《三角形动点问题》教学设计
第十三章轴对称三角形中的动点问题综合专题(教案)
一、教学内容
第十三章轴对称三角形中的动点问题综合专题（教案）：
1.教材章节：本节课内容基于人教版《数学》九年级上册第十三章“轴对称”的相关知识。
2.教学内容：
（1）理解三角形轴对称的性质，掌握轴对称图形的判定方法；
（2）运用轴对称性质解决三角形中的动点问题，如动点在三角形内部、边上、顶点等情形；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“轴对称在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了轴对称以及三角形中的动点问题。整体来看，学生们对于轴对称的概念有了基本的理解，但在将理论知识应用到具体问题解决时，部分学生还存在一定的困难。我觉得有几个地方值得我们共同反思：
首先，关于轴对称性质的教学，我发现通过生活中的实例引入，能够激发学生的兴趣，帮助他们更好地理解抽象的几何概念。但同时，我意识到需要更多地强调对称轴与图形之间的关系，让学生明白对称轴不仅仅是图形的一条线，而是能够保持图形某些性质不变的关键因素。
其次，对于动点问题的教学，我采用了从简单到复杂的策略，逐步引导学生理解。但在实际操作中，我发现有些学生仍然难以把握动态变化中的几何关系。我考虑在接下来的课程中，增加一些互动环节，如让学生自己动手操作教具，感受动点在不同位置时的变化，以提高他们的空间想象力和问题解决能力。
此外，小组讨论的环节，学生们表现得积极主动，但我观察到有些小组在讨论时可能会偏离主题。在今后的教学中，我需要更明确地给出讨论指导，确保学生们能够围绕核心问题进行深入探讨。
《动点与等腰三角形》教学设计
一、教学目标：《动点与等腰三角形》教学设计知识与技能：理解动点与等腰三角形问题的基本解题方法：代数法、几何法, 会进行分类讨论,掌握根据两边和夹角的余弦值进行求解的方法. 过程与方法：渗透分类讨论、转化、数形结合的数学思想方法.情感态度与价值观：通过几何画板动态演示、一题多解等激发学习数学的兴趣,培养数学情感. 二、教学重难点：重点：掌握分类讨论,并根据两边和夹角的余弦值求解的方法. 难点：灵活选择最 优方法解题 三、教学过程：（一【开门见山】在广东的中考压轴题中,屡次考到动点与等腰三角形的存在性问题.这类题目思维灵活,不易解出,但也有迹可循,有法可依.今天我们通过具体例子学习这类问题的解法. （二【火力全开】 例题：已知,如图 1,一条抛物线的顶点为 E （﹣1,4）,且过点 A （﹣3,0）,与 y 轴交于点 C,点 D 是这条抛物线上一点,它的横坐标为 m, 且﹣3＜m ＜﹣1,过点 D 作 DK⊥x 轴,垂足为 K,DK 分别交线段 AE 、AC 于点 G 、H ．（1） 求这条抛物线的解析式； （2） 求证：GH=HK ；（3） 当△CGH 是等腰三角形时,求 m 的值．图 1分析：(1)运用待定系数法,可以求出解析式为 y=﹣（x+1）2+4．(2)运用待定系数法可以求出直线 AE 的解析式为 y=2x+6,求出直线 AC 的解析式为 y=x+3．可以表示出点G（m,2m+6）,H（m,m+3）,可得HK=m+3,GH=m+3．故 GH=HK.(3)观察几何画板制作的动图,拖动点D,可以发现,点G 和点H 也随之运动,运动到如图 2 时,运动到如图 3 时,运动到如图 4 时,△CGH是等腰三角形,故需分类讨论.图2图3图4观察动图,比较直观,但是否准确？怎么求出点的坐标？著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观,形少数时难入微；数形结合百般好,隔离分家万事休”．因此,需要再认真理性分析.△CGH是等腰三角形,可能有以下三种情况,①点 G 为顶角端点,即 GH=GC；②点H 为顶角端点,即 HG=HC；③点C 为顶角端点, 即CG=CH.第（2）问已经求出点 G、点H 的坐标,点 C 的坐标也知道了,则可以利用两点之间的距离公式,表示出三条线段GH、HC、CG 的长度,再分类列出方程, 即可求出答案.解题思路可用以下框图表示：答案如下：由（2）可知：C（0,3）,G（m,2m+6）,H（m,m+3）,则C H=,CG=,HG=m+3①若CG=CH,则=,解得m1=﹣1,m2=﹣3,∵﹣3＜m＜﹣1,∴m≠﹣1 且m≠﹣3．∴这种情况不存在．②若GC=GH,则=m+3,解得m =0（舍去）, m2=-32m2 +m2m2 +m2 m2 + (2m +3)2m2 +(2m +3)2m2 +(2m +3)21③ 若 H C=HG,则 = m+3,解得；m 1=3﹣3,m 2=3+3（舍去）． 综上所述：当△CGH 是等腰三角形时,m 的 - 32 或．（三【另辟蹊径】 上面问题的第三问是一个几何问题，你能运用等腰三角形等几何知识解决这个问题吗？分析：分别画出三种图形.对于等腰三角形的问题，应该充分运用等腰三角形的性质，尤其是“三线合一”的特殊性质，因此，考虑“作高线”.作出高线后，出现了直角三角形，与已知图形的中的直角三角形相似，则可以运用“相似三角形对应边的比相等”去求出边长.图 5 图 6 图 7答案如下：①如图 5,HG=HC 时，注意到 OC=OA=3，则∠CAO=450.过点 H 作 HP,则 HP=-m ， 且∠CHP=∠CAO=450，解直角三角形可知,HC= -m=3-3 2 ;2m .HG=HC 时, m+3=2m ,解得②如图 6,GH=GC 时,过点 G 作 GI⊥HC 于点 I,则由“三线合一”得 HI= 12HC=③如图 7,当 CG=CH 时,过点 C 作 CM⊥GH 于点 M,则由“三线合一”得-方法点击：对于动点与等腰三角形的问题,往往进行分类讨论,分三步走①列出三条边长,②分类列方程,③解方程并检验.此法称为代数法.m 2 + m 2 -m = -1（舍去）；综上所述：当△CGH 是等腰三角形时,m 的值为- 32 或 ．（四）【再闯新路】 聪明的你还有其他方法吗？分析：在“运动变化”中往往隐含着“不变”,解决动点问题需要“动中求静”.请注意在点 D 运动的过程中,△GHC 有哪些量没有变化？可以发现∠GHC的大小不变,∠GHC 的三角函数值不变,且可以求出∠GHC=450, cos∠GHC=√22.夹着∠GHC 的两条边可以表示出来,GH=m+3,HC= - 2m .则可以作高，构造直角三角形，运用“三线合一”，表示出∠GHC 的邻边和斜边，运用∠GHC 的余弦值是定值列出方程，得解.① 如图 5,HG=HC 时, m+3= - 2m ,解得 m=3 -3 2 ;② 如图 6,GH=GC 时,过点 G 作 GI⊥HC 于点 I,则由“三线合一”得 HI= 12HC=③ 如图 7,当 CG=CH 时,过点 C 作 CM⊥GH 于点 M,则由“三线合一”得m = -1（舍去）；综上所述：当△CGH 是等腰三角形时,m 的值为- 32或 -方法点击：在很多等腰三角形的存在性问题中,三角形运动变化时有一个角 保持不变, 它的余弦值可以求出来,它的两条夹边也可以表示出来.则可以分类讨论,作出等腰三角形的高,运用解直角形的知识列出方程.如图,若∠A 的值不变,AC 、AB 的值方法点击：对于此类题目,可以分类画出图形,作出等腰三角形的高,标出边长,寻找相似三角形,利用“相似三角形对应边的比相等”列出方程求解. 此法称为几何法.可以表示出来.则如图8,AC=AB,直接列方程；如图9, ,列出方程；如图10, ,列出方程.图8 图9 图10此法与上述几何法,本质是相同的,但解题过程简洁一些.此法也属几何法.解题分析时，首选此法.（五变式练习：（模拟）如图,在Rt∆ABC中, ∠ACB=90︒,AC=8, BC = 6 ,CD ⊥AB 【变式练习】于点D ．点P 从点D 出发,沿线段DC 向点C 运动,点Q 从点C 出发,沿线段CA 向点A 运动,两点同时出发,速度都为每秒 1 个单位长度,当点P运动到C 时,两点都停止．设运动时间为t 秒．（1）求线段CD 的长；（2）当t 为何值时, ∆CPQ 为等腰三角形？请说明理由.图11 图12 图13分析:（1）利用勾股定理可求出AB 长,再用等积法就可求出线段CD 的长．（2）需分三种情况进行讨论;可以发现∠PCQ 大小不变,且容易求出 cos ∠PCQ 的值,表示出 CQ,CP 的长度,则利用上述几何法模型解决比较简洁.答案:解：（1）如图11∵∠ACB = 90︒, AC = 8 , BC = 6 ,∴AB =10 ．CD ⊥AB ,∴S∆ABC = 12BC×AC = 12AB CD ．∴CD ==BC·ACAB= 6×810=4.8 .∴线段CD 的长为 4.8．（2）在Rt△ACD 中,cos ∠PCQ= 4.88= 35,CQ=t, CP= 4.8 -t .①若CQ =CP ,如图 11,则t = 4.8 -t ．解得：t = 2.4 ．②若PQ =PC ,如图 12 所示．过点 P 作PH ⊥QC ,垂足为 H.∵PQ =PC ,PH ⊥QC ,∴QH =CH = 12QC = t2．③若QC =QP ,如图 13 所示．过点Q 作QE ⊥CP ,垂足为 E , 同理可得：t = 2411.综上所述：当t 为 2.4秒或 14455秒或 2411秒时, ∆CPQ 为等腰三角形．（六【画龙点睛】（七【作业巩固】问题: 如图,在Rt∆ABC 中, ∠A = 90︒, AB = 12 , AC = 16,点D 为边BC 的中点, DE ⊥BC 交边AC 于点E ,点P 为线段AB 上的一动点,点Q 为边AC 上的一动点,且∠PDQ = 90︒．（1）求ED 、EC 的长；（2）若BP＝2，求CQ 的长；（3）若线段PQ 与线段DE 的交点为F，当△PDF 为等腰三角形时，求BP 的长．（提示：∆PDF 的三边长均不易表示,但注意到∆PDF∽∆CDQ ,故转化为讨论∆CDQ 为等腰三角形的三种情况．∆CDQ 的∠C的余弦值容易求出,CD、CQ 也能表示出来,则可以用前述方法解答）答案如下:解：（1）∵∠A＝90°，AB＝12，AC＝16，∴根据勾股定理得到，BC＝＝20，∴CD＝BC＝10，∵DE⊥BC，∴∠A＝∠CDE＝90°，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴DE：AB＝CE：CB＝CD：CA，即DE：12＝CE：20＝10：16，∴DE＝，CE＝；（2）∵△CDE∽△CAB，∴∠B＝∠DEC，∵∠PDQ＝90°，∴∠QDC+∠PDB＝90°，∵∠QDC+∠EDQ＝90°，∴∠EDQ＝∠PDB，∴△PBD∽△QED，前述方法解答）答案如下:解：（1）∵∠A＝90°，AB＝12，AC＝16，∴根据勾股定理得到，BC＝＝20，∴CD＝BC＝10，∵DE⊥BC，∴∠A＝∠CDE＝90°，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴DE：AB＝CE：CB＝CD：CA，即DE：12＝CE：20＝10：16，∴DE＝，CE＝；（3）∵△CDE∽△CAB，∴∠B＝∠DEC，∵∠PDQ＝90°，∴∠QDC+∠PDB＝90°，∵∠QDC+∠EDQ＝90°，∴∠EDQ＝∠PDB，∴△PBD∽△QED，∴＝，即＝，∴EQ＝，∴CQ＝CE﹣EQ＝﹣＝11；（4）∵△BPD∽△EQD，∴＝＝＝＝，∴cos∠QPD＝＝，又∵cos∠C＝＝＝，∴∠QPD＝∠C，又∵∠PDE ＝∠CDQ ，∴△PDF ∽△CDQ ，∵△PDF 为等腰三角形，∴△CDQ 为等腰三角形，设 B P ＝x ，∵＝ ＝ ＝ ＝ ，则 E Q ＝ x ，CQ ＝ ﹣ x ，①当 C Q ＝CD 时，可得：252- 34 x 10 ,解得：x ＝；② 当 QC ＝QD 时，过点 Q 作 QM ⊥CB 于 M ，如图 3 所示，∴CM ＝ CD ＝5，∵cos ∠C ＝ ＝ ＝ ＝ ， ∴CQ ＝ ， ∴ ﹣ x ＝ ， 解得：x ＝ ； ③当 DC ＝DQ 时，如图 4.∵点 P 在线段AB 上，故点Q 在 CE 上. ∵DE ＜DC ，∴DQ不可能等于DC ，此情况不存在.∴综上所述，BP ＝ 或．。
中考数学专项复习教案全等三角形中动点问题
中考数学专项复习教案全等三角形中动点问题教师: 学生: 日期: 星期: 时段:4、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=CB ，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且始终保持AD=CE ．连接DE 、DF 、EF ． （1）求证：△ADF ≌△CEF（2）试证明△DFE 是等腰直角三角形5、如图，在等边ABC ∆的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时动身，分别以每分钟1各单位的速度油A 向B 和由C 向A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，通过t 分钟后，它们分别爬行到D,E 处，请问 （1）在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗？（2）若蜗牛沿着AB 和CA 的延长线爬行，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，如图（2）所示，，求证：︒=∠60CQE（3）假如将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，则爬行过程中，DF 始终等于EF 是否正确6、如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形． （1）当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍旧成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否依旧等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．7、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）假如点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，通过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说图1 图2 图3。
中考数学专题复习教案 全等三角形中动点问题-word文档
A B CDE F 个性化辅导授课案教师: 学生: 日期: 星期: 时段:课题全等三角形的动点问题分析讲解学情分析 .动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。
动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论 教学目标 考点分析思路：1.利用图形想到三角形全等，相似及三角函数2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动）3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏5.动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路6.动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论教学 重点 难点 利用熟悉的知识点解决陌生的问题 教学方法教师引导，自主思考教学过程 三角形与动点问题1、如图，在等腰△ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝ ．2、在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.3、如图，将边长为1的等边△OAP按图示方式，沿x轴正方向连续翻转2019次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2019的位置．试写出P1，P3，P50，P2019的坐标．4、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF．（1）求证：△ADF≌△CEF（2）试证明△DFE是等腰直角三角形5、如图，在等边ABC∆的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，，求证：︒CQE=∠60（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确6、如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN 是等边三角形．（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．图1 图2 图37、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？8、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 在第一象限内，E 是边OB 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90︒，使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F ，设C （m ，n ）．（1）若m = n 时，如图，求证：EF = AE ；（2）若m ≠n 时，如图，试问边OB 上是否还存在点E ，使得EF = AE ？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．xOE BAyCFxOE BAyCFx O EBAyCFAQCDBP9.在ABC △中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B C 、重合），以AD 为一边在AD 的右．侧．作ADE △，使AD AE DAE BAC =∠=∠，，连接CE ． （1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=°，则BCE ∠= 度； （2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图2，当点D 在线段BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D 在直线BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．10．如图， 直线l 与x 轴、y 轴分别交于点) 0,8 ( M ，点) 6,0 ( N ．点P 从点N 出发，以每秒1个单位长度的速度沿N →O 方向运动，点Ｑ从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿O →M 的方向运动．已知点ＱP 、同时出发，当点Ｑ到达点M 时，ＱP 、两点同时停止运动， 设运动时间为t 秒．（1）设四边形．．．MNPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．（2）当t 为何值时，ＱP 与l 平行？AEEAC CD D BB图1 图2 AA备用图B CB C 备用图l ＱOM N xy PA BC DEF G H KMN12345678A CQBP教学反思:三、本次课后作业：1、如图，AC 为正方形ABCD 的一条对角线，点E 为DA 边延长线上的一点，连接BE ，在BE 上取一点F ，使BF BC =，过点B 作BK BE ⊥于B ，交AC 于点K ，连接CF ，交AB 于点H ，交BK 于点G ． （1）求证：BG BH =；（2）求证：AE BG BE +=2、已知：如图，△ABC 是边长3cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动．设点P 的运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形? （2）设四边形APQC 的面积为y （cm 2），求y 与t 的关系式；是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积是△ABC 面积的三分之二？如果存在，求出相应的t 值；不存在，说明理由；3、已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．4、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）． （1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式； （2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？C PQB AMN CPQBA M N CPQBA M NEDBCAQP （3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由．5、在ABC ∆中，,4,5,D BC CD 3cm,C Rt AC cm BC cm ∠=∠==点在上，且以＝现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1cm/s 的速度，沿AC 向终点C 移动；点Q 以1.25cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动。
(九年级资料)动点三角形说课稿
《动点三角形问题专题复习》说课稿说教材“动点〞探究题的根本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. ．从数学思想的层面上讲：〔1〕运动观点；〔2〕方程思想；〔3〕数形结合思想；〔4〕分类思想；〔5〕转化思想等．解决这类题的关键是动中求静. 涉及到的数学思想：分类思想、函数思想、方程思想、数形结合思想、转化思想等。
说学生：如圆还未学习，所以有些知识还不能参加，这给学生知识的系统上带来一定的局限性。
说教学目标1、体验分类讨论思想在动点问题中的运用，运用三角形、四边形的性质、函数、方程等知识解决简单的动点问题。
2、掌握解决动点问题的一般方法和解题思路：化动为静、数形结合、分类讨论等。
说教学重、难点重点：分析运动变化过程中的数量关系、图形位置关系。
难点：解决动点问题的一般方法和解题思路：化动为静、数形结合、分类讨论等.说教法与学法：“三学小组〞模式组织教学：先合作预学问题1，学生自主完成，有困难的可以同组内交流，巡回点拨，然后学生进行展示。
问题2、3由小组进行合作互学、先小组内讨论再进行展示竞学，问题3由于较难，由引导学生进行精讲导学。
整个过程让学生体会到解决动点问题的一般思路：化动为静、数形结合、分类讨论。
引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。
学法分析：在的组织引导下，采用“三学小组〞模式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。
说教学过程教学内容的设计上按照动点与特殊图形、动点与函数相结合，层层递进，依次展开。
合作预学：这是一道动点与特殊图形——等腰三角形相结合的题目，先由学生读完题目，为便于学生理解题目，电脑展示动画，然后学生先自主完成，有困难的可以同组内交流，巡回点拨，等学生小组合作预学后再进行个人展示、小组间的点评。
全等三角形动点问题分析教案
学思堂教育个性化辅导授课案教师： 学生： 时间： 2016 年 月 日 段授课内容：全等三角形中动点问题的处理教学目标：培养学生对运动变化、分类讨论思想等的数学综合运用能力教学重难点：寻找运动规律，分析问题（1）质点的运动形成全等三角形通过全等三角形的性质：对应边相等，（对应角相等，面积相等），来确定质点运动的速度或时间，注意分类讨论思想的运用。
（2）几何问题中三角板旋转形成的全等三角形三角板是学生最常用的学习工具，以三角板为道具，以学生常见、熟悉的几何图形为载体，并辅之以平移、旋转等变换手段的问题，能为学生提供动手实践操作设计的空间，较好地考查了学生观察、实验、比较、联想、类比、归纳的能力以及运动变化、分类讨论思想等的综合运用能力。
这类操作性的题目格调清新，立意新颖，充分体现了课标中提出的“培养学生动手动脑、实践探索的能力”的要求，既注重基础知识，同时又具有很强的综合性，因此受到了各地中考命题专家的青睐。
1．如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？2.如图，已知长方形ABCD 中，AD ＝6cm ，AB ＝4cm ，点E 为AD 的中点．若点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BC 上由点B 向点C 运动．(1)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△AEP 与△BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段A Q C D B PPE和线段PQ的位置关系；(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，运动时间为t秒，设△PEQ的面积为Scm2，请用t的代数式表示S；(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△AEP与△BPQ全等？3. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠A＝∠B＝30°，点D在线段AB上运动(D不与A、B重合)，连接CD，作∠CDE＝30°，DE交BC于点E．(1)AB＝；(2)当AD等于多少时，△ADC≌△BED，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，△CDE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求出∠ADC的度数；若不可以，说明理由．4. 问题背景：如图1：在四边形ABC中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离5.将一副三角板如图放置，D为BC的中点，将三角板MDN的直角顶点放在点D处，三角板的两边与AB，AC分别交于点E、F，当三角板MDN绕点D旋转时，且旋转过程中使点E不与A、B重合．（1）请你说明△DEF一定为等腰直角三角形；（2）证明点E、F到线段BC的距离之和为定值．6.问题情境：将一副直角三角尺(Rt△ABC和Rt△DEF)按图①所示的方式摆放，其中∠ACB＝90°．CA＝CB，∠FDE＝90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：解：OM＝ON，证明：连接CO，则⊙O是AB边上的中线．∵CA＝CB，∴CO是∠ACB的平分线（依据1）．∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM＝ON(依据2)．反思交流：(1)上述证明过程的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：__________________________________________．依据2：__________________________________________．(2)你有与小宇不同的方法吗？请写出你的证明过程．(3)将图①中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图②所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系和位置关系，并写出证明过程．7.△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=2．现将一块三角板的直角顶点放在AB的中点D处，两直角边分别与直线AC、直线BC相交于点E、F．我们把DE⊥AC时的位置定为起始位置（如图1），将三角板绕点D顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°）．（1）在旋转过程中，当点E在线段AC上，点F在线段BC上时（如图2），①试判别△DEF的形状，并说明理由；②判断四边形ECFD的面积是否发生变化，并说明理由．（2）设直线ED交直线BC于点G，在旋转过程中，是否存在点G，使得△EFG为等腰三角形？若存在，求出CG的长，若不存在，说明理由；8.如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．课后巩固计划：学生对于本次课的评价：○特别满意○满意○一般○差学生签字：________教师评定：1、学生上次作业评价：○特别满意○满意○一般○差2、学生本次上课情况评价：○特别满意○满意○一般○差教师签字：________ 教师评语：教学主管审核批复：教学主管签字：________学思堂教育教务处。
二次函数综合(动点)问题——三角形存在问题培优教案(一)(横版)范文
教学过程一、课堂导入1、在平面直角坐标系中，已知点A（4，4）、B（-4，4），试在x轴上找出点P，使△APB为直角三角形，请直接写出所有符合条件的P点的坐标2、在平面直角坐标系中找出所有的点C，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，且C点的横坐标与纵坐标为自然数．画出C点的位置并写出C点的坐标．问题：这是我们在平面直角坐标系那章学习的内容，如果我们将二次函数容纳其中，在抛物线上求作一点，使得三角形是等腰三角形（等边三角形、直角三角形等）并求出该点坐标时,又该如何解答呢？二、复习预习根据实际问题列二次函数关系式：1、列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．2、常见题目类型(1)几何类(三角形、四边形、圆等)一般问题是求图形的面积，首先可以根据特殊图形的面积公式来求解，这时关键是表示出公式里各个部分的代数式；其次，如果不是特殊的图形，可以通过特殊图形的面积相加减来表示；最后，还可以通过构造特殊图形来进行表示求解；总之，要根据题目给的条件实际运用。
(2)桥梁问题这类题型是出现较多的类型，首先应该建立适当的直角坐标系，将桥梁的拱形转化为二次函数来进行求解，强调的是特殊点的表示与运用。
(3)销售问题这类题型会在考试中频繁出现，解题的方法就是：围绕总利润=（售价-进价）×数量这个公式去进行，难度大一点的就是会涉及提价跟降价两种情况，关键是要根据题意分别表示出降价或者提价后商品的售价、数量（进价一般不变），然后再通过公式将各个部分组合在一起就可以了。
动点产生的直角三角形教学设计
二次函数中直角三角形点的存在性问题教学设计一．教学目标1.理解直角三角形的性质, 能用直角三角形的性质解决相关问题；2.培养学生分类讨论的思想，并体验动态思维过程；3.培养学生分析问题、解决问题的能力.一．直角三角形性质回顾：角：直角三角形两锐角互余.边：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 其他：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，如果一个锐角等于30O，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30O .二·已知两个点，在某直线上找一个点，使这三个点构成的三角形是直角三角形，这样的点如何找？三．如图，点A（-1，0）B（4，3），在直线L(x=2)上，是否存在一点P，使得△PAB是直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由？例1：如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、C（0，4）,点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ABP是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．例2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；(2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；(3)试探究：在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
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《三角形动点问题》教学设计
1.如图，已知在 Rt ∆ACB 中，∠C = 90︒，AC = 8 cm，BC = 6 cm，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2 cm/s；连接PQ 。
若设运动的时间为t（s）（0<t≤4），解答下列问题：
（1）当t = 时，PQ ∥CB ；
（2）当t = 时，PQ ⊥AB ；
（3）当t = 时，∆APQ 为直角三角形；
【方法点拨】
1.利用“路程=速度×时间”的关系式表示图中相关线段的长度；
2.化“动”为“静”，研究基本图形，利用平行、三角形相似建模.
教学过程教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图
初
探
动
点
【参考答案】
在Rt ∆ABC 中，由勾股定理得，AC 2 +BC 2 =AB2
即82 +62 =AB2 ，所以AB =10 .
由题意可知，BP =t ，AQ = 2t ，
则AP =AB -BP =10 -t ，
QC =AC -AQ = 8 - 2t .
（1）如右图所示， PQ ∥CB
∴Rt ∆AQP ~Rt ∆ACB
∴AP : AB =AQ : AC 即
(10 -t) :10 = 2t : 8
解得t =
20
7
（2）如右图所示， PQ ⊥AB
∴Rt ∆APQ ~Rt ∆ACB
∴A P : AC =AQ : AB 即(10 -t) : 8 = 2t :10
解得t =
50
13
（3）由（1）（2）可知，当PQ ∥CB或PQ⊥AB时，
∆APQ 均为直角三角形.所以当t =
20
或
50
时，∆APQ
7 13
为直角三角形.
动点构成特殊图形
解题方法：
1、根据已知条件，
将动点的移动距离以及
解决问题时所需要的条
件用含t 的代数式表示出
来；
2、确定特定图形中
动点的位置，画出符合题
意的图形——化动为静；
3、根据所求，利用
特殊图形的性质或相互
关系，找出等量关系列出
方程来解决动点问题。
根据第（4）题的题意可
画出如下两个静态图：
提醒学生抓住等腰三角
形“三线合一”这一性质，
把问题转化为第一环节
的内容。
.
根据第（5）题的题意可画出如下静态图：
提醒学生抓住“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”这一性质，把问题转化为第一环节的内容。
根据第（6）题的题意可画出如下静态图：
提醒学生抓住“垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等”这一性质。
根据第（7）题的题意可画出如下静态图：
对于第（8）题，提醒学生
S
四边形PQCB =S
∆ACB
-S
∆PQA
教学过程教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图
三
探
动
点
变式：连接PC ，将∆PQC 沿着AC 翻折得到∆P'QC ，
当t = 时，四边形PQP'C 是菱形.
B
P
A Q C
【方法点拨】P'
B
根据图形信息，结合菱形性质，P
须作辅助线（连接 PP'交 QC 于
点O)，构造相似关系或平行线
A Q O C
所截线段成比例关系解题。
P
学生独立思考
为优生搭建平台，提供
展示的机会，获取战胜
难题的信心。
注意方法
多样化和最优化，关注
不同的思维方式；找准
解题的突破口。
在前 7 题的基础上进行
变式，由三角形问题拓展
到四边形问题。
后，与同学分享
解题方法。
若有
难度，可进行小
组合学共同解
决。
感
悟
与
收
获
1.动点问题的解题步骤：
引导学生畅所欲言，
总结归纳数学知识、解决
问题的步骤、方法和数学
思想。
总结动点问
题如何审题、如
何解决，应用到
哪些知识，与哪
些知识相联系
等，与同学们一
起分享。
及时将知识和方法
纳入系统。
（1）研究基本图形；
（2）研究起点、终点和状态转折点，确定时间范围，
明确关键词，找出相关的线段，并能用速度和时间表
达出来；
（3）结合运动过程中产生的特殊图形的几何特征及
基本图形的几何特征建模，找出等量关系解题。
2.分享你的收获：
疑惑之处：
已知：如图①，在□ ABCD 中，AB = 3 cm，BC = 5 cm，AC ⊥AB .∆ACD 沿AC 的方向匀速平移得到∆PNM ，速度为1cm/s；同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为1cm/s，当∆PNM 停止平移时，点Q 也停止运动.如图②，设运动时间为（t ）s（0 <t < 4 ），解答下列问题：
（1）当t 为何值时，PQ ∥MN ？
（2）设∆QMC的面积为y （cm2），求y 与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t ，使S
∆QMC : S
四边形ABQP
=1: 4 ？
若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；
是否存在某一时刻t ，使PQ ⊥MQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.。