全等三角形几种常见辅助线精典题型

全等三角形几种常见辅助

线精典题型

This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

全等三角形几种常见辅助线精典题型

一、截长补短

1、已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．

2、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意

一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系 3、如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠

AMD =75°，∠BMC =45°，求AB 的长。

4、已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .

5、以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结

CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．

6、如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．

7、如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，D 是底边BC 上的一点，E 是线段AD 上的一点，且2BED CED BAC ∠=∠=∠，求证2BD CD =.

8、五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠

AED =180°，求证：AD 平分∠CDE

二、全等与角度

N

E

B M A

D

D

O E

C

B

A

M

D

C

B

A

N

M

D

C

B

A

E

D C

B

A

C

E

D

B

A

1、如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.

2、如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.

3、 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使

DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.

4、如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒

∠=∠=，M 为ABC ∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.

5、如图：在ABC ∆内取一点M ，使得MBA ∠=30，10MAB ∠=.设80ACB ∠=，AC BC =，求AMC ∠.

6、如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系如是正五边形，正六边形呢

参考答案：一、截长补短

1、BE CD BC +=，

理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ，

利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆，∴12∠=∠，

∵60A ∠=︒，∴1901202

BOC A ∠=+∠=，∴120DOE ∠=，

∴180A DOE ∠+∠=，∴180AEO ADO ∠+∠=，∴13180∠+∠=，

N

M

C

B

A

4

321

F

D O

E C

B

A

∵24180∠+∠=，∴12∠=∠，∴34∠=∠，

利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+．

2、DM MN =.

过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =

又∵120ADM DMA +∠=∠，120DMA NMB +=∠∠

∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==∠∠，

∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．

3、过点D 作BC 的垂线，垂足为E .

∵∠AMD =75°，∠BMC =45° ∴∠DMC =60°

∵DM =CM ∴CD =DM

∵AD ⊥AB ，DE ⊥BC ，CB ⊥AB ，∠AMD =75°

∴∠ADM =∠EDC ∴△ADM ≌△CDE ∴AD =DE

故ABED 为正方形，AB =AD =h ，选D .

4、延长CB 至M ，使得BM =DF ，连接AM .

E M

D

C

B

A

M F E

D

C

B A

∵AB =AD ，AD ⊥CD ，AB ⊥BM ，BM =DF ∴△ABM ≌△ADF

∴∠AFD =∠AMB ，∠DAF =∠BAM ∵AB ∥CD

∴∠AFD =∠BAF =∠EAF +∠BAE =∠BAE +∠BAM =∠EAM

∴∠AMB =∠EAM ∴AE =EM =BE +BM =BE +DF .

5、因为ABD ∆、ACE ∆是等边三角形，所以AB AD =，AE AC =，CAE ∠=60BAD ∠=，

则BAE DAC ∠=∠，所以BAE DAC ∆∆≌， 则有ABE ADC ∠=∠，AEB ACD ∠=∠，BE DC =．

在DC 上截取DF BO =，连结AF ，容易证得ADF ABO ∆∆≌，ACF AEO ∆∆≌． 进而由AF AO =．得AFO AOF ∠=∠；

由AOE AFO ∠=∠可得AOF ∠=AOE ∠，即OA 平分DOE ∠． 6、如图所示，延长AC 到E 使CE BM =.

在BDM ∆与CDE ∆中，因为BD CD =，90MBD ECD ∠=∠=，BM CE =， 所以BDM CDE ∆∆≌，故MD ED =.

E

A

B

C D

M N