四川省眉山一中办学共同体2018-2019学年高二9月月考数学(理)试题
四川省眉山办学共同体2018_2019学年高二数学上学期1月考试试题理
眉山一中办学共同体2020届第三期12月月考试题数学（理科）第I 卷（选择题）一、选择题：（共60分，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．经过点(3-，2)，倾斜角为60°的直线方程是（ C ）A ．)3(32-=+x y B ．)3(332+=-x yC ．)3(32+=-x yD ．)3(332-=+x y【解析】 由点斜式可知直线方程为 【答案】tan 60k ==)23y x -=+C2．平面内动点到定点的距离之和为6，则动点的轨迹是（ C ） P 12(3,0),(3,0)F F -P A. 双曲线 B. 椭圆 C.线段 D.不存在3．方程y ＝ax ＋表示的直线可能是( B )1a4．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( D )A ．－2B ．－C. D ．2 143145【解析】 由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2. 答案 D5．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 25C （D ）A. B. C. D. x y 41±=x y 31±=x y ±= x y 21±=6．设是三条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：l m n 、、αβγ、、①若，则； ,,,,l l m n m n αβαβα⊂=⊂/ ∥∥l n ∥②若，则；,αγβγ⊥⊥αβ∥③若是两条异面直线，且，则； ,m n ,,,l m l n n m αβ⊥⊥⊂⊂αβ∥l α⊥④若，则； ,,,,l m n l m l n αββ⊂⊂⊂⊥⊥αβ⊥其中正确命题的序号是( A )A ．①③ B.①④ C.②③ D.②④7．若动点分别在直线：和：上移动，则),(),(2211y x B y x A ∥011=-+y x 2l 01=-+y x 中点的轨迹方程为（ D ）AB M A ． B ． C ． 06=--y x 06=++y x 06=+-y x D ．06=-+yx8．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( C )A.B. C. 110251030D. 22解析 方法一 由于∠BCA ＝90°，三棱柱为直三棱柱，且BC ＝CA ＝CC 1， 可将三棱柱补成正方体．建立如图(1)所示空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则可得A (0,0,0)，B (2,2,0)，M (1,1,2)，N (0,1,2)， ∴＝(－1，－1,2)，＝(0,1,2)． BM → AN →∴cos 〈，〉＝＝＝＝. BM → AN →BM → ·AN →|BM → ||AN →|－1＋4(－1)2＋(－1)2＋22×02＋12＋2236×53010方法二 通过平行关系找出两异面直线的夹角，再根据余弦定理求解． 如图(2)，取BC 的中点D ，连接MN ，ND ，AD ，由于MNB 1C 1BD ，因此有ND BM ，则ND 与12NA 所成的角即为异面直线BM 与AN 所成的角．设BC ＝2，则BM ＝ND ＝，AN ＝，AD ＝， 655因此cos ∠AND ＝＝.ND 2＋NA 2－AD 22ND ·NA30109．已知圆，点是圆内的一点，过点的圆的最短222:r y x O =+)0(),,(≠ab b a P O P O 弦在直线上，直线的方程为，那么直线满足（ ）1l 2l 2r ay bx =-2l A ．且与圆相交 B.且与圆相切 21//l l O 21l l ⊥O C ．且与圆相离 D.且与圆相离21//l l O 21l l ⊥O10．已知直线y =﹣2x +1与椭圆交于A 、B 两点，且线段AB 的中)0(12222>>=+b a by a x 点在直线x ﹣4y =0上，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由A 、B 在椭圆上：+=1， +=1，两式相减，得： + =0，∴k AB ==﹣×，由题意可知：，解得：，则线段AB 的中点（，），则：x 1+x 2=，y 1+y 2=，∴k AB =﹣=﹣2， 即:=2， ∴a 2=2b 2，∴椭圆的离心率e ===，故选D ．11．如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长为3，底面边长A 1C 1＝B 1C 1＝1， 且∠A 1C 1B 1＝90°，D 点在棱AA 1上且AD ＝2DA 1，P 点在棱C 1C 上， 则·的最小值为( B ) PD → PB 1→A. B ．－ C. D ．－ 52141452解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则D (1,0,2)，B 1(0,1,3)， 设P (0,0，z )，则＝(1,0,2－z )，＝(0,1,3－z )，PD → PB 1→∴·＝0＋0＋(2－z )(3－z )＝(z －)2－， PD → PB 1→5214故当z ＝时，·取得最小值为－.52PD → PB 1→ 1412．如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，21,F F 14:221=+y x C 2C 分别是在第二、四象限的公共点．若四边形为矩B A ,21,C C 21BF AF 形，则的离心率是 (D ) 2CA. B. C.D.232326第II 卷（非选择题）二、填空题（共20分，每小题5分） 13．过点且平行于直线的直线方程为_________．14．若变量满足约束条件则的最大值是__7__．,x y 420,0x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩=z 2x y +15．若直线y ＝kx ＋1与曲线x ＝有两个不同的交点，则k的取值范围是_________．1－4y 2解析：由x ＝，得x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，1－4y 2又∵直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，故问题转化为过定点(0,1)的直线与椭圆在y 轴右侧的部分有两个公共点，当直线与椭圆(右侧部分)相切时，k ＝－，则相交时k ＜－.3232答案：(－∞，－)3216．如图所示，已知二面角α—l —β的平面角为θ ，，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB(0,2πθ∈在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为_________．解析 因为＝＋＋，____AD → AB → BC → CD →所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·AD → AB → BC → CD → AB → CD → AB → BC → BC → CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ. 所以||＝，即AD 的长为.AD →3－2cos θ3－2cos θ三、解答题：(共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本题满分10分）已知直角的顶点的坐标为，直角顶点的坐标为ABC ∆A (2,0)-B，顶点在x 轴上．C （1）求边所在直线的方程； （2）求直线的斜边中线所在的直线的BC ABC ∆方程．【答案】（1； （2）直角的斜边中线的0y +-=ABC ∆OB方程为．y =（2）∵l BC ，点在坐标轴上，0y +-=C 由，得：，即， 斜边的中点为， 0y =2x =(2,0)C ∴AC (0,0)故直角的斜边中线为（为坐标原点），ABC ∆OB O设直线，代入，得:OB y kx =B k =直角的斜边中线的方程为．∴ABC ∆OB y =18．（本题满分12分）已知、分别是双曲线的左、右焦点，1F 2F )0,0(12222>>=-b a by a x 焦距为，渐近线方程为.6x y 2±=(1)求双曲线的标准方程；(2)过右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于、两点，求线段的长度.2F 30 A B AB 解：（1）由题意：； ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==262ab c ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==6322b a 22136xy -=（2）由双曲线的方程得：，， 1(30)F ,-2(30)F ,所以直线AB 的方程为，3)y x =-将其代入双曲线方程消去y 得，，解之得.256270x x +-=12935x ,x =-=将代入①，得，故,，12x,x 12y y =-=-(3A ,--9(5B ,-故AB =19．（本小题满分12分）已知线段AB 的端点B 的坐标，端点A 在圆()1,3()22:14C x y ++=上运动，C 为圆心．（1）求线段AB 的中点M 的轨迹；（2）过B 点的直线l 与圆有两个交点M 、N . 当CM CN 时，求l 的斜率．C ⊥解：（1）设动点M ，端点A ，则有: (),x y ()00,x y 000012123232x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩ 代入圆中得到：()2200:14C x y ++=()22223:423412C x y xy ⎛⎫+-=⇒+-= ⎪⎝⎭（2）设直线l 的方程为：，3(1)y k x -=-由CM CN 知：点C 到直线l , ⊥，()()2222232121270k k kk ⇒-=+⇒-+=．∴3k ==20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，动点到两点、的距xOy P (0,离之和等于4．设点的轨迹为．P C (1)求曲线C 的方程； (2)设直线与交于两点，若，求1y kx =+C A B 、OA OB ⊥k的值.解：（1）设P （x ，y ）,由椭圆定义可知:点P 的轨迹C 是以、为焦点，a =2，c=的椭圆. (0,3短半轴1,b ==故曲线C 的方程为1422=+y x . 4分（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，其坐标满足221,4 1.y x y kx ⎧⎪+=⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得:22(4)2k x kx ++—3=0，(*) 6分 故12122223,.44k x x x x k k +==-++ 若,OA OB ⊥即12120.x x y y += 则:22121222233210,444k k x x y y k k k +----+=+++， 10分化简得2410,k -+=所以1.2k =± 满足(*)中，故为所求. 12分0∆>12k =±21.（本题满分12分）如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．(1)证明：B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(1)证明 如图，以点A 为原点，分别以AD ，AA 1，AB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝B 1C 1→CE → B 1C 1→ CE → 0，所以B 1C 1⊥CE .(2)解 ＝(1，－2，－1)．B 1C →设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )， 则Error!即Error!消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)． 由(1)知，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1， 故＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．B 1C 1→于是cos 〈m ，〉＝＝＝－，从而sin 〈m ，〉＝，B 1C 1→ m ·B 1C 1→|m |·|B 1C 1→|－414×2277B 1C 1→ 217所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为.21722.（本小题满分12分）已知椭圆C ：的左、右焦点分别为F 1、F 2，)0(12222>>=+b a by a x 右顶点为E ，过F 1与x 轴垂直的直线与椭圆C 相交，其中一个交点为M (，)． 3-21（1）求椭圆C 的方程；（2）设过定点（1，0）的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，直线AE 、BE 的斜率为k 1、k 2（k 1≠0，k 2≠0），证明：k 1•k 2为定值．【解】（1）由已知中过F 1于x 轴垂直的直线与椭圆C 相交，其中一个交点为M （﹣，）．可得：c =，=，a 2﹣b 2=c 2，解得：a =2，b =1，∴椭圆C 的方程为：；【证明】（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵直线l 过定点（1，0），设x =my +1，由得：（m 2+4）y 2+2my ﹣3=0， ∴y 1+y 2=，y 1y 2=，∵右顶点为E （2，0）， ∴k 1•k 2=•====﹣，∴k1•k2为定值；。
四川省乐山市眉山第一中学高二数学理月考试题含解析
四川省乐山市眉山第一中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已定义在R上的函数f(x)无极值点，且对任意都有，若函数在[－1,2]上与f(x)具有相同的单调性，则实数k的取值范围为（）A. (－∞,0]B. (－∞,12]C.[0,+∞)D. [1,+∞)参考答案：A分析：易得函数是单调函数，令，则，（为常数），求出的单调性，从而求出在的单调性，得到在恒成立，求出的范围即可．详解：∵定义在上的函数的导函数无零点，∴函数是单调函数，令，则，在]恒成立，故在递增，结合题意在上递增，故在恒成立，故在恒成立，故，故选：A．点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题2. 设，则是的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A略3. 已知数列{a n}对任意的p，q∈N*满足a p+q=a p+a q，且a2=﹣6，那么a10等于（）A．﹣165 B．﹣33 C．﹣30 D．﹣21参考答案：C考点：数列的概念及简单表示法．分析：根据题目所给的恒成立的式子a p+q=a p+a q，给任意的p，q∈N*，我们可以先算出a4，再算出a8，最后算出a10，也可以用其他的赋值过程，但解题的原理是一样的．解答：解：∵a4=a2+a2=﹣12，∴a8=a4+a4=﹣24，∴a10=a8+a2=﹣30，故选C点评：这道题解起来有点出乎意料，它和函数的联系非常密切，通过解决探索性问题，进一步培养学生创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．4. 平面α的一个法向量n＝(1，－1,0)，则y轴与平面α所成的角的大小为()A．B．C．D．参考答案：B略5. 如果命题“且”是假命题，“”也是假命题，则( )A．命题“或”是假命题B．命题“或”是假命题C．命题“且”是真命题D．命题“且”是真命题参考答案：C6. 已知之间的一组数据如表所示，对于表中数据，现在给出如下拟合直线，则根据最小二乘法思想判断拟合程度最好的直线是（）A． B． C． D．参考答案：C略7. 已知集合，．若，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】考虑集合B是空集和不是空集两种情况，求并集得到答案.【详解】当为空集时：成立当不为空集时：综上所述的：故答案选D【点睛】本题考查了集合的包含关系，忽略空集是容易犯的错误.8. 若函数在区间内存在零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：B9. 在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则此三角形必是（）A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形参考答案：A 【考点】三角形的形状判断．【分析】由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知的等式中，整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，得到sin（A﹣B）=0，由A和B都为三角形的内角，得到A﹣B的范围，利用特殊角的三角函数值得到A﹣B=0，即A=B，从而得到三角形必是等腰三角形．【解答】解：由A+B+C=π，得到C=π﹣（A+B），∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B），又sinC=2cosAsinB，∴sin（A+B）=2cosAsinB，即sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，整理得sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，又A和B都为三角形的内角，∴﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B=0，即A=B，则此三角形必是等腰三角形．故选A10. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 正四面体ABCD的棱长为2，棱AB∥平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的最小值是______，最大值是______．参考答案：， 2【分析】当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影图形的一边始终是的投影，长度为2，而发生变化的是投影的高，找出高的变化，得到答案.【详解】因为正四面体的对角线互相垂直，且棱平面，当平面，这时的投影面是对角线为2的正方形，此时面积最大，为；当平面，射影面的面积最小，此时构成的三角形底边2，高是直线到的距离，为，射影面积为；正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的最小值是，最大值是【点睛】本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题，注意解题过程中的投影图的变化情况，属于中档题.12. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2．P是椭圆上一点，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若0°＜∠PF1F2＜60°则该椭圆的离心率的取值范围是．参考答案：（，）【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意可得 PF 2=F1F 2=2c ，再由椭圆的定义可得PF 1 =2a ﹣2c ．设∠PF 2F1 =θ，则＜θ＜π，故﹣1＜cosθ＜，再由cosθ=，求得e的范围．【解答】解：由题意可得 PF2=F1F2=2c，再由椭圆的定义可得 PF1 =2a﹣PF2=2a﹣2c．设∠PF2F1 =θ，则＜θ＜π，∴﹣1＜cosθ＜．△PF1F2中，由余弦定理可得cosθ=，由﹣1＜cosθ 可得 3e2+2e﹣1＞0，e＞．由cosθ＜可得 2ac＜a2，e=＜．综上，＜e＜，故答案为（，）．【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到cosθ=，且﹣1＜cosθ＜，是解题的关键．13. 由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)参考答案：1,1,3,3略14. 过点、的直线的斜率为______________．参考答案：2略15. 设、是平面直角坐标系（坐标原点为）内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，且，，则的面积等于 .参考答案：16. 已知椭圆E:与双曲线D: (a>0，b>0)，直线：与双曲线D的两条渐近线分别交于点A，B.若椭圆E的右焦点F在以线段AB为直径的圆内，则椭圆的离心率的取值范围是________.参考答案：17. 展开式中系数最大的项的系数为▲．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
四川省眉山一中办学共同体2019届高三9月月考数学(理)
·1·眉山一中办学共同体2019届高三9月月考数学（理）试题第I 卷（选择题）一、选择题（共60分，每小题5分，每个小题有且仅有一个正确的答案）1．已知集合2{|02},{|10}A x x B x x ，则A B A. 1,1 B. 1,2 C. 1,2 D.0,12．已知i 是虚数单位，复数z 满足341z i i ，则复平面内表示z 的共轭复数的点在A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3．“3a ”是“直线40x y 与圆2238xa y 相切”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4．若,a b 为正实数，且1a b ，则122a b 的最小值为A ．5 B ．4 C.92 D ．35．为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有A. 140种B. 70种C. 35种D. 84种6．等比数列n a 的前n 项和为13n n S a b ，则a b A. 3 B. 1 C. 1 D. 37．如图给出的是计算1111352017的值的一个程序框图，则判断框内可以填入的条件是A. 1008?iB. 1009?iC. 1010?iD. 1011?i 8．已知在直四棱柱1111ABCD A B C D 中，12,2,6,1AB AD BD AA ，则异面直线1A B 与11B D 所成角的大小为A.6 B. 4 C. 3 D. 29．函数cos (0,0,0)f x A x A 的部分图象如图所示，为了得到sin g x A x 的图象，只需将函数y f x 的图象。
四川省眉山一中办学共同体2019届高三数学9月月考试卷 文
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……四川省眉山一中办学共同体2019届高三数学9月月考试卷 文一、选择题.(每小题5分，共60分）1. 已知集合A ={(|||<2)}, B ={−2,0,1,2}, 则AB =（ ）A. {0,1}B. {−1,0,1}C. {−2,0,1,2}D. {−1,0,1,2} 2.函数()ln(1)f x x =+的定义域为（ ） A ．(2,+ ∞) B．(－1,2)∪(2,+∞) C．(－1,2) D ．(－1,2] 3. 下列函数中，值域为[]0,1的是（ ） A. 2y x = B. sin y x = C. 211y x =+D. y =4. 下列函数中，既是偶函数又是()0,+∞上的增函数的是( ) A. 3y x = B. 2xy = C. 2y x =- D. ()3log y x =-5. 函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是( ) A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞6. 设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 已知，则的大小关系为( ) A. B. C. D.8. 已知命题： “”，命题：“”，则下列为真命题的是（ ）A. B.()()p q ⌝∧⌝ C. D. ()p q ∨⌝9. 已知函数()2,2()1()1,22xa x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩满足对任意的实数12x x ≠都有()1212()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(－∞,2) B．13(,]8-∞ C. (－∞,2] D．13[,2)810. 下列语句中正确的个数是（ ） ①，函数都不是偶函数；②命题“若，则”的否命题是真命题；③若或为真，则，非均为真；④已知向量，则“”的充分不必要条件是“与夹角为锐角”.A. 0B. 1C. 2D. 3 11. 函数y =x 2+ln|x |的图象大致为（ ）A ．B ．C. D.12. 在函数()xf x e x =--的图象上任意一点处的切线为1l ，若总存在函数()2g x ax cosx =+的图象上一点，使得在该点处的切线2l 满足12l l ⊥，则a 的取值范围是A. (],1-∞-B. ()2,+∞C. ()1,2-D. []1,2- 二、填空题.(每小题5分，共20分）13. 集合{12}A x x =<<，{}B x x a =>，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为_____.14. 已知实数y x ,满足线性约束条件201024x y x y +⎧≥-≤-≥⎪⎨⎪⎩，O 为坐标原点，那么目标函数2z x y=-的最小值为 ． 15.函数满足，且在区间上，则的值为________16.已知集合{(,)A x y y == , {(,)2}B x y y x m ==+.若A B 中仅有一个元素，则实数m 的取值范围是________. 三、解答题（共70分）（17-21为必做题. 共60分）16. （本小题满分12分）已知等差数列}{n a 中，202532=++a a a ，且前10项的和10100S =．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若11+=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和. 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，6AC =，4cos 5B =，π4C =. （1）求AB 的长； （2）求πcos 6A ⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 19. （本小题满分12分）微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK 或点赞．现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表：若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则被系统评定为“懈怠型”． （1）利用样本估计总体的思想，试估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过10000步的概率；（2）根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：K 2=))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-20.（本小题满分12分）在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==4BA BS ==．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求点C 到平面SAB 的距离．21. （本小题满分12分）已知函数()ln (1),f x x x k x k k R =+-+∈. (1) 当1k =时，求函数()f x 的单调区间；(2) 当1x >时，求使不等式()0f x >恒成立的最大正数k 的值.（选考题：共10分。
四川省眉山中学2019届高三数学9月月考试题理201809200124
x 2 2t x 为偶函数，则 t 1 6
15、设 a 0
sin xdx ，则 a x −
的展开式中常数项是
e
x
16、函数 f (x) 是定义在 (0, ) 的单调函数，x (0, ), f [ f (x ) − ln x ] e 1,（其中
e
2
三、解答题：本大题共 6 小题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
x cos 1
17、（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C : ( 为参数 ).
y
sin
以 O 为极点，轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系，圆 C2 的极坐标方 程为
（ 是自然对数底数）,关于 x 的方程 f (x ) mf (x) 1 0
− xe x , x 0
有四个实数根,则 m 的取值范围为 A. (e 1 , ) B. ( , −e − 1 ) C. (− e D. (2, e
−
e
e
1 , −2) e
1 ) e
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13、设 x R ，向量 a ( x,1) ， b (1, −2) ，且 a b ，则| a b | ____ 14、函数 g ( x ) sin x log 2
x 0 的导函数为 f x ，且满足 f 1 0 ，当 x 0 时，
A．
, −1 0,1
x
x 0
成立的 x 的取值范围是（
）
四川省眉山一中办学共同体2019届高三9月月考数学理试卷含答案
1, 2
C.
1, 2
D.
0,1
2．已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 z 3 4i 1 i ，则复平面内表示 z 的共轭复数的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限
2
D. 第四象限
2
3．“ a 3 ”是“直线 x y 4 0 与圆 x a y 3 8 相切”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．若 a , b 为正实数，且 a b 1 ，则 A． 5 B． 4
1 2 的最小值为 2a b 9 C. 2
D． 3
5．为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从 4 名男教师和 5 名女教师中，选取 3 人，组成创文明 志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有 A. 140 种 B. 70 种 C. 35 种 D. 84 种 6．等比数列 an 的前 n 项和为 S n a 3n 1 b ，则 A. 3 B. 1 C. 1
成公差为 3 的等差数列，问 5 人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子 个数是__________．
x2 0 14．已知点 A 2, 1 ，点 P x, y 满足线性约束条件 y 1 0 ， O 为坐标原点，那么 OA OP 的 x 2 y 4
2, AD 2, BD 6, AA1 1 ， 则异面直线 A1 B
A.
6B. 4源自C. 3D.
2
9 ． 函 数 f x Acos x ( A 0, 0, 0) 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 为 了 得 到
四川省眉山一中办学共同体高二数学9月月考试题理(2021年整理)
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眉山一中办学共同体2020届第三期9月月考试题数学(理工类)第I 卷（选择题)一、选择题（共60分，每小题5分,每小题有且仅有一个正确的答案）1.若有两条直线a ,b ，平面α满足a ∥b ，a ∥α，则b 与α的位置关系是( D ）A ．相交B ．b ∥αC ．b ⊂αD ．b ∥α或b ⊂α 2.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,与对角线AC 1异面的棱有（ C ）条A ．3B ．4C ．6D ．83.若a 和b 是异面直线,b 和c 是异面直线，则a 和c 的位置关系是（ D ）A ．异面或平行B ．异面或相交C ．异面D ．相交、平行或异面4。
如图，在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ,CD ，DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，若EF GH P ，则( B )A ．P 一定在直线BD 上B ．P 一定在直线AC 上C ．P 一定在直线AC 或BD 上 D ．P 既不在直线AC 上，也不在直线BD 5。
如图，已知A 、B 、C 、D 四点不共面，且AB ∥α,CD ∥α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝H ，BC ∩α＝G ，则四边形EFHG 的形状是（ A ）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形 6.如图,正方体AC 1中，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1和AA 1DD 1的中心，则EF 和CD 所成的角是（ B ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7.如图所示,PA ⊥平面ABC ,△ABC 中BC ⊥AC ,则图中直角三角形的个数为（A )A ．4B ．3C ．2D ．18.空间四边形ABCD 的四边相等,则它的两对角线AC 、BD 的关系是（ C ）A ．垂直且相交B ．相交但不一定垂直C ．垂直但不相交D ．不垂直也不相交9.如图（1)所示,在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点,D 是EF 的中点，现在沿第5题第6题 第7题 第4题SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，如图(2)所示,那么，在四面体S －EFG 中必有（ A ）A ．SG ⊥△EFG 所在平面B ．SD ⊥△EFG 所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．GD ⊥△SEF 所在平面10。
四川省眉山一中办学共同体2019届高三9月月考——数学文(数学(文))
四川省眉山一中办学共同体 2019届高三9月月考数学（文）试题一、选择题.(每小题5分，共60分）1. 已知集合A ={( || |<2)}, B ={−2,0,1,2}, 则（ ）A. {0,1}B. {−1,0,1}C. {−2,0,1,2}D. {−1,0,1,2} 2.函数()ln(1)f x x =+的定义域为（ ） A ．(2,+ ∞) B ．(－1,2)∪(2,+∞) C ．(－1,2) D ．(－1,2] 3. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D.4. 下列函数中，既是偶函数又是上的增函数的是( ) A. B. C. D.5. 函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是( ) A. B. C. D.6. 设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 已知，则的大小关系为( )A. B. C. D.8. 已知命题： “”，命题：“”，则下列为真命题的是（ ） A. B. C. D.9. 已知函数()2,2()1()1,22xa x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩满足对任意的实数都有()1212()0f x f x x x -<-成立，则实数的取值范围为（ ）A ．(－∞,2)B ． C. (－∞,2] D ．10. 下列语句中正确的个数是（ ） ①，函数都不是偶函数；②命题“若，则”的否命题是真命题；③若或为真，则，非均为真；④已知向量，则“”的充分不必要条件是“与夹角为锐角”.A. 0B. 1C. 2D. 3 11. 函数y =x 2+ln|x |的图象大致为（ ）A ．B ．C.D.12. 在函数的图象上任意一点处的切线为，若总存在函数()2g x ax cosx =+的图象上一点，使得在该点处的切线满足，则的取值范围是 A. B. C. D.二、填空题.(每小题5分，共20分） 13. 集合，，若，则实数的取值范围为_____.14. 已知实数满足线性约束条件201024x y x y +⎧≥-≤-≥⎪⎨⎪⎩，为坐标原点，那么目标函数的最小值为 ． 15.函数满足，且在区间上，则的值为________16.已知集合{(,)A x y y == , {(,)2}B x y y x m ==+.若中仅有一个元素，则实数的取值范围是________.三、解答题（共70分）（17-21为必做题. 共60分）16. （本小题满分12分）已知等差数列中，，且前项的和． （1）求数列的通项公式； （2）若11+=n n n a a b ，求数列的前项和. 17. （本小题满分12分）在中，，，. （1）求的长； （2）求πcos 6A ⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 19. （本小题满分12分）微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK 或点赞．现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表：若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则被系统评定为“懈怠型”． （1）利用样本估计总体的思想，试估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过10000步的概率；（2）根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：K 2=))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-20.（本小题满分12分）在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求点到平面的距离．21. （本小题满分12分）已知函数()ln (1),f x x x k x k k R =+-+∈. (1) 当时，求函数的单调区间；(2) 当时，求使不等式恒成立的最大正数的值.（选考题：共10分。
四川省眉山中学2018届高三9月月考数学(理) Word版含答案
眉山中学2018届高三9月月考数学（理工类）一、 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的.1、已知集合{}{}2,0,lg ,xM y y x N x y x ==>==则M ∩N 为（ ） A. ()0,+∞ B.()1,+∞ C.[)2,+∞ D. [)1,+∞ 2、若复数z 满足()3443i z i -=+，则z 的共轭复数的虚部为 A. 4 B.45 C. 4- D. 45- 3、如图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）（第3题） A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B. 深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C. 平均价格从高到低居于前三位的城市是北京、深圳、广州D. 平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门（第5题）4、若函数()31,0,3log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩则19f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A. 2- B. 3- C. 9 D.195、图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》 中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入,,a b i 的值为6,8,0， 则输出的i =（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 6、“a b =”是“直线2y x =+与圆()()222x a y b -+-=相切”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7、如图，在空间四边形ABCD 中，2,22==BC AD ，,E F 分别是,AB CD 若EF =AD 与BC 所成角的大小为( )A. 30︒B. 60︒C. 90︒D. 120︒（第7题）8、已知ABC ∆中，120,5,7A AB BC ===o，则sin sin BC=（ ） A. 35 B. 53 C. 58 D. 859、,,,,,6A B C D E F 个同学和1个数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫，,A B 和,C D 同学分别穿着白色和黑色文化衫，,E F 分别穿着红色和橙色的文化衫，若老师站中间，穿着白色文化衫的不相邻，则不同的站法总数为（ ） A. 72 B. 112 C. 160 D. 19210、已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线过点()3,2，且双曲线的一个焦点在抛物线x y 742=的准线上，则双曲线的方程为（ ）A.1282122=-y x B.1212822=-y x C.14322=-y x D.13422=-y x 11、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则 该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A. 136πB. 34πC. 25πD. 18π12、以4T =为周期的函数()(])(]()1,13321,3x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩（其中0λ>），若方程()f x x=恰有5个实数解，则λ的取值范围是（第11题）A. ()4,8B. (C.D.)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13、已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4,A B C D ---则向量AB uu u r在CD uuu r 方向上的投影为 . 14、若()92901291ax a a x a x a x -=++++L ，且01290a a a a ++++=L ，则3a = .15、已知实数,x y 满足2040,250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则3z x y =+的最小值为 .16、已知,,A B C 为ABC ∆的三个内角，向量m u r 满足2m =u r，且s i n,c o s ,22B C B C m +-⎫=⎪⎭u r 若A 最大时，动点P 使得,,PB BC PC uu r uu u r uu u r 成等差数列，则PA BCuu r uu u r 的最大值是 . 三、解答题：本大题共70分.17、（本小题12分）在等差数列{}n a 中，142,8,a a ==等比数列{}n b 中254,32.b b == （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和n T .18、（本小题共12分）为了了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：kg ）情况，将从该省某学校抽取的样本数据整理后得到频率分布直方图（如图所示）.已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12. （Ⅰ）求该校报考体育专业学生的总人数n ；（Ⅱ）若用这所学校的样本数据来估计该省的总体情况，现从该省报考体育专业的学生中（学生人数很多）任选3人.设X 表示体重超过60kg 的学生人数，求X 的分布列和数学期望.（第18题）19、（本小题共12分）四棱锥S ABCD -中，侧面SAD 是正三角形，底面ABCD 是正方形，且平面SAD ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、SC 的中点.（Ⅰ）求证：//MN 平面SAD ； （Ⅱ）求二面角S CM D --的余弦值.（第19题）20、（本小题共12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且离心率是12，过坐标原点O 的任一直线交椭圆C 于,M N 两点，且22 4.NF MF +=（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线y kx m =+与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且与圆221x y +=相切. （ⅰ）求证：221m k =+；（ⅱ）求OA OB ⋅uu r uu u r的最小值.21、（本小题共12分）已知函数()()(),.ln xg x f x g x ax x==- （Ⅰ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在()1,+∞上是减函数，求实数a 的最小值；（Ⅲ）若存在1x 、22,,x e e ⎡⎤∈⎣⎦使()()12f x f x a '≤+，求实数a 的取值范围（其中()f x '是()f x 的导数， 2.71828e =L ）.22、（本小题共10分）已知直线l 的参数方程为222x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=（Ⅰ）直接写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）过曲线C 上任意一点P 作与直线l 夹角为3π的直线l '，设直线l 与直线l '的交点为A ,求PA 的最大值.。
四川省眉山一中办学共同体2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年四川省眉山一中办学共同体高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列结论正确的个数为（）A. 梯形可以确定一个平面B. 若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行C. 若l上有无数个点不在平面内，则D. 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合2.平面α的法向量为=（1，2，-2），平面β的法向量=（-2，h，k），若α∥β，则h+k的值为（）A. B. C. 0 D.3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（）A. MN与垂直B. MN与AC垂直C. MN与BD平行D. MN与平行4.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于（）A. B. C. D. 或5.已知二面角α-l-β的大小是，m，n是异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为（）A. B. C. D.6.已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是（）A. 1，B.C. 1，D.7.下列结论中，正确的是（）A. 若直线a平行平面，点，则平面内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条B. 若a，b是两条直线，且，则直线a平行于经过直线b的所有平面C. 若直线a与平面不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D. 若a，b是两条直线，，是两个平面，且，，则a，b是异面直线8.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A.B.C.D.9.已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则（）A. 内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B. 内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C. 内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D. 内必存在直线与m平行，却不一定存在直线与m垂直10.在下列命题中：①若向量，共线，则向量，所在的直线平行；②若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面；③若三个向量，，两两共面，则向量，，共面；④已知是空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得；其中正确的命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 311.已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是（）A. 若，，则B. 若⊥，，⊥，则⊥C. 若，，⊥，⊥，则⊥D. 若，，，则12.已知a，b是异面直线，A、B a，C、D b，AC⊥b，BD⊥b，且AB=2，CD=1，则a与b所成的角是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（x，4，1），=（-2，x，-4），若 ⊥，则x=______．14.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为______．15.在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA=SB=SC=15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H．且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为______．16.圆锥的轴截面HAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，AB是底面的一条直径，M为OH的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹的长度为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC＝BC＝AA′＝2，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．（Ⅰ）求证：CE⊥A′D；（Ⅱ）求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（1）证明：BE⊥DC；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）求二面角A-BD-P的余弦值．19.如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D-A1C-E的正弦值．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD中点．（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值．（2）求B点到平面PCD的距离．（3）线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q-AC-D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积．22.如图，三棱锥A-BCD的侧面△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，BD=DC，∠BDC=120°，且AC=2AB．（I）求证：平面ABD⊥平面BCD；（II）求二面角B-AC-D的余弦值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：梯形是有一组对边平行的四边形，由公理3的推论3可得梯形确定一个平面，故A正确；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线可能相交或平行或异面，故B错误；若l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或l与α相交，故C错误；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故D错误．故选：A．由平面的基本性质：公理3的推论3可判断A；由线线的位置关系和直线和直线所成角，可判断B；由线面的位置关系可判断C；由面面的位置关系可判断D．本题考查线线、线面和面面的位置关系，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵平面α的法向量为=（1，2，-2），平面β的法向量=（-2，h，k），α∥β，∴，∴，解得h=-4，k=4，∴h+k=0．故选：C．由α∥β，得，由此能求出h+k．本题考查代数式的和的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：如图：连接C1D，BD，在三角形C1DB中，MN∥BD，故C正确；∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD，∴MN与CC1垂直，故A正确；∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN与AC垂直，B正确；∵A1B1与BD异面，MN∥BD，∴MN与A1B1不可能平行，D错误故选D先利用三角形中位线定理证明MN∥BD，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN与CC1垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN与AC垂直，故排除A、B、C选D本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键4.【答案】C【解析】解：∵直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，∴直线l的方向向量与平面α的法向量大的夹角等于120°，∴直线l的方向向量与平面α的法向量小的夹角等于60°，∴直线l与平面α所成的角等于30°．故选：C．由已知得直线l的方向向量与平面α的法向量小的夹角等于60°，从而得到直线l与平面α所成的角等于30°．本题考查直线与平面所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的方向向量和平面的法向量的性质的合理运用．5.【答案】C【解析】解：如图，过二面角α-l-β内一点P，分别作PA∥m，PB∥n，则PA⊥α，PB⊥β，且l⊥平面PAB．设平面PAB交l于O，则l⊥OA，l⊥OB，∠AOB为二面角α-l-β的平面角，即∠AOB=，故∠APB=，则异面直线m、n所成的角为，故选：C．过二面角α-l-β内一点P，分别作PA∥m，PB∥n，设平面PAB交l于O，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角，由此能求出异面直线m、n所成的角．本题考查异面直线所成的角的大小的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．6.【答案】D【解析】解：∵A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），∴=（-1，1，0），=（-1，0，1），设平面ABC的一个单位法向量为，则，解得=（-，-，-），或=（，，）．故选：D．设平面ABC的一个单位法向量为，由已知得，由此能求出结果．本题考查平面的单位法向量法的求法，是基础题，解题时要注意向量法的合理运用．7.【答案】A【解析】解：若直线a平行平面α，点Pα，可得平面α内的直线与直线a平行或异面，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条，故A正确；若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的平面或a，b在同一平面内，故B错误；若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的直线相交或异面或平行，故C错误．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且aα，bβ，则a，b是异面直线或相交或平行直线，故D错误．故选：A．由线面平行的性质和平行公理，可判断A；由线线和线面的位置关系可判断B；由线面的位置关系可判断C；由线线的位置关系可判断D．本题考查空间线面和线线的位置关系，考查线面平行的判定和性质，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．∴V=AA1，解得AA1=．三棱柱ABC-A1B1C1又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴A1P==1，在Rt△AA1P中，tan∠APA1=，∴∠APA1=60°．故选：B．利用三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=，可得结论．本题考查线面角，掌握正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：作两个相交平面，交线为n，使直线m⊥α，假设β内一定存在直线a与m平行，∵直线m⊥α，而a∥m∴直线a⊥α，而aβ∴α⊥β，这与平面α与平面β相交不一定垂直矛盾∴β内不一定存在直线a与m平行；∵直线m⊥α，nβ∴直线m⊥直线n∴β内必存在直线与m垂直故选：C．作两个相交平面，交线为n，使直线m⊥α，然后利用反证法说明，假设β内一定存在直线a与m平行，根据面面垂直的判定定理证明α⊥β，这与平面α与平面β相交不一定垂直矛盾，然后根据线面垂直的性质说明β内必存在直线与m垂直，从而证得结论．本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及面面垂直的判定，同时考查了反证法，以及推理论证的能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：由于向量是可自由平移的，所以向量共线，不一定向量所在的直线平行，故命题①不正确；同样因为向量是可自由平移的，向量所在的直线为异面直线，则向量也可能共面，故命题②不正确；三个向量两两共面，如直角坐标系的三个基向量，它们不共面，故命题③不正确；由空间向量基本定理，可知，只有当三个向量，不共面的时候，由它们做基底，才有后面的结论，故命题④不正确．即4个命题都不正确．故选：A．逐个判断：向量是可自由平移的，命题①、②均不正确；举反例，可证③不正确，由空间向量基本定理，可知，命题④不正确．本题为判断命题的真假，涉及向量共线与空间向量基本定理，属基础题．11.【答案】D【解析】解：由l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，知：在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l与α相交、平行或lα，故C错误；在D中，若α∩β=l，m∥α，m∥β，则由线面平行的性质得m∥l，故D正确．故选：D．在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，l与α相交、平行或lα；在D中，由线面平行的性质得m∥l．本题考查命题真假的判断的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】C【解析】解：由AC⊥b，BD⊥b可得AC⊥CD，BD⊥CD，故可得•=0，•=0，∴•=（++）•=•+||2+•=0+||2+0=1，∴cos＜，＞==，∵与夹角的取值范围为[0，π]，故向量，的夹角为60°∴a与b的夹角为60°．故选：C．由题意可得•=•=0，进而可得•，代入夹角公式可得cos＜，＞，可得向量的夹角，进而可得结论．本题考查异面直线所成的角，化为向量的夹角进行计算是解决问题的关键，属中档题．13.【答案】2【解析】解：∵向量=（x，4，1），=（-2，x，-4），⊥，∴=-2x+4x-4=0，解得x=2．故答案为：2．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向理垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】60°【解析】解：∵四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，∴AB、AD、AQ两两垂直，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AQ为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则A（0，0，0），P（0，1，1），B（1，0，0），D（0，1，0），=（0，1，1），=（-1，1，0），设异面直线AP与BD所成的角为θ，则cosθ===，∴θ=60°．∴异面直线AP与BD所成的角为60°．故答案为：60°．以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AQ为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AP 与BD所成的角．本题考查异面直线所成角的求法，考查异央直线所成角、向量法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.【答案】【解析】解：∵D、E、F、H分别是AB、BC、SA、SC的中点，∴DE∥AC，FH∥AC，DH∥SB．EF∥SB，则四边形DEFH是平行四边形，且HD=SB=，DE=AC=3，取AC的中点O，连结OB，∵SA=SC=15，AB=BC=6，∴AC⊥SO，AC⊥OB，∵S0∩OB=O，∴AO⊥平面SOB，∴AO⊥SB，则HD⊥DE，即四边形DEFH是矩形，∴四边形DEFH的面积S==．故答案为：．根据条件只要证明四边形DEFH是矩形即可得到结论．本题主要考查线面平行的判断和应用，根据条件先判断四边形DEFH是平行四边形，然后根据线面垂直的判定定理证明四边形DEFH是矩形是解决本题的关键．16.【答案】【解析】解：以AB所在直线为x轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，则A（-1，0，0），B（1，0，0），，，设P（x，y，0）．于是有=（1，0，），=（x，y，-）．由于AM⊥MP，所以（1，0，）•（x，y，-）=0，即x=，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为故答案为建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P的轨迹方程，得到P的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．17.【答案】（1）证明：以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC′所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），E（0，2，1），A（2，0，0），A′（2，0，2），D（1，1，0），C′（0，0，2），∴，，，，，，∵，∴CE⊥A′D；（2）解：由（1）知，，，，，，，∴cos＜，＞==．∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为．【解析】本题主要考查向量法解决空间几何中的直线与直线垂直和异面直线所成的角，是中档题．（1）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC′所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出与的坐标由数量积为0证明CE⊥A′D；（2）求出与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得异面直线CE与AC′所成角的余弦值．．18.【答案】证明：（1）如图，取PD中点M，连接EM，AM．∵E，M分别为PC，PD的中点，∴EM∥DC，且EM=DC，又由已知，可得EM∥AB，且EM=AB，∴四边形ABEM为平行四边形，∴BE∥AM．∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AM，∴BE⊥DC．解：（2）连接BM，由（1）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，而EM∥CD，∴PD⊥EM．又∵AD=AP，M为PD的中点，∴PD⊥AM，∴PD⊥BE，∴PD⊥平面BEM，∴平面BEM⊥平面PBD．∴直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，∵BE⊥EM，∴∠EBM为锐角，∴∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．依题意，有PD=2，而M为PD中点，∴AM=，∴BE=．∴在直角三角形BEM中，sin∠EBM==，∴直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（3）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），=（-1，2，0），=（-1，0，2），设平面BDP的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，1，1），平面ABD的法向量=（0，0，1），设二面角A-BD-P的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A-BD-P的余弦值为．【解析】（1）取PD中点M，连接EM，AM，推导出四边形ABEM为平行四边形，CD⊥平面PAD，由此能证明BE⊥DC．（2）连接BM，推导出PD⊥EM，PD⊥AM，从而直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角，由此能求出直线BE与平面PDB所成角的正弦值．（3）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BD-P的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.【答案】解：（Ⅰ）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，因为DF平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）因为直棱柱ABC-A1B1C1，所以AA1⊥CD，由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，又AA1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB1A1，设AB=2，则AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，CD=，A1D=，DE=，A1E=3故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，又A1C=2，过D作DF⊥A1C于F，∠DFE为二面角D-A1C-E的平面角，在△A1DC中，DF==，EF==，所以二面角D-A1C-E的正弦值．sin∠DFE=．【解析】（Ⅰ）通过证明BC1平行平面A1CD内的直线DF，利用直线与平面平行的判定定理证明BC1∥平面A1CD （Ⅱ）证明DE⊥平面A1DC，作出二面角D-A1C-E的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．20.【答案】解：（1）在△PAD中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．又在直角梯形ABCD中，易得OC⊥AD；所以以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．则P（0，0，1），A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0）；所以，，，易证：OA⊥平面POC，所以，，，平面POC的法向量，＜，＞所以PB与平面POC所成角的余弦值为…．（4分）（2），，，设平面PDC的法向量为，，，则，取z=1得，，B点到平面PCD的距离…．（8分）（3）假设存在，则设=λ（0＜λ＜1）因为=（0，1，-1），所以Q（0，λ，1-λ）．设平面CAQ的法向量为=（a，b，c），则，所以取=（1-λ，λ-1，λ+1），平面CAD的法向量=（0，0，1），因为二面角Q-AC-D的余弦值为，所以=，所以3λ2-10λ+3=0．所以λ=或λ=3（舍去），所以=-------------（12分）【解析】（1）先证明直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直，可得PO⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，确定平面POC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线PB与平面POC所成角的余弦值．（2）求出平面PDC的法向量，利用距离公式，可求B点到平面PCD的距离．（3）假设存在，则设=λ（0＜λ＜1），求出平面CAQ的法向量、平面CAD的法向量=（0，0，1），根据二面角Q-AC-D的余弦值为，利用向量的夹角公式，即可求得结论．本题主要考查直线与平面的位置关系、直线与平面所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力．21.【答案】解法一：（Ⅰ）连接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5，又AD=5，E是CD得中点，所以CD⊥AE，PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD．所以PA⊥CD，而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．（Ⅱ）过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF，由CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE，于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE．由PA⊥平面ABCD知，∠PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角．由题意∠PBA=∠BPF，因为sin∠PBA=，sin∠BPF=，所以PA=BF．由∠DAB=∠ABC=90°知，AD∥BC，又BG∥CD．所以四边形BCDG是平行四边形，故GD=BC=3，于是AG=2．在RT△BAG中，AB=4，AG=2，BG⊥AF，所以BG==2，BF===．于是PA=BF=．又梯形ABCD的面积为S=×（5+3）×4=16．所以四棱锥P-ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=．解法二：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系，设PA=h，则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，3，0），D（0，5，0），E（2，4，0），P（0，0，h）．（Ⅰ）=（-4，2，0），=（2，4，0），=（0，0，h）．因为=-8+8+0=0，•=0．所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．（Ⅱ）由题设和第一问知，，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量，而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以：|cos＜，＞|=|cos＜，＞|，即||=||．由第一问知=（-4，2，0），=（（0，0，-h），又=（4，0，-h）．||=||解得h=．又梯形ABCD的面积为S=×（5+3）×4=16．所以四棱锥P-ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=．【解析】解法一：（Ⅰ）先根据条件得到CD⊥AE；再结合PA⊥平面ABCD即可得到结论的证明；（Ⅱ）先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA=BF，进而得到四边形BCDG是平行四边形，在下底面内求出BF的长以及下底面的面积，最后代入体积计算公式即可．法二：（Ⅰ）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而得到=0以及•=0．即可证明结论；（Ⅱ）先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA的长，再求出下底面面积，最后代入体积计算公式即可．本题是中档题，利用空间直角坐标系通过向量的计算，考查直线与平面所成角的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，是常考题型．22.【答案】证明：（Ⅰ）如图，取BD中点E，连结AE、CE，∵△ABD是等腰直角三角形，∴AE⊥BD，设AB=a，则，在△CDE中，由余弦定理得：CE2==，∵AC=2AB=2a，AE=，∴AC2=AE2+CE2，即AE⊥CE，又AE⊥BD，BD∩CE=E，∴AE⊥平面BCD，∴平面ABD⊥平面BCD；（Ⅱ）解：过点E在平面BCD内作EF⊥BD交BC于点F，由（Ⅰ）知AE⊥平面BCD，分别以EB，EF，EA为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系，不妨设BD=2，则：A（0，0，1），B（1，0，0），D（-1，0，0），C（-2，，0），则，，，=（1，0，-1），，，，设平面ABC的法向量，，，则，取z=1，得，，，设平面ACD的法向量，，，则，取z=，得，，，∴cos＜，＞==，∵二面角B-AC-D的平面角是锐角，∴二面角B-AC-D的余弦值为．【解析】（Ⅰ）取BD中点E，连结AE、CE，求解三角形可得AE⊥BD，AE⊥CE，由线面垂直的判定可得AE⊥平面BCD，进一步得到平面ABD⊥平面BCD；（Ⅱ）过点E在平面BCD内作EF⊥BD交BC于点F，由（Ⅰ）知AE⊥平面BCD，分别以EB，EF，EA为x 轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系，不妨设BD=2，分别求出平面ABC与平面ACD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B-AC-D的余弦值．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．。
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绝密★启用前眉山一中办学共同体2020届第三期9月月考试题数学（理工类）第I卷（选择题）一、选择题（共60分，每小题5分，每小题有且仅有一个正确的答案）1.若有两条直线a，b，平面α满足a∥b，a∥α，则b与α的位置关系是(D)A．相交B．b∥αC．b⊂αD．b∥α或b⊂α2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（ C ）条A．3 B．4 C．6 D．83.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(D)A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面4.如图，在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，若EF GH P，则( B )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD5.如图，已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是（A ）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形6.如图，正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1DD1的中心，则EF和CD所成的角是（ B ）A．30°B．45°C．60° D．90°7.如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为(A)A．4 B．3 C．2 D．18.空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是（ C ）A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C ．垂直但不相交D ．不垂直也不相交9.如图(1)所示，在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，如图(2)所示，那么，在四面体S －EFG 中必有( A )A ．SG ⊥△EFG 所在平面B ．SD ⊥△EFG 所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．GD ⊥△SEF 所在平面10.如图，点P 为△ABC 所在平面外一点，PH ⊥面ABC ，垂足为H ，若P A ⊥PB ，P A ⊥PC ，PB ⊥PC ，则点H 是△ABC 的（ D ）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心11.如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E ，F ，且EF ＝21，则下列结论错误的是（ D ）A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等12. 设A 、B 、C 、D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为39，则三棱锥D-ABC 体积的最大值为（B ）A ． 312B ． 318C ． 324D ．354 第II 卷（非选择题）二、填空题（共20分，每小题5分）13.如图所示，设平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则DS ＝_______.答案 914.已知直线a ∥平面α，平面α∥平面β，则直线a 与平面β的位置关系为_____________________.答案平行或在平面内(a∥β或aβ)15.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边长都相等，M为PC上一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD. (注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．答案BM⊥PC(或DM⊥PC)16. 如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若P A⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．答案a>6三、解答题（共70分）17.（10分）如图所示，已知正方体正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AD、AA1的中点.（1）求证：EF∥平面B1C1CB；（2）求AB1与EF所成角的大小．（1）证明:∵E、F分别是AD、AA1的中点，∴EF∥A1D∵A1B1∥CD∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C又∵A1D⊄平面B1C1CB，∴B1C⊂平面B1C1CB，∴EF∥平面B1C1CB（2）由（1）EF∥B1C，∴∠AB1C即为所求，易得正方体中面对角线均相等，∴△AB1C为等边三角形，∠AB1C=60°，∴AB1与EF所成角为60°.18.（12分）在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,EC⊥底面ABCD,F、G分别为EB、ED的中点.（1）求证:FG⊥平面ACE；（2）若AB =2,CE =2,求三棱锥C-ABF 的体积.（1）证明:∵F 、G 分别为EB 、ED 的中点∴FG ∥BD由EC ⊥底面ABCD,BD ⊂底面ABCD,∴EC ⊥BD,由四边形ABCD 是正方形可知AC ⊥BD,又AC ∩EC=C,∴BD ⊥平面ACE,∴FG ⊥平面ACE.（2）解:取BC 中点G,连接FG,在四棱锥E-ABCD 中,EC ⊥底面ABCD,∵FG 是△BCE 的中位线,∴FG ⊥底面ABCD,∵AB=2CE=2,∴FG=EC=,∵三棱锥C-ABF 即为三棱锥F-ABC ，∴V=×S △ABC ×FG=××4×=.19．(12分)如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P 、Q 分别为AE ，AB 的中点．（1）求证：PQ ∥平面ACD ；（2）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．解 （1）证明：∵P ，Q 分别为AE ，AB 的中点，∴PQ ∥EB .又DC ∥EB ，∴PQ ∥DC ，又PQ ⊄平面ACD ，∴PQ ∥平面ACD . （2）如图，连接CQ ，DP ，∵Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，∴CQ ⊥AB .G∵DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，∴EB ⊥平面ABC ，因此CQ ⊥EB .∴CQ ⊥平面ABE .由(1)有PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ，∴四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ . ∴DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角，在Rt △DPA 中，AD ＝5，DP ＝1，sin ∠DAP ＝55， ∴AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55. 20.(12分)如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 、Q 分别为AB 、PC 、CD 的中点，平面P AD ∩平面PBC ＝l ．（1）求证：平面QMN ∥平面P AD ；（2）求证：BC ∥l ．（1）证明 如图所示，连接MQ 、NQ ．∵N 为PC 中点，∴NQ ∥PD ．∵PD ⊂平面PAD ，NQ ⊄平面PAD ，∴NQ ∥平面PAD ．同理MQ ∥平面PAD ．又NQ 、MQ ⊂平面MNQ ，NQ ∩MQ ＝Q ，∴平面MNQ ∥平面PAD ．（2）∵BC ∥AD ，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，∴BC ∥平面PAD ．又平面PAD ∩平面PBC ＝l ，BC ⊂平面PBC ，∴BC ∥l ．21.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC =∠P AB =90°，BC=CD =12AD. （1）在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由；（2）求证：平面P AB⊥平面PBD.（1）答：取棱AD的中点M(M∈平面P AD)，点M即为所求.理由如下：∵AD∥BC,BC=12AD，∴BC∥AM, 且BC=AM.∴四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB.又∵AB⊂平面P AB，CM ⊄平面P AB，∴CM∥平面P AB.(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)（2）证明：∵P A⊥AB，P A⊥CD，∵AD∥BC，BC=12AD，∴直线AB与CD相交，∴P A⊥平面ABCD，又BD⊂平面PBD∴P A⊥BD.∵AD∥BC，BC=12AD，∴BC∥MD，且BC=MD.∴四边形BCDM是平行四边形.∴BM=CD=12AD，∴BD⊥AB.又AB∩AP=A，∴BD⊥平面P AB.又BD⊂平面PBD，∴平面P AB⊥平面PBD.22.(12分)已知四棱锥P －ABCD (图1)的三视图如图2所示，△PBC 为正三角形，P A 垂直底面ABCD ，俯视图是直角梯形．（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥P －ABCD 的体积；（3）求证：AC ⊥平面P AB .解（1）过A 作AE ∥CD ，根据三视图可知，E 是BC 的中点，且BE ＝CE ＝1，AE ＝CD ＝1. 又∵△PBC 为正三角形，∴BC ＝PB ＝PC ＝2，且PE ⊥BC ，∴PE 2＝PC 2－CE 2＝3.∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AE .∴PA 2＝PE 2－AE 2＝2，即PA ＝ 2.正视图的面积为S ＝12×2×2＝ 2. （2）由（1）可知，四棱锥P －ABCD 的高PA ＝2，底面积为S ＝AD ＋BC 2·CD ＝1＋22×1＝32， ∴四棱锥P －ABCD 的体积为V P －ABCD ＝13S ·PA ＝13×32×2＝22. （3）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AC .∵在直角三角形ABE 中，AB 2＝AE 2＋BE 2＝2，在直角三角形ADC 中，AC 2＝AD 2＋CD 2＝2，∴BC 2＝AA 2＋AC 2＝4，∴△BAC 是直角三角形．∴AC ⊥AB .又∵AB ∩PA ＝A ，∴AC ⊥平面PAB .。