辽宁省沈阳市2012届高三数学第二次模拟试题(理)
高考数学 考前查缺补漏系列 热点06 概率与统计问题,你能渡过“事理关”和“数理关”吗？
概率与统计问题，你能渡过“事理关”和“数理关”吗？【常见题型】在概率中，事件之间有两种最基本的关系，一种是事件之间的互斥(含两个事件之间的对立)，一种是事件之间的相互独立的，互斥事件至少有一个发生的概率等于各个事件发生的概率之和，相互独立事件同时发生的概率等于各个事件各自发生的概率之积，在概率计算中正确地把随机事件进行分拆是正确解决问题的根本所在．概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决问题的目的．一．概率与茎叶图相联系例1【河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试】（理）某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（I ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（II ）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分次数X 的分布列和均值．（Ⅰ）x-甲＝ 1 8(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， x -乙＝ 1 8(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s 2甲＝ 1 8[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s 2乙＝ 1 8[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）． …4分（Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p 1＝ 38，p 2＝ 1 2，两人得分均超过15分的概率分别为p 1p 2＝316，依题意，X ～B (2，316)，P (X ＝k )＝C k 2(316)k(1316)2－k ，k ＝0，1，2， …7分X 的分布列为…10分 X 的均值E (X )＝2×316＝8． …12分（文）某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（I ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小：（II ）从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到恰好有1场得分不足10分的概率． 解：（Ⅰ）x-甲＝ 1 8(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， x -乙＝ 1 8(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s 2甲＝ 1 8[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s 2乙＝ 1 8[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）． …4分 （Ⅱ）题设所述的6个场次乙得分为：7，8，10，15，17，19． …7分二．频率分布表、频率分布直方图与概率相结合 例2【2012年长春市高中毕业班第二次调研测试】 对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如 下：【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布表、频率分布直方图、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法. 【试题解析】⑴由题可知 50.25M =，12n M =，m p M =，10.05M= 又 5121m M +++=解得 20M =，0.6n =，2m =，0.1p =则[15,20)组的频率与组距之比a 为0.12. (4分)⑵由⑴知，参加服务次数在区间[15,20)上的人数为3600.6216⨯=人. (6分) ⑶所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值可能为0元、20元、40元、60元，则 22251222201066177(0)190190C C C P C ++++===， 111111512122212206024286(20)190190C C C C C C P C ++++===， 111152121220101222(40)190190C C C C P C ++===， 11512205(60)190C C P C ==.(10分)()0(0)20(20)40(40)60(60)E X P P P P =⋅+⋅+⋅+⋅7786225290020406019019019019019=⨯+⨯+⨯+⨯= (12分)（文）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：⑴求出表中M 、p 及图中a 的值；三、排列组合和概率相结合例3【2012东城区普通高中示范校高三综合练习（二）】（理）某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的培训次数 1 2 3 参加人数 5 15 20（1的概率； （2）从40人中任选两名学生，用X 表示这两人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列及数学期望EX . 解：（1）这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率为494419134012011515=-=C C C C P . ……………………5分(2)由题意知X =0,1,222251520240111151515202401152024061(0);15675(1);1565(2).39C C C P X C C C C C P X C C C P X C ++===+====== 则随机变量X 的分布列：分组 频数 频率 [10,15) 10 0.25 [15,20) 25 n [20,25) m p [25,30) 2 0.05 合计M1X0 12P15661 15675395012.156********X EX =⨯+⨯+⨯=所以的数学期望 ……………………13分样本容量与总体中个体数的比为,181905= 所以从,,A B C 三个工作组分别抽取的人数为2，2，1. ------------------5分（II ）设12,A A 为从A 组抽得的2名工作人员，12,B B 为从B 组抽得的工作人员，1C 为从C 组抽得的工作人员，若从这5名工作人员中随机抽取2名，其所以可能的结果是：),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(112112221211211121C B B B C A B A B A C A B A B A A A21(,)B C ,共有10种， ------9分其中没有A 组工作人员的结果是：121121(,),(,),(,)B B B C B C 有3种，--------------------------11分 所以从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，此时这两名工作人员中没有A 组工作人员的概率310P =。
2012届高三数学下册第二次联考检测试题2
广西名校2012届高三毕业班第二次大联考（理科数学） 测试时间：2012年2月一、选择题(每小题5分，共60分，只有一个选项符合题目要求。
)1．一颗骰子连续掷两次，朝上的点数依次为,a b ，使复数()(4)a bi b ai +-为实数的概率是（ ）A ．13B ．14C ．16D ．1122．“函数()()()22100x x f x x a x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥在点0x =处连续”是“a =1”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．若，则的值为（ ）A ．8B ．C ．4D ．4．己知随机变量ξ服从正态分布),2(2σN ，84.0)4(=≤ξP ，则=≤)0(ξP （ ）A ．16.0B ．32.0C ．68.0D ．84.0 5．定义行列式运算1234a a a a =3241a a a a -．将函数sin 2()cos 2x f x x=的图象向左平移6π个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是( ). A ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭6．若函数f (x )＝(2－m )xx 2＋m的图象如图所示，则m 的范围为（ ） A ．(－∞，－1) B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(0,2)7．若偶函数满足()()x f x f 11-=+，且时, ()2x x f =，则方程的解的个数是（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 多于4个8．在棱长为2的正方体中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是、AD 的中点，那么异面直线OE 和所成的角的余弦值等于（ ）A ．36B ．515C ．23D ．359．经过椭圆13422=+y x 的右焦点任作弦AB ，过A 作椭圆右准线的垂线AM ，垂足M ，则直线BM 必经过（ ）A ．)0,2(B ．)0,3(C ．)0,25(D ．)0,27(10. 已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则limnn na S →∞=（ ） A ．0 B ．12C ． 1D ．2 11. 已知一动圆过点A （-2，0）且与直线x=2相切，点()2,1-B 。
2012届高三二模考试数学试卷(理)及答案
2012届高三模拟考试数学试题数学试题（理科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面面积，h 为锥体的高. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数(1)i ai ⋅+是纯虚数，则实数a 的值是（ ）A. 1B. 1-C.0D. 0或1-2．已知集合{||2,A x x x =≤∈R },{2,B x x =≤∈Z },则A B = （ ）A. (0,2)B. [0,2]C. {0, 2}D. {0,1,2}3．设25025..12,25,()2.a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（C ）A.a c b >>B. c a b >>C. a b c >>D.b a c >>4．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为. A. 1 B. 3 C 6 D. 25．设向量(1,0)a = ，11(,)22b = ，则下列结论正确的是 ( )A.a b =B.2a b ⋅= C. a ∥b D. a b - 与b 垂直6．执行如图1所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围（ ）A.715816P <≤ B. 1516P > C. 715816P ≤< D.3748P <≤ 7. 下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ，某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有b a c >>； ③从总体中抽取的样本12221111(,),(,),,(,),,n nn n i i i i x y x y x y x x y y n n ====∑∑ 若记，则回归直线y =bx a +必过点（,x y ）④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>= 其中正确的个数有： （ ）A ．0个B ． 1 个C ．2 个D ．3个8. 定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设111sgn()1sgn()122()()22x x f x f x -+-+=⋅+2()f x ⋅，[0,1]x ∈，其中1()f x =12x +, 2()f x ⋅=2(1)x -, 若1[()][0,)2f f a ∈，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(0,]4B. 11(,)42C. 11(,]42D. 3[0,]8二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分.(一)必做题(9～13题)9．. 已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记AOB α∠=, 若点A的纵坐标为35．则s i n α=_____________;tan(2)πα-=_______________.10．以抛物线24y x =的焦点为圆心，且被y 轴截得的弦长等于2的圆的方程为__________________.11．从如图所示的长方形区域内任取一个点()y x M ,，则点M 取自阴影部分的概率为____________.12．已知,x y 满足约束条件5000x y x y y ++⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则24z x y =+的最小值是_________.13.设()11f x x x =-++，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是_______________________.(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，DE AD =，6,8==BD AB ,则ADAC= ;15．(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 方程是11x ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数），,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为1ρ=，则圆C 上的点到直线l 的距离最小值是 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 11a =，且1S ，22S ，33S 成等差数列. （1）求数列{}n a 通项公式；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 前n 项和n T ．17．(本小题满分14分) 有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为ξ. （１）求0ξ=的概率； （２）求ξ的分布列和数学期望.18．(本小题满分14分)如图5(1)中矩形ABCD 中，已知2AB =，AD =MN 分别为AD 和BC 的中点，对角线BD 与MN 交于O 点，沿MN 把矩形ABNM 折起，使平面ABNM 与平面MNCD 所成角为60 ，如图5(2).（1） 求证：BO DO ⊥；（2） 求AO 与平面BOD 所成角的正弦值.OABDC MNABDCMNO图6B A19．(本小题满分12分)在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中2c =，且cos cos 1A bB a == (1)求证：ABC ∆是直角三角形；(2)如图6，设圆O 过,,A B C 三点，点P 位于劣弧AC ︿上，求PAC ∆面积最大值.20.(本小题满分14分)在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线2x =的距离之比是2，设动点P 的轨迹为1C ，Q 是动圆2222:C x y r +=(12)r <<上一点. （1）求动点P 的轨迹1C 的方程； （2）设曲线1C上的三点1122(,),(,)A x y B C x y 与点F 的距离成等差数列，若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ；（3）若直线PQ 与1C 和动圆2C 均只有一个公共点，求P 、Q 两点的距离PQ 的最大值.21．(本小题满分14分)已知函数()ln(1)f x x mx =++，当0x =时，函数()f x 取得极大值. （１）求实数m 的值；（２）已知结论：若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在，且1a >-，则存在0(,)x a b ∈，使得0()()()f b f a f x b a-'=-.试用这个结论证明：若121x x -<<，函数121112()()()()()f x f x g x x x f x x x -=-+-，则对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >；（３）已知正数12,,,n λλλL ，满足121n λλλ+++=L ，求证：当2n ≥，n N ∈时，对任意大于1-，且互不相等的实数12,,,nx x x L ，都有1122()n n f x x x λλλ+++>L 1122()()()n n f x f x f x λλλ+++L .2012届高考模拟测试数学试题(理科)参考答案和评分标准一．选择题：CACBD ABB二填空题：9.35（2分）247（3分） 10. 22(1)2x y -+= 11. 13 12. 15- 13. 33(,][,)22-∞-+∞ 14. 4315.1三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本题满分14分)解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，……………1分若1q =，则111S a ==，21244S a ==，31399S a ==，故13231022S S S +=≠⨯，与已知矛盾，故1q ≠，………………………………………………2分从而得1(1)111n nn a q q S q q--==--，………………………………………………4分由1S ，22S ，33S 成等差数列，得132322S S S +=⨯，即321113411q q q q--+⨯=⨯--， 解得13q =……………………………………………5分 所以11113n n n a a q--⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.………………………………………………6分（2）由（１）得，11()3n n n b a n n -=+=+，………………………………7分 所以12(1)(2)()n n T a a a n =++++++1(1)(1)(12)12n n b q n nS n q -+=++++=+- ………………………………10分2111()(1)333.12213n n n n n n --+++-=+=-……………………………12分 17．(本题满分12分)（１）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，61(0)6010P ξ=== … （3分） （２）由（1）可知1(0)10P ξ==；11(1)30P ξ==；2(2)5P ξ==；2(3)15P ξ== … （7分）… （10分）E ξ=0×110+1×1130+2×25+3×215=4730 …（12分）18(本题满分14分)解：（1）由题设，M ，N 是矩形的边AD 和BC 的中点，所以AM ⊥MN, BC ⊥MN, 折叠垂直关系不变，所以∠AMD 是平面ABNM 与平面MNCD 的平面角，依题意，所以∠AMD=60o ， ………………………………………………………………………………………………………２分 由AM=DM ，可知△MAD 是正三角形，所以AD=2，在矩形ABCD 中，AB=2,AD=所以，，由题可知，由勾股定理可知三角形BOD 是直角三角形，所以BO ⊥DO ……………………………………………………………………………………… 5分解（２）设E ，F 是BD ，CD 的中点，则EF ⊥CD, OF ⊥CD, 所以，CD ⊥面OEF, OE CD⊥ 又BO=OD ，所以OE ⊥BD, OE⊥面ABCD, OE ⊂面BOD , 平面BOD ⊥平面ABCD过A 作AH ⊥BD ，由面面垂直的性质定理,可得AH ⊥平面BOD ，连结OH ，…………………… 8分 所以OH 是AO 在平面BOD 的投影，所以∠AOH 为所求的角,即AO 与平面BOD 所成角。
12.杂数列
1. (浙江省杭州市2012届高三第二次教学质量检测数学（理）试题2012.4)数列21111231{},2,()(*),555,5n n n n n n n a a a a n N S a a a a -+=+=∈=++++ 中则65n n nS a n-= ．12. (浙江省名校新高考研究联盟2012届高三第二次联考试题数学文)在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+*()n N ∈,则数列{}n a 的通项=n a ．1222 2n nn n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩是奇数是偶数3. (浙江省宁波市鄞州区2012届高三5月适应性考试题数学文) 已知数列{}n a ，对任意的,p q N *∈满足p q p q a a a +=⋅，且11a =-，那么9a 等于 ． -14. (浙江省五校2012届高三第二次联考试题word 版数学（文）试题)已知数列{}n a ，22n a n n λ=-+，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是（ ）DA. (],3-∞B. (],4-∞C. (),5-∞D. (),6-∞5. (宁夏银川一中2012届高三第三次模拟考试 数学（理）)已知有穷数列A ：na a a ,,,21⋅⋅⋅（N n n ∈≥,2）.定义如下操作过程T ：从A 中任取两项j i a a ,,将ji j i a a a a ++1的值添在A的最后，然后删除j i a a ,,这样得到一系列1-n 项的新数列A 1 (约定:一个数也视作数列)；对A 1的所有可能结果重复操作过程T 又得到一系列2-n 项的新数列A 2，如此经过k 次操作后得到的新数列记作A k . 设A ：31,21,43,75-,则A 3的可能结果是A.34 B. 12C. 13D. 0【答案】A6. (辽宁省大连市庄河六高中2011-2012学年高二下学期期中考试试题（数学理）)在数列{}n a 中，若11a =，1130n n n n a a a a --+-=，（2,n n N *≥∈）,则 n a =A.213n + B. 23n + C. 121n - D. 132n - 【答案】D重庆市2012（春）高三考前模拟测试数学试题（理科）7．若数列1221{}:1,2,(3),n n n n a a a a a a n --===≥满足则2012a 的值为 CA ．1B ．12C ．2D ．22012玉溪一中高2013届下学期期中考试高二数学（文理科) 3.数列}{n a 的前n 项和,2n S n =则5a 的值是A. 9B. 10 C 16 D. 25 A甘肃兰州一中11-12学年度下学期高一期中考试14. 观察下列等式：332333233332123,1236,123410+=++=+++=根据以上规 律：第5个等式为____________________________________________________________. 【答案】333333212345621+++++=江西省重点中学盟校2012届高三第二次联考试卷理科数学 13、下表给出一个“直角三角形数阵”41 41,21163,83,43 ……满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i 行第j 列的数为83),,,(a N j i j i a ij 则+∈≥等于 .【答案】21江西师大附中2012届高三第三次模拟考试 数学理 10．对数列{}n a ，如果*k ∃∈N 及12,,,k λλλ∈R ，使1122n k n k n k k n a a a a λλλ++-+-=+++ 成立，其中*n ∈N ，则称{}n a 为k 阶递归数列．给出下列三个结论：① 若{}n a 是等比数列，则{}n a 为1阶递归数列；② 若{}n a 是等差数列，则{}n a 为2阶递归数列；③ 若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，则{}n a 为3阶递归数列． 其中正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C上海市浦东新区2012届高三第三次模拟考试（2012浦东三模）理科数学8.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n N ∈）在函数2log (1)y x =+的反函数的图像上，则n a =________. 【答案】12n -上海市徐汇区2012届高三第二次模拟 数学理 8、已知数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式为n a = .*()n N ∈8．12n -南师大附中2011届高三第四次模拟考试14.已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有1352n n n ka a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩n n 1n a a k a +为奇数为偶数,是使为奇数的正整数，若存在*m ∈N ，当n m >且na 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为___1或5___.山东省菏泽学院附中2012届高三下学期5月高考冲刺试题（数学理）B9．已知“整数对”按如下规律排成一列：()1,1，()1,2，()2,1，()1,3，()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是 （ ）A ．()7,5B ． ()5,7C ．()2,10D ．()10,1山东省菏泽学院附中2012届高三下学期5月高考冲刺试题（数学文）A10．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2003项是 （ ） A ．2048 B ．2049 C ．2050 D ．2051 9．（2012浙江冲刺卷B 理科）如果有穷数列)(,...,,*21N n a a a n ∈满足条件:,,...,,1121a a a a a a n n n ===-即1+-=i n i a a ，),...,2,1(n i =我们称其为“对称数列”．例如:数列1，2，3，3，2，1 和数列1，2，3，4，3，2，1都为“对称数列”．已知数列}{n b 是项数不超过),1(2*N m m m ∈>的“对称数列”，并使得122,...,2,2,1-m 依次为该数列中连续的前m 项，则数列}{n b 的前2009项和2009S 所有可能的取值的序号为 ①122009-②)12(22009-③1223201021--⋅--m m ④122200921---+m mA ．①②③B ． ②③④C ．①②④D ． ①③④ 【答案】C10．（2012届安徽省淮北市第二次模拟文科）设函数xxx f -+=1lo g 21)(2，定义121()()()n n S f f f n n n -=++ ，其中，2,≥∈+n N n ，则=n S （ ） A ．(1)2n n - B ．21log (1)2n n --- C ．12n - D ．21log (1)2n n -+-【答案】C17．（2012上海市嘉定、黄浦区第二次模拟理科）已知△ABC 的三边分别是a b c 、、，且a b c ≤≤（*a b c ∈N 、、），若当b n =（*n ∈N ）时，记满足条件的所有三角形的个数为n a ，则数列{}n a 的通项公式…………………（ ）A ．21n a n =-B ．(1)2n n n a +=C ．21n a n =+D ．n a n = 【答案】B6、（2012天津市高考压轴卷理科）设x 、a 1、a 2、y 成等差数列，x 、b 1、b 2、y 成等比数列，则21212(a a )b b +的取值范围是A 、[4，+∞)B 、（0][4,+,-∞∞ ）C 、[0，4]D 、(4)[4,,-∞-+∞ )【答案】B（2012河北广宗中学第二次模拟考试数 学 试 题（理）） 20．（14分）设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成： ①212n n n a a a +++<； ②存在实数M ，使n a M ≤．（n 为正整数）（I ）在只有5项的有限数列{}n a ，{}n b 中，其中123451,2,3,4,5a a a a a =====； 123451,4,5,4,1b b b b b =====；试判断数列{},{}n n a b 是否为集合W 的元素；（II ）设{}n c 是各项为正的等比数列，n S 是其前n 项和，314c =，374S =， 证明数列{}n S W ∈；并写出M 的取值范围；（III ）设数列{},n d W ∈且对满足条件的M 的最小值0M ，都有()*n n d M n ≠∈N ． 求证：数列{}n d 单调递增． 【解析】 （I ）对于数列{}n a ，取13222a a a +==，显然不满足集合W 的条件，① 故{}n a 不是集合W 中的元素，对于数列{}n b ，当{1,2,3,4,5}n ∈时，不仅有13232b b b +=<，24342b bb +=<，33432b b b +=<，而且有5n b ≤，显然满足集合W 的条件①②， 故{}n b 是集合W 中的元素．（II ）∵{}n c 是各项为正数的等比数列，n S 是其前n 项和，3317,,44c S ==设其公比为0q >， ∴333274c c c q q ++=，整理得2610q q --=． ∴12q =，∴1111,2n n c c -==，1122n n S -=-对于*n ∀∈N ，有222111222222n n n n n n S S S ++++=--<-=，且2n S <，故{}n S W ∈，且[)2,M ∈+∞（III ）证明：（反证）若数列{}n d 非单调递增，则一定存在正整数k ， 使1k k d d +≥，易证于任意的n k ≥，都有1k k d d +≥，证明如下： 假设()n m m k =≥时，1k k d d +≥当1n m =+时，由212m m m d d d +++<，212m m m d d d ++<-．而12111(2)0m m m m m m m d d d d d d d +++++->--=-≥ 所以12,m m d d ++>所以对于任意的n k ≥，都有1m m d d +≥．显然12,,,k d d d 这k 项中有一定存在一个最大值，不妨记为0n d ； 所以0*()n n d d n ∈N ≥，从而00n d M =与这题矛盾．所以假设不成立， 故命题得证．C7. （莱芜一中50级4月自主检测数学试题文科）已知数列}{n a 满足a 1=1,且1n n a a +=1n n+，则2012a =（ ） A.2010 B.2011 C.2012 D.2013安徽省芜湖一中2012届高三下学期第六次模拟考试数学（理）试卷14. 已知数列{}n a 满足：*1log (2) ()n n a n n N +=+∈，定义使123k a a a a ⋅⋅⋅⋅…为整数的数* ()k k N ∈叫做幸运数，则[]1,2012内所有的幸运数之和为____________. 【答案】20261. （甘肃省西北师大附中2012年高三第一次诊断考试试卷数学（理科））6. 已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于【答案】D17、莆田一中2012届高三第五次月考数学（文）试题 （本小题满分12分）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列。
东北三省三校2012年高三第二次联合模拟考试理科数学答案
2012年东北三校二模理科数学参考答案一．选择题（1）C （2）A （3）C （4）D （5）C （6）B （7）D （8）C （9）C （10）B （11）D （12）B 二．填空题（13）x y 3±= （14）32（15）40 （16）(]6,3 三．解答题 （17）解:(Ⅰ) 32n a n =-． ……6分(Ⅱ)23762n n n b -+=． ……12分（18）解：(Ⅰ) 记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E ．则事件A 、B 、C 是相互独立事件，事件C B A 与事件E 是对立事件，于是18172131311)(1)(=⨯⨯-=-=C B A P E P ． ……4分(Ⅱ)ξ的所有可能取值为60,50,40,30．()181)(30===C B A P P ξ，()185)()()(40=++==C B A P C B A P C B A P P ξ， ……6分()188)()()(50=++==BC A P C B A P C AB P P ξ，()184)(60===ABC P P ξ． ……8分所以ξ的分布列为ξ30 40 50 60P181 185 188 184 314518460188501854018130=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． ……12分（19）解：如图建立空间直角坐标系.(Ⅰ)设a BC AD CD PD 222====，， 则)0,2,(),0,0,1(a a B A -，)2,0,0(),0,2,0(P C ，)1,0,0(M ． ……3分设平面PBC 的一个法向量为),,(z y x n =，则,02)2()2,2,(),,(=--+=--⋅=⋅z a y ax a a z y x PB n,022)2,2,0(),,(=-=-⋅=⋅z y z y x PC n令,1=z 得)1,1,1(=n ． ……7分而)1,0,1(-=AM ，所以0=⋅n AM ，即n AM ⊥，又AM ⊄平面PBC故//AM 平面PBC ．……9分ＰＣＢＡＤＭ xzy(Ⅱ))2,0,1(-=PA ，设PA 与平面PBC 所成角为α， 由直线与平面所成角的向量公式有1515351sin ==⋅⋅=nPA n PA α． ……12分（20）解：(Ⅰ)由题意222221c baa b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得⎩⎨⎧==22b a ，所求椭圆方程为12422=+y x ． ……4分 (Ⅱ)联立方程组⎩⎨⎧+==+mkx y y x 4222消去y 得0424)21222=-+++m kmx x k （， ……5分 0)6(8)21)(2(241622222>-=+-⨯-=∆m k m m k ， 设),(),,(),,(002211y x P y x B y x A ，由韦达定理得22102122kkmx x x +-=+=，20021k m m kx y +=+=． 由点P 在直线20x y +=上，得1=k ． ……7分所以3643622222m m AB -=-=． 点)0,2(F 到直线AB 的距离22md +=．三角形FAB ∆的面积21226(6,0)23FAB S AB d m m m m ==+-<≠．……10分设22()(6)(2)u m m m =-+(6,0m m <≠)，'()2(232)(2)(2)u m m m m ∴=-++-由＝0得：322m =-或2m =-或2m = 当3262m -<<-时，'()0u m >；当3222m -<<-时，'()0u m <；当22m -<<时，'()0u m >；当26m <<时，'()0u m < 又323(),(2)3224u u -== 所以当2m =时，FAB ∆的面积取最大值83. ……12分（21）解：(Ⅰ) x x f +='11)(，2)(x x b x g +-='， 由题意⎩⎨⎧'='=),0()0(,0)0(g f f 解得0=a ，1=b ． ……4分（Ⅱ）令x x x x x g x f x h -+-+=-=232131)1ln()()()( )1(->x 111)(2 x x x x h -+-+='13+-=x x ． ……5分)0,1()(-在x h 为增函数，在)0(∞+，为减函数． ……6分 0)0()(max ==h x h ，0)0()(=≤h x h ，即)((x g x f ≤）． ……8分 （Ⅲ）设)()]()()[1()(11x x x f x f x x u ---+=，则)1ln()1ln()(1x x x u +-+='． 当),(21x x x ∈时，0)(>'x u ，)(x u 单调递增，又0)(1=x u ，故0)(>x u ，即xx x x f x f +>--11)()(11． ……10分 设)()]()()[1()(22x x x f x f x x v ---+=，则)1ln()1ln()(2x x x v +-+='． 当),(21x x x ∈时，0)(>'x v ，)(x v 单调递增，又0)(2=x v ，故0)(<x v ，即xx x x f x f +<--11)()(22． 综上，),(21x x x ∈时，>--11)()(x x x f x f 22)()(x x x f x f --． ……12分（22）解：(Ⅰ) 略．……5分 (Ⅱ)246=-=-=BM BN MN . ……10分（23）解：(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得051272=--t t设A ，B 对应的参数分别为21,t t ，则 75,7122121-==+t t t t ． ……3分 所以771104)(5)4()3(212212122=-+=--+-=t t t t t t AB ． ……5分(Ⅱ)易得点P 在平面直角坐标系下的坐标为)2,2(-，根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为76221=+t t ． ……8分 所以由t 的几何意义可得点P 到M 的距离为73076)4()3(22=⋅-+-=PM ． ……10分（24）解:：(Ⅰ)541≥-+-x x 等价于1255x x <⎧⎨-+≥⎩ 或1435x ≤≤⎧⎨≥⎩ 或4255x x >⎧⎨-≥⎩， 解得：0x ≤或5x ≥．故不等式()5f x ≥的解集为{0x x ≤或5}x ≥． ……5分(Ⅱ)因为: ()1(1)()1f x x x a x x a a =-+-≥---=-（当1x =时等号成立） 所以：min ()1f x a =- ……8分由题意得：14a -≥， 解得3-≤a 或5≥a ． ……10分OCM NAPBD。
辽宁省沈阳市2018届高三数学上学期第二次模拟考试试题理2018010902110
辽宁省沈阳市2018届高三数学上学期第二次模拟考试试题 理第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|540M x x x =-+≤，{}0,1,2,3N =，则集合M N ⋂中元素的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 2．设复数21,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且i z +=21，则12z z ⋅=（ ）A. i 34+-B. i 34-C. i 43--D.i 43-3．已知52log 2a =， 1.12b =，0.812c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A.c b a << B. b c a << C.a b c << D.a cb <<4．设a ，b 是实数，则“0||||>>a b ”是“1>ab”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．函数()sin()sin()36f x x a x ππ=++-的一条对称轴方程为2x π=，则a =（ ）A ．1BC ．2D ．36．现有3个命题.1:p 函数()l g 2f xx x =--有2个零点.2:,,sin 62p x x x ππ⎛⎫∃∈+=⎪⎝⎭3:p 若2,4,a b c d ac bd +=+=+>则,,,a b c d 中至少有1个为负数.那么,这3个命题中,真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 37．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373159517114192 3⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩ ，，,仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m 的值为( )A. 43B. 44C. 45D. 468．已知ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若1cos 4B =，2b =，sin 2sin C A =，则ABC ∆的面积为（ ）A.6B. 4C.9．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()[]222,0f x f x x +=-∈-，当时，()1xf x =-⎝⎭，若在区间()2,6-内关于x 的方程()()()l o g 200a f x x a -+=>有四个零点，则a 的取值范围是（ ）A.1,14⎛⎫⎪⎝⎭B.()1,4C.()1,8D.()8+∞ 10．如图圆弧型声波DFE 从坐标原点O 向外传播．若D 是DFE 弧与x 轴的交点，设(0)OD x x a =≤≤，圆弧型声波DFE 在传播过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y （图中阴影部分），则函数()y f x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，()2f x x=，则关于x 的方程在[]3,3-上根的个数是（ ） A. 10个 B. 8个 C. 6个 D. 4个12．对任意的实数x ，都存在两个不同的实数y ，使得()2220x y y x x ye y a e x e ---+-=成立，则实数a 的取值范围为( )D. 1,12e ⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上. 13．函数()cos22sin ()f x x x x R =-∈的值域为 .14.若正实数,m n 满足2221x dx m n -⎛+=+ ⎝⎰，则()2l o g2m n +的最小值_____.15.已知函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，若存在实数[]1,2a ∈，对任意[]1,2x ∈，都有()1f x ≤，则75b c +的最大值是________.16.设G 是一个非空集合，*是定义在G 上的一个运算.如果同时满足下述四个条件：（ⅰ）对于,a b G ∀∈，都有a b G *∈；（ⅱ）对于,,a b c G ∀∈，都有()()a b c a b c **=**； （iii ）对于,a G e G ∀∈∃∈，使得a e e a a *=*=；（iv ）对于,'a G a G ∀∈∃∈，使得''a a a a e *=*=（注：“e ”同（iii ）中的“e ”）.则称G 关于运算*构成一个群.现给出下列集合和运算：①G 是整数集合，*为加法；②G 是奇数集合，*为乘法；③G 是平面向量集合，*为数量积运算；④G 是非零复数集合，*为乘法. 其中G 关于运算*构成群的序号是___________（将你认为正确的序号都写上）. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知集合A 是函数2lg(208)y x x =+-的定义域，集合B 是不等式22210(0)x x a a -+-≥>的解集，:p x A ∈，:q x B ∈. （1）若A B φ⋂=，求a 的取值范围； （2）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求的取值范围. 18.（本小题满分12分）已知函数21()cos )cos()2f x x x x ππ=-+-，x R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，已知()1f A =-，3a =，sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 前5项和为50， 722a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ， 11b =， 131n n b S +=+.（Ⅰ）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n c 满足12112n n nc c c a b b b +++⋅⋅⋅⋅+=, *n N ∈，求12201c c c ++⋅⋅⋅+的值.20．（本小题满分12分）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ， G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m ，且12AB AD ≥．设EOF θ∠=，透光区域的面积为S ． （1）求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度．21.（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>和直线l ：1x y a b -=，椭圆的离心率e =l（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知定点()1,0E -，若直线m 过点()0,2P 且与椭圆相交,C D 两点，试判断是否存在直线m ，使以CD 为直径的圆过点E ？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数22111()(1)ln ()2f x x x x a R a a a=-++∈. （1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性； （2）当12a =时，设()()6g x f x x =+，若正实数1x ，2x ，满足12()()4g x g x +=，求证：122x x +≥2017-2018学年度上学期高中学段高三联合考试高三年级数学理科 答案1—12：C C D B B D C B D A C A.13. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,3 14. 2 15. 6- 16. ①④17. （1），．………………2分若，则必须满足解得, ………………………………4分所以的取值范围是． …………………………………………………………5分 （2）易得或．……………………………………………………6分 ∵是的充分不必要条件， ∴是的真子集， ……………7分即解得，……………………………………………………9分∴的取值范围是．………………………………………………………10分 18.（1）原式可化为，，，， …………………………………………………2分故其最小正周期，………………………………………………3分 令，解得，……………………………………………………5分即函数图象的对称轴方程为，. …………………………………………………………6分（2）由（1），知，因为，所以. ………………………………8分又，故得，解得. ……………………………………………10分由正弦定理及，得.故.…………………………………………………12分19.（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．依题意得1154550,{2622,a d a d ⨯+=+= 解得14a =， 3d =， 所以()1131na a n d n =+-=+. …………………………………………3分当1n =时， 21314b b =+=，当2n ≥时， 131n n b S +=+， 131n n b S -=+，以上两式相减得13n n n b b b +-=，则14n n b b +=，又214b b =，所以14n n b b +=， *n N ∈. ……………………………………5分所以{}n b 为首项为1，公比为4的等比数列，所以14n nb -=． ……………………………………………………………6分（Ⅱ）因为12112n n nc c c a b b b +++⋅⋅⋅⋅+=， *n N ∈ 当2n ≥时， 112121n n n c c c a b b b --++⋅⋅⋅⋅+=， 以上两式相减得13nn n nc a a b +=-=， 所以1334n n n c b -==⨯， 2n ≥.……8分 当1n =时，121c a b =，所以1217c a b ==，不符合上式，……………………9分 所以122017c c c ++⋅⋅⋅+ ()2201673444=+++⋅⋅⋅+ ()20162017414734314-=+⨯=+- …………………………………………………12分20.（1）过点O 作OH FG ⊥于点H ，则OFH EOF θ∠=∠=， 所以sin sin OH OF θθ==，cos cos FH OF θθ==．……………………………………………3分所以1442sin cos 4sin222OFH OEF S S S θθθθθ⎛⎫=+=+⨯=+ ⎪⎝⎭扇形，因为12AB AD ≥，所以1sin 2θ≥，所以定义域为ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭．………………………6分 （2）矩形窗面的面积为22sin 4sin S AD AB θθ=⋅=⨯=矩形．则透光区域与矩形窗面的面积比值为2sin cos 2cos 4sin 22sin θθθθθθθ+=+．……7分设()cos 22sin f θθθθ=+， ππ62θ≤<． 则()322221sin cos sin cos sin sin cos cos 'sin 22sin 2sin 2sin f θθθθθθθθθθθθθθθθ----=-+==21cos sin222sin θθθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，…………………………………………………………9分因为ππ62θ≤<，所以11sin222θ≤，所以1sin202θθ-<，故()'0f θ<， 所以函数()fθ在ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调减．……………………………………………11分 所以当π6θ=时， ()f θ有最大值π62sin 1AB θ== (m)……………12分 21.解：（Ⅰ）由直线:1x y l a b -==，即2222433a b a b =+——①又由e =2223c a =，即2223c a =，又∵222a b c =+，∴2213b a =——②将②代入①得，即42443a a =，∴23a =，22b =，21c =， ∴所求椭圆方程是2213x y +=；…………………………………………………4分 （Ⅱ）①当直线m 的斜率不存在时，直线m 方程为0x =， 则直线m 与椭圆的交点为(0,1)±，又∵(1,0)E -，∴90CED ∠=，即以CD 为直径的圆过点E ；………………………………6分②当直线m 的斜率存在时，设直线m 方程为2y kx =+，11(,)C x y ，22(,)D x y ， 由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(13)1290k x kx +++=， 由2214449(13)k k ∆=-⨯+23636k =-0>，得1k >或1k <-，…………8分 ∴1221213k x x k -+=+，122913x x k =+， ∴1212(2)(2)y y kx kx =++212122()4k x x k x x =+++∵以CD 为直径的圆过点E ，∴EC ED ⊥，即0EC ED ⋅= ，………………9分由11(1,)EC x y =+ ，22(1,)ED x y =+ ，得1212(1)(1)0x x y y +++=，∴21212(1)(21)()50k x x k x x +++++=， ∴2229(1)12(21)501313k k k k k +-++⋅+=++，解得716k =>，即7:26m y x =+；………11分 综上所述，当以CD 为直径的圆过定点E 时，直线m 的方程为0x =或726y x =+. …12分 22.解：（1）①0＜a ＜1时，a ﹣＜0，即0＜a ，则f （x ）在（0，a ）和（，+∞）上单增，在（a ，）上单减………………………………………………2分②a=1时，a==1，f′（x ）≥0，则f （x ）在（0，+∞）上单增…………4分③a ＞1时，a ﹣＞0即0＜＜a ，则f （x ）在（0，）和（a ，+∞）上单增，在（，a ）上单减 ………………………………………………………………………6分（2）法一：由12()()4g x g x +=得：221112222ln 2ln 4x x x x x x +++++=；[]212121212()()42ln()x x x x x x x x +++=+- ；………………………8分设函数()ln (0)x x x x ϕ=->.因为'11()1x x x xϕ-=-=，所以在区间(0,1)上'()0x ϕ<，()x ϕ单调递减，在区间(1,)+∞上'()0x ϕ>，()x ϕ单调递增；因而函数()ln (0)x x x x ϕ=->的最小值为(1)1ϕ=.……………………………10分由函数()ln 1x x x ϕ=-≥知21212()()6x x x x +++≥，即1212(3)(2)0x x x x +++-≥，又120x x +>，故122x x +≥.……………………………………………12分法二：因为 '2()210g x x x=++>，所以函数()g x 在区间(0,)+∞上递增，(1)2g =，12()()4g x g x +=，不妨设1201x x <≤≤.………………………………8分构造函数()()(2)4(01)F x g x g x x =+--<≤； 则3'''224(1)()()(2)(21)2(2)102(2)x F x g x g x x x x x x x -⎡⎤=--=++--++=≥⎢⎥--⎣⎦，得()F x 在(]0,1上单增，……………………………………………………………10分有()(1)0F x F ≤=；所以1()0F x ≤， 即112(2)4()()g x g x g x -≤-=，由()g x 在(0,)+∞上单增，得122x x -≤，即122x x +≥. …………………………………12分。
2025届江淮十校高三第二次诊断性检测数学试卷含解析
2025届江淮十校高三第二次诊断性检测数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( ) A ．155B ．15C ．1510D ．21552．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5yt =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.3．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．2-B ．2C ．12-D ．124．已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ）A ．(625,)+∞B ．(4,64)C ．(9,625)D ．(9,64)5．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C ．24D ．236．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ）A ．128B ．65C ．64D ．637．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 8．函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．9．函数tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．310．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面12．已知双曲线C ：2214x y -=，1F ，2F 为其左、右焦点，直线l 过右焦点2F ，与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若223AF BF =，则直线l 的斜率为( ) A ．1B ．2-C ．1-D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省哈三中2012届高三数学第二次模拟试题 理 新人教A版【会员独享】
2012年某某市第三中学第二次高考模拟考试理科数学考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
（1）答题前，考生先将自己的某某、某某填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚。
（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
（4）保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
参考公式：圆锥侧面积S rl π=。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．已知复数23iz i=-，则复平面内表示z 的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．集合{}2|1P x Z y x =∈=-，{}|cos ,Q y R y x x R =∈=∈，则PQ =A ．PB ．QC ．{1,1}-D ．{0,1}3．二项式251()x x-的展开式中，含x 4的项的系数为A ．5B ．10C ．-5D ．-104．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．3B ．34C ．32D ．125．某程序框图如图所示，若输出的S =57，则判断框内应为A ．k > 4？B ．k > 5？C ．k > 6？D ．k > 7？6．已知数列{}n a 为等差数列，且13174a a a π++=，则212cos()a a +=A ．32B ．32- C ．12D ．12- 7．已知椭圆的中心为原点，离心率32e =，且它的一个焦点与抛物线243x y =-的焦点重合，则此椭圆方程为A ．2214x y +=B ．221416x y += C ．2214y x +=D ．221164x y += 8．已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg f x x =。
辽宁省锦州市重点中学2025届高三压轴卷数学试卷含解析
辽宁省锦州市重点中学2025届高三压轴卷数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A ．75B ．65C ．55D ．452．已知平面向量a ，b 满足()1,2a =-，()3,b t =-，且()a ab ⊥+，则b =（ ） A ．3B 10C ．3D ．53．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或154．已知01a b <<<，则（ ）A ．()()111b b a a ->- B ．()()211bb a a ->- C ．()()11aba b +>+ D ．()()11aba b ->- 5．下列不等式成立的是（ ）A ．11sin cos 22>B ．11231122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．112311log log 32<D ．11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．20B ．27C ．54D ．647．如图，在三棱锥D ABC -中，DC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC CD ===，E ，F ，G 分别是棱AB ，AC ，AD 的中点，则异面直线BG 与EF 所成角的余弦值为A ．0B ．63C ．33D ．18．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（ ）A ．甲得分的平均数比乙大B ．甲得分的极差比乙大C ．甲得分的方差比乙小D ．甲得分的中位数和乙相等9．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．210．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（ ）A ．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C ．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D ．2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．22C ．21+D ．221+12．已知函数31,0()(),0x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（ ）A ．－10B ．－9C ．－7D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省沈阳市2012届高三数学第二次模拟试题(理)
2012沈阳市第二次模拟试题数 学(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，其中第II 卷第22题~第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：球的表面积公式24S R π=，其中R 为球的半径．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2320A x x x =-+=，{}log 42x B x ==，则A B = ( )A ．{}2,1,2-B ．{}1,2C ．{}2,2-D ．{}22．若复数i a a a z )3()32(2++-+=为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数a 的值是( ) A ．3- B ．3-或1 C ．3 或1- D ．13．下面的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况(单位：元)，图中的数字7表示的意义是这台自动售货机的销售额为( )A ．7元B ．37元C ．27元D ．2337元4．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2a 、4a 是方程022=--x x 的两个实数根，则5S 的值是( ) A ．25 B ．5 C ． 25- D ．5-5．函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，其中0>A ,0>ω，2πϕ<． 1 23 4028 02337 12448 238则下列关于函数()f x 的说法中正确的是( ) A ．对称轴方程是2()3x k k ππ=+∈ZB ．6πϕ-=C ．最小正周期是πD ．在区间35,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 6．设,a b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“l a ⊥，l b ⊥”是“l α⊥”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件7．若函数321(02)3x y x x =-+<<的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( ) A ．4π B ．6π C ．56π D ．34π8．已知1F 、2F 分别为椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则12PF F △ 的重心G 的轨迹方程为( )A ．221(0)3627x y y +=≠ B ．2241(0)9x y y +=≠ C ．22931(0)4x y y +=≠ D ．2241(0)3y x y +=≠9．已知某程序框图如图所示，则该 程序运行后，输出的结果为( ) A ．0.6 B ．0.8 C ．0.5 D ．0.210．设集合{}2),(≤+=y x y x A ，{}2(,)B x y A y x =∈≤，从集合A 中随机地取出一个元素(,)P x y ，则(,)P x y B ∈的概率是( ) A ．121 B ．2417 C ．32 D ．65 11．过双曲线)0(152222>=--a a y a x 右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点， 则双曲线离心率的取值范围为( )A ． )5,2(B ．C ．)2,1(D ．12．在平行四边形ABCD 中，O=∠60BAD ，AD =2AB ，若P 是平面ABCD 内一点，且满足=++y x (,x y ∈R )，则当点P 在以A 为半径的圆上时，实数y x ,应满足关系式为( )A ．12422=++xy y xB ．12422=-+xy y x C ．12422=-+xy y x D ．12422=++xy y x第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若nxa x )(2-展开式中二项式系数之和是1024，常数项为45，则实数a 的值是 ．14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知数列{}n S 是首项和公比都是3的等比数列， 则{}n a 的通项公式n a =______________．15．如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形(单位：cm)，则该三棱锥的外接球的表面积为____________cm 2．16．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[2,0]x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=(1)a >在区间(2,6]-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分)一个口袋内有n (3n >)个大小相同的球，其中有3个红球和(3)n -个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是p ． (I)当35p =时，不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的期望E ξ； (II)若6p ∈N ，有放回地从口袋中连续地取四次球(每次只取一个球)，在四次摸球中恰好取到两次红球的概率大于827，求p 和n ．18．(本小题满分12分)已知A B C 、、是ABC △的三个内角，且满足2sin sin sin B A C =+，设B 的最大值为0B ．(Ⅰ)求0B 的大小；(Ⅱ)当034B B =时，求cos cos AC -的值．234俯视图左视图主视图19．(本小题满分12分)如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，⊥AO 平面111C B A .已知 90=∠BCA ，21===BC AC AA .(Ⅰ)证明：//OE 平面11C AB ； (Ⅱ)求异面直线1AB 与C A 1所成的角； (Ⅲ)求11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值．20．(本小题满分12分)如图，已知抛物线C ：px y 22=和⊙M ：1)4(22=+-y x ，过抛物线C 上一点)1)(,(000≥y y x H 作两条直线与⊙M 相切于A 、B 两点，分别交抛物线为E 、F 两点，圆心点M 到抛物线准线的距离为417． (Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时， 求直线EF 的斜率；(Ⅲ)若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．21．(本小题满分12分)已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ． (Ⅰ)讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；(Ⅱ)若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 的取值范围；ABCO1A 1C 1B E(Ⅲ)当20e y x <<<且e x ≠时，试比较xy x y ln 1ln 1--与的大小．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲已知AB 为半圆O 的直径，4AB =，C 为半圆上一 点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD CD ⊥于D ，交圆于点E ，1DE =． (Ⅰ)求证：AC 平分BAD ∠； (Ⅱ)求BC 的长．23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为：)4sin(210πθρ-=,点(2cos ,2sin 2)P αα+，参数[]0,2απ∈.(Ⅰ)求点P 轨迹的直角坐标方程；(Ⅱ)求点P 到直线l 距离的最大值.24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数a a x x f +-=2)(．(Ⅰ)若不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，求实数a 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．2012年沈阳市高三二模测试试题理科数学试题参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题1．B ； 2．D ；3．C ；4．A ；5．D ；6．C ；7．D ；8．C ；9．A ；10．B ；11．B ；12．D ． 二、填空题13． 1±；14．13,(1)23,(2)n n n -=⎧⎨⋅≥⎩；15．29π ；162a <<． 三、解答题 17．解：(I)333555p n n =⇒=⇒=，所以5个球中有2个白球 白球的个数ξ可取0，1，2． ······················ 1分3211233232333555133(0),(1),(2)10510C C C C C p p p C C C ξξξ=========． ····· 4分1336012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=． ····················· 6分 (另解：依题意ξ服从参数为N =5，M =2，n =3的超几何分布，所以E ξ=56352=⨯．(II)由题设知，22248(1)27C p p ->， ··················· 8分因为(1)0p p ->所以不等式可化为2(1)9p p ->，解不等式得，1233p <<，即264p <<． ················10分又因为6p ∈N ，所以63p =，即12p =，所以12p =，所以312n =，所以6n =． ·················12分18．解：(Ⅰ)由题设及正弦定理知，2b a c =+，即2a cb +=．由余弦定理知，2222222cos 22a c a c a c b B ac ac+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭== ·········· 2分223()23(2)21882a c ac ac ac ac ac +--=≥=． ················· 4分因为cos y x =在(0,)π上单调递减，所以B 的最大值为03B π=． ······· 6分 (Ⅱ)解：设cos cos A C x -=， ························ ① ···································· 8分由(Ⅰ)及题设知sin sin A C += ····················· ② 由①2+②2得，222cos()2A C x -+=+． ··················10分又因为4A CB πππ+=-=-，所以x =cos cos A C -=． ·················12分 19．解法一：(Ⅰ)证明：∵点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点， ∴1//AC OE ，又∵⊄EO 平面11C AB ，⊂1AC 平面11C AB ，∴//OE 平面11C AB ． ·························· 4分 (Ⅱ)∵⊥AO 平面111C B A ，∴11C B AO ⊥，又∵1111C B C A ⊥，且O AO C A = 11，∴⊥11C B 平面11AC CA ，∴111C B C A ⊥． ················ 6分 又∵AC AA =1， ∴四边形11AC CA 为菱形，∴11AC C A ⊥，且1111B C AC C = ∴⊥C A 1平面11C AB ，∴C A AB 11⊥，即异面直线1AB 与C A 1所成的角为90． ········· 8分 (Ⅲ) 设点1C 到平面11B AA 的距离为d ，∵111111B AA C C B A A V V --=， 即⋅=⋅⋅⋅⋅3121311111AO C B C A S △11B AA d ⋅． ················10分 又∵在△11B AA 中，22111==AB B A ，∴S △11AA B 7=．∴7212=d ，∴11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值21． ·········12分 解法二：如图建系xyz O -，A ，11(0,1,0),(0,,22A E --，1(0,1,0)C ，1(2,1,0)B ，A 1C ． ····························· 2分(Ⅰ)∵=OE )23,21,0(-，)3,1,0(1-=AC ，∴112OE AC =- ，即1//AC OE ，又∵⊄EO 平面11C AB ，⊂1AC 平面11C AB ，∴//OE 平面11C AB ． ····· 6分 (Ⅱ)∵)3,1,2(1-=AB ，)3,3,0(1=C A ，∴⋅1AB 01=C A ，即∴C A AB 11⊥， ∴异面直线1AB 与C A 1所成的角为90． ·················· 8分 (Ⅲ)设11C A 与平面11B AA 所成角为θ，∵)0,2,0(11=C A ，111(2,2,0),(0,1A B A A ==设平面11B AA 的一个法向量是(,,)n x y z =则111•0,•0,A B n A A n ⎧=⎪⎨=⎪⎩即220,0.x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩不妨令1x =，可得(1,3n =-， ···················10分∴11sin cos ,7AC n θ=<>==， ∴11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值721． ···············12分 20．解：(Ⅰ)∵点M 到抛物线准线的距离为=+24p 417， ∴21=p ，即抛物线C 的方程为x y =2． ················ 2分 (Ⅱ)法一：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点)2,4(H ，∴HE HF k k =-，设11(,)E x y ，22(,)F x y ， ∴1212H H H H y y y y x x x x --=---，∴ 12222212H H H H y y y y y y y y --=---，∴1224H y y y +=-=-. ······················· 5分212122212121114EF y y y y k x x y y y y --====---+． ················ 7分 法二：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点)2,4(H ，∴60=∠AHB ，可得3=H A k ，3-=H B k ，∴直线HA 的方程为2343+-=x y ，联立方程组⎩⎨⎧=+-=xy x y 22343，得023432=+--y y ，∵2E y +=∴363-=E y ，33413-=E x ． ·················· 5分 同理可得363--=F y ，33413+=F x ，∴41-=EF k ． ········ 7分(Ⅲ)法一：设),(),,(2211y x B y x A ，∵411-=x y k MA ，∴114y x k HA -=， 可得，直线HA 的方程为0154)4(111=-+--x y y x x ， 同理，直线HB 的方程为0154)4(222=-+--x y y x x ， ∴0154)4(101201=-+--x y y y x ，0154)4(202202=-+--x y y y x ，·················· 9分 ∴直线AB 的方程为0154)4(020=-+--x yy y x ， 令0=x ，可得)1(154000≥-=y y y t ， ∵2015'40t y =+>，∴t 关于0y 的函数在[1,)+∞上单调递增， ∴当01y =时，11min -=t ． ·····················12分法二：设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+． 以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+， ·· ① ⊙M 方程：1)4(22=+-y x ． ····················· ② ①-②得：直线AB 的方程为2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+． ··· 9分 当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m =-(1)m ≥， ∵215'40t m=+>，∴t 关于m 的函数在[1,)+∞上单调递增， ∴当1m =时，11min -=t ． ·····················12分21．解：(Ⅰ)xax x a x f 11)(-=-='，当0≤a 时，0)(≤'x f 在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞单调递减，∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点；当0>a 时，0)(≤'x f 得a x 10≤<，0)(≥'x f 得ax 1≥， ∴)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛a 1,0上递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1a 上递增，即)(x f 在a x 1=处有极小值． ∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点． ··············· 3分 (Ⅱ)∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴1=a ， ∴b x x x bx x f ≥-+⇔-≥ln 112)(， ···················· 5分 令x x x x g ln 11)(-+=，可得)(x g 在(]2,0e 上递减，在[)+∞,2e 上递增， ∴22min 11)()(e e g x g -==，即211b e ≤-． ················· 7分 (Ⅲ)解：令1)(ln 1)(-=-=x g xx x x h ， ·················· 8分 由(Ⅱ)可知)(x g 在),0(2e 上单调递减，则)(x h 在),0(2e 上单调递减∴当20e y x <<<时，)(x h >)(y h ，即yy x x ln 1ln 1->-． ········10分当e x <<0时，,0ln 1>-x ∴xy x y ln 1ln 1-->， 当2e x e <<时，,0ln 1<-x ∴xy x y ln 1ln 1--< ···············12分 22．解：(Ⅰ)连结AC ，因为OA OC =，所以OAC OCA ∠=∠， 2分 因为CD 为半圆的切线，所以OC CD ⊥，又因为AD CD ⊥，所以OC ∥AD ，所以OCA CAD ∠=∠，OAC CAD ∠=∠，所以AC 平分BAD ∠． ····· 4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知BC CE =， ························ 6分 连结CE ，因为ABCE 四点共圆，B CED ∠=∠，所以cos cos B CED =∠， · 8分 所以DE CB CE AB=，所以2BC =． ····················10分 23．解：(Ⅰ)2cos ,2sin 2.x y αα=⎧⎨=+⎩ 且参数[]0,2απ∈， 所以点P 的轨迹方程为22(2)4x y +-=． ··············· 3分 (Ⅱ)因为)4sin(210πθρ-=，所以)104πθ-=，所以sin cos 10ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为100x y -+=． · 6分 法一：由(Ⅰ) 点P 的轨迹方程为22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为2.d ==P 到直线l距离的最大值2. ···10分 法二：)44d πα==++，当74πα=，max 2d =，即点P 到直线l距离的最大值2. ·········10分24．解：(Ⅰ)由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤，∴32a -=-，∴1a =． ················· 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知()211f x x =-+，令()()()n f n f n ϕ=+-，则()124, 211212124, 22124, 2n n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩∴()n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)4,+∞． ···········10分。
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一、选择题：1．已知集合{}2320A x x x =-+=，{}log 42x B x ==，则A B = ( )A ．{}2,1,2-B ．{}1,2C ．{}2,2-D ．{}22．若复数i a a a z )3()32(2++-+=为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数a 的值是( ) A ．3- B ．3-或1 C ．3 或1- D ．13．下面的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况(单位：元)，图中的数字7表示的意义是这台自动售货机的销售额为( )A ．7元B ．37元C ．27元D ．2337元4．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2a 、4a 是方程022=--x x 的两个实数根，则5S 的值是( ) A ．25 B ．5 C ． 25- D ．5-5．函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，其中0>A ,0>ω，2πϕ<．则下列关于函数()f x 的说法中正确的是( ) A ．对称轴方程是2()3x k k ππ=+∈ZB ．6πϕ-=C ．最小正周期是πD ．在区间35,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 6．设,a b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“l a ⊥，l b ⊥”是1 23 4028 02337 12448 238“l α⊥”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件7．若函数321(02)3x y x x =-+<<的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( ) A ．4π B ．6π C ．56π D ．34π8．已知1F 、2F 分别为椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则12PF F △ 的重心G 的轨迹方程为( )A ．221(0)3627x y y +=≠B ．2241(0)9x y y +=≠ C ．22931(0)4x y y +=≠ D ．2241(0)3y x y +=≠ 9．已知某程序框图如图所示，则该 程序运行后，输出的结果为( ) A ．0.6 B ．0.8 C ．0.5 D ．0.210．设集合{}2),(≤+=y x y x A ，{}2(,)B x y A y x =∈≤，从集合A 中随机地取出一个元素(,)P x y ，则(,)P x y B ∈的概率是( ) A ．121 B ．2417 C ．32 D ．65 11．过双曲线)0(152222>=--a ay a x 右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点， 则双曲线离心率的取值范围为( )A ． )5,2( B． C ．)2,1( D．12．在平行四边形ABCD 中，O=∠60BAD ，AD =2AB ，若P 是平面ABCD 内一点，且满足=++y x (,x y ∈R )，则当点P 在以A为半径的圆上时，实数y x ,应满足关系式为( )A ．12422=++xy y xB ．12422=-+xy y xC ．12422=-+xy y xD ．12422=++xy y x第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若nxa x )(2-展开式中二项式系数之和是1024，常数项为45，则实数a 的值是 ． 14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知数列{}n S 是首项和公比都是3的等比数列， 则{}n a 的通项公式n a =______________．15．如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形(单位：cm)，则该三棱锥的外接球的表面积为____________cm 2．16．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[2,0]x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=(1)a >在区间(2,6]-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分)一个口袋内有n (3n >)个大小相同的球，其中有3个红球和(3)n -个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是p ．234俯视图左视图主视图(I)当35p =时，不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的期望E ξ； (II)若6p ∈N ，有放回地从口袋中连续地取四次球(每次只取一个球)，在四次摸球中恰好取到两次红球的概率大于827，求p 和n ．18．(本小题满分12分)已知A B C 、、是ABC △的三个内角，且满足2sin sin sin B A C =+，设B 的最大值为0B ．(Ⅰ)求0B 的大小；(Ⅱ)当034B B =时，求cos cos AC -的值．19．(本小题满分12分)如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点，⊥AO 平面111C B A .已知 90=∠BCA ，21===BC AC AA .(Ⅰ)证明：//OE 平面11C AB ； (Ⅱ)求异面直线1AB 与C A 1所成的角； (Ⅲ)求11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值．20．(本小题满分12分)如图，已知抛物线C ：px y 22=和⊙M ：1)4(22=+-y x ，过抛物线C 上一点ABCO1A 1C 1B E)1)(,(000≥y y x H 作两条直线与⊙M 相切于A 、B 两点，分别交抛物线为E 、F 两点，圆心点M 到抛物线准线的距离为417． (Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时， 求直线EF 的斜率；(Ⅲ)若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．21．(本小题满分12分)已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ． (Ⅰ)讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；(Ⅱ)若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 的取值范围；(Ⅲ)当20e y x <<<且e x ≠时，试比较xy x y ln 1ln 1--与的大小．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲已知AB 为半圆O 的直径，4AB =，C 为半圆上一 点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD CD ⊥于D ，交圆于点E ，1DE =． (Ⅰ)求证：AC 平分BAD ∠； (Ⅱ)求BC 的长．23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为：)4sin(210πθρ-=,点(2cos ,2sin 2)P αα+，参数[]0,2απ∈.(Ⅰ)求点P 轨迹的直角坐标方程；(Ⅱ)求点P 到直线l 距离的最大值.24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数a a x x f +-=2)(．(Ⅰ)若不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，求实数a 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．2012年沈阳市高三二模测试试题理科数学试题参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题1．B ； 2．D ；3．C ；4．A ；5．D ；6．C ；7．D ；8．C ；9．A ；10．B ；11．B ； 12．D ． 二、填空题13． 1±；14．13,(1)23,(2)n n n -=⎧⎨⋅≥⎩；15．29π ；162a <<． 三、解答题 17．解：(I)333555p n n =⇒=⇒=，所以5个球中有2个白球 白球的个数ξ可取0，1，2． ······················ 1分3211233232333555133(0),(1),(2)10510C C C C C p p p C C C ξξξ=========． ····· 4分1336012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=． ····················· 6分 (另解：依题意ξ服从参数为N =5，M =2，n =3的超几何分布，所以E ξ=56352=⨯．(II)由题设知，22248(1)27C p p ->， ··················· 8分因为(1)0p p ->所以不等式可化为2(1)9p p ->， 解不等式得，1233p <<，即264p <<． ················10分 又因为6p ∈N ，所以63p =，即12p =，所以12p =，所以312n =，所以6n =． ·················12分18．解：(Ⅰ)由题设及正弦定理知，2b a c =+，即2a cb +=．由余弦定理知，2222222cos 22a c a c a c b B ac ac+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭== ·········· 2分223()23(2)21882a c ac ac ac ac ac +--=≥=． ················· 4分因为cos y x =在(0,)π上单调递减，所以B 的最大值为03B π=． ······· 6分 (Ⅱ)解：设cos cos A C x -=， ························ ① ···································· 8分 由(Ⅰ)及题设知sin sin A C += ····················· ② 由①2+②2得，222cos()2A C x -+=+． ··················10分又因为4A CB πππ+=-=-，所以x =cos cos A C -=． ·················12分 19．解法一：(Ⅰ)证明：∵点O 、E 分别是11C A 、1AA 的中点， ∴1//AC OE ，又∵⊄EO 平面11C AB ，⊂1AC 平面11C AB ，∴//OE 平面11C AB ． ·························· 4分 (Ⅱ)∵⊥AO 平面111C B A ，∴11C B AO ⊥，又∵1111C B C A ⊥，且O AO C A = 11，∴⊥11C B 平面11AC CA ，∴111C B C A ⊥． ················ 6分 又∵AC AA =1， ∴四边形11AC CA 为菱形，∴11AC C A ⊥，且1111B C AC C = ∴⊥C A 1平面11C AB ，∴C A AB 11⊥，即异面直线1AB 与C A 1所成的角为90． ········· 8分 (Ⅲ) 设点1C 到平面11B AA 的距离为d ，∵111111B AA C C B A A V V --=， 即⋅=⋅⋅⋅⋅3121311111AO C B C A S △11B AA d ⋅． ················10分 又∵在△11B AA 中，22111==AB B A ，∴S △11AA B 7=．∴7212=d ，∴11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值21． ·········12分 解法二：如图建系xyz O -，A ，11(0,1,0),(0,,22A E --，1(0,1,0)C ，1(2,1,0)B ，C ． ····························· 2分(Ⅰ)∵=OE )23,21,0(-，)3,1,0(1-=AC ，∴112OE AC =- ，即1//AC OE ，又∵⊄EO 平面11C AB ，⊂1AC 平面11C AB ，∴//OE 平面11C AB ． ····· 6分 (Ⅱ)∵)3,1,2(1-=，)3,3,0(1=A ，∴⋅101=A ，即∴C A AB 11⊥， ∴异面直线1AB 与C A 1所成的角为90． ·················· 8分 (Ⅲ)设11C A 与平面11B AA 所成角为θ，∵)0,2,0(11=C A ，111(2,2,0),(0,1A B A A ==设平面11B AA 的一个法向量是(,,)n x y z =则111•0,•0,A B n A A n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即220,0.x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩A 1不妨令1x =，可得(1,3n =-， ···················10分∴11sin cos ,7AC n θ=<>==， ∴11C A 与平面11B AA 所成角的正弦值721． ···············12分 20．解：(Ⅰ)∵点M 到抛物线准线的距离为=+24p 417， ∴21=p ，即抛物线C 的方程为x y =2． ················ 2分 (Ⅱ)法一：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点)2,4(H ，∴HE HF k k =-，设11(,)E x y ，22(,)F x y ， ∴1212H H H H y y y y x x x x --=---，∴ 12222212H H H H y y y y y y y y --=---， ∴1224H y y y +=-=-. ······················· 5分212122212121114EF y y y y k x x y y y y --====---+． ················ 7分 法二：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点)2,4(H ，∴60=∠AHB ，可得3=H A k ，3-=H B k ，∴直线HA 的方程为2343+-=x y ，联立方程组⎩⎨⎧=+-=xy x y 22343，得023432=+--y y ，∵23E y +=∴363-=E y ，33413-=E x ． ·················· 5分 同理可得363--=F y ，33413+=F x ，∴41-=EF k ． ········ 7分(Ⅲ)法一：设),(),,(2211y x B y x A ，∵411-=x y k MA ，∴114y x k HA -=， 可得，直线HA 的方程为0154)4(111=-+--x y y x x ， 同理，直线HB 的方程为0154)4(222=-+--x y y x x ， ∴0154)4(101201=-+--x y y y x ，0154)4(202202=-+--x y y y x ，·················· 9分 ∴直线AB 的方程为0154)4(020=-+--x yy y x ， 令0=x ，可得)1(154000≥-=y y y t ， ∵2015'40t y =+>，∴t 关于0y 的函数在[1,)+∞上单调递增， ∴当01y =时，11min -=t ． ·····················12分法二：设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+．以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+， ·· ① ⊙M 方程：1)4(22=+-y x ． ····················· ② ①-②得：直线AB 的方程为2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+． ··· 9分 当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m=-(1)m ≥， ∵215'40t m=+>，∴t 关于m 的函数在[1,)+∞上单调递增， ∴当1m =时，11min -=t ． ·····················12分21．解：(Ⅰ)xax x a x f 11)(-=-='，当0≤a 时，0)(≤'x f 在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞单调递减，∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点；当0>a 时，0)(≤'x f 得a x 10≤<，0)(≥'x f 得ax 1≥，∴)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛a 1,0上递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1a 上递增，即)(x f 在a x 1=处有极小值． ∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点． ··············· 3分 (Ⅱ)∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴1=a ， ∴b x x x bx x f ≥-+⇔-≥ln 112)(， ···················· 5分 令x x x x g ln 11)(-+=，可得)(x g 在(]2,0e 上递减，在[)+∞,2e 上递增， ∴22min 11)()(e e g x g -==，即211b e ≤-． ················· 7分 (Ⅲ)解：令1)(ln 1)(-=-=x g xx x x h ， ·················· 8分 由(Ⅱ)可知)(x g 在),0(2e 上单调递减，则)(x h 在),0(2e 上单调递减∴当20e y x <<<时，)(x h >)(y h ，即yy x x ln 1ln 1->-． ········10分 当e x <<0时，,0ln 1>-x ∴xy x y ln 1ln 1-->， 当2e x e <<时，,0ln 1<-x ∴xy x y ln 1ln 1--< ···············12分 22．解：(Ⅰ)连结AC ，因为OA OC =，所以OAC OCA ∠=∠， 2分 因为CD 为半圆的切线，所以OC CD ⊥，又因为AD CD ⊥，所以OC ∥AD ，所以OCA CAD ∠=∠，OAC CAD ∠=∠，所以AC 平分BAD ∠． ····· 4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知BC CE =， ························ 6分 连结CE ，因为ABCE 四点共圆，B CED ∠=∠，所以cos cos B CED =∠， · 8分 所以DE CB CE AB=，所以2BC =． ····················10分 23．解：(Ⅰ)2cos ,2sin 2.x y αα=⎧⎨=+⎩ 且参数[]0,2απ∈， 所以点P 的轨迹方程为22(2)4x y +-=． ··············· 3分 (Ⅱ)因为)4sin(210πθρ-=，所以)104πθ-=，所以sin cos 10ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为100x y -+=． · 6分法一：由(Ⅰ) 点P 的轨迹方程为22(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为2.d ==P 到直线l距离的最大值2. ···10分法二：)44d πα==++，当74πα=，max 2d =，即点P 到直线l距离的最大值2. ·········10分 24．解：(Ⅰ)由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤，∴32a -=-，∴1a =． ················· 5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知()211f x x =-+，令()()()n f n f n ϕ=+-，则()124, 211212124, 22124, 2n n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩∴()n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)4,+∞．···········10分。