计数原理公开课
合集下载
两个计数原理公开课(涂色很好)ppt课件
例4：小明写了三封不同的信，到邮局 去寄时，发现有并排四只不同的邮筒， 那么他不同的投信方法有多少种？
30
课堂小结
两大原理：
1、分类加法计数原理： 针对的是“分类”问题.各类方法相互独立。
2、分步乘法计数原理： 针对的是“分步”问题。每步相互依存。
两种思想：
1、类比思想：由加法原理类比得到乘法原理
正解 9
32
【2】在一次运动会上有4项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中 产生，那么不同的夺冠情况共有种. 错解 把4个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，
故有 A=43 24(种).
错解分析 错解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式. 正解 4项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军
都有3种选取方法，由乘法原理共有3×3×3×3= =3841（种）.
1011分类加法计数原理分步乘法计数原理完成一件事共有n类方案关键词分类区别1完成一件事共分n个步骤关键词分步区别2区别3每类方案的任何一个方法都能独立地完成这件事情任何一步都不能独立完成这件事只有各个步骤都完成了才能完成这件事相加相乘12例1
引言
由100个碱基可以 组成多少种RNA分 子，你知道它是怎 么算出来的吗？
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
解（：1）从书架上任取一本书，有三类方法： 第1类办法是：从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2类办法是：从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3类办法是：从第3层取1本体育书，有2种方法； 根据分类加法计数原理，不同取法的种数是：
N 4329
答：从书架上任取1本书，有9种不同的取法.
（种）.根据A点和 B1点两处灯泡的颜色相同或不相同分为两类:
(1)A, B颜1 色相同，则B处有3种，C处有1种，则共有3×1=3种;
《 基本计数原理的简单应用(2)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
①该问题中要完成的“一件事”是什么？②如何完成这件事呢？
按照规则生成一个汽车牌照序号
分类
10×10×10×10×10=100000
100000+1200000+5760000=7060000
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区别
完成一件事，共有n类方法，关键词是“分类” ．
完成一件事，共有n个步骤，关键词是“分步” ．
本质一样，乘法原理可以看成是加法原理的简化，类似于数的运算中乘法是加法的简化．
解决实际问题时常常需要两个原理结合应用．
教材P158 A组第5,6题，B组第1题．
答：满足条件的密码的个数分别为10000和1110000．
问题（1）中要完成的一件事是什么？
确定1个字节的8个二进制位上的数字
根据分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示不同字符的个数是2×2×2×2×2×2×2×2=28=256．
<6763
2个字节最多可以表示不同字符的个数是28×28=256×256=65536．
每类方法都能独立完成这件事，且每类方法得到的都是最后结果，只需一种方法就可以完成这件事．
任何一，才能完成这件事．
各类方法之间是互斥的、并列的、独立的．
各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复．
联系
都是求完成一件事情的方法种数．
要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示．
5封信投到3个信箱
3封信投到5个信箱
5个人报名3项比赛
3项冠军从5个人中选
其中，序号的编码规则为：（1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；（2）最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？
按照规则生成一个汽车牌照序号
分类
10×10×10×10×10=100000
100000+1200000+5760000=7060000
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区别
完成一件事，共有n类方法，关键词是“分类” ．
完成一件事，共有n个步骤，关键词是“分步” ．
本质一样，乘法原理可以看成是加法原理的简化，类似于数的运算中乘法是加法的简化．
解决实际问题时常常需要两个原理结合应用．
教材P158 A组第5,6题，B组第1题．
答：满足条件的密码的个数分别为10000和1110000．
问题（1）中要完成的一件事是什么？
确定1个字节的8个二进制位上的数字
根据分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示不同字符的个数是2×2×2×2×2×2×2×2=28=256．
<6763
2个字节最多可以表示不同字符的个数是28×28=256×256=65536．
每类方法都能独立完成这件事，且每类方法得到的都是最后结果，只需一种方法就可以完成这件事．
任何一，才能完成这件事．
各类方法之间是互斥的、并列的、独立的．
各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复．
联系
都是求完成一件事情的方法种数．
要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用2个字节表示．
5封信投到3个信箱
3封信投到5个信箱
5个人报名3项比赛
3项冠军从5个人中选
其中，序号的编码规则为：（1）由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；（2）最多只能有2个英文字母.如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？
《两个基本计数原理》示范公开课教学课件【高中数学苏教版】
“每一步”与“完成这件事”有什么关系？
“每一步”都不能独立“完成这件事”．
从甲地经乙地到丙地，共有多少种不同的方法？
共有（种）不同的方法．
完成这件事要分几步？每一步有几种方法？ 分两步： 第一步：先选上衣，有种不同方法； 第二步：再选裤子，有种不同方法．“每一步”与“完成这件事”有什么关系？ “每一步”都不能独立“完成这件事”．完成这件事，共有多少种不同的方法？ 共有（种）不同的方法．
考虑选择分“类”还是分“步”：分类计数原理中每种方法都可以解决这件事情；分步计算原理中连续几个步骤合起来共同完成一件事情．
解：（1）选出名代表有两类方式：第一类：从男生中选出名代表，有种不同的选法；第二类：从女生中选出名代表，有种不同的选法．根据分类计数原理，共有不同的选法种数是．
某班共有男生名、女生名，从该班选出学生代表参加校学生代表大会．（1）若学校分配给该班名代表，则有多少种不同的选法？（2）若学校分配给该班名代表，且男、女生代表各名，则有多少种不同的选法？
解：(1)从个年级共名学生中选出名代表，共种选法．(2)从每个年级中各选人，根据分步计数原理知，共种选法．
结构框图
教材第56页练习第1，2，3题．
各个步骤相互依存，各个步骤都完成才算完成这件事．
分步计数原理针对“分步”问题
分类计数原理针对 “分类”问题
某班共有男生名、女生名，从该班选出学生代表参加校学生代表大会．（1）若学校分配给该班名代表，则有多少种不同的选法？（2）若学校分配给该班名代表，且男、女生代表各名，则有多少种不同的选法？
解：（2）选出男、女生代表各名，可以分成两个步骤完成：第一步：选名男生代表，有种不同的选法；第二步：选名女生代表，有种不同的选法．根据分步计数原理，选出男、女生代表各名，共有不同的选法种数是．答：选出名代表有种不同的选法；选出男、女生代表各名，有种不同的选法．
计数原理(公开课)中职
第三步：从4个数中选一个数做个位,有 k3 4 种方法
完成这件事的方法数有 4 4 4 64 种
思考题:用0、1、2呢？无重复数字的三位数？
2 3 3 18
221 4
变式练习:
1. 11位的QQ号有多少个呢？
9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
2. A 1 4 7 9能组成多少个车牌号?
北
北
A村
中 南
B村 南 C村
分析: 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有2种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种不同的方法。
问题3：用前6个大写英文字母和1~9个阿拉伯数 字,以A1,A2,,B1,B2的方式给教室的座位编号.
基础题:
①任取一个球，共有多少种取法？ ②取一个绿球和一个黄球，共有多少种取法？
①从书架上任取一本书，共有多少种取法？ ②每层各取一本书，有多少种不同的取法？
例题讲解
例1书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有 3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书。 （1）从书架上任取一本书，有多少种取法？ （2）从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少
种取法。
4×3×2=24
分步时做到不缺步
答：从书架上的第1、2、3层各取一本书，有24种不同的取 法。
变式练习:
1. 密码锁可设多少密码呢？
10 10 10 10 10000
变式练习:
1.商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买1件 上衣或1条裤子，共有多少种选法？若要买上 衣和裤子各1件，共有多少种选法？
完成表格
两个计数原理
分类计数原理
公开课分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件
公开课分类加法计数 原理与分步乘法计数 原理课件
• 分类加法计数原理 • 分步乘法计数原理 • 分类加法计数原理与分步乘法计
数原理的比较 • 公开课总结与展望
目录
01
分类加法计数原理
定义与理解
定义
分类加法计数原理是指将一个问题分成若干个互斥的子问题，每个子问题有一 个明确的解决策略，然后将这些子问题的解合并起来得到原问题的解。
分类加法计数原理的实例
实例1
在组合数学中，将一个复杂组合问题 分解为若干个简单的组合问题，然后 分别计算这些简单问题的解，最后将 这些解相加得到原问题的解。
实例2
在统计学中，将一个复杂统计问题分 解为若干个简单的统计问题，然后分 别计算这些简单问题的解，最后将这 些解相加得到原问题的解。
02
分步乘法计数原理
解析
根据分步乘法计数原理，学生可以选择不同的交通方式有$m_1$种方法，选择不 同的住宿方式有$m_2$种方法，因此总共有$m_1 times m_2$种不同的春游方 案。
03
分类加法计数原理与分步乘
法计数原理的比较
两者之间的联系
分类加法计数原理和分步乘法计数原 理都是基本的计数原理，用于解决组 合数学中的计数问题。
定义与理解
定义
分步乘法计数原理是指完成一件事情，需要分成$n$个步骤，做第$1$步有$m_1$种不同的方法，做第$2$步有 $m_2$种不同的方法，……，做第$n$步有$m_n$种不同的方法，则完成这件事情有$m_1 times m_2 times ldots times m_n$种不同的方法。
理解
理解
分类加法计数原理的核心思想是将复杂问题分解为简单问题，然后分别解决这 些简单问题，最后将结果合并。
• 分类加法计数原理 • 分步乘法计数原理 • 分类加法计数原理与分步乘法计
数原理的比较 • 公开课总结与展望
目录
01
分类加法计数原理
定义与理解
定义
分类加法计数原理是指将一个问题分成若干个互斥的子问题，每个子问题有一 个明确的解决策略，然后将这些子问题的解合并起来得到原问题的解。
分类加法计数原理的实例
实例1
在组合数学中，将一个复杂组合问题 分解为若干个简单的组合问题，然后 分别计算这些简单问题的解，最后将 这些解相加得到原问题的解。
实例2
在统计学中，将一个复杂统计问题分 解为若干个简单的统计问题，然后分 别计算这些简单问题的解，最后将这 些解相加得到原问题的解。
02
分步乘法计数原理
解析
根据分步乘法计数原理，学生可以选择不同的交通方式有$m_1$种方法，选择不 同的住宿方式有$m_2$种方法，因此总共有$m_1 times m_2$种不同的春游方 案。
03
分类加法计数原理与分步乘
法计数原理的比较
两者之间的联系
分类加法计数原理和分步乘法计数原 理都是基本的计数原理，用于解决组 合数学中的计数问题。
定义与理解
定义
分步乘法计数原理是指完成一件事情，需要分成$n$个步骤，做第$1$步有$m_1$种不同的方法，做第$2$步有 $m_2$种不同的方法，……，做第$n$步有$m_n$种不同的方法，则完成这件事情有$m_1 times m_2 times ldots times m_n$种不同的方法。
理解
理解
分类加法计数原理的核心思想是将复杂问题分解为简单问题，然后分别解决这 些简单问题，最后将结果合并。
市级公开课《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教学课件
总计
4×3=12
12+8+6 4×2=8 =26（种
）
2×3=6
解题关键：①完成一件什么事情？②完成这件事有什么要求？③如
何完成这件事，是“分类”还是“分步”？
17
练2 神十的国际编号为2013-029A .
国际上人造天体的编号规则： 1）发射年份+四位编码; 2）四位编码前三位为阿拉伯数字，第四位为 英文字母; 3）前三位数字不能同时为0； 4）英文字母不得选用I，O. 按照这样的编号规则, 2013年发射的人造天体， 所有可能的编码有多少种?
23976
18
练3
某座山，若从东侧通往山顶的道 路有3条，从西侧通往山顶的道路 有2条，那么游人从上山到下山不 同的走法有 种 。
19
练4
应用访谈
你能举出生活中或其他学科 中的分类计数问题和分步计数问 题吗？
20
小结:
1.解决计数问题的基本方法： 列举法（树形图）、两个计数原理 2.选择两个原理解题的关键是： ①完成一件什么事 ②完成这件事的要求
11
按要求编号
取字母和取数字， 共需分2步
第1步取字母有6种 第2步取数字有9种 共有6×9=54种
不能
问题４ 从甲地到丙地，要从甲地先乘动车到乙地， 再于次日从乙地乘汽车到丙地。一天中，动车有 3班，汽车有2班，那么乘坐这些交通工具，从甲 地到丙地共有多少种不同的走法？
动车1 甲地
乙地
汽车1
汽车2 丙地
588 × 28 ×
14
10 21 ×
=5880 10 =5880
分步乘法计数原理
如果完成一件事需要三个步骤,做第1步有m1 种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,做第 3步有m3种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×m3 种不同的方法. _________________ 做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做 第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不 同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法 ，那么完成这件事有 N=m1×m2ׄ×mn _____________________ 种不同的方法.
人教版高中数学：计数原理市公开课一等奖市赛课一等奖课件
例2.书架第1层放有4本不一样计算机书，第2层放有3本
不一样文艺书，第3层放有2本不一样体育书。
（1）从书架上任取1本书，有多少种不一样取法?
（2）从书架第1、2、3层各取1本不一样书，有多少种不一样 取法？
解：（1）从书架上任取1本书，有3类方法： 第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法；
14/17
探究：
1、图1中, “红马” 在最少 步数内吃到“兰炮” 不一样方法数有几个?
马
2、图2中“兰炮”在兰色
区域内且在4步之内吃到 卒
“红马”不一样方法数有 几个？
炮
马
图1
炮
图2
15/17
谢谢！
16/17
例3、一个号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9 共10个数字，这4个拨号盘能够组成多少个四位数字号码?
菜种类 蔬菜类 肉 类 总 数 花菜 猪肉
( 菜单3 )
菜样式
萝卜 牛肉
…
…
每类数量
竹笋
m1
羊肉
m2 m1+m2
菜种类 第 1 类 第 2 类 … 第 n
菜
单
菜样式
4
花菜
猪肉 … 蛋类汤
萝卜 牛肉 … 豆汤
…
…
…
…
总数
竹笋 羊肉 … 菜汤
每类数量 m1
m2 …
mn m1 + m2 + … + mn
4/17
N = m1 × m2 × … × mn
种不一样方法.
9/17
1.填空：
例题
计数原理公开课
第一章计数原理 分类加法计数原理和分 步乘法计数原理
创设情境揭示课题
思考：我校运动场有6条跑道，现要安排6名 同学进行100米比赛，规则是一人一条道次， 问一共有多少种不同的安排方案？
知识探究 归纳结论
问题1：暑假期间某同学想去西安旅游，一天里快巴客车 有2班，普通客车有3班，那么他要乘这些交通工具到西安 共有多少种不同的走法？ 如果还有四辆出租车可选择呢？
完成这个事情需要分几步
每步中的任一方法能否独立完成 这件事情 每步方法中分别有几种不同的方 法 完成这件事情共有多少种不同的 方法
知识探究 归纳结论
思考？结合问题2并类比问题1和分类加法计数原
理，我们可以得到什么结论呢？
分步乘法计数原理：
完成一件事情，需要分成n步，在第一步中 有m1种不同的方法，在第二步中有m2种不同 的法，…， 在第n步中有mn种不同的方法， 那么完成这件事情有 N=m ×m2×m3×m4×… ×mn 种不同的 方法
例2：我校运动场有6条跑道，现要安排6
名同学进行100米比赛，规则是一人一条 道次，问一共有多少种不同的安排方案？
实际应用，拓展提升
例3：如图，从甲地到乙地有2条路，从乙 地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路 可以走，从丙地到丁地有2条路。从甲地 到丁地共有多少种不同地走法？
甲 丙 乙 丁
如图,一环形花坛分成A、B、C、D四块， 现有4种不同的花供选种（如红、黄、蓝、 紫），要求在每块里种1种花，且相邻的2 块种不同花，问共有多少种不同的种花方 案？
问题1剖析
某同学要做的一件事情是什么？ 完成这件事的方法有几类？ 每类方案中任一种方法能否独立完成这件事？ 每类方案中分别有几种不同的方法
去西安旅行
创设情境揭示课题
思考：我校运动场有6条跑道，现要安排6名 同学进行100米比赛，规则是一人一条道次， 问一共有多少种不同的安排方案？
知识探究 归纳结论
问题1：暑假期间某同学想去西安旅游，一天里快巴客车 有2班，普通客车有3班，那么他要乘这些交通工具到西安 共有多少种不同的走法？ 如果还有四辆出租车可选择呢？
完成这个事情需要分几步
每步中的任一方法能否独立完成 这件事情 每步方法中分别有几种不同的方 法 完成这件事情共有多少种不同的 方法
知识探究 归纳结论
思考？结合问题2并类比问题1和分类加法计数原
理，我们可以得到什么结论呢？
分步乘法计数原理：
完成一件事情，需要分成n步，在第一步中 有m1种不同的方法，在第二步中有m2种不同 的法，…， 在第n步中有mn种不同的方法， 那么完成这件事情有 N=m ×m2×m3×m4×… ×mn 种不同的 方法
例2：我校运动场有6条跑道，现要安排6
名同学进行100米比赛，规则是一人一条 道次，问一共有多少种不同的安排方案？
实际应用，拓展提升
例3：如图，从甲地到乙地有2条路，从乙 地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路 可以走，从丙地到丁地有2条路。从甲地 到丁地共有多少种不同地走法？
甲 丙 乙 丁
如图,一环形花坛分成A、B、C、D四块， 现有4种不同的花供选种（如红、黄、蓝、 紫），要求在每块里种1种花，且相邻的2 块种不同花，问共有多少种不同的种花方 案？
问题1剖析
某同学要做的一件事情是什么？ 完成这件事的方法有几类？ 每类方案中任一种方法能否独立完成这件事？ 每类方案中分别有几种不同的方法
去西安旅行
计数原理(公开课)
课程中至少有1门不相同的选法共有( )
A．36种
B．30种
C．12种
D．6种
解析：
从反面考虑，有C
2 4
C
2 4
－C
2 4
＝6×6－6＝30种不同
选法．
答案： B
4．从1,3,5,7,9五个数字中选2个，0,2,4,6,8五个数字中选3 个，能组成多少个无重复数字的五位数？
解析： 从5个奇数中选出2个，再从2、4、6、8四个偶数
＝22种．
答案： A
2．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，
则不同的坐法种数为( )
A．3×3!
B．3×(3！)3
C．(3！)4
D．9!
解析： 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，
所以有(3！)4种．
答案： C
3．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数
的个数为( )
④直接计数困难的问题，采用间接法，即从方法总数中减 去不符合条件的方法数．
⑤排列和组合的综合题，采用“先组后排”，即先选出元 素，再排序．
4．二项式定理及二项式系数的性质
(1)二项式定理：公式(a＋b)n＝C
0 n
an＋C
1 n
an－1b＋…＋C
r n
an－
rbr＋…＋C
n n
bn，其中各项的系数C
二项式定理
点拨： 1.区分“项的系数”与“二项式系数”．项的系 数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．
2．切实理解“常数项”、“有理项(字母指数为整数)”、 “系数最大的项”等概念．
3．求展开式中的指定项，要把该项完整写出，不能仅仅 说明是第几项．
计数原理(优秀课件)
THANKS
感谢观看
在社会科学中，分类计数原理可以应用于 社会调查和统计分析等方面，例如调查问 卷的数据分析和人口统计等。
03
分步计数原理
定义与解释
定义
分步计数原理，也称为分治法，是计数原理中的一种基本方法。它基于将一个复杂问题分解为若干个 简单子问题，然后分别对每个子问题进行计数，最后将各个子问题的计数结果相乘得到总计数。
同样地，我们考虑第一个学 生有5门课程可以选择，第 二个学生也有5门课程可以 选择，依此类推，直到最后 一个学生。根据分步计数原 理，总的不同选课方案为 $5 times 5 times 5 times ... times 5 = 5^{30}$。
应用场景
应用场景1
在组合数学中，分步计数原理常被用于解决排列组合问题。例如，在求解排列数、组合数 或概率分布时，可以通过将问题分解为若干个子问题，然后利用分步计数原理进行计算。
首先，我们考虑第一个学生 有5门课程可以选择，第二 个学生也有5门课程可以选 择，依此类推，直到最后一 个学生。根据分步计数原理 ，总的不同选课方案为 $5 times 5 times 5 times ... times 5 = 5^{30}$。
一个班有30名学生，每个学 生需要从5门课程中选1门课 程。问有多少种不同的选课 方案？
应用场景2
在计算机科学中，分步计数原理被广泛应用于算法设计和数据结构。例如，在求解图论中 的路径、遍历等问题时，可以利用分步计数原理来计算不同路径的数量。
应用场景3
在实际生活中，分步计数原理也被广泛应用于各种场景。例如，在制定计划或决策时，可 以将整个过程分解为若干个子步骤或子任务，然后利用分步计数原理来计算完成整个任务 所需的总时间或总成本。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
10.1 分类计数原理与分步计数原理
概 率
统计 概率
统计
问题情境
问题1 从诸暨去杭州，可以乘火车，也可以乘汽车.某 一时段，火车有 2 班，汽车有 4 班，那么这一时段乘坐
这些交通工具从诸暨到杭州有多少种不同的选择？
火车 诸暨 分析： 从诸暨到杭州有2类方法：
杭州
第一类，乘火车，有2种方法
第二类，乘汽车，有4种方法
有n 类办法 共有多少种不同的方法
第 1 类办法中 有 m1 种不同的方法 完 成 一 件 事 第 2 类办法中 有 m2 种不同的方法 „„ 第 n 类办法中 有 mn 种不同的方法 N＝m1＋m2＋…＋mn
概念形成 （一）分类计数原理 （又叫：加法原理）
如果计数的对象可以分成若干类，使得每两类没有
问题3 由 A 地去 C 地，中间必须经过 B 地，且已知由 A地到 B 地有 3 条路可走，再由 B 地到 C 地有 2 条路可 走，那么由 A 地经 B 到 C 地有多少种不同的走法？ a1 b1 B C a2 A b2 a
3
问题(1)：本题中要完成一件什么事？ 问题(2)：由 A 地去 C 地有 2 个步骤， 第一步：由 A 地到 B 地，有 3 种不同的走法； 第二步：由 B 地到 C 地，有 2 种不同的走法． 问题(3)：完成这件事有多少种不同的方法？
公共元素，则分别对每一类里的元素计数，然后把各类 的元素数目相加，便得出所要计数的对象的总数。
“分类”注意点：类类独立，不重不漏
小试牛刀
我们班有男生7 人，女生34人，现要求我们班选派一
人去参加某项活动，问有多少种不同的选法？
解 根据分类计数原理，不同的选法一共有：
N＝7＋34＝41(种)
问题情境
思考与讨论
你能归纳得到分类计数原理和分步计数
原理的共同点和不同点吗？
两个计数原理
分类加法计数原理 共同点 分步乘法计数原理
用来计算“完成一件事”的方法种数
分类完成 类类相加 分步完成 步步相乘
步步相依 类类独立 不同点 （每一类方案中的每一 （每步依次完成才算完成这 种方法都能独立完成这 件事，每步中的每一种方法 不能独立完成这件事） 件事）
第七位
第八位
10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
× 10 =10７
变１： 0~9这十个数字一共可以组成多少个七位数？ （允许数字重复）
百万 十万 万 千 百 十 个
9
×
10
× 10 ×
10 ×
10
×
10
×10=
9×10６
典型例题
变１： 0~9这十个数字一共可以组成多少个七位数？ （允许数字重复）
第 1 类，从上层 15 本数学 书任取一本，有 15 种取法 第 2 类，从中层 18 本语文 书任取一本，有 18 种取法 第 3 类，从下层 7 本物理 书任取一本，有 7 种取法 N＝15＋18＋7 ＝40(种)
任 取 一 本 书
典型例题
例1 书架上层有不同的数学书15本，中层有不同的语文书18本， 下层有不同的物理书7本. （1）现从中任取一本书，问有多少种不同的取法？ （2）现从中取出数学、语文、物理书各一本，问有多少种不 同的取法？
百万 十万 万 千 百 十 个
9
10
10
10
10
10
10 = 9×10６
变２： 0~9这十个数字可组成多少数字不重复的七位数？
百万 十万 万 千 百 十 个
９
×
９
× ８×
７× ６ × ５
×
４=544320
课堂练习
1．在100件产品中，有97件合格品，3件次品， （1）从中抽取一件来检查，共有多少种抽取方法？ （2）从中抽取2件来检查，恰有1件是次品的抽取方法有多
要完成一件什么事
如何完成这件事
方法的分类
过程的分步
利用加法原理进行计数
利用乘法原理进行计数
典型例题 例2：诸暨市的电话号码由8位数码，其中从左边算起的第一位
只用8，其余7为可以从10个自然数0，1，„ „9中任取，允许 数字重复，试问：该城市最多可以装电话多少门？
第一位
第二位
第三位
第四位
第五位
第六位
少种？
2. 某城市的电话号码由8位数字组成，其中从左边算起的第 一位只用2或6或8，其余7为可以从10个自然数0，1，… …9中任取，允许数字重复，试问：该城市最多可以装电话 多少门？
1.本节课学习了哪些主要内容？
2.你如何来判别使用哪个计数原理？
分类加法计数原理 共同点
分步乘法计数原理
用来计算“完成一件事”的方法种数
汽车 所以从诸暨到杭州共有
2＋4＝6种方法。
问题情境
问题2 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教 室里的座位编号，可以编出多少个不同的号码？
问题剖析 要完成什么事？ 完成这件事有几类不同的办法？ 每类办法中又有几种方法？ 完成这件事共有多少种不同的方法？
两类
26种 10种 26+10=36种
概念形成 （一）分类计数原理 （又叫：加法原理）
解 3 × 2＝6 (种)．
概念形成 （二）分步计数原理 （又叫：乘法原理）
有 n 个步骤成 → 一 → 种 → 种 → „ 不 不 件 同 同 事 的 的 方 方 法 法
第 n 步 有 mn 种 → N = m1 × m2 × „ × mn 不 同 的 方 “分步”注意点： 法
步步相依，步骤完整
小试牛刀
我们班有男生7 人，女生34人，现要求我们班 选派男女生各一人去参加某项活动，问有多少种 不同的选法？ 有2个步骤 第 1 步，从7名男生中任取 一人，有 7 种取法 N＝7×34＝238(种)． 第 2步，从34名女生中任取 一人，有 34种取法
共有多少种不同的取法
各 取 一 人
注意点 类类独立，不重不漏
步步相依，步骤完整
典型例题
例1 书架上层有不同的数学书 15 本，中层有不同的语文 书 18 本，下层有不同的物理书 7 本.
（1）现从中任取一本书，问有多少种不同的取法？ （2）现从中取出数学、语文、物理书各一本，问有多少种 不同的取法？ 共有多少种不同的取法 有三类取法
有三个步骤
共有多少种不同的取法
第 3 步， 从下层 7 本 物 理书任 取一本 , 有 7 种 取 法 .
各 取 一 本 书
第 1 步， 从上层 15本数 学书任 取一本 , 有15种 取法；
第 2 步， 从中层 18本语 文书任 取一本 , 有18种 取法；
N＝15×18×7＝1890
解答计数问题的一般思维过程：
分类完成 类类相加 分步完成 步步相乘
步步相依 类类独立 不同点 （每一类方案中的每一 （每步依次完成才算完成这 种方法都能独立完成这 件事，每步中的每一种方法 不能独立完成这件事） 件事）
注意点 类类独立，不重不漏
步步相依，步骤完整
练习册 P 166
概 率
统计 概率
统计
问题情境
问题1 从诸暨去杭州，可以乘火车，也可以乘汽车.某 一时段，火车有 2 班，汽车有 4 班，那么这一时段乘坐
这些交通工具从诸暨到杭州有多少种不同的选择？
火车 诸暨 分析： 从诸暨到杭州有2类方法：
杭州
第一类，乘火车，有2种方法
第二类，乘汽车，有4种方法
有n 类办法 共有多少种不同的方法
第 1 类办法中 有 m1 种不同的方法 完 成 一 件 事 第 2 类办法中 有 m2 种不同的方法 „„ 第 n 类办法中 有 mn 种不同的方法 N＝m1＋m2＋…＋mn
概念形成 （一）分类计数原理 （又叫：加法原理）
如果计数的对象可以分成若干类，使得每两类没有
问题3 由 A 地去 C 地，中间必须经过 B 地，且已知由 A地到 B 地有 3 条路可走，再由 B 地到 C 地有 2 条路可 走，那么由 A 地经 B 到 C 地有多少种不同的走法？ a1 b1 B C a2 A b2 a
3
问题(1)：本题中要完成一件什么事？ 问题(2)：由 A 地去 C 地有 2 个步骤， 第一步：由 A 地到 B 地，有 3 种不同的走法； 第二步：由 B 地到 C 地，有 2 种不同的走法． 问题(3)：完成这件事有多少种不同的方法？
公共元素，则分别对每一类里的元素计数，然后把各类 的元素数目相加，便得出所要计数的对象的总数。
“分类”注意点：类类独立，不重不漏
小试牛刀
我们班有男生7 人，女生34人，现要求我们班选派一
人去参加某项活动，问有多少种不同的选法？
解 根据分类计数原理，不同的选法一共有：
N＝7＋34＝41(种)
问题情境
思考与讨论
你能归纳得到分类计数原理和分步计数
原理的共同点和不同点吗？
两个计数原理
分类加法计数原理 共同点 分步乘法计数原理
用来计算“完成一件事”的方法种数
分类完成 类类相加 分步完成 步步相乘
步步相依 类类独立 不同点 （每一类方案中的每一 （每步依次完成才算完成这 种方法都能独立完成这 件事，每步中的每一种方法 不能独立完成这件事） 件事）
第七位
第八位
10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
× 10 =10７
变１： 0~9这十个数字一共可以组成多少个七位数？ （允许数字重复）
百万 十万 万 千 百 十 个
9
×
10
× 10 ×
10 ×
10
×
10
×10=
9×10６
典型例题
变１： 0~9这十个数字一共可以组成多少个七位数？ （允许数字重复）
第 1 类，从上层 15 本数学 书任取一本，有 15 种取法 第 2 类，从中层 18 本语文 书任取一本，有 18 种取法 第 3 类，从下层 7 本物理 书任取一本，有 7 种取法 N＝15＋18＋7 ＝40(种)
任 取 一 本 书
典型例题
例1 书架上层有不同的数学书15本，中层有不同的语文书18本， 下层有不同的物理书7本. （1）现从中任取一本书，问有多少种不同的取法？ （2）现从中取出数学、语文、物理书各一本，问有多少种不 同的取法？
百万 十万 万 千 百 十 个
9
10
10
10
10
10
10 = 9×10６
变２： 0~9这十个数字可组成多少数字不重复的七位数？
百万 十万 万 千 百 十 个
９
×
９
× ８×
７× ６ × ５
×
４=544320
课堂练习
1．在100件产品中，有97件合格品，3件次品， （1）从中抽取一件来检查，共有多少种抽取方法？ （2）从中抽取2件来检查，恰有1件是次品的抽取方法有多
要完成一件什么事
如何完成这件事
方法的分类
过程的分步
利用加法原理进行计数
利用乘法原理进行计数
典型例题 例2：诸暨市的电话号码由8位数码，其中从左边算起的第一位
只用8，其余7为可以从10个自然数0，1，„ „9中任取，允许 数字重复，试问：该城市最多可以装电话多少门？
第一位
第二位
第三位
第四位
第五位
第六位
少种？
2. 某城市的电话号码由8位数字组成，其中从左边算起的第 一位只用2或6或8，其余7为可以从10个自然数0，1，… …9中任取，允许数字重复，试问：该城市最多可以装电话 多少门？
1.本节课学习了哪些主要内容？
2.你如何来判别使用哪个计数原理？
分类加法计数原理 共同点
分步乘法计数原理
用来计算“完成一件事”的方法种数
汽车 所以从诸暨到杭州共有
2＋4＝6种方法。
问题情境
问题2 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教 室里的座位编号，可以编出多少个不同的号码？
问题剖析 要完成什么事？ 完成这件事有几类不同的办法？ 每类办法中又有几种方法？ 完成这件事共有多少种不同的方法？
两类
26种 10种 26+10=36种
概念形成 （一）分类计数原理 （又叫：加法原理）
解 3 × 2＝6 (种)．
概念形成 （二）分步计数原理 （又叫：乘法原理）
有 n 个步骤成 → 一 → 种 → 种 → „ 不 不 件 同 同 事 的 的 方 方 法 法
第 n 步 有 mn 种 → N = m1 × m2 × „ × mn 不 同 的 方 “分步”注意点： 法
步步相依，步骤完整
小试牛刀
我们班有男生7 人，女生34人，现要求我们班 选派男女生各一人去参加某项活动，问有多少种 不同的选法？ 有2个步骤 第 1 步，从7名男生中任取 一人，有 7 种取法 N＝7×34＝238(种)． 第 2步，从34名女生中任取 一人，有 34种取法
共有多少种不同的取法
各 取 一 人
注意点 类类独立，不重不漏
步步相依，步骤完整
典型例题
例1 书架上层有不同的数学书 15 本，中层有不同的语文 书 18 本，下层有不同的物理书 7 本.
（1）现从中任取一本书，问有多少种不同的取法？ （2）现从中取出数学、语文、物理书各一本，问有多少种 不同的取法？ 共有多少种不同的取法 有三类取法
有三个步骤
共有多少种不同的取法
第 3 步， 从下层 7 本 物 理书任 取一本 , 有 7 种 取 法 .
各 取 一 本 书
第 1 步， 从上层 15本数 学书任 取一本 , 有15种 取法；
第 2 步， 从中层 18本语 文书任 取一本 , 有18种 取法；
N＝15×18×7＝1890
解答计数问题的一般思维过程：
分类完成 类类相加 分步完成 步步相乘
步步相依 类类独立 不同点 （每一类方案中的每一 （每步依次完成才算完成这 种方法都能独立完成这 件事，每步中的每一种方法 不能独立完成这件事） 件事）
注意点 类类独立，不重不漏
步步相依，步骤完整
练习册 P 166