圆导学案
新人教版九年级数学上册《圆》导学案
BAC ED O新人教版九年级数学上册《圆》导学案课 题 圆课 型展示课 执笔人审核人级部审核学习时间第 周第 导学稿教师寄语学习目标1、培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.2、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识.学生自主活动材料一.前置性自学1、自学提示：这节课请同学们自主学习课本P78-P80内容。
2、（1）举出生活中的三、四个圆的实例． （2）你发现形成圆的方法有那几种？3、画一个半径为2cm 的圆O 。
观察你画的圆：问题1：图上各点到定点（圆心O ）的距离有什么规律？ 问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？二.小组反馈4、圆的大小、位置由什么决定？5、写出上图中的弦有___________________________其中_________是直径； 劣弧是___________________________优弧是_________________________.三.合作探究1、判断正误（说明理由）（1）直径是弦，弦是直径（ ） （2）等弧对等弦，等弦对等弧（ ） （3）弧是半圆，半圆是弧（ ） （4）优弧一定比劣弧长（ ） 2、指出右图中的弦、优弧、劣弧四.展示交流如图，C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 作弦DE ，使DC=OC ，∠AOD=40°， 求∠BOE•的度数．（使学生充分认识园内的各个等量关系）五.拓展提升1、已知△OAB ，如图所示，作出绕O 点旋转30°、45°、60°的图形．2、已知AB=3cm ，作图说明满足下列要求的图形： 1)到点A 的距离等于2cm 的所有点组成的图形. 2)到点B 的距离等于2cm 的所有点组成的图形。
3)到点A 和B 的距离都等于2cm 的所有点组成的图形. 4）到点A 和点B 的距离都小于2cm 的所有点组成的图形. 3、设ＡＢ＝４cm ，作图说明满足下列要求的图形1）和点Ａ的距离小于３cm,和点Ｂ的距离小于２cm 的所有点组成的集合． 2）和点Ａ的距离大于３cm,和点Ｂ的距离大于２cm 的所有点组成的集合． 4、如图,一根3m 长的绳子,一端栓在柱子上, 另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.5．如图24—A —7，两个半径都是4cm 的圆，一只蚂蚁由 点A 开始依A 、B 、C 、D 、E 、F 、C 、G 、A 的顺序沿着圆 周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行， 直到行走2006πcm 后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ） A ．D 点 B ．E 点 C ．F 点 D ．G 点6．弦AB 把圆分成1：3两部分，则AB 所对的劣弧等于_______度，AB•所对的优弧等于________度．(2)NMFEODEBACF图24—A —7B ACE DOBACDB AC ED O7．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°；以C 为圆心、CB 为半径的圆交AB•于点D ，求∠ACD 的度数．六.当堂反馈１、圆是平面上的一种____________图形，将一张圆形纸片至少对折____次可以得到这个圆的圆心。
三角形的内切圆导学案
3.5三角形的内切圆学案学习目标：1、 经历三角形内切圆的产生过程；体验并理解三角形内切圆的性质；2、类比三角形内切圆与三角形外接圆，进一步理解三角形内心和外心所具有的性质.会进行有关的计算。
重难点：三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质． 活动一.温故知新1、确定圆的条件有哪些?______________________２、如图，△ABC 是⊙O 的________ 三角形。
圆的内接三角形有_____ 个,⊙ O 是△ABC 的____圆，三角形的外接圆有____个.点O 叫△ABC 的 ____， 它是三角形______ 的交点. 锐角三角形的外心在____。
直角三角形的外心在____。
钝角三角形的外心在____。
3、 角平分线有哪些性质？_________________________ 活动二.探究新知1、请任意作一个∠ABC ，如果在∠ABC 的内部作圆，使其与角的两边OA 、OB 相切，满足上述条件的圆是否可以作出？如果可以作，能作多少个？所作出的圆的圆心O 的位置有什么特征？为什么？2. 请在右边任意作一个△ABC ，在△ABC 内作圆，使其与各边都相切 (1)此⊙O 的圆心在什么位置？(2)你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆？（3）如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？__________ 归纳：(1)和三角形各边都相切的圆叫做_______，________叫做三角形的内心，这个三角形叫做______(2)任何一个三角____________个内心，在三角形的________; (3)三角形的内心到_________________________相等。
内心与外心类比活动三.例题分析如图1，在△ABC 中，点I 是内心，若∠A=68 °，求∠BIC 的度数。
（若∠BIC=100 °则∠A= .）你能看出∠BIC 与∠A 有怎样的数量关系吗？怎样证明？活动四.巩固练习1．O 是△ABC 的内心，∠BOC 为130°，则∠A 的度数为（ ） A ．130° B ．60° C ．70° D ．80° 2．下列图形中一定有内切圆的四边形是（ ）A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．平行四边形3．如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若∠B＝50°，∠C＝60°，•连结OE，OF，DE，DF，∠EDF等于（）A．45° B．55° C．65° D．70°4.△ABC中，AC=3，BC=4.AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（）A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.55.如图，⊙I是△ABC的内切圆，点D、E分别为AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，若△ABC的周长为20，BC边的长为5．则△ADE的周长（）A．15 B．7.5 C．10 D．95．一个直角三角形的两条直角边长分别为6、8，则它的内切圆半径为。
圆(导学案)九年级数学上册系列(人教版)
24.1.1 圆导学案1 理解并掌握圆的有关概念.2 能灵活运用圆的有关概念解决相关的实际问题.3 通过解决圆的有关问题，发展学生有条理的思考能力及解决实际问题的能力.★知识点1：圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.，一般用r表示.以点O为圆心的圆，记作“★O”，读作“圆O”.圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形.★知识点2：弦的概念：连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦.经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径.★知识点3：弧、半圆、优弧、劣弧的概念：̂，读作“圆弧AB”或“弧AB”.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆.̂）叫做劣弧小于半圆的弧（如图中的AB̂）叫做优弧.大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的ACB★知识点4：同心圆、等圆的概念：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.能够互相重合的两个圆叫做等圆.★知识点5：等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.一、圆的概念：在一个________内，线段OA绕它________的一个端点O________一周，另一个端点A________________叫做圆.其中，________________叫做圆心. _______________________为圆心的圆，记作“________________”，读作“________________”.圆心为O、半径为r的圆可以看成是________________________________组成的图形.二、弦的概念：连接圆上________________________________________叫做直径.三、弧、半圆、优弧、劣弧的概念：̂，读作“圆弧AB”或“弧AB”.圆上______________叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB圆的任意一条直径的两个端点把圆________________，每一条弧都叫做半圆.̂）叫做劣弧________半圆的弧（如图中的AB̂）叫做优弧.________半圆的弧（用三个字母表示，如图中的ACB四、同心圆、等圆的概念：____________相同，__________不相等的两个圆叫做同心圆.能够___________________的两个圆叫做等圆.五、等弧的概念：在______________中，能够____________的弧叫做等弧.引入新课【提问】小学阶段我们学习了圆的哪些性质？新知探究观察这些图片，你认识图片中的图形吗？【提问】用什么办法可以画出一个圆？圆的概念（动态）：[问题一]圆上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？[问题二]到定点的距离等于定长的点又有什么特点？圆的概念（静态）：【问题三】以定长为半径能画几个圆，以定点为圆心能画几个圆？【问题四】确定一个圆的要素是？【问题五】观察车轮形状，你发现了什么？【问题六】你知道车轮均为圆形的原因吗？典例分析例1 已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.【针对训练】1．下列条件中，能确定一个圆的是（）A．以点O为圆心B．以10cm长为半径C．以点A为圆心，4cm长为半径D．经过已知点M2．画圆时，圆规两脚间可叉开的距离是圆的（）A．直径B．半径C．周长D．面积新知探究【问题】通过阅读课本，你能说出弦的概念吗？【提问】直径和弦是什么关系呢？【课堂练习】1 判断下列说法的正误：1)弦是直径（）2)直径是弦（）3)半径是弦（）4)直径是圆中最长的弦（）5)过圆心的线段是直径（）6)过圆心的直线是直径（）2 如图，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（）条弦．3. 如图,点A、B、C、D在★O上,试在图中画出以这4点中的2点为端点的弦,这样的弦共有多少条？【问题】通过阅读课本，你能说出弧、半圆、优弧、劣弧的概念吗？【提问】弧、半圆、优弧、劣弧是什么关系呢？【课堂练习】1 判断下列说法的正误：(1)半圆是弧（）(2)圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分（）(3)大于半圆的弧叫做劣弧（）2.如图，请正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧.3．如图,圆中以A为一个端点的优弧有_____条,劣弧有_____条.【问题】通过阅读课本，你能说出同心圆、等圆的概念吗？【问题】通过阅读课本，你能说出等弧的概念吗？̂和CD̂的拉直长度都是10cm，平移并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？【提问】如图，如果AB1.如图,一根3m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.2.如图,一根6m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.3.一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么1．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（）A．27倍B．14倍C．9倍D．3倍【参考答案】观察这些图片，你认识图片中的图形吗？图片中的图形是一个圆【提问】用什么办法可以画出一个圆？圆的概念（动态）：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其中，固定的端点O叫做圆心.线段OA叫做半径,一般用r表示.以点O为圆心的圆，记作“★O”，[问题一]圆上各点到定点（圆心O ）的距离有什么规律？圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）[问题二]到定点的距离等于定长的点又有什么特点？到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.圆的概念（静态）：圆心为O 、半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点组成的图形.【问题三】以定长为半径能画几个圆，以定点为圆心能画几个圆？以定长为半径能画无数个圆，以定点为圆心能画无数个圆.【问题四】确定一个圆的要素是？一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．【问题五】观察车轮形状，你发现了什么？车轮的形状均为圆形【问题六】你知道车轮均为圆形的原因吗？把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，假如车轮变了形，不成圆形了，到轴的距离不相等了，车就不会再平稳.典例分析例1 已知：矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O.求证：A 、B 、C 、D 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上.证明：★四边形ABCD 为矩形，★AO=OC=12AC ，OB=OD= 12 BD ，AC=BD.★OA=OC=OB=OD.★A、B、C、D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上.【针对训练】1．下列条件中，能确定一个圆的是（C）A．以点O为圆心B．以10cm长为半径C．以点A为圆心，4cm长为半径D．经过已知点M2．画圆时，圆规两脚间可叉开的距离是圆的（B）A．直径B．半径C．周长D．面积新知探究【问题】通过阅读课本，你能说出弦的概念吗？连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦.经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径.【提问】直径和弦是什么关系呢？1.弦和直径都是线段.2.凡直径都是弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.【课堂练习】1 判断下列说法的正误：1)弦是直径（×）2)直径是弦（√）3)半径是弦（×）4)直径是圆中最长的弦（√）5)过圆心的线段是直径（×）6)过圆心的直线是直径（×）2 如图，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（B）条弦．3. 如图,点A、B、C、D在★O上,试在图中画出以这4点中的2点为端点的弦,这样的弦共有多少条？6条【问题】通过阅读课本，你能说出弧、半圆、优弧、劣弧的概念吗？【提问】弧、半圆、优弧、劣弧是什么关系呢？̂，读作圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB“圆弧AB”或“弧AB”.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆.̂）叫做劣弧小于半圆的弧（如图中的AB̂）叫做优弧.大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的ACB【课堂练习】1 判断下列说法的正误：(1)半圆是弧（√）(2)圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分（×）(3)大于半圆的弧叫做劣弧（×）2.如图，请正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧.3．如图,圆中以A为一个端点的优弧有__3___条,劣弧有__3___条.【问题】通过阅读课本，你能说出同心圆、等圆的概念吗？圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.能够互相重合的两个圆叫做等圆.【问题】通过阅读课本，你能说出等弧的概念吗？在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧̂和CD̂的拉直长度都是10cm，平移并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？【提问】如图，如果AB这两条弧不可能完全重合,实际上这两条弧弯曲程度不同.1.如图,一根3m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.2.如图,一根6m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.3.一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？不公平，应该站成圆形.1．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（B）A．27倍B．14倍C．9倍D．3倍。
圆导学案8：圆锥的侧面积(打印)
九上第2章圆导学案8：圆锥的侧面积、8.如图，一个扇形铁皮OAB. 已知OA=60cm ，∠AOB=120°，小华将OA 、OB 合拢制成了一个圆锥形烟囱帽(接缝忽略不计)，则烟囱帽的底面圆的半径为( )A. 10cmB. 20cmC. 24cmD. 30cm9.如图，圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为( )A ．60B ．90C ．120D ．18010.若圆锥的母线长为5cm ，高为3cm ，则其侧面展开图中扇形的圆心角是 度.11.已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm 2。
(1）扇形的弧长= ；（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是12.圆锥的母线为13cm ，侧面展开图的面积为65πcm 2，则这个圆锥的高为 .13.已知圆锥的底面半径为2,母线长为5,则圆锥的侧面积为 ,全面积为 .14.若圆锥的锥角为90°,母线长为4,则圆锥的侧面积为 ,全面积为 .15.圆锥的母线长为5cm,高为4cm,它的侧面展开图中,扇形的圆心角为_____度.16.用一张半圆形纸片围成一个圆锥,则这个圆锥的锥角为 度.17.圆锥的轴截面是一个边长为10cm 的正三角形,则这个圆锥的高为 cm,侧面积为 cm 2 .20.如图,在扇形OAB 中, ⊙O 1分别与弧AB 、OA 、OB 切于点C 、D 、E,∠AOB=60°⊙O 1的面积为4 ,若用此扇形做一个圆锥的侧面,求这个圆锥的高.CO 120°O A B （第8题）21.一个圆锥的全面积为340π,底面圆的周长为20π,求此圆锥侧面展开图的扇形的圆心角.22、已知圆锥底面半径r=10m，母线长为40m，（1）求它的侧面展开图的圆心角和表面积；（2）若一小虫从A点出发沿着圆锥的侧面绕行到母线SA的中点B，求它所走的最短距离。
青岛版3.7正多边形与圆2导学案
3.7 正多边形和圆（第二课时）
一、教学目标
1、进一步理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系
2、了解正多边形的方法，会用基本作图作圆的内接正方形和正六边形。
二、教学重点：
会用基本作图作圆的内接正方形和正六边形
三、教学难点：
会用基本作图作圆的内接正方形和正六边形
四、探究新知
1、交流与发现
如图，A,B,C,D,E 都是O 上的点，且∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE 思考下面的问题：
（1）弦AB,BC,CD,DE 的长相等吗？
（2）∠ABC,∠BCD,∠CDE 是否相等？为什么？
（3）由（1）与（2），你能将圆周n 等分吗？
你能设计一种画正n 边形的方法吗？与同学交流。
试一试：在图（2）中画出O 的内接正五边形；
2、例题解析、
例1、请在下图的图中用直尺和圆规画出O 的内接正
四边形；
例2、用直尺和圆规作圆的内接正六边形.
3、巩固练习
你能用尺规作图法作出O的内接正四边形和正八边形吗？
4、当堂检测
你能用尺规作图法作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？
五、课堂小结：
1.基础知识：
2.基本技能：
3.基本活动经验：
4.基本数学思想
六、布置作业
配套练习册
七、教学反思。
高中数学必修二解读阿波罗尼圆导学案设计
解读阿波罗尼圆导学案四川南充白塔中学 杨晓勇（一）问题起源人民教育出版社必修二第124页习题4.1 B 组题第3题：1.已知点M 与两个定点(0,0)O ,(3,0)A 的距离的比为12，先利用信息技术手段，探求点M 的轨迹，然后求出它的方程.（二）几何探究（三）引申触类2.求证：,(0,1)A B P λλλ>≠平面内到两定点的距离之比等于定值的动点的轨迹是圆.（四）历史回顾阿波罗尼（Apollonius ，260－190BC ），出生于古希腊的小亚细亚南岸的佩尔加，青年时代的阿波罗尼曾客居亚历山大城，追随欧几里德(Euclid,330-275BC)的学生学习数学。
阿波罗尼对圆锥曲线有深刻的研究，其主要成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书。
他与阿基米德（Archimedes,287-212BC ），欧几里德(Euclid ，330-275BC)被称为亚历山大时期的三巨匠。
（五）深入剖析这一环节我首先让学生对问题一进行归纳，得到圆心 ，半径 后，引导学生思考图像，研究阿波罗尼圆性质.（六）理论升华,(0,1)A B P λλλ>≠ 平面内到两定点的距离之比等于定值的动点的轨迹是圆.该圆称为阿波罗尼圆.感悟： 1.=1P AB λ当时，点轨迹为垂直平分线；3.0,1,P AB MN λλλ>≠当时，点轨迹为满足定比内分和外分定线段的两个分点为直径的圆；24.,,11.C A B C AB C A C B C CA CB R λλ><=若为圆心，则三点共线，在的同侧.当时，在外，在内；当0<时，则反之.（七）经典赏析类型一.求轨迹方程(2,0),(1,0),2,A B P PA PB P -=（2006四川高考）已知两定点如果动点满足条件则点的轨迹所包围的图形面积等于（ ）（八）课堂总结（八）课后作业。
西师版六年级数学上册2单元圆导学案
西师版六年级数学上册第二单元《圆》导学案第一部分圆的认识第1课时主备人：XXX 审核人：XXX 分课时：第一课时学习目标：一、使学生认识圆，知道圆的各部分名称，掌握圆的特征，认识扇形，了解扇形的大小与它的圆心角的关系。
二、积极参与教师组织的课堂教学活动。
三、使学生对周围环境中与圆有关的某些事物具有好奇心。
重点难点：一、圆的半径、直径的意义及之间的关系。
二、圆的半径、直径的意义及之间的关系。
教学时间安排：1课时过程设计：一、读书自学，自主探究：1、出示图形：2、提问：如果把以上图形按某一种特征分成两类，你想应该怎样分？(分成圆和不是圆)3、揭示课题：今天，我们就一起来学习圆的知识。
二、分组合作，讨论解疑：12、你能画一个圆吗？3、我们可以用什么工具来画圆？(圆规)4、指导学生用圆规画圆。
5o6、试想一下，圆有多少条对称轴？谁是它的对称轴？7、什么是扇形？扇形的大小与什么有关？三、展示点评，总结升华：1、用圆规画圆时，用圆规的一只脚固定一点，另一只脚绕着这个点旋转一圈。
画圆时，固定的一点是圆心，一般用字线o 表示。
2、从圆心到圆上任意一点的线段是半径，半径一般用字母r 表示。
通过圆心且两端都在圆上的线段是直径，直径一般用字母d 表示。
3、直径和半径的关系：试一试：在圆中能画几条半径和几条直径，量一量它]们的长度，看看有什么发现？小结：圆的直径有无数条，半径有无数条，在同一个圆中所有的半径都相等，所有的直径都相等，在同一个圆中，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。
用字母表示：d=2r 或r=21d 。
圆是轴对称图形，直径所在的直线是对称轴。
4、看课本18页例3：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形。
在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。
四、清理过关，效果检测：1、用圆规画圆：(1)画几个圆心在同一个点而半径不相等的圆；画几个圆心不在同一点而半径相等的圆。
正多边形和圆导学案
课题正多边形和圆
一、展示解析“学习目标”。
1、学习正多边形的概念，探索正多边形和圆的关系．
2、能进行正多边形的有关计算，了解正多边形的中心，半径、边心距、中心角等概念，通过等分圆周作正多边形．
二、达成“学习目标”
知识模块一正多边形的有关概念
【自主探究】
阅读课本P105，完成下题：
如图所示，点A、B、C、D、E、F把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各
分点得到六边形ABCDEF，它是正六边形吗？请写出证明过程．
归纳：
1.一个正多边形的各个顶点都在一个圆上，则这个正多边形就是这个圆的内接多边形，圆叫做这个多边形的外接圆．
2．一个正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
3．外接圆的半径叫做正多边形的半径．
4．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
5．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
知识模块二正多边形的有关计算
【合作探究】
阅读P106，完成下面例题：
典例：如图正六边形的半径为R，求正六边形的边长、边心距和面积．
三．检测“学习目标”
1．若一个正多边形的每个外角为36°，则这个正多边形的中心角为( ) A．18°B．36°C．54°D．72°
2．若正方形的边长为6，则其外接圆半径为，内切圆半径为．3．已知一个圆的半径为5cm，则它的内接正三角形的半径为，边心距为．
4．如图，已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为123，求⊙O的半径．。
圆周运动导学案
第二节向心力
学生活动知识规律巩固练习
一、向心力
1、使用绳子拴着的小钢球在水平桌面上做圆周运动，感受绳子对手有什么作用？
2、分析小球受力（忽略桌面的摩擦力）一、感受向心力
1、绳子拉力特点：
（1）方向：
（2）与速度关系：
例题1、月球绕地球转动可视
为匀速圆周运动试分析月球
受到的向心力。
二、分析向心力来源【思考】
上面两种情况绳子提供向心力，引力提供向心力，他们都有直接指向圆心的力，那么下面这个圆锥摆的向心力又在哪里呢？二、向心力
分析以上三个图沿半径受力特点。
向心力定义：
三、探究向心力大小【感受向心力的变化】
请同学们让小钢球做圆周运动，并做如下变动，分别感受向心力的变化：
1、同一个钢球，相同的半
径，以不同的角速度转
动，
2、同一个小球，以大概相同
的角速度，不同半径转
动。
3、质量不同的小球以相同
的半径和大概相同的角
速度转动。
三、学生实验
1、感受向心力变化（1）
（2）
（3）
αα。
北师大版九年级下第三章圆导学案
3.1车轮为什么做成圆形学习目标、重点、难点【学习目标】1.经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程.2.理解圆的概念，理解点与圆的位置关系. 【重点难点】1.圆及其有关概念，点与圆的位置关系.2.用集合的观念描述圆.知识概览图新课导引【生活链接】 在现实生活中，通过观察你会发现，像车轮、齿轮等都做成圆形，家用餐具中，锅、碗、盆等多数也是圆形．【问题探究】 在现实生活中，还有许多物品都是做成圆形的．那么，你能描述出什么样的图形叫做圆吗?【点拨】 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆． 教材精华知识点1 圆的定义平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．其中，定点称为圆心，定长称为半径的长(通常也称为半径)．如图3－1所示，OA 为半径，以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ”．拓展 确定一个圆需要两个要素：一是圆心；二是半径．圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽然圆的位置固定，但大小不确定，因而圆不确定；只有半径没有圆心，虽然圆的大小固定，但圆心的位置不确定，因而圆也不确定．只有圆心和半径都固定了，圆才被唯一确定．探究交流 (1)以已知点O 为圆心，可以画 个圆； (2)以已知线段AB 的长为半径，可以画 个圆．点拨 由于确定一个圆要有两个条件，即圆心和半径，而两个问题中都只有一个条件，这样的圆不能确定．故都应填“无数”．同时要注意到(1)中的圆都有相同的圆心，称为同心圆；(2)中的圆都有相同的半径，称为等圆．知识点2 点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内，如图3－2所示．点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径(OA ＞r )； 点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径(OB ＝r )； 点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径(OC ＜r )．拓展 点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．即：如果圆的半径是r ，点到圆 圆的定义点与圆的位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外＜r．探究交流设AB＝3 cm，作图说明满足下列要求的图形．(1)到点A和点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形；(2)到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形．点拨(1)到点A的距离都等于2 cm的所有点组成的图形是⊙A，到点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形是⊙B，同时满足这两个条件的点为既在⊙A上，又在⊙B上的点，即为点P、点Q(如图3－3所示)．(2)满足条件的点为既在⊙A内，又在⊙B内的点，即如图3－4所示的阴影部分，但要注意不包括阴影的边界．规律方法小结1．本节运用的思想方法有分类讨论思想和转化思想．如：在分析点与圆的位置关系时，运用了分类讨论思想，而在判断点与圆的位置关系时，把问题转化为用点到圆心的距离与半径之间的数量关系来判断，运用了转化思想．2．(1)确定一个圆需要圆心和半径两个要素．(2)点与圆的位置关系可由点到圆心的距离与半径之间的数量关系来确定．课堂检测基本概念题1、求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．基础知识应用题2、两个圆的圆心都是O，半径分别为r和R(R＞r)，点A满足r＜OM＜R，那么点A在 ( )A．小圆内 B．大圆内 C．小圆外大圆内 D．小圆内大圆外综合应用题3、如图3－6所示，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm，AD＝4 cm．(1)以点A为圆心，4 cm长为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何?(2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么?4、如图3－7所示，⊙O′过坐标原点O，点O′的坐标为(1，1)，判断点P(－1，1)，Q(1，0)，R(2，2)和⊙O′的位置关系．探索与创新题5、爆破时，导火索燃烧时的速度是每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域．如果这根导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全?6、已知线段AB＝4 cm，试用阴影表示到点A的距离不小于3 cm，而到点B的距离小于2 cm的点的集合．体验中考1、在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心O的距离为3 cm．则点P与⊙O的位置关系是．2、如图3－11所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB的度数为．学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、已知：如图3－5所示，四边形ABCD 为矩形，O 是对角线AC 和BD 的交点．求证：A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上．分析 欲证A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上，需证明OA ＝OB ＝OC ＝OD ．证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以AC ＝BD ，OA ＝OC ＝21AC ，OB ＝OD ＝21BD ，所以OA ＝OB ＝OC ＝OD ．所以A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上．【解题策略】 解此类题要把文字语言转化为数学语言，根据题意画出图形，写出已知、求证，再进行证明，这是解此类问题的一般步骤．2、分析 由于r ＜OA ，所以点A 在小圆外，而OA ＜R ，所以点A 在大圆内．故选C ． 【解题策略】 要判断平面上一点与圆的位置关系，只需比较该点到圆心的距离与半径的大小即可．3、分析 要判断B ，C ，D 与⊙A 的位置关系，只需比较AB ，AC ，AD 的长与半径4 cm 的大小．解：(1)连接AC ．∵AB ＝3 cm ＜4 cm ，∴点B 在⊙A 内． ∵AD ＝4 cm ，∴点D 在⊙A 上．在Rt △ABC 中，∵AC ＝222243+=+BC AB ＝5 cm ＞4 cm ，∴点C 在⊙A 外．(2)∵AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm ，AC ＝5 cm ，∴点B 到圆心A 的距离3 cm 是最短的距离，点C 到圆心A 的距离5 cm 是最长的距离．要使B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是3 cm ＜r ＜5 cm ．【解题策略】 要确定⊙A 的半径r 的取值范围，需要知道B ，C ，D 三点到点A 的距离，即确定出最短距离和最长距离，才能确定半径r 的取值范围．4、分析 解此题的关键是先求出⊙O ′的半径，即OO ′的长，其次要分别求出点P 、点Q 、点R 到圆心O ′的距离PO ′，QO ′和RO ′的长，再用OO ′的长与PO ′，QO ′和RO ′的长比较，即可得结论．解：⊙O ′的半径r ＝OO ′＝21122=+，2)11()11(22=-+--='O P ， 22(11)(01)1QO '=-+-=， 2)12()12(22=-+-='O R .∵QO ′＜r ．∴点Q 在⊙O ′内； ∵RO ′＝r ．∴点R 在⊙O ′上．【解题策略】 本题在解题中应用了平面内任意两点间的距离公式．设平面内任意两点的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221221)()(y y x x AB -+-=．5、分析 爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，120米为半径的圆的圆外部分．解：导火索燃烧的时间为9.018＝20(秒)，人跑的路程为20×6．5＝130(米)．∵130米＞120米，∴点导火索的人是安全的．【解题策略】 解此题的关键是求人跑的路程，再与120米相比较．6、分析 到点A 的距离不小于3 cm ．即所求点应在以A 为圆心、3 cm 长为半径的⊙A 的圆上及其外部；而到点B 的距离小于2 cm 的点应在以B 为圆心、2 cm 长为半径的⊙B 的内部．解：根据题意画出图形如图3－8所示，其中阴影部分即为所求． 体验中考1、分析 因为点P 到圆心O 的距离为3 cm ＜5 cm ，所以点P 在⊙O 内．故填点P 在⊙O 内．2、分析 本题比较容易，考查圆的相关性质，根据∠ACO ＝32°可知∠CAO ＝32°，从而∠COB ＝∠ACO ＋∠CAO ＝32°＋32°＝64°．故填3.2圆的对称性学习目标、重点、难点【学习目标】1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程． 2．理解圆的对称性及相关知识．3．理解并掌握垂径定理及其逆定理．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．【重点难点】1.垂径定理及其逆定理．2.垂径定理及其逆定理的证明.知识概览图新课导引圆的有关概念：弧、弦、直径 垂径定理及其逆定理圆的旋转不变性圆心角、弦心距等概念 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆的对称性教材精华知识点1 圆的轴对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．拓展 圆的对称轴有无数条．不能说每条直径都是圆的对称轴，因为图形的对称轴是一条直线，应该说每条直径所在的直线都是圆的对称轴． 知识点2 与圆有关的概念(1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示，如图3－13所示，以A ，B 为端点的弧记作“AB ”．读作“圆弧AB ”或“弧AB ”．(2)圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧(用三个字母表示，如图3－14所示的BAC )；小于半圆的弧叫做劣弧(如图3－14所示的BDC )．(3)连接圆上任意两点的线段叫做弦(如图3－14所示的线段CD )．(4)经过圆心的弦叫做直径(如图3－14所示的AB)．直径等于半径的2倍．拓展 (1)直径是弦，但弦不一定是直径．(2)半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧． 知识点3 垂径定理及其逆定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．如图3－15所示，垂径定理的题设和结论可用符号语言表示为：,,,,.AE BE CD O AD BD CD AB AC BC =⎧⎪⎫⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩经过圆心垂足为E拓展 (1)这里的“垂径”可以是直径、半径、过圆心的直线或线段．(2)条件中的“弦”可以是直径，结论中的“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧．垂径定理的逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．如图3－15所示，垂径定理的逆定理的题设和结论可用符号语言表示为：,,(,()(.CD AB CD O CD ACB AC BC CD AB AB CD ADB AD BD ⎧⎪⎫⎪⇒=⎬⎨⎭⎪=⎪⎩垂直于弦经过圆心平分即平分弦不是直径平分即拓展 一定不能忽略“弦不是直径”这个条件，因为圆中任意两条直径总是互相平分的，但它们未必垂直．由垂径定理及其逆定理可得的其他结论．对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么就可推出其他三个：①垂直于弦；②平分弦；③平分弦所对的优弧；④平分弦所对的劣弧；知识点4 圆的旋转不变性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．实际上，一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质是圆的旋转不变性．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例． 如图3－16所示，⊙O 绕圆心O 旋转任意一个角度α，⊙O 上的任意点A 与A ′重合，即⊙O 上的所有点旋转α角后，都与⊙O 上的点重合．知识点5 圆心角、弦心距的概念 顶点在圆心的角叫做圆心角． 圆心到弦的距离叫做弦心距． 如图3－17所示，∠AOB 是⊙O 的一个圆心角，垂线段OC 的长为弦AB 的弦心距．知识点6 圆心角、弧、弦之间的关系圆的一个特性：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．如图3－18所示，若下列三个等式：①∠AOB ＝∠COD ，②AB ＝CD ，③AB CD =中有一个等式成立，则其他两个等式也成立．拓展 (1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若丢掉这个前提条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(2)要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义，否则易错用此关系．(3)上述关系中的“弧”一般指劣弧．(4)在具体运用上述关系解决问题时，可根据需要选择其有关部分．如：在同圆中，相等的弦所对的弧相等；在等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．(5)上面的定理可以扩充为“圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系的定理”——在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．如图3－19所示，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，若下列四个等式：①∠AOB ＝∠COD ，②AB ＝CD ，③AB CD =，④OE ＝OF 中有一个等式成立，则其他三个等式也成立．探究交流 长度相等的弧是等弧．点拨 因为在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧，所以等弧必须是在同圆或等圆中的弧，也只有在同圆或等圆中，两条弧才可能互相重合．因此长度相等的弧不一定是等弧．规律方法小结 1．本节解决问题的主要思想方法是数形结合思想，通过图形把垂径定理及其逆定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系展现出来，将几何问题代数化．如垂径定理的应用，解题过程中使用列方程的方法，用代数方法解决几何问题．2．(1)与圆有关的一些概念的比较．概念 区别与联系弦 半圆和弧半圆是弧，但弧不一定是半圆同心圆、等圆同心圆是指圆心相同、半径不等的圆；等圆是指半径相等、圆心不同的圆(2)垂径定理及其逆定理和几个相关的结论是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据．在理解定理的前提下，要把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径、弦心距、弦长及弓形的高之间的关系式．如图3－20所示，对于一个圆中的弦长a 、弦心距d 、半径r 及弓形的高h ，我们利用垂径定理和勾股定理，由a ，d ，r ，h 中的任意两个可求其他两个． ①若已知r ，d ，则a ＝2 22r d -；h =r －d ． ②若已知r ，h ，则a ＝2 (2)h r h -；d ＝r －h ．③若已知r ，a ，则222a d r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；222a h r r ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．④若已知d ，h ，则r ＝h ＋d ；a =2(2)h h d +．⑤若已知a ，d ，则222a r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；222a h d d ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．⑥若已知a ，h ，则2222a h d h ⎛⎫- ⎪⎝⎭=；2222a h r h⎛⎫+ ⎪⎝⎭=． 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．如图3－21所示，弦AB 与AB 及ACB 组成两个不同的弓形．弧的中点到弦的距离叫做弓形的高．如图3－22所示，C 为ACB 的中点，CD ⊥AB于D，则CD为弓形ACB的高．(3)在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦和两条弦的弦心距四组量之间的相等关系可以概括为：圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等．课堂检测基本概念题1、下列语句中，不正确的有 ( )①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一定点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧．A．①③④B．②③ C．② D．②④基础知识应用题2、如图3－23所示，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，直径MN⊥AB于E，MN 交CD于F，根据垂径定理，请你至少写出五个结论．3、如图3－25所示，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到AB 的距离为3 cm，则⊙O的半径长为 cm．4、如图3－26所示，在⊙O中，过圆周上一点A作弦AB和AC，且AB＝AC，M和N 分别为弦AB及AC的中点，连接MN并向两方延长，交圆于P和Q两点，求证PM＝NQ．综合应用题5、如图3－27所示⊙O1和⊙O2相交于A和B两点，过点A作O1O2的平行线交两圆于C，D两点，已知O1O2＝20 cm，求CD的长．6、如图3－28所示，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径画圆，分别交AD，BC 于E，F，延长BA交⊙A于G，求证GE EF．探索与创新题7、如图3－29所示，在半圆O中，半径OF⊥AB于O，OF交CD于点E，CD∥AB，则弦AC与BD是否相等?8、如图3－30所示，∠APC＝∠BPC，PC过圆心O，请判断PA与PB之间的大小关系．体验中考1、如图3－33所示，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为E，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为 ( )A．2 B．32、如图3－34所示，⊙O 的直径CD ＝10，弦AB ＝8，AB ⊥CD ，垂足为M ，则DM 的长为 ．3、如图3－35所示，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6 cm ，则直径AB 的长是 ( )A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm学后反思附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测1、分析 ①是正确的；②不正确，因为弧不一定是半圆，如优弧是弧，但不是半圆；③是正确的；④不正确，因为等弧是在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧．所以不正确的有②④．故选D ．【解题策略】准确理解弦、直径、弧、半圆、等弧等与圆有关的概念．2、分析 由MN ⊥AB ．MN 为直径，可得AE ＝BE ，AM BM =，AN BN =．由MN ⊥AB ，AB ∥CD ，可得MN ⊥CD ，CF ＝DF ，CM DM =，CN DN =．又由CM DM =，AM BM =，可得CM AM DM BM -=-，即AC BD =．解：答案不唯一，如由MN ⊥AB ，MN 为直径，可得AE ＝BE ，AM BM =，NA BN =．由MN ⊥AB ，AB ∥CD ，可得MN ⊥CD ，CM DM =，CN DN =，AC BD =．【解题策略】 由本例我们得出垂径定理的一个重要推论，即圆的两条平行弦所夹的弧相等．如图3－24所示，若AB ∥CD ，则AC BD = ．3、分析 欲求半径长，可连接OB ．由垂径定理．可得BC ＝AC ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．在Rt △OCB 中，OB ＝222234OC BC +=+＝5(cm)．即⊙O 的半径长为5 cm ．故填5．【解题策略】 (1)垂径定理的应用常与勾股定理相联系．(2)连接半径是圆中常见的一种辅助线的作法．通过连接半径可构造出直角三角形，再利用勾股定理求相关线段的长度．4、分析 欲证PM ＝NQ ，由PQ 为弦，容易联想到作弦心距OH ，则PH ＝HQ 连接OM ，ON ．现只需证MH ＝HN 即可．又M ，N 分别为弦AB ，AC 的中点，易知OM ＝ON ，所以可证MH ＝NH ．证明：作OH ⊥PQ 于H ，则PH ＝HQ 连接OM ，ON ． ∵M ，N 分别是弦AB ，AC 的中点，∴OM ⊥AB ，ON ⊥AC ．∵AB ＝AC ，∴OM ＝ON ．∵OH ⊥MN ，∴MH ＝HN ．∴PH －MH ＝HQ －HN ，∴PM ＝NQ ．【解题策略】本例反复运用垂径定理及其逆定理和推论来达到证题的目的，要仔细体会遇弦作弦心距这种辅助线作法的应用．5、分析 可过O 1作O 1E ⊥CD 于E ，过O 2作O 2F ⊥CD 于F ，这样就可构造出矩形O 1O 2FE ，再利用矩形及垂径定理的相关知识求解．解：过O 1作O 1E ⊥AC 于E ，过O 2作O 2F ⊥AD 于F ， 由垂径定理，可得AE ＝EC ，AF ＝DF ，∴EF ＝AE ＋AF ＝12CD ．∵EF ∥O 1O 2，O 1E ∥O 2F ，O 1E ⊥AC ，O 2F ⊥AD ， ∴四边形O 1O 2FE 是矩形．∴EF ＝O 1O 2＝20 cm ，∴CD ＝2EF ＝40 cm ．【解题策略】 本题在解题过程中综合运用了垂径定理及矩形的判定和性质．6、分析 可连接AF ，欲证GE EF =，可证它们所对的圆心角∠GAE 与∠EAF 相等． 证明：连接AF ，则AB ＝AF ，∴∠ABF ＝∠AFB ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ∴∠DAF ＝∠AFB ，∠GAE ＝∠ABF ，∴∠GAE ＝∠EAF ，∴GE EF =．【解题策略】 在同圆中，圆心角、弧、弦之间的关系是证弧相等、角相等、线段相等的依据，一般在分析时，哪一组量与所证问题联系最紧，就应构造这一组量，再证明相等．7、分析 由图形和已知条件不难发现，半径OF 是弦CD 的中垂线，要探求弦AC 与BD 是否相等，只需判断圆心角∠AOC 与∠BOD 是否相等即可，可连接OC ，OD ． 解：连接OC ，OD ，则OC ＝OD ．因为OE ⊥AB ，所以∠AOE ＝∠BOE ＝90°． 又因为AB ∥CD ，所以OE ⊥CD ，CE ＝DE ，所以∠COE ＝∠DOE ，所以∠COA ＝∠BOD ，所以AC ＝BD ．【解题策略】 本题的解题关键是利用垂径定理和半径的性质求得∠COE ＝∠DOE ，而不需要由△COE ≌△DOE 来得到∠COE ＝∠DOE ．8、分析 PA ，PB 既不是弦也不是弧，而是弦上的线段，所以可以过O 作两弦的垂线．解：作OE ⊥PA ，OF ⊥PB ，垂足分别为E ，F ，则AE ＝12GA ，BF ＝12HB ．因为∠APC ＝∠BPC ，所以OE ＝OF ，所以GA ＝HB ，所以12GA ＝12HB ，所以AE ＝BF ．因为OE ＝OF ，OP ＝OP ，所以Rt △OPE ≌Rt △OPF ， 所以PE ＝PF ，所以PE ＋EA ＝PF ＋BF ，所以PA ＝PB ．【解题策略】 (1)圆心到弦的距离叫做弦心距；(2)在同圆或等圆中，若两条弧、两个圆心角、两条弦、两条弦的弦心距有一组量相等，则其余各组量都相等． 体验中考1、分析 在⊙O 中，AB 为直径，AB ⊥CD 于E ，所以∠DEB ＝90°，所以CE ＝DE ＝12CD＝2，所以BE ＝22(3)(2)-＝1．连接OD ，则O E ＝OD －BE ＝OD －1，所以在Rt △OED 中，OD 2＝(OD －1)2＋2(2)，解得OD ＝1．5．所以AB ＝2OD ＝3．故选B ．2、分析 在⊙O 中，CD 为直径，弦AB ＝8．AB ⊥CD ，所以AM ＝BM ＝4，连接OB ，则OB ＝5，在Rt △OBM 中，OM ＝2254-＝3，所以DM ＝5＋3＝8．故填8．3、分析 在⊙O 中，直径AB 垂直弦CD 于P ，CD ＝6 cm ，所以CP ＝DP ＝3 cm ，连接OD ，因为P 为OB 的中点，所以OP ＝12OD ，所以在Rt △ODP 中，(2OP )2＝OP 2＋32，解得OP ＝3±，因为OP ＞0，所以OP ＝3cm ，故AB ＝43cm ．故选D ．3.3圆周角和圆心角的关系学习目标、重点、难点【学习目标】1.了解圆周角的概念．2.理解圆周角定理的证明． 【重点难点】1.圆周角概念及圆周角定理．2.认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．知识概览图新课导引【问题链接】 如下图所示，通过观察发现，每一个图形都是由∠BAC 和⊙O 组成的．【问题探究】 通过观察可知第三个图中的∠BAC 是⊙O 的圆周角．那么什么叫做圆周角呢?【点拨】 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 教材精华知识点1 圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．拓展 圆周角有两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．二者缺一不可． 知识点2 圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．拓展 (1)定理的要求是同一条弧所对的圆周角和圆心角，从数值上来看，圆周角是圆心角的一半．(2)不能忽略“同一条弧”这个前提条件，不能简单表述成“圆周角等于圆心角的一半”．关于这个定理的证明，教材上采用的是分类讨论的证明方法，这种方法应认真理解．其证明要点是：(1)将已知图形之间的各种可能位置关系进行分类；(2)先证明特殊位置的情形；(3)利用特殊情形的结论证明其他情形，即把其他情形转化为已证的特殊情形进行证明；(4)归纳、总结出一般性结论．这种方法可应用于解题之中．本定理的证明可以通过画图观察，如图3－44所示，以圆上任意一点为顶点的圆周角，虽然有无数多个，但它们与圆心的位置关系归纳起来却只有三种情况：(1)圆心在角的一边上(如图3－44(1)所示)；(2)圆心在角的内部(如图3－44(2)所示)；(3)圆心在角的外部(如图3－44(3)所示)．在这三种情况下证明定理成立，进而证明在一般情况下也成立．圆周角和圆心角的关系 圆周角的概念 圆周角定理 圆周角定理的推论知识点3 圆周角定理的推论推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．如图3－45所示，AB所对的圆周角有∠ACB，∠ADB，∠AEB，因此∠ACB＝∠ADB＝∠AEB．拓展(1)若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论不成立．如图3－46所示，∠ACB，∠ADB，∠AEB所时的弦是同一条弦AB，∠ADB＝∠AEB，但∠ADB与∠ACB，∠AEB与∠ACB却不相等．(2)此推论的逆命题是一个真命题，可以作为圆周角定理的一个推论，其表述为：在同圆或等圆中．相等的圆周角所对的弧也相等．如图3－47所示．如果∠ACB＝∠DFE，那么AB DE．推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．如图3－48所示，若AB为直径，则∠ACB＝90°；若∠ACB＝90°，则AB为直径．由此得到：如果三角形的一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．规律方法小结1．(1)分类讨论思想：如本节中的圆周角定理，是分三种情况进行证明的，但对于各类所要证明的命题，应不应该分情况讨论，主要是看各种情况的证明方法是否相同．如果相同，那么不需要分情况证明；如果不同，那么必须分情况证明，而且情况要分得正确，不能重复或遗漏．(2)转化思想：在圆周角定理的证明过程所分的三种情况中，后两种情况是通过转化为第一种情况来证明的．2．圆心角与圆周角的比较．定义图形圆心角与圆周角的关系圆心角顶点在圆心的角一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如圆 周 角(1)顶点在圆上 (2)角的两边都与圆相交下图所示，∠ACB＝12∠AOB课堂检测基本概念题1、如图3－49所示，判断哪些角是圆周角．基础知识应用题2、如图3－50所示，在⊙O 中，∠AOC ＝150°，求∠ABC ，∠ADC ，∠EBC 的度数，并判断∠ABC 和∠ADC ，∠EBC 和∠ADC 的度数关系．3、如图3－51所示，已知AB 为⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，且AD ＝CD ，∠B ＝50°，求∠BAD ，∠DCB ，∠ADC 的度数．综合应用题4、如图3－52所示，AB ，CD 是半径为5的圆内互相垂直的两条直径，E 为AO 的中点，连接CE并延长，交⊙O于另一点F，求弦CF的长．5、如图3－53所示，已知⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD和BD的长．探索与创新题6、在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图3－54所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)体验中考1、如图3－59所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为 ( ) A．30° B．45°C．60° D．90°2、如图3－60所示，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台．3、如图3－61所示，在⊙O中，∠ABC＝40°，则∠AOC＝度．4、如图3－62所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为BC上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD＝度．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析只有(2)具备圆周角的两个特征．(1)(3)的顶点不在圆上，(4)(5)虽然顶点在圆上．但角的两边不与圆相交，因此(1)(3)(4)(5)都不是圆周角．解：(2)中的角是圆周角．【解题策略】正确理解圆周角的概念．2、分析解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如ADC所对的圆心角是∠AOC，所对的圆周角是∠ABC，ABC所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周角是∠ADC．解：∵∠AOC＝150°，∴∠ABC＝12∠AOC＝75°(圆周角定理)，∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°．∴∠ADC＝12∠α＝105°(圆周角定理)．∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°．∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，∠EBC＝∠ADC＝105°，∴∠ABC和∠ADC互补，∠EBC和∠ADC相等．【解题策略】理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角定理解题的前提．3、分析由AB是直径，连接AC，可得∠ACB＝90°．由AD＝CD．可得AD CD=，连接OD，可得OD⊥AC，OD∥BC，∠AOD＝∠B＝50°．由圆周角定理，可得∠DCA＝12∠DOA＝25°．只要求出∠DCA的度数，其余的角可以很容易求得．解：连接AC，OD．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵AD＝CD，∴AD CD=，∴OD⊥AC．∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴OD∥BC，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
新希望教育 备课教师：张新才
1
《圆》整章复习导学案
本次我们一起来复习几何的最后一章——圆.该章是中考中考查知识点最多的一章之一.本
章包含的知识的变化、所含定义、定理是其它章节中所不能比的.本章分为四大节:1.圆的有关性
质;2.直线和圆的位置关系;3.圆和圆的位置关系;4.正多边形和圆.
一、基本知识和需说明的问题:
(一)圆的有关性质,本节中最重要的定理有4个.
1.垂径定理:本定理和它的三个推论说明: 在(1)垂直于弦（不是直径的弦）;(2)平分弦;(3)
平分弦所对的弧;(4)过圆心(是半径或是直径)这四个语句中,满足两个就可得到其它两个的结论.
如垂直于弦（不是直径的弦）的直径,平分弦且平分弦所对的两条弧。条件是垂直于弦（不是直径
的弦）的直径，结论是平分弦、平分弧。再如弦的垂直平分线,经过圆心且平分弦所对的弧。条件
是垂直弦,、分弦,结论是过圆心、平分弦.
应用:在圆中,弦的一半、半径、弦心距组成一个直角三角形,利用勾股定理解直角三角形的
知识,可计算弦长、半径、弦心距和弓形的高.
2.圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系定理：在同圆和等圆中, 圆心角、弧、弦、弦心
距这四组量中有一组量相等,则其它各组量均相等.这个定理证弧相等、弦相等、圆心角相等、弦
心距相等是经常用的.
3.圆周角定理：此定理在证题中不大用,但它的推论,即弧相等所对的圆周角相等；在同圆或
等圆中,圆周角相等,弧相等.直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径,都是很重
要的.条件中若有直径,通常添加辅助线形成直角.
4.圆内接四边形的性质:略.
(二)直线和圆的位置关系
1.性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.(有了切线,将切点与圆心连结,则半径与切线垂直,所以
连结圆心和切点,这条辅助线是常用的.)
2.切线的判定有两种方法.
①若直线与圆有公共点,连圆心和公共点成半径,证明半径与直线垂直即可.
②若直线和圆公共点不确定,过圆心做直线的垂线,证明它是半径(利用定义证)。根据不同的条件,
选择不同的添加辅助线的方法是极重要的.
3.三角形的内切圆:内心是内切圆圆心,具有的性质是:到三角形的三边距离相等,还要注意说某点
是三角形的内心.
连结三角形的顶点和内心,即是角平分线.
4.切线长定理:自圆外一点引圆的切线，则切线和半径、圆心到该点的连线组成直角三角形,还要
注意, A
O D P
B
(三)圆和圆的位置关系
1.记住5种位置关系的圆心距d与两圆半径之间的相等或不等关系.会利用d与R,r之间的
关系确定两圆的位置关系,会利用d,R,r之间的关系确定两圆的位置关系.
2.相交两圆,添加公共弦,通过公共弦将两圆连结起来.
(四)正多边形和圆
新希望教育 备课教师：张新才
2
1、弧长公式180Rnl
2、扇形面积公式lRSRnS213602或
3、圆锥侧面积计算公式
S=21·2πr·l=πrl
二巩固练习
一、精心选一选，相信自己的判断！（本题共12小题，每小题3分，共33分）
1.如图，把自行车的两个车轮看成同一平面内的两个圆，则它们的位置关系是（ ）
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
2.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ ）
A．50° B．80° C．90 D．100°
3.如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠BAC =（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
（ ）
4.已知⊙O的直径为12cm，圆心到直线L的距离为6cm，则直线L与⊙O的公共点的个
数为（ ） A．2 B．1 C．0 D．不确定
5.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和7cm，两圆的圆心距O1O2 =10cm，则两圆的位置关
系是（ ） A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
6.已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，则⊙O的半径是（ ）
A．3厘米 B．4厘米 C．5厘米 D．8厘米
7.下列命题错误．．的是（ ）
A．经过三个点一定可以作圆 B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 D．经过切点且垂直于切线的直线必经过
圆心
8.在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ）
A．与x轴相离、与y轴相切 B．与x轴、y轴都相离
C．与x轴相切、与y轴相离 D．与x轴、y轴都相切
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆
锥，则该圆锥的侧面积是（ ）
A．25π B．65π C．90π D．130π
10.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O、H分别为边AB、AC的中点，
将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过
A
B O
C
E
D
C
F
O
B
AG
新希望教育 备课教师：张新才
3
部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A．73 π－78 3 B．43 π+78 3 C．π D．43 π+3
11.如图，已知圆锥的底面圆半径为r(r>0)，母线长OA为3r，C为母线OB的中点，在圆锥
的侧面上，一只蚂蚁从点A爬行到点C的最短路线长为（ ）
A.3 2 r B.33 2 r C. 3 3 r D.33 r
二、细心填一填，试自己的身手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
12.各边相等的圆内接多边形_____正多边形；各角相等的圆内接多边形_____正多边形.（填
“是”或“不是”）
13.△ABC的内切圆半径为r，
△ABC的周长为l，则△ABC的面积
为_______________ .
14.已知在⊙O中，半径r=13，
弦AB∥CD，且AB=24，CD=10，则AB与CD的距离为__________.
15.同圆的内接正四边形和内接正方边形的连长比为
16.如图，在边长为3cm的正方形中，⊙P与⊙Q相外切，且⊙P分别与DA、DC边相切，
⊙Q分别与BA、BC边相切，则圆心距PQ为______________．
17.如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A
出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动
的时间为_________s时，BP与⊙O相切．
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共10小题，满分70分）
18.（本题满分8分）如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm.
若水面上升2cm（EG=2cm），则此时水面宽AB为多少？
19.（本题满分8分）如图，PA，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，AC是⊙O的直径，
∠ACB=70°．求∠P的度数．
20.（本题满分8分）如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，点D在⊙O上，连接
AD、BD，∠A=∠B=30°，BD是⊙O的切线吗？请说明理由．
A
H B O C 1O
1
H
1
A
1
C
第11题图
第12题图
BA
O
P
C
B
A
D
Q
P
O
P
C
B
A
新希望教育 备课教师：张新才
4
O
A
D B
C
H
21．如图10，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长24线上一点，切线DE平分AC于E.
(1)求证： AC是⊙O 的切线．(2)若∠A =45°，AC =10，求四边形BCED的面积．
22． (本题满分10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交
BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点, 交AD于点
G，交AB于点F．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数
23.如图，AC是⊙O的直径，PA、PB切⊙O于A、B，AC、PB的延长线交于D，若AC＝3cm，
DC＝1cm，
DB＝2cm，求：(1)PB的长；(2)ΔDOP的面积.
24.（本题满分12分）已知：如图△ABC内接于⊙O，OH⊥AC于H，过A点的切线与OC
的延长线交于点D，∠B=30°，OH=53 ．请求出：
（1）∠AOC的度数；
（2）劣弧AC的长（结果保留π）；
（3）线段AD的长（结果保留根号）.
B A
C
D
E
G
O
F
22题