弹性力学 第五章 弹性力学基本方程与原理
弹性力学平面问题
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + + fx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ yx ∂σ y ∂τ yz + + + fy = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ zx ∂τ zy ∂σ z + + + fz = 0 ∂x ∂y ∂z
张量表示： 张量表示：
σ ij , j + X j = 0,
1 0 0 0
或：
{σ } = [ D]{ε },
2G + λ λ 2G + λ 对 称 λ 2G + λ λ [ D] = 0 0 0 G 0 0 0 0 G 0 0 0 0 0 G
λ=
E (1 + µ )(1 − 2µ ) E 2(1 + µ )
应力
{σ } = {σ x ,σ y ,σ z ,τ xy ,τ yx ,τ zx }T
σ x τ xy τ xz [σ ij ] = τ yz σ y τ yz τ τ σ z zx zy
应变
{ε } = {ε x , ε y , ε z , ε xy , ε yx , ε zx }T
(i, j = x, y, z)
( x, y , z ) ∈ Ω
3 几何方程
εx =
∂u ∂u ∂v , γ xy = + ∂x ∂y ∂x ∂v ∂v ∂w ε y = , γ yz = + ∂y ∂z ∂y ∂w ∂w ∂u ε z = , γ zx = + ∂z ∂x ∂z
张量表示： 张量表示：
66
12
悬臂深梁
o
1
2
弹性力学公式
（位移单值条件）
应用弹塑性力学考试用基本公式-16
弹性力学极坐标求解归结为
+ fρ
=0
平衡微分方程：
1
ρ
∂σ ϕ ∂ϕ
+
∂τ ρϕ ∂ρ
+
2τ ρϕ ρ
+
fϕ
=
0
几何方程：
ερ
=
∂uρ
∂ρ
εϕ
=
uρ
ρ
+
1
ρ
∂uϕ
∂ϕ
（4－1） （4－2）
γ ρϕ
=
1
ρ
∂uρ
∂ϕ
+
∂uϕ
∂ρ
−
uϕ
ρ
物理方程：
ερ
=
1 E
(σ
ρ
− μσϕ )
γ ρϕ
=
1 G
τ
ρϕ
=
2(1 + E
μ)τ
ρϕ
εϕ
+ +
∂u ∂y ∂v ∂z
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪
γ zx
=
∂u ∂z
+
∂w ⎪ ∂ x ⎪⎭
θr
ϕ
简记为： ε ij
=
1 2
(u
j ,i
+ ui, j )
体积应变 θ = ∂u + ∂v + ∂w
∂x ∂y ∂z
应用弹塑性力学考试用基本公式-3
<ii>在柱坐标系中
εr
=
∂ur ∂r
εθ
= 1 ∂uθ
双调和函数：
1、提出：由于弹性力学方程的复杂性，为了在求解弹性力学问 题时减少盲目性，考察应力、应变、位移函数的特点。
弹性力学5-圣维南原理
P
P
P
第二章 平面问题的基本理论 2.7 圣维南原理及其应用
低碳钢拉伸，轴力N是通过端部夹头的接触力得到的，
而接触力的分布情况是不清楚的，但面力的合成结果可以 确定，即轴力N，这个试件端部的精确的边界条件是无法写 出的，如何来求解这类问题？
为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这种限制，圣维南提 出了局部影响原理—圣维南原理。
图（a）
F
图（b） F
F
第二章 平面问题的基本理论 2.7 圣维南原理及其应用
圣维南原理的应用
注意：
边界力替换时必须满足静力等效条件。 只能在次要边界界
F
F/A
第二章 平面问题的基本理论 2.7 圣维南原理及其应用
圣维南原理的应用
（2）通过圣维南原理的使用，可以将一些难以处理 的边界条件转化为基本方程所能够满足的边界条件， 使得弹性力学问题得到解答。
h/2
h/2
∫ ∫ σ( ) −h/ 2
x x=±l
ydy ⋅1 = ±
−h/ 2
f x ( y) ydy ⋅1
h/2
h/2
∫ ∫ −h / 2 (τ xy ) x=±l dy ⋅1 = ± −h / 2 f y ( y)dy ⋅1
第二章 平面问题的基本理论 2.7 圣维南原理及其应用
h/2
h/2
第二章 平面问题的基本理论 边界条件写法小结
（2）直接写法（直接在图上标出）
例2.5 写出如图所示弹性体的应力边界条件。
左竖直边界：x=0 σ x x=0 = −γ y τ xy x=0 = 0 上水平边界：= y=0 σ y y 0= = −q τ xy y 0 = τ 0 右竖直边界：x=b
弹性力学理论
弹性力学理论弹性力学理论是研究物体在受力作用下的变形和应力分布规律的科学理论。
它是应用力学的基础学科，对于工程领域的设计和分析至关重要。
本文将从理论概述、基本原理、应力分析、变形分析和应用等方面对弹性力学进行论述。
一、理论概述弹性力学理论是力学中的重要分支，它研究的是物体在受力作用下的弹性变形和应力分布规律。
从宏观上来看，弹性力学理论可以用于解释物体的形变和变形后的恢复情况。
从微观角度来看，弹性力学理论涉及到原子和分子之间的相互作用力，以及它们之间的位移和应力的关系。
二、基本原理弹性力学理论建立在几个基本原理之上。
首先是虚功原理，它表明物体在受力作用下的形变能量等于外力对物体所做的功。
其次是共轭原理，说明应力与应变之间存在一一对应的关系。
弹性力学还依赖于线性弹性假设，即假设物体的应力与应变之间是线性关系。
三、应力分析弹性力学理论对于应力分析提供了有力的工具。
应力是物体内部的力分布，它可以通过弹性模量、泊松比等参数进行描述。
弹性力学理论可以计算各个部位的应力大小和分布情况，从而评估物体在受力下是否会发生破坏。
在工程实践中，应力分析是设计结构和材料的重要环节。
四、变形分析除了应力分析，变形分析也是弹性力学理论的重要内容。
变形是物体在受力作用下发生的形状改变，它可以通过应变进行描述。
弹性力学理论可以计算物体在受力下的变形情况，包括线性弹性变形和非线性变形等。
通过对变形进行分析，可以判断物体是否满足设计要求，以及设计参数的合理性。
五、应用弹性力学理论在工程领域有广泛的应用。
在结构设计中，弹性力学理论可以用于计算各个部位的应力和变形情况，从而预测结构的安全性和可靠性。
在材料工程中，弹性力学理论可以评估材料的弹性性能和变形行为，为材料选择和优化提供指导。
此外，弹性力学理论还被应用于地质勘探、地震学和生物力学等领域。
结论弹性力学理论作为应用力学的基础学科，对于工程领域的设计和分析具有重要意义。
通过理论概述、基本原理、应力分析、变形分析和应用等方面的论述，对弹性力学进行了全面介绍。
弹性力学的概念
经典弹性力学建立
17世纪末到18世纪初，R·胡克、C·惠更斯 、L·欧拉和J·伯努利等人建立了经典的弹性 力学理论，奠定了弹性力学的基础。
弹性力学应用领域
工程领域
材料科学
弹性力学广泛应用于各种工程领域，如建 筑、桥梁、道路、隧道、航空航天等，用 于分析和设计各种结构物。
弹性力学对于研究材料的力学性能和变形 行为具有重要意义，为材料科学的发展提 供了理论基础。
组分、结构等因素变化。
智能材料
03
如压电材料、形状记忆合金等，其力学行为与电场、磁场、温
度等外部条件密切相关，对弹性力学提出新的挑战。
复杂环境下弹性力学问题
极端环境
如高温、低温、高压、 真空等极端环境下，材 料的弹性力学行为可能 发生变化，需要研究相 应的理论和实验方法。
多场耦合
在力、热、电、磁等多 场耦合作用下，材料的 弹性力学响应更加复杂 ，需要建立多场耦合的 弹性力学模型。
泊松比
又称横向变形系数，是反映材料在受到纵向压缩或拉伸时，横向应变与纵向应变 比值的物理量。泊松比越大，说明材料在受到纵向力时横向收缩或膨胀越明显。
应力集中与应力分布
应力集中
在物体内部，由于形状、尺寸或材料性质等原因，某些部位 的应力可能显著高于其他部位，这种现象称为应力集中。应 力集中容易导致物体在局部范围内发生破坏。
地震学
生物力学
弹性力学在地震学中也有重要应用，用于 研究地震波在地球内部的传播规律和地震 引起的地面振动等问题。
生物力学是研究生物体运动和变形的学科， 弹性力学为其提供了基本的理论和方法。
02
弹性力学基本概念
CHAPTER
应力与应变概念
应力
物体内部单位面积上所承受的力，表示物体内部某一点的受力状态。应力分为 正应力和切应力，正应力与截面垂直，切应力与截面平行。
弹性力学及有限元
热传导案例
总结词
热传导是有限元分析中用于模拟物体内部热量传递规律的应用之一。
详细描述
在电子、机械、化工和材料等领域，热传导分析用于研究材料的热性能、热应力和热变形等。通过有 限元方法，可以模拟物体内部的热量传递过程，预测温度分布和热应力分布，优化材料和系统的热设 计。
06
结论展望
结论
01
02
有限元分析
有限元分析是一种数值分析方法，通过将复杂的物体或系统离散 化为有限个小的单元（或称为元素），并分析这些单元的应力、 应变和位移，从而对整个物体或系统的行为进行预测和分析。
主题的重要性
工程应用
弹性力学和有限元分析在工程领域中具有广泛的应用，如结 构分析、机械设计、航空航天、土木工程等。通过这些方法 ，工程师可以更准确地预测和分析结构的性能，优化设计， 提高安全性。
03
04
研究意义
弹性力学及有限元分析在工程 领域具有广泛应用，为复杂结 构的分析提供了有效方法。
主要成果
本文系统地介绍了弹性力学的 基本原理和有限元分析的方法 ，并通过实例验证了其有效性 。
研究限制
由于时间和资源的限制，本研 究未能涵盖所有相关领域，未 来研究可进一步拓展。
对实践的指导意义
本文为实际工程中的结构分析 提供了理论依据和实践指导， 有助于提高结构的安全性和稳 定性。
优势
有限元方法具有广泛的适用性，可以用于求解各种复杂的物理问题；能够处理 复杂的几何形状和边界条件；可以通过增加单元数目来提高解的精度；可以方 便地处理非线性问题和材料非均质性问题等。
局限性
有限元方法需要较大的计算资源和时间，尤其对于大规模问题；对于某些特殊 问题（如高速冲击、爆炸等），需要采用特殊处理方法；对于多物理场耦合问 题，需要采用多场耦合有限元方法等。
弹性力学
1. 外力分为体积力和表面力（体力面力）体力(重力磁力惯性力)：单位体积上所承受的外力，fx, fy fz—体力分量面力（流体压力接触力）：单位面积上所承受的外力。
Fx fy fz——面力分量2. 应力：正面：外法线方向与坐标轴正方向一致为正。
反面：外发现方向与坐标轴负方向一致为正。
正应力—在正面上与坐标轴正向一致为正。
在负方向一致为正。
切应力—在正面上与坐标轴正方向一致为正，反之为负。
3. 位移：有三个分量u v w（位移分量）4.弹性力学基本假设：连续性假设完全弹性假设均匀性假设各向同性假设小变形假设5 .根据平和条件导出应力分量与体力分量之间的关系即平面问题的平衡微分方程6. 几何方程表示变形分量与位移分量之间的关系。
7.边界条件：位移边界条件应力边界条件混合边界条件8.圣维南原理：如果把物体一小部分边界的面力，变换为分布不同但静力等效的面力。
】那么，对近处的应力分布影响显著，对远处的应力影响可以忽略。
9.单连体：只有一个封闭边界的物体。
多连体：有两个或两个以上封闭边界的物体应力分量对单连体满足：A区域内相同方程B区域内平衡微分方程C应力边界条件D位移单值条件对多连体满足：A+B+C10. 6个独立的应力分量：ζx ζy ζz ηxy ηxz ηyz6个独立的变形分量：εx εy εz γxy γyz γxz11 平面应力问题—ηzx=ηxz ηzy=ηyz; ζx ζy ηxy=ηyx平面应变问题—γyz=γzx=0 γyz=γzy=0εx εy γxy=γyx12平面问题中一点的应力状态（简答）ζ=L²ζx +㎡ζy+2mLηxy 正应力Τ=mL(ζy-ζx)+(L²-㎡)ηxy 切应力13 三套基本方程：①平衡微分方程：δζx/δx+δηyx/δy+fx=0δζy/δy+δηxy/δx+fy=0②几何方程：γxy=δv/δx+δu/δyεx=δu/δx③物理方程：εx=1/E(ζx-μζy) εy=1/E(ζy-μζx) γxy=2(1+μ)/E·ηxy14 E=E/1μ²、μ→μ/1-μ得到平面应变问题的物理方程15 拉普拉斯方程：Δ²（ζx+ζy）=017 极坐标几何方程：ερ=δuρ/δρ；εθ=uρ/ρ+1/ρ·δuθ/δθ；γρθ=1/ρ·δuρ/δθ+δuρ/δρ-uθ/ρ物理方程：ερ=1/E（ζp-μζθ）；εθ=1/E(ζρ-μζθ)；Γρθ=2(1+μ)/E·ηρθ18（简答）逆解法：1）构造满足应力函数相容方程的Ф2）利用应力分量与应力函数关系式求应力分量3）应用应力边界条件及弹性体的形状求得应力分量对应的面力，以判断所构造的Ф可以解决的问题19半逆解法：1）针对所求解问题，边界条件及弹性体形状，假设部分或全部应力分量的函数形式。
弹性力学----基本方程
ji, j Fbi 0
位移与应变几何方程 6个
ij
1 ui 2 x j
u j xi
应力与应变物理方程 6个
σ= Dε
第一节 基本方程
待解未知函数:
空间问题 应力分量 6个 应变分量 6个
未知函数15个，方程数 也为15个。位移和应力 还应该满足单值条件
位移分量 3个 边界条件 应力边界条件：在边界上给定外力，应力应满足 应力边界条件。
第四章 基本方程
弹性静力学的问题构成了偏微分方程组 的边值问题，根据应力或位移为求解的未知 函数进行简化，得到基本方程。直接求解一 般是十分困难的，还需要进一步简化为平面 问题和对称问题。基本方程还为弹性力学的 数值解法奠定了基础。
第一节 第二节
基本方程 基本方程的意义
第一节 基本方程
求解方程: 应力平衡方程 3个
2 2x
1 1
(
2
)
Fb x
x
Fb y y
Fb z z
(1 )2 y
2 2 y
1 1
(2
)
Fb y
y
Fb z z
Fb x x
(1 )2 z
2 2z
1 1
(2
)
Fb z
z
Fb x x
Fb y y
(1 )2 yz
2 yz
(1
)
Fb y
z
Fb y z
(1 )2 zx
2 zxBiblioteka (1 ) 2y
2v Fby
0
E 2(1
)
1
1
2
z
2
w
Fbz
0
其中 x y z 称为体积应变。
弹塑性力学第五章 简单弹塑性力学问题1
利用 2 ij ij ，以上各式易改写为张量形式
ij ,kl kl ,ij ik , jl jl ,ik
这六个方程的几何意义是被分割后的微分单元体在受力 变形后能重新拼合成连续体，即不会出现“撕裂”或 “套叠”等现象。如图（这里略）
(5.17)
F cos 2 1 2 A (1 2cos3 ) F 1 3 A (1 2cos3 )
(5.18)
由式(5.18)可见 3 1 ，当F增加时，杆3将首先屈服。 显然，当 3 s 时，桁架开始初始屈服，由式（5.18)可 求得桁架初始屈服时对应的荷载值 Fe
3.本构方程 1）弹性阶段，即
f ( ij ) 0或f ( ij ) 0, df 0
本构方程可表示为两种可相互转换的形式：（1）应力表 示应变；（2）应变表示应力
或
1 ij ij kk ij E E
(5.4)
ij kk ij 2G ij
为
1
因此，有变形协调关系
1 2 3 cos
2
(5.16)
1、弹性阶段——弹性解和弹性极限荷载
当荷载F足够小时，各杆应力都小于屈服应力，整个桁架 处于弹性阶段。由2 3 E 3
联立式(5.14)、(5.15)和(5.17)并求解，得
5.5 叠加原理（线弹性体）
考虑同一边界条件下作用在同一固体上的两组荷载情况:第 ' ' 一组体力 X i 和面力 X i' ,第二组为体力 X i''和面力 .设它 X i' ' ' 们引起的应力场、应变场和位移场分别为 ij、ij、ui ， '' '' '' 和 ij、ij、ui ，则在线弹性和小变形情况下两组荷载共同 作用时产生的应力场、应变场和位移场，等于各自单独作用 时引起的相应场之和，即
弹性力学
22211sin sin 22411cos sin 2241sin cos sin 2d d d ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=-=+=⎰⎰⎰⒈ 何谓理想弹性体？微小位移和形变的假定在推导弹性力学基本方程时起什么作用？⒉ 应力分量除了满足平衡微分方程之外，还需满足什么才是正确的解答？⒊ 如果某一应力边界问题中有m 个主要边界和n 个次要边界，试问在主要边界、次要边界上各应满足什么类型的应力边界条件？各有几个条件？二、取满足相容方程的应力函数Φ=Axy 2，其中A >0为常数，试求出应力分量(不计体力)，并画出该应力函数在图示弹性体(厚度为1)边界上的面力分布，在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩。
（10分）用应力函数Φ=Axy +Bxy 3+Cy 3+Dy 2求其应力分量（不计体力），并确定常数A 、B 、C 、D 。
（20分）四、半平面体在边界上的O 点作用有水平方向集中力F ，如图所示。
试用应力函数(cos sin )A B Φ=+ρϕϕϕ求其应力分量，并确定常数A 、B 。
（20分）提示：《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D=⎰⎰2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转)h轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
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ν ν
Fi,i
(b)
Ӎ
( ) ∇ 2σ ij
+
1 1+ν
Θ ,ij
=
−
ν 1−ν
δ ij Fk ,k
−
Fi, j
+ F j,i
∇ 2σ xx
+
1
1 +ν
∂2Θ ∂x 2
=
−
1
ν −
ν
divF
− 2 ∂X ∂x
(b)
(5.2.2a)
53
∇ 2σ yy
+
1
1 +ν
∂2Θ ∂y 2
=
−
1
ν −ν
divF
∂x
(5.2.1b)
(λ + µ ) ∂e + µ ∇2v + Y = 0
∂y
(5.2.1c)
(λ + µ ) ∂e + µ ∇2w + Z = 0
∂z
51
Ƒ e
= uk,k ,∇2
=
∂2 ∂x 2
+
∂2 ∂y 2
+
∂2 ∂z 2
(5.21)
NJ
ࢨ -ඪ Ʊ (5.2.1) L
( Lamé-Navier
−
Fi, j
+ Fj,i
−
ν 1−ν
δ
ij
Fk′,k
−
Fi′, j
+ F j′,i
ν
ν
(Ti − σ ijν j ) + (Ti′− σ i′jν j ) = 0
(σ ij + σ i′j ), j + (Fi + Fi′) = 0
∇ 2 (σ ij
+
σ
i′j
)
+
1
1 +ν
(Θ + Θ′),ij
=
−
జǔ Vq
cύ
̵ ĵ-ȏ V֧ ȑ cּV<ּ ) ˫ Ý
Ʋ -Vq
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V ඥ ǎ ඥ ͪύ t <ͩ ǒ
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Saint-Venant
ύ Wǎȩ ̤ -. < ύ ơƢ /Č
6 ˩ 21 NJ 6 γּVNJ
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21 6
JƑ֧ t Hooke
-.
˩ ui , eij<σ ij 15
NJ
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జǔ Vq cύ
?5.2
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జ
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ν
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JּV(σ ij + σ i′j cȉ
ui + ui′
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V ඪ ҅ Vķ γ V
V ķ V ěȏ˷.ּVּ Ġ ؉ - Ҿ.Ȓ Z + Hͪ#
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σ ij, j = 0
'Ƒ
D
σ ijν j = 0
$³
E
ui = 0
$X
F
D * ui - ȏ *DXVV ˤ
∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ uiσ ij, jdV =
uiσ ijν j dS − ui, jσ ij dV
DEF
̓t࡚( V
S:Sσ +Su
V
∫∫∫ − ui, jσ ij dV = 0
∇ 2σ xy
+
1
1 +ν
∂2Θ ∂x∂y
=
−
∂Y ∂x
+
∂X ∂y
֨ ̤ 8 1900 Michell ၏ȏV
∇ 2σ ij
+
1
1 +ν
Θ ,ij
=0
̤ Beltrami ඟƲ ּV NJ
( ࢨ
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( ) ∇2σ ij
+
1
1 +ν
Θ ,ij
=
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∫∫∫ui, jσ ij dV = ∫∫∫σ ijeij dV = 2∫∫∫U 0dV
- ඥ̕ڣVĵ ּ $V ࡙t V
V ˷ּ ( #
eij = 0
σ ij = 0
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ei′j = ei′j
σ i′j = σ i′′j
56
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V< ȏV ͪᇇNj Ƒ>ͩ( ּ $( ࡚ ඪ $ ȉ ) $ ȏȉ 38NJ P-ěȏ ȏȉ ȉ Ʊ
− σ ii, jj
−σ
jj ,ii
=
1
ν +
ν
2δ ij Θ,ij − δ ii Θ, jj − δ jj Θ,ii
ǎ ࡚( σ ii = σ jj = Θ, δ ijΘ,ij = ∇2Θ
σ ij,ij
= 1−ν 1+ν
∇2Θ
J ˣ ∇2Θ = 1+ν 1−ν
σ ij,ij
=
−
1 1
+ −
1
ν −ν
δ ij (Fk
+
Fk′) − (Fi
+ Fi′), j
− (Fj
+ Fj′),i
νν
Ti + Ti′ = (σ ij + σ i′j )ν j
55
࡚ ͪύĵ
?5.4
t
ඥƢ tĵ, ҅ ֨ Kirchhoff 1859 நǟ ၣ
ၣ =ၠp
c σ i′j ,ui′ σ i′′j ,ui′′
ȏ ᇇƊ c NJ
҅ ᄣ
σ i′j, j + Fi = 0
σ i′′j, j + Fi = 0
'Ƒ
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ν
ν
Ti = σ i′jν j
Ti = σ i′′jν j
$³
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ui′ = ui
ui′′ = ui
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¹ ͪύ ) (
ui = ui′ − ui′′
σ ij = σ i′j − σ i′′j
(a) Ƒ i = j
( ) ui,i
kk
+
1
1 − 2ν
e,ii
+
Fi,i µ
=0
ǎ e = ui,i
࡚ (4.1.9) e = 1− 2ν Θ E
Θ ,ii
+
1 1
+ν −ν
Fi,i µ
=0
࡚ ˣ (d)
ּ̤V ) ( خ ˹࡚ )) σ ij,kk
+1 1+ν
Θ ,ij
+ν 1−ν
Fk ,k δ ij
+
Fi, j
+ Fj,i
=0
j
52
ȉ ("
(a) (b) (c) (d)
(5.2.2)
జǔ Vq cύ
࡚) ֧
( ) σ ij,kkj
+
1
1 +ν
Θ ,ijj
+
1
ν −ν
δ Fk ,kj ij
+
Fi, jj + F j,ij
+RRNH t σ ij = λδ ije + 2µ eij
Ƒ e = eii ˹ (2.2.1b) ּ̤VNJ Sσ
ν
Ti = σ ijν j
- ȉ NJ Su
(
(5.1.5)
ui = ui
(5.1.6)
- -Vq I. JƑ ȏ˷ĵ خ
6 ǎSּVǒķ#( 3 ȑ 6 ))
?5.5 Saint-Venant ύ
" -ᇇƊ Ƣ ࢨ࡚ İNJ" NJ ؉3Ҕҵ( ؒؒ%Ď$ cʼn -/Ǿ "
6DLQW9HQDQW İ-- ֨ ơƢ ܱᆼƢ Ƒ 8 ύ
Ȓ ȏҾ. %֧ V γ V V ( V ܖƲ ּ
- Ȓ Z + - ǎ)Ҿ.Ȓ Z ඥx b ၏ γ )ܖdҾ
Fi′, j
+ Fj′,i
ν
Ti − σ ijν j = 0
ν
Ti′− σ i′jν j = 0
(σ ij, j + Fi ) (σ i′j, j + Fi′) = 0
/ඪ
(∇ 2σ ij
+
1 1+ν
Θ ,ij
)
(∇ 2σ i′j
+
1 1+ν
Θ′,ij
)
( ) ( ) =
−
1
ν −ν
δ ij
Fk ,k
(a)
ᄣ -֧ γ
(λ + µ )e,′i + µ ∇2ui′ + Fi = 0
(b)
(a) b (b)
(λ + µ )(e − e′),i + µ ∇2 (ui − ui′) = 0