【精品】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练9含解析
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练55 Word版含解析
π ＝ 3， 所 以 |2a－ 3b|＝
3
（2a－3b）2＝
→→ 9. 如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，AM＝2MD.
→→
→→ 3
若AC·BM＝－3，则AB·AD＝ .
2
( ) ( ) → → → → → → → 1 2 → → 2 → 2 →
解析：因为AC·BM＝(AD＋DC)·(AM－AB)＝ AD＋ AB · AD－AB ＝ |AD|2－ AB·
→
解析：易知MA＝ EA＝ (ED＋DA)＝－ AB－ AD，MB＝ DB＝ (AB－AD)，所以MA
33
33
33
( ) →
1→ 2→ 2 → →
2 → 4 → 2→ → 2→ → 1
·MB＝ － AB－ AD · (AB－AD)＝－ |AB|2＋ |AD|2－ AB·AD＝－ AB·AD＝－ ，所以
2→ 1→
→→
所以 AB＋ AC＝(x－y)AB＋yAC.
33
→→ 因为AB与AC不共线，
2
{ ) { ) x－y＝ ，
x＝1，
所以
3 1
解得
1 y＝ .
y＝ ，
3
3
( ) → → 2 → 1 → → → 1 → → 2 → 1 → 4
(2) AD·BC＝ AB＋ AC ·(AC－AB)＝ AB·AC－ |AB|2＋ |AC|2＝ .
→ 2→ 2 3
→ 1→
→→ → →
所以|PB|＝ |BE|＝ × ×6＝2 3，|PD|＝ |PB|＝ 3.又∠BPD＝60°，所以PB·PD＝|PB|·|PD
3
32
2
1 |·cos60°＝2 3× 3× ＝3.
【精选】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练77含解析
随堂巩固训练(77)1. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶3∶3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取 32 名学生.解析：高一年级的学生在总体中所占的比例为44＋3＋3＝25，故应从高一年级抽取的学生数为80×25＝32. 2. 某学校共有学生2 800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人.现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 93 .解析：抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为280×9302 800＝93. 3. 某课题组进行城市空气质量监测，按地域将24个城市分成甲、乙、丙三组，对应区域城市数分别为4，12，8.若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应该抽取的城市数为 3 .解析：若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应该抽取的城市数为6×1224＝3. 4. 某校共有师生1 600人，其中教师有100人.现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为 75 .解析：学生的总人数为1 600－100＝1 500，则抽取学生的人数为80×1 5001 600＝75. 5. 若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，420，则抽取的21人中，编号在区间[241，360]内的人数是 6 .解析：根据题意，从420人中抽取21人做问卷调查，组距是420÷21＝20.编号在区间[241，360]内应抽取的人数是(360－241＋1)÷20＝6.6. 某高中共有1 200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列. 现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 16 .解析：因为高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，分别设为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝1 200，a ＋c ＝2b ，所以b ＝400.若用分层抽样的方法从中抽取48人，则高二年级被抽取的人数为48×4001 200＝16. 7. 某单位有840名职工， 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查， 将840人按1，2，…，840随机编号， 则抽取的42人中，编号落入区间[61， 120]的人数为 3 .解析：根据系统抽样的特点，组距应为840÷42＝20，所以抽取的42人中，编号落区间[61，120]的人数为(120－61＋1)÷20＝3.8. 某工厂生产某种产品5 000件，它们来自甲、乙、丙3条不同的生产线. 为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样.若从甲、乙、丙3条生产线抽取的件数之比为1∶2∶2，则乙生产线生产了 2 000 件产品.解析：由题意得甲、乙、丙3条生产数量之比为1∶2∶2，则乙生产线生产了 5000×21＋2＋2＝2 000(件).9. 对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为400，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20，25)和[30，35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为100 .解析：根据频率分布直方图可知，三等品的件数是[(0.012 5＋0.025＋0.012 5)×5]×400＝100.10. 某单位有职工52人，现将所有职工按1，2，3，…，52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是 19 .解析：设样本中还有一个职工的编号是x 号，则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6，x ，32，45，构成等差数列，所以6＋45＝x ＋32，所以x ＝19，即还有一个职工的编号是19.11. 一个社会调查机构就某地居民的月收入(单位：元)调查了10 000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10 000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2 500，3 000)内应抽出 25 人.解析：由直方图可得[2 500，3 000)月收入段共有10000×0.000 5×500＝2 500(人)，所以按分层抽样应从[2 500，3000)月收入段内抽取2 500×10010 000＝25(人). 12. 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km /h )绘制的频率分布直方图如下图所示.该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60km /h ～120km /h ，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为 15 .解析：由频率分布直方图可知，非正常行驶的频率为20×(0.002 5＋0.005)＝0.15，所以这100辆汽车中非正常行驶的机动车辆为100×0.15＝15(辆).(第12题) (第13题)13. 某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160)，第二组[160，165)，…，第八组[190，195]，按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示.估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm 以上(含180cm )的人数为 144 .解析：根据频率分布直方图，得男生身高在180 cm 以上(含180 cm )的频率为1－(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.18，所以估计这所学校高三年级全体男生身高在180 cm 以上(含180 cm )的人数为800×0.18＝144.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练75
随堂巩固训练(75)1. 计算机执行下面的程序段后，输出的结果b是 1 .a←1，b←3，a←a＋b，b←a－b.解析：a←a＋b，即a＝4.又b←a－b，故b＝1.2. 运行如图所示的算法，则输出的结果是 25 .解析：x＝0<20，则x＝1，输出x＝1<20，x＝2，输出x＝4<20，x＝5，输出x＝25>20，结束循环.3. 如图，给出一个算法的伪代码，则f(－2)＋f(3)＝ －1 .解析：由题意得f(－2)＝4×(－2)－1＝－9，f(3)＝23＝8，则f(－2)＋f(3)＝－9＋8＝－1.4. 如图是一个算法的伪代码，输出结果是 14 .解析：一共循环三次，第一次，I＝2，S＝2；第二次，I＝4，S＝6；第三次，I＝8，S＝14，输出结果是S＝14.5. 根据如图所示的伪代码，最后输出的a的值为 48 .解析：由题意可知这是一个当型循环，循环条件为当i≤6时循环，当i＝2时，a＝1×2＝2，i＝2＋2＝4；当i＝4时，a＝2×4＝8，i＝4＋2＝6；当i＝6时，a＝8×6＝48，i＝6＋2＝8.因为i＝8>6，则结束循环，故输出48.6. 运行如下所示的程序，则程序运行后的输出结果为 16 .解析：S←0，I取值从1开始，且步长为2，则S＝1＋3＋5＋7＝16.7. 如果在如图所示的程序中运行后输出的结果为132，那么在程序While 后面的条件应为 i ≥11或i>10 .解析：第一次循环之后S ＝12，i ＝11；第二次循环之后S ＝132，i ＝10.已满足条件，则跳出循环，由于此循环为当型循环，i ＝12，i ＝11都满足条件，故i ≥11或i>10.8. 如图所示是一个算法的伪代码，则输出的结果是 5 .解析：第1次循环：I ＝1＋1＝2，S ＝1×2＝2；第2次循环：I ＝2＋1＝3，S ＝2×3＝6；第3次循环：I ＝3＋1＝4，S ＝6×4＝24；第4次循环：I ＝4＋1＝5，S ＝24×5＝120，不满足S ≤24，输出I ＝5.9. 某算法的伪代码如图所示，若输出y 的值为1，则输入x 的值为 －1或2 014 . 解析：由程序框图知，算法的功能是求y ＝的值.当x ≤0时，由x ＋{x ＋2， x ≤0，log 2 014x ， x >0)2＝1，得x ＝－1；当x>0时，由log 2 014x ＝1得x ＝2 014.综上，输入x 的值为－1或2 014.10. 某算法的伪代码如图所示，则输出的i 的值为 5 .解析：该算法语句运行4次，输出i ＝5.11. 已知某算法的伪代码如图所示，则可算得f(－1)＋f(e )的值为 . 32解析：算法的功能是求f(x)＝的值，所以f(－1)＋f(e )＝＋1＝. {ln x ，x >0，2x ， x ≤0)123212. 根据如图所示的伪代码，最后输出的a 的值为 48 .解析：该代码运行3次，所以输出的a ＝1×2×4×6＝48.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练68
随堂巩固训练(68)1. 已知两条异面直线平行于同一平面，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是 ② .(填序号)①平行；②垂直；③斜交；④不能确定.解析：设a ，b 为异面直线，a ∥平面α，b ∥平面α，直线l ⊥a ，l ⊥b.过a 作平面β∩α＝a′，则a ∥a′，所以l ⊥a′.同理过b 作平面γ∩α＝b′，则l ⊥b′.因为a ，b 异面，所以a′与b′相交，所以l ⊥α.2. 关于不同直线m ，n 和不同平面α，β，给出下列命题：①Error!⇒m ∥β；②Error!⇒n ∥β；③Error!⇒m ，n 异面；④Error!⇒m ⊥β.其中正确命题的序号是 ① .解析：①m 与平面β没有公共点，正确；②直线n 可能在平面β内，错误；③m 与n 也可能相交或平行，错误；④m 与平面β还可能平行或m 在平面β内，错误.3. 在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是 平面ABD 与平面ABC .解析：取CD 的中点E ，连结AE ，BE ，则＝＝，所以MN ∥AB ，所以MN ∥EM AM EN BN 12平面ABC 且MN ∥平面ABD.4. 已知a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，给出一组条件：①α∥β，②a ⊂β，③a ⊄α，④a ∥b ，⑤b ⊂α.则由 ①②或③④⑤ 组合可得a ∥α.(填序号)解析：因为α∥β，a ⊂β，所以a ∥α，所以由①②可得a ∥α.因为a ∥b ，a ⊄α，b ⊂α，所以a ∥α，所以由③④⑤可得a ∥α.5. 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，E 为A 1B 1的中点，过E ，C 1，C 三点作一截面，则截面的面积为 Ｗ.5a 22解析：截面是过A 1B 1中点E 的矩形，长为EC 1＝a ，宽为CC 1＝a ，则截面的面积为52. 5a 226. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 是AB 的中点.试在平面A 1CD中画出与BC 1平行的直线，所画直线为 OD Ｗ.解析：如图，连结AC1交A 1C 于点O ，连结OD ，则OD 即为所求直线.7. 如图，在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、CD 的中点，N 是BC 的中点，动点M 在四边形EFGH的边上及其内部运动，则点M 满足条件 M ∈线段FH(答案不唯一) 时，有MN ∥平面B 1BDD 1.解析：因为F ，H 分别为C 1D 1，CD 的中点，所以FH ∥DD 1.又因为N为BC 的中点，所以NH ∥BD.因为FH ∥DD 1，FH ⊄平面BDD 1B 1，DD 1⊂平面BDD 1B 1，所以FH ∥平面BDD 1B 1.同理可得NH ∥平面BDD 1B 1，又因为NH ，FH ⊂平面HNF ，NH ∩FH ＝H ，所以平面HNF ∥平面BDD 1B 1.若点M 在线段FH 上，则MN ⊂平面HNF ，所以MN ∥平面B 1BDD 1.8. 给出下列条件：①l ∥α；②l 与α至少有一个公共点；③l 与α至多有一个公共点，能确定直线l 在平面α外的条件的序号是 ①或③ Ｗ.解析：由直线与平面的位置关系可知，①或③可以确定直线l 在平面α外.9. 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AD ，AB 的中点.(1) 求证：EF ∥平面CB 1D 1；(2) 求证：D 1E ，B 1F ，AA 1三条直线交于一点.解析：(1) 连结BD.因为E ，F 分别为AD ，AB 的中点，所以EF ∥BD.因为BD ∥B 1D 1，所以EF ∥B 1D 1.因为B 1D 1⊂平面CB 1D 1，EF ⊄平面CB 1D 1，所以EF ∥平面CB 1D 1.(2) 因为EF ∥BD 且EF ＝BD ＝B 1D 1， 1212所以四边形EFB 1D 1是梯形.令D 1E ∩B 1F ＝O ，则O ∈D 1E.又D 1E ⊂平面AA 1D 1D ，所以O ∈平面AA 1D 1D.同理O ∈平面AA 1B 1B.因为平面AA 1B 1B ∩平面AA 1D 1D ＝AA 1，所以O ∈AA 1，所以D 1E ，B 1F ，AA 1三条直线交于一点.10. 如图，在五面体ABCDEF 中，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，EF ∥BC ，且EF ＝BC ，求证：FO ∥平面CDE. 12解析：取CD 的中点M ，连结OM ，EM.因为O 是矩形ABCD 的对角线的交点，M 为CD 的中点，所以OM ∥BC 且OM ＝BC. 12又EF ∥BC 且EF ＝BC ， 12所以EF ∥OM 且EF ＝OM ，所以四边形EFOM 为平行四边形，所以FO ∥EM.又FO ⊄平面CDE ，EM ⊂平面CDE ，所以FO ∥平面CDE.11. 如图，四棱锥PABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，在侧面PBC 内，BE ⊥PC ，垂足为E ，且BE ＝a ，试在AB 上找一点F ，使得63EF ∥平面PAD.解析：过点E 作EG ∥CD ，交PD 于点G ，连结AG ，在AB 上取点F ，使得AF ＝EG ，连结EF.因为EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ，所以四边形FEGA 为平行四边形，所以FE ∥AG.又AG ⊂平面PAD ，FE ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ，所以F 即为所求的点.因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BC.又BC ⊥AB ，AB ∩PA ＝A ，AB ，PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB.因为PB ⊂平面PAB ，所以PB ⊥BC ，所以PC 2＝BC 2＋PB 2＝BC 2＋AB 2＋PA 2.设PA ＝x ，则PC ＝.2a 2＋x 2由PB·BC ＝BE·PC 得·a ＝·a ，a 2＋x 22a 2＋x 263所以x ＝a ，即PA ＝a ，所以PC ＝ a.3又CE ＝＝a ，a 2－(63a )2 33所以＝，所以＝＝，即AF ＝AB.PE PC 23GECD AFAB 2323故F 是AB 上靠近点B 的一个三等分点.。
【精选】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练11含解析
随堂巩固训练(11)1. 计算：（π－4）2＋π＝__4__． 解析：原式＝|π－4|＋π＝4－π＋π＝4.2. 求值：(0.027)23＋⎝⎛⎭⎫27125－13－⎝⎛⎭⎫2790.5＋10－2＝__110__．解析：原式＝9100＋53－53＋1100＝110.3. 化简：a12bb －123a －2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1b －1b a －23＝． 解析：原式＝a 12b 12b －12a －23÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －1b －12ba 12－23＝(a 12＋23·b 12＋12)÷(a －1－12b －12－1)－23＝a 76b÷(ab)＝6a.4. 化简：(a 23b 12)×(－3a 12b 13)÷⎝⎛⎭⎫13a 16b 56＝__－9a__． 解析：原式＝－9a 23＋12－16b 12＋13－56＝－9a.5. 关于x 的不等式2x 2＋x ≤4的解集为__[－2，1]__．解析：由题意得2x 2＋x ≤22，所以x 2＋x ≤2，解得－2≤x ≤1，故原不等式的解集为[－2，1]．6. 计算：⎝⎛⎭⎫142＋⎝⎛⎭⎫166－13＋3＋23－2－(1.03)0×⎝⎛⎭⎫－623＝16．解析：原式＝116＋(6－32)－13＋（3＋2）2（3）2－（2）2－⎝⎛⎭⎫－668＝116＋6＋5＋26＋364＝81＋60616. 7. 给出下列等式：36a 3＝2a ；3－2＝6（－2）2；－342＝4（－3）4×2，其中一定成立的有__0__个．解析：36a 3＝a 36≠2a ，故错误；6（－2）2＝622＝322＝32≠3－2，故错误；4（－3）4×2＝434×2＝342≠－342，故错误，所以一定成立的有0个．8. 方程22x ＋3·2x －1－1＝0的解是__x ＝－1__.解析：令2x ＝t(t>0)，则原方程化为t 2＋32t －1＝0，解得t ＝12或t ＝－2(舍去)，所以2x＝12，解得x ＝－1，故原方程的解是x ＝－1. 9. 已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a>b>0，则a －b a ＋b＝5．10. 计算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫338－23－⎝⎛⎭⎫5490.5＋（0.008）－23÷（0.02）－12×（0.32）12÷0.062 50.25.解析：原式＝[(827)23－(499)12＋(1 0008)23÷50×4210]÷⎝⎛⎭⎫62510 00014＝⎝⎛⎭⎪⎫49－73＋25×152×4210÷12 ＝⎝⎛⎭⎫－179＋2×2＝29. 11. 化简：a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23－23b a ×a ×3a 25a ×3a.(式中字母都是正数) 解析：原式＝a 13[（a 13）3－（2b 13）3]（a 13）2＋a 13×（2b 13）＋（2b 13）2÷a 13－2b 13a ×（a ×a 23）12（a 12×a 13）15 ＝a 13(a 13－2b 13)×aa 13－2b 13×a 56a 16＝a 13×a ×a 23＝a 2. 12. 解下列方程：(1) 1＋3－x 1＋3x＝3；(2) ⎝⎛⎭⎫14x －2－x ＋1－8＝0.解析：(1) 令3x ＝t(t>0)，则原方程为1＋1t1＋t＝3，解得t ＝13或t ＝－1(舍去)，所以3x ＝13，即x ＝－1.(2) 令⎝⎛⎭⎫12x ＝t(t>0)，则原方程为t 2－2t －8＝0，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)， 所以⎝⎛⎭⎫12x ＝4，即x ＝－2.13. 利用指数的运算法则，解下列方程：(1) 43x ＋2＝256×81－x ；(2) 2x ＋2－6×2x －1－8＝0.解析：(1) 因为43x ＋2＝256×81－x ，所以26x ＋4＝28×23－3x ， 所以6x ＋4＝11－3x ，所以x ＝79.(2) 因为2x ＋2－6×2x －1－8＝0， 所以4×2x －3×2x －8＝0， 所以2x ＝8，所以x ＝3.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练66
随堂巩固训练(66)1. 如图所示的三角形数阵，根据图中的规律，第n 行(n ≥2)的第2个数是 n 2－n ＋22 . 解析：设第n 行的第2个数为a n ，不难得出规律，a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，…，a n －a n －1＝n －1，累加得a n ＝n 2－n ＋22. 2. 同样载质量的若干辆汽车运送一批货物，若同时投入运送，24小时可以全部送完这批货；若每隔相同的时间投入一辆车，而且每辆车投入运送后要工作到全部货物运完，已知最后所有的车辆都投入了运送，且第一辆车工作的时间是最后一辆车的5倍，这种运送方式持续的时间共为 40 小时.解析：每辆车隔相同的时间投入使用，那么它们的工作时间t 1，t 2，…，t n 构成了一个等差数列，且有t 1＝5t n .因为全部同时投入运送时，24小时运完，那么每辆车的工作效率为124n，所以有124n ·t 1＋124n ·t 2＋…＋124n ·t n ＝1.由上面的分析可知⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝5t n ，124n（t 1＋t 2＋…＋t n ）＝1， 即⎩⎪⎨⎪⎧t 1＝5t n ，124n ·t 1＋t n 2·n ＝1，得t 1＝40，所以这种运送方式共持续了40小时. 3. 为了保护某处珍贵文物古迹，政府决定建一堵大理石护墙，设计时，为了与周边景点协调，对于同种规格的大理石用量须按下述法则计算：第一层用全部大理石的一半多一块，第二层用剩下的一半多一块，第三层…依此类推，到第十层恰好将大理石用完，共需大理石 2 046 块.解析：设共用去大理石x 块，则各层用大理石块数分别为：第一层：x 2＋1＝x ＋22；第二层：x －x ＋222＋1＝x ＋24；第三层：x －x ＋22－x ＋242＋1＝x ＋28；…；第十层：x －x ＋22－x ＋24－…－x ＋2292＋1＝x ＋2210，组成首项为x ＋22，公比为12，项数为10的等比数列，所以x ＝x ＋22＋x ＋24＋…＋x ＋2210，解得x ＝2 046. 4. 1991年，某内河可供船只航行的河段长1 000千米，但由于水资源的过度使用，造成河水断流，从1992年起，该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的三分之二，则到2000年，该内河可行驶的河段长度为 1 000×⎝⎛⎭⎫239 千米.解析：设a 1＝1 000，a n ＝2a n －13，则数列{a n }为等比数列，a n ＝1 000×⎝⎛⎭⎫23n －1，所以到2000年，该内河可行驶的河段长度为a 10＝1 000×⎝⎛⎭⎫239千米.5. 一位个体户在一月初向银行贷款10万元作开店资金，每月底获得的利润是该月初投入资金的20%，每月需交所得税为该月所得金额(含利润)的10%，每月生活费和其他开支为3 000元，余额作为资金全部投入再营业.如此继续，到这一年底，这位个体户还清银行贷款后，纯收入一共还有 69 886 元.(银行贷款的年利率为25%，精确到1元)解析：设第n 个月底余额为a n ，由于a 1＝(1＋20%)×105－(1＋20%)×105×10%－3×103＝1.05×105，a n ＋1＝a n (1＋20%)－a n (1＋20%)×10%－3×103＝1.08a n －3×103，则a n ＋1－3.75×104＝1.08(a n －3.75×104).设a n －3.75×104＝b n ，b 1＝6.75×104，则数列{b n }为等比数列，所以b n ＝b 1×1.08n －1，a n ＝6.75×104×1.08n －1＋3.75×104，a 12≈1.948 86×105，还贷后纯收入为a 12－105×(1＋25%)＝69 886(元).6. 某职工年初向银行贷款2万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，贷款的优惠年利率为10%，按复利计算，若这笔贷款要求10次等额还清，每年一次，10年还清，并且从贷款后次年年初开始归还，则每年应还 3 255 元.(精确到1元)解析：设贷款利率为r ，贷款金额为A 元，每年等额归还x 元，第n 年还清，所以贷款A 元，到第n 年连本带利应还A(1＋r)n 元，则有数列模型：(1＋r)n A ＝x[(1＋r)n －1＋(1＋r)n －2＋…＋(1＋r)＋1]，即(1＋r)nA ＝x·（1＋r ）n －1r ，于是x ＝Ar （1＋r ）n（1＋r ）n －1.将r ＝0.1，A ＝20 000，n ＝10代入得x ＝20 000×0.1×1.1101.110－1，所以x ≈3 255元，故每次应还3 255元. 7. 某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6平方米，若该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万平方米，则2000年底该城市人均住房面积为 5.48 平方米.(精确到0.01)解析：1991年、1992年、…、2000年住房面积总数成等差数列{a n }，a 1＝6×500＝3 000，d ＝30，a 10＝3 000＋9×30＝3 270.1991年、1992年、…、2000年人口数成等比数列{b n }，b 1＝500， q ＝1.01，b 10＝500×1.019≈546.8，所以2000年底该城市人均住房面积为3 270546.8≈5.98平方米.8. 如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连结等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连结正方形，…，如此继续，若共得到1 023个正方形，设初始正方形的边长为22，则最小的正方形的边长为 132. 解析：由题意得正方形的边长构成以22为首项，以22为公比的等比数列，共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1 023，n ＝10，所以最小的正方形的边长为22×⎝⎛⎭⎫2210－1＝132. 9. 从盛有盐的质量分数为20%的2kg 盐水的容器中倒出1kg 盐水，然后加入1kg 水，以后每次都倒出1kg 盐水，然后再加入1kg 水，(1) 第5次倒出的1kg 盐水中含盐多少千克？(2) 经6次倒出后，一共倒出多少千克盐？此时加1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解析：(1) 由题意得每次倒出的盐的质量所成的数列为{a n }，则a 1＝0.2，a 2＝12×0.2，a 3＝⎝⎛⎭⎫122×0.2. 所以a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1×0.2， a 5＝⎝⎛⎭⎫125－1×0.2＝⎝⎛⎭⎫124×0.2＝0.012 5(kg ).(2) 由(1)得数列{a n }是等比数列，且a 1＝0.2，q ＝12， 所以S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝0.2×⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝0.393 75(kg ). 经过6次倒出后，还剩盐0.4－0.393 75＝0.006 25(kg )，此时加1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为0.006 25÷2＝0.312 5%.10. 某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降. 若不能进行技术改造，预测从今年(2004年)起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年(今年为第一年)的利润为500⎝⎛⎭⎫1＋12n 万元(n 为正整数). (1) 设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元(需扣除技术改造资金)，求A n 、B n 的表达式；(2) 依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解析：(1) 依题设，A n ＝(500－20)＋(500－40)＋…＋(500－20n)＝490n －10n 2；B n ＝500[⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋122＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12n ]－600＝500n －5002n －100. (2) B n －A n ＝⎝⎛⎭⎫500n －5002n －100 －(490n －10n 2)＝10n 2＋10n －5002n －100＝10[n(n ＋1)－502n－10]. 易得函数y ＝x(x ＋1)－502x －10在区间(0，＋∞)上为增函数， 当1≤n ≤3时，n(n ＋1)－ 502n －10≤12－508－10<0； 当n ≥4时，n(n ＋1)－502n －10≥20－5016－10>0， 所以当且仅当n ≥4时，B n >A n ，故至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.11. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元.(1) 用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2) 若公司希望经过m(m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示).解析：(1) 由题意得a 1＝2 000×(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1×(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52d ， a n ＋1＝a n ×(1＋50%)－d ＝32a n －d. (2) 由(1)知a n ＝32a n －1－d(n ≥2)， 即a n －2d ＝32(a n －1－2d)， 所以{a n －2d}是以3 000－3d 为首项，32为公比的等比数列，则a n ＝(3 000－3d)·⎝⎛⎭⎫32n －1＋2d.由题意a m ＝⎝⎛⎭⎫32m －1(3 000－3d)＋2d ＝4 000，解得d ＝1 000（3m －2m ＋1）3m －2m， 故该企业每年上缴资金d 的值为1 000（3m －2m ＋1）3m －2m 时，经过m(m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元.12. 商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向中国建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳1 000人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费偿还中国建设银行贷款形式(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元，其余部分全部在年底还中国建设银行贷款.(1) 若公寓收费标准定为每个学生每年800元，到哪一年可偿还中国建设银行全部贷款？(2) 若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每个学生每年的最低收费标准是多少元(精确到1元)？(参考数据：lg 1.734 3≈0.239 1，lg 1.05≈0.021 2，1.058≈1.477 4)解析：(1) 设公寓投入使用后n 年可偿还全部贷款，则公寓管理处每年收费总额为 1 000×800＝80(万元)，扣除18万元，可偿还贷款62万元.依题意有62[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)n －1]≥500(1＋5%)n ＋1，化简得62(1.05n －1)≥25×1.05n ＋1，所以1.05n ≥1.734 3.两边取对数整理得n ≥lg 1.734 3lg 1.05≈0.239 10.021 2≈11.28， 所以取n ＝12(年)，所以到2014年底可全部还清贷款.(2) 设每个学生每年的最低收费标准为x 元，因到2010年公寓共使用了8年，依题意有⎝⎛⎭⎫1 000x 10 000－18[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)7]≥500×(1＋5%)9，化简得(0.1x －18)×1.058－11.05－1≥500×1.059， 所以x ≥10⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋25×1.05×1.0581.058－1≈10×⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋25×1.05×1.477 41.477 4－1≈10×(18＋81.2)＝992(元)，故每个学生每年的最低收费标准为992元.。
【精选】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练8含解析
随堂巩固训练(8)1. 已知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 3＋2x ＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为__f(x)＝x 3＋2x －1__．解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．当x<0时，－x>0.因为当x>0时，f(x)＝x 3＋2x ＋1，所以f(－x)＝(－x)3－2x ＋1＝－x 3－2x ＋1，所以－f(x)＝－x 3－2x ＋1，所以f(x)＝x 3＋2x －1.2. 下列四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x ∈R )．其中结论正确的个数是__1__．解析：偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，①错误，③正确；奇函数关于原点对称，但不一定经过原点，②错误；若y ＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但不一定x ∈R ，只要定义域关于原点对称即可，④错误．3. 已知定义在R 上的函数f(x)，对任意x ∈R 都有f(x ＋3)＝f(x)，当x ∈(－3，0)时，f(x)＝3x ，则f(2 018)＝__13__．解析：由题意，得f(x)是周期为3的函数，所以f(2 018)＝f(3×673－1)＝f(－1)．因为当x ∈(－3，0)时，f(x)＝3x ，所以f(2 018)＝f(－1)＝3－1＝13.4. 定义两种运算：＝a 2－b 2，＝（a －b ）2，则函数f(x)＝2－（）是__奇__函数(填“奇”或“偶”)．解析：由题意，得f(x)＝4－x 22－（x －2）2，由4－x 2≥0且2－（x －2）2≠0，得－2≤x<0或0<x ≤2，所以（x －2）2＝|x －2|＝2－x ，所以f(x)＝4－x 22－（2－x ）＝4－x 2x ，x ∈[－2，0)∪(0，2]．因为f(－x)＝4－x 2－x＝－4－x 2x ＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．5. 已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x －a －x ＋2(其中a>0，且a ≠1)．若g(2)＝a ，则f(2)＝__154__．解析：由题意得f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)，由已知f(2)＋g(2)＝a 2－a －2＋2①，f(－2)＋g(－2)＝－f(2)＋g(2)＝a －2－a 2＋2②，由①②解得g(2)＝2＝a ，f(2)＝a 2－a －2＝154.6. 已知y ＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝__3__．解析：由g(1)＝f(1)＋2＝1，得f(1)＝－1.因为函数f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－f(1)＋2＝3.7. 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是__⎝⎛⎭⎫13，23__．解析：偶函数f(x)＝f(|x|)，所以f(2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，即f(|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13.又函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|2x －1|<13，解得13<x<23.8. 已知函数f(x)＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ，b ∈R )对任意实数x 都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x ∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，则实数b 的取值范围是__(－∞，－1)∪(2，＋∞)__．解析：由题意，得函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝1＝a2，即a ＝2.因为对称轴为直线x＝1，且图象开口向下，所以函数f(x)在区间[－1，1]上是单调增函数．又f(x)>0恒成立，则f(x)min ＝f(－1)＝b 2－b －2>0，解得b<－1或b>2，故实数b 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．9. 对于函数y ＝f(x)(x ∈R )，给出下列命题：①在同一平面直角坐标系中，函数y ＝f(1－x)与y ＝f(x －1)的图象关于直线x ＝0对称； ②若f(1－x)＝f(x －1)，则函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称； ③若f(1＋x)＝f(x －1)，则函数y ＝f(x)是周期函数；④若f(1－x)＝－f(x －1)，则函数y ＝f(x)的图象关于点(0，0)对称． 其中正确命题的序号是__③④__．解析：y ＝f(1－x)与y ＝f(x －1)的图象关于直线x ＝1对称，①错；函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝0对称，②错；若f(1＋x)＝f(x －1)，则f(x ＋2)＝f[(x ＋1)＋1]＝f(x ＋1－1)＝f(x)，函数y ＝f(x)是周期为2的函数，③正确；由f(1－x)＝－f(x －1)可得f(－t)＝－f(t)，函数f(x)为奇函数，即图象关于点(0，0)对称，④正确．10. 设函数f(x)＝（x ＋1）2＋sinxx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝__2__．解析：f(x)＝（x ＋1）2＋sinx x 2＋1＝1＋2x ＋sinx x 2＋1.设g(x)＝2x ＋sinxx 2＋1，因为g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．由奇函数图象的对称知g(x)max ＋g(x)min ＝0，所以M ＋m ＝[g(x)＋1]max ＋[g(x)＋1]min ＝2＋g(x)max ＋g(x)min ＝2.11. 设函数f(x)＝－2x ＋a2x ＋1＋b(a>0，b>0)．(1) 当a ＝b ＝2时，求证：函数f(x)不是奇函数； (2) 设函数f(x)是奇函数，求a 与b 的值；(3) 在(2)条件下，判断并证明函数f(x)的单调性，并求不等式f(x)>－16的解集．解析：(1) 当a ＝b ＝2时，f(x)＝－2x＋22x ＋1＋2，所以f(－1)＝12，f(1)＝0，所以f(－1)≠－f(1)，所以函数f(x)不是奇函数．(2) 由函数f(x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即－2－x ＋a 2－x ＋1＋b ＝－－2x ＋a 2x ＋1＋b对定义域内任意实数x 都成立，化简整理得(2a －b)·22x ＋(2ab －4)·2x ＋(2a －b)＝0对定义域内任意实数x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝0，2ab －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，因为a>0，b>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2符合题意．故a 与b 的值分别为1，2.(3) 由(2)可知f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2＝12(－1＋22x ＋1)．设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝12(－1＋22x 1＋1)－12(－1＋22x 2＋1)＝2x 2－2x 1（2x 1＋1）（2x 2＋1）.因为x 1<x 2，所以0<2x 1<2x 2，所以f(x 1)>f(x 2)，所以函数f(x)在R 上是减函数．由f(1)＝－16，f(x)>－16，得f(x)>f(1)．由函数f(x)在R 上是减函数可得x<1，所以不等式f(x)>－16的解集为(－∞，1)．12. (1) 已知函数f(x)的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，且2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，试判断函数f(x)的奇偶性；(2) 已知函数f(x)的定义域为R ，且对于一切实数x ，y 都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性．解析：(1) 因为函数f(x)的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，且2f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ， ①所以2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f(x)＝1x.② 由①②解得f(x)＝2x 2－13x.因为定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，关于原点对称，f(－x)＝2（－x ）2－13（－x ）＝－2x 2－13x ＝－f(x)，所以函数f(x)＝2x 2－13x是奇函数．(2) 因为定义域关于原点对称，令x ＝y ＝0得f(0)＝f(0)＋f(0)，则f(0)＝0. 令y ＝－x 得f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．13. 已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数，对定义域上的任意x 1，x 2，都有f(x 1x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.(1) 求证：函数f(x)是偶函数；(2) 求证：函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数； (3) 解不等式：f(2x 2－1)<2.解析：(1) 令x 1＝x 2＝1，所以f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0. 令x 1＝x 2＝－1，所以f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)， 所以0＝2f(－1)，所以f(－1)＝0.令x 1＝x ，x 2＝－1，所以f[x ×(－1)]＝f(x)＋f(－1)，所以f(－x)＝f(x)， 所以函数f(x)是偶函数． (2) 设x 1>x 2>0，则f(x 1)－f(x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2·x 1x 2－f(x 2)＝f(x 2)＋f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2－f(x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2. 因为x 1>x 2>0，所以x 1x 2>1.因为当x>1时，f(x)>0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2>0，所以f(x 1)－f(x 2)>0， 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．(3) 令x 1＝x 2＝2，所以f(2×2)＝f(2)＋f(2)＝2，所以f(4)＝2.因为f(2x 2－1)<2＝f(4)，且函数f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1≠0，|2x 2－1|<4，解得－102<x<102且x ≠±22.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练70
随堂巩固训练(70)1. 已知平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则直线与该平面的位置关系是 平行或相交 .解析：分两种情况：①当A ，B 两点在平面α的同侧时，由于点A ，B 到α的距离相等，所以直线AB 与平面α平行；②当A ，B 两点在平面α的两侧，且AB 的中点C 在平面α内时，点A ，B 到α的距离相等，此时直线AB 与平面α相交.综上，直线与平面平行或相交.2. 已知不重合的直线m ，n ，平面α，β，γ.下列条件能得到α∥β的有 ④ .(填序号) ①m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β；②m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，n ∥α；③n ∥α，n ∥β；④n ⊥α，n ⊥β；⑤γ⊥α，γ⊥β.解析：①②③⑤中α与β均可能相交，④能得到α∥β.3. 已知平面α∥平面β，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，则直线AC ∥直线BD 的充要条件是 ④ .(填序号)①AB ∥CD ；②AD ∥CB ；③AB 与CD 相交；④A ，B ，C ，D 四点共面.解析：因为α∥β，要使AC ∥BD ，则直线AC 与BD 是共面直线，即A ，B ，C ，D 四点必须共面.易知①②③的充分性成立，必要性不成立；④是AC ∥BD 的充要条件.4. 若两平面分别过两平行线中的一条，则这两平面的位置关系是 平行或相交 .5. 已知平面α∥β∥γ，两条直线l ，m 分别和平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 与点D ，E ，F ，已知AB ＝6，DE ∶DF ＝2∶5，则AC ＝ 15 Ｗ.解析：由平行平面的性质定理，知AD ∥BE ∥CF ，所以＝，所以AC ＝×AB ＝AB AC DE DF DF DE×6＝15. 526. 下列命题中正确的是 ③ .(填序号)①若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行；②若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；③若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；④若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行.解析：①中两条直线可能平行、相交或异面；②中两个平面可能平行或相交；④中两个平面可能平行或相交.7. 设m ，n 是平面α内的两条不同的直线，l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是 ② .(填序号)①m ∥β且l 1∥α；②m ∥l 1且n ∥l 2；③m ∥β且n ∥β；④m ∥β且n ∥l 2.解析：要得到α∥β，必须是一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行；若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面.故②正确.8. 对于平面α与平面β，有下列条件：①α，β都垂直于平面γ；②α，β都平行于平面γ；③α内不共线的三点到β的距离相等；④l ，m 为两条平行直线，且l ∥α，m ∥β；⑤l ，m 是异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β. 则可判定平面α与平面β平行的条件是 ②⑤ .(填序号)解析：由面面平行的判定定理及性质定理知，只有②⑤能判定α∥β.9. 给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β；②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n.其中真命题的个数为 1 .解析：①中，α∥β或α与β相交；②中，l ∥m 或l 与m 异面；③正确.故真命题的个数为1.10. 给出下列关于互不相同的直线m ，l ，n 和平面α，β的四个命题：①若m ⊂α，l ∩α＝A ，点A ∉m ，则l 与m 不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α；③若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m ；④若l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β.其中真命题的序号是 ①②④ .解析：①②④为真命题；③为假命题，l 与m 可以异面，也可以相交.11. 如图，平面α∥平面β，线段AB 分别交平面α，β于M ，N 两点，线段AD 分别交平面α，β于C ，D 两点，线段BF 分别交平面α，β于F ，E 两点，若AM ＝9，MN ＝11，NB ＝15，S △FMC ＝78.求△END 的面积.解析：因为平面α∥平面β，平面ADN ∩平面α＝CM ，平面ADN ∩平面β＝DN ，所以CM ∥DN.同理FM ∥EN ，所以＝＝＝＝S △FMC S △END12·FM·MC·sin ∠FMC 12·EN·ND·sin ∠END FM·MC EN·ND BM·AM BN·AN ＝， （15＋11）×915×（11＋9）3950所以S △END ＝100.12. 如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，AE ＝AF ＝4，现将△AEF 沿线段EF 折起到△A′EF 位置，使得A′C ＝2.6(1) 求五棱锥A′BCDFE 的体积；(2) 在线段A′C 上是否存在一点M ，使得BM ∥平面A′EF ？若存在，求A′M 的长；若不存在，请说明理由.解析：(1) 如图，连结AC ，交EF 于点H ，连结A′H.因为四边形ABCD 是正方形，AE ＝AF ＝4，所以H 是EF 的中点，且EF ⊥AH ，EF ⊥CH ，所以EF ⊥A′H.因为A′H ∩CH ＝H ，A′H ，CH ⊂平面A′HC ，所以EF ⊥平面A′HC.又EF ⊂平面ABCD ，所以平面A′HC ⊥平面ABCD.过点A′作A′O ⊥HC 且与HC 相交于点O ，则A′O ⊥平面ABCD.因为正方形ABCD 的边长为6，AE ＝AF ＝4，故A′H ＝2，CH ＝4，22所以cos ∠A′HC ＝＝＝， A ′H 2＋CH 2－A ′C 22A ′H·CH 8＋32－242×22×4212所以HO ＝A′H·cos ∠A′HC ＝，则A′O ＝，26所以五棱锥A′BCDFE 的体积V ＝×(62－×4×4)×＝. 131262863(2) 线段A′C 上存在点M ，使得BM ∥平面A′EF ，此时A′M ＝.证明如下： 62如图，连结OM ，BD ，BM ，DM ，且易知BD 过点O.由(1)知HO ＝HC ，A′M ＝＝A′C ，146214所以OM ∥A′H.又OM ⊄平面A′EF ，A′H ⊂平面A′EF ，所以OM ∥平面A′EF.因为BD ∥EF ，BD ⊄平面A′EF ，EF ⊂平面A′EF ，所以BD ∥平面A′EF.又BD ∩OM ＝O ，BD ，OM ⊂平面BDM ，所以平面MBD ∥平面A′EF.因为BM ⊂平面MBD ，所以BM ∥平面A′EF.。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练85
随堂巩固训练(85)1. 要证明“3＋7<5＋6”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是 ② .(填序号)①反证法； ②分析法； ③综合法. 解析：因为3＋7<5＋6是含有无理式的不等式，如果利用反证法，其形式3＋7≥5＋6与原不等式相同，所以反证法不合适；综合法不容易找到证明的突破口，故分析法最合理.2. 若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4，a ≥0，则P ，Q解析：因为a ≥0，所以P 2－Q 2＝(a ＋a ＋7)2－(a ＋3＋a ＋4)22a 2＋7a ＋12<0，所以P<Q.3. 6－22与5－7解析：因为(6－22)－(5－7)＝(6＋7)－(22＋5)，(6＋7)2－(22＋5)2＝242－410＝168－160>0，所以6＋7>22＋5>0，所以6－22>5－7.4. 设x ，y 为正数，则(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋4y 的最小值为 9 .解析：x ，y 为正数，(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4x y≥5＋2y x ·4x y ＝9，当且仅当y x ＝4x y时取等号，故(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋4y 的最小值为9.5. 已知A ＋B ＝π4，则(1＋tan A)(1＋tan B)＝ 2 . 解析：因为A ＋B ＝π4，所以tan (A ＋B)＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝1，所以tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝1，所以(1＋tan A)(1＋tan B)＝1＋tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝2.6. 用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，则a ，b ，c 中至少有一个是偶数. 用反证法证明时，假设的内容是 假设a ，b ，c 都不是偶数 Ｗ.7. 设a>b>c ，n ∈N ，且1a －b ＋1b －c ≥n a －c 恒成立， 则n 的最大值是 4 . 解析：根据题意，因为a >b >c ，所以由1a －b ＋1b －c ≥n a －c得 n ≤(a －c )⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c .又由(a －c )(1a －b ＋1b －c )＝[(a －b )＋(b －c )]·⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋a －b b －c ＋b －c a －b ≥2＋2a －b b －c ·b －c a －b＝2＋2＝4，当且仅当a －b b －c ＝b －c a －b 时，取等号.若n ≤(a －c )·⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c 恒成立，则n ≤4，故n 的最大值为4.8. 已知α，β是两个平面，直线l 不在平面α内，l 也不在平面β内，设①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β，若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数为 2 .解析：正确的为①③⇒②和①②⇒③，共2个.9. 定义在R 上的函数f (x )是偶函数，且f (x )＝f (2－x )，若f (x )在区间[1，2]上是减函数，则函数f (x ) ② .(填序号)①在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数；②在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数；③在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数；④在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数.解析：由f(x)＝f(2－x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(x－2)，所以f(x)为周期为函数且周期为2，结合函数f(x)在区间[1，2]上是减函数，可得函数f(x)草图，易得②正确.10. 已知在四棱锥SABCD中，底面是边长为1的正方形，且SB＝SD＝2，SA＝1.(1) 求证：SA⊥平面ABCD；(2) 在棱SC上是否存在异于点S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由.解析：(1) 由已知得SA2＋AD2＝SD2，所以SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以SA⊥平面ABCD.(2) 假设在棱SC上存在异于点S，C的点F，使得BF∥平面SAD.因为BC∥AD，AD⊂平面SAD，BC⊄平面SAD，所以BC∥平面SAD.又BC∩BF＝B，BC，BF⊂平面FBC，所以平面FBC∥平面SAD，这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，所以假设不成立，所以不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.11. 已知a，b，c是互不相等的非零实数，求证：三个关于x的方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异的实根.解析：假设三个关于x的方程中都没有两个相异的实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.Δ1＋Δ2＋Δ3＝2×(a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2)≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.由题意a，b，c互不相等，所以上式不成立，所以假设不成立，即三个关于x的方程中至少有一个方程有两个相异实根.12. 已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是R上的函数，其图象交x轴于A，B，C三点. 若点B 的坐标为(2，0)，且f(x)在区间[－1，0]和[4，5]上的单调性相同，在区间[0，2]和[4，5]上的单调性相反.(1) 求实数c的值；(2) 求证：在曲线y＝f(x)上不存在点M，使得曲线在点M处的切线与3bx－y＋a＝0平行.解析：(1) 因为函数f(x)在[－1，0]与[0，2]上单调性相反，所以f′(0)＝0.因为f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，所以c＝0.(2) 假设存在点M(x0，y0)在y＝f(x)的图象上，且在M处的切线与已知直线平行.由f′(x0)＝3ax20＋2bx0，所以3ax20＋2bx0＝3b.因为3ax 20＋2bx 0－3b ＝0有解，所以Δ＝4b 2＋36ab ＝4ab ⎝⎛⎭⎫b a ＋9≥0.①令f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2b 3a， 由(1)知x 1＝0是极值点，所以x 2＝－2b 3a也是极值点. 因为函数f (x )在[0，2]与[4，5]上单调性相反，所以2≤－2b 3a ≤4，即－6≤b a≤－3， 所以b a＋9>0，4ab <0， 所以Δ＝4ab ⎝⎛⎭⎫b a ＋9<0.②因为①②矛盾，所以假设不成立，所以不存在点M 满足题意，从而原命题成立，即在曲线y ＝f (x )上不存在点M ，使得曲线在点M 处的切线与3bx －y ＋a ＝0平行.。
【精选】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练65含解析
随堂巩固训练(65)1. 在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于 4 .解析：由题意得a 4a 5＝2×5＝10，所以数列{lg a n }的前8项和S ＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg (a 1·a 2·…·a 8)＝lg (a 4a 5)4＝4lg (a 4a 5)＝4lg 10＝4.2. 数列1，1＋2，1＋2＋22，1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋23＋…＋2n －1，…的前n项和S n ＝ 2n ＋1－n －2 .解析：所求数列的通项公式为a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1，所以其前n 项和为S n ＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－n －2.3. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2 016，且a n ＋2a n ＋1＋a n ＋2＝0(n ∈N *)，则S 2 016＝ 0 Ｗ.解析：设q 为等比数列{a n }的公比，则a n ＋2a n q ＋a n q 2＝0，即q 2＋2q ＋1＝0，所以q ＝－1，所以a n ＝(－1)n －1×2 016，所以S 2 016＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2 015＋a 2 016)＝0.4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑nk ＝11S k ＝ 2nn ＋1. 解析：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋6d ＝10，解得a 1＝1，d ＝1，则a n ＝n ，S n ＝n （n ＋1）2，∑n k ＝1 1S k ＝21×2＋22×3＋…＋2n （n －1）＋2n （n ＋1）＝2[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1]＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 5. 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ×12n 的前n 项和S n ＝ 2－12－1－n2n .解析：S n ＝1×12＋2×14＋3×18＋…＋n ×12n ①，12S n ＝1×14＋2×18＋3×116＋…＋(n －1)×12n ＋n ×12n ＋1②，①－②得12S n ＝12＋14＋18＋…＋12n －n ×12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1，所以S n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12n －n 2n ＋1＝2－12n －1－n2n .6. 已知函数f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2， 当n 为奇数时，－n 2，当n 为偶数时，且a n ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝ 100 .解析：由题意得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－50×101＋50×103＝100.7. 一个只有有限项的等差数列，它的前5项和为34，最后5项和为146，所有项的和为234，则它的第7项为 18 .解析：据题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a n －4＋a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝146.又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3＝a 5＋a n －4，所以a 1＋a n ＝36.又S n ＝12n(a 1＋a n )＝234，所以n ＝13，所以a 1＋a 13＝2a 7＝36，所以a 7＝18.8. 设数列{a n }满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n ∈N *)，则∑100k ＝1a k a k ＋1的值为 100101. 解析：因为(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1，所以a n －a n ＋1－a n a n ＋1＝0，从而1a n ＋1－1a n＝1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋n －1＝n ，所以a n ＝1n ，故a n ＋1a n ＝1（n ＋1）n＝1n －1n ＋1，因此∑100k ＝1a k a k ＋1＝⎝⎛⎭⎫1－12＋(12－13)＋…＋⎝⎛⎭⎫1100－1101＝1－1101＝100101. 9. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *，有2S n ＝a 2n ＋a n .令b n ＝1a na n ＋1＋a n ＋1a n，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则在T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数为 9 .解析：因为2S n ＝a 2n ＋a n ， 所以2S n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1，两式相减，得2a n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1－a 2n －a n ，即a 2n ＋1－a 2n －a n ＋1－a n ＝0， 即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)＝0.又因为数列{a n }为正项数列，所以a n ＋1－a n －1＝0， 即a n ＋1－a n ＝1.令n ＝1，可得a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a n ＝n ，所以b n ＝1n n ＋1＋（n ＋1）n＝（n ＋1）n －n n ＋1[n n ＋1＋（n ＋1）n ][（n ＋1）n －n n ＋1]＝（n ＋1）n －n n ＋1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以T n ＝1－1n ＋1， 所以T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数为9. 10. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n >0，若S 6－2S 3＝5，则S 9－S 6的最小值为 20 . 解析：当q ＝1时，S 6－2S 3＝0，不合题意，所以公比q ≠1，从而由S 6－2S 3＝5得a 1（1－q 6）1－q －2a 1（1－q 3）1－q ＝5，从而得a 11－q ＝5－q 6＋2q 3－1＝5－（q 3－1）2<0，故1－q<0，即q>1，故S 9－S 6＝a 1（1－q 9）1－q －a 1（1－q 6）1－q ＝5－q 6＋2q 3－1×(q 6－q 9)＝5q 6q 3－1.令q 3－1＝t>0，则S 9－S 6＝5（t ＋1）2t ＝5⎝⎛⎭⎫t ＋1t ＋2≥20，当且仅当t ＝1，即q 3＝2时等号成立.11. 数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，a 3＝27. (1) 求a 1，a 2的值；(2) 是否存在一个实数t ，使得b n ＝12n (a n ＋t )(n ∈N *)，且数列{b n }为等差数列？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由；(3) 在(2)的条件下，求数列{a n }的前n 项和S n . 解析：(1) 由a 3＝27，得27＝2a 2＋23＋1， 所以a 2＝9.因为9＝2a 1＋22＋1，所以a 1＝2.(2) 假设存在实数t ，使得数列{b n }为等差数列， 则2b n ＝b n －1＋b n ＋1，即2×12n (a n ＋t )＝12n －1(a n －1＋t )＋12n ＋1(a n ＋1＋t )，所以4a n ＝4a n －1＋a n ＋1＋t ，所以4a n ＝4×a n －2n －12＋2a n ＋2n ＋1＋1＋t ，解得t ＝1，即存在实数t ＝1，使得数列{b n }为等差数列. (3) 由(1)(2)得b 1＝32，b 2＝52，所以b n ＝n ＋12，所以a n ＝b n ·2n －1＝(2n ＋1)2n －1－1.S n ＝(3×20－1)＋(5×21－1)＋(7×22－1)＋…＋[(2n ＋1)×2n －1－1]＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n ＋1)×2n －1－n ，①所以2S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n －2n .② 由①－②得－S n ＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －1－(2n ＋1)×2n ＋n＝1＋2×1－2n1－2－(2n ＋1)×2n ＋n ＝(1－2n )×2n ＋n －1，所以S n ＝(2n －1)×2n －n ＋1.12. 已知数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和.解析：(1) 设数列{a n }的公比为q . 由已知得1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2，解得q ＝2或q ＝－1.又由S 6＝a 1·1－q 61－q ＝63，知q ≠－1，所以a 1×1－261－2＝63，解得a 1＝1.所以a n ＝2n －1.(2) 由题意得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1)＝12(log 22n －1＋log 22n )＝n －12，即数列{b n }是首项为12，公差为1的等差数列.设数列{(－1)n b 2n }的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝2n （b 1＋b 2n ）2＝2n 2.13. 已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立.(1) 若A n ＝n 2，b 1＝2，求B n ；(2) 若对任意n ∈N *，都有a n ＝B n 及b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1<13成立，求正实数b 1的取值范围.解析：(1) 因为A n ＝n 2，所以a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝A n －A n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 当n ＝1时，上式也成立， 所以a n ＝2n －1.因为对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立，所以b n ＋1－b n ＝12(a n ＋1－a n )＝1，所以数列{b n }是等差数列，公差为1，首项为2， 所以B n ＝2n ＋n （n －1）2×1＝12n 2＋32n .(2) 由B n ＋1－B n ＝a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝b n ＋1，可得b n ＋1＝2b n ，所以数列{b n }是等比数列，且公比为2，所以b n ＝b 1·2n －1，a n ＝B n ＝b 1（2n －1）2－1＝b 1(2n －1)，所以b n ＋1a n a n ＋1＝b 1·2n b 21（2n －1）（2n ＋1－1）＝1b 1⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1－1， 所以b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＝1b 1[⎝⎛⎭⎫12－1－122－1＋(122－1－123－1)＋…＋(12n －1－12n ＋1－1)] ＝1b 1⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1－1<13成立， 所以b 1>3⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1－1，所以b 1≥3.。
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随堂巩固训练(9)
1. 若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c图象的顶点坐标为(2，－1)，与y轴的交点坐标为(0，
11)，则a，b，c的值为__3，－12，11__．
解析：由题意得－b2a＝2，4a＋2b＋c＝－1，c＝11，解得a＝3，b＝－12，c＝11.故a，b，c的值分别为3，－12，
11.
2. 函数f(x)＝x2－2x－2(x∈[－2，2])的最小值是__－3__．
解析：因为f(x)＝x2－2x－2＝(x－1)2－3，所以函数f(x)在区间[－2，1]上单调递减，在
区间[1，2]上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝1－2－2＝－3.
3. 如果函数f(x)＝x2＋px＋q对任意的x均有f(1＋x)＝f(1－x)成立，那么f(0)、f(－1)、
f(1)从小到大的顺序为__f(1)
函数，所以f(1)
解析：由题意得1＋b＋c＝0，9＋3b＋c＝0，解得b＝－4，c＝3，所以f(x)＝x2－4x＋3，所以f(－1)＝1＋
4＋3＝8.
5. 若f(x)＝－x2＋(b＋2)x＋3，x∈[b，c]的图象关于直线x＝1对称，则c＝__2__．
解析：由题意，得－b＋22×（－1）＝1，b＋c2＝1，解得b＝0，c＝2，故c的值为2.
6. 函数f(x)＝2x2－6x＋1在区间[－1，1]上的最小值为__－3__，最大值为__9__．
7. 已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题：①f(x)必是偶函数；②当f(0)
＝f(2)时，f(x)的图象必关于直线x＝1对称；③f(x)有最大值|a2－b|；④若a2－b≤0，则f(x)
在区间[a，＋∞)上是增函数．其中正确的序号是__④__．
解析：当a＝0时，函数f(x)为偶函数；当a≠0时，函数f(x)既不是偶函数，也不是奇
函数，故①错误；若f(0)＝f(2)，则|b|＝|4－4a＋b|，所以4－4a＋b＝b或4－4a＋b＝－b，
即a＝1或b＝2a－2.当a＝1时，函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1；当b＝2a－2时，函数
f(x)图象的对称轴为直线x＝a，故②错误；若a2－b≤0，则f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)
2
＋b－a2，所以函数在区间[a，＋∞)上是增函数，此时有最小值b－a2，故③错误，④正确．
8. 已知函数f(x)＝ax2＋(a3－a)x＋1在区间(－∞，－1]上单调递增，则实数a的取值范
围是__[－3，0)__．
解析：当a＝0时，函数f(x)＝1，不符合题意，舍去；当a≠0时，a<0，－a3－a2a≥－1，解
得－3≤a<0，故实数a的取值范围是[－3，0)．
9. 已知二次函数f(x)＝ax2＋(a2＋b)x＋c的图象开口向上，且f(0)＝1，f(1)＝0，则实
数b的取值范围是__(－∞，－1)__．
解析：由题意得a>0，c＝1，a＋a2＋b＋c＝0，所以b＝－(a2＋a)－1＝－a＋122－34.因
为a>0，所以b<－1，故实数b的取值范围为(－∞，－1)．
10. 函数y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)＋5在区间[－3，3]上的最小值为__4__．
解析：因为y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)＋5＝[(x＋1)(x＋4)][(x＋2)(x＋3)]＋5＝(x2＋5x
＋4)(x2＋5x＋6)＋5＝(x2＋5x＋5－1)(x2＋5x＋5＋1)＋5＝(x2＋5x＋5)2＋4.设t＝x2＋5x＋5，
则y＝t2＋4.因为t＝x2＋5x＋5＝x＋522－54，x∈[－3，3]，所以y＝t2＋4，t∈－54，29，
抛物线开口向上，对称轴为直线t＝0，所以ymin＝4，故y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)＋5在
区间[－3，3]上的最小值是4.
11. 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.
(1) 若f(－1)＝0，试判断函数f(x)的零点个数；
(2) 若对x1，x2∈R，且x1
解析：(1) 因为f(－1)＝0，所以a－b＋c＝0，即b＝a＋c.
因为Δ＝b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2，
所以当a＝c时，Δ＝0，函数f(x)有一个零点；
当a≠c时，Δ>0，函数f(x)有两个零点．
(2) 令g(x)＝f(x)－12[f(x1)＋f(x2)]，则
g(x1)＝f(x1)－12[f(x1)＋f(x2)]＝f（x1）－f（x2）2，
g(x2)＝f(x2)－12[f(x1)＋f(x2)]＝f（x2）－f（x1）2，
所以g(x1)·g(x2)＝－14[f(x1)－f(x2)]2.
因为f(x1)≠f(x2)，所以g(x1)·g(x2)<0，
所以g(x)＝0在区间(x1，x2)上必有一个实数根，
即方程f(x)＝12[f(x1)＋f(x2)]必有一个实数根属于(x1，x2)．
12. 已知函数f(x)＝ax2－1，a∈R，x∈R，集合A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}且A
＝B≠，求实数a的取值范围．
解析：①若a＝0，则A＝B＝{－1}；
②若a≠0，由A＝{x|ax2－x－1＝0}≠，
得a≥－14且a≠0.
集合B中元素为方程a(ax2－1)2－1＝x，
即a3x4－2a2x2－x＋a－1＝0的实数根，
所以a3x4－2a2x2－x＋a－1＝(ax2－x－1)(a2x2＋ax－a＋1)＝0.
因为A＝B，
所以a2x2＋ax－a＋1＝0无实数根或其根为ax2－x－1＝0的根．
由a2x2＋ax－a＋1＝0无实数根，得a<34，
故a∈－14，0∪0，34；
当a2x2＋ax－a＋1＝0有实数根且为ax2－x－1＝0的根时，
因为ax2－x－1＝0，所以ax2＝x＋1，
所以a2x2＋ax－a＋1＝a(x＋1)＋ax－a＋1＝0，
解得x＝－12a，代入ax2－x－1＝0得a＝34.
综上所述，实数a的取值范围是－14，34.
13. 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1，若f(1)＝0，且函数f(x)的值域为[0，＋∞)．
(1) 求a，b的值；
(2) 若h(x)＝2f(x＋1)＋x|x－m|＋2m，求h(x)的最小值．
解析：(1) 显然a≠0，因为f(1)＝0，所以a＋b＋1＝0.
又f(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝b2－4a＝0.
由a＋b＋1＝0，b2－4a＝0，解得a＝1，b＝－2.
(2) 由(1)知f(x)＝x2－2x＋1，h(x)＝2x2＋x|x－m|＋2m，
即h(x)＝3x2－mx＋2m，x≥m，x2＋mx＋2m， x
即h(x)min＝min2m2＋2m，－m24＋2m.
又2m2＋2m－－m24＋2m＝9m24≥0，所以当m≥0时，h(x)min＝－m24＋2m；
②若m<0，则h(x)min＝hm6＝2m－m212.
综上所述，h(x)min＝2m－m24， m≥0，2m－m212， m<0.