计数基本原理
常见的计数原理有
常见的计数原理有
1. 加法原理（或称为和法则）：若一件事情可以分为k个步骤，第i个步骤可以有mi种选择，则所有步骤完成的总选择数是m1*m2*...*mk。
例如，有两个餐厅可以选择用餐，每个餐厅都有3种菜单可选，则总共有
3*3=9种选择。
2. 乘法原理（或称为积法则）：若一件事情可以分为k个独立的部分，第i个部分有mi种选择，则完成该事情的总选择数是m1*m2*...*mk。
例如，某班级有3个男生和4个女生，要从中选择一位班长和一位副班长，则总共有3*4=12种选择。
3. 排列：从n个元素中选择r个元素进行排列的方式数，记为A(n,r)。
可使用乘法原理计算，即A(n,r)=n(n-1)(n-2)...(n-r+1)。
例如，从5个人中选择3个人进行排队，可以有A(5,3)=5*4*3=60种方式。
4. 组合：从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数，记为C(n,r)。
计算公式为C(n,r)=A(n,r)/r!，其中n!表示n的阶乘。
例如，从8个人中选择4个人进行分组，可以有C(8,4)=A(8,4)/4!=70种方式。
这些计数原理常用于解决组合数学、概率论等领域的问题。
最新《计数的基本原理》第一课时说课稿
《计数的基本原理》第一课时说课稿《计数的基本原理》第一课时说课稿1各位领导，老师们，下午好，我今天说课的题目是《计数的基本原理》我将从以下几个方面说课。
一、教材分析1、教材的地位和作用计数的基本原理包括分类计数及分步计数原理，这两个原理是学习排列组合的基础,是推导排列数、组合数的重要理论，同时也给出了分析解决排列与组合问题的思维方法。
因此，在整章书中的作用非常重要。
2、教材的重点、难点和关键教学重点：分类计数原理及分步计数原理的区别及应用教学难点：对复杂事件的分类及分步。
二、学情分析和学法指导学情分析：学生基础差，学习主动性差，缺乏学习兴趣。
基于以上情况，我设计了如下的学法指导。
学法指导：从培养学生的兴趣入手，使学生在学习过程中学会观察问题、探究问题，自主归纳总结进而得出结论。
三、教学目标分析根据以上两点，我制定了如下的教学目标：1、知识目标：掌握计数的基本原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
2、能力目标：通过计数基本原理的理解和运用，提高学生分析问题和解决问题的能力，开发学生的逻辑思维能力。
3、情感目标通过各种贴近学生生活的素材，激发学生学习兴趣，培养学生爱国热情.四、教学方法在课堂上，让学生积极主动参与是关键。
正所谓：“学问之道，问而得，不如求得之深固也” 学习任何东西最好的途径是让自己去发现。
本节课采用启发式的教学方法，启发学生积极思考，积极探索，创设一个以学生为主体，教师为主导，师生互动、合作交流、共同探索的教与学的情境。
最后我来具体谈一谈这一堂课的教学过程：根据上述情况，我设计了如下六个环节的教学过程。
五、教学过程1、创设情境——引入课题首先，我会给出以下一组图片激发学生的学习兴趣及爱国热情。
看到图片，有的学生马上脱口而出：“中国女排”。
我说：“对，这正是中国女排在去年的雅典奥运会上夺冠的画面，好，现在假使你是一名统计员，我给出如下比赛规则：分成两个小组，每个小组6支队伍进行循环赛，决出4强，再由这四支对进行淘汰赛，那么请问，夺冠的中国女排总共进行了多少场比赛？这时，学生觉得这个问题很困难。
计数原理-拔高难度-讲义
计数原理知识讲解一、基本计数原理1.加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．2.乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．3.加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 注：分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．典型例题一．选择题（共1小题）1．（2018•蚌埠三模）4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A．24种B．36种C．48种D．60种【解答】解：分两类，第一类，有3名被录用，有=24种，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，有=36，根据分类计数原理，共有24+36=60（种）故选：D．二．填空题（共1小题）2．（2018•梅州二模）某校开设10门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是98．【解答】解：∵A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，第一类A，B，C三门课都不选，有C73=35种方案；第二类A，B，C中选一门，剩余7门课中选两门，有C31C72=63种方案．∴根据分类计数原理知共有35+63=98种方案．故答案为：98．三．解答题（共9小题）3．（2018春•南阳期末）如图所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4，则：（1）以这12个点（包括A，B）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？（2）以这10个点（不包括A，B）中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？其中含点C1的有多少个？【解答】解：（1）构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：①四个点从C1，C2，…，C6中取出，有C64个四边形；②三个点从C1，C2，…，C6中取出，另一个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有C63C61个四边形；③二个点从C1，C2，…，C6中取出，另外二个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有C62C62个四边形．故满足条件的四边形共有N=C64+C63C61+C62C62=360（个）．（2）类似于（1）可分三种情况讨论得三角形个数为C63+C61C42+C62C41=116（个）．其中含点C1的有C52+C51C41+C42=36（个）．4．（2018•江苏）设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……i n，如果当s＜t 时，有i s＞i t，则称（i s，i t）是排列i1i2……i n的一个逆序，排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求f3（2），f4（2）的值；（2）求f n（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．【解答】解：（1）记μ（abc）为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，有μ（123）=0，μ（132）=1，μ（231）=2，μ（321）=3，∴f3（0）=1，f3（1）=f3（2）=2，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f4（2）=f3（2）+f3（1）+f3（0）=5；（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，∴f n（0）=1．逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n（1）=n﹣1．为计算f n+1（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f n+1（2）=f n（2）+f n（1）+f n（0）=f n（2）+n．当n≥5时，f n（2）=[f n（2）﹣f n﹣1（2）]+[f n﹣1（2）﹣f n﹣2（2）]+…+[f5（2）﹣f4（2）]+f4（2）=（n﹣1）+（n﹣2）+…+4+f4（2）=．因此，当n≥5时，f n（2）=．5．（2017秋•涞水县校级期中）有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求：（1）5位同学站成一排，有多少种不同的方法？（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的方法？（3）将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？【解答】解：（1）5位同学站成一排共有=120．（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，先用捆绑排甲乙，再和戊全排，形成3个空，插入丙丁即可．故有=24．（3）人数分配方式有①3，1，1有=60种方法②2，2，1有=90种方法所以，所有方法总数为60+90=150种方法．6．（2017春•宁江区校级期中）三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？【解答】解：（1）女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有A33A66=4320种；（2）女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有A55A63=14400种；（3）两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有A52A66=14400种；（4）男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有A83=336种，（5）三个女生站在前排，五个男生站在后排，A33A55=720种7．（2016•东城区一模）现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能．（Ⅰ）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；（Ⅱ）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；（Ⅲ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．【解答】解：（I）三场比赛共有种方式，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为．（Ⅱ）令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛．按ABC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t1=20+25=45（分钟）．按ACB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t2=20+35=55（分钟）．按BAC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t3=20+25=45（分钟）．按BCA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t4=35+25=60（分钟）．按CAB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t5=35+20=55（分钟）．按CBA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t6=35+25=60（分钟）．且上述六个事件是等可能事件，每个事件发生概率为，所以平均等待时间为，（Ⅲ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少8．（2016春•秀英区校级期末）6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？（只列式，不需计算结果）（1）任何2名女生都不相邻有多少种排法？（2）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？（3）男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？（4）男甲在男乙的左边（不一定相邻）有多少种不同的排法？【解答】解：（1）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A66A74种．（2）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A1010﹣2A99+A88种，（3）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，=A107种，（4）由于男甲要么在男乙的左边，要么在男乙的右边，所以男甲在男乙的左边（不一定相邻）A1010．9．（2016春•九龙坡区校级期中）已知一个袋内有5只不同的红球，6只不同的白球．（1）从中任取4只球，红球的只数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？（3）在（2）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？【解答】解：（1）将取出4个球分成三类情况：①取4个红球，没有白球，C54种；②取3个红球1个白球，C53C61种；③取2个红球2个白球，C52C62种，∴C54+C53C61+C52C62=215种，（2）设x个红球y个白球，，或或．∴符合题意的取法种数有C52C63+C53C62+C54C61=381种．（3）总分为8分，则抽取的个数为红球3个，白球2个，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻，第一步先取球，共有C53C62=150种，第二步，再排，先选2个红球捆绑在一起，再和另外一个红球排列，把2个白球插入，共有A32A22A32=72根据分步计数原理可得，150×72=10800．10．（2016春•江阴市期中）将5个编号为1，2，3，4，5的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子中．（1）有多少种放法？（2）每盒至多一球，有多少种放法？（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？（4）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种方法？（5）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？（6）把5个不同的小球换成5个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？（注意：以上各小题要列出算式后再求值，否则扣分．）【解答】解：（1）本题要求把小球全部放入盒子，∵1号小球可放入任意一个盒子内，有5种放法．同理，2、3、4，5号小球也各有5种放法，∴共有55=3125种放法．（2）每盒至多一球，有A55=120种，（3）∵恰有一个空盒，则这5个盒子中只有4个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、，1，2．先从5个小球中任选2个放在一起，有C25种方法，然后与其余3个小球看成四组，分别放入5个盒子中的4个盒子中，有A45种放法．∴由分步计数原理知共有C25A45=1200种不同的放法．（4）先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有C51=5种情况，例如：5号球放在5号盒子里，其余四个球的放法为（2，1，4，3），（2，3，4，1），（2，4，1，3），（3，1，4，2），（3，4，1，2），（3，4，2，1），（4，1，2，3），（4，3，1，2），（4，3，2，1）共9种，故将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法总数为9C51=45种，（5）不满足条件的情形：第一类，恰有一球相同的放法：C51×9=45，第二类，五个球的编号与盒子编号全不同的放法：5!（﹣+﹣）=44，∴满足条件的放法数为：A55﹣C51×9﹣5!（﹣+﹣）=120﹣45﹣44=31种（6）恰有一个空盒，则这5个盒子中只有4个盒子内有小球，则有一个盒子里有2个小球，故有C51C41=20种放法．11．（2016春•江阴市期中）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的正整数．（1）共有多少个四位数？其中偶数有多少个？（2）比4301大的四位数有多少个？（3））求所有这些四位数之和．注：以上结果均用数字作答．【解答】解：（1）由题意知，因为数字中有0，0不能放在首位，∴先安排首位的数字，从五个非0数字中选一个，共有C51种结果，余下的五个数字在三个位置进行全排列，共有A53种结果，根据分步计数原理知共有A15•A35=300；用0，1，2，3，4，5六个数字组成没有重复数字的四位偶数，则0不能排在首位，末位必须为0，2，4其中之一．所以可分两类，末位为0，则其它位没限制，从剩下的5个数中任取3个，再进行排列即可，共有A53=60个第二类，末位不排0，又需分步，第一步，从2或4中选一个来排末位，有C21=2种选法，第二步排首位，首位不能排0，从剩下的4个数中选1个，有4种选法，第三步，排2，3位，没有限制，从剩下的4个数中任取2个，再进行排列即可，共有12种．把三步相乘，共有2×4×12=96个最后，两类相加，共有60+96=156个（2）当首位是5时，其他几个数字在三个位置上排列，共有A53=60，当前两位是45时，共有A42=4×3=12个，当前两位是43时，共有A42=4×3=12个，去掉4301即可，即有12﹣1=11个．根据分类加法原理得到共有：60+12+12﹣1=83个（3）（1+2+3+4+5）×A53×103+（1+2+3+4+5）×C41A42×（102+10+1）=15×65328=979920。
第一节 计数的基本原理
(2)由分步计数原理可知，不同的选法共有N＝6×3×4＝
72(种)．
典例解析
(3)选两个不同类型的节目，可分为3类： 第1类选歌曲和小品，有6×4＝24(种)选法；第2类选歌曲和 舞蹈，有6×3＝18(种)选法；第3类选舞蹈和小品，有3×4 ＝12(种)选法．由分类计数原理可知，共有不同的选法种数 为N＝24＋18＋12＝54(种)
同步精练
4．已知函数y＝kx＋b，k，b∈{0，1，2，3，4}，则一次
函数的个数是( A )
A．20
B．25
C．16
D．30
【提示】 k不能取0，只能从1，2，3，4中任取一个， 而b没有限制，所以每一个k，对应着5个b，所以一共有 4×5＝20个一次函数．故选A.
同步精练
5．某班排练了5个小品节目，2个舞蹈节目，3个歌曲节 目，从中任选两个不同类型的节目参加学校文艺汇演，有
解：(1)根据分步计数原理得4×5×7＝140(种)． (2)先分类再分步红白，红绿，白绿都可完成任务， 即4×5＋4×7＋5×7＝83(种)．
同步精练
12．(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人 限报一科，有多少种不同的报名方法？
(2)有4名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军，可能有 多少种不同的结果？
(2)第一步：选百位上的数字，从1，2，3，4，5中任 选一个，有5种选法；
第二步：选十位上的数字，从第一步中剩余的4个数 和0中任选一个，有5种选法；
第三步：选个位上的数字，从剩余的4个数中任选一 个，有4种选法；
由分步计数原理可知，共可以组成没有重复数字的三 位数5×5×4＝100(个)．
典例解析
典例解析
②根据分步计数原理，第一步，个位上的数需从1，3，5， 7中选一个数字，有4种选法；第二步，千位上的数需从剩 余的6个非零数字中选一个，有6种选法；百位、十位上依 次有6种和5种选法．故组成没有重复数字的四位奇数共有 N＝4×6×6×5＝720(个)．
计数的基本原理
甲 地
乙 地
分析: 完成由甲地到乙地这件事有三类办法：
第一类办法乘火车，有2种不同走法，
第二类办法乘汽车，有3种不同走法 第三类办法乘轮船，有4种不同走法。
因此，在一天中，此人由甲地到乙地不同的走法 共有 2+3+4=9 种。
计数的基本原理
一、分类计数原理 如果完成一件事，有n类办法。在第1类办法
中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不 同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的 方法，那么完成这件事共有
说明 N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
关键词是“分类”，各类办法之间相互独立,每种 方法都能单独的完成这件事，要计算所有方法种数,只 需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理。
1. 某商业大厦有东、西、南3个大门，某人从一 个门进从另一个门出，共有多少种不同的走法？
N＝3 × 2＝6（种）
2.把3封不同的信投到2个不同的信箱中，共有多少 种不同的投法？
N＝2 ×2×2＝8（种）
练一练
1.用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字
给教室里的座位编号，总共能够编来自多少种不同的号码？这件事情。
每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能单独完成 这件事情，缺少任何一步也 不能完成这件事情，只有每 个步骤都完成了，才能完成 这件事情。
区别三
各类办法是并列的、独立 的
各步之间是相互关联的
作业
如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3 条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙地到丁地 有2条路。从甲地到丁地共有多少种不同地走法？
例1 书架上层有不同的数学书15本，中层有不同的语文书
18本，下层有不同的物理书7本。现要从书架上任取一本书， 问有多少种不同的取法？
计数原理知识点总结高中
计数原理知识点总结高中一、基本原理计数原理的基本原理包括加法原理和乘法原理。
1. 加法原理加法原理是指当一个事件可以分解为几个不相容的部分时，这个事件的总数等于各部分的事件数之和。
加法原理可以用于求解排列组合等问题。
举例: 一个班上有男生20人、女生25人，那么班上的学生总数为20+25=45人。
2. 乘法原理乘法原理是指当一个事件要发生的步骤可以划分为若干个子事件时，这个事件发生的总次数等于各子事件发生次数的乘积。
举例: 要在4x4的格子中按照某种规则走，从左上角到右下角，每一步只能向右或者向下移动，那么一共有6步，每一步有两种选择，那么总共有2^6=64种不同的走法。
二、排列组合排列和组合是计数原理中的两个重要概念，它们是用来计算不同元素的排列和组合的方法。
1. 排列在数学中，排列的定义是指从若干不同的元素中取出一部分进行排列，排列的顺序是有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行排列，共有n(n-1)(n-2)...(n-m+1)种排列，记作A(n,m)。
2. 组合组合是指从若干不同的元素中取出一部分进行组合，组合的顺序是没有意义的。
对于n个元素中取出m个元素进行组合，共有C(n,m) = n!/((n-m)!m!)种组合。
排列和组合在实际问题中有着广泛的应用，比如在组合学、密码学等领域，都会涉及到排列和组合的计算。
因此，掌握排列和组合的相关知识是非常重要的。
三、分配原理分配原理是指把若干个不同的物体分给若干个相异的盒子的方法，它与排列和组合有着密切的联系。
分配原理也是计数原理中的重要内容之一，可以在实际问题中得到广泛的应用。
举例: 有10个苹果和3个盒子，要求将这10个苹果分给这3个盒子，每个盒子至少有一个苹果，求分法的总数。
按照分配原理，将10个苹果放入3个盒子，总共有${{10-1}\choose{3-1}}=36$种不同的分法。
分配原理在实际问题中也有着广泛的应用，比如在计算机科学中的任务调度、网络流量控制等方面都会用到分配原理的相关知识。
计数的基本原理
计数的基本原理计数是我们日常生活中经常会遇到的一个概念，无论是在工作中、学习中，甚至是在日常生活中，我们都会用到计数。
而计数的基本原理，是我们进行计数的前提和基础，了解计数的基本原理对我们正确进行计数具有重要意义。
首先，计数的基本原理包括了两个重要的概念，一是一一对应的原理，二是顺序排列的原理。
一一对应的原理是指，在进行计数时，每一个被计数的对象都要和一个自然数相对应，不能漏掉，也不能重复计数。
这意味着在进行计数时，我们需要对被计数的对象进行逐一对应，确保每一个对象都被正确计数到。
而顺序排列的原理则是指在进行计数时，被计数的对象需要按照一定的顺序进行排列，不能随意打乱顺序。
这两个原理是进行计数的基本前提，也是我们在日常生活中进行计数时必须要遵守的规则。
其次，了解计数的基本原理对我们进行正确的计数具有重要意义。
在工作和学习中，我们经常需要进行数据的统计和计数，而如果我们没有正确理解计数的基本原理，很容易出现错误的统计结果。
比如在进行库存盘点时，如果没有按照一一对应的原理进行盘点，就有可能漏掉一些库存商品；又比如在进行考试成绩统计时，如果没有按照顺序排列的原理进行统计，就有可能造成统计数据的混乱。
因此，了解计数的基本原理对我们进行正确的统计和计数非常重要。
最后，除了在工作和学习中，计数的基本原理也贯穿在我们日常生活的方方面面。
比如在购物时，我们需要对购买的商品进行计数和核对；又比如在做菜时，我们需要对食材进行计数和配比。
了解计数的基本原理，能够帮助我们在日常生活中更加准确地进行计数，避免出现错误和混乱。
总之，计数的基本原理是我们进行计数的基础和前提，了解和遵守计数的基本原理对我们进行正确的计数具有重要意义。
在工作、学习和日常生活中，我们都需要运用计数的基本原理，以确保我们的统计和计数结果准确无误。
希望通过本文的介绍，能够让大家更加深入地了解计数的基本原理，从而在实际应用中运用得更加得心应手。
计数的基本原理
计数的基本原理
计数的基本原理是将某个事件或物体的数量进行统计和计算。
无论是在日常生活中还是科学研究中，计数都是一种常见的方法。
其基本原理可以概括为以下几点：
1. 确定计数单位：在进行计数之前，需要明确确定计数单位。
计数单位可以是个体、组织或者其他可以独立计数的实体。
例如，在统计一群人的数量时，计数单位可以是个人。
2. 进行实际计数：在确定计数单位后，可以通过实际观察、记录或者其他方法进行计数。
实际计数可以是逐个计数，也可以是通过间接测量或抽样方法进行估算。
3. 记录计数结果：将实际计数的结果进行记录。
一般情况下，计数结果可以用数字表示。
记录计数结果的目的是为了更好地理解和分析数据。
4. 分析计数数据：对计数数据进行进一步分析，可以得到有关数量的信息。
通过计数数据的分析，可以发现规律、探索规律背后的原因，并从中获得更深入的认识。
计数的基本原理在各个领域和学科中都有广泛应用。
在数学中，计数是数论的重要内容之一，涉及到各种计数方法和技巧。
在统计学和数据分析中，计数是一种常用的数据描述和分析方法。
在科学研究和工程设计中，计数可以帮助研究人员对实验结果进行准确的统计和计量。
无论是在日常生活中还是专业领域中，计数都是一种重要的基本技能。
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学生宿舍楼两边各有一个上下楼梯。问： 从底楼（一楼）到六楼共有多少种不同的走法？
问题1.小红从职教中心回家，可以乘火车，也可以乘 汽车。一天中，火车有3班，汽车有5班。那么 她乘交通公具回家，有多少种不同的选择？
职教 中心
汽车5班 火车3班
小红家
因为不管是坐汽车，还是坐火车，每一类方 法都能完成从学校到家的这件事，所以共有：
（1）分类：5+4＝9种 （2）分步：5χ4＝20种
2.小红想去商场买上衣、裙子各一件配成一套服装，已知 商场里有15种不同的上衣，10种不同的裙子，则小红可 以配出多少套不同的服装？
说明：关键要弄清要完成的“一件事情”是什么。 不要把“完成一件事情”与“计算完成这件事情的 方法总数”混同.
练习
1.财会2班有4名男生，54名女生。从中任选一名学生 作为学生会干部后选人，有多少种不同的选法？从 中选男、女生各一名到学生会文体部工作，又有多 少种不同和选法？
的语文书,下层放有6本不同的数学书. (1)从书架中取1本书,有多少种不同取法?
(2)从书架中取外语、语文、数学各1本,有多少种 不同取法?
问题剖析 需要完成的事是什么事
（2） 取外、语、数各一本
完成这个事情要分类还是分步
分步：分三步
每类（步）中各有几种不同的方法 各有4、5、6种方法
完成这件事情共有多少种不同的方法 4χ5χ6＝120种
第2步：选裙子，有10种不同的选法
共配：15χ10＝150套不同的服装
练一练
1.学校要开运动会拉！ 径赛有5项：100m、200m、400m、800m、1500m ; 田赛有4项：跳高、跳远、铅球、标枪 ;
（1）我想报名参加一项，有多少种选择方法？ （2）若我想参加径赛、田赛各1项，有多少种选择方法？
(2)从书架中取外语、语文、数学各1本,有多少种 不同取法?
问题剖析 需要完成的事是什么事
（1） 从书架中取一本书
完成这个事情要分类还是分步
分类：三类
每类（步）中各有几种不同的方法 各有4、5、6种方法
完成这件事情共有多少种不同的方法
4+5+6＝15种
例1.书架上层放有4本不同的外语书,中层放有5本不同
生活中的数学
解：设置四位密码可以分为4个步骤完成： 第1步，第一位从0-9十个数字中选一个有10种不同选法 第2步，第二位从0-9十个数字中选一个有10种不同选法 第3步，第三位从0-9十个数字中选一个有10种不同选法 第4步，第四位从0-9十个数字中选一个有10种不同选法
第1步：从1楼到2楼，有2种走法 第2步：从2楼到3楼，有2种走法 第3步：从3楼到4楼，有2种走法 第4步：从4楼到5楼，有2种走法 第5步：从5楼到6楼，有2种走法
由分步计数原理，共有 2×2×2×2×2＝32种不同的走法
例1.书架上层放有4本不同的外语书,中层放有5本不同
的语文书,下层放有6本不同的数学书. (1)从书架中取1本书,有多少种不同取法?
种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法…… 做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：
N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
注意
1）各个步骤相互依存,每一步只能完成事情的一 部份，只有各个步骤都完成了,这件事才完成。
2）将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方 法总数,因此，分步计数原理又称乘法原理。
问题2.从甲地到乙地，有3条道路，从乙地到丙地 有2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有 多少种不同的走法 ？
甲地
乙地
丙地
丁地
如果从丙地到丁地又有2条路，那么，从甲地 到丁地共有多少种不同的走法？
共有3×2×2=12种不同的走法
解决这个事情，主要分成了几个步骤，其总数 是几个步骤的方法之积。
二、分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1
分类计数原理：54+4=58种 分步计数原理：54×4=216种
2.乘积（a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)展开共有多少项？
分步计数原理：3×4=12种
3.由1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的两 位数。
分步计数原理：5×4=20种
生活中的数学
密码问题讨论
在我们的生活中， 经常涉汲密码问题，如 四位数字密码：各位上 数字由0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9十个数字中的一个 组成,可以设置多少个四 位数字密码？ (各位上的数字允许重复)?
例1.书架上层放有4本不同的外语书,中层放有5本不同
的语文书,下层放有6本不同的数学书. (1)从书架中取1本书,有多少种不同取法?
解：有3类方法,根据分类计数原理，一共有： N=4+5+6=15种不同的取法
(2)从书架中取外语、语文、数学各1本,有多少种 不同取法?
解：分3步完成,根据分步计数原理，得到
（1）我想报名参加一项，有多少种选择方法？ （2）若我想参加径赛、田赛各1项，有多少种选择方法？
（1）分类：5+4＝9种 （2）分步：5χ4＝20种 2.小红想去商场买上衣、裙子各一件配成一套服装，已知
商场里有15种不同的上衣，10种不同的裙子，则小红可 以配出多少套不同的服装？ 分两步，第1步：选上衣，有15种不同的选法
N=4×5×6=120种不同的取法
说明：解决计数类实际问题，首先要弄清完成的事是 什么事，然后从总体上看做这件事情是“分类完成”, 还是“分步完成”.最后根据其对应的计数原理计算.
练一练
1.学校要开运动会拉！ 径赛有5项：100m、200m、400m、800m、1500m ; 田赛有4项：跳高、跳远、铅球、标枪 ;
3＋5＝8 （种）
一、分类计数原理
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中， 有m1种不同的方法，在第2类办法中，有m2种不 同的方法……在第n类办法中，有mn种不同的方 法，那么完成这件事共有：
N= m1+m2+… + mn 种不同的方法。
注意
1）类的持点是独立，即：每一类的每一种方法都能 独立完成这件事。 2）要计算方法总数,只需将各类方法数相加, 因 此，分类计数原理又称加法原理
分类计数原理
分步计数原理
相同点
完成一件事
分类
分步
区别1
每一类的每
一种办法都能完 成这件事情。它 是独立的、一次 的。一次即成
每一步的每一种
办法都只能完成一部 分，只有各个步骤都 完成了，才能完成这 件事。
各类的方法数相加
区别2
(加法原理）
各步的方法数相乘 （乘法原理）
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学生宿舍楼两边各有一个上下楼梯。问： 从底楼（一楼）到六楼共有多少种不同的走法？