邯郸市2012年高三二模文科数学答案
房山2012年二模数学(文科)带详细答案
俯视图侧（左）视图24主（正）视图房山区2012年高考第二次模拟试卷高三数学(文科)考 生 须知1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分,考试时间为120分钟 。
2. 第Ⅰ卷选择题直接填涂在机读卡上。
3. 第Ⅱ卷非选择题直接写在答题纸上的指定位置，在试卷作答无效。
4.考试结束后，将机读卡与答题纸一并交回，试卷按学校要求自己保存好。
第I 卷 选择题（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题纸上。
1.集合{}10≤≤=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=21x x B ，则B A 等于（ ） (A){}1<x x (B){}1≤x x (C){}10<≤x x (D){}0≤x x2．已知等比数列{}n a 中，43=a ，216=a ，则公比q =（ ）(A)21- (B)2- (C)2 (D)213.“3πθ=”是“21cos =θ”的（ ）（A ） 充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件 （C ） 充要条件（D ） 既不充分也不必要条件4. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的侧面积为（ ） （A ）2423+ （B ）24 （C ）38 （D ）435. 设12log 3a =，3.031⎪⎭⎫⎝⎛=b ，πln =c ，则（ ）(A)a b c << (B)a c b << (C)c a b << (D)b a c <<6．如图是某年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0～9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为1a ，2a ，则一定有（ ）（A ）a 1>a 2 （B ）a 1<a 2（C ）a 1=a 2 （D ）a 1，a 2的大小与m 的值有关7．已知b a ,均为单位向量，且b a 3+=13，则b a ,的夹角为（ ）（A ）6π （B ）4π （C ）3π（D ）23π0795455184464793m甲乙8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2()()0xf x f x x->，且(2)0f -=，则不等式()0f x x >的解集是( )(A) (2,0)-∪(0,2) (B) (,2)-∞-∪(2,)+∞ (C) (2,0)-∪(2,)+∞ (D) (,2)-∞-∪(0,2)第II 卷 非选择题(共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。
二模高中数学试题及答案
二模高中数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的图像与x轴的交点个数为：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则该数列的第10项为：A. 19B. 20C. 21D. 223. 圆x^2 + y^2 = 1与直线y = x的交点坐标为：A. (1,1) 和 (-1,-1)B. (1,-1) 和 (-1,1)C. (0,1) 和 (0,-1)D. (1,0) 和 (-1,0)4. 函数y = sin(2x)的周期为：A. πB. 2πC. π/2D. π/45. 已知向量a = (3, -2)，b = (2, 4)，则向量a与b的数量积为：A. -2B. 2C. -10D. 106. 若复数z满足|z| = 1，则z的共轭复数的模为：A. 0B. 1C. -1D. 27. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间[1,2]上是：A. 增函数B. 减函数C. 先增后减D. 先减后增8. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的离心率为2，则a和b的关系为：A. a = 2bB. a = b/2C. b = 2aD. b = a/29. 函数y = ln(x+1)的导数为：A. 1/(x+1)B. 1/xC. x/(x+1)D. (x+1)/x10. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，该三角形为：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值为_________。
2. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，则该数列的前5项和为_________。
3. 直线2x - 3y + 1 = 0与x轴的交点坐标为_________。
数学_2012年河北省石家庄市高考数学一模试卷(文科)(含答案)
2012年河北省石家庄市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={x|0<x <1}，B ={x|x ≥12}，则A ∪B =( ) A {x|x >0} B {x|0<x <1} C {x|x >1} D {x|x ≥12}2. 复数1+i 1−i=( )A iB −iC 1−iD 1+i3. 下列函数中，既是奇函数，又在(0, +∞)上单调递减的函数是（ ） A y =sinx B y =−|x| C y =−x 3 D y =x 2+14. 一元二次方程x 2+2x +m =0有实数解的充要条件为（ ） A m <1 B m ≤1 C m ≥1 D m >15. 已知向量OA →=(1, 3)，OB →=(3, −1)，且AP →=2PB →，则点P 的坐标为（ ） A (2, −4) B (23, −43) C (73, −13) D (−2, 4)6. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是（ ） A √62B √32C √22D 127. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=−9，a 2+a 3=−12，则使S n 取得最小值时n 的值为（ ）A 2B 4C 5D 78. 已知实数x ，y 满足{x +y −2≤0x −y ≤0x ≥−3，则z =|x +4y|的最大值为（ ）A 9B 17C 5D 159. 已知程序框图如图所示，当输入2与−2时，输出的值均为10，则输入1时输出的值为（ ）A 2B 4C 6D 810. 已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O −ABC 的高为2√2且∠ABC ＝60∘，AB ＝2，BC ＝4，则球O 的表面积为（ ） A 24π B 32π C 48π D 192π11. 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，且|PF 2|=|1FF 2|，F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ） A 54 B 53 C 43 D1+√7312. 若实数X 满足log 3x =sinθ+cosθ，其中θ∈[−12π, 0]，则函数f(x)=|2x −1|+x 的值域为（ ）A [12, 2] B [23, 8] C [23, 2] D [12, 8]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 抛物线的x 2=16y 焦点坐标为________．14. 各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a 2⋅a 4=16则S 4=________． 15. 天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法进行试验，由1、2、3、4表示下雨，由5、6、7、8、9、0表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生0〜9之间随机整数的20组如下： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为________．16. 已知点P 在曲线y =e x （e 为自然对数的底数）上，点Q 在曲线y =lnx 上，则|PQ|的最小值是________．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知△ABC 中，AB =√3，∠C =30∘，AD =2DC ，∠BDA =60∘，求△ABC 的面积．18. 四棱锥A−BCDE的正视图和俯视图如下，其中正视图是等边三角形，俯视图是直角梯形．（1）若F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有BF丄CM，请说明理由．（2）求三棱锥的高．19. 有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如表：（1）为进行某项研究，从所用时间为12天的60辆汽车中随机抽取6辆．(I)若用分层抽样的方法抽取，求从通过公路1和公路2的汽车中各抽取几辆；（2）若从(I)的条件下抽取的6辆汽车中，再任意抽取两辆汽车，求这两辆汽车至少有一辆通过公路1的概率．(II)假设汽车4只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车1只能在约定日期的前12天出发．为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车4和汽车1应如何选择各自的路径．20. 在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(−2, 0)、B(2, 0)，M是动点，且直线MA与直线MB的斜率之积为−14，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过定点T(−1, 0)的动直线l与曲线C交于P，Q两点，若S(−178, 0)，证明：SP→⋅SQ→为定值．21. 已知函数f(x)=2e x1+ax2（e为自然对数的底数）．(I )若函数f(x)有极值，求实数a的取值范围；(II)若a=1，m>4(ln2−1)，求证：当x>0时，f(x)>2x2−mx+21+x2．四、选做题请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4−1几何证明选讲已知△ABC中AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧，AĈ上的点（不与点A、C 重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F．（1）求证．∠CDF=∠EDF（2）求证：AB⋅AC⋅DF=AD⋅FC⋅FB．23. 选修4−4坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，取原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为：ρ=2cosθ，直线C2的参数方程为：{x=1+√22ty=3+√22t（t为参数）(I )求曲线C1的直角坐标方程，曲线C2的普通方程．(II)先将曲线C1上所有的点向左平移1个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的√3倍得到曲线C3，P为曲线C3上一动点，求点P到直线C2的距离的最小值，并求出相应的P点的坐标．24. 选修4−5不等式选讲解不等式：1x2−x ≤1|x|．2012年河北省石家庄市高考数学一模试卷（文科）答案1. A2. A3. C4. B5. C6. A7. C8. B9. C10. C11. B12. D13. (0, 4)14. 1515. 0.2516. √217. 解：因为∠BDA=60∘，∠C=30∘，可知BD=CD，…又AD=2DC，所以在△ABD中，(√3)2=BD2+(2BD)2−2×BD×2BDcos60∘…解得BD=1…所以AC边上的高ℎ=1×sin60∘=√32…则S△ABC=12AC⋅ℎ=12×3×√32=3√34…所以△ABC的面积为3√34．…18. 解：（1）总有BF丄CM．理由如下：取BC的中点O，连接AO，由俯视图可知，AO⊥平面BCDE，CD⊂平面BCDE，所以AO⊥CD…又CD⊥BC，AO∩BC=O，所以CD⊥面ABC，因为BF⊂面ABC，故CD⊥BF．因为F是AC的中点，所以BF⊥AC．…又AC∩CD=D故BF⊥面ACD，因为CM⊂面ACD，所以BF丄CM．…（2）由（1）可知，AO⊥平面BCDE，S△CDE=12×CD×BC=2，又在正△ABC中，AO=√3，所V A−CDE=13S△CDE×AO=13×2×√3=2√33，…在直角△ABE中，AE=√5，在直角梯形BCDE中，DE=√5，在直角△ACD中，AD=2√2，在△ADE中，S△ADE=12AD×√DE2−(12AD)2=12×2√2×√3=√6，…设三棱锥C−ADE的高为ℎ，则V C−ADE=√63ℎ，又V A−CDE V=C−ADE，可得√63ℎ=2√33，解得ℎ=√2．所以，三棱锥C−ADE的高为√2．…19. 解：（1）(I)根据题意，所用时间为12天共有60辆汽车，其中公路1有20辆，公路2有40辆，公路1抽取6×2020+40=2辆汽车，公路2抽取6−2=4辆汽车．（2） 通过公路1的两辆汽车分别用a 、b 表示，通过公路2的4辆汽车分别用c 、d 、e 、f 表示，任意抽取2辆汽车共有15种可能的结果：依次为(a, b)、(a, c)、(a 、d)、(a 、e)、(a, f)、 (b, c)、(b 、d)、(b 、e)、(b, f)、(c 、d)、 (c 、e)、(c, f)、(d, e)、(d, f)、(e, f)， 其中至少有1辆经过公路1的有9种， 所以至少有1辆经过1号公路的概率为915=35；(II)频率分布表，如下：设事件C 1、C 2分别表示汽车4在前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；事件D 1、D 2分别分别表示汽车1在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙． P(C 1)=0.2+0.4=0.6，P(C 2)=0.1+0.4=0.5， P(C 1)>P(C 2)，∴ 汽车4应选择公路1；P(D 1)=0.2+0.4+0.2=0.8，P(D 2)=0.1+0.4+0.4=0.9， P(D 1)<P(D 2)，∴ 汽车1应选择公路2．20. （1）解：设M 点坐标为(x, y)(x ≠±2)∵ 定点A(−2, 0)、B(2, 0)，直线MA 与直线MB 的斜率之积为−14， ∴ yx+2×yx−2=−14， ∴ x 24+y 2=1(x ≠±2)（2）证明：当动直线l 的斜率不存在时，P(−1, √32)，Q(−1, −√32)，若S(−178, 0)，SP →⋅SQ →=3364．当动直线l 的斜率存在时，设动直线l 的方程为y =k(x +1)(k ≠0)，联立方程组，消去y 得(1+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−4=0 设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−8k 21+4k2，x 1x 2=4k 2−41+4k 2∴ SP →=(x 1+178,y 1)，SQ →=(x 2+178,y 2)，∴ SP →⋅SQ →=(x 1+178,y 1)•(x 2+178,y 2)=−4(1+4k 2)1+4k 2+17282=3364．21. (I)解：由f(x)=2e x1+ax 2，可得f′(x)=2e x (1+ax 2−2ax)(1+ax 2)2，…．依题意，需方程1+ax 2−2ax =0在x ∈R 上有两个不等实根，则：{a ≠0△=4a 2−2a >0，…解得：a>1或a<0．…(II)证明：若a=1，f(x)=2e x1+x2，∴ f(x)−2x2−mx+21+x2=2e x−2x2+mx−21+x2，设ℎ(x)=2e x−2x2+mx−2，∴ ℎ′(x)=2e x−4x+m，设g(x)=2e x−4x+m(x>0)，g′(x)=2e x−4，…令g′(x)<0，则0<ln2；令g′(x)>0，则x>ln2；∴ 函数g(x)在(0, ln2)上单调减，在(ln2, +∞)上单调增，∴ g(x)min=g(ln2)=4−4ln2+m，∴ ℎ′(x)≥4−4ln2+m，…∵ m>4(ln2−1)，∴ ℎ′(x)≥4−4ln2+m>0，∴ ℎ(x)在(0, +∞)上单调递增，∵ ℎ(0)=0，∴ ℎ(x)>0，…∵ 1+x2>0，∴ 2e x−2x2+mx−21+x2>0，∴ f(x)−2x2−mx+21+x2=2e x−2x2+mx−21+x2>0，即f(x)>2x 2−mx+21+x2．…22. 证明：（1）∵ A，B，C，D四点共圆，∴ ∠ABC=∠CDF 又AB=AC∴ ∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴ ∠ADB=∠CDF，7分对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；（2）由（1）得∠ADB=∠ABF∵ ∠BAD=∠FAB∴ △BAD∽△FAB∴ ABAF =ADAB∴ AB2=AD⋅AF∵ AB=AC∴ AB⋅AC=AD⋅AF∴ AB⋅AC⋅DF=AD⋅AF⋅DF根据割线定理DF⋅AF=FC⋅FB∴ AB⋅AC⋅DF=AD⋅FC⋅FB23. 解：(I )C1的极坐标方程为：ρ=2cosθ，即：ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=2x，即为(x−1)2+y2=1直线C2的参数方程为：{x=1+√22ty=3+√22t（t为参数），消去t得普通方程为x−y+2=0 (II)曲线C3上的方程为x23+y2=1设点P(√3cosθ, sinθ)，点P到直线的距离为d=√3cosθ−sinθ+2|√2=|2cos(θ+π6)+2|√2由三角函数的性质知，当θ+π6=π是，d取得最小值0，此时θ=5π6，所以P点的坐标为(−32,1 2 )24. 解：①当x2−x<0时，即0<x<1时，不等式成立．②当x2−x>0时，即x>1或x<0时，不等式化为x2−x≥|x|，故有−(x2−x)≤x≤x2−x，解得x≥2，或x≤0，所以，x≥2或x<0．故原不等式的解集为{x|x≥2或x<0或0<x<1}．。
(优辅资源)河北省邯郸市高考数学二模试卷(文科)Word版含解析
2017年河北省邯郸市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知i是虚数单位，若（1﹣i）（a+i）=3﹣bi（a，b∈R），则a+b等于（）A．3 B．1 C．0 D．﹣22．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+5）（x﹣m）＜0}，m∈Z，若A∩B有三个元素，则m的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．33．为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（）A．B．C．D．4．已知向量=（m，2），=（2，﹣1），且⊥，则等于（）A． B．1 C．2 D．5．已知3sin2θ=4tanθ，且θ≠kπ（k∈Z），则cos2θ等于（）A． B．C．D．6．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k的值为（）A．4.5 B．6 C．7.5 D．97．已知双曲线l：kx+y﹣k=0与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．2C．D．38．已知函数f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）为增函数，则“＜x＜2”是“f[log2（2x﹣2）]＞f（log）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．12 B．15 C．18 D．2110．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，4）是抛物线C上一点，以M为圆心，|MF|为半径的圆被直线x=﹣1截得的弦长为2，则|MF|等于（）A．2 B．3 C．4 D．511．将函数f（x）=cos2x图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[﹣，]上单调递减，且函数g（x）的最大负零点在区间（﹣，0）上，则φ的取值范围是（）A．[，]B．[，）C．（，]D．[，）12．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE 翻转成△A1DE（A1∉平面ABCD）．若M、O分别为线段A1C、DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（）A．与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直B．过E作EG∥BM，G∈平面A1DC，则∠A1EG为定值C．一定存在某个位置，使DE⊥MOD．三棱锥A1﹣ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．一个袋中装有1红，2白和2黑共5个小球，这5个小球除颜色外其它都相同，现从袋中任取2个球，则至少取到1个白球的概率为．14．已知实数x，y满足约束条件，若∃x、y使得2x﹣y＜m，则实数m的取值范围是．15．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，△ABC的面积为S，（a2+b2）tanC=8S，则= ．16．若函数f （x ）=（x 2﹣ax +a +1）e x （a ∈N ）在区间（1，3）只有1个极值点，则曲线f （x ）在点（0，f （0））处切线的方程为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且3S n =a n +1﹣1． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设等差数列{b n }的前n 项和为T n ，a 2=b 2，T 4=1+S 3，求的值．18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]． （1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，∠ADC=90°，AD ∥BC ，AB ⊥AC ，AB=AC=，点E 在AD 上，且AE=2ED ．（Ⅰ）已知点F 在BC 上，且CF=2FB ，求证：平面PEF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若△PBC的面积是梯形ABCD面积的，求点E到平面PBC的距离．20．已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分别是椭圆G： +=1（0＜b＜a＜3）的左、右焦点，点P（2，）是椭圆G上一点，且|PF1|﹣|PF2|=a．（1）求椭圆G的方程；（2）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若⊥，其中O为坐标原点，判断O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（a∈R）与函数F（x）=x+的图象没有交点．（1）求a的取值范围；（2）若不等式xf（x）+e＞2﹣a对于x＞0的一切值恒成立，求正数a的取值范围．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，已知三点O（0，0），A（2，），B（2，）．（1）求经过O，A，B的圆C1的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为（θ是参数），若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．五、选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|，g（x）=a﹣|x﹣2|．（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，求a+b的值．2017年河北省邯郸市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知i是虚数单位，若（1﹣i）（a+i）=3﹣bi（a，b∈R），则a+b等于（）A．3 B．1 C．0 D．﹣2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件即可求出a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵（1﹣i）（a+i）=3﹣bi，∴a+1+（1﹣a）i=3﹣bi，∴a+1=3，1﹣a=﹣b．∴a=2，b=1则a+b=3．故选：A．2．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x|（x+5）（x﹣m）＜0}，m∈Z，若A∩B有三个元素，则m的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据集合元素之间的关系即可求出答案【解答】解：集合A={0，1，2，3，4}，当m≤﹣5时，集合B为空集，显然不合题意，当m＞﹣5时，B={x|（x+5）（x﹣m）＜0}=（﹣5，m），因为A∩B有三个元素，所以m=3，故选：D3．为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（）A．B．C．D．【考点】BN：独立性检验的基本思想．【分析】根据四个列联表中的等高条形图看出不服药与服药时患禽流感的差异大小，从而得出结论．【解答】解：根据四个列联表中的等高条形图知，图形D中不服药与服药时患禽流感的差异最大，它最能体现该药物对预防禽流感有效果．故选：D．4．已知向量=（m，2），=（2，﹣1），且⊥，则等于（）A． B．1 C．2 D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】依题意，由•=2m﹣2=0⇒m=1，即=（1，2），于是可得2﹣=（0，5），|2﹣|=5， +=（3，1），•（+）=1×3+2×1=5，从而可得的值．【解答】解：∵=（m，2），=（2，﹣1），且⊥，∴•=2m﹣2=0，∴m=1，∴=（1，2），2﹣=（0，5），|2﹣|=5，又+=（3，1），•（+）=1×3+2×1=5，∴==1．故选：B．5．已知3sin2θ=4tanθ，且θ≠kπ（k∈Z），则cos2θ等于（）A． B．C．D．【考点】GT：二倍角的余弦．【分析】由已知利用倍角公式，同角三角函数基本关系式化简可求=4tanθ，由已知可得tanθ≠0，进而可求tan2θ=，利用倍角公式，同角三角函数基本关系式可求cos2θ的值．【解答】解：∵3sin2θ=4tanθ，∴==4tanθ，∵θ≠kπ（k∈Z），tanθ≠0，∴=2，解得：tan2θ=，∴cos2θ===．故选：B．6．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k 的值为（）A．4.5 B．6 C．7.5 D．9【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=4时，不满足条件n＜4，退出循环，输出S的值为，即可解得k的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=k满足条件n＜4，执行循环体，n=2，S=k﹣=，满足条件n＜4，执行循环体，n=3，S=﹣=，满足条件n＜4，执行循环体，n=4，S=﹣=，此时，不满足条件n＜4，退出循环，输出S的值为，由题意可得：=1.5，解得：k=6．故选：B．7．已知双曲线l：kx+y﹣k=0与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．2C．D．3【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的渐近线方程可知丨k丨=，根据两平行线之间的距离公式，即可求得k的值，由双曲线离心率公式，即可求得答案．【解答】解：由题意可知：直线l：kx+y﹣k=0，则渐近线方程kx+y=0，即y=﹣kx，∴丨k丨=，由这两条平行线间的距离为，即=，整理k2=8，解得：k=±2，即=k2=8，由双曲线的离心率e===3，∴双曲线C的离心率3，故选D．8．已知函数f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）为增函数，则“＜x＜2”是“f[log2（2x﹣2）]＞f（log）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数的单调性和奇偶性，得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由f（x）是偶函数且当x≤0时，f（x）为增函数，则x＞0时，f（x）是减函数，故由“f[log2（2x﹣2）]＞f（log）”，得：|log2（2x﹣2）|＜|log|=log2，故0＜2x﹣2＜，解得：1＜x＜，故“＜x＜2”是“1＜x＜“的既不充分也不必要条件，故选：D．9．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．12 B．15 C．18 D．21【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为4，3，3的长方体，切去一半得到的，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为4，3，3的长方体，切去一半得到的，其直观图如下所示：其体积为：×4×3×3=18，故选：C10．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，4）是抛物线C上一点，以M为圆心，|MF|为半径的圆被直线x=﹣1截得的弦长为2，则|MF|等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】由抛物线定义可得：|MF|=x0+，根据以以M为圆心，|MF|为半径的圆被直线x=﹣1截得的弦长为2，可得7+（x0+1）2=（x0+）2．又16=2px0，联立解出即可得出．【解答】解：由抛物线定义可得：|MF|=x0+，∵以M为圆心，|MF|为半径的圆被直线x=﹣1截得的弦长为2，∴7+（x0+1）2=（x0+）2．又16=2px0，联立解得p=4，x0=2．故选C．11．将函数f（x）=cos2x图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[﹣，]上单调递减，且函数g（x）的最大负零点在区间（﹣，0）上，则φ的取值范围是（）A．[，]B．[，）C．（，]D．[，）【考点】H7：余弦函数的图象．【分析】根据函数g（x）在区间[﹣，]上单调递减，可得2•（﹣）+2φ≥2kπ，且2•+2φ≤2kπ+π，k∈Z，求得kπ+≤φ≤kπ+①．再根据函数g（x）的最大负零点在区间（﹣，0）上，可得﹣φ＜0，且﹣φ＞﹣，求得＜φ＜②，由①②求得φ的取值范围．【解答】解：将函数f（x）=cos2x图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）=cos（2x+2φ）的图象，若函数g（x）在区间[﹣，]上单调递减，2•（﹣）+2φ≥2kπ，且2•+2φ≤2kπ+π，k∈Z，求得kπ+≤φ≤kπ+①．令2x+2φ=kπ+，求得x=+﹣φ，根据函数g（x）的最大负零点在区间（﹣，0）上，∴﹣φ＜0，且﹣φ＞﹣，求得＜φ＜②，由①②求得φ的取值范围为（，]，故选：C．12．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE 翻转成△A1DE（A1∉平面ABCD）．若M、O分别为线段A1C、DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（）A．与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直B．过E作EG∥BM，G∈平面A1DC，则∠A1EG为定值C．一定存在某个位置，使DE⊥MOD．三棱锥A1﹣ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，运用中位线定理和线面平行的判定定理，可得BM∥平面A1DE，即可判断A；对于B，运用平行线的性质和解三角形的余弦定理，以及异面直线所成角的定义，即可判断B；对于C，连接A1O，运用线面垂直的判定定理和性质定理，可得AC与DE垂直，即可判断C；对于D，由直角三角形的性质，可得三棱锥A1﹣ADE外接球球心为O，即可判断D．【解答】解：对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，由E为AB的中点，可得B为CH的中点，又M为A1C的中点，可得BM∥A1H，BM⊄平面A1DE，A1H⊂平面A1DE，则BM∥平面A1DE，故与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直，则A正确；对于B，设AB=2AD=2a，过E作EG∥BM，G∈平面A1DC，则∠A1EG=∠EA1H，在△EA1H中，EA1=a，EH=DE=a，A1H==a，则∠EA1H为定值，即∠A1EG为定值，则B正确；对于C，连接A1O，可得DE⊥A1O，若DE⊥MO，即有DE⊥平面A1MO，即有DE⊥A1C，由A1C在平面ABCD中的射影为AC，可得AC与DE垂直，但AC与DE不垂直．则不存在某个位置，使DE⊥MO，则C不正确；对于D，连接OA，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得三棱锥A1﹣ADE外接球球心为O，半径为a，即有三棱锥A1﹣ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值．则D正确．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．一个袋中装有1红，2白和2黑共5个小球，这5个小球除颜色外其它都相同，现从袋中任取2个球，则至少取到1个白球的概率为．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】记1个红球为A，2个白球为B1，B2，2个黑球为C1，C2，从中任取2个，利用列举法能求出至少取到1个白球的概率．【解答】解：记1个红球为A，2个白球为B1，B2，2个黑球为C1，C2，从中任取2个的基本事件有10个，分别为：（A，B1），（A，B2），（A，C1），（A，C2），（B1，B2），（B1，C1），（B1，C2），（B2，C1），（B2，C2），（C1，C2），其中至少取到1个白球的基本事件有7个，故至少取到1个白球的概率为：p=．故答案为：．14．已知实数x，y满足约束条件，若∃x、y使得2x﹣y＜m，则实数m的取值范围是m＞﹣．【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的意义，转化求解目标函数的最小值，求出m的范围即可．【解答】解：实数x，y满足约束条件的可行域如图：若∃x、y使得2x﹣y＜m，则2x﹣y的最小值为：m．平移直线2x﹣y=0可知：直线经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由可得A（，），则2x﹣y的最小值为：﹣，可得m．给答案为：m＞﹣．15．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，△ABC的面积为S，（a2+b2）tanC=8S，则=2．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知，利用三角形面积公式，余弦定理可得a2+b2=2c2，利用正弦定理化简所求即可计算得解．【解答】解：由于：（a2+b2）tanC=8S，可得：a2+b2=4abcosC=4ab•，可得：a2+b2=2c2，则：==2．故答案为：2．16．若函数f（x）=（x2﹣ax+a+1）e x（a∈N）在区间（1，3）只有1个极值点，则曲线f（x）在点（0，f（0））处切线的方程为x﹣y+6=0．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，根据f′（1）•f′（3）＜0，得到关于a的不等式，求出a的值，从而计算f（0），f′（0）的值，求出切线方程即可．【解答】解：f′（x）=e x[x2+（2﹣a）x+1]，若f （x ）在（1，3）只有1个极值点， 则f′（1）•f′（3）＜0， 即（a ﹣4）（3a ﹣16）＜0，解得：4＜a ＜，a ∈N ，故a=5；故f （x ）=e x （x 2﹣5x +6），f′（x ）=e x （x 2﹣3x +1）， 故f （0）=6，f′（0）=1， 故切线方程是：y ﹣6=x ， 故答案为：x ﹣y +6=0．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且3S n =a n +1﹣1． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设等差数列{b n }的前n 项和为T n ，a 2=b 2，T 4=1+S 3，求的值．【考点】8H ：数列递推式；8E ：数列的求和．【分析】（1）利用递推关系a 1=1，且3S n =a n +1﹣1，可得当n ＞1时，3S n ﹣1=a n ﹣1，两式相减，可得a n +1=4a n （n ≥2），再验证n=1的情况，即可判断数列{a n }是首项为1，公比为4的等比数列，从而可求数列{a n }的通项公式；（2）依题意，可求得b n =3n ﹣2，利用裂项法可得=（﹣），于是可求的值．【解答】解：（1）∵3S n =a n +1﹣1①，∴当n ＞1时，3S n ﹣1=a n ﹣1 ②，… ①﹣②得3（S n ﹣S n ﹣1）=3a n =a n +1﹣a n ，则a n +1=4a n ，… 又a 2=3a 1+1=4=4a 1，…∴数列{a n }是首项为1，公比为4的等比数列， 则a n =4n ﹣1，…（2）由（1）得a 2=4，S 3=21…则，得b3=7，…设数列{b n}的公差为d，则b1=1，d=3，…∴b n=3n﹣2，…∴==（﹣），…∴= [（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=．…18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．【考点】BD：用样本的频率分布估计总体分布；B8：频率分布直方图；BB：众数、中位数、平均数．【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a的值；（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，数学成绩在[60，70）的人数为：，数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=，点E在AD上，且AE=2ED．（Ⅰ）已知点F在BC上，且CF=2FB，求证：平面PEF⊥平面PAC；（Ⅱ）若△PBC的面积是梯形ABCD面积的，求点E到平面PBC的距离．【考点】MK：点、线、面间的距离计算；L Y：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）已知点F在BC上，且CF=2FB，证明EF⊥平面PAC，即可证明：平面PEF⊥平面PAC；（Ⅱ）E到平面PBC的距离即时A到平面PBC的距离，利用V A﹣PBC =V P﹣ABC，求点E到平面PBC的距离．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB⊥AC，AB=AC，∴∠ACB=45°，∵底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，∴∠ACD=45°，即AD=CD，∴，∵AE=2ED，CF=2FB，∴，∴四边形ABFE是平行四边形，则AB∥EF，∴AC⊥EF，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥EF，∵PA∩AC=A，∴EF⊥平面PAC，∵EF⊂平面PEF，∴平面PEF⊥平面PAC．（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABCD，且AB=AC，∴PB=PC，取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，AG=CD=1设PA=x，连接PG，则，∵侧面PBC的面积是底面ABCD的倍，∴，即PG=2，求得，∵AD∥BC，∴E到平面PBC的距离即时A到平面PBC的距离，∵V A﹣PBC =V P﹣ABC，S△PBC=2S△ABC，∴E到平面PBC的距离为．20．已知F 1（﹣c ，0）、F 2（c 、0）分别是椭圆G ： +=1（0＜b ＜a ＜3）的左、右焦点，点P （2，）是椭圆G 上一点，且|PF 1|﹣|PF 2|=a ．（1）求椭圆G 的方程；（2）设直线l 与椭圆G 相交于A 、B 两点，若⊥，其中O 为坐标原点，判断O 到直线l 的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的定义，求得丨PF 1丨=a=3|PF 2|，根据点到直线的距离公式，即可求得c 的值，则求得a 的值，b 2=a 2﹣c 2=4，即可求得椭圆方程； （2）当直线l ⊥x 轴，将直线x=m 代入椭圆方程，求得A 和B 点坐标，由向量数量积的坐标运算，即可求得m 的值，求得O 到直线l 的距离；当直线AB 的斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，即可求得O 到直线l 的距离为定值．【解答】解：（1）由椭圆的定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a ．由|PF 1|﹣|PF 2|=a ．∴丨PF 1丨=a=3|PF 2|，则=3，化简得：c 2﹣5c +6=0，由c ＜a ＜3， ∴c=2，则丨PF 1丨=3=a ，则a=2，b 2=a 2﹣c 2=4，∴椭圆的标准方程为：；（2）由题意可知，直线l 不过原点，设A （x 1，x 2），B （x 2，y 2），①当直线l ⊥x 轴，直线l 的方程x=m ，（m ≠0），且﹣2＜m ＜2，则x 1=m ，y 1=，x 2=m ，y 2=﹣，由⊥，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即m 2﹣（4﹣）=0，解得：m=±，故直线l的方程为x=±，∴原点O到直线l的距离d=，②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+n，则，消去y整理得：（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8=0，x1+x2=﹣，x1x2=，则y1y2=（kx1+n）（kx2+n）=k2x1x2+kn（x1+x2）+n2=，由⊥，∴x1x2+y1y2=0，故+=0，整理得：3n2﹣8k2﹣8=0，即3n2=8k2+8，①则原点O到直线l的距离d=，∴d2=（）2==，②将①代入②，则d2==，∴d=，综上可知：点O到直线l的距离为定值．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（a∈R）与函数F（x）=x+的图象没有交点．（1）求a的取值范围；（2）若不等式xf（x）+e＞2﹣a对于x＞0的一切值恒成立，求正数a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）通过讨论f（x）和F（x）的单调性，得到F（x）的最小值，问题转化为关于a的不等式，解出即可；（2）将所要证明的式子变形，建立一个函数，求导后再建立一个新的函数，再求导．需要用到两次求导．再来通过最值确定正负号，再来确实原函数的单调性．【解答】解：（1）由题意得：x＞0，而F（x）的最小值是F（）=2，而f（x）=lnx﹣a在（0，+∞）递增，故只需f（）＜2即可，即ln﹣a＜2，解得：a＞ln﹣2；若函数f（x）=lnx﹣a（a∈R）与函数F（x）=x+的图象没有交点，（2）原式等价于xlnx+a+e﹣2﹣ax≥0在（0，+∞）上恒成立．令g（x）=xlnx+a+e﹣2﹣ax．∵g′（x）=lnx+1﹣a令g′（x）=0，得x=e a﹣1①0＜x＜e a﹣1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减②e a﹣1＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增∴g（x）的最小值为g（e a﹣1）=（a﹣1）e a﹣1+a+e﹣2﹣ae a﹣1=a+e﹣2﹣e a﹣1．令t（x）=x+e﹣2﹣e a﹣1．∵t′（x）=1﹣e a﹣1．令t′（x）=0．得x=1．且③0＜x＜1时，t′（x）＞0，t（x）单调递增④1＜x时，t′（x）＜0，t（x）单调递减∴当a∈（0，1）时，g（x）的最小值t（a）＞t（0）=e﹣2﹣=＞0．当a∈[1，+∞）时，g（x）的最小值为t（a）=a+e﹣2﹣e a﹣1≥0=t（2）．∴a∈[1，2]．综上得：a∈（0，2]．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，已知三点O（0，0），A（2，），B（2，）．（1）求经过O，A，B的圆C1的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为（θ是参数），若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．【考点】QK：圆的参数方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）求出圆C1的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程；（2）将圆C2化成普通方程，根据两圆外切列出方程解出a．【解答】解：（1）将O，A，B三点化成普通坐标为O（0，0），A（0，2），B （2，2）．∴圆C1的圆心为（1，1），半径为，∴圆C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，将代入普通方程得ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0，∴ρ=2sin（）．（2）∵圆C2的参数方程为（θ是参数），∴圆C2的普通方程为（x+1）2+（y+1）2=a2．∴圆C2的圆心为（﹣1，﹣1），半径为|a|，∵圆C1与圆C2外切，∴2=+|a|，解得a=±．五、选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|，g（x）=a﹣|x﹣2|．（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，求a+b的值．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）求出g（x）=a﹣|x﹣2|取最大值为a，f（x）的最小值4，利用关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，代入相应函数，求出a，b，即可求a+b的值．【解答】解：（Ⅰ）当x=2时，g（x）=a﹣|x﹣2|取最大值为a，∵f（x）=|x+1|+|x﹣3|≥4，当且仅当﹣1≤x≤3，f（x）取最小值4，∵关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，∴a＞4，即实数a的取值范围是（4，+∞）．（Ⅱ）当时，f（x）=5，则，解得，∴当x＜2时，，令，得∈（﹣1，3），∴，则a+b=6．2017年5月24日。
2012年唐山二模文科数学试题及答案
1 河北省唐山市2011—2012 学年度高三年级第二次模拟考试数学（文）试题说明：一、本试卷共4 页，包括三道大题，24 道小题，共150 分，其中1．～(21)小题为必做题，(22)～(24)小题为选做题．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案，四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回，参考公式：样本数据n x x x 的标准差；x x x x x x x n s n 其中为样本平均数；柱体体积公式：为底面面积其中、h 为高；锥体体积公式：h S Sh V , , 3 1 为底面面积其中为高；球的表面积、体积公式：,其中R 为球的半径。
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．已知，则复数z 的共轭复数为A．3+i B．3-i C．-3-i D．-3+i 2．己知集合A={l，2，3），集合B=（2，3，4），则A ( ) N C B = A．{l} B．f0,1} C．{1,2,3} D．（2,3,4）3．己知命题p：“a>b”是“2 a >2 b ”的充要条件；q：∈R，lx+l l≤x，则A．为真命题B．q 为真命题C．为真命题D．为假命题4．已知是第三象限的角，且，则sin（）= A．．10 10 C．．3 10 10 5．设变量x、y 满足则目标函数z=2x+y 的最小值为 2 A． 3 2 B．2 C．4 D．6 6．把函数y=sin（2x- ）的图象向左平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为A．x=0 B．．x= 6 ．x=—．执行如图所示的算法，若输出的结果y≥2，则输入的x 满足A．x≥4 B．x≤-l C．-1≤x≤4 D．x≤一l 或x≥4 8．已知某几何体的三视图如图所示，则其体积为A．2 B．l C． 4 3 D． 5 3 9．曲线在点（0，一1）处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为A．1 B．－ 1 2 C．4 3 D．1 8 10．奇函数f（x）、偶函数g（x）的图象分别如图1、2 所示，方程f（g(x）)=0、g（f(x））=0 的实根个数分别为a、b，则a+b= A．3 B．7 C．10 D．14 11．直线l 与双曲线C：交于A、B 两点，M 是线段AB 的中点，3 若l 与OM （O 是原点）的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为A．2 B．2 C．3 D．3 12．把一个皮球放入如图所示的由8 根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8 根铁丝都有接触点，则皮球的半径为A．l0 3 cm B．10 cm C．10 2 cm D．30cm 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分13．函数的定义域为。
2012年汕头市二模文科数学试卷及答案
2012年汕头市二模文科数学试卷及答案(B卷)2012.5汕头市201２年普通高中高三教学质量测评试题（二）数学（文科）参考答案和评分标准一、选择题答案：本大题共10小题，每小题5分，满分50分1. 答案D 解析：{2,1,0,1,2}U =--，{0,1}U B =ð，故(){0,1,2}U A B = ð．2. 答案C 解析：()()()()1312131,121212i i i i i i i -+--+==+++- 3. 答案B 解析:sin sin sin sin a b b A B A B a =⇒==000180B B A <<>且,0060120B ∴=或4. 答案B 解析：()()22331711111426222a d a a a a d a a d a d q a d=⇒+=+⇒=⇒=== 5. 答案A 解析：函数()l o g mf x x =的反函数为x y m =，1m n -=即1mn =，3m n +≥=8. 答案C 解析：椭圆的面积约为300966416.32300-⨯⨯= 9. 答案 A 解析：21430a a a =-⇒+-=⇒直线260a x y -+=与直线()4390x a y --+=互相垂直；直线260a x y -+=与直线()4390x a y --+=互相垂直24301a a a ⇒+-=⇒=-或34a =.10. 答案 C 解析：①对于()1f x =，当0x =时，有()100f x M =>⨯=，()1f x =不属于有界泛函;对于②()2f x x =，当0x ≠时，有()f x x x =无最大值，()2f x x =不属于有界泛函；对于③()21x f x x x =++，当0x ≠时，有()22114131324f x x x x x ==≤++⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()21x f x x x =++属于有界泛函. 二、填空题答案：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分． ㈠必做题（11～13题） 11.2y x =± 12. 1113. ㈡选做题（14~15题是选做题，考生只能从中选做一题；如果两题都做，以第14题的得分为最后得分）14.15. 115︒详细解答： 11. 解析：222211244y y x x y x -=-⇒-=⇒=± 【答案】2y x =± 12. 解析：1+1+2+3+4=11 【答案】1113.解析：2a b -====r r14. 解析：直线方程为1y x =+，圆的方程为()2211x y -+=．于是圆心()1,0到直线10x y -+=的=15. 解析：，，，由已知得：连接0090BAC 25BCA AC =∠=∠0ABC 65∠=，00ADC 180ABC 115∠=-∠= 【答案】115︒。
2012年高考真题——文科数学(新课标_河南卷)Word版_含答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅ （2）复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i 3、在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12 （D ）1（4）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）455、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z =－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则 （A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数（C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数 （D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6（B）9（C）12（D）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π（9）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）8(11)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) （12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2012年高考真题汇编——文科数学(解析版)4：三角函数
2 012高考试题分类汇编：4：三角函数一、选择题1.【2012高考安徽文7】要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象 （A ） 向左平移1个单位 （B ） 向右平移1个单位 （C ） 向左平移 12个单位 （D ） 向右平移12个单位 【答案】C【解析】 cos 2cos(21)y x y x =→=+左+1，平移12。
2.【2012高考新课标文9】已知ω>0，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4 【答案】A 【解析】因为4π=x 和45π=x 是函数图象中相邻的对称轴，所以2445T=-ππ，即ππ2,2==T T .又πωπ22==T ，所以1=ω，所以)sin()(ϕ+=x x f ，因为4π=x 是函数的对称轴所以ππϕπk +=+24，所以ππϕk +=4，因为πϕ<<0，所以4πϕ=，检验知此时45π=x 也为对称轴，所以选A. 3.【2012高考山东文8】函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为(A)2 (B)0 (C)－1 (D)1-【答案】A【解析】因为90≤≤x ，所以6960ππ≤≤x ，369363πππππ-≤-≤-x ，即67363ππππ≤-≤-x ，所以当336πππ-=-x 时，最小值为3)3s in (2-=-π，当236πππ=-x 时，最大值为22sin2=π，所以最大值与最小值之和为32-，选A.4.【2012高考全国文3】若函数()sin ([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ （A ）2π（B ）32π （C ）23π （D ）35π【答案】C【解析】函数)33sin(3sin )(ϕϕ+=+=x x x f ，因为函数)33sin()(ϕ+=x x f 为偶函数，所以ππϕk +=23，所以Z k k ∈+=,323ππϕ,又]2,0[πϕ∈，所以当0=k 时，23πϕ=，选C. 5.【2012高考全国文4】已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）2524【答案】B【解析】因为α为第二象限，所以0cos <α，即54sin 1cos 2-=--=αα，所以25125354cos sin 22sin -=⨯-==ααα，选B.6.【2012高考重庆文5】sin 47sin17cos30cos17-（A ）B ）12-（C ）12（D 【答案】C【解析】sin 47sin17cos30sin(3017)sin17cos30cos17cos17-+-=sin 30cos17cos30sin17sin17cos30sin 30cos171sin 30cos17cos172+-====，选C.7.【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】由题意，y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即解析式为y=cosx+1，向左平移一个单位为y=cos （x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos （x-1)，利用特殊点,02π⎛⎫⎪⎝⎭变为1,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，选A. 8.【2012高考上海文17】在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定【答案】A【解析】根据正弦定理可知由C B A 222sin sin sin <+,可知222c b a <+，在三角形中02cos 222<-+=abc b a C ，所以C 为钝角，三角形为钝角三角形，选A.9.【2012高考四川文5】如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）（1）10B 、10C 、10D 、15【答案】B【解析】 2EB EA AB =+=，EC ===3424EDC EDA ADC πππ∠=∠+∠=+=，由正弦定理得sin sin 5CED DC EDC CE ∠===∠，所以3sin sin sin 4CED EDC π∠=∠==10.【2012高考辽宁文6】已知sin cos αα-=α∈(0，π)，则sin 2α=(A)-1 (B)2- (C) 2(D) 1 【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=-故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。
9套【高考真题】2012-2016年高考数学(文科)课标卷全国卷(一、二、三)(Word版,含答案解析)
（9套）【高考真题】2012-2016年高考数学（文科）课标卷（Word精校版，含答案解析）目录2012年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷) 【高考真题】2013年高考数学（文科）课标卷（二）Ⅱ【高考真题】2014年高考数学（文科）课标卷（一）Ⅰ【高考真题】2014年高考数学（文科）课标卷（二）Ⅱ【高考真题】2015年高考数学（文科）课标卷(一)Ⅰ2015年普通高等学校招生全国统一考试文科、全国卷二2016年普通高等学校招生全国统一考试文科、全国卷一2016年普通高等学校招生全国统一考试文科、全国卷二2016年普通高等学校招生全国统一考试文科、全国卷三2012年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则( )A.A⫋BB.B⫋AC.A=BD.A∩B=⌀2.复数z=的共轭复数是( )A.2+iB.2-IC.-1+iD.-1-i3.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)(n≥2,x1,x2,…,x n不全相等)的散点图中,若所有样本点(x i,y i)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为( )A.-1B.0C.D.14.设F1、F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )A. B. C. D.5.已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=-x+y的取值范围是( )A.(1-,2)B.(0,2)C.(-1,2)D.(0,1+)6.如果执行如图的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,a N,输出A,B,则( )A.A+B为a1,a2,…,a N的和B.为a1,a2,…,a N的算术平均数C.A和B分别是a1,a2,…,a N中最大的数和最小的数D.A和B分别是a1,a2,…,a N中最小的数和最大的数7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )A.6B.9C.12D.188.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为( )A.πB.4πC.4πD.6π9.已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( )A. B. C. D.10.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为( )A. B.2 C.4 D.811.当0<x≤时,4x<log a x,则a的取值范围是( )A. B. C.(1,) D.(,2)12.数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,则{a n}的前60项和为( )A.3 690B.3 660C.1 845D.1 830第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.14.等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3+3S2=0,则公比q= .15.已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|= .16.设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m= .三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=asin C-ccos A.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.18.(本小题满分12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数; (ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.19.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点. (Ⅰ)证明:平面BDC1⊥平面BDC;(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.20.(本小题满分12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(Ⅰ)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(Ⅱ)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=e x-ax-2.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0,求k的最大值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明:(Ⅰ)CD=BC;(Ⅱ)△BCD∽△GBD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为.(Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标;(Ⅱ)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(Ⅰ)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(Ⅱ)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.2012年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)一、选择题1.B A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},则B⫋A,故选B.评析本题考查了集合的关系以及二次不等式的解法.2.D z====-1+i,=-1-i,故选D.评析本题考查了复数的运算,易忽略共轭复数而错选.3.D 所有点均在直线上,则样本相关系数最大即为1,故选D.评析本题考查了线性回归,掌握线性回归系数的含义是解题关键,本题易错选C.4.C 设直线x=a与x轴交于点Q,由题意得∠PF2Q=60°,|F2P|=|F1F2|=2c,|F2Q|=a-c,∴a-c=³2c,e==,故选C.评析本题考查了椭圆的基本性质,考查了方程的思想,灵活解三角形对求解至关重要.5.A 由题意知区域为△ABC(不含边界).当直线-x+y-z=0过点C(1+,2)时,z min=1-;当过点B(1,3)时,z max=2.故选A.评析本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想.正确理解直线的斜率、截距的几何意义是求解的关键.6.C 不妨令N=3,a1<a2<a3,则有k=1,A=a1,B=a1;x=a2,A=a2;x=a3,A=a3,故输出A=a3,B=a1,选C. 评析本题考查了流程图,考查了由一般到特殊的转化思想.7.B 由三视图可得,该几何体为三棱锥S-ABC,其中底面△ABC为等腰三角形,底边AC=6,AC 边上的高为3,SB⊥底面ABC,且SB=3,所以该几何体的体积V=³³6³3³3=9.故选B.评析本题考查了三视图和三棱锥的体积,考查了空间想象能力.由三视图正确得到该几何体的直观图是求解的关键.8.B 如图,设平面α截球O所得圆的圆心为O1,则|OO1|=,|O1A|=1,∴球的半径R=|OA|==.∴球的体积V=πR3=4π.故选B.评析本题考查了球的基础知识,利用勾股定理求球的半径是关键.9.A 由题意得=2,∴ω=1,∴f(x)=sin(x+φ),则+φ=kπ+(k∈Z),φ=kπ+(k∈Z),又0<φ<π,∴φ=,故选A.评析本题考查了三角函数的图象和性质,掌握相邻对称轴的距离为周期的一半是关键.10.C 由题意可得A(-4,2).∵点A在双曲线x2-y2=a2上,∴16-12=a2,a=2,∴双曲线的实轴长2a=4.故选C.评析本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实轴长为2a.11.B 易知0<a<1,则函数y=4x与y=log a x的大致图象如图,则只需满足log a>2,解得a>,故选B.评析本题考查了利用数形结合解指数、对数不等式.12.D 当n=2k时,a2k+1+a2k=4k-1,当n=2k-1时,a2k-a2k-1=4k-3,∴a2k+1+a2k-1=2,∴a2k+1+a2k+3=2,∴a2k-1=a2k+3,∴a1=a5=…=a61.∴a1+a2+a3+…+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a60+a61)=3+7+11+…+(2³60-1)==30³61=1 830.评析本题考查了数列求和及其综合应用,考查了分类讨论及等价转化的数学思想.二、填空题13.答案y=4x-3解析y'=3ln x+1+x²=3ln x+4,k=y'|x=1=4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.评析本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.14.答案-22=0,解得q=-2.解析由S评析本题考查了等比数列的运算,直接利用定义求解可达到事半功倍的效果.15.答案3解析把|2a-b|=两边平方得4|a|2-4|a|²|b|²cos 45°+|b|2=10.∵|a|=1,∴|b|2-2|b|-6=0.∴|b|=3或|b|=-(舍去).评析本题考查了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量问题转化为数量问题是求解的关键.16.答案 2解析f(x)==1+,令g(x)=,则g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2.评析本题考查了函数性质的应用,运用了奇函数的值域关于原点对称的特征,考查了转化与化归的思想方法.三、解答题17.解析(Ⅰ)由c=asin C-c²cos A及正弦定理得²sin A²sin C-cos A²sinC-sin C=0.由于sin C≠0,所以sin=.又0<A<π,故A=.(Ⅱ)△ABC的面积S=bcsin A=,故bc=4.而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8.解得b=c=2.评析本题考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想,灵活利用正、余弦定理是求解关键,正确的转化是本题的难点.18.解析(Ⅰ)当日需求量n≥17时,利润y=85.当日需求量n<17时,利润y=10n-85.所以y关于n的函数解析式为y=(n∈N).(Ⅱ)(i)这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所以这100天的日利润的平均数为(55³10+65³20+75³16+85³54)=76.4.(ii)利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.评析本题考查概率统计,考查运用样本频率估计总体概率及运算求解能力.19.解析(Ⅰ)证明:由题设知BC⊥CC 1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.(Ⅱ)设棱锥B-DACC1的体积为V1,AC=1.由题意得V1=³³1³1=.又三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1,所以(V-V1)∶V1=1∶1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.评析本题考查了线面垂直的判定,考查了体积问题,同时考查了空间想象能力,属中档难度.20.解析(Ⅰ)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.因为△ABD的面积为4,所以|BD|²d=4,即²2p²p=4,解得p=-2(舍去),p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(Ⅱ)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,所以∠ABD=30°,m的斜率为或-.当m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0.解得b=-.因为m的截距b1=,=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.评析本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了分类讨论的方法和数形结合的思想.21.解析(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=e x-a.若a≤0,则f '(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0,所以, f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.(Ⅱ)由于a=1,所以(x-k)f '(x)+x+1=(x-k)(e x-1)+x+1.故当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0等价于k<+x(x>0).①令g(x)=+x,则g'(x)=+1=.由(Ⅰ)知,函数h(x)=e x-x-2在(0,+∞)上单调递增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.故g'(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.设此零点为α,则α∈(1,2).当x∈(0,α)时,g'(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g'(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).又由g'(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3).由于①式等价于k<g(α),故整数k的最大值为2.评析本题考查了函数与导数的综合应用,判断出导数的零点范围是求解第(Ⅱ)问的关键.22.证明(Ⅰ)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC.又已知CF∥AB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CF=BD=AD.而CF∥AD,连结AF,所以四边形ADCF是平行四边形,故CD=AF.因为CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC.(Ⅱ)因为FG∥BC,故GB=CF.由(Ⅰ)可知BD=CF,所以GB=BD.而∠DGB=∠EFC=∠DBC,故△BCD∽△GBD.评析本题考查了直线和圆的位置关系,处理好平行的关系是关键.23.解析(Ⅰ)由已知可得A,B2cos+,2sin+,C2cos+π,2sin+π,D2cos+,2sin+,即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).(Ⅱ)设P(2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].评析本题考查了曲线的参数方程和极坐标方程.考查了函数的思想方法,正确“互化”是关键,难点是建立函数S=f(φ).24.解析(Ⅰ)当a=-3时,f(x)=当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;当2<x<3时, f(x)≥3无解;当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4.所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.(Ⅱ)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a.由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[-3,0].评析本题考查了含绝对值不等式的解法,运用零点法分类讨论解含绝对值的不等式,考查了运算求解能力.2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M∩N=()A.{-2,-1,0,1}B.{-3,-2,-1,0}C.{-2,-1,0}D.{-3,-2,-1}2.=( )A.2B.2C.D.13.设x,y满足约束条件则z=2x-3y的最小值是( )A.-7B.-6C.-5D.-34.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为( )A.2+2B.+1C.2-2D.-15.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( )A. B. C. D.6.已知sin 2α=,则cos2=( )A. B. C. D.7.执行右面的程序框图,如果输入的N=4,那么输出的S=( )A.1+++B.1+++C.1++++D.1++++8.设a=log32,b=log52,c=log23,则( )A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b9.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为( )10.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为( )A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)11.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( )A.∃x0∈R, f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f '(x0)=012.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是( )A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是.14.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则²= .15.已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.16.函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位后,与函数y=sin的图象重合,则φ= .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知等差数列{a n}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求a1+a4+a7+…+a3n-2.18.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(Ⅰ)证明:BC1∥平面A1CD;(Ⅱ)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C-A1DE的体积.19.(本小题满分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(Ⅰ)将T表示为X的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率.20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(Ⅰ)求圆心P的轨迹方程;(Ⅱ)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2e-x.(Ⅰ)求f(x)的极小值和极大值;(Ⅱ)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,多答按所答第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC²AE=DC²AF,B,E,F,C四点共圆.(Ⅰ)证明:CA是△ABC外接圆的直径;(Ⅱ)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(Ⅰ)ab+bc+ca≤;(Ⅱ)++≥1.2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.C 由题意得M∩N={-2,-1,0}.选C.2.C ==|1-i|=.选C.3.B 由约束条件得可行域(如图),当直线2x-3y-z=0过点A(3,4)时,z min=2³3-3³4=-6.故选B.4.B 由正弦定理=及已知条件得c=2.又sin A=sin(B+C)=³+³=,从而S△ABC=bcsin A=³2³2³=+1.故选B.5.D 在Rt△PF2F1中,令|PF2|=1,因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2,|F1F2|=.所以e===.故选D.6.A cos2===.选A.评析本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用.7.B 由框图知循环情况为:T=1,S=1,k=2;T=,S=1+,k=3;T=,S=1++,k=4;T=,S=1+++,k=5>4,故输出S.选B.8.D∵<2<3,1<2<,3>2,∴log3<log32<log33,log51<log52<log5,log23>log22,∴<a<1,0 <b<,c>1,∴c>a>b.故选D.9.A 在空间直角坐标系中,易知O(0,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1)恰为单位正方体的四个顶点.因此该几何体以zOx平面为投影面所得的正视图为A.评析本题考查了三视图和直观图,考查了空间想象能力.把几何体补成正方体是求解的关键.10.C 设直线AB与抛物线的准线x=-1交于点C.分别过A,B作AA1垂直准线于A1,BB1垂直准线于B1.由抛物线的定义可设|BF|=|BB1|=t,|AF|=|AA1|=3t.由三角形的相似得==,∴|BC|=2t,∴∠B1CB=,∴直线的倾斜角α=或π.又F(1,0),∴直线AB的方程为y=(x-1)或y=-(x-1).故选C.11.C 由三次函数的值域为R知, f(x)=0必有解,A项正确;因为f(x)=x3+ax2+bx+c的图象可由曲线y=x3平移得到,所以y=f(x)的图象是中心对称图形,B项正确;若y=f(x)有极值点,则其导数y=f '(x)必有2个零点,设为x1,x2(x1<x2),则有f '(x)=3x2+2ax+b=3(x-x1)(x-x2),所以f(x)在(-∞,x1)上递增,在(x1,x2)上递减,在(x2,+∞)上递增,则x2为极小值点,所以C项错误,D项正确.选C.评析本题考查了三次函数的图象和性质,考查了利用导数研究函数的单调性和极值.掌握基本初等函数的图象和性质是解题关键.12.D 由2x(x-a)<1得a>x-,令f(x)=x-,即a>f(x)有解,则a>f(x)min,又y=f(x)在(0,+∞)上递增,所以f(x)>f(0)=-1,所以a>-1,选D.评析本题考查了函数的值域与最值的求法,考查了分离参变量的方法,熟悉基本初等函数的单调性是解题关键.二、填空题13.答案0.2解析任取两个不同的数的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,其中和为5的有2种,所以所求概率为=0.2.14.答案 2解析解法一:²=²(-)=-+0=22-³22=2.解法二:以A为原点建立平面直角坐标系(如图).则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(1,2).∴=(1,2),=(-2,2).从而²=(1,2)²(-2,2)=1³(-2)+2³2=2.评析本题考查了向量的基本运算.向量的运算可以利用运算法则也可以利用坐标运算.15.答案24π解析设底面中心为E,则|AE|=|AC|=,∵体积V=³|AB|2³|OE|=|OE|=,∴|OA|2=|AE|2+|OE|2=6.从而以|OA|为半径的球的表面积S=4π²|OA|2=24π.评析本题考查了正四棱锥和球,考查了表面积和体积,考查了空间想象能力和运算求解能力.计算错误是失分的主要原因.16.答案π解析令y=f(x)=cos(2x+φ),将其图象向右平移个单位后得f=cos=cos(2x+φ-π)=sin=sin的图象,因为其与y=sin的图象重合,所以φ-=+2kπ(k∈Z),所以φ=2kπ+π(k∈Z),又-π≤φ<π,所以φ=π.三、解答题17.解析(Ⅰ)设{a n}的公差为d.由题意得,=a1a13,即(a1+10d)2=a1(a1+12d).于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=0(舍去)或d=-2.故a n=-2n+27.(Ⅱ)令S n=a1+a4+a7+…+a3n-2.由(Ⅰ)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.从而S n=(a1+a3n-2)=(-6n+56)=-3n2+28n.18.解析(Ⅰ)证明:连结AC 1交A1C于点F,则F为AC1中点.又D是AB中点,连结DF,则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(Ⅱ)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.由于AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=2得∠ACB=90°,CD=,A1D=,DE=,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.所以=³³³³=1.评析本题考查了三棱柱的性质,考查了直线与平面平行的判定和体积的计算,考查了空间想象能力和运算求解能力.正确地选择方法和规范化解题至关重要.19.解析(Ⅰ)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000.当X∈[130,150]时,T=500³130=65 000.所以T=(Ⅱ)由(Ⅰ)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.20.解析(Ⅰ)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设得y2+2=r2,x2+3=r2.从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1.(Ⅱ)设P(x0,y0),由已知得=.又P在双曲线y2-x2=1上,从而得由得此时,圆P的半径r=.由得此时,圆P的半径r=.故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.21.解析(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f '(x)=-e-x x(x-2).①当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时, f '(x)<0;当x∈(0,2)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递增.故当x=0时, f(x)取得极小值,极小值为f(0)=0;当x=2时, f(x)取得极大值,极大值为f(2)=4e-2.(Ⅱ)设切点为(t, f(t)),则l的方程为y=f '(t)(x-t)+f(t).所以l在x轴上的截距为m(t)=t-=t+=t-2++3.由已知和①得t∈(-∞,0)∪(2,+∞).令h(x)=x+(x≠0),则当x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为[2,+∞);当x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3).所以当t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[2+3,+∞).综上,l在x轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[2+3,+∞).评析本题考查了导数的应用,均值定理求最值,考查了综合解题的能力,正确地求导是解题的关键.22.解析(Ⅰ)证明:因为CD为△ABC外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知=,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.因为B,E,F,C四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径.(Ⅱ)连结CE,因为∠CBE=90°,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DB²BA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.而DC2=D B²DA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.23.解析(Ⅰ)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cosα+cos 2α,sin α+sin 2α).M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).(Ⅱ)M点到坐标原点的距离d==(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.24.证明(Ⅰ)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.(Ⅱ)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.所以++≥1.2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|-1<x<3},N={x|-2<x<1},则M∩N=()A.(-2,1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(-2,3)2.若tan α>0,则( )A.sin α>0B.cos α>0C.sin 2α>0D.cos 2α>03.设z=+i,则|z|=( )A. B. C. D.24.已知双曲线-=1(a>0)的离心率为2,则a=( )A.2B.C.D.15.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数6.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=( )A. B. C. D.7.在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos,④y=tan中,最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③B.①③④C.②④D.①③8.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱9.执行下面的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=( )A. B. C. D.10.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=( )A.1B.2C.4D.811.设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a=( )A.-5B.3C.-5或3D.5或-312.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-1)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为.14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.15.设函数f(x)=则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是.16.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN= m.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知{a n}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求数列的前n项和.18.(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:(Ⅰ)作出这些数据的频率分布直方图;(Ⅱ)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅲ)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?19.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C. (Ⅰ)证明:B1C⊥AB;(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.20.(本小题满分12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(Ⅰ)求M的轨迹方程;(Ⅱ)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=aln x+x2-bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为0. (Ⅰ)求b;(Ⅱ)若存在x0≥1,使得f(x0)<,求a的取值范围.请考生从第22、23、24题中任选一题作答;多答,按所答的首题进行评分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE. (Ⅰ)证明:∠D=∠E;(Ⅱ)设AD不是☉O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲若a>0,b>0,且+=.(Ⅰ)求a3+b3的最小值;(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.B M∩N={x|-1<x<3}∩{x|-2<x<1}={x|-1<x<1}.2.C 由tan α>0得α是第一、三象限角,若α是第三象限角,则A,B错;由sin2α=2sin αcos α知sin 2α>0,C正确;α取时,cos 2α=2cos2α-1=2³-1=-<0,D 错.故选C.评析本题考查三角函数值的符号,判定时可运用基本知识、恒等变形及特殊值等多种方法,具有一定的灵活性.3.B z=+i=+i=+i,因此|z|===,故选B.4.D 由双曲线方程知b2=3,从而c2=a2+3,又e=2,因此==4,又a>0,所以a=1,故选D.5.C 依题意得对任意x∈R,都有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此, f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-[f(x)g(x)],f(x)g(x)是奇函数,A错;|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)是偶函数,B错; f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-[f(x)|g(x)|], f(x)|g(x)|是奇函数,C正确;|f(-x)²g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,D错.故选C.6.A 设=a,=b,则=-b+a,=-a+b,从而+=+=(a+b)=,故选A.7.A ①y=cos|2x|=cos 2x,最小正周期为π;②由图象知y=|cos x|的最小正周期为π;③y=cos的最小正周期T==π;④y=tan的最小正周期T=.因此选A.评析本题考查三角函数的周期性,含有绝对值的函数可先变形再判断,或运用图象判断其最小正周期.8.B 由题中三视图可知该几何体的直观图如图所示,则这个几何体是三棱柱,故选B.评析本题考查几何体的三视图,记住基本几何体的三视图是解题的关键.9.D 由程序框图可知,循环结束,故输出M=,故选D.10.A 由y2=x得2p=1,即p=,因此焦点F,准线方程为l:x=-,设A点到准线的距离为d,由抛物线的定义可知d=|AF|,从而x0+=x0,解得x0=1,故选A.评析本题考查抛物线的定义及标准方程,将|AF|转化为点A到准线的距离是解题的关键.11.B 二元一次不等式组表示的平面区域如图所示,其中A.平移直线x+ay=0,可知在点A处,z取得最值,因此+a³=7,化简得a2+2a-15=0,解得a=3或a=-5,但a=-5时,z取得最大值,舍去,故a=3,故选B.。
数学_2012年天津市河西区高考数学二模试卷(文科)(含答案)
2012年天津市河西区高考数学二模试卷（文科）一．选择题 1. 已知复数z =m+2i 3−4i为实数，则实数m 的值为（ ）A 83B 32C −83D −322. 命题p:∀x ∈R ，都有sinx ≤1，则（ ）A ￢p:∃x 0∈R ，使得sinx 0≥1B ￢p:∃x 0∈R ，使得sinx 0>1C ￢p:∀x 0∈R ，使得sinx 0≥1D ￢p:∀x 0∈R ，使得sinx 0>13. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（ ）A −23B −32C 52D 254. 函数f(x)=log 3x −(13)x 的零点所在区间是（ ） A (0, 1] B (1, 3) C (3, +∞) D [3, +∞) 5. 把函数y =cos 2(x +2π3)的图象向右平移φ(φ>0)个单位后图象关于y 轴对称，则φ的最小值为（ ）A π6B π3C 2π3D 4π36. 已知两条不同的直线m ，n ，两个不同的平面α，β，给出下面的四个命题： ①若m // n ，m // α，则n // α ②若m // n ，m ⊥α，则n ⊥α③若α // β，m // n ，m ⊥α，则n ⊥β ④若α // β，m ⊂α，n ⊂β，则m // n 其中真命题的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 47. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)的两焦点间的线段F 1F 2正好被椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两焦点三等分，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A y =±√53x B y =±2√55x C y =±3√55x D y =±√5x8. 已知函数f(x)={x 2，x ≥0−x 2，x <0，若对任意的x ∈[t, t +2]，不等式f(x +t)≥2f(x)恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A [√2, +∞)B (√2, +∞)C (0, 2]D [−√2，−1]∪[√2,√3]二．填空题9.某学习小组的7位同学在一次考试中的成绩如茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为________． 10. 已知正实数a ，b 满足2a +1b =1，则a +2b 的最小值为________． 11. 已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是________．12. 如图，已知AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，CP =5a 8，∠AOP =60∘，则PD =________．13. 已知直线x +y +m =0与圆x 2+y 2=2交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，|OA →+OB →|≥|AB →|，那么实数m 的取值范围是________．14. 如图，在正方形ABCD 中，已知AB =2，M 为BC 的中点，若N 为正方形内（含边界）任意一点，则AM →⋅AN →的最大值是________．三．解答题15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cosA =13. （1）求cos 2B+C 2+cos2A 的值；（2）若a =2,c =32，求角C 和△ABC 的面积．16. 某班级有数学、物理、化学三个兴趣小组，各有三名成员，现从三个小组中各选出一人参加一个座谈会．（1）列出所有可能地结果；（2）求数学小组的甲同学没有被选中，物理小组的乙同学被选中的概率； （3）求数学小组的甲同学和物理小组的乙同学中至少有一人不被选中的概率．17. 已知在四棱锥P 一ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =1，AB =2，E 、F 分别是AB 、PD 的中点． (1)求证：AF // 平面PEC ；(2)求PC 与平面ABCD 所成角的正切值； (3)求二面角P −EC −D 的正切值．18. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为2√3，离心率为√32．（1）求椭圆方程；（2）设过椭圆顶点B(0, b)，斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求k 2的值．19. 已知a >0，函数f(x)=x 3−3a 2x −2a ，x ∈[0, 1]． （1）当a =1时，求f(x)在点（2, f(2)）处的切线方程； （2）求函数f(x)的单调区间； （3）设函数g(x)=4x 2−72−x是否存在实数a ≥1，使得对于任意x 1∈[0, 1]总存在x 0∈[0, 1]满足f(x 1)=g(x 0)？若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．20. 已知曲线C:y =x 2(x >0)，过C 上的点A 1(1, 1)作曲线C 的切线l 1交x 轴于点B 1，再过点B 1作y 轴的平行线交曲线C 于点A 2，再过点A 2作曲线C 的切线l 2交x 轴于点B 2，再过点B 2作y 轴的平行线交曲线C 于点A 3，…，依次作下去，记点A n 的横坐标为a n (n ∈N ∗) （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：a n S n ≤1； （3）求证：∑1a i S in i=1≤4n −13．2012年天津市河西区高考数学二模试卷（文科）答案1. D2. B3. C4. B5. A6. B7. B8. A9. 8.810. 811. 73π12. 65a13. (−2,−√2]∪[√2,2)14. 615. 解：(1)cos2B+C2+cos2A=1+cos(B+C)2+2cos2A−1=1−cosA2+2cos2A−1=2cos2A−12cosA−12=−49（2）∵ 在△ABC中cosA=13∴ sinA=2√23且A为锐角∴ 由asinA =csinC得sinC=csinAa，而a=2,c=32，sinA=2√23解得：sinC=√22∵ c<a∴ 0<C<A<π2∴ C=π4∵ A+B+C=π∴ sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=√22(2√23+13)=23+√26∴ S△ABC=12acsinB=1+√24．16. 解：（1）所有可能的结果为：（数甲，物甲，化甲），（数甲，物甲，化乙），（数甲，物甲，化丙），（数甲，物乙，化甲），（数甲，物乙，化乙），（数甲，物乙，化丙），（数甲，物丙，化甲），（数甲，物丙，化乙），（数甲，物丙，化丙），（数乙，物甲，化甲），（数乙，物甲，化乙），（数乙，物甲，化丙），（数乙，物乙，化甲），（数乙，物乙，化乙），（数乙，物乙，化丙），（数乙，物丙，化甲），（数乙，物丙，化乙），（数乙，物丙，化丙），（数丙，物甲，化甲），（数丙，物甲，化乙），（数丙，物甲，化丙），（数丙，物乙，化甲），（数丙，物乙，化乙），（数丙，物乙，化丙），（数丙，物丙，化甲），（数丙，物丙，化乙），（数丙，物丙，化丙），共27种结果．（2）记事件A为“数学小组的甲同学没有被选中，物理小组的乙同学被选中”，则A包含的基本事件为：（数乙，物乙，化甲），（数乙，物乙，化乙），（数乙，物乙，化丙），（数丙，物乙，化甲），（数丙，物乙，化乙），（数丙，物乙，化丙），共6种结果，所有P(A)=627=29．（3）记事件B 为“数学小组的甲同学和物理小组的乙同学中至少有一人不被选中”，则B 的对立事件为“数学小组的甲同学和物理小组的乙同学中都被选中”，它包含的事件为 （数甲，物乙，化甲），（数甲，物乙，化乙），（数甲，物乙，化丙）共3种结果， 所有P(B)=1−327=89．17. 解：(1)取PC 的中点O ，连接OF 、OE ． ∴ FO // DC ，且FO =12DC∴ FO // AE又E 是AB 的中点．且AB =DC ． ∴ FO =AE ．∴ 四边形AEOF 是平行四边形．∴ AF // OE 又OE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ∴ AF // 平面PEC (2)连接AC∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ ∠PCA 是直线PC 与平面ABCD 所成的角 在Rt △PAC 中，tan∠PCA =PA AC=√5=√55即直线PC 与平面ABCD 所成的角正切为√55(3)作AM ⊥CE ，交CE 的延长线于M ．连接PM ，由三垂线定理，得PM ⊥CE∴ ∠PMA 是二面角P −EC −D 的平面角 由△AME ∽△CBE ，可得AM =√22， ∴ tan∠PMA =PA AM=√2∴ 二面角P 一EC 一D 的正切为√218.解：（1）由已知2c =2√3，ca =√32．… 解得a =2,c =√3，…所以b 2=a 2−c 2=1， 椭圆的方程为x 24+y 2=1．…（2）由（1）得过B 点的直线为y =kx +1， 由{x 24+y 2=1y =kx +1得(4k 2+1)x 2+8kx =0，…所以x D =−8k1+4k 2，所以y D =1−4k 21+4k 2，… 依题意k ≠0，k ≠±12．因为|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，所以|BE|2=|BD||DE|，… 所以b 2=(1−y D )|y D |，即(1−y D )|y D |=1，…当y D >0时，y D 2−y D +1=0，无解，…当y D <0时，y D 2−y D −1=0，解得y D =1−√52，…所以1−4k 21+4k 2=1−√52，解得k 2=2+√54，所以，当|BD|，|BE|，|DE|成等比数列时，k 2=2+√54．…19. 解：（1）当a =1时，f(x)=x 3−3x −2，f(2)=0， f′(x)=3x 2−3，f′ （2）=9，所以f(x)在点（2, f(2)）处的切线方程为：y −0=9(x −2)，即9x −y −18=0； （2）f′(x)=3x 2−3a 2=3(x +a)(x −a)， 令f′(x)=0，解得x =a 或−a ， 因为a >0，所以a >−a ， 当0<a <1时，x ∈[0, 1]，令f′(x)>0，得a <x ≤1，所以f(x)在[a, 1]上为增函数，令f′(x)<0，得0≤x <a ，所以f(x)在[0, a]上为减函数；当a ≥1时，x ∈[0, 1]，f′(x)≤0恒成立，所以f(x)在[0, 1]上为减函数；综上所述，当0<a <1时，f(x)在[a, 1]上为增函数，在[0, a]上为减函数；当a ≥1时，f(x)在[0, 1]上为减函数；（3）由（2）可知，当a ≥1时，f(x)在[0, 1]上为减函数， 所以f(x)∈[1−3a 2−2a, −2a]， 又g′(x)=−4x 2+16x−7(2−x)2，令g′(x)>0，得12<x <72，所以g(x)在[12, 1]上单调递增；令g′(x)<0，得x <12或x >72， 所以f(x)在[0, 12]上单调递减；所以g(x)∈[−4, −3]，假设存在实数a ，使得对于任意x 1∈[0, 1]，总存在x 0∈[0, 1]满足f(x 1)=g(x 0)， 则{1−3a 2−2a ≥−4−2a ≤−3，化简得{−53≤a ≤1a ≥32，不等式无解， 所以这样的实数a 不存在．20. 解：（1）解(I)∵ y ′=2x(x >0)．∴ 曲线C 在点A n (a n , a n 2)处的切线l n 的斜率为k n =2a n ．∴ 切线l n 的方程为y −a n 2=2a n (x −a n )． 令y 0=0得：x =a n 2，∴ B n (an 2, 0)．依题意点A n+1在直线x =a n 2上，∴ a n+1=a n 2(n ∈N ∗)，又a 1=1．∴ 数列{a n }是1为首项，12为公比的等比数列． ∴ an =12n−1． （2）∵ S n =1−12n 1−12=2(1−12n )∴ a n S n =4×12n (1−12n ) 令t =12n，则0<t ≤12∴ a n S n =4t(1−t)=−4(t −12)2+1 ∴ 当t =12时，即n =1时，a n S n 取最大值1即a n S n ≤1（3）∵ S n ≥a n ，(n ∈N ∗)， ∴ a n S n ≥a n S 2， 即1an S n≤1a n2∵ {1a n2}是首项为1，公比为4的等比数列∴ ∑1a i S in i=1≤∑1a i2ni=1=1−4n 1−4=4n −13。
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邯郸市2012年高三二模文科数学答案
一、选择题：ACDCB CBDBC CB
二、填空题：13、45 14、2 15、23 16、28yx
17. 解：(I)由已知1cos2A，得 2A，23,sin32AA………2分
又sinsinabAB，且2b，得 1sin2B，所以6B……………4分
（II）由6B，得 6C，所以2cb……………6分
22()cos2sin()cos22sin()613cos21cos(2)cos21cos2sin2322sin(2)16fxxcxBxxxxxxxx
……………8分
()fx
的最小正周期为……………10分
令222262kxk，得,36kxkkZ
()fx的单增区间为[,],36kkkZ.……………12分
18. 解：（1）根据随机数表法从以上30名同学的成绩中抽取5名，抽取的编号依次为
16,12,00,02,11，
所对应的成绩依次为126,88,102,112,97
所以这5名同学的平均成绩为12688102112971055„„„„„6分
（2）用M表示事件“选取的2人中恰有一人到C班走班”
由（1）可知5名同学中有2名到C班走班，记2名到C班走班的同学为A,B，另
外3名同学为a,b,c
则从5名同学中选取2名共有10个等可能的基本事件：AB，Aa，Ab，Ac，Ba，
Bb，Bc，ab，ac，bc.其中事件Ｍ包含6个基本事件：Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc.
63
()105PM
答：选取的5名同学的平均成绩为105分；从5名同学中选取2名，恰有1人到
C班走班的概率为35.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分
12,46AABCABOAOABCAOABCOABCABOCABAOCABACQQV1111119.（）证明顶点在底面上的射影为的中点，
底面，…………………………分
连接为等边三角形
………………………………………………分
平面…………………………分
111111
111
111
1
(2)//8131123321233EABBACABBAABBACCABBAECCEABBAVVSCOABOACOQ平面
当点在棱上运动时，四棱锥的体积为定值分
分
22
2
2
33(1)(3)(3)114,3,12144ccaaAFBFacbxEy
uuuruuur20.解：由题意知
分
椭圆的方程为分
2
2
22
222
1(2),,(,),25,1,4525.65,:,440(14)84(1)0, (OMONMNMNxOMONMmmmMEmmlMNMNykxmxykxkmxmMxuuuruuurQuuuruuurQ 当斜率不存在时轴由于，故可设 点在椭圆上所以即，原点到直线的距离为分 当斜率存在时设的方程为代入 得设122
2
1212
22
22
12121212
22
2
22
2,),(,)84(1) ,81414()()(1)()54(1)01454(1), 1016(14yNxykmmxxxxkkOMONxxkxmkxmkxxkmxxmmkkmkkuuuruuur分 由 得分代入22
2
2
2
22
16
)(161)0 5||25151254,,.1255mkmmdkkllxy
为常数
综上原点到直线的距离为所以直线与圆相切分
21. 解：
（I）易知0.x
求导得 244()(0)xfxxxxx， ……………2分
当()()xfxfx变化时，，的变化如下表：
x
（0,2） 2 （2，+）
()fx
0 +
()fx
24ln2
所以，()fx的单调递减区间是（0,2）；()fx的单调递增区间是（2，+）. ……4分
（II）令21()()()ln(1)2Fxfxgxxaxax，由题意可知()0Fx在[1,]e上恒成立．
()(1)()(1)axaxFxxaxx
………………6分
当1a且1a时，()0Fx恒成立，函数()Fx在区间[1,]e上单调递增
∴当1x时，()Fx取到最小值为12a
则102a，解得12a且1a. ………………8分
当1ae时，()Fx在(1,)a上递减，在(,)ae上递增
∴当xa时，()Fx取到最小值为21ln2aaaa
令21()ln2Gaaaaa，()ln0Gaaa
故()Ga在[1,]e上单调递减 ………………10分
3
()(1)02GaG
2
1
ln02aaaa
不能成立，故此时无解；
综上可得所求实数a的取值范围是1(,1)(1,)2 ………………12分
22.证明：
（1）AF切圆O于点AFAEDCB
,BDACFEABQ
90AEFBDC
o
则FDBC„„„„„„„„„„„„5分
（2）连接ED,
BDACQ，CEAB
,,,DEBC
四点共圆
所以,DECDBCFDBC又
则DECF
则//ADFEDEAFDCEC„„„„„„„„„„10分
23．解：（1）由2sin()3606得3sincos360，
cos,sinxyQ
曲线1C直角坐标方程3360xy„„„„„„„„„„„„„„5分
（2）由题意得，只需求点23cos,2sinB()到直线3360xy距离d的最小值，
26sin()3623cos23sin3642226sin()36263664222d
AB
的最小值为62„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分
24．解（1）()2fx即11222xx 等价于
1111
,2222221222,xxxxx或或
解得111122xxx11或-或<22
所以|11Mxx„„„„„„„„„„„„„„„„5分
（2）当,abM时，11,11ab，
222222
222222
(1)()(12)(2)1(1)(1)0,ababababaabbabababQ
22
(1)()abab
即1abab
所以1abab„„„„„„„„„„„„„„„„10分