江苏省南京市、盐城市2015届高三第二次模拟考试数学试题
南京、盐城2015届高考第二次模拟考试物理试卷参考答案及评分标准
南京、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试物理学科参考答案及评分标准二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共计16分。
每小题有多个选项符合题意，全部选对的得4三、简答题：本题分必做题（第10、11题）和选做题（第12题）两部分，共计42分.请将解答填写在答题卡相应的位置. 10．（8分）（1）如图（2分）有错不得分（2）m 1010200R U U U R -=（2分）（3）)1(-=k kaE （2分） )1(0-=k R r （2分）11．（10分）（1）点迹均匀（点迹间距都相同） （2分） 匀速运动 （2分） （2）C （2分）（3） 5.50（2分） 写5.5不得分 2.40 （2分） 12A （12分）（1） D （4分） (2)32, （2分） 吸 （2分） （3）设空气摩尔数为n ，则0Vn V =, （1分） 设气体分子数为N ,则A N nN = （1分） 代入计算得：N=3×1027个 （2分） 12B （12分）（1）B （4分） （2）光路如图 （2分） 等于 （2分）（3）设周期为T ，振幅为A .由题图得，A cm 5= （2分）由于振动的周期就是记录纸从O 至x=1m 运动的时间， 所以，周期为 s 1.0==vxT （1分） 频率为Hz 10=f （1分）12．C （12分）（1） B （4分） （2） -19103.2⨯ （2分） -19104.8⨯ （2分）（3） 以初速度为正方向，箭体与卫星为研究对象，由动量守恒定律有 2211021)(v m v m v m m +=+ （2分） 解得)(201201v v m m v v -+= （2分） 四、计算题： 本题共3小题，共计47分。
解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。
只写出最后答案的不能得分。
有数值计算的， 答案中必须明确写出数值和单位。
13. 解：（1）根据灯泡功率R I P 2= - ----------- -------------------------（1分）得：I=3A - - ----------- -------------------------（2分） （2）由法拉第电磁感应定律有tE ∆∆Φ=----------------------------（1分） 又 BLd =∆Φ --------------------------------------------（1分） )(r R I E += ------------------------------------------（1分） t I q ∆= ------------------------------------------------（1分）解得 rR q +∆Φ=-------------------------------------------- （1分） 4.5q C = --- - ----------- ---------------------------- -（1分）（3）ma BIL mg F =--θsin - ------------------------------（2分） 22v ad = ----- --------- ------ ----------------------（1分）BLv E = - - ----------- -------------------------（1分）解得N 2=F ----- --------- -------- ----------------------（2分）14. （16分）（1）由题意画出粒子运动轨迹如图（甲）所示，设PQ 1与x 轴正方向夹角为θ，粒子在磁场中做圆周运动的半径大小为R 1由几何关系得：1cos R L θ=-----（2分）其中：cos θ=粒子磁场中做匀速圆周运动211v qvB m R =---（1分）解得：12v m= ---------（2分）图（甲）（2）由题意画出粒子运动轨迹如图（乙）所示，设其与x 轴交点为C ，由几何关系得：R 2=4L ---（2分） 设C 点横坐标为x C ，由几何有关系得：x C =12L ---（2分）则C 点坐标为： （12L ，0）--------（1分） （3）由题意画出粒子运动轨迹如图（丙）所示，设PQ 1与x 轴正方向夹角为θ，粒子在磁场中做圆周运动的半径大小为R 3,偏转一次后在y 负方向偏移量为∆y 1,由几何关系得：132cos y R θ∆=，--------（1分）为保证粒子最终能回到P ，粒子与挡板碰撞后，速度方向应与PQ 1连线平行，每碰撞一次，粒子进出磁场在y 轴上这段距离2y ∆（如图中A 、E 间距）可由题给条件，有θtan 3/2/2=∆L y 得32Ly =∆ ------- （1分） 当粒子只碰二次，其几何条件是12322y y L ∆-∆= --（2分）解得：3R L =-------- （1分） 粒子磁场中做匀速圆周运动：23v qvB m R =解得：v =-------- （1分） 本题有其它解法，正确的对照评分标准给分。
2025届江苏省盐城市示范名校高三第二次模拟考试数学试卷含解析
2025届江苏省盐城市示范名校高三第二次模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁2．若实数x 、y 满足21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．323．若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（ ）A ．27B ．33C ．39D ．444．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-5．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位结论中错误的是（ ）A ．11//FM AC ，B ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D C ．BM ⊥平面1CC F D ．三棱锥B CEF -的体积为定值7．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：141 432 341 342 234 142 243 331 112 322342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ）A ．14B ．15C ．25D ．35852，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ）A ．53B ．53C ．3D ．49．如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是（ ）A ．63B ．34C ．12D ．3210．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ）A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞） 11．函数()256f x x x =-+的定义域为（ ）A ．{2x x ≤或}3x ≥B ．{3x x ≤-或}2x ≥-C ．{}23x x ≤≤D ．{}32x x -≤≤- 12． “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是( )A ．这五年，出口总额之和．．．．比进口总额之和．．．．大 B ．这五年，2015年出口额最少C ．这五年，2019年进口增速最快D ．这五年，出口增速前四年逐年下降13．数列{}n a 满足*1232321()n n a a na N a n ++++=-∈，则，n a =_____.若存在n ∈N *使得1n n a nλ+≤⋅成立，则实数λ的最小值为______ 14．在ABC ∆中，已知23AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，则cos C 的最小值是________．15．在ABC ∆中， CA 0CB ⋅= ，BC 2BA ⋅=，则BC =_________.16．如图，已知扇形AOB 的半径为1，面积为3π，则OA AB ⋅=_____.三、解答题：共70分。
江苏省南京市、盐城市2017届高三第二次模拟考试 数学 Word版含答案
江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学2017.3一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 函数()1ln1f x x=-的定义域为 . 2. 若复数z 满足()12z i i -=（i 是虚数单位），z 是z 的共轭复数，则z z ⋅= .3.某校有三个兴趣小组，甲乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲乙不在同一个兴趣小组的概率为 .4.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：现要从所有参加调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”中抽取8人，则n 的值为 . 5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为 .6.记公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1421,50a S S =-=，则5S 的值为 .7.将函数()sin f x x =的图象向右平移3π个单位后得到函数()y g x =的图象，则函数()()y f x g x =+的最大值是 .8.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线26y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上的一点，,PA l ⊥A 为垂足，若直线AF 的斜率为k =PF 的长为 .9.若3sin ,0,652ππαα⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos α的值为 .10.,αβ是两个不同的平面，,m n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是 .（填上所有正确的序号）①若//,m αβα⊂，则//m β； ②若//,m n αα⊂，则//m n ； ③若,,n m n αβαβ⊥=⊥，则m β⊥；④若,,m n m αβα⊥⊥⊥，则m β⊥11.在平面直角坐标系xoy 中，直线1:20l kx y -+=与直线2:20l x ky +-=相交于点P ，则当k 实数变化时，点P 到直线40x y --=的距离的最大值为 . 12.若函数()22cos 38f x x m x m m =-++-有唯一的零点，则满足条件的实数m 的所有的集合为 .13.已知平面向量()()1,2,2,2AC BD ==-，则AB CD ⋅的最小值为 .14.已知函数()()ln f x x e a x b =+--，其中e 为自然对数的底数，若不等式()0f x ≤恒成立，则ba的最小值为 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.（本题满分14分）如图，在ABC ∆中，D 为边BC 上一点，6,3, 2.AD BD DC ===（1）若AD BC ⊥，求BAC ∠的大小； （2）若4ABC π∠=，求ADC ∆的面积.16.（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面,.PAB AP AB ⊥ （1）求证：CD AP ⊥；（2）若CD PD ⊥，求证：//CD 平面PAB .17.（本题满分14分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD,然后再矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）.设小正方形的边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB,BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a b ≥.（1）当90a =时，求纸盒的侧面积的最大值；（2）试确定,,a b x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值.18.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，焦点在x 轴上的椭圆222:18x y C b+=经过点(),2b c ，其中e 为椭圆C 的离心率，过点()1,0T 作斜率为()0k k >的直线交椭圆C 于A,B 两点（A 在x 轴下方）.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M,N ，求2AT BTMN ⋅的值； （3）记直线l 与y 轴的交点为P,若25AP TB =，求直线l 的斜率k .19.（本题满分16分）已知函数()1x f x e ax =--，其中e 为自然对数的底数，a R ∈. （1）若a e =，函数()()2g x e x =-.①求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；②若函数()()(),,f x x mF x g x x m≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域为R,求实数m 的取值范围；（2）若存在实数[]12,0,2x x ∈，使得()()12f x f x =，且121x x -≥，求证：212e a e -≤≤-.20.（本题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}{},n n b c 满足()()1211,22n n n n n n n S a a Sn b a n c n n+++++=-+=-，其中.n N *∈ （1）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求数列{}n c 的通项公式； （2）若存在实数λ，使得对一切n N *∈，有n n b c λ≤≤，求证：数列{}n a 是等差数列.江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟考试数学附加卷21.【选做题】在A,B,C,D 四个小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题纸的指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆的顶点A,C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M. （1）若BC 是圆O 的切线，且AB=8，BC=4，求线段AM 的长； （2）若线段BC 与圆O 交于另一点N,且AB=2AC,求证：BN=2MN.B.选修4-2：矩阵与变换设,a b R ∈，若直线:70l ax y +-=在矩阵301A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变化作用下，得到的直线为:9910l x y '+-=，求实数,a b 的值. C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线315:45x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），与曲线24:4x k C y k ⎧=⎨=⎩（k为参数）交于A,B 两点，求线段AB 的长.D.选修4-5：不等式选讲设a b ≠，求证：()42242264a a b b ab a b ++>+.【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，12,,,3A A AB ABC E F π==∠=分别是1,BC A C 的中点.（1）求异面直线,EF AD 所成角的余弦值；（2）点M 在线段1A D 上，11A MA Dλ=,若//CM 平面AEF ，求实数λ的值.23.（本小题满分10分） 现有()()12,2n n n n N *+≥∈个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：设k M 是第k 行中的最大数，其中1,k n k N *≤≤∈，记12n M M M <<<的概率为n p（1）求2p 的值；（2）证明：()21.1!n n C p n +>+。
江苏省南京市、盐城市2022年高三年级第二次模拟考试数学试题-含答案
南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数学注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I卷（选择题共60分）一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x2－4x＋3≤0}，则A∪B＝A．[1，3]B．(2，3]C．[1，＋∞)D．(2，＋∞)2．若(2＋i)z＝i，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a，b为单位向量．若|a－2b|＝5，则|a＋2b|＝A．3B．5C．7D．54．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°~90°之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．下表为部分锐角的正弦值，则tan1600°的值为(小数点后保留2位有效数字)A．－0.42B．－0.36C．0.36D．0.425．已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上．若该圆锥的底面半径为23，高为6，则球O的表面积为A．32π B．48π C．64π D．80π6．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝λkk!e－λ(k＝0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ（λ＞0）的泊松分布．若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为A．2e4B．4e4C．6e4D．8e47．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b＞0)的左焦点为F ，右顶点为A，上顶点为B，过点F与x轴垂直的直线与直线AB交于点P．若线段OP的中点在椭圆C上，则椭圆C的离心率为A．7－12B．7－13C．5－12D．5－138．已知实数a，b∈(1，＋∞)，且2(a＋b)＝e2a＋2ln b＋1，e为自然对数的底数，则A．1＜b＜a B．a＜b＜2a C．2a＜b＜e a D．e a＜b＜e2a二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高．“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力．2017年~2021年某市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示．根据下面图表，下列说法一定正确的是A．该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民B．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大C．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大D．2021年该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是A．若O为线段PQ中点，则PF＝2B．若PF＝4，则OP＝25C．存在直线l，使得PF⊥QF D．△PFQ面积的最小值为2(第9题图)11．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋π3)，ω＞0，下列说法正确的是A ．当ω＝2时，f (x )的图象关于直线x ＝π12对称B ．当ω＝12时，f (x )在[0，π2]上是增函数C ．若f (x )在[0，π]上的最小值为－2，则ω的取值范围为ω≥76D ．若f (x )在[－π，0]上恰有2个零点，则ω的取值范围为ω≥4312．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝2．若点E ，F ，G分别为棱AB ，AD ，PC 的中点，则 A ．AG ⊥平面PBDB ．直线FG 和直线AB 所成的角为π4C ．当点T 在平面PBD 内，且TA ＋TG =2时，点T 的轨迹为一个椭圆 D ．过点E ，F ，G 的平面与四棱锥P －ABCD 表面交线的周长为22＋ 6第II 卷(非选择题 共90分)三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝lg(a ＋2b )，则ab 的最小值为______．14．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为______．（用数字作答）15．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足 f (1－x ) ＋ f (1＋x )＝2，当x ∈ [0，1]时，f (x )＝2x －x 2．若f (x ) ≥x ＋b 对一切x ∈R 恒成立，则实数b 的最大值为______．16．某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径．如图，将三个半径为20cm 的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左、右两个小球与中间小球相切．利用“十”字尺测得小球的高度差h 为8cm ，则圆弧的半径为______cm ．h(第16题图)四､解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在平面四边形ABCD 中，已知∠ABC ＝2π3，∠ADC ＝π6，AC 平分∠BAD ．（1）若∠BAD ＝π3，AC ＝2，求四边形ABCD 的面积；（2）若CD ＝23AB ，求tan ∠BAC 的值．18．(本小题满分12分)已知数列{a n }，当n ∈[2k －1，2k )时，a n ＝2k ， k ∈N *．记数列{a n }的前n 项和为S n ． （1）求a 2，a 20；（2）求使得S n ＜2022成立的正整数n 的最大值．如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，△P AB 是边长为2的等边三角形，PD ⊥AB ，PD ＝6．（1）求证：平面P AB ⊥平面ABCD ；（2）求平面P AB 和平面PCD 所成锐二面角的大小．20．(本小题满分12分)最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为p (0＜p ＜1)．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次．记X 为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为a (a ＞0)元． （1）①写出X 的分布列；②证明：E (X )＜1p；（2）某公司意向投资该产品．若p ＝0.25，且试验成功则获利5a 元，则该公司如何决策投资，并说明理由.A CDBP(第19题图)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0) 经过点(3，1)，且渐近线方程为y＝±x．（1）求a，b的值；（2）点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点O．求证：直线AB与圆x2＋y2＝1相切．22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝a e x＋sin x－3x－2，e为自然对数的底数，a∈R．（1）若a≤0，求证：函数f(x)有唯一的零点；（2）若函数f(x)有唯一的零点，求a的取值范围．数学参考答案一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．C2．A3．B4．B5．C6．D7．A8．D二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．BCD10．AD11．AC12．ABD三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．814．14415．－1416．120四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)解：（1）因为∠BAD ＝π3，AC 平分∠BAD ，所以∠BAC ＝∠CAD ＝π6．在△ABC 中，因为∠ABC ＝2π3，所以∠ACB ＝π6，在△ACD 中，因为∠ADC ＝∠CAD ＝π6，所以CA ＝CD ＝2，所以ACD ＝3，所以S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝（2）因为AC 平分∠BAD ，所以∠BAC ＝∠CAD ，在△ 在△ ·················· 6分 又因为CD ＝23AB ，所以2sin ∠ACB ＝sin ∠CAD ．设∠BAC ＝θ，则sin θ＝2sin(π3－θ)， ·········································································· 8分所以sin θ＝2×(32cos θ－12sin θ)，即2sin θ＝3cos θ．EA A C CDDBBPP(第19题图)因为θ∈(0，π3)，所以cos θ≠0，所以tan θ＝32，即tan ∠BAC ＝32． ··········································································· 10分18．(本题满分12分)解：（1）因为2∈[21，22)，所以a 2＝22＝4， ··································································· 2分因为20∈[24，25)，所以a 20＝25＝32． ····································································· 4分 （2）a n ＝2k 的项数为2k －2k －1＝2k －1． ········································································ 6分 又因为20＋21＋22＋…＋2k －1＝2k －1，所以数列{a n }的前2k －1项和为 S 2k －1＝21×20＋22×21＋23×22＋…＋2k ×2k －1＝21＋23＋25＋…＋22k －1＝23(4k －1)． ··································································································· 8分 当k ＝5时，S 31＝23(45－1)＝682＜2022，S 51＝S 31＋26×20＝682＋1280＝1962＜2022， ···························································· 10分 S 52＝S 51＋26＝1962＋64＝2026＞2022． 又因为S n ＋1＞S n ，所以使得S n ＜2022成立的正整数n 的最大值为51． ··················································· 12分19．(本题满分12分)解：（1）取AB 中点E ，连接PE ，DE ．因为△P AB 是边长为2的等边三角形，所以AB ⊥PE ，PE ＝3，AE ＝1． 又因为PD ⊥AB ，PD ∩PE ＝P ，PD ，PE ⊂平面PDE ， 所以AB ⊥平面PDE ． ··························································································· 2分 因为DE ⊂面PDE ，所以AB ⊥DE ．在Rt △AED 中，AD ＝2，AE ＝1，所以DE ＝3．在△PDE 中，PD ＝6，DE ＝3，PE ＝3，所以PE 2＋DE 2＝PD 2，所以DE ⊥PE ． ·········· 4分 又因为AB ∩PE ＝E ，AB ，PE ⊂平面P AB ， 所以DE ⊥平面P AB ． 又因为DE ⊂平面ABCD ，所以平面P AB ⊥平面ABCD ．·················································································· 6分(第19题图) yxz P ADECB （2）由（1）知，以{EA →，EP →，ED →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系E －xyz ， 则E (0，0，0)，D (0，0，3)，C (－2，0，3)，P (0，3，0)．则DC →＝(－2，0，0)，PD →＝(0，－3，3)． ·············································· 8分 设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝0， n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧－2x ＝0，－3y ＋3z ＝0．取x ＝0，y ＝1，z ＝1．所以n ＝(0，1，1)是平面PCD 的一个法向量．……………10分 因为DE ⊥平面P AB ，所以ED →＝(0，0，3)为平面P AB 的一个法向量． 所以cos ＜n ，ED →＞＝n ·ED →│n ││ED →│＝22，所以平面P AB 和平面PCD 所成锐二面角的大小为π4． ················································· 12分20．(本题满分12分)解：（1）①当1≤X ≤9时，P (X ＝i )＝(1－p )i －1p ，i ＝1，2， (9)当X ＝10时，P (X ＝10)＝(1－p )9．所以P (X ＝i )＝⎩⎨⎧(1－p )i －1p ，i ＝1，2， (9)(1－p )9 ，i ＝10．··························································· 4分②E (X )＝∑9i ＝1i (1－p )i －1p ＋10(1－p )9＝p ∑9i ＝1i (1－p )i －1＋10(1－p )9．令S ＝∑9i ＝1i (1－p )i －1，则E (X )＝pS ＋10(1－p )9．则S ＝1＋2(1－p )＋3(1－p )2＋…＋8(1－p )7＋9(1－p )8，(1－p )S ＝(1－p )＋2(1－p )2＋…＋7(1－p )7＋8(1－p )8＋9(1－p )9，两式相减，得pS ＝1＋(1－p )＋(1－p )2＋…＋(1－p )7＋(1－p )8－9(1－p )9 ··························· 6分＝1－(1－p )9p－9(1－p )9，所以E (X )＝1－(1－p )9p ＋(1－p )9＝1p [1－(1－p )10]．因为0＜p ＜1，所以0＜1－(1－p )10＜1，所以E (X )＜1p ． ···································································································· 9分（2）当p ＝0.25时，由（1）得E (X )＜4， 则a ×E (X ) ＜4a ＜5a ，即试验结束后的平均成本小于试验成功的获利，所以该公司可以考虑投资该产品． ··························································· 12分21．(本题满分12分)解：（1）因为双曲线C 渐近线方程为y ＝±x ，所以b a＝1．又因为双曲线C 经过点(3，1)，所以3a 2－1b 2＝1． ················································· 2分解得a ＝b ＝2． ···························································································· 4分 （2）方法1当AB 斜率不存在时，由双曲线对称性知AD 经过原点，此时与题意不符．设AB 方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点E (x 3，y 3)，则D (－x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ， x 22－y 22＝1，消去x ，得 (1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝－m 2＋21－k 2， ······································································· 6分则x 3＝x 1＋x 22＝km 1－k 2，y 3＝kx 3＋m ＝m 1－k 2，则AB 的中垂线方程为y －m 1－k 2＝－1k (x －km1－k 2)， 当x ＝0时，y ＝2m1－k 2．因为B ，D 两点关于y 轴对称，则△ABD 的外接圆圆心在y 轴上，记圆心为点F ，则F (0，2m1－k 2)． ············································································· 8分因为△ABD 的外接圆经过原点，则OF ＝F A ，即|2m1－k 2|＝x 12＋(y 1－2m 1－k 2)2．又因为x 122－y 122＝1，所以y 12－2m 1－k 2 y 1＋1＝0．同理，由OF ＝FB ，得y 22－2m1－k 2 y 2＋1＝0， 所以y 1，y 2是方程y 2－2m1－k 2y ＋1＝0的两个根，所以y 1y 2＝1． ····································· 10分则(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝1，即k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝1，所以k 2×(－m 2＋21－k 2)＋km ×2km1－k2＋m 2＝1， 化简得k 2＋1＝m 2，所以原点O 到直线AB 距离d ＝|m |k 2＋1＝1， 所以直线AB 与圆x 2＋y 2＝1相切． ········································································· 12分 方法2设直线AB 方程为x ＝my ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则D (－x 2，y 2)．又因为B ，D 两点关于y 轴对称，则△ABD 的外接圆的圆心在y 轴上，设为P (0，t )，则P A ＝PB ，即x 12＋(y 1－t )2＝x 22＋(y 2－t )2．由x 122－y 122＝1，x 222－y 222＝1，化简得t ＝y 1＋y 2． ·························································· 6分 因为△ABD 的外接圆经过原点O ，所以P A ＝PO ＝|t |，即x 12＋[y 1－(y 1＋y 2)]2＝|y 1＋y 2|， 化简得y 1y 2＝1． ·································································································· 8分联立直线AB 及双曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 22－y 22＝1，消去x ，得 (m 2－1)y 2＋2mny ＋n 2－2＝0， 所以y 1y 2＝n 2－2m 2－1． ··············································································· 10分 又因为y 1y 2＝1，所以n 2－2m 2－1＝1，即m 2＋1＝n 2， 所以原点O 到直线AB 距离d ＝|n |m 2＋1＝1， 所以直线AB 与圆x 2＋y 2＝1相切． ········································································· 12分22．(本题满分12分)解：（1）由f (x )＝a e x ＋sin x －3x －2，得f'(x )＝a e x ＋cos x －3．因为a ≤0，所以f'(x )＝a e x ＋cos x －3≤cos x －3＜0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减． ······ 2分 又因为f (0)＝a －2＜0，f (a －2)＝a e a －2＋sin(a －2)－3a ＋4＞a (e a －2－3)≥0，因此f (x )有唯一的零点． ························································································ 4分（2）由（1）知，a ≤0符合题意．（i ）当a ＝2时，由f (x )＝2e x ＋sin x －3x －2，得f'(x )＝2e x ＋cos x －3．当x ＜0时，f'(x )≤2e x －2＜0，所以f (x )单调递减； ······················································ 6分 当x ＞0时，f''(x )＝2e x －sin x ≥2e x －1＞0，所以f'(x )在(0，＋∞)上单调递增，从而，当x ＞0时，f'(x )＞f'(0)＝0，所以f (x )单调递增，于是f (x )≥f (0)＝0，当且仅当x ＝0时取等号，故此时f (x )有唯一的零点x ＝0． ·············································································· 8分 （ii ）当a ＞2时，f (x )＞2e x ＋sin x －3x －2≥0，此时f (x )无零点； ···································· 9分 （iii ）当0＜a ＜2时，首先证明：当x ≥0时，e x ＞x 22． 设g (x )＝e x－x 22，x ≥0，则g'(x )＝e x －x ，g''(x )＝e x －1≥0，所以g'(x )在[0，＋∞)上单调递增，故g'(x )≥g'(0)＝1＞0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增，因此g (x )≥g (0)＝1＞0，即当x ≥0时，e x＞x 22． ························································· 10分 当x ＞0时，f (x )≥a e x －3x －3＞a 2x 2－3x －3， 令a 2x 2－3x －3＝0，得x ＝3±9＋6a a． 取x 0＝3＋9＋6a a＞0，则f (x 0)＞0． 又f (0)＝a －2＜0，f (－1)＝a e －1＋1－sin1＞0，因此，当0＜a ＜2时，f (x )至少有两个零点，不合题意．综上，a ＝2或a ≤0． ··························································································· 12分。
南京市、盐城市2022届高三第二次模拟考试数学试题 - 含参考答案
南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数学注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I卷（选择题共60分）一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x2－4x＋3≤0}，则A∪B＝() A．[1，3]B．(2，3]C．[1，＋∞)D．(2，＋∞) 2．若(2＋i)z＝i，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a，b为单位向量．若|a－2b|＝5，则|a＋2b|＝()A．3B．5C．7D．54．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°~90°之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．下表为部分锐角的正弦值，则tan1600°的值为(小数点后保留2位有效数字)()α10°20°30°40°50°60°70°80°sinα0.17360.34200.50000.64270.76600.86600.93970.9848 A．－0.42B．－0.36C．0.36D．0.425．已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上．若该圆锥的底面半径为23，高为6，则球O的表面积为()A．32πB．48πC．64πD．80π6．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝λkk!e－λ(k＝0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ（λ﹥0）的泊松分布．若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为()A．2e4B．4e4C．6e4D．8e47．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，过点F与x轴垂直的直线与直线AB交于点P．若线段OP的中点在椭圆C上，则椭圆C的离心率为()A．7－12B．7－13C．5－12D．5－138．已知实数a，b∈(1，＋∞)，且2(a＋b)＝e2a＋2ln b＋1，e为自然对数的底数，则() A．1＜b＜a B．a＜b＜2a C．2a＜b＜e a D．e a＜b＜e2a 二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高．“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力．2017年~2021年某市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示．根据下面图表，下列说法一定正确的是()A．该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民B．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大C．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大D．2021年该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升(第9题图)10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是()A．若O为线段PQ中点，则PF＝2B．若PF＝4，则OP＝25C．存在直线l，使得PF⊥QF D．△PFQ面积的最小值为211．设函数f(x)＝2sin(ωx＋π3)，ω＞0，下列说法正确的是()A．当ω＝2时，f(x)的图象关于直线x＝π12对称B ．当ω＝12时，f (x )在[0，π2]上是增函数C ．若f (x )在[0，π]上的最小值为－2，则ω的取值范围为ω≥76D ．若f (x )在[－π，0]上恰有2个零点，则ω的取值范围为ω≥4312．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝2．若点E ，F ，G 分别为棱AB ，AD ，PC 的中点，则()A ．AG ⊥平面PBDB ．直线FG 和直线AB 所成的角为π4C ．当点T 在平面PBD 内，且TA ＋TG =2时，点T 的轨迹为一个椭圆D ．过点E ，F ，G 的平面与四棱锥P －ABCD 表面交线的周长为22＋6第II 卷(非选择题共90分)三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝lg(a ＋2b )，则ab 的最小值为______．14．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为______．（用数字作答）15．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (1－x )＋f (1＋x )＝2，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x －x 2．若f (x )≥x ＋b 对一切x ∈R 恒成立，则实数b 的最大值为______．16．某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径．如图，将三个半径为20cm的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左、右两个小球与中间小球相切．利用“十”字尺测得小球的高度差h 为8cm ，则圆弧的半径为______cm ．h(第16题图)四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在平面四边形ABCD 中，已知∠ABC ＝2π3，∠ADC ＝π6，AC 平分∠BAD ．(1)若∠BAD＝π3，AC＝2，求四边形ABCD的面积；(2)若CD＝23AB，求tan∠BAC的值．18．(本小题满分12分)已知数列{a n}，当n∈[2k－1，2k)时，a n＝2k，k∈N*．记数列{a n}的前n项和为S n．(1)求a2，a20；(2)求使得S n＜2022成立的正整数n的最大值．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，△PAB 是边长为2的等边三角形，PD ⊥AB ，PD ＝6．(1)求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；(2)求平面PAB 和平面PCD 所成锐二面角的大小．20．(本小题满分12分)最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为p (0＜p ＜1)．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次．记X 为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为a (a ＞0)元．(1)①写出X 的分布列；②证明：E (X )＜1p；(2)某公司意向投资该产品．若p ＝0.25，且试验成功则获利5a 元，则该公司如何决策投资，并说明理由．A CDBP(第19题图)21．(本小题满分12分)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)经过点(3，1)，且渐近线方程为y＝±x．(1)求a，b的值；(2)点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点O．求证：直线AB与圆x2＋y2＝1相切．22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝a e x＋sin x－3x－2，e为自然对数的底数，a∈R．(1)若a≤0，求证：函数f(x)有唯一的零点；(2)若函数f(x)有唯一的零点，求a的取值范围．南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数学参考答案一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．C 2．A3．答案：B解析：因为|a －2b |＝5，所以(a －2b )2＝a 2＋4b 2－4a.b ＝5，而a ，b 为单位向量，所以1＋4－4a.b ＝5，即a.b ＝0，所以(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2＋4a.b ＝5，即|a ＋2b |＝5．故选B ．4．答案：B解析：由已知tan1600°＝tan160°＝－tan20°＝－sin20°cos70°＝－0.34200.9397≈－0.36．故选B 5．答案：C解析：如图所示，圆锥的底面半径AO ′＝23，PO ′＝6，由射影定理，得AO ′2＝PO ′.QO ′，代入，解得QO ′＝2，所以2R ＝8，R ＝4，所以S 表面积＝64π．故选C ．6．答案：D解析：由泊松分布的概率分布列，得P (X ＝1)＝P (X ＝2)，所以λe λ＝λ22eλ，解得λ＝2，所以P (X ＝k )＝2k k !e －2，记“两周共销售2件该商品”为事件A ，则P (A)＝2P (X ＝0).P (X ＝2)＋P (X ＝1).P (X ＝1)＝8e4．故选D ．7．答案：A解析：直线AB 的方程为：x a ＋yb ＝1，令x ＝－c ，则y ＝(a ＋c)b 2a ，所以P (－c ，(a ＋c)b 2a )，所以OP 的中点M (－c 2，(a ＋c)b 4a )，将M 点代入椭圆方程，得c 24a 2＋(a ＋c )24a 2＝1，解得e ＝7－12．故选A ．y xOBAPM F8．答案：D解析：因为2(a ＋b )＝e 2a ＋2ln b ＋1，所以e 2a －2a －1＝2(b －ln b －1)＝2(e ln b －ln b －1)，易知函数f (x )＝e x －x －1在(0，＋∞)上单调递增，且f (0)＝0，所以f (2a )＝2f (lnb )﹥f (lnb )，所以2a ﹥lnb ，即b ﹤e 2a ，又e 2a －2a －1﹥2(e a －a －1)，所以f (2a )＝2f (lnb )﹥f (a )，所以a ﹤lnb ，即b ﹥e a ，综上，e a ＜b ＜e 2a ．故选D ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．答案：BCD解析：对于A 选项，该统计图反映了农村居民人均增长率高于城镇居民人均增长率，未反映出可支配收入高，A 错误；对于B 选项，可得出城镇居民相关数据极差较大，B 正确；对于C 选项，可知农村居民相关数据中位数较大，C 正确；对于D 选项，可知增长率为正，D 正确，综上选择BCD ．10．答案：AD解析：11．答案：AC解析：12．答案：ABD 解析：三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．814．14415．－1416．120四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)解：（1）因为∠BAD ＝π3，AC 平分∠BAD ，所以∠BAC ＝∠CAD ＝π6．在△ABC 中，因为∠ABC ＝2π3，所以∠ACB ＝π6，又因为AC ＝2，由AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB，得AB ＝233，·······················································2分所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝33．在△ACD 中，因为∠ADC ＝∠CAD ＝π6，所以CA ＝CD ＝2，所以S △ACD ＝12CA ·CD sin ∠ACD ＝3，所以S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝433．···············································································4分（2）因为AC 平分∠BAD ，所以∠BAC ＝∠CAD ，在△ACD 中，由∠ADC ＝π6，AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD，得AC ＝12·CD sin ∠CAD ．①在△ABC 中，由∠ABC ＝2π3，AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB，得AC ＝32·AB sin ∠ACB ．②···················6分由①②得CDsin ∠CAD ＝3AB sin ∠ACB．又因为CD ＝23AB ，所以2sin ∠ACB ＝sin ∠CAD ．设∠BAC ＝θ，则sin θ＝2sin(π3－θ)，···········································································8分所以sin θ＝2×(32cos θ－12sin θ)，即2sin θ＝3cos θ．因为θ∈(0，π3)，所以cos θ≠0，所以tan θ＝32，即tan ∠BAC ＝32．················································································10分18．(本题满分12分)解：（1）因为2∈[21，22)，所以a 2＝22＝4，·····································································2分因为20∈[24，25)，所以a 20＝25＝32．·······································································4分（2）a n ＝2k 的项数为2k －2k －1＝2k －1．·········································································6分又因为20＋21＋22＋…＋2k －1＝2k －1，所以数列{a n }的前2k －1项和为S2k－1＝21×20＋22×21＋23×22＋…＋2k ×2k－1＝21＋23＋25＋ (22)－1＝23(4k －1)．·····································································································8分EA A C CD DBBPP (第19题图)(第19题图)y xz PA DECB当k ＝5时，S 31＝23(45－1)＝682＜2022，S 51＝S 31＋26×20＝682＋1280＝1962＜2022，·····························································10分S 52＝S 51＋26＝1962＋64＝2026＞2022．又因为S n ＋1＞S n ，所以使得S n ＜2022成立的正整数n 的最大值为51．····················································12分19．(本题满分12分)解：（1）取AB 中点E ，连接PE ，DE ．因为△PAB 是边长为2的等边三角形，所以AB ⊥PE ，PE ＝3，AE ＝1．又因为PD ⊥AB ，PD ∩PE ＝P ，PD ，PE ⊂平面PDE ，所以AB ⊥平面PDE ．·····························································································因为DE ⊂面PDE ，所以AB ⊥DE ．在Rt △AED 中，AD ＝2，AE ＝1，所以DE ＝3．在△PDE 中，PD ＝6，DE ＝3，PE ＝3，所以PE 2＋DE 2＝PD 2，所以DE ⊥PE ．···········4分又因为AB ∩PE ＝E ，AB ，PE ⊂平面PAB ，所以DE ⊥平面PAB ．又因为DE ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ．···················································································6分（2）由（1）知，以{EA →，EP →，ED →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系E －xyz ，则E (0，0，0)，D (0，0，3)，C (－2，0，3)，P (0，3，0)．则DC →＝(－2，0，0)，PD →＝(0，－3，3)．···············································8分设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·DC →＝0，·PD →＝0，2x ＝0，－3y ＋3z ＝0．取x ＝0，y ＝1，z ＝1．所以n ＝(0，1，1)是平面PCD 的一个法向量．……………10分因为DE ⊥平面PAB ，所以ED →＝(0，0，3)为平面PAB 的一个法向量．所以cos ＜n ，ED →＞＝n ·ED →│n ││ED →│＝22，所以平面PAB 和平面PCD 所成锐二面角的大小为π4．··················································12分20．(本题满分12分)解：（1）①当1≤X ≤9时，P (X ＝i )＝(1－p )i －1p ，i ＝1，2，…，9．当X ＝10时，P (X ＝10)＝(1－p )9．所以P (X ＝i )－p )i －1p ，i ＝1，2，…，9，－p )9，i ＝10．····························································4分②E (X )＝∑9i ＝1i (1－p )i －1p ＋10(1－p )9＝p ∑9i ＝1i (1－p )i －1＋10(1－p )9．令S ＝∑9i ＝1i (1－p )i －1，则E (X )＝pS ＋10(1－p )9．则S ＝1＋2(1－p )＋3(1－p )2＋…＋8(1－p )7＋9(1－p )8，(1－p )S ＝(1－p )＋2(1－p )2＋…＋7(1－p )7＋8(1－p )8＋9(1－p )9，两式相减，得pS ＝1＋(1－p )＋(1－p )2＋…＋(1－p )7＋(1－p )8－9(1－p )9····························6分＝1－(1－p )9p－9(1－p )9，所以E (X )＝1－(1－p )9p＋(1－p )9＝1p [1－(1－p )10]．因为0＜p ＜1，所以0＜1－(1－p )10＜1，所以E (X )＜1p．······································································································9分（2）当p ＝0.25时，由（1）得E (X )＜4，则a ×E (X )＜4a ＜5a ，即试验结束后的平均成本小于试验成功的获利，所以该公司可以考虑投资该产品．····························································12分21．(本题满分12分)解：（1）因为双曲线C 渐近线方程为y ＝±x ，所以b a＝1．又因为双曲线C 经过点(3，1)，所以3a 2－1b2＝1．··················································2分解得a ＝b ＝2．······························································································4分（2）方法1当AB 斜率不存在时，由双曲线对称性知AD 经过原点，此时与题意不符．设AB 方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点E (x 3，y 3)，则D (－x 2，y 2)．kx ＋m ，－y 22＝1，消去x ，得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝－m 2＋21－k 2，········································································6分则x 3＝x 1＋x 22＝km 1－k 2，y 3＝kx 3＋m ＝m 1－k 2，则AB 的中垂线方程为y －m 1－k 2＝－1k (x －km 1－k 2)，当x ＝0时，y ＝2m 1－k 2．因为B ，D 两点关于y 轴对称，则△ABD 的外接圆圆心在y 轴上，记圆心为点F ，则F (0，2m 1－k 2)．···············································································8分因为△ABD 的外接圆经过原点，则OF ＝FA ，即|2m 1－k 2|＝x 12＋(y 1－2m 1－k 2)2．又因为x 122－y 122＝1，所以y 12－2m 1－k 2y 1＋1＝0．同理，由OF ＝FB ，得y 22－2m 1－k 2y 2＋1＝0，所以y 1，y 2是方程y 2－2m 1－k2y ＋1＝0的两个根，所以y 1y 2＝1．······································10分则(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝1，即k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝1，所以k 2×(－m 2＋21－k 2)＋km ×2km 1－k 2＋m 2＝1，化简得k 2＋1＝m 2，所以原点O 到直线AB 距离d ＝|m |k 2＋1＝1，所以直线AB 与圆x 2＋y 2＝1相切．··········································································12分方法2设直线AB 方程为x ＝my ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则D (－x 2，y 2)．又因为B ，D 两点关于y 轴对称，则△ABD 的外接圆的圆心在y 轴上，设为P (0，t )，则PA ＝PB ，即x 12＋(y 1－t )2＝x 22＋(y 2－t )2．由x 122－y 122＝1，x 222－y 222＝1，化简得t ＝y 1＋y 2．····························································6分因为△ABD 的外接圆经过原点O ，所以PA ＝PO ＝|t |，即x 12＋[y 1－(y 1＋y 2)]2＝|y 1＋y 2|，化简得y 1y 2＝1．····································································································8分联立直线AB my ＋n ，－y 22＝1，消去x ，得(m 2－1)y 2＋2mny ＋n 2－2＝0，所以y 1y 2＝n 2－2m 2－1．················································································10分又因为y 1y 2＝1，所以n 2－2m 2－1＝1，即m 2＋1＝n 2，所以原点O 到直线AB 距离d ＝|n |m 2＋1＝1，所以直线AB 与圆x 2＋y 2＝1相切．··········································································12分22．(本题满分12分)解：（1）由f (x )＝a e x ＋sin x －3x －2，得f'(x )＝a e x ＋cos x －3．因为a ≤0，所以f'(x )＝a e x ＋cos x －3≤cos x －3＜0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减．····················································································································2分又因为f (0)＝a －2＜0，f (a －2)＝a e a －2＋sin(a －2)－3a ＋4＞a (e a －2－3)≥0，因此f (x )有唯一的零点．··························································································4分（2）由（1）知，a ≤0符合题意．（i ）当a ＝2时，由f (x )＝2e x ＋sin x －3x －2，得f'(x )＝2e x ＋cos x －3．当x ＜0时，f'(x )≤2e x －2＜0，所以f (x )单调递减；························································6分当x ＞0时，f''(x )＝2e x －sin x ≥2e x －1＞0，所以f'(x )在(0，＋∞)上单调递增，从而，当x ＞0时，f'(x )＞f'(0)＝0，所以f (x )单调递增，于是f (x )≥f (0)＝0，当且仅当x ＝0时取等号，故此时f (x )有唯一的零点x ＝0．················································································8分（ii ）当a ＞2时，f (x )＞2e x ＋sin x －3x －2≥0，此时f (x )无零点；······································9分（iii ）当0＜a ＜2时，首先证明：当x ≥0时，e x＞x 22．设g (x )＝e x－x 22，x ≥0，则g'(x )＝e x －x ，g''(x )＝e x －1≥0，所以g'(x )在[0，＋∞)上单调递增，故g'(x )≥g'(0)＝1＞0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增，因此g (x )≥g (0)＝1＞0，即当x ≥0时，e x ＞x 22．··························································10分当x ＞0时，f (x )≥a e x －3x －3＞a 2x 2－3x －3，令a 2x 2－3x －3＝0，得x ＝3±9＋6a a．取x 0＝3＋9＋6a a＞0，则f (x 0)＞0．又f (0)＝a －2＜0，f (－1)＝a e －1＋1－sin1＞0，因此，当0＜a ＜2时，f (x )至少有两个零点，不合题意．综上，a ＝2或a ≤0．····························································································12分。
江苏南京市2025届高三第二次调研数学试卷含解析
江苏南京市2025届高三第二次调研数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ） A ．1 5 B ．415 C ．1 3 D ．25 2．已知直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）A ．221520x y -= B ．221205x y -= C ．221169x y -= D ．221916x y -= 3．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+ 4．在等腰直角三角形ABC 中，,222C CA π∠==，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B 间的距离为23，此时四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ）.A ．5πB ．2053πC ．12πD ．20π5．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 6．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（ ）A ．()()(0)f a b f ab f +>>B ．()(0)()f a b f f ab +>>C ．()()(0)f ab f a b f >+>D ．()(0)()f ab f f a b >>+7．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率是3，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的焦距为（ ） A ．3 B ．32 C ．6 D ．628．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（ ）A ．47a =B ．16240S =C ．1019a =D ．20381S =9．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ）A ．120种B ．240种C ．480种D ．600种10．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ）A ．9πB ．29π C ．18π D ．24π 11．若[]0,1x ∈时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为（ ）A ．[]1,1-B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1-12．已知向量(1,4)a =，(2,)b m =-，若||||a b a b +=-，则m =（ ）A ．12-B ．12C ．-8D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学试题Word版含答案
7．在△ ABC中，角 A， B，C 所对的边分别为 a， b，c．若 bsinAsinB 十 acos 2B - 2c ，则 a c
的值为 ▲ ．
8．在平面直角坐标系
xOy 中，双曲线 C： x2
y2 b2
1(b>0) 的两条渐近线与圆
O：x 2+y2=2 的
四个交点依次为 A， B， C， D. 若矩形 ABCD的面积为 b，则 b 的值为 ▲ ．
AE长为 ▲ ．
13. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A， B 为圆 C： (x+4)2+(y-a)2=16 上两个动点，且
AB=2 11 ．若直线 l:y= 2x 上存在唯一的一个点 P，使得
，则实数 a 的值为
▲．
1 2i
3．执行如图所示的算法流程图，则输出口的值为▲
．
4．某学生 5 次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为
▲．
5.3 名教师被随机派往甲、 乙两地支教， 每名教师只能被派往其中一个地方， 被派往甲地的概率为 __▲ ．
则恰有 2 名教师
6．已知等差数列
的前， l 项和为品．若 S15 =30， a7=1，则 S9 的值为▲ ．
实数 a 的取值范围为 ▲ ．
m
11．在平面直角坐标系 xOy的切线为 l ，则点（ 2，-1 ）到
x1
直线，的距离的最大值为▲
．
uuur uuur
uuru uuur
12．如图，在△ ABC中，边 BC的四等分点依次为 D，E，F. 若 ABgAC 2 ， ADgAF 5 ，则
南京市、盐城市 2018 届高三年级第二次模拟考试 数学
注意事项： 1 ．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题～第 14 题）、解答题（第 15 题～第 20 题）两
江苏省南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数学及答案.
南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数 学 2022.03一、填空题1．设集合A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，那么A ∪B ＝▲________．2．假设复数z ＝(1＋m i)(2－i)(i 是虚数单位)是纯虚数，那么实数m 的值为 ▲ ． 3．将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是 ▲ ．4．如下图，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．假设一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为▲________．5．执行如下图的流程图，那么输出的k 的值为 ▲ ．6．设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．假设S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，那么a 10等于 ▲ ．7．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6．假设E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，那么三棱锥A —A 1EF 的体积是▲________．〔第5题图〕〔第4题图〕〔第7题图〕ABCA 1B 1FC 1EANBPMC8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且它的图象过点(－π12，－2)，那么φ的值为▲________．9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，那么不等式f (x )≥－1的解集是▲________．10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别与抛物线交于A ，B 两点(A ，B 异于坐标原点O )．假设直线AB 恰好过点F ，那么双曲线的渐近线方程是▲________.11．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝4．假设点D 在边BC 上，且BD →＝2DC →，AD ＝273，那么AC的长为▲________．12．圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．假设圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，那么实数a 的取值范围为▲________． 13．函数f (x )＝ax 2＋x －b (a ，b 均为正数)，不等式f (x )＞0的解集记为P ，集合Q ＝{x |－2－t ＜x ＜－2＋t }．假设对于任意正数t ，P ∩Q ≠∅，那么1a －1b 的最大值是▲________．14．假设存在两个正实数x 、y ，使得等式x ＋a (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立，其中e 为自然对数的底数，那么实数a 的取值范围为▲________． 二、解答题15．(本小题总分值14分)α为锐角，cos (α＋π4)＝55．（1）求tan(α＋π4)的值； 〔2〕求sin(2α＋π3)的值．16．(本小题总分值14分)如图，在三棱锥P —ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC ，P A ⊥PB ，M ，N 分别为AB ，P A 的中点．（1）求证：PB ∥平面MNC ；〔2〕假设AC ＝BC ，求证：P A ⊥平面MNC .17．(本小题总分值14分)如图，某城市有一块半径为1〔单位：百米〕的圆形景观，圆心为C ，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处〔图中阴影局部〕只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB ．问：A ，B 两点应选在何处可使得小道AB 最短？18． (本小题总分值16分)在平面直角坐标系xOy 中，点C 在椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上．假设点A (－a ，0)，B (0，a3)，且AB →＝32BC →．〔1〕求椭圆M 的离心率；〔2〕设椭圆M 的焦距为4，P ，Q 是椭圆M 上不同的两点，线段PQ 的垂直平分线为直线l ，且直线l 不与y 轴重合．①假设点P (－3，0)，直线l 过点(0，－67)，求直线l 的方程；②假设直线l 过点(0，－1) ，且与x 轴的交点为D ，求D 点横坐标的取值范围．〔第16题图〕〔第17题图〕19．(本小题总分值16分)对于函数f (x )，在给定区间[a ，b ]内任取n ＋1(n ≥2，n ∈N *)个数x 0，x 1，x 2，…，x n ，使得a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n －1＜x n ＝b ，记S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|．假设存在与n 及x i (i ≤n ，i ∈N )均无关的正数A ，使得S ≤A 恒成立，那么称f (x )在区间[a ，b ]上具有性质V ． 〔1〕假设函数f (x )＝－2x ＋1，给定区间为[－1，1]，求S 的值；〔2〕假设函数f (x )＝xex ，给定区间为[0，2]，求S 的最大值；〔3〕对于给定的实数k ，求证：函数f (x )＝k ln x －12x 2 在区间[1，e ]上具有性质V ．20．(本小题总分值16分)数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有a n ＝(－1)n S n ＋p n (p 为常数，p ≠0)． 〔1〕求p 的值；〔2〕求数列{a n }的通项公式；〔3〕设集合A n ＝{a 2n －1，a 2n }，且b n ，c n ∈A n ，记数列{nb n }，{nc n }的前n 项和分别为P n ，Q n ． 假设b 1≠c 1，求证：对任意n ∈N *，P n ≠Q n ．南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2022.0321．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答．卷纸指定．．．．区域内．．．作答．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ．以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，连接AE 交⊙O 于点F ．求证：BE ⋅CE ＝EF ⋅EA ．B ．选修4—2：矩阵与变换 a ，b 是实数，假如矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2 所对应的变换T 把点(2，3)变成点(3，4)．〔1〕求a ，b 的值．〔2〕假设矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin(π3－θ)=32，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝3sin t(t 为参数) ．〔1〕求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程；〔2〕假设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲解不等式：|x －2|＋x |x ＋2|＞2A【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解容许写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．〔本小题总分值10分〕甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自互相独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．〔1〕求比赛完毕后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；〔2〕设ξ表示比赛完毕后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E (ξ)．23．〔本小题总分值10分〕设(1－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥2．〔1〕设n ＝11，求|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|的值；〔2〕设b k ＝k ＋1n －k a k ＋1(k ∈N ，k ≤n －1)，S m ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b m (m ∈N ，m ≤n －1)，求|S mC m n －1 |的值．南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试数学参考答案一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上〕1． {x |－2＜x ＜1} 2．－2 3．1136 4． 9 5． 5 6． 19 7． 8 38．－π12 9． [－4，2] 10．y ＝±2x 11．3 12． [2－22，2＋22]13． 12 14．a ＜0或a ≥1e二、解答题〔本大题共6小题，计90分.解容许写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内〕 15．(本小题总分值14分)解：〔1〕因为α∈(0，π2〕，所以α＋π4∈(π4，3π4)，所以sin (α＋π4)＝1－cos 2(α＋π4)＝255，……………………………………………………………3分所以tan(α＋π4)＝sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2． (6)分〔2〕因为sin(2α＋π2)＝sin[2(α＋π4)]＝2 sin (α＋π4) cos (α＋π4)＝45， (9)分cos(2α＋π2)＝cos[2(α＋π4)]＝2 cos 2(α＋π4)－1＝－35， (12)分所以sin(2α＋π3)＝sin[(2α＋π2)－π6]＝sin(2α＋π2)cos π6－cos(2α＋π2)sin π6＝43＋310． (14)分ANBPMC16．(本小题总分值14分)证：〔1〕因为M ，N 分别为AB ，P A 的中点，所以MN ∥PB ． …………………………………2分 因为MN ⊂平面MNC ，PB ⊄平面MNC ，所以PB ∥平面MNC . ……………………………………4分 〔2〕因为P A ⊥PB ，MN ∥PB ，所以P A ⊥MN . ……………6分因为AC ＝BC ，AM ＝BM ，所以CM ⊥AB . ……………8分 因为平面P AB ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ， 所以CM ⊥平面P AB ． …………………………………12分 因为P A ⊂平面P AB ，所以CM ⊥P A ．因为P A ⊥MN ，MN ⊂平面MNC ，CM ⊂平面MNC ，MN ∩CM ＝M ，所以P A ⊥平面MNC. ……………………………………………………………………14分 17．(本小题总分值14分)解法一：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy ． 设A (a ，0)，B (0，b )(0＜a ＜1，0＜b ＜1)， 那么直线AB 方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0．因为AB 与圆C 相切，所以|b ＋a －ab |b 2＋a 2＝1．……………4分化简得 ab －2(a ＋b )＋2＝0，即ab ＝2(a ＋b )－2．……………6分因此AB ＝ a 2＋b 2＝ (a ＋b )2－2ab ＝ (a ＋b )2－4(a ＋b )＋4＝ (a ＋b －2)2．………………8分因为0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以0＜a ＋b ＜2， 于是AB ＝2－(a ＋b )． 又ab ＝2(a ＋b )－2≤(a +b 2)2，解得0＜a ＋b ≤4－22，或a ＋b ≥4＋22．因为0＜a ＋b ＜2，所以0＜a ＋b ≤4－22，………………………………………12分所以AB ＝2－(a ＋b ) ≥2－(4－22)＝22－2，当且仅当a ＝b ＝2-2时取等号，所以AB 最小值为22－2，此时a ＝b ＝2-2．答：当A ，B 两点离道路的交点都为2－2(百米)时，小道AB 最短．……………14分解法二：如图，连接CE ，CA ，CD ，CB ，CF ． 设∠DCE ＝θ，θ∈(0，π2)，那么∠DCF ＝π2－θ．在直角三角形CDA 中，AD ＝tan θ2．………………4分在直角三角形CDB 中，BD ＝tan(π4－θ2)，………6分所以AB ＝AD ＋BD ＝tan θ2＋tan(π4－θ2)＝tan θ2＋1－tanθ2 1＋tanθ2．………………………8分令t ＝tan θ2，0＜t ＜1，那么AB ＝f (t )＝t ＋1－t 1＋t ＝＝t ＋1＋21＋t－2≥22－2，当且仅当t ＝2－1时取等号．………………………12分所以AB 最小值为22－2，此时A ，B 两点离两条道路交点的间隔 是1－(2－1)＝2－2．答：当A ，B 两点离道路的的交点都为2－2(百米)时，小道AB 最短．……………14分18．(本小题总分值16分)解：〔1〕设C (x 0，y 0)，那么AB →＝(a ，a 3)，BC →＝(x 0，y 0－a 3)．因为AB →＝32BC →，所以(a ，a 3)＝32(x 0，y 0－a 3)＝(32x 0，32y 0－a 2)，得⎩⎨⎧x 0＝23a ，y 0＝59a ，………………………………………………………2分 代入椭圆方程得a 2＝95b 2．因为a 2－b 2＝c 2，所以e ＝c a ＝23．………………………………………4分〔2〕①因为c ＝2，所以a 2＝9，b 2＝5，所以椭圆的方程为x 29＋y 25＝1，设Q (x 0，y 0)，那么x 029＋y 025＝1．……① ………………………………………………6分因为点P (－3，0)，所以PQ 中点为(x 0－32，y 02)，因为直线l 过点(0，－67)，直线l 不与y 轴重合，所以x 0≠3，所以y 02＋67x 0－32·y 0x 0＋3＝－1， ………………………………………………8分化简得x 02＝9－y 02－127y 0．……②将②代入①化简得y 02－157y 0＝0，解得y 0＝0〔舍〕，或y 0＝157．将y 0＝157代入①得x 0＝±67，所以Q 为(±67，157)，所以PQ 斜率为1或59，直线l 的斜率为－1或－95，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋67或y ＝－95x ＋67．……………………………………………10分②设PQ ：y ＝kx +m ，那么直线l 的方程为：y ＝－1kx －1，所以x D ＝－k ．将直线PQ 的方程代入椭圆的方程，消去y 得(5＋9k 2)x 2＋18kmx ＋9m 2－45＝0．…………①， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为N ，x N ＝x 1＋x 22＝－9km 5+9k 2，代入直线PQ 的方程得y N ＝5m 5+9k 2，……………………………………12分 代入直线l 的方程得9k 2＝4m －5． ……② 又因为△＝(18km )2－4(5＋9k 2) (9m 2－45)＞0，化得m 2－9k 2－5＜0． ………………………………………………14分 将②代入上式得m 2－4m ＜0，解得0＜m ＜4，所以－113＜k ＜113，且k ≠0，所以x D ＝－k ∈(－113，0)∪(0，113)．综上所述，点D 横坐标的取值范围为(－113，0)∪(0，113)．………………………………16分19．(本小题总分值16分)〔1〕解：因为函数f (x )＝－2x ＋1在区间[－1，1]为减函数， 所以f (x i ＋1)＜f (x i )，所以|f (x i ＋1)－f (x i )|＝ f (x i )－f (x i ＋1)．S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|＝[ f (x 0)－f (x 1)]+[ f (x 1)－f (x 2)]+…+[ f (x n -1)－f (x n )]＝f (x 0)－f (x n )＝f (－1)－f (1)＝4． …………………………………………2分 (2) 解：由f ′(x )＝1－xex ＝0，得x ＝1．当x ＜1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，1)为增函数； 当x ＞1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(1，＋∞)为减函数；所以f (x )在x ＝1时取极大值1e ． ……………………………………4分设x m ≤1＜x m ＋1，m ∈N ，m ≤n －1，那么S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|＝|f (x 1)－f (0)|＋…＋|f (x m )－f (x m －1)|＋|f (x m ＋1)－f (x m )|＋|f (x m ＋2)－f (x m ＋1)|＋…＋|f (2)－f (x n －1)| ＝[f (x 1)－f (0)]＋…＋[f (x m )－f (x m －1)]＋|f (x m ＋1)－f (x m )|＋[f (x m ＋1)－f (x m ＋2)]＋…＋[f (x n －1)－f (2)] ＝[f (x m )－f (0)]＋|f (x m ＋1)－f (x m )|＋[f (x m ＋1)－f (2)]． …………………………………………6分 因为|f (x m ＋1)－f (x m )|≤[f (1)－f (x m )]＋[f (1)－f (x m ＋1)]，当x m ＝1时取等号， 所以S ≤f (x m )－f (0)＋f (1)－f (x m )＋f (1)－f (x m ＋1)＋f (x m ＋1)－f (2) ＝2 f (1)－f (0)－f (2)＝2(e －1)e 2.所以S 的最大值为2(e －1)e 2． …………………………………………8分〔3〕证明：f ′(x )＝kx －x ＝k －x 2x，x ∈[1，e]．①当k ≥e 2时，k －x 2≥0恒成立，即f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在[1，e]上为增函数，所以S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|＝[ f (x 1)－f (x 0)]+[ f (x 2)－f (x 1)]+…+[ f (x n )－f (x n -1)]＝f (x n )－f (x 0)＝f (e)－f (1)＝k +12－12e 2．因此，存在正数A ＝k +12－12e 2，都有S ≤A ，因此f (x )在[1，e]上具有性质V ． (10)分②当k ≤1时，k －x 2≤0恒成立，即f ′(x )≤0恒成立，所以f (x )在[1，e]上为减函数，所以S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|＝[ f (x 0)－f (x 1)]+[ f (x 1)－f (x 2)]+…+[ f (x n -1)－f (x n )]＝f (x 0)－f (x n )＝ f (1)－f (e)＝ 12e 2－k －12．因此，存在正数A ＝12e 2－k －12，都有S ≤A ，因此f (x )在[1，e]上具有性质V ． (12)分③当1＜k ＜e 2时，由f ′(x )＝0，得x ＝k ；当f ′(x )＞0，得1≤x ＜k ；当f ′(x )＜0，得k ＜x ≤e ，因此f (x )在[1，k )上为增函数，在(k ，e]上为减函数． 设x m ≤k ＜x m +1，m ∈N ，m ≤n －1那么S ＝n －1∑i ＝1|f (x i ＋1)－f (x i )|＝|f (x 1)－f (x 0)|+…+|f (x m )－f (x m －1)|+ |f (x m +1)－f (x m )|+ |f (x m +2)－f (x m +1)|+…+|f (x n )－f (x n －1)| ＝f (x 1)－f (x 0)+…+f (x m )－f (x m －1) + |f (x m +1)－f (x m )|+ f (x m +1)－f (x m +2) +…+f (x n －1)－f (x n ) ＝f (x m )－f (x 0) + |f (x m +1)－f (x m )| + f (x m +1)－f (x n )≤f (x m )－f (x 0) + f (x m +1)－f (x n )+ f (k )－f (x m +1)+ f (k )－f (x m )＝2 f (k )－f (x 0)－f (x n )＝k ln k －k －[－12+k －12e 2]＝k ln k －2k ＋12+12e 2．因此，存在正数A ＝k ln k －2k ＋12+12e 2，都有S ≤A ，因此f (x )在[1，e]上具有性质V ．综上，对于给定的实数k ，函数f (x )＝k ln x －12x 2 在区间[1，e]上具有性质V ．……………16分20．(本小题总分值16分)解：〔1〕由a 1＝－S 1＋p ，得a 1＝p2．………………………………………………………2分由a 2＝S 2＋p 2，得a 1＝－p 2，所以p2＝－p 2．又p ≠0，所以p ＝－12． …………………………………………………………3分〔2〕由a n ＝(－1)n S n ＋(－12)n ，得⎩⎨⎧a n ＝(－1)n S n ＋(－12)n ， ……①a n ＋1＝－(－1)nS n ＋1＋(－12)n ＋1， ……②①＋②得a n ＋a n ＋1＝(－1)n (－a n ＋1)＋12×(－12)n ． …………………………………………5分当n 为奇数时，a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－12×(12)n ，所以a n ＝－(12)n ＋1． ………………………………………………………………7分当n 为偶数时，a n ＋a n ＋1＝－a n ＋1＋12×(12)n ，所以a n ＝－2a n ＋1＋12×(12)n ＝2×(12)n ＋2＋12×(12)n ＝(12)n ，所以a n＝⎩⎨⎧－12n ＋1，n 为奇数， n ∈N *，12n， n 为偶数，n ∈N *．………………………………………………9分〔3〕A n ＝{－14n ，14n }，由于b 1≠c 1，那么b 1 与c 1一正一负，不妨设b 1＞0，那么b 1＝14，c 1＝－14．那么P n ＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ≥14－(242＋343+…＋n4n )．……………………………………………12分设S ＝242＋343+…＋n 4n ，那么14S ＝243＋…＋n －14n +n 4n ＋1，两式相减得34S ＝242＋143+…＋14n －n 4n ＋1＝116＋116×1－(14)n －11－14－n 4n ＋1＝748－112×14n －1－n 4n ＋1＜748．所以S ＜748×43＝736，所以P n ≥14－(242＋143+…＋14n )＞14－736＝118＞0．………………………14分因为Q n = c 1＋2 c 2＋3 c 3＋…＋n c n ≤－14＋S ＜－14＋736 ＝－118＜0，所以P n ≠Q n ． ………………………………………………………………16分南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2022.0321．【选做题】A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连接BD ．因为AB 为直径，所以BD ⊥AC ． 因为AB ＝BC ，所以AD ＝DC ．……………………4分 因为DE ⊥BC ，AB ⊥BC ，所以DE ∥AB ，…………6分 所以CE ＝EB ．………………………………………8分 因为AB 是直径，AB ⊥BC ，所以BC 是圆O 的切线，所以BE 2＝EF ⋅EA ，即BE ⋅CE ＝EF ⋅EA ．…………………………………………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：〔1〕由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 a b －2 ⎣⎡⎦⎤23＝⎣⎡⎦⎤34，得6＋3a ＝3，2b －6＝4，…………………………4分所以a ＝－1，b ＝5．………………………………………………………………………………6分〔2〕由〔1〕，得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －1 5 －2．由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1 5 －3．…………………8分所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 －5 4． …………………………………………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：〔1〕由ρsin(π3－θ)=32 ，得ρ(32cos θ－12sin θ)=32，即32x －12y=32，化简得y=3x －3，所以直线l 的直角坐标方程是y=3x －3．………………………………2分由(x 2)2+(y 3)2=cos 2t +sin 2t =1，得椭圆C 的普通方程为x 24+y 23=1．……………………………4分〔2〕联立直线方程与椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y=3x －3， x 24+y 23=1，消去y ，得x 24+(x －1)2=1，化简得5x 2－8x =0，解得x 1=0，x 2=85， ………………………………8分所以A (0，－3)，B (85，353)，那么AB =(0－85)2+(－3－353)2=165． ………………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲A解：当x ≤－2时，不等式化为(2－x )＋x (－x －2)＞2，解得－3＜x ≤－2； ………………………………………………3分 当－2＜x ＜2时，不等式化为(2－x )＋x (x ＋2)＞2，解得－2＜x ＜－1或0＜x ＜2； …………………………………………………6分 当x ≥2时，不等式化为(x －2)＋x (x ＋2)＞2,解得x ≥2； ………………………………………………………9分 所以原不等式的解集为{x |－3＜x ＜－1或x ＞0}． …………………………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．〔本小题总分值10分〕解：〔1〕比赛完毕后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况： 甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球． 所以比赛完毕后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率P ＝C 1323(13)2(12)3＋C 23(23)2(13)C 13(12)3＋C 33(23)3C 23(12)3＝1136．……………………………………………4分〔2〕ξ的取值为0，1，2，3，所以 ξ的概率分布列为……………………………………………………………………………………8分所以数学期望E (ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1．………………………………………10分23．〔本小题总分值10分〕解：〔1〕因为a k ＝(－1)k C kn ，当n ＝11时，|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|＝C 611＋C 711＋C 811＋C 911＋C 1011＋C 1111＝12( C 011＋C 111＋…＋C 1011＋C 1111)＝210＝1024．………………………………………………3分〔2〕b k ＝k ＋1n －k a k ＋1＝(－1)k ＋1 k ＋1n －kC k ＋1n ＝(－1)k ＋1 C kn ，……………………………………5分当1≤k ≤n －1时，b k ＝(－1)k ＋1 C k n ＝ (－1)k ＋1 (C k n －1＋C k －1n －1)＝(－1)k ＋1 C k －1n －1＋(－1)k ＋1 C k n －1＝(－1)k －1 C k －1n －1－(－1)kC k n －1． ……………………………………7分当m ＝0时，|S m C m n －1 |＝|b 0C 0n －1|＝1． ……………………………………8分当1≤m ≤n －1时，S m ＝－1＋k =1∑m[(－1)k －1 C k －1n －1－(－1)k C k n －1]＝－1＋1－(－1)m C m n －1＝－(－1)mC m n －1，S m C m n－1|＝1．综上，|S mC m n－1|＝1．………………………10分所以|。
江苏南京市、盐城市2014届高三年级第二次模拟考试数学试卷及答案
南京市2014届高三年级第二次模拟考试数 学 2014.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 圆柱的侧面积公式：S 侧＝2πRh ，其中R 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为 ▲ ．2．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R )．若z 1z 2为实数，则a 的值为 ▲ ． 3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．5．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为6．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．a(第3题图)(第6题图)7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)错误！未找到引用源。
的图象如下图所示，则f (π3)的值为 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P (5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．12．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)，且． 若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ．13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 14．设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f (x )在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1] 2．4 3．300 4．59 5．2 6．4 7．18． 5 9．12 10．60° 11．1或723 12．22－2 13．(53，73) 14．[－1，1]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥PB ， BP ＝BC ，E 为PC 的中点． （1）求证：AP ∥平面BDE ； （2）求证：BE ⊥平面P AC ． 15．证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ．(第7题图)PBDEA因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ． …………………………………………4分 因为AP /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以AP ∥平面BDE ． …………………………………………6分 （2）因为平面P AB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面P AB ． ………………………………………8分 因为AP ⊂平面P AB ，所以BC ⊥P A ．因为PB ⊥P A ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以P A ⊥平面PBC ． …………………………………………12分 因为BE ⊂平面PBC ，所以P A ⊥BE ．因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ． 因为PA ∩PC ＝P ，P A ，PC ⊂平面P AC ，所以BE ⊥平面PAC ． …………………………………………14分 16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交 于点A (x 1 ，y 1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．（1）若x 1＝35，求x 2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．16．解：（1）解法一：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．所以sin α＝45，cos α＝35． (2)所以x 2＝cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210． …………………………………6分解法二：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．A (35，45)，则OA →＝(35，45)，…………2分OB →＝(x 2，y 2)， 因为OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ，所以35x 2＋45y 2＝ 2 2……4分(第16题图)又x 22＋y 22＝1，联立消去y 2得50 x 22－302x 2－7＝0 解得x 2＝－2 10或7210，又x 2＜0，所以x 2＝－ 2 10． ………………………6分 解法三：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45． 因此A (35，45)，所以tan α＝43．………2分所以tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝－7，所以直线OB 的方程为y ＝－7x ……………4分由⎩⎨⎧y ＝－7x ，x 2＋y 2＝1．得x ＝± 2 10，又x 2＜0，所以x 2＝－ 210． …………………6分（2）S 1＝12sin αcos α＝－14sin2α． …………………………………………8分因为α∈(π4，π2)，所以α＋π4∈(π2，3π4)．所以S 2＝－12sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝－14sin(2α＋π2)＝－14cos2α．……………………………10分因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43． …………………………………12分所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12． 因为α∈(π4，π2)，所以tan α＝2．………14分 17．(本小题满分14分)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)． 解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AM sin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． ………………2分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． …………………6分 AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433 sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分 ＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．答：设计∠AMN 为60︒时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分APMNBC(第17题图)解法二(构造直角三角形)： 设∠PMD ＝θ，在△PMD 中，∵PM ＝2，∴PD ＝2sin θ，MD ＝2cos θ． ……………2分 在△AMN 中，∠ANM ＝∠PMD ＝θ，∴MN sin60°＝AMsin θ，AM ＝433sin θ，∴AD ＝433sin θ＋2cos θ，(θ≥π2时，结论也正确)．……………6分AP 2＝AD 2＋PD 2＝(433sin θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θ＋833sin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ …………………………8分 ＝163·1－cos2θ2＋433sin2θ＋4＝433sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－π6)，θ∈(0，2π3)． …………………………12分 当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．此时AM ＝AN ＝2，∠P AB ＝30° …………………………14分 解法三：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α．在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°， 所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos ∠MAN ，即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4． …………………………………………2分 因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝ysin α，所以sin α＝34y ，cosα＝x 2＋4－y 22×2×x ＝x 2＋(x 2－xy )4x ＝2x －y 4． …………………………………………6分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4．……………………………8分在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ，即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y 4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ．………………………………………12分因为x 2＋y 2－xy ＝4，4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4． 所以AP 2≤12，即AP ≤23．当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分 解法四(坐标法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系． 设M (x 1，0)，N (x 2，3x 2)，P (x 0，y 0)．∵MN ＝2，A PMNBC第17题图D∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4． …………………………………………2分 MN 的中点K (x 1＋x 22，32x 2)．∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ．∴PK 2＝(x 0－x 1＋x 22)2＋(y 0－32x 2)2＝3，k MN ·k PK ＝－1，即3x 2x 2－x 1·y 0－32x 2x 0－x 1＋x 22＝－1， …………………………………………6分∴y 0－32x 2＝x 1－x 23x 2(x 0－x 1＋x 22)，∴(y 0－32x 2)2＝(x 1－x 2)23x 22(x 0－x 1＋x 22)2 ∴(1＋(x 1－x 2)23x 22)(x 0－x 1＋x 22)2＝3，即43x 22(x 0－x 1＋x 22)2＝3，∴(x 0－x 1＋x 22)2＝94x 22． ∵x 0－x 1＋x 22＞0 ∴x 0－x 1＋x 22＝32x 2，∴x 0＝12x 1＋2x 2，∴y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分 即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法五(变换法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系． 设M (x 1，0)，N (x 2，3x 2)，P (x 0，y 0)．∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4．即x 21＋4x 22＝4＋2x 1x 2∴4＋2x 1x 2≥4x 1x 2，即x 1x 2≤2． …………………4分 ∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ．MN →顺时针方向旋转60°后得到MP →． MP →＝(x 0－x 1，y 0)，MN →＝(x 2－x 1，3x 2)．∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 32－32 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－x 13x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0－x 1y 0，即 x 0－x 1＝12(x 2－x 1)＋32x 2，y 0＝－32(x 2－x 1)＋32x 2．∴x 0＝2x 2＋12x 1，y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2 ＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分 即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN 不动，点A 在运动．由于∠MAN ＝60°，∴点A 在以MN 为弦的一段圆弧(优弧)上，…………4分 设圆弧所在的圆的圆心为F ，半径为R ，由图形的几何性质知：AP 的最大值为PF ＋R ． …………8分 在△AMN 中，由正弦定理知：MN sin60°＝2R ，∴R ＝23， …………10分 ∴FM ＝FN ＝R ＝23，又PM ＝PN ，∴PF 是线段MN 的垂直平分线． 设PF 与MN 交于E ，则FE 2＝FM 2－ME 2＝R 2－12＝13．即FE ＝33，又PE ＝3． ……………………………12 ∴PF ＝43，∴AP 的最大值为PF ＋R ＝23． 答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b )，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程； （3）若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈[12，2]，求OP →·OQ →的最大值．（1）解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a 2c ＝2， 解得c ＝1，a 2＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1．所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………………………2分（2）因为P (0，1)，F 1(－1，0)，所以PF 1的方程为x －y ＋1＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x 22＋y 2＝1， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为(－43，－13)． ……………………4分 APMNBCF E解法一：因为k PF 1·k PF 2＝－1，所以△PQF 2为直角三角形． ……………………6分 因为QF 2的中点为(－16，－16)，QF 2＝523，所以圆的方程为(x ＋16)2＋(y ＋16)2＝2518． ……………………8分解法二：设过P ，Q ，F 2三点的圆为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，179－43D －13E ＋F ＝0， 解得⎩⎨⎧D ＝13，E ＝13，F ＝－43．所以圆的方程为x 2＋y 2＋13x ＋13y －43＝0． …………………………………………8分（3）解法一：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，QF 1→＝(－1－x 2，－y 2)．因为F 1P →＝λQF 1→，所以⎩⎨⎧x 1＋1＝λ(－1－x 2)，y 1＝－λy 2，即⎩⎨⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，所以⎩⎨⎧(－1－λ－λx 2)22＋λ2y 22＝1，x 222＋y 22＝1，解得x 2＝1－3λ2λ． …………………………………………12分所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2(－1－λ－λx 2)－λy 22＝－λ2x 22－(1＋λ)x 2－λ ＝－λ2(1－3λ2λ)2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58(λ＋1λ) ． …………………………………………14分因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号． 所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →最大值为12． …………………………………………16分解法二：当PQ 斜率不存在时，在x 22＋y 2＝1中，令x ＝－1得y ＝± 22．所以11(1)(222OP OQ ⋅=-⨯-+=，此时11,22λ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦…………………………2 当PQ 斜率存在时，设为k ，则PQ 的方程是y ＝k (x ＋1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1．得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 韦达定理 22121222422==1212k k x x x x k k--+++，………………………………………4 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2) ，则212121212(1)(1)OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+++22212122222222222(1)()224(1)12122 61215122(12)2k x x k x x k k k k k k k k k k k =++++--=+++++-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+=-<+分。
江苏省盐城市、南京市2021届高三年级二模数学试题(详解版)
南京市、盐城市2021届高三年级第二次模拟考试数学注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．53米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I 卷(选择题共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3＋4i，则z1z2＝A．25 B．－25 C．7－24i D．－7－24i 2．设集合A，B是全集U的两个子集，则“A∩B＝ ”是“A✶ U B”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a，b是相互垂直的单位向量，与a，b共面的向量c满足a⋅c＝b⋅c＝2，则c的模为A．1 B． 2 C．2 D．224．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为R，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗(VN称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为()RN VN-．已知新冠病毒在某地的基本传染数R＝2.5，为了使1个感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为A．40% B．50% C．60% D．70%5．计算2cos10sin20cos20︒-︒︒所得的结果为A．1 B． 2 C． 3 D．26．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78．1周角等于6000密位，记作1周角＝60－00，1直角＝15－00．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为A ．12－50B ．17－50C ．21－00D ．35－007．已知双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且cos θ＝14.若|AB |＝|AF 1|，则双曲线C 的离心率为A ．4B ．15C ．32 D ．28．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，其导函数为f ′(x )，且当x ＞0时，()()ln 0f x f x x x'⋅+>，则不等式(x 2－1)f (x )＜0的解集为A ．(－1，1)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．对于两条不同直线m ，n 和两个不同平面α，β，下列选项中正确的为A ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥nB ．若m //α，n //β，α⊥β，则m ⊥n 或m //nC ．若m //α，α//β，则m //β或m ⊂βD ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n //α或n ⊂α 10．已知a ＞b ＞0，下列选项中正确的为A ．若a －b ＝1，则a －b ＜1B ．若a 2－b 2＝1，则a －b ＜1C ．若2a －2b ＝1，则a －b ＜1D ．若22log log 1a b -=，则a －b ＜1 11．已知函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |,则A ．f (x )是周期函数B ．f (x )的图象必有对称轴C ．f (x )的增区间为2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，， D ．f (x )的值域为⎡⎣ 12．已知*n N ∈，n ≥2，p ＋q ＝1，设()22k n kn f k C q-=，其中k ∈N ，k ≤2n ，则 A ．()201nk f k ==∑ B ．()202nk kf k npq ==∑C ．若np ＝4，则f (k )≤f (8)D ．()()0112212nnk k f k f k ==<<-∑∑第II 卷 (非选择题 共90分)三，填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．某班4名同学去参加3个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有 ▲ 种．(用数字填写答案)14．已知椭圆22143x y +=的右顶点为A ，右焦点为F ，以A 为圆心，R 为半径的圆与椭圆相交于B ，C 两点，若直线BC 过点F ，则R 的值为 ▲ ．15．在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，且P A ＝2．若点E 、F 分别为AB ，AD 的中点，则直线EF 被四棱锥P －ABCD 的外接球所截得的线段长为 ▲ ．16．牛顿选代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r 是函数y ＝f (x )的一个零点，任意选取x 0作为r 的初始近似值，过点()()00x f x ，作曲线y ＝f (x )的切线l 1，设l 1与x 轴交点的横坐标为x 1，并称x 1为r 的1次近似值；过点()()11x f x ，作曲线y ＝f (x )的切线l 2，设l 2与x 轴交点的横坐标为x 2，称x 2为r 的2次近似值．一般的，过点(x n ，f (x n ))(n ∈N )作曲线y ＝f (x )的切线l n+1， 记l n+1与x 轴交点的横坐标为x n+1，并称x n+1为r 的的n ＋1次近似值．设()31f x x x =+-(x ≥0)的零点为r ，取x 0＝0，则r 的2次近似值为 ▲ ；设33321n n n n x x a x +=+，n ∈N *，数列{}n a 的前n 项积为T n ．若任意n ∈N *，T n ＜λ恒成立，则整数λ的最小值为 ▲ ．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在①b ＝3a ；②a ＝3cos B ；③a sin C ＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问 题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin B A C C --=，c ＝3， ▲ ？18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋r ，其中r 为常数．(1)求r 的值；(2)设()221log n n b a =+，若数列{b n }中去掉数列{a n }的项后余下的项按原来的顺序组成数列{c n }，求123100c c c c ++++的值．某公司对项目A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：(1)请用线性回归模型拟合y 与x 的关系，并用相关系数加以说明；(2)该公司计划用7百万元对A ，B 两个项目进行投资．若公司对项目B 投资x (1≤x ≤6)百万 元所获得的利润y 近似满足：y ＝0.16x －0.49x ＋1＋0.49，求A ，B两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大?附：①对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，……，(x n ，y n )，其回归直线方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-． ②线性相关系数ni ix y nx yr -⋅=∑一般地，相关系数r 的绝对值在0.95以上(含0.95)认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱． 参考数据：对项目A 投资的统计数据表中111ni ii x y==∑，212.24ni i y ==∑， 4.4≈2.1．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，B 1C ＝6，AB ⊥B 1C. (1)求证：平面ABB 1A 1⊥平面ABC ；(2)若点P 在棱BB 1上且直线CP 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为45，求BP 的长21．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝x ＋m 交抛物线C ：24y x =于A ，B 两点． (1)设直线l 与x 轴的交点为T ．若→AT ＝2→TB ，求实数m 的值；(2)若点M ，N 在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：A ，B ，M ，N 四点共圆．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －ax sin x －x －1，x ∈[]0π，，a ∈R ． (1)当a ＝12时，求证：f (x )≥0；(2)若函数f (x )有两个零点，求a 的取值范围．南京市、盐城市 2021 届高三年级第二次模拟考试数 学 试 题(总分 150 分，考试时间 120 分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第I 卷（选择题 共 60 分）一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数 z 1，z 2 在复平面内的对应点关于实轴对称，z 1＝3＋4i ，则 z 1z 2＝A ．25B ．－25C ．7－24iD ．－7－24i 【答案】A【解析】＋4i)( 3－4i)＝32＋42＝25，故选择A. 2．设集合 A ，B 是全集 U 的两个子集，则“A ∩B ＝∅”是“A ⊆∁U B ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由韦恩图，A ∩B ＝∅，而显然可得 A ⊆∁U B ，又 A ⊆∁U B ，可得 A ∩B ＝∅，所以“A ∩B ＝∅”是“A ⊆∁U B ”的充要条件，故选择 C.3．已知 a ，b 是相互垂直的单位向量，与 a ， b 共面的向量 c 满足 a ·c ＝b ·c ＝2，则 c 的模为A ．1 【答案】DB ． 2C ．2D ．2 2【解析】不妨设 a ，b 分别为平面直角坐标系中 x 轴，y 轴上的单位向量，则 a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，设 c ＝(x ,y )，则 a ·c ＝x ＝2，b ·c ＝y ＝2，所以 c ＝(2,2)，所以|c |＝ 22＋22＝2 2，故选择 D.4．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于 1 时， 每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长．当基本传染数持续低于 1 时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假 设某种传染病的基本传染数为 R 0，1 个感染者在每个传染期会接触到 N 个新人，这 N 人中 有 V 个人接种过疫苗(V 称为接种率)，那么 1 个感染者新的传染人数为 N R 0(N －V )．已知新冠 N 病毒在某地的基本传染数 R 0＝2.5，为了使 1 个感染者传染人数不超过 1，该地疫苗的接种 率至少为()A ．40% 【答案】CB ．50%C ．60%D ．70%R 0 V【解析】为使 1 个感染者传染人数不超过 1，即 (N －V )≤1，即 R 0 (1－ )≤1，由题 R 0＝N N 2.5，所以 2.5(1－V)≤1 V 60%，即接种率至少为 60%，故选择 C. ，所以可解得N ≥N 2cos10º－sin20º 5．计算所得的结果为 cos20ºA ．1B ． 2C ． 3D ．2【答案】C【解析】cos10° ＝ c os(30° － 20°) ＝ c os30°cos20° ＋ sin30°sin20°＋ 1sin20°. 故 22cos10°－sin20°3cos20° ＝＝ 3，故选择C. cos20°6．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为 6000 份，每一份叫做 1 密位的角．以密位 作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数 码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间 画一条短线，如 7 密位写成“0-07”，478 密位写成“4-78”．1 周角等于 6000 密位，记作 71 周角＝60-00，1 直角＝15-00．如果一个半径为2 的扇形，它的面积为 π ，则其圆心角用密6 位制表示为 A ．12-50 B ．17-50C ．21-00D ．35-00【答案】B7π 6 7πS 7 【解析】面积 6 ，半径为 2 的扇形所对的圆心角弧度大小为 θ＝2π·πr 2＝2π·4π＝12π，由题 7 π12意，其密位大小为 6000× 2π ＝1750，故用密位制表示为 17-50.故选择B.x 2 y 27 ．已知双曲线 C ：a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过点 F 2 作倾斜角 1为 θ 的直线 l 交双曲线 C 的右支于 A ，B 两点，其中点 A 在第一象限，且 cos θ ＝4．若|AB |＝|AF 1|，则双曲线 C 的离心率为3 A ．4 B ． 15C ．2D ．2【答案】D1【解析】由双曲线的性质，|AF 1|－|AF 2|＝2a 即|AB |－|AF 2|＝|BF 2|＝2a ，由 cos θ＝ 知 B 点的4a 215 (c －2) () 21 a横坐－ ＝1， a 2 b 2c结合 c 2＝a 2＋b 2 消去 b 2 即离心率为 2.故选择 D.，可得a ＝f (x ) 8．已知 f (x )是定义在 R 上的奇函数，其导函数为 f ′(x )，且当 x ＞0 时， f ′(x ) ·ln x 0，＋ ＞x 则不等式(x 2－1)f (x )＜0 的解集为 A ．(－1， 1)C ． (－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)【答案】B【解析】设 g (x )＝f (x )·ln x ，则 g'(x )＝f'(x )·ln x ＋f (x )·1(x ＞0)，则由题意 g (x )在(0,＋∞)单调递 x ， 增，且由 g (1)＝0 知，当 x ∈(0,1)时 g (x )＜0，当 x ∈(1,＋∞)时 g (x )＞0，又由 g (x )＝f (x )·ln x ， 故有 x ∈(0,1)或(1,＋∞)时 f(x)＞0.因为 f (x )为奇函数，所以 x ∈(－∞,－1)或(－1,0)时 f (x )＜0. 综上(x 2－1) f (x )＜0 的解集为(－∞,－1)∪(0,1).故选择 B.二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分) 9. 对于两条不同直线 m ，n 和两个不同平面 α，β，下列选项中正确的为 A ．若 m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则 m ⊥n B ．若 m //α，n //β，α⊥β，则 m ⊥n 或 m //nC. 若 m //α，α//β，则 m //β 或 m ⊂βD. 若 m ⊥α，m ⊥n ，则 n //α 或 n ⊂α【答案】ACD 【解析】略10．已知 a ＞b ＞0，下列选项中正确的为A ．若 a － b ＝1，则 a －b ＜1B ．若 a 2－b 2＝1，则 a －b ＜1C ．若 2a －2b ＝1，则 a －b ＜1D ．若 log 2a －log 2b ＝1，则 a －b ＜1 【答案】BCa 2－b 2 1【解析】a －b ＝( a － b )( a ＋ b )＝ a ＋ b ＞ a － b ＝1，A 错误；a －b ＝ a ＋b ＝a ＋b 1 ＜ ，a －b ＜1，B 正确；2a －2b ＝1＝2b (2a －b －1)＞2a －b －1，a －b ＜1，C 正确；log 2a a －b －log 2b ＝1＝log a，a ＝2b ，a －b 无法判断，D 错误；故选择BC.2b 11．已知函数 f (x )＝ |sin x |＋ |cos x |，则A ．f (x )是周期函数B ．f (x )的图象必有对称轴π，k ⊥Z D ．f (x )的值域为[1，4 8]C ．f (x )的增区间为[k π，k π ＋2] 【答案】ABD【解析】A 显然正确；注意到 f (－x )＝ |sin(－x )|＋ |cos(－x )|＝ |sin x |＋ |cos x |＝f (x )， π＝1， π＝4 8，C 错误；f (x )＝ |sin x | 故 y 轴为 f (x )的一条对称轴，B 正确；注意到 f (0)＝f (2) f (4) k π π(k ∈Z )时，取“＝”，又 f (x )＝＋ |cos x |≤(1＋1)(sin x ＋cos x )≤ 4 8，当且仅当 x ＝ ＋24|sin x |＋ |cos x |≥ |sin x |2＋ |cos x |2＝|sin x |＋|cos x |≥1，当且仅当 x ＝k π(k ∈Z )时，取2 “＝”，D 正确；故选择ABD.k * k 2n － k12．已知 n ⊥N ，n ≥2，p ，q ＞0，p ＋q ＝1．设 f (k )＝C p q，其中 k ⊥N ，k ≤2n ，则2n 2nA ． ∑ f (k )＝1k =02nB ． ∑ kf (k )＝2npqk =0n1 nC ．若 np =4，则 f (k )≤f (8)D ． ∑ f (2k ) f (2k －1)＜ ＜∑ 2 k =0k =1 【答案】AC2n2n2n 2n －1k k － k k 2n k － 1 k 2n k －p k q 2n －1－k ＝ 【解析】A 显然正确； ∑ kf (k )＝ ∑ kC p q ＝ ∑ 2nC p q ＝2np ∑ C 2n 2n －12n －1 k =0 k =0 k =1 k =0k k 2n k－f (k ) C p qp (2n ＋1－k ) f (k ＋1) p (2n －k ) p (2n －k ) 2n 2np ，B 错误； ＝ ＝ ， ＝ ， ≤1≤ k － qkf (k ) f (k －1) 1 k — ＋ －1 2n 1 k q (k ＋1) q (k ＋1) C p q 2n p (2n ＋1－k ) 1n ，2np －p ≤k ≤2np ＋q ，8－p ≤k ≤8＋q ，k ＝8，C 正确；当 p ＝q ＝2时，∑f (2k )qk k =01 n＝ ＝∑f (2k －1)，D 错误；故选 AC. 2 k =1三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13．某班 4 名同学去参加 3 个社团，每人只参加 1 个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有【答案】36▲ 种．（用数字填写答案） 【解析】依题意，四名同学可分为(1，1，2)，有 C 2A 3＝6×6＝36 种. 4 3 x 2 y 2 14 ．已知椭圆4 ＋ 3 ＝1 的右顶点为 A ，右焦点为 F ，以 A 为圆心，R 为半径的圆与椭圆相交 于 B ，C 两点．若直线 B C 过点 F ，则 R 的值为 ⊥ ．13【答案】2【解析】A (2,0), F (1,0), B ，C 两点关于 x 轴对称，即横坐标为 1，代入椭圆方程，得 B ,C 坐 33 2＝ .标为(1， ±2）,R ＝ (2－1)2＋(0 －2) 15．在四棱锥 P －ABCD 中，P A ⊥面 ABCD ，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，且 P A ＝ 2．若点 E ，F 分别为 AB ，AD 的中点，则直线 EF 被四棱锥 P －ABCD 的外接球所截得的线段长为▲ ． 【答案】 6【解析】注意到⊥P AC ，⊥PBC ，⊥PDC 均为以 PC 为斜边的直角三角形，故外接球球心O为 PC 中点，R ＝2PC ＝ 3，取 EF 中点 G ，又AC ＝OC ＝故 GO ⊥PC ，d ＝GO ＝ 1P C GC 6l ＝2 R 2－d 2＝ 6.16．牛顿迭代法又称牛顿－拉夫逊方法，它是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设 r 是函数 y ＝f (x )的一个零点，任意选取 x 0 作为 r 的初始近似值，过点(x 0，f (x 0))作曲线 y ＝f (x )的切线 l 1，设 l 1 与 x 轴交点的横坐标为 x 1，并称 x 1 为 r 的 1 次近似值；过点(x 1，f (x 1))作曲线 y ＝f (x )的切线 l 2，设 l 2 与 x 轴交点的横坐标为 x 2，并称 x 2 为 r 的 2 次近似值．一般的，过点(x n ，f (x n ))(n ⊥N )作曲线 y ＝f (x )的切线 l n ＋1，记 l n ＋1 与 x 轴交点的横坐标为 x n ＋1，并称 x n ＋1 为 r 的 n ＋1 次近似值．设 f (x )＝x 3＋x －1(x 3x 3＋x n n，n ⊥N *，数列{a n }≥0)的零点为 r ，取 x 0＝0，则 r 的 2 次近似值为 ▲ ；设 a n ＝ 2x 3＋1n 的前 n 项积为 T n ．若任意 n ⊥N *，T n ＜λ 恒成立，则整数 λ 的最小值为 ▲ ．3【答案】4，2【解析】(1) f '(x )＝3x 2＋1，取 x 0＝0，f (0)＝－1，f '(0)＝1，即过点(0，－1)作曲线 y ＝f (x )的切线 l 1 斜率为 1，l 1 方程为 y ＝x －1,交 x 轴点横坐标为 1，即 x 1＝1，f (1)＝1，f '(1)＝4，过点(1，1)作曲线 y ＝f (x )的切线 l 2 斜率为 4，l 2 方程为 y ＝4x －3 交 x 轴点横坐标为3(2)f (x 0)＝； 42 x 3＋1 0x 3＋x －1，f '(x )＝3x 2＋1，切线方程为 y ＝(3x 2＋1)(x －x )＋x 3＋x －1,即 x ＝,可得出0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 x 2＋1 03 2 32x ＋1 n －1 1 3x ＋1 x n －1 n －1 3x ＋x n －1x n －1 n －1 ,即 a ＝ ，所以 n ⊥N * {x }的递推关系式为 x ＝, ＝ , ＝ n n n －1 3x ＋1 x n 2x ＋1 2 3 x n 3x n 2x ＋1n －1 n －1 n －1 x 11 3 1 ，因为 f '(x )＞0，且 f ( )＝－ ，f (1)＝1，所以 f (x )的有唯一零点 x '∈( ，1)，所以 时 T n ＝2 8 2 x n ＋11x 1 当 n ≥1 时，x ⊥(x '，x ) (2， 1)，所以 T ＝ ∈(1，2).故 λ 的最小值为 2. n ＋1 1 n x n ＋1四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)在①b ＝ 3a ；②a ＝3cos B ；③a sin C ＝1 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题 中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在⊥ABC ，它的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 sin B －sin(A －C )＝ 3sin C ，c ＝3，?解：因为 A ＋B ＋C ＝π，所以 sin B ＝sin(A ＋C )，所以 sin B －sin(A －C )＝(sin A cos C ＋cos A sin C ) －(sin A cos C －cos A sin C )＝2cos A sin C ＝ 3sin C ，因为 C ∈(0，π)，所以 sin C ≠0，所以 cos A ＝π又 A ∈(0，π)，所以 A ＝6.若选①，由正弦定理，sin B ＝ 3sin A π 2π所以 B ＝3或 3 ，ππ 若 B ＝3，则 C ＝π－A －B ＝2，所以 b ＝c cos A ＝1 1 S ⊥ABC ＝2bc sin A ＝3×2＝2π π若 B ＝ 3 ，则 C ＝π－A －B ＝6，所以 a ＝c ＝3，1 1 S ⊥ABC ＝2ac sin B ＝2×3×3×若选②，因为 c ＝3，由正弦定理，sin A ＝sin C cos B ，又因为 A ＋B ＋C ＝π， 所以 sin A ＝sin(C ＋B )＝sin C cos B ＋cos C sin B ， 所以 cos C sin B ＝0，又 B ∈(0，π)，所以 sin B ≠0，π所以 cos C ＝0，C ＝2，所以 b ＝c cos A ＝1 1 S ⊥ABC ＝2bc sin A ＝3×2＝1若选③，由正弦定理 c sin A ＝a sin C ＝1，由 c ＝3，sin A ＝2，矛盾，所以这样的三角形不存在 . 18．(本小题满分 12 分)已知等比数列{a n }的前 n 项和 S n ＝2n ＋r ，其中 r 为常数． (1)求 r 的值；(2)设 b n ＝2(1＋log 2a n )，若数列{b n }中去掉数列{a n }的项后余下的项按原来的顺序组成数列 {c n }，求 c 1＋c 2＋c 3＋···＋c 100 的值． 解:(1)n ＝1 时，a 1＝S 1＝2＋r ，－1n ≥2 时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，所以 a 2＝2，a 3＝4，a 22＝1，即 2＋r ＝1，所以 r ＝－1，因为{a n }为等比数列，所以 a 1＝ a 3n此时，对任意 n ⊥N ，a ＝2 ，所以 n ≥2 时，a * n 1－ ≠0， ＝2，故{a }为等比数列，所 n n －1 na n －1以 r ＝－1．(2)b n ＝2(1＋log 2a n )＝2n ，b n ＋1－b n ＝2，所以{b n }是首项为 2，公差为 2 的等差数列．数列{b n }前 100 项为 2，4，6，8，…，200，其中 2，4，8，16，32，64，128 为数列{a n } 中的项，所以{c n }前 100 项为{b n }中前 107 项去除 2，4，8，16，32，64，128 后按原来顺 序构成的数列．故 c 1＋c 2＋c 3＋···＋c 100＝(b 1＋b 2＋…＋b 107)－(a 2＋a 3＋…＋a 8) 107(2＋214) ＝ －2(2 －1)＝11556－256＋2＝11302． 7 2 19．(本小题满分 12 分)某公司对项目 A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：(1)请用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，并用相关系数加以说明；(2)该公司计划用 7 百万元对 A ，B 两个项目进行投资．若公司对项目 B 投资 x (1≤x ≤6)百 万元所获得的利润 y 近似满足：y ＝0.16x －0.49＋0.49，求对 A ，B 两个项目投资金额分别x ＋1 为多少时，获得的总利润最大？附：①对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，···，(x n ，y n )，其回归直线方程^y ＝b ^x ＋a^的斜率和 项目 A 投资金额 x（单位：x 百万元）12345所获利润 y（单位：y 百万元）0.30.30.50.91n∑ x i y i －nx · y— －i=截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^＝n ∑ i i =1n∑ x i y i －nx · y i =1 — －②线性相关系数 r ＝．一般地，相关系数 r 的绝对值在 0.95 以n ( n∑ x i －nx ) ( ∑ y i －ny 2 －2 2－2 )i =1i =1上(含 0.95)认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．n n参考数据：对项目 A 投资的统计数据表中∑ x y ＝11， ∑ y ＝2.24， 4.4≈2.1．2i i i i =1 i =1解(y ＝(0.3＋0.3＋0.5＋0.9＋1)÷5＝0.6， 5∑ i ＝1 5∑ 22i =1 5 ∑2 2i =1 5∑ x i y i －5 x · y — －i =1 则b ^ ＝^－ ^ ^ － ＝0.2，a ＝ y －bx ＝0.6－0.2×3＝0，则有y ＝0.2x ， 5 ∑ i i =15∑ x i y i －5 x · y— －2 2＝ ＝ ≈0.9524＞0.95， i ＝1 r ＝2.1 5 5 10×0.44 ∑ x i －5 x ) ( ∑ y i －5 y 2 －2 2－2 ( )i ＝1i ＝1答：线性回归方程为：^y ＝0.2x ；y 与 x 线性相关性较强．(2)由于对项目 B 投资 x (1≤x ≤6)百万元，则对项目 A 投资(7－x )百万元，则总利润为：y ＝0.16x －0.49＋0.49＋0.2(7－x )，(1≤x ≤6)x ＋1 y ＝1.89－0.04x －0.49 ＝1.93－[0.04(x ＋1)＋0.49] x ＋1 ≤1.93－0.28＝1.65x ＋1当且仅当 x ＋1＝3.5，即 x ＝2.5 时，取到最大值 1.65 百万元，答：投资 A 项目 4.5 百万元，B 项目 2.5 百万元，利润最大值为 1.65 百万元． 20．(本小题满分 12 分)如图，三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的所有棱长都为 2，B 1C ＝ 6，且 AB ⊥B 1C ． （1）求证：平面 ABB 1A 1⊥平面 ABC ；4（2）若点 P 在棱 BB 1 上且直线 CP 与平面 ACC 1A 1 所成角的正弦值为 ，求 BP 的长．5z C 1C 1B 1B 1A 1A 1PxCCBOAy （第 20 题图）A （第 20 题图）解(1)证明：取 AB 中点 O ，连结 B 1O ，CO ，在正三角形 ABC 中，CO ⊥AB ，且 CO ＝ 3，因为 AB ⊥B 1C ，CO ∩B 1C ＝C ，所以 AB ⊥平面 B 1CO ，所以 AB ⊥B 1O ，因为 BO ＝1，BB 1＝2，所以 B 1O ＝ 3，因为 B 1O 2＋CO 2＝6＝B 1C 2，所以 B 1O ⊥CO ， 因为 CO ∩AB ＝O ，所以 B 1O 垂直平面 ABC ，又 B 1O ⊆平面 ABB 1A 1，所以平面 ABB 1A 1⊥平 面 ABC ；(2)由(1)，OC ，OA ，OB 1 两两垂直，故可分别以 OC ，OA ，OB 1 方向为 x ，y ，z 轴建立如图 所示的空间直角坐标系，所以 A (0，1，0)，C( 3，0，0)，B (0，－1，0)，B 1(0，0， 3)，→ → - - 所以AC ＝( 3，－1，0)，CB ＝(－ 3，－1，0)，AA 1＝BB 1＝(0，1， 3)，设BP ＝λBB 1＝(0，- →→ λ， 3λ) ，则CP ＝ C B ＋ BP ＝ (－ 3，λ－1， 3λ).设平面 ABB 1A 1 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z )，⎧⎪→ ⎧y ＝ 3 则⎨ AC ·n ＝ 3x －y ＝0，取 x ＝1，得⎨ ， ⎪ → ⎩z ＝－1 ⎩ AA 1·n ＝y ＋ 3z ＝0所以 n ＝(1， 3，－1)，设直线 CP 与平面 ACC 1A 1 所成角的大小为 θ， →则 sin θ＝|cos<n ， C P >| ＝(1， 3，－1)·(－ 3，λ－1， 3λ)||12＋( 3)2＋(－1)2× (－ 3)2＋(λ－1)2＋( 3λ)2＝ 2 3 1 1 4 ＝ ，得 4λ －2λ＋ ＝0，解得 λ＝ ， 2 4 4 55× 4λ2－2λ＋41 1所以 BP ＝ BB 1＝ .4 221.已知直线 l :y ＝x ＋m 交抛物线 C :y 2＝4x 于 A ，B 两点． -(1)设直线 l 与 x 轴的交点为 T ，若AT ＝2 TB ，求实数 m 的值；(2)若点 M ，N 在抛物线 C 上，且关于直线 l 对称，求证:A ，B ，M ，N 四点共圆． 解:(1)在 y ＝x ＋m 中令 y ＝0，可得 T (－m ，0)， 设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，- - → → 因为AT ＝2 TB ，所以OA ＝3 OT －2OB ，即(x 1，y 1)＝(－3m －2x 2，－2y 2)，所以 y 1＝－2y 2， 将 y ＝x ＋m 代入 y 2＝4x 可得 y 2－4y ＋4m ＝0， 所以 y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝4m ， 所以 y 1＝8，y 2＝－4，m ＝－8， 所以实数 m 的值为－8．(2)证法 1：设 M ，N 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 因为点 M ，N 在抛物线 C 上，且关于直线 l 对称，所以可设直线 MN :x ＋y ＋n ＝0，代入 y 2＝4x 得 y 2＋4y ＋4n ＝0， 所以 y 3＋y 4＝－4，y 3y 4＝4n ， x ＋x 3 4所以 MN 中点为 ( ，－2)，2y 2＋y 2 x 3＋x 4 3 4＝ (y 3＋y 4)2－2y 3y 4 因为 ＝ ＝2－n ，2 8 8所以 MN 中点为(2－n ，－2)， 所以－2＝2－n ＋m ，即 m －n ＝－4，y 3－y 4 4(y 3－y 4) 4因为 k MN ＝ ＝ ＝ ， y 2－y 2x 3－x 4 3 4y 3＋y 4 4 16 所以 k AM ·k BM ＝ 4· ＝ ， y 2＋(y 1＋y 2)y 3＋y 1y 2y 3＋y 1 y 3＋y 2 3因为 y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝4m ，16 4 所以 k AM ·k BM ＝ 16＝ ＝ ＝－1，y 2＋4y 3＋4m 4x 3＋4y 3＋4m m －n 3 所以⊥AMB ＝90º，同理⊥ANB ＝90º， 所以 A ，B ，M ，N 都在以 AB 为直径的圆上， 所以 A ，B ，M ，N 四点共圆．证法 2：因为点 M ，N 在抛物线 C 上，且关于直线 l 对称， 所以可设直线 MN :x ＋y ＋n ＝0，所以 A ，B ，M ，N 满足方程(x －y ＋m )(x ＋y ＋n )＋2(y 2－4x )＝0， 即 x 2＋y 2＋(m ＋n －8)x ＋(m －n )y ＋mn ＝0， 所以 A ，B ，M ，N 四点共圆．注：圆锥曲线上四点共圆的充要条件是两条对棱斜率相反或斜率均不存在，参考我拙作《高 中数学－解析几何系统解析》. 22．(本小题满分 12 分)已知函数 f (x )＝e x －ax sin x －x －1，x ⊥[0，π]，a ⊥R ． 1 (1)当 a ＝2 时，求证：f (x )≥0；(2)若函数 f (x )有两个零点，求 a 的取值范围． 1 1解：(1)当 a f (x )=e x －2x sin x －x －1， ＝2时， 1f'(x )＝e x －2(sin x ＋x cos x )－1，1 1 f'(x )＝e x －2(cos x ＋cos x －x sin x )＝(e x －1)＋(1－cos x ) ＋2x sin x ≥0(因为 x ∈[0，π])， 所以 f'(x )在区间[0，π]为单调递增函数，所以 f'(x )≥f ’(0)＝0， 所以 f (x )在区间[0，π]为单调递增函数，所以 f (x )≥f (0)＝0．1 1≤2时，f (x )≥e x －2x sin x (2)由(1)知，当 a －x －1≥0，当且仅当 x ＝0 时取等号， 此时函数 f (x )仅有 1 个零点．1当a＞2时，因为f(x)＝e x－ax sin x－x－1，所以f′(x)＝e x－a(x cos x＋sin x)－1，f′′(x)＝e x＋a(x sin x－2cos x)．当x∈ π[2，π]时，f′′(x)＞0，所以f′(x)单调递增．π时，f′′′(x)＝e x＋a(3sin x＋x cos x)．当x∈[0，2]因为e x＞0，a(3sin x＋x cos x)≥0，所以f′′′(x)＞0，所以f′′(x)单调递增．πππ又f′′(0)＝1－2a＜0，f′′(2)＝e2＋2a＞0，ππ因此f′′(x)在[0，]上存在唯一的零点x0，且x0⊥(0，)．2当x⊥(0，x0)时，f′′(x)＜0，所以f′(x)单调递减；2π当x⊥(x0，)时，f′′(x)＞0，所以f′(x)单调递增．2又f′(0)＝0，f′(x0)＜f′(0)＝0，f′(π)＝eπ＋aπ－1＞0，因此f′(x)在[0，π]上存在唯一的零点x1，且x1⊥(x0，π)．当x⊥(0，x1)时，f′(x)＜0，所以f(x)单调递减；当x⊥(x1，π)时，f′(x)＞0，所以f (x)单调递增．又f (0)＝0，f (x1)＜f (0)＝0，f(π)＝eπ－π－1＞0，所以f(x)在(x1，π)上存在唯一零点，因此f(x)在[0，π]上有两个零点．综上，a 的取值范围是1(2，＋∞)．18。
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江苏省南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试 数学试题 一、填空题 1. 函数xxxfcossin)(的最小正周期为 ▲ .
2. 已知复数)31)(2(iiz，其中i是虚数单位，则复数z在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限. 3. 如图是一个算法流程图，如果输入x的值是41，则输出S的值是 ▲ .
4. 某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区间[100，104]上的产品件数是 ▲ . 5. 袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球若摸出红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是 ▲ .
6. 如图，在平面四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，E为线段AO的中点，若BEBABDuuuruuuruuur
（,R），则 ▲ . 7. 已知平面α，β，直线,mn，给出下列命题： ①若//m，//,nmn，则 ②若//，//,//mn，则||mn ③若,,mnmn，则 ④若，,mn，则mn. 其中是真命题的是 ▲ .（填写所有真命题的序号）。 8. 如图，在ABC中，D是BC上的一点。已知060B，
2,10,2ADACDC则AB= ▲ .
9. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：24xy的焦点为F，定点 (22,0)A，若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM：MN= ▲ .
10. 记等差数列na的前n项和为nS，已知12a，且数列nS也为等差数列，则13a= ▲ .
11. 已知知函数1()||1xfxx，xR，则不等式2(2)(34)fxxfx的解集是 。 12. 在平面直角坐标系xOy中，已知⊙Ｃ：22(1)5xy，Ａ为⊙Ｃ与x负半轴的交点，过A作⊙Ｃ的弦AB，记线段AB的中点为M.则直线AB的斜率为 。
13. 已知,均为锐角，且sincos()sin，则tan的最大值是 。
14. 已知函数22,0()(1)1,0xxxfxfxx，当[0,100]x时，关于x的方程1()5fxx的所有解的和为 。 二、解答题
15. 在ABC中，角A、B、C的对边分别为,,abc.已知3cos5C.
(1)若92CBCAuuuruuur,求ABC的面积； (2)设向量(2sin,3)2BXuur，(cos,cos)2ByBur，且//xyrur，求 sin()BA的值。
16. 如图，在四棱锥P—ABCD中，12ADCDAB，//ABDC，ADCD，PCABCD平面. （1）求证：BC平面PAC； （2）若M为线段PA的中点，且过,,CDM三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值。
(第16题图) P
A B
C D
M 17. 右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H
在弦AB上）。过O作OPAB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知10,6.5OPMP
（单位：m）,记通风窗EFGH的面积为S（单位：2m） （1）按下列要求建立函数关系式： （i）设()POFrad，将S表示成的函数；
(ii)设()MNxm，将S表示成x的函数； （2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？
18. 如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：22221(0)xyabab的离心率为22，直线l：12yx
与椭圆E相交于A，B两点，25AB，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N. （1）求,ab的值； （2）求证：直线MN的斜率为定值。
x
y
A O B
C D
M
N
(第18题图)
E B G A N D M C F O H
P
(第17题图) 19. 已知函数(2)()1lnkxfxxx，其中k为常数. (1)若0k,求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程. (2)若5k,求证：()fx有且仅有两个零点； (3)若k为整数，且当2x时，()0fx恒成立，求k的最大值。
20．给定一个数列na，在这个数列里，任取m(3,)mmN项，并且不改变它们在数列na中的先后次序，得到的数列na的一个m阶子数列。 已知数列na的通项公式为1nana(,)nNa为常数，等差数列2a，3a，6a是数列na的一个3子阶数列。 （1） 求a的值；
（2） 等差数列12,,,mbbbL是na的一个m(3,)mmN阶子数列，且11bk
(,,2)kkNk为常数，求证：1mk
（3） 等比数列12,,,mcccL是na的一个m(3,)mmN阶子数列， 求证：111122mmcccL B A D E C F
（第21A题图）
南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试 数学附加题 21、选做题 A．选修4-1；几何证明选讲 如图，过点A的圆与BC切于点D，且与AB、AC分别交于点E、F.已知AD为∠BAC的平分线，求证：EF//BC
B．选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵302aA，A的逆矩阵11031bA
（1）求a,b的值； （2）求A的特征值。 C．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C：2xsyss(为参数)，直线l：12103410xttyt（为参数）.设曲线C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度。 D．选修4-5：不行等式选讲
已知x,y,z都是正数且xyz=1,求证：(1+x)(1+y)(1+z)≥8 22、甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立. (1)分别求甲队以3：0，3：1，3：2获胜的概率； （2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得1分.求甲队得分X的分布列及数学期望。
23、（本小题满分10分） 已知,mnN，定义(1)(2)(1)()!nnnnnmfmmL
（1）记 6()mafm，求1212aaaL的值； （2）记 (1)()mmnbmfm，求12nbbbL所有可能值的集合。 南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 2．一 3．－2 4．55 5．78 6．34 7．③④ 8．263 9．13 10．50 11．(1，2) 12． 2 13．24 14．10000 15．（本小题满分14分） 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知cosC＝35． （1）若CBCA＝92，求△ABC的面积； （2）设向量x＝(2sinB2，3)，y＝(cosB，cosB2)，且x∥y，求sin(B－A)的值． 解：（1）由CB→·CA→＝92，得abcosC＝92． 又因为cosC＝35，所以ab＝92cosC＝152． …………………… 2分 又C为△ABC的内角，所以sinC＝45． …………………… 4分 所以△ABC的面积S＝12absinC＝3． …………………… 6分 （2）因为x//y，所以2sinB2cosB2＝3cosB，即sinB＝3cosB． ………………… 8分 因为cosB≠0，所以tanB＝3． 因为B为三角形的内角，所以B＝π3． ………………… 10分
所以A＋C＝2π3，所以A＝2π3－C． 所以sin(B－A)＝sin(π3－A)＝sin(C－π3) ＝12sinC－32cosC＝12×45－32×35 ＝4－3310． ………………… 14分 16．（本小题满分14分） 如图，在四棱锥P—ABCD中， AD＝CD＝12AB， AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD． （1）求证：BC⊥平面PAC； （2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值．
证明：（1）连结AC．不妨设AD＝1． 因为AD＝CD＝12AB，所以CD＝1，AB＝2． 因为ADC＝90，所以AC＝2，CAB＝45． 在△ABC中，由余弦定理得BC＝2，所以AC2＋BC2＝AB2． 所以BCAC． …………………… 3分 因为PC平面ABCD，BC平面ABCD，所以BCPC． …………………… 5分 因为PC平面PAC，AC平面PAC，PC∩AC＝C， 所以BC平面PAC． …………………… 7分 （2）如图，因为AB∥DC，CD平面CDMN，AB平面CDMN， 所以AB∥平面CDMN． …………………… 9分 因为AB平面PAB， 平面PAB∩平面CDMN＝MN， 所以AB∥MN． …………………… 12分 在△PAB中，因为M为线段PA的中点， 所以N为线段PB的中点， 即PN：PB的值为12． …………………… 14分 (第16题图)
P A B
C D
M N
(第16题图) P A B
C D
M