勾股定理
勾股定理
勾股定理勾股定理，又称商高定理，西方称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（英文：Pythagorean theorem或Pythagoras's theorem）是一个基本的几何定理，相传由古希腊的毕达哥拉斯首先证明。
据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
在中国，相传于商代就由商高发现，记载在一本名为《周髀算经》的古书中。
而三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释。
法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。
直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理指出：直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么A2+ b2= c2勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
一种证明方法的图示：左右两正方形面积相等，各扣除四块蓝色三角形后面积仍相等勾股定理勾股定理的美妙证明证明[广西梁卷明的证法]：如图1,分别以AC、CB、BA为边长作正方形ACNM、正方形CBSQ、正方形BAPR，则易知⊿ABC≌⊿RBS,从而点Q 必在SR上，又把梯形ABNM沿BR方向平移，使点B与点R重合,则梯形ABNM平移至梯形PRQT的位置；显然⊿RSB≌⊿PTA, 如图2，再把⊿RSB沿BA方向平移，使点B与点A重合，则⊿RSB必与⊿PTA重合！故有：正方形ACNM的面积+正方形CBSQ的面积=正方形BAPR的面积，即得： a的平方 + b的平方 = c的平方.勾股定理【梁卷明证法】勾股定理 - 勾股数组勾股数组是满足勾股定理a2+ b2= c2的正整数组(a,b,c)，其中的a,b,c称为勾股数。
例如(3,4,5)就是一组勾股数组。
任意一组勾股数(a,b,c)可以表示为如下形式：a = m−n,b = 2mn,c = m + n，其中勾股定理。
勾股定理公元前500-200年，《周髀算经》的图解《勾股圆方图》勾股定理 - 参考资料勾股定理 - 历史上的勾股定理定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理
勾股定理勾股定理在西方又称“毕达哥拉斯定理”，就是指三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称两直角边为勾(一般指较短直角边)和股、斜边为弦，所以也称此定理为勾股定理。
我国最早的数学文献《周髀算经》(约成书于公元前157年前)中记述了周公(击武王弟弟)与古代数学家商高的一段对话，首先提出了勾股形的问题。
商高说：“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五”。
意思说，如果直角三角形两直角边长是3和4，那么它的斜边必定是5。
这是勾股定理的一个特例。
商高时代，约比古希腊数学家毕达哥拉斯早500年。
我国对于勾股定理的证明，最早的形式见于公元3世纪吴国人赵爽(字君卿)所著《勾股圆方图注》，在这篇短文中，赵爽用割补法画了一张所谓的“弦图”(见图)，其中每一个直角三角形称为“朱实”，中间的一个小正方形叫“中黄实”，以弦为边的正方形ABEF 叫“弦实”。
由于四个朱实加上一个中黄实就等于弦实，所以有下式成立：4×21ab+(b-a ) 2=c 2 化简后即得a 2+b 2=c 2这个证法通过图形的分割、移补，精霖总结了我国东汉以前在勾股定理方面的光辉成就。
赵爽的证法与印度数学家婆斯伽罗在公元1150年的证法相似，婆氏也曾作出类似的图形。
世界上对勾股定理的证明方法很多，1940年有人出了一本勾股定理证明专集，其中收集了365种证法，当然，证法还不止这些。
1876年，加菲尔德(1881年任美国总统)想出了一个相当精采的证明： 如图，梯形面积=2b a ×(a+b ) =21(a 2+2ab+ b 2). 又可得梯形面积=21c 2+21ab+21ab =21(c 2+2ab ) 比较两式，可得a 2+b 2=c 2 。
勾股定理的方程式
勾股定理的方程式勾股定理是一种数学定理，用于计算直角三角形的边长关系。
它描述了直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边的平方和。
勾股定理的方程式可以表示为：a²+b²=c²。
在这个方程式中，a和b代表直角三角形的两条边，c代表斜边。
根据勾股定理，当直角三角形的两条直角边的长度分别为a和b时，斜边的长度为c。
勾股定理可以用来解决各种与直角三角形相关的问题，比如求解未知边长、计算角度等。
通过应用勾股定理，我们可以准确地计算出直角三角形的各个边长，从而解决与直角三角形相关的数学和物理问题。
勾股定理的原理可以通过几何图形来理解。
假设有一个直角三角形ABC，其中∠C是直角。
我们可以将三角形ABC放在一个正方形格子中，使得直角顶点C位于格子的一个角落，直角边a和b分别与格子的两条边平行。
然后，我们可以用格子的单位长度来表示直角边a和b的长度，即a和b的长度为整数个格子单位。
我们可以将直角边a和b的长度分别表示为a个和b个格子单位。
根据直角三角形的性质，我们可以将斜边c的长度表示为a个格子单位加上b个格子单位。
当我们把a个格子单位和b个格子单位的长度相加时，正好可以得到斜边c的长度。
这就是勾股定理的基本原理。
通过勾股定理，我们可以解决各种与直角三角形相关的问题。
比如，当我们已知直角三角形的两条边a和b的长度时，可以通过勾股定理求解斜边c的长度。
勾股定理还可以用来计算直角三角形的角度。
通过知道三角形的两个边长，我们可以计算出与这两条边相关的角度。
这在导航和测量等领域中非常有用。
总结起来，勾股定理是一种用于计算直角三角形边长关系的数学定理。
它通过描述直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，提供了一种解决与直角三角形相关问题的方法。
勾股定理在数学和物理等领域有着广泛的应用，可以帮助我们解决各种与直角三角形相关的计算和测量问题。
勾股定理的推导过程
勾股定理的推导过程
勾股定理是由古希腊数学家厄拉多塞所发明的定理，它定义了任
何给定的直角三角形，它的两个直角边的长度之和等于其斜边的长度
平方。
它可以表示为：
a2 + b2 = c2
其中，a和b是直角三角形的一对直角边，而c则是它们对应的斜边。
厄拉多塞为了证明这一定理，画出了一个三角形ABC，它有直角A
和B，其中C底边被延伸出去，形成一个长方形ACDEB。
根据已知条件，三角形ABC的直角边a和b的长度之和小于或等
于它的底边c的长度。
因此，厄拉多塞画了四边形ACDEB的另一个对称的四边形FCHBG，
并且对这两个四边形的面积进行了比较。
厄拉多塞证明了，四边形ACDEB的面积与四边形FCHBG的面积完
全相等。
四边形ACDEB的面积将由等式：a×b/2给出，因为它是一个特殊
的直角三角形，其中a和b分别为它的两条直角边。
而四边形FCHBG的面积将由等式：(c-a)×(c-b)/2给出，因为它
也是一个特殊的直角三角形，其中c-a和c-b分别为它的两条直角边。
由此可知，厄拉多塞将以下等式组合起来：
a×b/2=(c-a)×(c-b)/2
解决上面的等式，得出：
a2 + b2 = c2
以上就是勾股定理的推导过程。
勾股定理与勾股数
勾股定理与勾股数勾股定理是数学中的一条基本定理，它描述了直角三角形中三边之间的关系。
勾股数则是指满足勾股定理的整数组合。
本文将介绍勾股定理的概念和用途，并探讨与之相关的勾股数。
1. 勾股定理的定义与历史勾股定理是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的，被称为“毕达哥拉斯定理”或“勾三股四弦”。
它的数学表达形式如下：在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方之和。
数学公式为：c² = a² + b²其中，c表示斜边（也称为弦），a和b表示直角边。
这一定理在三角学中极其重要，被广泛应用于解决各种直角三角形相关的问题，如测量距离、角度计算等。
2. 勾股定理的应用勾股定理的应用非常广泛，不仅在数学领域中有着重要的地位，还在其他学科和现实生活中发挥着重要作用。
2.1 测量距离勾股定理可以用来计算物体之间的距离。
例如，当我们想要测量两个地点之间的直线距离时，可以使用勾股定理来计算。
假设两个地点的坐标分别为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，则它们之间的距离d可以通过以下公式计算：d = sqrt((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)2.2 角度计算勾股定理还可以用于计算角度。
在直角三角形中，我们可以通过已知两边的长度来计算角度的大小。
例如，知道直角边a和斜边c的长度，可以使用如下公式计算角度θ的大小：θ = arccos(a / c)3. 勾股数的定义与性质勾股数指满足勾股定理的整数组合。
即使勾股定理可以应用于各种实数，但整数解具有特殊的数学性质。
3.1 勾股数的性质勾股数具有如下几个性质：- 勾股数由三个互质的整数组成，即它们没有公共因子。
- 勾股数可以通过欧几里得算法生成。
- 勾股数存在无穷多个。
3.2 勾股数的示例以下是一些常见的勾股数示例：- (3, 4, 5)是最简单的勾股数，也被称为“三四五勾股数”。
- (5, 12, 13)也是一个著名的勾股数。
勾股定理概念及其性质
勾股定理概念及其性质
勾股定理（又称Pythagorean theorem）是古希腊数学家勾股提出的一个定理，它指出：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方之和。
即：
a2 + b2 = c2
其中，a和b分别为直角边，c为斜边。
勾股定理的性质：
（1）勾股定理是一个双调定理，即它不仅适用于直角三角形，也适用于任何等腰三角形；
（2）勾股定理的三条边的关系不受三角形的位置、大小或形状的变化而改变；
（3）勾股定理可以用来求解不等腰三角形的斜边长度；
（4）勾股定理可以用来求解等腰三角形的其他两边长度；
（5）勾股定理可以用来求解任何直角三角形的外接圆半径；
（6）勾股定理可以用来求解任何等腰三角形的内接圆半径。
勾股定理
A1
B2
C3
D4
2．如图，数轴上点A所表示的数为a， 则a的值是（ ）
3. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使
AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，
且EF＝3，则AB的长为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
4．如图，矩形AOBC中，点A的坐标为（0，8)，点D的
二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示 的正方形.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所 示的正方形.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成 直角梯形.
三、勾股定理的作用 1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为 的线段.
纵坐标为3，若将矩形沿直线AD折叠，则顶点C恰好落
在边OB上E处，那么图中阴影部分的面积为（ ）
30 B．32 C．34
D．16
5.在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12， 则△ABC的周长为（ ） A.42 B.32 C.42或32 D.37或33
6．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置 的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正 方形的面积是S1,S2,S3,S4则S1+S2+S3+S4______．
勾 股定理
一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c， 那么a2+b2=c2. 1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. 2.利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，
根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将 数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. 3.理解勾股定理的一些变式：a2=c2-b2,b2=c2-a2.
勾股定理500种证明方法
勾股定理500种证明方法
勾股定理是数学中的基本定理之一，有着广泛的应用和许多证明方法。
下面介绍一些常见的证明方法：
1.几何证明法：利用几何图形构造，例如在直角三角形的两个直角边
上分别构造平方和的面积相等，然后利用面积的性质进行证明。
2.代数证明法：利用代数式推导和变换，例如假设直角三角形的三边
长度为a、b和c，然后将直角三角形的两边长度的平方相加，利用分配
律和可交换性进行推导。
3.数学归纳法：先证明三边全为整数的勾股三元组存在，然后利用数
学归纳法证明勾股三元组的通解存在。
4.平行四边形证明法：构造直角三角形的对角线，利用平行四边形的
性质推导得出结论。
5.等腰三角形证明法：构造以直角为顶点的等腰三角形，利用等腰三
角形的性质推导得出结论。
6.射影证明法：构造勾股定理三角形的高，利用射影的性质进行证明。
7.相似三角形证明法：构造与直角三角形相似的三角形，利用相似三
角形的性质进行证明。
8.三角函数证明法：利用正弦、余弦和正切函数的性质进行证明。
9.黎曼几何证明法：利用黎曼几何的相关定理和性质进行证明。
10.三角恒等式证明法：利用三角恒等式进行推导和变换，将勾股定
理转化为等式的形式进行证明。
还有许多其他的证明方法，如使用卡西尼恒等式、向量法等。
总共可能有上百种证明方法，每种方法都有其独特的思路和证明过程。
由于篇幅限制，无法一一详细介绍所有方法，但上述方法已经涵盖了常见的证明思路。
勾股定理论文
勾股定理论文勾股定理是数学中的一个重要定理，它是解决直角三角形问题的基本工具。
勾股定理最早出现在古代中国的《周髀算经》中，其中记载了一种求直角三角形边长的方法。
勾股定理的数学表述是：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²。
勾股定理有着广泛的应用，不仅在数学中有重要作用，还应用于物理、工程等各个领域。
物理中常用勾股定理来解决力学和动力学问题，工程中常用勾股定理来计算建筑和桥梁的尺寸。
此外，勾股定理还可以应用于计算机图形学中的三维旋转和变换问题。
在数学证明中，勾股定理有多种证明方法。
其中最著名的是毕达哥拉斯的证明，他使用了几何构造的方法。
此外，还有代数证明、几何相似性证明等。
这些证明方法各有特点，但都能很好地解释为什么勾股定理成立。
勾股定理的应用广泛且重要，因此在数学教育中被广泛教授。
学生通常在初中阶段开始学习勾股定理，并通过求解直角三角形的问题来实践这个定理。
通过勾股定理的学习，学生能够培养逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
在我看来，勾股定理是数学中的一颗明珠，不仅有着深远的数学意义，也对现实生活有重要的实用价值。
勾股定理的出现，不仅丰富了数学的内容，也为其他学科的发展提供了重要的工具。
我相信勾股定理在未来仍然会发挥更大的作用，并且可能会有更多新的应用领域被发现。
总之，勾股定理是一个重要的数学定理，它在解决直角三角形问题和其他领域中具有广泛的应用。
通过学习勾股定理，不仅可以培养学生的数学思维能力，还可以帮助他们解决实际生活中的问题。
我相信勾股定理在数学研究和应用中的地位将会越来越重要。
勾股定理经典例题（含答案）
勾股定理经典例题（含答案）勾股定理经典例题类型⼀：勾股定理的直接⽤法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨: 写解的过程中，⼀定要先写上在哪个直⾓三⾓形中，注意勾股定理的变形使⽤。
举⼀反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?类型⼆：勾股定理的构造应⽤2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.1、某市在旧城改造中，计划在市内⼀块如图所⽰的三⾓形空地上种植草⽪以美化环境，已知这种草⽪每平⽅⽶售价a元，则购买这种草⽪⾄少需要（）A、450a元B、225a 元C、150a元D、300a元举⼀反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.150°20m 30m【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD的⾯积。
类型三：勾股定理的实际应⽤（⼀）⽤勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所⽰，在⼀次夏令营活动中，⼩明从营地A点出发，沿北偏东60°⽅向⾛了到达B 点，然后再沿北偏西30°⽅向⾛了500m到达⽬的地C点。
（1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定⽬的地C在营地A的什么⽅向。
举⼀反三【变式】⼀辆装满货物的卡车，其外形⾼2.5⽶，宽1.6⽶，要开进⼚门形状如图的某⼯⼚，问这辆卡车能否通过该⼯⼚的⼚门?（⼆）⽤勾股定理求最短问题4、如图，⼀圆柱体的底⾯周长为20cm，⾼ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底⾯的直径．⼀只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧⾯爬⾏到点C，试求出爬⾏的最短路程．类型四：利⽤勾股定理作长为的线段5、作长为、、的线段。
作法：如图所⽰举⼀反三【变式】在数轴上表⽰的点。
解析：可以把看作是直⾓三⾓形的斜边，，为了有利于画图让其他两边的长为整数，⽽10⼜是9和1这两个完全平⽅数的和，得另外两边分别是3和1。
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动手操作折一折，验证定理
练一练
• 1..在Rt△ABC中，∠C=90°
• ①若a=5，b=12，则c=___________；
• ②若a=15，c=25，则b=___________； • ③若c=61，b=60，则a=__________； • ④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC =________。 • 2直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
勾股定理
13教育学
赵露
创设情境，导入新课
小区里有一块空地将要被 改成下图所示的绿地花园， 其中绿色的地方种草，红 色的地方种花，你能用几 种方法求这块花园的面积？
5
13 12
a
b c
5 13 12
a
c
b
S=?
5 13 12
a c
b
5 12
3
a
c
b
5 12
3
a
c
b
勾股定理
勾股定理:
直角三角形两条直角边的平方和等 于斜边的平方。
• 3..已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
• A、25 B、14 C、 7 D、7或25
• 4..等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ） • A、56 B、48 C、40 D、32