精选河北省唐山一中2017年高二数学2月调研考试试题
河北省唐山一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题-附参考答案
唐山一中2017—2018学年度第二学期期中考试高二年级 文科数学试卷命题人：鲍芳 王海涛 审核人：邱蕊说明：1.考试时间120分钟，满分150分；2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案答在答题卡上；3.Ⅱ卷答题卡卷头填写姓名、班级、座位号，不要误填学号．卷Ⅰ(选择题 共60分)选择题（共12小题，每小题5分，计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．）1．已知复数，则（ ）i iz 2131+-==z A. 2B. C. D. 52102．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线)0,0(12222>>=-b a b y a x ）（3,2的准线上，则双曲线的方程为（ ）x y 742=A. B. C. D.14322=-y x 13422=-y x 1282122=-y x 1212822=-y x 3．已知x 与y 之间的一组数据：若求得关于y 与x 的线性回归方程为：，则m 的值为 （ ）7.02.2ˆ+=x y A.1B.0.85C.0.7D.0.5x 0123ym35.574.若直线被圆所截得的弦长为，则与曲线的公共点个数（ ）l 422=+y x 32l 1322=+y x A. 1个B. 2个C. 1个或2个D. 1个或0个5．已知直线，平面，且，给出下列命题：①若，则；②若，l m ,βα,βα⊂⊥l m ,//αβm l ⊥αβ⊥则；③若，则； ④若，则．//m l m l ⊥αβ⊥//m l αβ⊥其中正确的命题是 （ ）A.①④B.③④C.①②D.②③6．已知中，,，求证：.证明：ABC ∆ 30=∠A 60=∠B b a <,60,30 =∠=∠B A ，，画线部分是演绎推理的（ ）B A ∠<∠∴b a <∴A. 大前提B. 小前提C. 结论D. 三段论7．如图，正方体绕其体对角线旋转之后与其自身重合，则的值可以是 1111D C B A ABCD -1BD θθ（ ）A. B. C. D. 65π43π32π53π8．下列说法：①残差可用来判断模型拟合的效果；②设有一个回归方程：，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；x y 53ˆ-=③线性回归直线：必过点；a xb y ˆˆˆ+=）（y x ④在一个列联表中，由计算得，则有的把握确认这两个变量间有关系（其中22⨯079.132=k %99）；001.0)828.10(2=≥k P 其中错误的个数是 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 39．若函数在区间上单调递减，则a 的取值范围是 （ ）x x x f ln 1621)(2-=]2,1[+-a a A. B. C. D. )3,1()3,2(]2,1(]3,2[10．若一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. π23π23π3π311．如图，在正方体中，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是 1AC A BD A 1H （ ）A ．点是的垂心B ．的延长线经过点H BD A 1∆AH 1C C ．垂直平面D ．直线和所成角为AH 11D CB AH 1BB45已知函数,，若对任意，存在使，13)(3--=x x x f a x g x-=2)(]2,0[1∈x ]2,0[2∈x 2)()(21≤-x g x f 则实数a 的取值范围 （ ）A. B. C. D.]5,1[]5,2[]2,2[-]9,5[卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.观察下列各式：，则的末四位数字为________．...781255,156255,31255765===2016514.椭圆在其上一点处的切线方程为.类比上述结论，双曲线)0(12222>>=+b a b y a x ),(00y x P 12020=+b y y a x x 在其上一点处的切线方程为_________．)0,0(12222>>=-b a b y a x ),(00y x P 15.直线与圆：的位置关系是_________．01:=-+-m y mx l C 5)1(22=-+y x16.如图，抛物线和圆，其中，x y C 2:21=41)21(:222=+-y x C 0>p 直线经过的焦点，依次交于四点，则的l 1C 21,C C D C B A ,,,⋅值为 ____．三．解答题（共6小题，计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. (本题满分10分)已知坐标平面上两个定点，(0,0)O ，动点(,)M x y 满足：．)4,0(A OMMA 3=（1）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记(1)中的轨迹为C ，过点的直线l 被C 所截得的线段的长为，求直线l 的方程．)1,21(-N 22(本题满分10分)如图，在底面是矩形的四棱锥中，⊥平面ABCD P -PA ，ABCD ，是的三等分点，2,1===BC AB PA F E ,PD （1）求证：平面；//FB EAC （2）求证：平面⊥平面；EDC PAD （3）求多面体PB AEC -的体积．19. (本题满分10分)某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的60名学生，得到数据如下表：喜欢统计课程不喜欢统计课程合计男生201030女生102030合计303060（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选3人，求恰有2个男生和1个女生的概率．下面的临界值表供参考：2()P K k ≥0.050.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）20.(本题满分10分)已知圆，点是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP 于点Q ，当点8)1(:22=+-y x C )0,1(-A P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）若直线:l y kx m =+与曲线E 相交于,M N 两点，O 为坐标原点，求MON ∆面积的最大值．21. (本题满分10分)已知函数，曲线在点处的切线方程为．c bx ax x x f +++=23)()(x f y =))0(,0(f P 13+=x y （1）若函数在时有极值，求表达式；)(x f y =2-=x )(x f （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．)(x f y =]1,2[-a 22. (本题满分10分)已知函数．)0()(>-=a e ax x f x （1）当时，求函数的单调区间；1=a )(x f （2）当时，求证：.e a +≤≤11x x f ≤)(唐山一中2017—2018学年度第二学期期中考试高二年级 文科数学答案一、选择题：1-4:BBDC 5-8:ABCB 9-12:CDDB ；二、选择题：13. 0625；14. ；15.相交； 16..00221x x y ya b -=三、解答题：17.（1） 由得OMMA 3=22223)4()0(y x y x +=-+-化简得：，轨迹为圆 ---------------44921(22=++y x （2）当直线l 的斜率不存在时，直线符合题意；----------------６21:-=x l 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为：)21(1+=-x k y 由圆心到直线的距离等于得2134-=k 此时直线l 的方程为：----------------10)21(341+-=-x y 18.（1）连接BD 交AC 于点G,连接EG ，因为E 为FD 的中点，G 为BD 的中点，所以,又因为EG EAC ⊂平面,PB EAC ⊄平面，EG FB //所以平面EAC-------------------------4//FB (2)平面,,.⊥PA ABCD ABCD CD 平面⊂CD PA ⊥∴，,,,是矩形ABCD CD AD ⊥PAD CD 平面⊥∴EDC CD 平面⊂.------------------------8PAD EDC 平面平面⊥∴（3）PB EAC P ABCD E ADC V V V ---=-,因为E 为PD 的三等分点，PA ABCD ⊥平面,所以点E 到平面ADC 的距离是,即,PA 31ABCDP ADC ADC E V PA S V -∆-==6131.31所以--------------------129565==-=----ABCD P ADC E ABCD P EAC PB V V V V 19.（1）由公式 ，879.767.630303030)100400(6022<≈⋅⋅⋅-=K 所以没有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关．---------------------4（2）设所抽样本中有m 个男生，则643020mm ==，得人，所以样本中有4个男生，2个女生，-----------------------------6从中选出3人的基本事件数有20种 ----------------------8恰有两名男生一名女生的事件数有12种---------------------10所以---------------------1253=P 20.（1）∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴AQ PQ=．又2CP CQ QP =+=，∴22CQ QA CA +=>=．∴曲线E 是以坐标原点为中心，()1,0C -和()1,0A 为焦点，长轴长为22设曲线E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．∵1,2c a ==，∴2211b =-=．∴曲线E 的方程为2212x y +=．------------4（2）设()()1122,,,M x y N x y ．联立22{12y kx m x y =++=消去y ，得()222124220k x kmx m +++-=．此时有2216880k m ∆=-+>．由一元二次方程根与系数的关系，得122412kmx x k -+=+，21222212m x x k -=+． -----------------6∴22222422141212km m MN k k k --⎛⎫=+-⨯ ⎪++⎝⎭()2222182112k k m k +=-++∵原点O 到直线l 的距离21m d k =+，∴1·2MON S MN d ∆==()222222112m k m k -++． -------------------8由0∆>，得22210k m -+>．又0m ≠，∴据基本不等式，得()2222122·2MONm k m S ∆+-+≤=．当且仅当22212k m +=时，不等式取等号．∴MON ∆2．-------------------------1221.解：（1）f′（x ）=3x2+2ax+b∵曲线y=f （x ）在点P （0，f （0））处的切线方程为y=3x+1．∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=0)2()0(3)0(3)0(''f x f y f 解得a=，b=3，c=1415∴------------------------413415)(23+++=x x x x f (2)上恒成立 -----------------------6在0323)(2'≥++=ax x x f []1,2-①当时，解得----------------------863≤≤-a 33≤≤-a ②当时，解得，所以无解-----------------------106>a 415≤a ③当时，解得，所以无解3-<a 3-≥a 综上 -----------------------1233≤≤-a 22.(1)当a=1时，f(x)＝x －ex.令f′(x)＝1－ex ＝0，得x ＝0.当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0.∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．------------4(2)证明：令F(x)＝x－f(x)＝ex－(a－1)x.①当a＝1时，F(x)＝ex>0，∴f(x)≤x成立；------------6②当1<a≤1＋e时，F′(x)＝ex－(a－1)＝ex－eln(a－1)，当x<ln(a－1)时，F′(x)<0；当x>ln(a－1)时，F′(x)>0，∴F(x)在(－∞，ln(a－1))上单调递减，在(ln(a－1)，＋∞)上单调递增，∴F(x)≥F(ln(a－1))＝eln(a－1)－(a－1)ln(a－1)＝(a－1)[1－ln(a－1)]，∵1<a≤1＋e，∴a－1>0，1－ln(a－1)≥1－ln[(1＋e)－1]＝0，∴F(x)≥0，即f(x)≤x成立．综上，当1≤a≤1＋e时，有f(x)≤x.----------------12。
河北省唐山一中2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2016-2017学年河北省唐山一中高二（下）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．设i为虚数单位，复数z1=1﹣i，z2=2i﹣1，则复数z1•z2在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．108 B．100 C．92 D．843．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有（）A．252种B．112种C．70种D．56种4．直线xsinθ+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．∪[，π] D．∪[，π]5．下列命题，其中说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”B．“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”6．在极坐标系中，点M（1，0）关于极点的对称点为（）A．（1，0） B．（﹣1，π）C．（1，π）D．（1，2π）7．函数在区间C．（﹣∞，5）D．（﹣∞，5]8．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）A． B．C．D．9．以双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）中心O（坐标原点）为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（）A．﹣1 B．C． +1 D．210．已知函数f（x）=（）x+lnx，正数a，b，c满足a＜b＜c，且f（a）•f（b）•f（c）＞0，若实数x0是方程f（x）=0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是（）A．x0＞c B．x0＞b C．x0＜c D．x0＜a11．参数方程（0＜θ＜2π）表示（）A．双曲线的一支，这支过点B．抛物线的一部分，这部分过C．双曲线的一支，这支过点D．抛物线的一部分，这部分过12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y∈R且x+y＞2，则x，y中至少有一个大于1，在反证法证明时假设应为．14．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；②若α∥β，m⊂α，则m∥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若m∥α，m∥β，则α∥β．其中正确命题的序号是．15．若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是．16．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知AB=2，•=﹣3，设AD=a，BC=b，CD=c，则的最小值为．三．解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）（1）若（+2x）n的展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）（a+x）（a+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，求a的值．18．（12分）在各项为正的数列{a n}中，数列的前n项和S n满足S n=（a n+），（1）求a1，a2，a3；（2）由（1）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．19．（12分）（1）若a、b、m、n∈R+，求证：；（2）利用（1）的结论，求下列问题：已知，求的最小值，并求出此时x的值．20．（12分）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．21．（12分）已知动圆C过定点F（0，1），且与直线l1：y=﹣1相切，圆心C的轨迹为E．（1）求动点C的轨迹方程；（2）已知直线l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点纵坐标为2，则|PQ|最大值为多少？22．（12分）已知函数f（x）=lnx+﹣1，a∈R．（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y+1=0垂直，求函数的极值；（II）设函数g（x）=x+．当a=﹣1时，若区间上存在x0，使得g（x0）＜m，求实数 m 的取值范围．（e为自然对数底数）2016-2017学年河北省唐山一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．设i为虚数单位，复数z1=1﹣i，z2=2i﹣1，则复数z1•z2在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z1•z2=（1﹣i）（2i﹣1）=1+3i在复平面上对应的点（1，3）在第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．108 B．100 C．92 D．84【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体，分别计算长方体和棱锥的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体，长方体的体积为：6×6×3=108，棱锥的体积为：××4×3×4=8，故组合体的体积V=108﹣8=100，故选：B【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．3．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有（）A．252种B．112种C．70种D．56种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】由题意知将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生两种情况一是包括甲、乙每屋住4人、3人，二是甲和乙两个屋子住5人、2人，列出两种情况的结果，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生包括甲、乙每屋住4人、3人或5人、2人，∵当甲和乙两个屋子住4人、3人，共有C73A22当甲和乙两个屋子住5人、2人，共有C72A22∴根据分类计数原理得到共有C73A22+C72A22=35×2+21×2=112（种）．故选B．【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，解题时主要依据是要看清楚每个宿舍至少安排2名学生两种情况，注意做到不重不漏．4．直线xsinθ+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．∪[，π] D．∪[，π]【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】先求出直线斜率的取值范围，进而利用三角函数的单调性可求出直线倾斜角的取值范围．【解答】解：∵直线xsinθ+y+2=0，∴y=﹣x﹣，∴直线的斜率k=﹣．又∵xsinθ+y+2=0倾斜角为α，∴tanα=﹣．∵﹣1≤﹣sinθ≤1，∴﹣≤﹣≤．∴﹣≤tanα≤．∴α∈∪[，π）．故选：C．【点评】熟练掌握直线的斜率和三角函数的单调性即值域是解题的关键，基本知识的考查．5．下列命题，其中说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”B．“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0；“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件；命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题是假命题；命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”．【解答】解：命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”，故A正确；∵“x=4”⇒“x2﹣3x﹣4=0”，“x2﹣3x﹣4=0”⇒“x=4，或x=﹣1”，∴“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件，故B正确；命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为：∵若方程x2+x﹣m=0有实根，则△=1+4m≥0，解得m，∴“若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0”，是假命题，故C不正确；命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，故D正确．故选C．【点评】本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．在极坐标系中，点M（1，0）关于极点的对称点为（）A．（1，0） B．（﹣1，π）C．（1，π）D．（1，2π）【考点】Q6：极坐标刻画点的位置．【分析】（ρ，θ）关于极点的对称点为（ρ，π+θ）．【解答】解：∵（ρ，θ）关于极点的对称点为（ρ，π+θ），∴M（1，0）关于极点的对称点为（1，π）．故选：C．【点评】本题考查一个点关于极点的对称点的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标性质的合理运用．7．函数在区间C．（﹣∞，5）D．（﹣∞，5]【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】要使函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，我们可以转化为f′（x）≤0在区间（1，+∞）上恒成立的问题来求解，然后利用二次函数的单调区间于对称轴的关系来解答也可达到目标．【解答】解：∵函数，在区间．故选：B．【点评】本题以函数为载体，综合考查利用函数的导数来解决有关函数的单调性，考查已知函数的单调性的条件下怎样求解参数的范围问题，考查分类讨论，函数与方程，等数学思想与方法．8．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）A．B．C．D．【考点】67：定积分；CF：几何概型．【分析】先由积分的知识求解阴影部分的面积，然后可求试验的区域所对应的矩形的面积，由几何概率的求解公式代入可求【解答】解：本题是几何概型问题，区域E的面积为：S=2×=1+=1﹣ln=1+ln2∴“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为 1+ln2，矩形的面积为2由集合概率的求解可得P=故选C【点评】本题综合考查了反比例函数的图象，几何概型，及定积分在求面积中的应用，考查计算能力与转化思想．属于基础题．9．以双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）中心O（坐标原点）为圆心，焦矩为直径的圆与双曲线交于M点（第一象限），F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为（）A．﹣1 B．C． +1 D．2【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意M的坐标为M（），代入双曲线方程可得e的方程，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意M的坐标为M（），代入双曲线方程可得∴e4﹣8e2+4=0，∴e2=4+2∴e=+1．故选：C．【点评】本题考查双曲线与圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．已知函数f（x）=（）x+lnx，正数a，b，c满足a＜b＜c，且f（a）•f（b）•f（c）＞0，若实数x0是方程f（x）=0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是（）A．x0＞c B．x0＞b C．x0＜c D．x0＜a【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先对函数f（x）=e﹣x+lnx进行求导，判定在定义域上的单调性，根据单调性即可比较．【解答】解：f’（x）=﹣e﹣x+=，∵x＞0，＜1∴f’（x）＞0则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增函数∵正数a，b，c满足a＜b＜c，且f（a）•f（b）•f（c）＞0，∴f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＞0，或f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＞0，若实数x0是方程f（x）=0的一个解，则a＜b＜x0＜c，或x0＜a＜b＜c，故选：A．【点评】本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数的单调性的应用，属于中档题．11．参数方程（0＜θ＜2π）表示（）A．双曲线的一支，这支过点B．抛物线的一部分，这部分过C．双曲线的一支，这支过点D．抛物线的一部分，这部分过【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】将参数方程化为普通方程，然后再对A、B、C、D进行判断；【解答】解：∵x=|cos+sin|，∴x2=1+sinθ，∵y=（1+sinθ），∴y=x2，是抛物线；当x=1时，y=；故选B．【点评】此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；63：导数的运算．【分析】容易求出f′（0）=6，结合条件便可得出函数f（x）的解析式，进而求出导函数，代入4f（x）＞f′（x），根据对数函数的单调性及对数的运算便可解出原方程．【解答】解：根据条件，3f（0）=3=f′（0）﹣3；∴f′（0）=6；∴f（x）=2e3x﹣1，f′（x）=6e3x；∴由4f（x）＞f′（x）得：4（2e3x﹣1）＞6e3x；整理得，e3x＞2；∴3x＞ln2；∴x＞；∴原不等式的解集为（，+∞）故选：B．【点评】本题考查导函数的概念，基本初等函数和复合函数的求导，对数的运算及对数函数的单调性，属于中档题二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y∈R且x+y＞2，则x，y中至少有一个大于1，在反证法证明时假设应为x≤1且y≤1 ．【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】假设原命题不成立，也就是x，y均不大于1成立，即x≤1且y≤1【解答】解：∵x，y中至少有一个大于1，∴其否定为x，y均不大于1，即x≤1且y≤1，故答案为：x≤1且y≤1．【点评】本题考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．14．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；②若α∥β，m⊂α，则m∥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若m∥α，m∥β，则α∥β．其中正确命题的序号是②③．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：①若m⊂β，α⊥β，则m与α相交、平行或m⊂α，故①错误；②若α∥β，m⊂α，则由平面与平面平行的性质，得m∥β，故②正确；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则由平面与平面垂直的判定定理和直线与平面垂直的判定定理，得m⊥β，故③正确；④平行于同一条直线的两个平面不一定平行，所以④错误．故答案为：②③．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．15．若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是．．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】利用绝对值的几何意义，可得到|a﹣1|≤3，解之即可．【解答】解：在数轴上，|x﹣a|表示横坐标为x的点P到横坐标为a的点A距离，|x﹣1|就表示点P到横坐标为1的点B的距离，∵（|PA|+|PB|）min=|a﹣1|，∴要使得不等式|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，只要最小值|a﹣1|≤3就可以了，即|a﹣1|≤3，∴﹣2≤a≤4．故实数a的取值范围是﹣2≤a≤4．故答案为：．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义，得到|a﹣1|≤3是关键，也是难点，考查分析问题、转化解决问题的能力，属于中档题．16．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知AB=2，•=﹣3，设AD=a，BC=b，CD=c，则的最小值为 2 ．【考点】M6：空间向量的数量积运算．【分析】由已知得=， =，从而由=（）•（）=﹣3，得|（）﹣|=2，从而=，由此入手能求出的最小值．【解答】解：∵在三棱锥D﹣ABC中，AB=2，•=﹣3，设=， =，=∴=， =，∴=（）•（）==﹣3，∴=+﹣+3，又==，∴|（）﹣|=2，①∴=，②将①两边平方得，∴，∴，代入②中，得=，∴=+1+==1+（），∴，又=c2，，，∴=≥=2．∴的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查三角形中关于边长的代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．三．解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）（2017春•路南区校级期中）（1）若（+2x）n的展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）（a+x）（a+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，求a的值．【考点】DC：二项式定理的应用；DB：二项式系数的性质．【分析】（1）由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得展开式中二项式系数最大的项的系数．（2）（2）设f（x）=（a+x）（a+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，分别令x=1、x=﹣1，可得展开式中x的奇数次幂项的系数之和，再根据展开式中x的奇数次幂项的系数之和等于32，求得a 的值．【解答】解：（1）由题意可得+=2，解得n=7 或n=14．当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5．∴T4的系数为••23=，T5的系数为••24=70，当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T8．∴T8的系数为••27=3432．（2）设f（x）=（a+x）（a+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则=a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1）…①，令x=﹣1，则f（﹣1）=a0﹣a1+a2+…+﹣a5=0，②，①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），根据题意可得2×32=16（a+1），∴a=3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，注意通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，属于中档题．18．（12分）（2012秋•永顺县期末）在各项为正的数列{a n}中，数列的前n项和S n满足S n=（a n+），（1）求a1，a2，a3；（2）由（1）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．【考点】F1：归纳推理；RG：数学归纳法．【分析】（1）由题设条件，分别令n=1，2，3，能够求出a1，a2，a3．（2）由（1）猜想数列{a n}的通项公式：，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．【解答】解：（1）易求得（3分）；（2）猜想证明：①当n=1时，，命题成立②假设n=k时，成立，（8分）则n=k+1时，==，所以，，∴．即n=k+1时，命题成立．由①②知，n∈N*时，．（12分）【点评】本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．注意在证明n=k+1时用上假设，化为n=k的形式．19．（12分）（2017春•路南区校级期中）（1）若a、b、m、n∈R+，求证：；（2）利用（1）的结论，求下列问题：已知，求的最小值，并求出此时x的值．【考点】7F：基本不等式；R6：不等式的证明．【分析】（1）a、b、m、n∈R+，可得（a+b）=m2+n2+，再利用基本不等式的性质即可得出．（2）， =+≥，即可得出．【解答】（1）证明：∵a、b、m、n∈R+，∴（a+b）=m2+n2+≥m2+n2+2mn=（m+n）2，当且仅当bm=an时取等号，∴．（2）， =+≥=25，当且仅当2（1﹣2x）=3•2x，即当时取得最小值，最小值为25．【点评】本题考查了不等式的性质与解法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）（i）先由C1B1∥A1D1证明C1B1∥平面ADD1A1，再由线面平行的性质定理得出C1B1∥EF，证出EF ∥A1D1．（ii）易通过证明B1C1⊥平面ABB1A1得出B1C1⊥BA1，再由tan∠A1B1F=tan∠AA1B=，即∠A1B1F=∠AA1B，得出BA1⊥B1F．所以BA1⊥平面B1C1EF；（2）设BA1与B1F交点为H，连接C1H，由（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．在RT△BHC1中求解即可．【解答】（1）证明（i）∵C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，∴C1B1∥平面ADD1A1，又C1B1⊂平面B1C1EF，平面B1C1EF∩平面ADD1A1=EF，∴C1B1∥EF，∴EF∥A1D1；（ii）∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥B1C1，又∵B1C1⊥B1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥BA1，在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F=tan∠AA1B=，即∠A1B1F=∠AA1B，故BA1⊥B1F．所以BA1⊥平面B1C1EF；（2）解：设BA1与B1F交点为H，连接C1H，由（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．在矩形AA1B1B中，AB=，AA1=2，得BH=，在RT△BHC1中，BC1=2，sin∠BC1H==，所以BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值是．【点评】本题考查空间直线、平面位置故选的判定，线面角求解．考查空间想象能力、推理论证能力、转化、计算能力．21．（12分）（2017春•路南区校级期中）已知动圆C过定点F（0，1），且与直线l1：y=﹣1相切，圆心C的轨迹为E．（1）求动点C的轨迹方程；（2）已知直线l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点纵坐标为2，则|PQ|最大值为多少？【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；J3：轨迹方程．【分析】（1）设C（a，b），圆半径r=b﹣（﹣1）=b+1，将a，b分别换为x，y，能求出圆心C的轨迹方程．（2）设P（p，），Q（q，），由已知得p2+q2=16，|PQ|2=（p﹣q）2+（﹣）2=，由此能求出|PQ|的最大值为6．【解答】解：（1）设C（a，b），圆半径r=b﹣（﹣1）=b+1，圆方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2=（b+1）2过定点F（0，1）：a2+（1﹣b）2=（b+1）2a2=4b将a，b分别换为x，y，得圆心C的轨迹为E：x2=4y．（2）设P（p，），Q（q，），PQ中点的纵坐标为2：（）=2，p2+q2=16，①|PQ|2=（p﹣q）2+（﹣）2=（p﹣q）2=（p2+q2﹣2pq）=（16﹣2pq）（2+pq）=（8﹣pq）（16+pq）=，pq=﹣4时，|PQ|2最大，最大值为=36，∴|PQ|的最大值为6．【点评】本题考查动点C的轨迹方程的求法，考查|PQ|最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22．（12分）（2017春•路南区校级期中）已知函数f（x）=lnx+﹣1，a∈R．（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y+1=0垂直，求函数的极值；（II）设函数g（x）=x+．当a=﹣1时，若区间上存在x0，使得g（x0）＜m，求实数 m 的取值范围．（e为自然对数底数）【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1）的值，求出a，从而求出f（x）的单调区间，求出函数的极值即可；（Ⅱ）令，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（I）f′（x）=﹣=（x＞0），…（1分）因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y+1=0垂直，所以f′（1）=﹣1，即1﹣a=﹣1，解得a=2．所以，…（3分）∴当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）在（0，2）上单调递减；…（4分）当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上单调递增；…∴当x=2时，f（x）取得极小值，∴f（x）极小值为ln2．…（6分）（II）令，则h′（x）=，欲使在区间上上存在x0，使得g（x0）＜mf（x0），只需在区间上h（x）的最小值小于零．…（7分）令h'（x）=0得，x=m+1或x=﹣1．当m+1≥e，即m≥e﹣1时，h（x）在上单调递减，则h（x）的最小值为h（e），∴，解得，∵，∴；…（9分）当m+1≤1，即m≤0时，h（x）在上单调递增，则h（x）的最小值为h（1），∴h（1）=1+1+m＜0，解得m＜﹣2，∴m＜﹣2；…（11分）当1＜m+1＜e，即0＜m＜e﹣1时，h（x）在上单调递减，在（m+1，e]上单调递增，则h（x）的最小值为h（m+1），∵0＜ln（m+1）＜1，∴0＜mln（m+1）＜m，∴h（m+1）=2+m﹣mln（m+1）＞2，此时h（m+1）＜0不成立．…（13分）综上所述，实数m的取值范围为．…（14分）【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．。
数学(唐山一中高二年级2017年2月份调研考答案定)
唐山一中高二年级2017年2月份调研考试1-5 DABAB 6-10 ACDAC 11-12 CD13. （﹣5，5） 14.2 15. 16.117.（1）2＜x＜3；（2）a≤918.【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M∈AB，AB⊂平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====19. 【解答】解：（1）∵CO=CA，∴点C在OA的中垂线x=2上，又C在y=2x﹣4，∴C（2，0），∵圆C的半径为1，∴圆的方程为C：（x﹣2）2+y2=1；（2）联立得：，解得：，即C（3，2），设切线为y=k （x ﹣4），依题意有，解得：k=﹣，此时切线方程为3x+4y ﹣12=0，当切线斜率不存在时：x=4也适合，则所求切线的方程为3x+4y ﹣12=0或x=4．20. 解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)·(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)>0，所以k 1>－12. 又x 1＋x 2＝8k 1(2k 1－1)3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为P A →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54， 所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 21)＝PM →2＝54. 即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54. 所以[16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 1(2k 1－1)3＋4k 21＋4]·(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1>－12，所以k 1＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x . 21. (1)证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°.又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°，因此∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ⊂平面AED ，所以BD ⊥平面AED .(2)解 方法一 由(1)知AD ⊥BD ，所以AC ⊥BC .又FC ⊥平面ABCD ，因此CA ，CB ，CF两两垂直.以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设CB ＝1，则C (0,0,0)，B (0,1,0)，D ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，F (0,0,1). 因此BD →＝⎝⎛⎭⎫32，－32，0，BF →＝(0，－1,1). 设平面BDF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·BD →＝0，m ·BF →＝0，所以x ＝3y ＝3z ，取z ＝1，则m ＝(3，1,1).由于CF →＝(0,0,1)是平面BDC 的一个法向量，则cos 〈m ，CF →〉＝m ·CF →|m ||CF →|＝15＝55， 所以二面角F －BD －C 的余弦值为55. 方法二 如图，取BD 的中点G ，连接CG ，FG ，由于CB ＝CD ，因此CG ⊥BD .又FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以FC ⊥BD .由于FC ∩CG ＝C ，FC ，CG ⊂平面FCG ，所以BD ⊥平面FCG ，故BD ⊥FG ，所以∠FGC 为二面角F －BD －C 的平面角.在等腰三角形BCD 中，由于∠BCD ＝120°，因此CG ＝12CB .又CB ＝CF ，所以GF＝CG2＋CF2＝5CG，故cos∠FGC＝5 5，因此二面角F－BD－C的余弦值为5 5.22.【解答】解：（Ⅰ）∵点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P，∴点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，∴曲线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为：y﹣m=（x+1），化简，得（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，∵△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，∴圆心（0，0）到直线PM的距离为1，即=1，∴=，由题意得x0＞1，∴上式化简，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，同理，有，∴m，n是关于t的方程（x0﹣1）t2+2yt﹣（x0+1）=0的两根，∴m+n=，mn=，∴|MN|=|m﹣n|==，∵，|y0|=2，∴|MN|==2，直线PF的斜率，则k=||=，∴==，∵函数y=x﹣在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，∴0＜＜．∴的取值范围是（0，）．。
【17-18高二二调】唐山一中2017-2018第一学期二调考试高二理数
绝密☆启用前 高二月考卷系列·第二次调研考试唐山一中2017—2018学年度第一学期二调考试高二年级 理数试卷命题人：张同江 王筱颖说明：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。
考生作答时，请将答案答在答题卡上。
必须在题号所指示的答题区域作答。
超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上的答题无效。
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每题5分，满分60分） （1）已知集合{}1＜x x A =，{}13＜x x B =，则（A ）{}0＜x x B A =⋂ （B ）R =⋃B A （C ）}{1＞x x B A =⋃ （D ）φ=⋂B A（2）已知集合(){}1,22=+=y x y x A ，(){}x y y x B ==,，则B A ⋂中元素个数为（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0（3）函数()x f 在()+∞∞-,单调递减，且为奇函数，若()11=f ，则满足()121≤-≤-x f 的x 取值范围是（A ）[]2,2- （B ）[]1,1- （C ）[]4,0 （D ）[]3,1 （4）设x 、y 、z 均为正数，且zyx532==，则（A ）z y x 532＜＜（B ）y x z 325＜＜ （C ）x z y 253＜＜ （D ）z x y 523＜＜（5）已知双曲线12222=-by a x )0,0(＞＞b a 的一个焦点为()0,2F ，且双曲线的渐近线与圆()3222=+-y x 相切，则双曲线的方程为（A ）113922=-y x （B ）191322=-y x （C ）1322=-y x （D ）1322=-y x （6）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2454=+a a ，486=S ，则{}n a 的公差为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（7）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（A ）1盏 （B ）3盏 （C ）5盏 （D ）9盏 （8）若0＞＞b a ，且1=ab ，则下列不等式成立的是（A ）()b a b b a a ++2log 21＜＜（B ）()b a b a b a 1log 22++＜＜ （C ）()a b b a b a 2log 12＜＜++ （D ）()a bb a b a 21log 2＜＜++（9）在ABC △中，若2=b ，︒=120A ，三角形的面积3=S ，则三角形外接圆的半径为（A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）4（10）已知m 、n 、n m +成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆122=+ny m x 的离心率为 （A ）21 （B ）33 （C ）22 （D ）23 （11）已知点P 是椭圆1204522=+y x 在第三象限内的一点，且它与两焦点的连线互相垂直，若点P 到01234=+--m y x 的距离不大于3，则实数m 的取值范围是 （A ）[]8,7- （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-221,29 （C ）[]2,2- （D ）(][)+∞⋃-∞-,87, （12）过双曲线双曲线12222=-by a x )0,0(＞＞b a 的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若CD AB 53≥，则双曲线离心率的取值范围为（A ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,35 （B ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,45 （C ）⎥⎦⎤ ⎝⎛35,1 （D ）⎥⎦⎤ ⎝⎛45,1第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分）（13）设x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≤+01212y x y x y x ，则y x z 23-=的最小值为__________（14）在ABC △中，︒=60C ，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，则=+++ac bc b a ___ （15）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33=a ，104=S ，则=∑=nk kS11__________（16）已知R ∈a ，函数()a a xx x f +-+=4在区间[]4,1上的最大值是5，则a 的取值范围是__________三、解答题（共6小题，满分70分） （17）（本小题满分10分）在ABC △中，三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且bc c b a ++=222，3=a ，S 为ABC △的面积，求C B S cos cos 3+的最大值（18）（本小题满分12分）已知椭圆C 的左右焦点坐标分别是()0,2-，()0,2，离心率是36，直线t y =与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，以线段MN 为直径作圆P ，圆心为P（Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标 （19）（本小题满分12分）设M ()00,y x 是双曲线C ：12222=-by a x )0,0(＞＞b a 上任意一点，N 点是M ()00,y x 关于实轴的对称点。
河北省唐山一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)
唐山一中2017—2018学年度第二学期期中考试高二年级文科数学试卷说明：1.考试时间120分钟，满分150分；2.将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案答在答题卡上；3.Ⅱ卷答题卡卷头填写姓名、班级、座位号，不要误填学号．卷Ⅰ(选择题共60分)一.选择题（共12小题，每小题5分，计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．）1. 已知复数，则=（）A. 2B.C.D. 5【答案】B【解析】的实部为，虚部为，故选2. 已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，，∵抛物线的准线方程为∴双曲线的方程为故选B．3. 已知x与y之间的一组数据：若求得关于y与x的线性回归方程为：，则m的值为（）A. 1B. 0.85C. 0.7D. 0.5【答案】D【解析】分析：求出，代入回归方程解出，进而解出m的值．详解：==1.5，∴=2.2×1.5+0.7=4．∴=4，解得m=0.5．故选：D．点睛：本题考查了线性回归方程的性质，回归直线必过样本中心点，属于基础题．4. 若直线l被圆所截得的弦长为，则与曲线的公共点个数（）A. 1个B. 2个C. 1个或2个D. 1个或0个【答案】C【解析】直线被圆所截得的弦长为圆心到直线的距离为直线是圆的切线，圆内切于直线与曲线相切或相交故答案选5. 已知直线m,l，平面，且，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的命题是（）A. ①④B. ③④C. ①②D. ②③【答案】A【解析】若α∥β，且m⊥α⇒m⊥β，又l⊂β⇒m⊥l，所以①正确。
若α⊥β,且m⊥α⇒m∥β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，所以②不正确。
若m⊥l，且m⊥α，l⊂β⇒α与β可能平行，可能相交。
所以③不正确。
若m∥l，且m⊥α⇒l⊥α又l⊂β⇒α⊥β，∴④正确。
2017-2018年河北省唐山一中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2017-2018学年河北省唐山一中高二（下）期中数学试卷（理科）一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．（5分）复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明命题“a、b∈R，若a2+b2=0，则a=b=0”，其假设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0D．a、b中只有一个为03．（5分）假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，至少有2件次品的抽法数有（）A．C CB．C C+C CC．C﹣CD．C﹣C C4．（5分）设函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）=x2+2xf'（1），则f'（1）=（）A．0B．﹣6C．﹣3D．﹣25．（5分）设随机变量X的分布列为，则P（X＜3）=（）A．B．C．D．6．（5分）某厂生产的零件外径ξ～N（10，0.04），今从该厂上、下午生产的零件中各取一件，测得外径分别为10.5cm，9.3cm，则可认为（）A．上午生产情况正常，下午生产情况异常B．上午生产情况异常，下午生产情况正常C．上、下午生产情况均正常D．上、下午生产情况均不正常7．（5分）利用数学归纳法证明不等式1+++…＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）A．1项B．k项C．2k﹣1项D．2k项8．（5分）过函数f（x）=图象上一点（2，﹣2）及邻近一点（2+△x，﹣2+△y）作割线，则当△x=0.25时割线的斜率为（）A．B．C．1D．9．（5分）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A．60种B．63种C．65种D．66种10．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x）且函数y=（1﹣x）f'（x）的图象如图所示，则下列结论一定成立的是（）A．函数f（x）的极大值是f（2），极小值是f（1）B．函数f（x）的极大值是f（﹣2），极小值是f（1）C．函数f（x）的极大值是f（2），极小值是f（﹣2）D．函数f（x）的极大值是f（﹣2），极小值是f（2）11．（5分）某学校有6个活动小组报名参加4个地区的社会实践活动，每个小组必须选择一个地区且每个地区都有小组参加，若1组和2组不去同一地区，则不同的方案有（）A．1320种B．2160种C．2400种D．4320种12．（5分）设函数y=f（x）在（0，+∞）上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数，则称函数f p（x）为f（x）的“p界函数”．若给定函数，恒有f p（x）=f（x），则下列结论正确的是（）A．p的最大值为B．p的最小值为C．p的最大值为2D．p的最小值为2二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13．（5分）的展开式中常数项为19，则实数a的值为．14．（5分）已知函数，则f（x）dx=．15．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为．16．（5分）下列命题中，正确的命题的序号为．①已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则p=；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ≤0）=﹣p；④某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B（10，0.8），则当x=8时概率最大．三．解答题（共6小题，计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）设整数p＞1，p∈N*，用数学归纳法证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px．18．（12分）已知函数f（x）=x3+x﹣16．（I）求曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线的方程；（Ⅱ）直线L为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线L的方程及切点坐标．19．（12分）2018年某省数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛．规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛．假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立．（1）求该学生进入省队的概率．（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．20．（12分）已知二次函数f（x）=﹣x2+8x，直线l2：y=﹣t2+8t（其中0≤t≤2，t为常数），l1：x=2．若直线l1、l2与函数f（x）的图象以及l2，y轴与函数f （x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示．（1）求阴影面积S关于t的函数S（t）；（2）已知函数g（x）=S（x）+alnx在其定义域上单调递减，求a的范围．21．（12分）设函数（n∈N，且n＞1，x∈N）．（Ⅰ）当x=6时，求的展开式中二项式系数最大的项；（Ⅱ）对任意的实数x，证明＞f'（x）（f'（x）是f（x）的导函数）；（Ⅲ）是否存在a∈N，使得an＜k＜（a+1）n恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当函数f（x）有两个不相等的零点x1，x2时，证明：x1•x2＞e2．2017-2018学年河北省唐山一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．（5分）复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：z=（m∈R，i为虚数单位）==，此复数的实部为m﹣1，虚部为m+1，虚部大于实部，故复数的对应点不可能位于第四象限，故选：D．2．（5分）用反证法证明命题“a、b∈R，若a2+b2=0，则a=b=0”，其假设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0D．a、b中只有一个为0【解答】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选：A．3．（5分）假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，至少有2件次品的抽法数有（）A．C CB．C C+C CC．C﹣CD．C﹣C C【解答】解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种，“有3件次品”的抽取方法有C33C1972种，则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法，故选：B．4．（5分）设函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）=x2+2xf'（1），则f'（1）=（）A．0B．﹣6C．﹣3D．﹣2【解答】解：根据题意，f（x）=x2+2xf'（1），则f′（x）=2x+2f'（1），令x=1可得：f′（1）=2+2f'（1），解可得f′（1）=﹣2；故选：D．5．（5分）设随机变量X的分布列为，则P（X＜3）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵设随机变量X的分布列为，∴=1，解得a=5，P（X＜3）=P（X=1）+P（X=2）==．故选：C．6．（5分）某厂生产的零件外径ξ～N（10，0.04），今从该厂上、下午生产的零件中各取一件，测得外径分别为10.5cm，9.3cm，则可认为（）A．上午生产情况正常，下午生产情况异常B．上午生产情况异常，下午生产情况正常C．上、下午生产情况均正常D．上、下午生产情况均不正常【解答】解：∵零件外直径X～N（10，0.04），∴根据3σ原则，在10+3×0.2=10.6（cm）与10﹣3×0.2=9.4（cm）之外时为异常．∵上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为10.5cm和9.3cm，9.3＜9.4，∴下午生产的产品异常，故选：A．7．（5分）利用数学归纳法证明不等式1+++…＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）A．1项B．k项C．2k﹣1项D．2k项【解答】解：用数学归纳法证明等式1+++…+＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+++…+，则当n=k+1时，左边=1+++…++++…+，∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：++…+，共（2k+1﹣1）﹣2k+1=2k项，故选：D．8．（5分）过函数f（x）=图象上一点（2，﹣2）及邻近一点（2+△x，﹣2+△y）作割线，则当△x=0.25时割线的斜率为（）A．B．C．1D．【解答】解：根据题意，函数f（x）=，当△x=0.25时，2+△x=2.25，故﹣2+△y==﹣，则△y=﹣﹣（﹣2）=，此时割线的斜率K==；故选：B．9．（5分）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A．60种B．63种C．65种D．66种【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有=1种结果，当取得4个奇数时，有=5种结果，当取得2奇2偶时有=6×10=60∴共有1+5+60=66种结果，故选：D．10．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x）且函数y=（1﹣x）f'（x）的图象如图所示，则下列结论一定成立的是（）A．函数f（x）的极大值是f（2），极小值是f（1）B．函数f（x）的极大值是f（﹣2），极小值是f（1）C．函数f（x）的极大值是f（2），极小值是f（﹣2）D．函数f（x）的极大值是f（﹣2），极小值是f（2）【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f（2）．故选：D．11．（5分）某学校有6个活动小组报名参加4个地区的社会实践活动，每个小组必须选择一个地区且每个地区都有小组参加，若1组和2组不去同一地区，则不同的方案有（）A．1320种B．2160种C．2400种D．4320种【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，先将6个小组分成4个大组，若分成1、1、1、3的4个大组，有C63=20种情况，其中1组和2组在同一大组的情况有C43=4种，则此时有20﹣4=16种分组的方法；若分成1、1、2、2的4个大组，有=45种情况，其中1组和2组在同一大组的情况6种，则此时有45﹣6=39种分组的方法；则一共有16+39=55种分组方法；②，将分好的4个大组全排列，对应4个地区，有A44=24种情况，则若1组和2组不去同一地区的不同方案有55×24=1320种；故选：A．12．（5分）设函数y=f（x）在（0，+∞）上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数，则称函数f p（x）为f（x）的“p界函数”．若给定函数，恒有f p（x）=f（x），则下列结论正确的是（）A．p的最大值为B．p的最小值为C．p的最大值为2D．p的最小值为2【解答】解：由题意可得出p≥f（x），最大值由于函数的导数为f′（x）=，令f′（x）=0，解出x=1，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．故当x=1时，f（x）取到最大值f（1）=．故当p≥时，恒有f p（x）=f（x）．因此p的最小值是．故选：B．二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13．（5分）的展开式中常数项为19，则实数a的值为±1．【解答】解：的表示4个因式（x2++a）的乘积，故4个因式都取a，可得常数项；或者其中有2个因式取x2，另外的2个因式取，可以得到常数项；或者有2个因式取a，剩下的2个因式一个取x2，另一个取，可以得到常数项，故展开式中常数项为a4+•+••a2=19，∴a4+12a2﹣13=0，即（a2+13）•（a2﹣1）=0，∴a=±1，故答案为：±1．14．（5分）已知函数，则f（x）dx=．【解答】解：dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，故dx=×π×12=，﹣e x dx=﹣e x|=﹣e2+e，∴f（x）dx=﹣e2+e，故答案为：﹣e2+e．15．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为．【解答】解法一：记小球落入B袋中的概率P（B），则P（A）+P（B）=1，由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋，所以有P（B）=（）3+（）3=，∴P（A）=1﹣P（B）=；解法二：由于小球每次遇到障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落下A袋．∴P（A）=C31（）3+C32（）3=；故答案为：16．（5分）下列命题中，正确的命题的序号为②③④．①已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则p=；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ≤0）=﹣p；④某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B（10，0.8），则当x=8时概率最大．【解答】解：①，随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，np（1﹣p）=20，则，p=，故错，②，据公式易知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，一般地，E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a，b为常数），故正确．③，随机变量ξ服从正态分布N（0，1），则图象关于y轴对称，若P（ξ＞1）=p，则P（0＜ξ＜1）=﹣p，即P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p，故正确．④，∵在10次射击中，击中目标的次数为X满足，X～B（10，0.8），∴对应的概率P（x=k）=×0.8k×0.210﹣k，当k≥1时，k∈N*时，==，由=≥1得44﹣4k≥k，即1≤k≤，∵k∈N*时，∴1≤k≤8且k∈N*，即k=8时，概率P（x=8）最大，故④正确，故答案为：②③④．三．解答题（共6小题，计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）设整数p＞1，p∈N*，用数学归纳法证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px．【解答】证明：①当p=2时，（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x，原不等式成立；②假设p=k（k≥2，k∈N*）时，不等式（1+x）k＞1+kx成立；当p=k+1时，（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，所以p=k+1时，原不等式也成立，综合①②可得，当x＞﹣1且x≠0时，对一切整数p＞1，不等式（1+x）p＞1+px均成立．18．（12分）已知函数f（x）=x3+x﹣16．（I）求曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线的方程；（Ⅱ）直线L为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线L的方程及切点坐标．【解答】解：（I）函数f（x）=x3+x﹣16的导数为f′（x）=3x2+1，可得曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线的斜率为3×4+1=13，即有曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线的方程为y﹣（﹣6）=13（x﹣2），即为13x﹣y﹣32=0；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=3x2+1，设切点为（m，n），可得切线的斜率为3m2+1，即有3m2+1==，即为2m3+16=0，解得m=﹣2，n=﹣8﹣2﹣16=﹣26，可得直线L的方程为y=13x及切点坐标为（﹣2，﹣26）．19．（12分）2018年某省数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛．规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛．假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立．（1）求该学生进入省队的概率．（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．【解答】解：（1）记“该生进入省队”的事件为事件A，其对立事件为，则=∴该学生进入省队的概率P（A）=1﹣P（）=．……………………（4分）（2）该生参加竞赛次数ξ的可能取值为2，3，4，5．…………………………（6分），，，．……………………………………………………（10分）故ξ的分布列为：E（ξ）==．……………………………………………………………………（12分）20．（12分）已知二次函数f（x）=﹣x2+8x，直线l2：y=﹣t2+8t（其中0≤t≤2，t为常数），l1：x=2．若直线l1、l2与函数f（x）的图象以及l2，y轴与函数f （x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示．（1）求阴影面积S关于t的函数S（t）；（2）已知函数g（x）=S（x）+alnx在其定义域上单调递减，求a的范围．【解答】解：（1）由得x2﹣8x﹣（t2﹣8t）=0，即有x1=t，x2=8﹣t，∵0≤t≤2，∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（t，8t﹣t2），由定积分的几何意义知：S（t）=[（8t﹣t2）﹣（8x﹣x2）]dx+[（8x﹣x2）﹣（8t﹣t2）]dx=[（﹣t2+8t）x﹣（4x2﹣x3）]|+[﹣（﹣t2+8t）x+（4x2﹣x3）]|=﹣t3+10t2﹣16t+；（2）g（x）=S（x）+alnx=﹣x3+10x2﹣16x++alnx，定义域为[0，2]，g′（x）=﹣4x2+20x﹣16+=，因为y=g（x）单调递减，则﹣4x3+20x2﹣16x+a≤0恒成立，即a≤4x3﹣20x2+16x的最小值，设h（x）=4x3﹣20x2+16x，h′（x）=12x2﹣40x+16，由h′（x）=0，解得x=（舍去），y=h（x）在（0，）是增函数，在（，2]是减函数，可得h（x）的最小值为h（2）=﹣16，所以a≤﹣16．21．（12分）设函数（n∈N，且n＞1，x∈N）．（Ⅰ）当x=6时，求的展开式中二项式系数最大的项；（Ⅱ）对任意的实数x，证明＞f'（x）（f'（x）是f（x）的导函数）；（Ⅲ）是否存在a∈N，使得an＜k＜（a+1）n恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（Ⅱ）证法一：因=证法二：因=而故只需对和进行比较．令g（x）=x﹣lnx（x≥1），有由，得x=1因为当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当1＜x＜+∞时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以在x=1处g（x）有极小值1故当x＞1时，g（x）＞g（1）=1，从而有x﹣lnx＞1，亦即x＞lnx+1＞lnx故有恒成立．所以f（2x）+f（2）≥2f′（x），原不等式成立．（Ⅲ）对m∈N，且m＞1有==＜=＜3；又因＞0（k=2，3，…，m），故∵，从而有成立，即存在a=2，使得恒成立．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当函数f（x）有两个不相等的零点x1，x2时，证明：x1•x2＞e2．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣ax，x＞0，∴f′（x）=﹣a=，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，f′（x）＞0，解得0＜x＜，f′（x）＜0，解得x＞，故f（x）在（0，+∞）单调递减，在（0，）单调递增；（Ⅱ）证明：∵函数f（x）有两个零点x1、x2，不妨设x1＞x2＞0∴lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，∴lnx1+lnx2=a（x1+x2），lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2），∴a=，欲证明x1•x2＞e2，即证lnx1+lnx2＞2，lnx1+lnx2=a（x1+x2）=（x1+x2）＞2只需证lnx1﹣lnx2＞，只需证ln＞，设=t，则t＞1，只需证lnt﹣＞0，设g（t）=lnt﹣，则g′（t）=＞0，∴∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，又∵g（1）=0，∴g（t）＞g（1）=0，所以原命题成立．。
河北省唐山一中2017年高二数学2月调研考试试题
唐山一中高二年级2017年2月份调研考试数学试卷说明：1.考试时间120分钟，满分150分。
2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ用黑色碳素笔答在试卷上。
3.Ⅱ卷答题纸卷头和答题卡均填涂本次考试的准考证号，不要误填学号，答题卡占八位。
卷Ⅰ(选择题 共60分)一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1. 抛物线x=﹣2y 2的准线方程是（ ）A ． 21-=yB ．21=yC ． 81-=x D ． 81=x 2. 过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ，若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为 （ ） A.221412x y -= B.22179x y -= C.22188x y -= D.221124x y -= 3. 下列有关命题的叙述，错误的个数为（ ）①若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题②“x ＞5”是“x 2﹣4x ﹣5＞0”的充分不必要条件③命题p ：∃x ∈R ，使得x 2+x ﹣1＜0，则￢p ：∀x ∈R ，使得x 2+x ﹣1≥0④命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2﹣3x+2≠0”A ．1B ．2C ．3D ．44.连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A.512B.712C.13D.125在棱长为2的正方体中，动点P 在ABCD 内，且P 到直线AA 1，BB 1的距离之和等于22，则ΔPAB 的面积最大值是（ ）A ．21 B ．1 C ．2 D ．4 6. 一个体积为312的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（ ）A ．36B ．8C ．38D ．127. 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B两点，O 为坐标原点.若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( ) A.22 B. 2 C.322 D.228. 设α、β、γ是三个互不重合的平面，m 、n 是两条不重合的直线，下列命题中正确的是( )A.若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB.若m ∥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nC.若α⊥β，m ⊥α，则m ∥βD.若α∥β，m ⊄β，m ∥α，则m ∥β9. 椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，过AB 中点M 与坐标原点，则m n的值为（ ）A ．2BC ．1D ．2 10. 已知正三棱锥P ﹣ABC 的高PO 为h ，点D 为侧棱PC 的中点，PO 与BD 所成角的余弦值为32，则正三棱锥P ﹣ABC 的体积为（ ） A ．3833h B ．3832h C ．383h D ．3433h11. 已知向量)sin 2,cos 2(αα=a ,)sin 3,cos 3(ββ=b , a 与b 的夹角为60°，则直线021sin cos =+-ααy x 与圆21)sin ()cos (22=++-ββy x 的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．随α，β的值而定12. 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点P ，椭圆内一点Q 在2PF 的延长线上，满足1QF QP ⊥，若15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆离心率取值范围是（ ）A ．1(,53B ．26C ．1(,52D ．,262卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2=4上有且仅有四个点到直线4x ﹣3y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是 ．14. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ有________个.15. 在平行四边形ABCD 中，0AC CB ⋅=，22240BC AC +-=，若将其沿AC 折成直二面角D AC B --，则三棱锥D AC B --的外接球的表面积为 ． 16.双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=22+n ，则△PF 1F 2的面积为 ．三．解答题（共6小题）17. （本小题满分10分）已知命题p ：实数x 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+-->0861log 231x x x ，命题q ：实数x 满足不等式 2x 2﹣9x+a ＜0（a ∈R ）．（I ）解命题p 中的不等式组；（Ⅱ）若p 是q 的充分条件，求a 的取值范围．18. （本小题满分12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°，（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．19. （本小题满分12分）已知点A（4，0），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，且圆心C在l上．（1）若CO=CA，O为坐标原点，求圆C的方程；（2）若圆心C在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线方程．20. （本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为12，且经过点M(1，32).(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足PA→·PB→＝PM→2？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.(1)求证：BD⊥平面AED；(2)求二面角F－BD－C的余弦值.22. （本小题满分12分）已知点F （1，0），点A 是直线l 1：x=﹣1上的动点，过A 作直线l 2，l 1⊥l 2，线段AF 的垂直平分线与l 2交于点P ．（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若点M ，N 是直线l 1上两个不同的点，且△PMN 的内切圆方程为x 2+y 2=1，直线PF 的斜率为k ，求MN k的取值范围．唐山一中高二年级2017年2月份调研考试1-5 DABAB 6-10 ACDAC 11-12 CD13. （﹣5，5） 14.2 15. 4 16.117. （1）2＜x ＜3； （2）a≤918. 【解答】解：（I ）延长AB 交直线CD 于点M ，∵点E 为AD 的中点，∴AE=ED=AD ，∵BC=CD=AD ，∴ED=BC ，∵AD ∥BC ，即ED ∥BC ．∴四边形BCDE 为平行四边形，即EB ∥CD ．∵AB∩CD=M，∴M ∈CD ，∴CM ∥BE ，∵BE ⊂平面PBE ，∴CM ∥平面PBE ，∵M ∈AB ，AB ⊂平面PAB ，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====19. 【解答】解：（1）∵CO=CA，∴点C在OA的中垂线x=2上，又C在y=2x﹣4，∴C（2，0），∵圆C 的半径为1，∴圆的方程为C ：（x ﹣2）2+y 2=1；（2）联立得：， 解得：，即C （3，2）， 设切线为y=k （x ﹣4）， 依题意有，解得：k=﹣， 此时切线方程为3x+4y ﹣12=0，当切线斜率不存在时：x=4也适合，则所求切线的方程为3x+4y ﹣12=0或x=4．20. 解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0. 因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)·(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)>0，所以k 1>－12. 又x 1＋x 2＝8k 12k 1－13＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为PA →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54， 所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 21)＝PM →2＝54. 即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54. 所以[16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 12k 1－13＋4k 21＋4]·(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1>－12，所以k 1＝12. 于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x . 21. (1)证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°， 所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°.又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°，因此∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ⊂平面AED ，所以BD ⊥平面AED .(2)解 方法一 由(1)知AD ⊥BD ，所以AC ⊥BC .又FC ⊥平面ABCD ，因此CA ，CB ，CF两两垂直.以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在的直线为x 轴，y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设CB ＝1，则C (0,0,0)，B (0,1,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，－12，0，F (0,0,1). 因此BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，－32，0，BF →＝(0，－1,1). 设平面BDF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·BD →＝0，m ·BF →＝0，所以x ＝3y ＝3z ，取z ＝1，则m ＝(3，1,1). 由于CF →＝(0,0,1)是平面BDC 的一个法向量，则cos 〈m ，CF →〉＝m ·CF →|m ||CF →|＝15＝55， 所以二面角F －BD －C 的余弦值为55. 方法二 如图，取BD 的中点G ，连接CG ，FG ，由于CB ＝CD ，因此CG ⊥BD .又FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以FC ⊥BD .由于FC ∩CG ＝C ，FC ，CG ⊂平面FCG ，所以BD ⊥平面FCG ，故BD ⊥FG ，所以∠FGC 为二面角F －BD －C 的平面角.在等腰三角形BCD 中，由于∠BCD ＝120°，因此CG ＝12CB .又CB ＝CF ， 所以GF ＝CG 2＋CF 2＝5CG ，故cos∠FGC ＝55， 因此二面角F －BD －C 的余弦值为55. 22. 【解答】解：（Ⅰ）∵点F （1，0），点A 是直线l 1：x=﹣1上的动点，过A 作直线l 2，l 1⊥l 2，线段AF 的垂直平分线与l 2交于点P ，∴点P 到点F （1，0）的距离等于它到直线l 1的距离，∴点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 1：x=﹣1为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为y 2=4x ．（Ⅱ）设P （x 0，y 0），点M （﹣1，m ），点N （﹣1，n ），直线PM 的方程为：y ﹣m=（x+1），化简，得（y 0﹣m ）x ﹣（x 0+1）y+（y 0﹣m ）+m （x 0+1）=0，∵△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，∴圆心（0，0）到直线PM的距离为1，即=1，∴=，由题意得x0＞1，∴上式化简，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，同理，有，∴m，n是关于t的方程（x0﹣1）t2+2y t﹣（x0+1）=0的两根，∴m+n=，mn=，∴|MN|=|m﹣n|==，∵，|y0|=2，∴|MN|==2，直线PF的斜率，则k=||=，∴==，∵函数y=x﹣在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，∴0＜＜．∴的取值范围是（0，）．。
河北省唐山一中高二数学上学期期中试题 理
唐山一中2016—2017学年度第一学期期中考试高二年级 数学理科试卷说明：1.考试时间120分钟，满分150分。
2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ的答案用黑色签字笔写在答题卡上。
3.本次考试需填涂的是准考证号（8位），不要误涂成座位号（5位），座位号只需在相应位置填写。
一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分.） 1.抛物线x y 82=的焦点到准线的距离是( )A ．1B ．2C ．4D ．82.已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（ ）A.20x y +-=B.20x y -+=C.30x y +-=D.30x y -+=3．已知椭圆121022=-+-m y m x ，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )． A ．4 B ．5 C ．7 D ．84. 若ABC ∆的两个顶点坐标分别为)0,4(-A 、)0,4(B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.)0(192522≠=+y y x B.)0(192522≠=+y x y C.)0(191622≠=+y y x D.)0(191622≠=+y x y5.已知圆()224x a y -+=截直线4y x =-所得的弦的长度为a 等于（ ）A ．2B ．6C ．2或6D ．6.在正方体1AC 中，E ，F 分别是线段BC ，1CD 的中点，则直线B A 1与直线EF 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直7．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线均和圆056:22=+-+x y x C 相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.14522=-y xB.15422=-y xC.16322=-y xD.13622=-y x 8．四棱锥ABCD P -的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD与PA 所成角的余弦值为( )A.552 B ．55 C ．54 D ．539.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．13 B ．32 C ．12D ．1 10.已知),(y x P 为椭圆22:12516x y C +=上一点,F 为椭圆C 的右焦点,若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=,则||PM 的最小值为( )125D.1 11.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.412.已知抛物线x y 22=上有两点),(),,(2211y x B y x A 关于直线m y x =+对称，且2121-=y y ，则m 的值等于（ ）A. 43B. 45C. 47D. 49二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，圆台的母线长是10 cm ，则圆锥的母线长为________cm .14．已知双曲线122=-y x ，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为________．15.如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为________.15题图16. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，设A ，B 为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，直线AB ，则双曲线的离心率为_________________. 三．计算题（共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共计70分）17．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形，(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体侧面积S .18平面直角坐标系中有A （0，1），B （2，1），C （3，4）三点 （1）求经过A ，B ，C 三点的圆M 的标准方程； （2）求过点D （﹣1，2）的圆M 的切线方程.19.如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形， 90=∠=∠FAB BAD ，，FA BE AD BC 21//21//M 分别为FD 的中点．(1)证明：CM //面ABEF ；21.已知过抛物线)0(22>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于))(,(),(212211x x y x B y x A <，两点，且9=AB .(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值.22A.（普班和实验班做）已知椭圆)0(12222>>=+Γb a by a x ：过点P⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,1，且离心率为23，左焦点为F ，左、右顶点分别为B A 、，过F 的直线l 与椭圆Γ相交于C 、D 两点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）记ABD ABC ∆∆，的面积分别为21,S S ，求21S S -的取值范围.22B ．（英才班做）已知椭圆:C 12222=+by a x )0(>>b a ,圆()()22222=-+-y x 的圆心Q 在椭圆C 上，点()2,0P 到椭圆C 的右焦点的距离为6.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆C 于,AB 两点，直线2l 交圆Q 于,CD 两点，且M 为C D 的中点，求MAB ∆的面积的取值范围.唐山一中2016—2017学年度第一学期期中考试高二年级 数学理科答案二、填空题 13.34014.32 15.π50 16. 216.17.由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，定点在底面的射影是矩形中心的四棱锥ABCD V -，如图所示. (1)64468(31=⨯⨯⨯=）V (2)该四棱锥有两个侧面VAD 、VBC 是全等的等腰三角形， 且BC 边上的高为24)28(4221=+=h ，另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为5)26(4222=+=h ，因此.22440)582124621(2+=⨯⨯+⨯⨯=S18. 证明：（1）圆M 的方程为：5)3()1(22=-+-y x ， （2）02=+y x19. （1）证明：设G 为AF 的中点，连接BG ，GM ，CM 由已知GA FG =,MD FM =，可得AD GM 21//,AD BC 21//， BC GM //∴∴四边形BCMG 为平行四边形．BG CM //∴BG 在面ABEF ,CM 不在面ABEF 内，ABEF CM 面//∴(2)由，FA BE 21//G 为FA 中点知，，FG BE // ∴四边形BEFG 为平行四边形，BG EF //∴由(1)知CM BG //，CM EF //∴，EF ∴与CM 共面． 又FM D ∈，E F D C ,,,∴四点共面．21.解：（1）直线AB 的方程是)2(22p x y -=，与px y 22=联立，从而有05422=+-p px x ，所以4521p x x =+.由抛物线定义得：94521=+=++=p pp x x AB 所以4=p .抛物线的方程为x y 82=.(2)由于4=p ，05422=+-p px x 可简化为0452=+-x x ，从而11=x ，42=x ，221-=y ，242=y ，从而)22,1(-A ，)24,4(B ；设),(33y x C ，则)2224,14()24,4()22,1(,33-+=+-==λλλ）（y x ，又3238x y =，即)14(8)]12(22[2+=-λλ，即141-22+=λλ）（，解得0=λ或2=λ. 22A.解：（Ⅰ）由已知得221314a b+= ① 又22124c b a a =⇒= ② 联立①、②解出24a =，21b =所以椭圆的方程是 2214x y += （Ⅱ）当l的斜率不存在时，11(),()22C D -，此时120S S -=；当l 的斜率存在时，设:l (0)y k x k =≠，设1122(,),(,)C x y D x y ，联立直线方程与椭圆方程消y得2222(41)(124)0k x x k +++-=，所以12x x +=，212212414k x x k -=+. 所以12121222S S y yy y-=-=+122()k x x =++=，由于0k ≠，所以12S S-4k k=≤=+当且仅当4k =1k 时，即12k =±时，12S S -=12S S-⎡∈⎣22B 解：（1）因为椭圆C 的右焦点(),0,||2F c PF c =∴=．()2,3在椭圆C 上,22421a b ∴+=．由224a b -=得228,4,a b ==所以椭圆C 的方程为22184x y +=. （2）由题意可得1l 的斜率不为零, 当1l 垂直x 轴时,MAB ∆的面积为14242⨯⨯=, 当1l 不垂直x 轴时, 设直线1l的方程为：y kx = 则直线2l的方程为：()()11221,,,y x A x y B x y k=-+．由22184x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()221240k x++-=,所以1122412x x x x k -+==+,则12|||AB x x =-=又圆心(Q 到2l的距离1d =<21k >，又,MP AB QM CD ⊥⊥,所以M 点到AB 的距离Q 点到AB 的距离．设为2d ,即2d ==，所以MAB ∆面积2412k S AB d === 令()2213,t k =+∈+∞,则110,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,43S ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,综上, MAB ∆的面积的取值范围为43⎛⎤⎥ ⎝⎦.。
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唐山一中高二年级2017年2月份调研考试数学试卷说明：1.考试时间120分钟，满分150分。
2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ用黑色碳素笔答在试卷上。
3.Ⅱ卷答题纸卷头和答题卡均填涂本次考试的准考证号，不要误填学号，答题卡占八位。
卷Ⅰ(选择题共60分)一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1. 抛物线x=﹣2y 2的准线方程是（ ）A ．21-=y B ．21=y C ．81-=x D ．81=x 2. 过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为 （ ）A.221412x y -=B.22179x y -=C.22188x y -=D.221124x y -=3. 下列有关命题的叙述，错误的个数为（ ） ①若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题②“x ＞5”是“x 2﹣4x ﹣5＞0”的充分不必要条件③命题p ：∃x ∈R ，使得x 2+x ﹣1＜0，则￢p ：∀x ∈R ，使得x 2+x ﹣1≥0 ④命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题 为“若x ≠1或x ≠2，则x 2﹣3x+2≠0” A ．1B ．2C ．3D ．44.连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A.512B.712C.13D.125在棱长为2的正方体中，动点P 在ABCD 内，且P 到直线AA 1，BB 1的距离之和等于22，则ΔPAB 的面积最大值是（） A ．21B ．1C ．2D ．4 6. 一个体积为312的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（ ） A ．36 B ．8C ．38 D ．127.过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若|AF |＝3，则△AOB 的面积为()A.22B. 2C.322D.2 2 8.设α、β、γ是三个互不重合的平面，m 、n 是两条不重合的直线，下列命题中正确的是()A.若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB.若m ∥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nC.若α⊥β，m ⊥α，则m ∥βD.若α∥β，m ⊄β，m ∥α，则m ∥β9. 椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，过AB 中点M 与坐标原点的直线的斜率为2，则mn的值为（ ）A ．2 B ．3C ．1D ．2 10. 已知正三棱锥P ﹣ABC 的高PO 为h ，点D 为侧棱PC 的中点，PO 与BD 所成角的余弦值为32，则正三棱锥P ﹣ABC 的体积为（ ）A ．3833h B ．3832h C ．383h D ．3433h11. 已知向量)sin 2,cos 2(αα=a ,)sin 3,cos 3(ββ=b ,a 与b的夹角为60°，则直线021sin cos =+-ααy x 与圆21)sin ()cos (22=++-ββy x 的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．随α，β的值而定12. 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上有一点P ，椭圆内一点Q 在2PF 的延长线上，满足1QF QP ⊥，若15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆离心率取值范围是（ ） A．1(5 B． C．1(,52 D．2卷Ⅱ(非选择题共90分) 二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2=4上有且仅有四个点到直线4x ﹣3y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是．14. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的 实数λ有________个.15. 在平行四边形ABCD 中，0AC CB ⋅=，22240BC AC +-=，若将其沿AC 折成直二面角D AC B --，则三棱锥D AC B --的外接球的表面积为．16.双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=22+n ，则△PF 1F 2的面积为． 三．解答题（共6小题） 17. （本小题满分10分）已知命题p ：实数x 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+-->0861log 231x x x ，命题q ：实数x 满足不等式2x 2﹣9x+a ＜0（a ∈R ）． （I ）解命题p 中的不等式组；（Ⅱ）若p 是q 的充分条件，求a 的取值范围． 18. （本小题满分12分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD ，E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°， （Ⅰ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P ﹣CD ﹣A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值． 19.（本小题满分12分）已知点A （4，0），直线l ：y=2x ﹣4，设圆C 的半径为1，且圆心C 在l 上． （1）若CO=CA ，O 为坐标原点，求圆C 的方程；（2）若圆心C 在直线y=x ﹣1上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程． 20.（本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M (1，32).(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足PA →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由. 21. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ， ∠DAB ＝60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF . (1)求证：BD ⊥平面AED ； (2)求二面角F －BD －C 的余弦值. 22. （本小题满分12分）已知点F （1，0），点A 是直线l 1：x=﹣1上的动点，过A 作直线l 2，l 1⊥l 2，线段AF 的垂直平分线与l 2交于点P ． （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若点M ，N 是直线l 1上两个不同的点，且△PMN 的内切圆方程为x 2+y 2=1，直线PF 的斜率为k ，求MNk 的取值范围．唐山一中高二年级2017年2月份调研考试 1-5 DABAB 6-10 ACDAC 11-12 CD 13. （﹣5，5） 14.2 15.4 16.1 17.（1）2＜x ＜3； （2）a≤918. 【解答】解：（I ）延长AB 交直线CD 于点M ，∵点E 为AD 的中点，∴AE=ED=AD ，∵BC=CD=AD ，∴ED=BC ，∵AD ∥BC ，即ED ∥BC ．∴四边形BCDE 为平行四边形，即EB ∥CD ． ∵AB∩CD=M，∴M ∈CD ，∴CM ∥BE ， ∵BE ⊂平面PBE ，∴CM ∥平面PBE ， ∵M ∈AB ，AB ⊂平面PAB ，∴M ∈平面PAB ，故在平面PAB 内可以找到一点M （M=AB∩CD），使得直线CM ∥平面PBE ． （II ）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA 与CD 所成的角为90°，AB∩CD=M， ∴AP ⊥平面ABCD ．∴CD ⊥PD ，PA ⊥AD ．因此∠PDA 是二面角P ﹣CD ﹣A 的平面角，大小为45°． ∴PA=AD ．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====19. 【解答】解：（1）∵CO=CA，∴点C在OA的中垂线x=2上，又C在y=2x﹣4，∴C（2，0），∵圆C的半径为1，∴圆的方程为C：（x﹣2）2+y2=1；（2）联立得：，解得：，即C（3，2），设切线为y=k（x﹣4），依题意有，解得：k=﹣，此时切线方程为3x+4y﹣12=0，当切线斜率不存在时：x=4也适合，则所求切线的方程为3x+4y﹣12=0或x=4．20. 解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得， (3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0. 因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ， 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)·(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)>0， 所以k 1>－12.又x 1＋x 2＝8k 1k 1－3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为PA →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 21)＝PM →2＝54.即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54.所以[16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 1k 1－3＋4k 21＋4]·(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12.因为k 1>－12，所以k 1＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .21. (1)证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°， 所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°. 又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°， 因此∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ⊂平面AED ， 所以BD ⊥平面AED .(2)解 方法一 由(1)知AD ⊥BD ，所以AC ⊥BC .又FC ⊥平面ABCD ，因此CA ，CB ，CF两两垂直.以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设CB ＝1，则C (0,0,0)，B (0,1,0)，D ⎝⎛⎭⎪⎫32，－12，0，F (0,0,1).因此BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，0，BF →＝(0，－1,1).设平面BDF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·BD →＝0，m ·BF →＝0，所以x ＝3y ＝3z ， 取z ＝1，则m ＝(3，1,1).由于CF →＝(0,0,1)是平面BDC 的一个法向量， 则cos 〈m ，CF →〉＝m ·CF →|m ||CF →|＝15＝55，所以二面角F －BD －C 的余弦值为55. 方法二 如图，取BD 的中点G ，连接CG ，FG ，由于CB ＝CD ，因此CG ⊥BD .又FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以FC ⊥BD .由于FC ∩CG ＝C ，FC ，CG ⊂平面FCG ， 所以BD ⊥平面FCG ，故BD ⊥FG ， 所以∠FGC 为二面角F －BD －C 的平面角. 在等腰三角形BCD 中，由于∠BCD ＝120°，因此CG ＝12CB .又CB ＝CF ，所以GF ＝CG 2＋CF 2＝5CG ，故cos∠FGC ＝55， 因此二面角F －BD －C 的余弦值为55. 22. 【解答】解：（Ⅰ）∵点F （1，0），点A 是直线l 1：x=﹣1上的动点，过A 作直线l 2，l 1⊥l 2，线段AF 的垂直平分线与l 2交于点P ， ∴点P 到点F （1，0）的距离等于它到直线l 1的距离，∴点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 1：x=﹣1为准线的抛物线， ∴曲线C 的方程为y 2=4x ．（Ⅱ）设P （x 0，y 0），点M （﹣1，m ），点N （﹣1，n ）， 直线PM 的方程为：y ﹣m=（x+1），化简，得（y 0﹣m ）x ﹣（x 0+1）y+（y 0﹣m ）+m （x 0+1）=0， ∵△PMN 的内切圆的方程为x 2+y 2=1， ∴圆心（0，0）到直线PM 的距离为1，即=1，∴=，由题意得x 0＞1，∴上式化简，得（x 0﹣1）m 2+2y 0m ﹣（x 0+1）=0， 同理，有，∴m ，n 是关于t 的方程（x 0﹣1）t 2+2yt ﹣（x 0+1）=0的两根，∴m+n=，mn=，∴|MN|=|m ﹣n|==，∵，|y0|=2，∴|MN|==2，直线PF的斜率，则k=||=，∴==，∵函数y=x﹣在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，∴0＜＜．∴的取值范围是（0，）．。