均不为0，求a、b的关系。
解析：已知显然有：由①×cos2θ＋②×cosθ，得：2acos2θ＋2bcosθ=0即有：acosθ＋b=0又a≠0所以，cosθ＝－b/a ③将③代入①得：a（－a/b）2－b（－b/a）＝2a即a4＋b4＝2a2b2∴（a2－b2）2＝0即｜a｜＝｜b｜点评：本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本关系式。
（2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。
【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。
解析：设θ＋15°＝α，则原式＝sin（α＋60°）＋cos （α+30°）－cosα＝（sinαcos60°＋cosαsin60°）＋（cosαcos30°－sinαsin30°）－cosα＝sinα＋cosα＋cosα－sinα－cosα＝0点评：本例选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”的和差关系，这也是角的拆变技巧之一。
【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝证明：已知条件可变为：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）所以有：sin （α＋β）cosβ－cos （α＋β）sinβ＝Ａsin （α＋β）∴sin （α＋β）（cosβ－Ａ）＝cos （α＋β）sinβ∴tan（α＋β）＝点评：在变换中通常用到视“复角”为“单角”的整体思想方法，它往往是寻找解题突破的关键。
三角函数解题技巧和公式(已整理)
浅论关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中.面对三角函数内容的相关教学时.积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。
下面尝试进行探讨一下：一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±.必可推出)2sin (cos sin ααα或.例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。
分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中.θθcos sin -已知.只要求出θθcos sin 即可.此题是典型的知sin θ-cos θ.求sin θcos θ的题型。
解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=-故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+=2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ.sin θcos θ的关系应用：由于tg θ+ctg θ=θθθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ.θθcos sin ±.sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。
例2 若sin θ+cos θ=m 2.且tg θ+ctg θ=n.则m 2 n 的关系为（ ）。
处理三角函数易错题的三大绝招
处理三角函数易错题的三大绝招
蔡汉书
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2012(000)003
【摘要】有很多学生一上高中就最怕函数，尤其是三角函数问题．其主要原因是：三角函数公式较多，知识点散乱，很多同学容易记混，而且很多题目隐含条件较深不易挖掘．下面笔者就这些问题给读者提供一些参考．一、隐含条件要充分挖掘【总页数】1页(P100-100)
【作者】蔡汉书
【作者单位】安徽省五河第一中学,233300
【正文语种】中文
【中图分类】G633.64
【相关文献】
1.运用数学思想方法求解三角函数易错题
2.三角函数与平面向量中的易错题归类剖析
3.三角函数中的易错题多解剖析
4.三角函数中的易错题多解剖析
5.君子以思患
而豫防之--三角函数与解三角形易错题归类剖析
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高中数学三角函数解题技巧和思路的总结
高中数学三角函数解题技巧和思路的总结三角函数在高中数学中占有重要地位，涉及到三角函数的图像、性质、基本关系、单位圆等多方面知识。
三角函数的解题思路也比较特别，需要考虑到角度的变化以及不同函数之间的关系。
本文将从应用数学的角度，总结高中数学中三角函数的解题技巧和常见思路。
1、熟悉三角函数的定义和性质三角函数的定义主要有正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等。
在解题前必须明确这些函数的定义以及它们的图像、定义域、值域和周期等性质。
熟练掌握三角函数的定义和性质，可以帮助我们更快地解题，减少错误的可能性。
2、运用三角函数间的基本关系三角函数之间存在着很多基本关系，比如正弦和余弦的关系、正切和余切的关系、正割和余割的关系等。
理解这些基本关系，可以用一种函数来表示另一种函数和方便我们解题。
比如，对于一道题目中给出的正切和余切的关系，我们就可以利用正切和余切的定义式，将问题转化为正弦和余弦的关系，这样就更容易求解了。
3、掌握三角函数的反函数及展开式三角函数的反函数是解决一些特殊问题的关键。
比如，求反正弦或反余弦的值时，需要先确定解的范围，然后再利用反函数公式，求出对应的角度值。
展开式也是一种重要的技巧，可以将一些复杂的三角函数表达式转化为简单的形式，从而更容易进行计算。
4、注意角度与弧度的转换在三角函数的运算中，角度和弧度单位经常需要相互转换。
因此，我们需要掌握角度与弧度相互转换的方法。
一般情况下，我们可以利用下列公式进行转换：- 弧度制转角度制：$180^\circ × \frac{π}{180}=π$- 角度制转弧度制：$π × \frac{180}{180^\circ}=180^\circ$同时，在解题过程中还要注意单位不一致的问题，经常需要将给出的数据转化为相同单位后再进行计算。
5、善于利用三角函数的图像解题三角函数的图像是帮助我们理解三角函数性质的重要工具。
通过观察函数的图像，我们可以判断函数在不同象限中的正负情况、奇偶性以及周期等特征。
高中数学中三角函数解题错误的成因分析及解决方法
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn
高中数学中三角函数解题错误的成因分析及
解决方法
作者：刘雨明
来源：《文理导航》2017年第32期
【摘 要】三角函数是高中数学学习的主要内容之一，在高考中占有重要的地位，例如在
高考的選择题、填空题以及应用题中均有涉及。在三角函数题型中，函数的知识点常在三角函
数的图像变换、定义域、单调性以奇偶性等方面，基于此，作者对高中数学三角函数解题错误
的成因分析以及解决方法进行分析，以供参考。
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2013年高中数学教学论文-处理
三角函数易错题的六绝招
用心 爱心 专心
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处理三角函数易错题的六绝招第一招 三角函数中，隐含条件的挖掘
【例1】已知方程23340xx的两个实数根是
tan,tan，且,(,)22，则
等于（ ）
A．23 B．23 C．
3
或23 D．2-33或
【解】tan,tan是方程23340xx的两个实数
根，
tantan330,tantan40.
又,(,)22，
所以,(,0)2，
从而0，
又tantan33tan()31tantan14，
2
3
绝对值
较大的
两数
因为tan(α+β)=3,所
以()3kkZ.又因为
0
，所以03k，
用心 爱心 专心
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用心 爱心 专心
- 4 -
又为锐角，2310cos1sin10。
且2sin()sincoscossin2，
由于090,090，
0180
，
故45或135。
〖错因剖析〗没有注意挖掘题目中的隐含条件，
忽视了对角的范围的限制，造成出错。
事实上，仅由2sin()2，0180而得到
45
或135是正确的，但题设中
51101
sin,sin52102
，使得030,030从而
060
，故上述结论是错误
的。…………………………——缩角是一种重要
技巧
〖点拨〗因为cosyx在0,上是单调函数，所以本
题先求cos()不易出错。
正解 为锐角，2251sin5cos。
又为锐角，23101sin10cos。
且2cos()coscossinsin2，
用心 爱心 专心
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由于090,090，
0180，故45
。
〖练习〗若Ａ、B均为锐角，且110tan,sin710AB，
则A+2B的值为 ．
【解】∵10sin10B且B为锐角，∴310cos10B，
∴1tan,3B ∴22tan3tan2,1tan4BBB
∴22tantan(2)1,1tanBABB
又∵101sinsin30102B，∴030B，
在已知值求角中，角的范围
常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系
而出现增根不能排除．要避免上述情况的发
生，考生应合理选择三角函数形式进行求解，
启
迪
归
纳
用心 爱心 专心
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∴02150AB，∴A+2B=45．
第四招 你肯定会错
【例4】（2007全国Ⅰ—理17）设锐角三角形
ABC
的内角ABC，，的对边分别为abc，，，2sinabA
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求cossinAC的取值范围
【解】（Ⅰ）由2sinabA，根据正弦定理得
sin2sinsinABA，所以1sin2B，由ABC△
为锐角三角形得
π
6
B
（Ⅱ）cossincossinACAA
cossin6AA
13
coscossin22AAA
3sin3A
由ABC△为锐角三角形知：
22263
AB
，
从而 2336A，
所以 13sin232A
注意：锐角三
角形中的隐含条
用心 爱心 专心
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由此有 333sin3232A，
所以，cossinAC的取值范围为3322，
〖练习〗（2009湖南—文14）在锐角ABC中，
1,2,BCBA
则cosACA的值等于 2 ， AC的取值范围
为 )3,2( .
〖点拨〗因为ABC是锐角三角形锐角，所以
2AB，且2B，从而有64
A
，于是22cos3A，
故23AC．
第五招 数形结合也未见得好
【例5】在区间,22 范围内，函数tanyx与
函数sinyx的图象交点的个数为（ ）
A． 1 B．2
C．3 D．4
【解】 在同一坐标系中，作出sinyx与tanyx，
在,22内的图象，很难做到精确，容易误认为3
技 巧
点 拨
锐角
ABC
用心 爱心 专心
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个交点．联想到不等式“sintanxxx（x0,2）”，故
sinyx
与tanyx，在0,2内的图象无交点，又它们都
是奇函数，从而sinyx与tanyx，在,02内的图象
也无交点，所以在区间,22范围内，函数tanyx与
函数sinyx的图象交点的个数为1个，即坐标原点
0,0
．
第六招 同角正余弦的和、差、积、倍互化中的
陷阱铲除
已知sincos或sincos求sin、cos、tan、cot、
sin2、cos2
的值。
【例6】 （1994全国—理18）已知
1
sincos,0,5
，则tan的值是
【解】 由sinα＋cosα＝15〉0，两边
平方得 2sinαcosα＝－2425<0，
∴ 1―2sinαcosα =4925 ,且2，∴
有sinα－cosα＝75，
绝
对
两数
用心 爱心 专心
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与sinα＋cosα＝15 ，联立解得 sinα
＝45、 cosα ＝－35，
∴tanα＝－43。
这类问题的解决首先必须对角α的范围进
行讨论，这充分体现了“函数问题，范围先行（尤
其是三角函数问题）”的解题基本原则．