计数原理教材分析
《计数原理》小结(第2课时)教学设计
第六章计数原理单元复习（第2课时）一、教材分析本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》第六章《计数原理》，本章主要学习了分类加法计数原理与分步乘法计数原理；然后，从一般到特殊，学习了两类特殊的计数问题——排列与组合，并用两个计数原理推导出排列数公式与组合数公式；最后，作为一个应用，根据多项式的乘法运算法则和计数原理推导了二项式定理，并研究了二项式系数的一些性质.本节课主要复习和巩固二项式定理，并学习简单的应用.二、学情分析高二（6）班是理科重点班，数学基础较好.从学生整体而言，能理解数学新的内容一一计数原理，并能处理简单的计数原理问题.具备了一定的分析问题，解决问题，概括问题等能力。
通过生活情境问题，进一步掌握本节课的数学思想和方法，从特殊到一般，从一般到特殊来理解本节课的复习内容.三、教学目标1.理解两个计数原理和组合与二项式定理的形成与联系；2.会用二项式定理去处理简单的数学问题；3.通过本节课复习二项式定理来体验“从特殊到一般”、“从一般到特殊”的核心素养，提高自己观察、分析、概括和数学运算的核心素养.四、教学重难点重点：应用二项式定理解决实际问题.难点：具体问题转化为二项式定理，并运用本章内容去处理问题，以简驭繁.五、教学方法启发，引导，自主，探究，总结.六、教学过程（一）本章知识结构设计意图：通过引导回顾本章学习的主要内容去发现知识间的联系，加强数学知识间的联系，是深入理解和掌握知识的重要方法并提高概括能力.（二）复习旧知，提出问题1二项式定理(Q+b)n=Cθσn+C^a n-1b+・・・+CAa n fbk+…+CJib n(n∈N*)(1)二项式系数:Cjtk=Oj,…,n∙(2)二项展开式的通项：7k+ι=Cnθn~k b k,k=1,2√∙∙,n.2.二项式系数的性质(1)对称性首末两端“等距离”的二项式系数相等.Ct=Ckk,k<n f k=0,1,2,…，n(2)增减性与最大值中间项以前逐渐增大，中间项以后逐渐减小.n-1n+ι当n为奇数时，中间两项与最大.当n为偶数时，中间一项$最大.(3)各二项式系数和：以+啜+鬣+•・・+印=2九.奇数项二项式系数之和：以+鬣+・・・二2九-1.偶数项二项式系数之和：&+%+・・・=2-1.设计意图：总结回顾本章主要学习的基本知识，熟记知识点为进一步学习它们的应用打好基础，体现学生掌握基本知识点的核心素养.(三)例题讲解探究我们每天多努力1%,30天后，比现在的你优秀多少呢?求(1-0.01)3°的近似值(精确到0.0设计意图：由“一般”到“特殊”，通过数学知识让学生每天努力学习的必要性，加强德育教育的核心素养.例1(1+2%2)(1+%)4的展开式中的系数为A.12B.16C.20D.24设计意图：通过所学知识，提高学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理的核心素养以及特殊到一般，具体到抽象的核心素养.例2求(%2+3%+1)5的展开式中％2的系数.探究(a+b+c)∖n ∈N*的展开式通项.设计意图：掌握多项式展开的基本原理，会用不同的途径来处理简单的数学问题，体现转化和运算以及特殊到一般的核心素养.365 (1+0.01) ≈37.8 不积胜步，无以至千里;不积小流，无以成江海.(精确到0.1)（四）课堂小结多项式展开式中特定项问题：1.利用二项式定理或二项展开式的通项；2.通过多项式展开的原理，再由分类加法计数原理和分步乘法计数原理及组合的含义找到具体项.（五）作业布置1必做题：教材复习参考题6中综合运用第7,8题.3.选做题：教材复习参考题综合题第1,2题4.拓广探索:（%+a2+—F a m）n m,nEN*的展开式通项设计意图：进一步巩固本节课复习的二项式定理，反馈效果，分层次不同发展.（六）板书设计计数原理复习（第2课时）1.二项式定理（Q+b）n=Cθαn+C^a n-1b+…+C^a n~k b k+・・・+C^b n（n∈N*）T∕c+1=C^a n~k b k,k=1,2,∙∙∙,n2•例1例2（a+b+c）”,n∈N*的展开式通项.（七）本章总结知识内容1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理2.排列与组合3.二项式定理思想方法1特殊到一般，一般到特殊4.分类讨论5.转化与化归6.函数与方程设计意图：通过本章的学习，获得了哪些新的知识和思想方法，并在今后学习和实际问题中加以应用.（八）教学反思在章小结课的教学中，学生可能遇到的问题（或困难、障碍）是综合应用计数原理，产生这一问题的原因是不能根据问题的特征选择对应的原理。
计数原理教材分析-黎宁
计数原理教材分析北京市陈经纶中学黎宁计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。
本章知识内容包括 1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理计数，1.2排列与组合，1.3二项式定理。
了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题。
PPT一、知识结构与要求1．本章知识框图2.内容及要求1．1分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。
1.2 排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。
1.3 二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
上述“内容和要求”与以往“教学大纲”基本一致，不同之处有二：一是“教学大纲”要求“掌握组合数的两个性质，并能用它解决一些简单的应用问题”，而这里没有这个内容和要求。
二是老教材中分类、分步计数原理建议2课时，排列4课时，组合5课时，二项式定理4课时；而新教材两个原理4课时，排列与组合6课时，二项式定理3课时，相对的分类、分步计数原理的地位加强了。
二、课时安排1．本章有三节内容，共14课时，具体分配如下（供参考）：1．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理------约4课时1．2 排列与组合------------------------------约6课时1．3 二项式定理------------------------------约3课时小结与复习------------------------------------约1课时三、本章的重点和难点（1）重点：两个计数原理，排列、组合的意义及排列数、组合数计算公式，二项式定理．两个计数原理是最基本而重要的．（2）难点：正确运用两个计数原理以及排列、组合概念分析和解决问题．由于计数问题与学生熟悉的代数问题有些不同，常常涉及一些复杂的关系，很容易造成分析过程中的逻辑混乱，而且在解决问题时还常常发生分不清排列还是组合、重复或遗漏计算等情况．为了突破难点，教科书始终把两个计数原理的理解放在突出位置，并给学生提供辨别容易混淆的概念、用不同思路分析和解决问题的机会．四、教材分析及教学建议1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理两个原理是处理计数问题的两种基本思想方法．在面对一个复杂的计数问题时，通过分类或分步将它分解为若干个简单计数问题，在解决这些简单问题的基础上，将它们整合起来而得到原问题的答案，可以达到以简驭繁、化难为易的效果．首先要帮助学生理解两个计数原理中的“完成一件事情”。
《计数原理》教材分析.doc
《计数原理》教材分析理工附中刘柱一、“课标”与“大纲”在整体定位上的区别1．章节名称变化《排列、组合和二项式定理》→《计数原理》2．新课标定位“新标准”表述：3．本单元内容仍为高考中重点考察的内容二、知识结构三、“课标”教材与“大纲”教材的区别1. 在排列定义的理解上，强调“占位”的角度理解“顺序”。
2. 增加了“相邻”问题的例题和练习的题型。
3. 对排列数及组合数的公式及性质要求上，强调理解以及在应用过程中会利用公式进行计算，相对淡化形式复杂的变形与证明。
4. 从实际应用的角度，增加了用计算器计算排列数或组合数的例题和练习。
四、教材分析及建议1.1基本计数原理(1) 从最朴素的数数问题引入，不可忽视“穷举”法。
穷举法一般有树图法和列表法。
例 （P10巩固与提高11）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元,70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有多少种?（2）明确本章重点要解决的计数问题的特征——“做一件事，有多少种不同的方法？” 例。
已知集合{}3,2,1=A ，{}c b a B ,,=，那么从A 到B 的映射共有多少个？（3）分类加法计数原理和分步乘法计数原理是计数的两个基本原理，是本章内容的核心。
要求学生通过大量实例来很好地理解，并能熟练地应用。
切不可认为知识简单，一带而过。
(4) 正确理解“分类”和“分步”，正确认识如何分类和如何分步。
1.2排列与组合（1） 对于排列及组合的定义不仅要求学生理解，最好要求学生能够记忆，要求学生能够结合实例解释。
（2） 对于排列数和组合数的计算公式，应重视它们在计数方面的应用，不必过多地进行在证明或解方程等方面的进行训练。
（3） 对组合数的两个性质,侧重从实际意义上去理解，淡化证明。
（4） 应始终注重处理好三个关系：分步与分类，有序与无序，元素与位置。
（5） 不重不漏地分类，合理地进行分步，引导学生形成正确的思考习惯（6） 自然地处理分类与分步的关系。
人教A版高中数学《计数原理》》单元教材教学分析
应用两个计数原理解题时的策略：
确定计数原理，要分清是分类还是分布，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情。处理好分类与分步的关系，要清楚分类或分步的具体标准，在分类时要遵循不重不漏的原则，在分步时要正确设计分布的程序，注意步与步之间的连续性。有些题目中分类与分步同时进行，即先分类后分步或先分步后分类。注意不重不漏，做到分类类不重，分步步不漏。
重点、难点与关键
对分类加法计数原理与分步乘法基数按原理的理解与应用，以便于后期合理的使用排列组合公式巧妙解决问题
教学方法和手段的设计
多让学生进行思考，特别是分类问题和分步问题的思考上，本部分内容思考、理解重于计算能力
学生思想教育和行为习惯的培养及学习方法
讲解新的内容时，先抛出一个学生感兴趣的话题。让学生加以思考，得出自己的答案。不在于答案的对错，在于学生的思考过程。教师在对本内容进行系统的分析。加以理论上的整合，最后再对本节内容进行系统的讲解。分析并解决一些简单的问题，增强逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养
第五课时：《组合与组合数公式》
理解组合的概念，能正确写出一些简单问题的所有组合，达成数学抽象，逻辑推理的核心素养，会用组合数，公式进行求值和证明。
第六课时：《组合的综合应用》
掌握一些组合问题的常用解决方法，提升数学抽象逻辑推理的核心素养，会用组合数，公式进行求值和证明。能应用排列组合知识，解决简单的实际问题，强化数学抽象数学建模和数学运算的核心素养。
课时安排
第一课时：《分类加法计数原理和分步乘法计数原理》
掌握分类加法，计数原理与分步乘法计数原理，理解两个原理的区别，于联系达成逻辑推理的核心素养。能用分类加法计数原理与分步乘法计数原理分析并解决一些简单的实际问题。
《计数基本原理》高二数学教案
《计数基本原理》高二数学教案《计数基本原理》高二数学教案作为一无名无私奉献的教育工作者，就不得不需要编写教案，教案是实施教学的主要依据，有着至关重要的作用。
我们应该怎么写教案呢？以下是帮大家整理的《计数基本原理》高二数学教案，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
一、教材分析1、教材的地位和作用计数的基本原理包括分类计数及分步计数原理，这两个原理是学习排列组合的基础,是推导排列数、组合数的重要理论，同时也给出了分析解决排列与组合问题的思维方法。
因此，在整章书中的作用非常重要。
2、教材的重点、难点和关键教学重点：分类计数原理及分步计数原理的区别及应用教学难点：对复杂事件的分类及分步。
二、学情分析和学法指导学情分析：学生基础差，学习主动性差，缺乏学习兴趣。
基于以上情况，我设计了如下的学法指导。
学法指导：从培养学生的兴趣入手，使学生在学习过程中学会观察问题、探究问题，自主归纳总结进而得出结论。
三、教学目标分析根据以上两点，我制定了如下的教学目标：1、知识目标：掌握计数的基本原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
2、能力目标：通过计数基本原理的理解和运用，提高学生分析问题和解决问题的能力，开发学生的逻辑思维能力。
3、情感目标通过各种贴近学生生活的`素材，激发学生学习兴趣，培养学生爱国热情.四、教学方法在课堂上，让学生积极主动参与是关键。
正所谓：“学问之道，问而得，不如求得之深固也”学习任何东西最好的途径是让自己去发现。
本节课采用启发式的教学方法，启发学生积极思考，积极探索，创设一个以学生为主体，教师为主导，师生互动、合作交流、共同探索的教与学的情境。
最后我来具体谈一谈这一堂课的教学过程：根据上述情况，我设计了如下六个环节的教学过程。
五、教学过程1、创设情境——引入课题首先，我会给出以下一组图片激发学生的学习兴趣及爱国热情。
看到图片，有的学生马上脱口而出：“中国女排”。
我说：“对，这正是中国女排在去年的雅典奥运会上夺冠的画面，好，现在假使你是一名统计员，我给出如下比赛规则：分成两个小组，每个小组6支队伍进行循环赛，决出4强，再由这四支对进行淘汰赛，那么请问，夺冠的中国女排总共进行了多少场比赛?这时，学生觉得这个问题很困难。
高中数学_分类计数原理与分步计数原理教学设计学情分析教材分析课后反思
《分类计数原理与分步计数原理》教学设计课题：分类计数原理与分步计数原理课型：新授课一、教材分析1、教材的地位与作用《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》，是高中数学人教A版选修2-3第一章第一节课。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列、组合的基础，学生对这两个原理的理解，掌握和运用，成为学好本章的一个关键。
2、教学目标（1）知识目标掌握计数的两个基本原理,并能正确的用它们分析和解决一些简单的问题.（2）能力目标通过计数基本原理的理解和运用,提高学生分析问题和解决问题的能力,开发学生的逻辑思维能力.（3）情感目标培养学生勇于探索、勇于创新的精神，面对现实生活中复杂的事物和现象，能够作出正确的分析，准确的判断，进而拿出完善的处理方案，提高实际的应变能力。
3、重点、难点重点：分类计数原理与分步计数原理难点：正确运用分类计数原理与分步计数原理二、学情分析1、认知水平：已有使用计数原理的生活经验，但缺少思维上升，将通过再现生活情境帮助自我建构；2、心理特点：他们热爱数学，但缺少数学自信，让他们在体验生活应用和实践的成功乐趣，从而爱上数学，爱上学习；3、能力水平：动手操作能力强，但抽象思维能力弱，将通过体验性，过程性来实现。
三、教法分析科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，达到教与学的和谐完美统一。
基于此，我准备采用的教法：是启发引导，学生讨论相结合的方法，这样可以充分调动学生的积极性，增强同学们的参与机会，让学生在学中思，在思中学，培养学生的数学观察猜想能力，启迪学生的探索灵感。
让学生有一个直观的感受，然后在教师的引导下让学生形成感性认识。
通过设问，让学生充分进行讨论，逐步引导学生形成概念。
四、学法指导“授人与鱼，不如授人与渔”。
教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，运用观察分析讨论总结的学习方法。
五、教学过程设计（一）提出课题――引入新课首先,提出本节课的课题：分类加法计数原理与分步乘法计数原理。
计数原理教材分析ppt人教课标版课件
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研究排列、组合问题时，都是从不同元素中任意取部分不同元素，这里既没有重复元素，也没有重复抽取同一元素； 排列和顺序有关，组合和顺序无关，这是两个概念的本质区别； 排列其实分两步进行的，即先取后排；而组合是只取不排，这正是两者在操作过程中的区别. 在许多问题里可能既有排列，又有组合. 如“从甲、乙、丙中选出2个人去参加一项活动，有多少种不同的选法”是组合问题； 而求“从甲、乙、丙中选出2个人去参加一项活动，一人上午参加，一人下午参加，有多少种不同的选法”的选法种数 则是排列问题. 教学中要注意引导学生在解例题、习题时细心观察分析是否与顺序有关，养成好习惯.
*Hale Waihona Puke 排列组合教学建议1.重视基本概念教学，让学生养成做题时首先判断是否和顺序有关的好习惯. 2.在分析排列、组合应用题时，应充分利用树形图进行分析，这样比较直观，便于理解.在讲完例题后还应对思考方法进行总结. 3. 在开始做排列、组合应用题时，应要求学生写出解法的简要说明，说出解法的根据，这样有利于培养学生严密思考的习惯，减少错误的发生.特别注重对学生错误思路的分析，找出错误的根本原因. 4.排列组合建议采用对比法教学
排列与组合是两类特殊的计数原理，是典型的两个计数原理的应用，排列组合在计数中的地位，就如同等差等比数列在数列中的地位.
基本计数原理教案
基本计数原理教案基本计数原理教案主要包括以下步骤：一、教材分析●地位和作用：基本计数原理是学习排列组合的基础，是推导排列数、组合数的重要理论，同时也给出了分析解决排列与组合问题的思维方法。
●重点、难点和关键：分类计数原理及分步计数原理的区别及应用。
二、学情分析和学法指导学生基础差，学习主动性差，缺乏学习兴趣。
从培养学生的兴趣入手，使学生在学习过程中学会观察问题、探究问题，自主归纳总结进而得出结论。
三、教学目标●知识目标：掌握计数的基本原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
●能力目标：锻炼学生的观察能力和解决问题的能力。
●情感目标：培养学生对数学的兴趣和好奇心，建立自信心。
四、教学方法课堂上应积极引导学生进行思考和讨论，鼓励学生提问和发表自己的观点，以便更好地帮助他们掌握知识和提高能力。
五、教学过程●提出问题：从实例出发，提出有关排列与组合的问题，引导学生思考如何用计数原理来解决。
●讲解原理：详细解释分类计数原理和分步计数原理的定义和适用范围，对比两者的异同点。
●实例解析：通过具体的例子，让学生更好地理解如何运用计数原理来解决实际问题。
●总结反思：回顾分类计数原理和分步计数原理的主要内容，总结解题思路和方法，反思在解题过程中遇到的困难和问题。
●布置作业：根据教学内容和学生的学习情况，布置适当的练习题或思考题，巩固所学的知识。
六、教学评估通过课堂表现、作业完成情况、小组讨论等方式对学生的学习效果进行评估，及时发现问题并进行针对性的指导。
同时也可以设置一些测试题或小测验来检验学生对知识的掌握程度。
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选修2-3第一章《计数原理》教材分析计数原理是数学的重要研究对象，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数原理问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具.本章在整个高中数学中占有重要地位以计数问题为主要内容的排列与组合，属于现在发展很快且在计算机领域获得广泛应用的组合数学的最初步知识，它不仅有着许多直接应用，是学习概率理论的准备知识，而且由于其思维方法的新颖性与独特性，它也是培养学生思维能力的不可多得的好素材.作为初中一种多项式乘法公式推广二项式定理，不仅使前面组合等知识的学习得到强化，而且与后面概率中的二项分布有着密切联系一、内容分析1．本章从学习加法原理和乘法原理开始，应该说，这两个基本原理在本章的学习中占有重要地位；其作用并不限于用来推导排列数、组合数公式，实际上其解决问题的思想方法贯穿在整个学习的始终：当将一个较复杂的问题通过分类进行分解时，用的是加法原理；当将它通过分步进行分解时，用的是乘法原理在此基础上，研究排列与组合，运用归纳法导出排列数公式与组合数公式，并提出组合数的两个性质，以简化组合数的计算和为推导二项式定理作好铺垫随后研究的二项式定理，在本章中起着承上启下的作用：它不仅将前面的组合的学习深化一步，而且为学习后面的独立重复试验，二项分布作了准备2．排列、组合是两类特殊而重要的计数原理，而解决它们的基本思想和工具就是两个计数原理.教材从简化运算的角度提出排列和组合的学习任务，通过具体的实例得出排列和组合的概念、排列数公式、组合数公式及其在解决问题中的应用.3．二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，教材主要是运用组合数两个性质推导出二项式定理，同时通过对二项式系数的性质的学习，深化对组合数的认识.二、教学要求1．掌握加法原理与乘法原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数计算公式，并能用它们解决一些简单的应用问题3.并能用它们计算和证明一些简单的问题三、考点诠释（1）两个原理（分类计数原理、分步计数原理）分类和分步的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步.分类要用加法原理将种数相加；分步要用乘法原理，分步后再将种数相乘.（2）两个概念（排列、组合）排列与组合是既有联系又有区别的两类问题，它们都是从n 个不同元素中任取m 个不同元素.但是前者要求将元素排成一个顺序，后者对此不做要求.若不理解排列问题和组合问题的区别，在分析实际问题时就会犯错误.（3）两类基本公式排列数公式 !(1)(2)(1)()!m n n A n n n n m n m =---+=- 规定：0！=1 组合数公式 )!(!!m n m n A A C m m m n mn-== 特别地：10==n n n C C （4）两类基本性质排列性质：11-++=m nm n m n mA A A 组合性质：性质1.m n n m n C C -=, 性质2.11-++=m nm n m n C C C 在解决排列组合的计算或证明以及解方程，解不等式等问题时，经常用排列数公式、组合数公式以及组合数的两个性质.解这类题的关键是准确、熟练地运用这些公式及性质，但是在使用公式时要注意：计算题与证明题的类型不同，要求选择公式的形式就不同.排列数公式与组合数公式都有两种形式：乘积形式和阶乘形式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式，同时要注意公式的倒用，即由)!(!!m n m n -写出m n C . 排列数m n A 与组合数m n C 里的m 、n 的关系是 )(N n m n m ∈≤、牢记：0！=1；.1;!;;;1;11100======n n n n n n n nC n A n C n A C A（5）排列组合的综合应用排列与顺序有关，或者说与所有顺序有关.组合与顺序无关，或者说与一种顺序有关.例如：从1、2、3、4四个数字中任取3个不同的数字，可组成多少个不同的三位数？这是排列问题，有34A 个，而组成的三位数中个位、十位、百位上的数字递增的三位数有多少个？这是一种确定的顺序，是组合问题34C 个不同的三位数.按元素的性质分类，按事件发生的连续过程分步，是处理排列组合问题的基本数学思想方法，要注意题设中“至少”、“至多”等限制词的意义.处理排列组合的综合性问题，一般的思想方法是对于要取出的元素不是一次完成的排列问题，要注意先选取元素，直到把应取的元素都取出来后，再进行排列在排列问题中，某几个元素必须在某几个固定位置，某几个元素不能在某几个位置，某几个元素必须在一起，某几个元素互不相邻等，是排列中的几种基本类型.在组合问题中，某些元素必须在内，某些元素都不在内，某些元素恰有一个在内，某些元素至少有一个在内，某些元素至多有一个在内等，是组合的几种基本类型.（6）二项式定理的有关概念第一、对通项要注意以下几点:①它表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项也随之确定. ②公式表示的是第r+1项，而不是第r 项.③公式中a 、b 的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n.第二、要注意区分，展开式的第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数是两个不同的概念，千万不能混在一起.（7）二项式系数的性质①展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.②若二项式的幂指数是偶数，则展开式的中间一项即第12+n 项的二项式系数最大；若二项式系数的幂指数是奇数，则展开式的中间两项即第（121+-n ）项和第（121++n ）项的二项式系数相等且最大. ③展开式的所有二项式系数的和等于n 2.即n n n n n nC C C C 2210=++++ ④展开式中的奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即 +++=+++531420n n n n n nC C C C C C =12-n 注意：①用二项式定理进行幂的近似计算时，首先要将幂的底数拆成两项，构造二项式；其次要根据题设的精确度选取展开的项数.②利用二项式定理证明整除性问题，也应灵活处理底数，使之符合需要.③赋值法是解决二项展开式中有关系数问题的重要手段，许多复杂的与系数有关的问题均可以通过正确的、简单的赋值得到解决.四、教学建议1.在深刻理解的基础上，严格要求按照两个原理去做.分类计数原理和分步计数原理是两个基本原理，它们既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类.分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事.从以上的分析可以看出，分类计数原理和分步计数原理的地位是有区别的，分类计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步.在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌罗嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题.只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础.2. 指导判定与顺序有无关系，分清排列与组合排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.下面几种方法可供参考.(1) 指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.(2) 能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.(3) 学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.3. 引导联系现实情景，正确领会问题的实质排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.4.倡导一题多解优化解法，交流合作互相启发排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法.若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解.教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法.排列与组合方法数比较多，无法逐一进行验证.为了防止重复、避免遗漏，除了一题多解之外，另一种切实有效的办法是倡导同学之间的交流与合作.排列、组合问题的分析与解答的过程不长，且逻辑性强，特别有利于语言交流.交流与合作不仅仅是解出题目、对答案，还要根据自己的理解说明分类还是分步的理由，每类或每步中.m n A 、m n C 及n 、m 取值的理由，不断反思自己的思考过程，让别的同学能在你思考的基础上进一步的思考，看清问题的其他方面.这样相互启发、多角度的考虑，定会加深对问题的理解，激发学习的兴趣.。