猎狗追兔子问题仿真实验报告

1. 有一只猎狗在B点位置发现了一只兔子在正东北方距离它200米的地方O处，此时兔子开始以8米/秒的速度向正西北方距离为120米的洞口A全速跑去，假设猎狗在追赶兔子的时候始终朝着兔子的方向全速奔跑，用计算机仿真法等多种方法完成下面的实验： (1) 问猎狗能追上兔子的最小速度是多少？ (2) 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程是多少？ (3) 画出猎狗追赶兔子奔跑的曲线图。 (4) 假设在追赶过程中，当猎狗与兔 子之间的距离为30米时，兔子由于害怕, 奔跑的速度每秒减半，而猎狗却由于兴 奋奔跑的速度每秒增加0.1倍，在这种情 况下，再按前面的（1）—（3）完成实验任务。

➢ 问题分析： （1） 以O点为原点，OA为y轴正方向建立平面直角坐标系。用T(X,Y),G(x,y)分

别表示兔子和狗的位置。用e来表示猎狗速度方向的单位向量。则𝒆=𝑮−𝑻|𝑮−𝑻|。 则有𝑮𝒌+𝟏=𝑮𝒌+v·dt·𝒆，𝑻𝒌+𝟏=𝑻𝒌

+8dt。

由于兔子的速度是8m/s，狗要追上兔子，速度一定大于8m/s。我们根据常识估算狗的速度不会超过100m/s。不妨建立一个for循环，逐个尝试从8开始的速度。直到得到一个可以使追击到时，T的纵坐标小于等于120的速度。 （2） 由于狗是匀速运动，路程s即（1）中得到的v和t的积。 （3） 根据（1）中的思路，以dt=0.1为时间步长我们可以算得每个时间点T与G的坐标。这里为了方便描点，不再用向量表示，而是直接用坐标x,y,X,Y表示。 （4） 只需要在前面的基础上加上：①一个if条件，当距离d≤30时，狗的速度vk+1=vk·1.1^dt，兔子的速度uk+1=uk·0.5^dt；②s的计算改为sk+1=sk+vdt。

➢ 程序设计： （1）~（2）问： 流程图：

否 否 是

是 程序代码：

速度 兔子猎狗的距离是否大于0.1？

求下一个点 兔子的纵坐标是否≤120？

输出v G=[-200,0]; T=[0,0];%用向量G，T分别表示狗和兔子的坐标 d=0.1; t=0;dt=0.01; for v=8:0.05:100 G=[-200,0]; T=[0,0]; t=0; while (norm(G-T)>d&&norm(T)<120) t=t+dt; e=T-G; D=norm(T-G); e=e/D; G=G+v*dt*e; T(2)=8*t; end if T(2)<=120 break end end

fprintf('狗的最小速度是：%.2f',v) s=v*t; fprintf('狗跑过的距离是：%.2f',s)

第（3）问： 流程图：

程序代码： c=-200; u=8; v=17.1; xb=[];yb=[];Xb=[];Yb=[]; d=1; dt=0.1;

坐标x,y,X,Y 求新的x,y,X,Y坐标 描每一个(X,Y),(x,y)点 t=0; x=c;y=0;X=0;Y=0; hold on axis([-200,0,0,150])

title('猎狗追兔子') text(0,120,'A') text(-200,0,'B') text(0,0,'O') while (sqrt((x-X)^2+(y-Y)^2)>d) t=t+dt; x=x-v*dt*x/sqrt(x^2+(u*t-y)^2); xb=[xb,x]; y=y+v*dt*(u*t-y)/sqrt(x^2+(u*t-y)^2); yb=[yb,y]; Y=u*t; Yb=[Yb,Y]; end xb; yb; Yb; Xb=zeros(length(Yb)); plot(xb,yb,'m*',Xb,Yb,'c*')

gtext('猎狗')

gtext('兔子')

第（4）问： ① 最小速度： 流程图：在（1）的高亮部分后方加上：

是 否

程序代码： u=8; G=[-200,0];

T=[0,0];% 用向量G，T分别表示狗和兔子的坐标 d=0.1;

距离是否≤30？ v=v*1.1^dt u=u*0.5^dt 求下一个点 t=0;dt=0.01; for v=8:0.05:100 G=[-200,0]; T=[0,0]; t=0; c=v; u=8; while (norm(G-T)>d&&norm(T)<120) if (norm(G-T)<=30) v=v*1.1^dt; u=u*0.5^dt; end t=t+dt; e=T-G; D=norm(T-G); e=e/D; G=G+v*dt*e; T(2)=T(2)+u*dt; end if T(2)<=120 v=c; break end end

fprintf('狗的最小速度是：%.2f',v)

② 模拟及跑过的距离： 流程图：同上 程序代码： u=8; v=15.45; dt=0.1; t=0; s=0; D=30; d=1; m=0; x=-200;y=0;X=0;Y=0; hold on axis([-200,0,0,150])

title('猎狗追兔子') text(0,120,'A') text(-200,0,'B') text(0,0,'O') while (sqrt((x-X)^2+(y-Y)^2)>d) if(sqrt((x-X)^2+(y-Y)^2)>D) t=t+dt; x=x-v*dt*x/sqrt(x^2+(u*t-y)^2); y=y+v*dt*(u*t-y)/sqrt(x^2+(u*t-y)^2); Y=Y+u*dt; plot(x,y,'r*',X,Y,'b*') pause(0.1) else t=t+dt; if(m==0||m==1) u=u/2; v=1.1*v; m=0; end m=m+dt; x=x-v*dt*x/sqrt(x^2+(Y+u*dt-y)^2); y=y+v*dt*(Y+u*dt-y)/sqrt(x^2+(Y+u*dt-y)^2); Y=Y+u*dt; plot(x,y,'r+',X,Y,'b+') pause(0.1) end s=s+v*dt; end

gtext('猎狗')

gtext('兔子') x,y,X,Y,t,s

➢ 结果分析和结论： （1）~（2）问

第（3）问： 第（4）问： ①

② ➢ 总结和体会： 本题其实整体上采取的一个模拟的思想。通过一次一次迭代模拟追捕过程。从本题速度和仿真时，我们可以发现，在单纯的计算时，直接用向量计算可以简化很多步骤。但是在仿真时，直接描述各个坐标会更为方便。我们要根据自己的需求选择表示方法。 2. 使用计算机仿真方法求解下述问题：在正方形的四个顶点上各有一人，如下图所示，在某一时刻，四人同时出发以匀速按顺时针方向追赶下一个人,如果他们始终保持对准目标,试确定每个人的行进路线。

问题分析： 以左边为y轴，下边为x轴建立平面直角坐标系。可以得到四个人的点坐标为O(0,0),A(200,0),B(,200,200),C(0,200)。以点O为例：设t时刻，点O，C的坐标

分别为Ok(xok,yok),Ck(xck,yck)，点O的速度沿单位向量：𝒆=𝑪𝒌−𝑶𝒌|𝑪𝒌−𝑶𝒌|，从而得出𝑶𝒌+𝟏=𝑶𝒌+vdt𝒆。其他四个点也用类似的方法，即可得到所有点在每个时间点的坐标。

➢ 程序设计： 流程图：

否 是

程序代码： hold on axis([0,200,0,200]) O = [0,0]; A = [200,0]; B = [200,200]; C = [0,200]; d1 = norm(C-O); d2 = norm(O-A);

标出四个点坐标； 求四个方向单位向量

距离是否够小？ 结束 d3 = norm(A-B); d4 = norm(B-C); v = 10; t = 0.1; while d1>2 plot(O(1),O(2),'r+'); plot(A(1),A(2),'b*'); plot(B(1),B(2),'gp'); plot(C(1),C(2),'yo'); e1 = C-O; d1 = norm(e1); e2 = O-A; d2 = norm(e2); e3 = A-B; d3 = norm(e3); e4 = B-C; d4 = norm(e4);

e1 = e1/d1; %表示点O的方向，下同 e2 = e2/d2; e3 = e3/d3; e4 = e4/d4; O = O+v*t*e1; A = A+v*t*e2; B = B+v*t*e3; C = C+v*t*e4; pause(0.1) end

➢ 结果分析和结论：