计数原理(最全面的方法汇总)
计数原理知识点
计数原理知识点一、分类加法计数原理1. 原理内容- 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N = m + n种不同的方法。
- 推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m_1种不同的方法，在第2类方案中有m_2种不同的方法，……，在第n类方案中有m_n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m_1 + m_2+·s+m_n种不同的方法。
2. 特点- 各类办法之间相互独立，都能独立地完成这件事，且各类方法中的每种方法也相互独立。
3. 示例- 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。
一天中，火车有3班，汽车有2班。
那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有3 + 2=5种不同的走法。
二、分步乘法计数原理1. 原理内容- 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N = m× n种不同的方法。
- 推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m_1种不同的方法，做第2步有m_2种不同的方法，……，做第n步有m_n种不同的方法，那么完成这件事共有N = m_1× m_2×·s× m_n种不同的方法。
2. 特点- 各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。
3. 示例- 从甲地到丙地，要先从甲地到乙地，再从乙地到丙地。
从甲地到乙地有3条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，那么从甲地到丙地共有3×2 = 6种不同的走法。
三、排列与组合的基本概念1. 排列- 定义：从n个不同元素中取出m(m≤ n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
- 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤ n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A_{n}^m。
- 排列数公式：A_{n}^m=(n!)/((n - m)!)=n(n - 1)(n - 2)·s(n - m+1)，其中n!=n×(n - 1)×(n - 2)×·s×2×1，规定0!=1。
计数原理知识点
计数原理知识点1. 什么是计数原理？计数原理是指在数字系统中，通过一组逻辑电路和时钟信号来完成对输入信号的计数功能。
计数原理在数字电路、计算机科学和通信工程等领域中被广泛应用。
2. 二进制计数在计数原理中，最基本的计数方式是二进制计数。
二进制计数是一种以2为基数的计数系统，只包含两个数字0和1。
它是现代计算机系统中最基本的计数方式，因为计算机内部的数字电路使用的是二进制编码。
在二进制计数中，每一位的权值为2的幂。
例如，一个3位的二进制数可以表示的最大值是7，是因为：2^0 * 1 + 2^1 * 1 + 2^2 * 1 = 1 + 2 + 4 = 73. 计数器计数器是实现计数功能的重要组件。
它是一种时序电路，可以根据时钟信号来逐步改变输出状态，以实现计数的目的。
计数器有多种类型，其中最简单的是二进制计数器，它可以按照二进制方式计数。
除此之外，还有BCD计数器、同步计数器、触发器计数器等等。
4. 硬件计数器硬件计数器是一种专门的数字电路，用于实现计数功能。
它由触发器和逻辑门构成，可以根据时钟信号和输入信号来进行计数操作。
硬件计数器通常由多个触发器级联而成，每个触发器代表一位的计数。
例如，一个4位的硬件计数器可以用4个触发器来表示。
硬件计数器可以实现正向计数和逆向计数，而且可以自由设置起始值和终止值。
它可以应用于时序控制、频率分析、数据采样等领域。
5. 软件计数器软件计数器是在程序中实现的计数器。
与硬件计数器不同，软件计数器是通过编程来实现的。
在编程语言中，通常使用循环语句来实现计数功能。
例如，在C语言中，可以使用for循环来进行计数操作。
软件计数器可以灵活地控制计数的步长、起始值和终止条件。
它可以方便地应用于各种算法和数据处理任务。
6. 计数原理的应用计数原理的应用非常广泛，不仅仅局限于数字电路和计算机科学中。
在通信工程中，计数原理可以用于数据传输的控制和同步。
例如，可以使用计数器来实现数据包的计数和时钟同步。
高中数学：《计数原理》(理)知识点串讲
《计数原理》（理）知识点串讲一、基本计数原理1．分类加法计数原理做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的办法，在第二类办法中有2m 种不同的办法，…在第n 类办法中有n m 种不同的办法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的办法．2．分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方法，…，做第n 个步骤有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．说明：①分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成．②两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关，如果完成一件事情有n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事情，可类比物理中的“并联”电路来理解；如果完成一件事情需要分成n 个步骤，各个步骤都是相依的、不可缺少的，一个步骤只能完成事情的一部分，必须依次完成所有的步骤，才能完成这件事情，可类比物理中的“串联”电路来理解．③运用两个基本原理解题时，应善于从语言的差异与变化中弄清面临怎样的“一件事”，弄清事件之间的关系是相依还是相斥，然后按照恰当的“对象”进行分类或分步，合理的设计相应的做事方式．分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”．这两个原理是解决排列组合问题的理论基础．二、排列与组合1．排列一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．说明：①排列的定义中包括两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定的顺序排列”．②只有取出的元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素不完全相同，或元素完全相同而顺序不同的排列属于不同排列．如1，2，3与2，3，4是不同排列；1，2，3与1，3，2也是不同排列．③排列中元素的有序性是判断一个具体问题是不是排列问题的标准，也是与组合问题的根本区别．例如：从1，2，3，5这四个数中每次任取两个数相加（或相乘），可得到多少个不同的和（积）？因为加法（乘法）满足交换律，它们的和（积）与顺序无关，如3+5=5+3，因此不是排列问题．如果从四个数中任取两个数相减（相除），一共有多少个不同的差（商）？因为减法（除法）不满足交换律，35355353⎛⎫-≠-≠ ⎪⎝⎭，取出的两个数就与顺序有关了，属于排列问题．2．排列数（1）定义：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的排列数，用符号mn A 表示．说明：排列和排列数是两个不同的概念：一个排列是取出的m 个元素按照一定顺序排成的一个具体的排列，是具体的“一件事”；排列数是一个数，是所有的具体排列的数目． 如：从1、2、3中每次任取出两个元素，组成一个两位数．所有的排列有12，13，23，21，31，32．其中每一个数都是一个排列，而排列数是236card()A B ==，{}121323213132B ，，，，，．（2）排列数公式：!(1)(2)(1)()()!m n n A n n n n m n m m n n m =---+=∈N -，，≤． 说明：规定0!1=；乘积形式多用于数字计算，阶乘形式多用于证明恒等式；排列数性质：11m m n n A nA --=；111m m m n n n A mA A ---=+．3．组合一般地，从n 个不同元素中，任意取出()m m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的组合．说明：如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何都是相同的组合．组合的定义中包含两个基本内容：一是取出元素；二是并成一组，并成一组表示将元素合在一起与元素取出的顺序无关．取出的元素是否有顺序，是区分排列和组合的根本依据．4．组合数（1）定义：从n 个不同元素中，任意取出()m m n ≤个元素的所有的组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的组合数，用符号C m n 表示．（2）组合数公式(1)(1)C !m n n n n m m --+=，C m m n n m mA A =． 5．组合数的性质性质1：C C m n m n n -=；性质112:C C C m m m n n n -+=+． 说明：性质1突出了从n 个不同元素中取出m 个元素与从n 个不同元素中取出n m -个元素是一一对应关系，当2n m <时，不计算C m n 而改为计算C n m n -．性质2中注意它的变形公式的应用，如1212(1)C C C (1)m m m n n n n n n m m m -----==-，11C C mm n n m n --=等．6．解排列组合问题的方法（1）先要判断是组合问题还是排列问题，按照元素的性质分类，按照事件的发生过程分步，不重不漏．借助树形图，框图等形的工具直观帮助解题．总体上有三种方法：直接法（先安排特殊元素和特殊位置），间接法（正难则反），分类讨论法．（2）排列组合问题的16字方针，12个技巧．方针是：分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合；技巧是：相邻问题捆绑法（莫忘松绑），不相邻问题插空法，多排问题直排法，定序问题可能法，定位问题优先法，有序分配问题先整体后局部分步法，多元问题分类法，构造模型处理法，至少、至多问题间接法，选排问题先选后排法，局部与整体问题排除法，复杂问题转化法．（3）分组问题的求法：设有m n 个元素，平均分成n 组，每组m 个，则有(1)(2)C C C C mm m mm n n m n m mnn A --种分法；平均分成n 组，再分配到n 个位置，有(1)(2)C C C C mm m m mn n m n m m--种分法．若不平均分组或不平均分组再分配，如：6个元素分成3组，一组1个，二组2个，三组3个，则有123653C C C ；若再将这3组分配给3个位置，则有12336533C C C A 种分法．三、二项式定理1．二项展开式在011222()C C C C C n n n n r n r r n n n n n n na b a a b a b a b b ---+=++++++中，右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，其中各项的系数C (012)r n r n =，，，，叫做二项式系数．式中的C r n r r n a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项；1r n r r r n T C a b -+=（0r n ≤≤，r ∈N ，n +∈N ），此公式称为二项展开式的通项公式． 说明：①其右端展开式共有1n +项．②通项公式1(0)r n r r r n T C a b r n r n -++=∈∈N N ，，≤≤表示的是第1(0)r r n +≤≤项．③a 与b 的位置不能互换，对于任意实数a 与b ，上面的等式恒成立．④二项式系数指01r n n n n n C C C C ，，，，，，二项展开式的系数与a b ，前面的系数有关．2．杨辉三角杨辉三角是我国古代数学的研究成果，它给我们提供了一种研究问题的数学模型，从不同的角度观察研究模型，就可以得到二项式系数的性质：一是对称性，结合公式m n m n n C C -=理解；二是增减性与最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，最大为2nnC ；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n n n C C -+=；三是各项的二项式系数的和等于2n ，即012r n n n n n n C C C C +++++=，它表明集合S 含有n 个元素，那么它的所有的子集（包括空集）的个数为2n 个．另外，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即1350242n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．3．二项展开式的应用（1）利用通项公式1(0)r n r r r n T C a b r n r n -++=∈∈N N ，，≤≤求指定项、特征项（常数项，有理项等）或特征项的系数．（2）近似计算，当a 与1相比较很小且n 不大时，常用近似公式(1)1n a na ±≈±，使用公式时要注意a 的条件以及对计算精确度的要求．（3）整除性问题与求余数问题，对被除式进行合理的变形，把它写成恰当的二项式的形式，使其展开后的每一项含有除式的因式或只有一、二项不能整除．（4）求展开式的各项的系数和，对形如()n ax b +，2()()n ax bx c a b c ++∈R ，，的式子求其展开式的各项的系数和常用赋值法，即只需令1x =即可，奇数项的系数和为(1)(1)2f f +-，偶数项的系数和为(1)(1)2f f --． （5）最大系数与系数最大项的求法，如求()()nax b a b +∈R ，，展开式的系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式的各项系数分别为121n A A A +，，，，设第r 项的系数最大，应有11r r r r A A A A -+⎧⎨⎩，，≥≥，由此解出r 即可．。
(完整版)计数原理知识点、题型小结doc
第一章、计数原理知识点小结一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.分类计数原理－加法原理：如果完成一件事有 不同的方案，由第1类方案中有1m 种方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，种方法类方案中有第n m n 那么，完成这件工作共有 种不同的方法.2.分步计数原理－乘法原理：完成一件事需要 步骤，完成第1步有1m 种不同的方法，完成第2步有2m 种不同的方法，，种方法步中有第n m n 那么，完成这件工作共有 种不同方法。
3.两种方法的区别与联系：4.用两个计数原理解决计数问题时，需要注意的问题有哪些？最重要的是在开始计算之前进行仔细分析，弄清楚是一件什么事，正确选择是先分类还是先分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要做到“步骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任务. 分步后要计算每一步的方法数，把每一步的方法数相乘，得到总数。
5.常用的方法有：填空法，使用时注意：6.常见的题型：（1）有关数字排列问题例1：由数字4,5,6,7组成的所有的不重复的三位数的个数为?（可以重复的三位数字又有多少个呢？）变式1:由0,1,2,3,4,5,6，这七个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？小结：（2）形如n m m n 和的问题。
例2：5名学生从3项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方法？变式1：若5名学生争夺3项比赛冠军（每一名学生参赛项目不限），则冠军获得者有几种不同的情况（没有并列冠军）小结：（3）涂色问题 4块（ABCD ）涂色要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案？变式：将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不同，则有多少种不同的涂色方法？小结：1.排列的定义：一般地，从n 个 元素中取出m （ ）个元素，按照一定的 排成一排，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列.2.排列问题有何特点？什么条件下是排列问题？3.排列数的定义：从 个 元素中取出 （n m ）个元素的 的个数，叫做从n个不同元素取出m 元素的排列数，用符合 表示.4.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （n m ）个元素的排列数 m n A5.全排列：从n 个不同元素中 取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，用公式表示为 n n A6.n 的阶乘定义： 用 表示。
计数原理知识点
计数原理知识点计数原理是数学中的一个重要分支，它主要研究如何计算完成一件事情的方法数。
计数原理包括分类加法计数原理和分步乘法计数原理，这两个原理是解决计数问题的基础。
分类加法计数原理是指，如果完成一件事有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
比如说，从甲地到乙地，可以坐火车、汽车或者飞机。
如果坐火车有 3 种车次可选，坐汽车有 2 种路线可选，坐飞机有 4 种航班可选，那么从甲地到乙地一共有 3 ＋ 2 ＋ 4 ＝ 9 种不同的交通方式可供选择。
这个原理的关键在于“分类”，各类办法之间相互独立，每一类办法中的每一种方法都能独立完成这件事。
分步乘法计数原理则是指，如果完成一件事需要 n 个步骤，做第 1步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法，……，做第 n步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1 × m2 × … × mn种不同的方法。
举个例子，从 A 城市到 C 城市需要经过 B 城市中转。
从 A 到 B 有3 条路可走，从 B 到 C 有 2 条路可走，那么从 A 经过 B 到 C 城市一共有 3 × 2 ＝ 6 条不同的路线。
这里的重点是“分步”，每一步都不能单独完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成。
在实际应用中，我们常常需要综合运用这两个原理来解决问题。
比如，安排一场会议，需要确定会议的时间、地点和议程。
假设确定会议时间有 3 种选择，地点有 2 种选择，议程有 4 种安排方式。
那么总的安排方案数就是先根据分类加法计数原理，分别计算时间、地点和议程的选择数，然后再根据分步乘法计数原理，将它们相乘，即 3 × 2 × 4 ＝ 24 种。
计数原理知识点
计数原理知识点计数原理是数字电路中的重要基础知识，它涉及计数器、时序电路等概念。
在数字系统和计算机中，计数和计时是必不可少的功能。
本文将介绍一些计数原理的基本知识点。
1. 二进制计数系统二进制是一种计数系统，它由0和1两个数字组成。
在二进制计数系统中，每个数字位置上的权重是2的幂次方。
例如，二进制数1101表示的是1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 13。
2. 计数器计数器是一种用于计数的电路。
它可以根据输入信号的触发来递增或递减其计数值。
计数器通常由触发器和逻辑门构成。
•触发器是用于存储和传输信息的元件。
常见的触发器有D触发器、JK触发器等。
•逻辑门用于控制触发器的工作状态。
常见的逻辑门有与门、或门、非门等。
计数器可以实现多种计数模式，如二进制计数、BCD码计数、循环计数等。
3. 摩尔斯电码计数器摩尔斯电码计数器是一种特殊的计数器，它可以将输入的二进制码转换为摩尔斯电码。
摩尔斯电码是一种用于通信的编码方式，由点（.）和划（-）组成。
摩尔斯电码计数器通常由三个触发器和逻辑门构成。
根据输入的二进制码，计数器可以输出摩尔斯电码。
例如，输入二进制码1011，计数器可以输出摩尔斯电码. …. .-.. .-..。
4. 时序电路时序电路是一种根据时钟信号来控制时序行为的电路。
它通常由时钟、触发器和逻辑门构成。
时序电路可以实现复杂的计时和控制功能。
时序电路可用于实现各种计数器、计时器和状态机等。
它在数字系统和计算机中的应用广泛。
5. 时钟信号时钟信号是时序电路中的重要信号之一。
它用来控制触发器和逻辑门的状态变化。
时钟信号通常是一个周期性方波信号，其频率和占空比决定了电路的工作频率和时序特性。
时钟信号的频率越高，电路的响应速度越快；而占空比的变化可以用来控制电路的工作时间和空闲时间。
时钟信号的设计和优化对于实现高性能的时序电路至关重要。
总结计数原理是数字电路中的重要知识，它涉及二进制计数系统、计数器、摩尔斯电码计数器、时序电路等概念。
计数原理的知识总结
计数原理的知识总结
计数原理是概率论中的一个基本原理，用于求解问题中的可能性个数。
它是指通过对问题中的各个部分进行分析和计算，然后将结果相乘得到最终的可能性个数。
计数原理主要包括两个基本规则：乘法法则和加法法则。
1. 乘法法则：如果一个实验可以分为几个相互独立的部分，且每个部分都有若干种可能性，那么整个实验的可能性个数等于各个部分的可能性个数的乘积。
例如，一个班级有5个男生和4个女生，要从中选出一名男生和一名女生作为班级代表，那么男生的选择有5种可能性，女生的选择有4种可能性，根据乘法法则，代表的选择有5*4=20种可能性。
2. 加法法则：如果一个实验可以通过几种不同的方式完成，且这些方式是互不相交的，那么整个实验的可能性个数等于各种方式的可能性个数的和。
例如，一个班级有5个男生和4个女生，要从中选出一名代表，可以选择男生或女生，男生的选择有5种可能性，女生的选择有4种可能性，根据加法法则，代表的选择有5+4=9种可能性。
计数原理在概率论和组合数学中有着广泛的应用。
它可以用于解决排列组合、概率计算、图论等各种问题，如排列、组合、抽样、二项式定理等。
通过运用计数
原理，我们可以更好地理解和解决各种概率和组合问题。
1.1.1,2,3计数原理
方法1：3*2[2*2+（2+1）]=42
变式一： 在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为 1,2,3,4的四个品种的小麦,但1号地不能种1号小麦,2 号地不能种2号小麦,3号地不能种3号小麦, 4号地不 能种4号小麦，那么有多少种不同的试种方案? N=9
抽卡问题方法1：3*3=9 方法2：4*3*2*1-4*2（1种相同）-6（2种相同）-1（4种相同）=9
方法2: 3*2*2*2*2-3*2*1*1*1=42
变式二： 5人写贺卡后，重新抽卡，自己不能拿自 己写的卡，那么有多少种不同的抽卡方案?
N=44
抽卡问题方法：4*（2+3*3）=44
涂
色
问
题
作业1（03全国）：一个地区分为5个行政区域， 现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜 色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方 法有多少种?(以数字回答)
火车1 汽车1
甲
火车2 火车3
乙
汽车2
丙
解:
从甲地经乙地去丙地有2步, 第一步, 由甲地去乙地有3种方法, 第二步, 由乙地去丙地有2种方法, 所以 从甲地经 乙地去丙地共 3 ×2 = 6 种不同的方法。
字母
A
Байду номын сангаас
数字 得到的号码 A1 问题2.2： 用前6个 1 大写英文字母和 A2 2 1～9九个阿拉伯数 A3 字，以A1，A2，· · · ， 3 B1，B2，· · · 的方式 A 4 4 给教室里的座位编 A5 5 号，总共能编出多 少个不同的号码？ A 6 6
2010年夏季在南非举行的第十
九届世界杯足球赛共有32支队伍参 决出16强，这16强按确定的程序进 行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外
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计数原理（排列组合）插空法，挡板法，捆绑法，优选法，平均分配问题等例题精选+练习一、挡板法（插板法、隔板法、插刀法）将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为挡板法。
(1)例题解读【例1】共有10完全相同的球分到5个盒里，每个盒至少要分到一个球，问有几种不同分法？解析：我们可以将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空隙，现在我们用4个档板”插入这9个空隙中，就“把10个球隔成有序的5份，每个盒子依次按盒子序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个、5个），这样，借助于虚拟“档板”就可以把10个球分到了5个班中。
【基本题型的变形（一）】题型：有n个相同的元素，要求分到m组中，问有多少种不同的分法？解题思路：这种问题是允许有些组中分到的元素为“0”，也就是组中可以为空的。
对于这样的题，我们就首先将每组都填上1个，这样所要元素总数就m个，问题也就是转变成将（n+m）个元素分到m组，并且每组至少分到一个的问题，也就可以用插板法来解决。
【例2】有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法.A．35 B．28 C．21 D．45解答：题目允许盒子有空，则需要每个组添加1个，则球的总数为8+3×1=11，此题就有C （10，2）=45（种）分法了，选项D为正确答案。
【基本题型的变形（二）】题型：有n个相同的元素，要求分到m组，要求各组中分到的元素至少某个确定值S（s＞1，且每组的s值可以不同），问有多少种不同的分法？解题思路：这种问题是要求组中分到的元素不能少某个确定值s，各组分到的不是至少为一个了。
对于这样的题，我们就首先将各组都填满，即各组就填上对应的确定值s那么多个，这样就满足了题目中要求的最起码的条件，之后我们再分剩下的球。
这样这个问题就转变为上面我们提到的变形（一）的问题了，我们也就可以用插板法来解决。
【例3】15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？解析：编号1：至少1个，符合要求。
编号2：至少2个：需预先添加1个球，则总数-1编号3：至少3个，需预先添加2个，才能满足条件，后面添加一个，则总数-2则球总数15-1-2=12个放进3个盒子里所以C（11，2）=55（种）（2）练习强化1.现有10个相同的篮球全部分给7个班级，每班至少一个，问共有多少种不同的分发？842.某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。
问一共有多少种不同的发放方法？（C） A.7 B.9 C.10 D.123.有9颗相同的糖，4天吃完，每天至少吃一颗，有多少种吃法？564.有9颗相同的糖，4天内吃完，共有多少种吃法？2865.方程x+y+z=10的正整数解有36组.6.方程x+y+z=10的自然数解有55组.二、插空法插空法就是对于解决某几个元素要求不相邻的问题时，先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置。
首要特点就是不相邻。
（1）例题解读1. 数字问题【例】把1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1，2不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种？解析：本题直接解答较为麻烦，因为可先将3，4，5三个元素排定，共有种排法，然后再将1，2插入四个空位共有种排法，故由乘法原理得，所有不同的五位数有2. 节目单问题【例】在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？解析：-o - o - o - o - o - o - 六个节目算上前后共有七个空位，那么加上的第一个节目则有种方法；此时有七个节目，再用第二个节目去插八个空位有种方法；此时有八个节目，用最后一个节目去插九个空位有种方法。
由乘法原理得，所有不同的添加方法为：。
3. 关灯问题【例】一条马路上有编号1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？解析：如果直接解答须分类讨论，故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插七个空位（用不亮的3盏灯去插剩下亮的6盏灯空位，就有7个空位）共有种方法，因此所有不同的关灯方法为种。
4. 停车问题【例】停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？解析：先排好8辆车有种方法，要求空位置连在一起（剩下4个空位在一起，来插入8辆车，有9个空位可以插），将空位置插入其中有种方法。
所以共有种方法。
5. 座位问题【例】3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种类有多少种？解法：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有种。
（2）练习强化1.有7个学生排成一排照相，其中甲和乙不相邻的排法有多少？36002.有4个男生，3个女生排成一排，女生不相邻的排法？14403.高三（1）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不联排，则不同的排法种数是36004．一张节目表上原有3个节目，如果保持这三个节目的相对顺序不变，再添加2个新节目，有多少种安排方法？205.从1-100当中选出3个数互不相邻，请问一共有多少种选法？152096三、捆绑法所谓捆绑法是指在做排列的题目时，解决某些元素相邻(要求在一起)问题常用捆绑法：把相邻元素看作一个整体，再与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列。
（1）例题讲解例题1、A、B、C、D、E五人排成一排，其中A、B两人必须站一起，共有（）种排法。
解析：先将A、B捆绑在一起，共有A22=2种，再用他们的整体和C、D、E在一起排，共有A44=24，共有2*24=48例题2、现有6个不同的球全部放入5个不同的盒子，每个盒子里至少一个球，一共有多少种方法？解答：根据题目要求，则其中一个盒子必须得放2个，其他每个盒子放1个球，所以从6个球中挑出2个球看成一个整体，则有，这个整体和剩下4个球放入5个盒子里，则有。
方法是（2）练习强化1.有7名学生排成一排照相，期中甲乙相邻，有多少种方法？14402.有4名老师被分配到3所学校，每个学校至少一名教师，共有多少种方法？36四、平均分配和部分平均分配问题 (1)例题讲解1.均分无分配对象的问题例题1：把4个人平均分成两组，一共有多少种分法？错误答案：=6错误思路：先从4人中抽取2人作为一组，剩下的再抽取2人作为一组错误原因：在抽取过程中，人为考虑了排列问题，例如先抽取甲乙，剩丙丁和先抽取丙丁，剩甲乙是同一种情况，但答案计算了两次正确思路：先从4人中抽取2人作为一组，剩下的2人作为一组，然后再除以重复的倍数，重复的倍数与分组的数量相关，具体次数是组数的一个全排列题目剖析：学生在第一次接触这种问题时，大部分人都会犯这种错误，主要原因是思维容易受到表象的欺骗而产生错误，而且学生根本注意不到自己所犯的错误，面对这种问题，最好的方式就是让学生通过错误学习。
例题2：把6个人平均分成三组，一共有多少种分法?根据基础题型的解答思路，首先从6个人中抽取2人作为一组，再从剩下的4人中再抽取2人作为一组，剩下的2人作为一组，共有C 62C 42C 22种方法，因为在抽取过程中，存在一个组与组之间的排列问题，即一种分组被重复了A 33次，因此最后答案是:C 62C 42C 22A 33小结：被平均分成了n 组，最终重复了A n n 次。
部分均分问题：现在要把5个人分成3组，每个组至少有1个人，问共有多少种分组方式？ 解析：这种题型属于部分均分问题，即在整个分组问题中，局部会出现平均分配，首先需要先进行分类，一共会出现2种情况，第一种：有两个组有2人，一个组有1人；第二种：有两个组有1人，一个组有3人；分别计算每种情况的数量，再累加。
错误思路：如果是第一种情况，先从5人中抽取2人，再从3人中抽取2人，最后还剩1人，一共分成了3组，因此除以3的阶乘错误原因：把3个组看成了相同的组正确思路：先从5人中抽取2人，再从3人中抽取2人，剩下的一人一组，这个时候只有前面两个分组的数量相同，因此会存在排列问题，只需除以2的阶乘2.均分有分配对象的问题方法：先分再排法。
分成的组数看成元素的个数例题3.把6名学生平均分配到三个班，每班2人，一共有多少种分法?解析：先分组后排序，分步乘法，即（2）练习强化1.共有12本不同的书（1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？（2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？138602.有6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、丙三个人，有多少种不同的分法？903.有 12支笔按3：3：2：2：2分给A 、B 、C 、D 、E 五个人有多少种不同的分法？138600 优选法：对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排确定。
在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。
注意：看特殊，分步、分类，限制完，自由排，注意“0”。
难点：不管是位置优先还是元素优先，都要看清是分类还是分步来解决问题；注意“0”，题目中往往对于“0”有暗含的限制条件。
（2）例题讲解例题1.由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？解析一：利用位置优先方法。
偶数则要求个位为偶数，小于50000则首位要小于5。
:第一步，首先看个位，从2个偶数中选择有C12种选法；第二步，看首位，从个数上已选数字和5之外的数字选，则有 C13种选法；第三步，对于剩下的三个位置没有限制，则可以随意选择剩下的三个数字排上去，则有A33 种选法。
根据乘法计数原则，共有：C12×C13 ×A33=36。
解析二：利用元素优先方法。
第一步，从数字2、4中选一个放在个位上，有C12种选法；第二步，从个数上已选数字和5之外的数字选一个放在首位上，则有 C13种选法；第三步，对于剩下的三个数字没有限制，则可以随意安排到剩下的三个数位上去，则有A33 种选法。
根据乘法计数原则，共有：C12×C13 ×A44=36。
（2）练习强化1.小新、小呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排； 5040（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.720（3）七个人排成一排，小新、小呆必须有一人站在中间.14403333222426.A A C C C（4）七个人排成一排，小新、小呆必须都站在两边.240（5）七个人排成一排，小新、小呆都没有站在边上.2400（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.5040（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、小呆不在同一排。