载荷集度、剪力和弯矩间的关系分析(ppt 14页)
工程力学-第十六章
16.5.2 纯弯曲正应力的分布规律
由平面假设可知，矩形截面梁在纯弯曲时的应力分布有如下特点： （1）中性轴上的线应变为零，所以其正应力亦为零。 （2）距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也相等。 （3）在图所示的受力情况下，中性轴上部的各点正应力为负值，中性轴下部的各点正应 力为正值。 （4）正应力沿y轴呈线性分布，如图所示，其中，K为待定常数。最大正应力（绝对值） 在距中性轴最远的上、下边缘处。
16.1.1 对称弯曲的概念
工程中最常见的梁，其轴线是直线，横截面一般都有1根或2根对称轴，如图所示。
16.1.1 对称弯曲的概念
由横截面的纵向对称轴和梁的轴线组成的平面，称为纵向对称面，如图所示。如果梁上的 外力全部作用在这个对称面内，那么梁变形后，其轴线也将变成这个对称面内的一条平面曲线， 这种弯曲称为平面弯曲。
04
弯矩、剪力与载荷集度间的关系
16.4 弯矩、剪力与载荷集度间的关系
一般情况下，梁上不同截面的 FQ 和 M 是不同的。为描述内力沿梁轴变化的规律，用 x 轴表示梁横 截面的位置，则梁各横截面上的剪力和弯矩可表示为坐标 x 的函数，即
FQ FQ (x) M M (x)
16.4 弯矩、剪力与载荷集度间的关系
Wz
πd 3 32
16.5.3 纯弯曲正应力的计算公式
常见截面的惯性矩和抗弯截面系数：
截面形状
惯性矩
抗弯截面系数
Iz
Iy
πD4 64
(1
α4)
Wz
πD3 32
(1
α4)
16.5.4 弯曲切应力简介
1．矩形截面梁横截面上的切应力
梁横截面上的切应力不是均匀分布的，对于矩形截面梁横截面上的切应力，假设其分布特 点为：
工程力学(材料力学部分第四章)
qa 1 qa2 2
在刚节点处，弯矩值连续 ;
Q
1 qa 2
1 qa2 2
M
53
特点： 在刚节点处，弯矩值连续; 可以利用刚节点的平衡， 对内力图进行校核。
Q2
X 0 Y 0
M1
N1 Q1
M2 N2
Q2 N1 0
Q1 N2
M 0
M1 54M 2
§4. 6 平面曲杆的弯曲内力
平面曲杆 轴线为平面曲线的杆或梁。
M = 截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和
12
RAx
x
RA
RC
若从D处截开，取右段。 横截面上的内力如图。
RAx
QD
RA
QD
x
N
MD
MD
RC
计算可得QD, MD的数值与取左段所得结果相同。
但从图上看，它们的方向相反。
剪力和弯矩的正负号规则如何？
13
剪力和弯矩的正负号规定
剪力
使其作用的一 段梁产生顺时 针转动的剪力 为正。
(0.6 x 1.2 m)
DB段 取x截面，右段受力如图。
Q(x) q(2.4 x) RB 19 10x (1.2 x 2.247 m)
x
DB段 取x截面，右段受力如图。
Q(x) q(2.4 x) RB19 10x (1.2 x 2.4 m)
M (x)
RA (2.4
x)
1 2
RA
1 2
ql
Pb l
RB
1 2
ql
Pa l
RA1
若梁分别受到这两种载
荷的作用：
RA2
RB RB1 R42B2
约束反力
剪力图与弯矩图的画法_图文_图文
dM(x) = Q(x)
dx
dQ(x) = q(x)
dx
2
d M(x)
2
= q(x)
dx
公式的几何意义
剪力图上某点处的切线斜率等于该点 处荷载集度的大小 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点 处剪力的大小。
梁上最大弯矩可能发生在 Q(x) = 0 的截面上 或梁段 边界的截面上。最大剪力 发生在全梁或梁段的界面。
解： 在AC段中 q=0 ，且 QA=RA
q
A
B
CE
D
0.2
1.6
1
2
q
在AC段中 Qc = 80KN，剪力图
A
B
CE
D
为矩形，MA =0
0.2
1.6
1
2
80KN
(b)
+
80KN
q
在CE段中，剪力图为三角形
A
B
CE
D
QC=80KN，MC=16KN.m
0.2
1.6
1
2
80KN
(b)
+
80KN
81KN
CD段： 向右下方的斜直线
DB段：水平直线
最大剪力发生在 CD 和 DB 段的任一横截面上。
1
A C
0.2
1
q
E
1.6 2
2
B D
80KN
+
80KN
MB = 0
全梁的最大2
1
q
E
1.6 2
2
B D
16 16
+
单位：KN.m
例 作梁的内力图
A
材料力学第四版刘鸿文编第04章弯曲内力
FA a F
b
A x1 C x2
l
+
b l
F
FS图
－
Fab
l
M图
+
FB
B
(4)内力图特征
在集中力作用的地方，
剪力图有突变，外力F向
下，剪力图向下变，变化
值=F 值；弯矩图有折角。
a l
F
[例6] 求梁的内力方程并画出内力图。
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
(2)写出内力方程
AC段：
FS(x1)FA
M(x1)F1x
1 2
qax
1
F S (x 2 )F q (x 2 a )q2aq(x2 a)
M (x2)F2x 1 2q(x2a)2 12qa2x12q(x2a)2
A x1 B x2
a
F qa 2
FS
qa
2
+
M
q
C 2a
(2)根据方程画内力图
FS
(x1)
qa 2
q2aq(x2a)
FS(x2)
极值点： 令FS(x2)0
即：q2aq(x2a)0
得：
x
0
3 2
a
M 0 85qa2
§4–5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系
取一微段dx， 进行平衡分析。
q(x)
Fy 0 ,
FS(x) q(x)dxF S(x)dF S(x)0
a
2 qa qa 1 qa
3
3
MO0,FA2a1 2q2aM0,
q
第四章梁的内力1
例题5-2：简支梁受力如图，试列出梁的剪力方程和弯 矩方程作梁的剪力图和弯矩图。
解： 1、约束反力
Fb FA l Fa FB l
F
A FA x ax
C l
B b
2、列内力方程
FB
AC段： Fs ( x )
Fb l Fb M( x ) x l
0 x a 0 x a a x l a x l
B a
3qa 2
a
C FC
5qax2 qx2 2 M ( x2 ) 3qa 2 2 a x2 3a
qa qa 2
qa 2
a/2
dM ( x 2 ) 5qa qx2 0 dx 2
qa2 8
A FAY
2kN C D
1kN/m B x3 FBY
[例] 画出梁的内力图。 解：1、支反力 Y 0, FAY FBY 2 1 2 0
M( x )
a x l
Fa ( l x ) a x l l
Fs图
Fa l
思考：a=b时，内力图有 什么特点呢？
M图 Fab l
例题5-3：图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。 Me
A
a C l B b FB
FA
解: 1、求支反力
BC :
A
2kN C D
1kN/m B
AC : Fs ( x1 ) 2, CD : Fs ( x2 ) 0， M ( x2 ) 2，
(0 x1 1) (1＜x2＜2) (1 x2 2)
M ( x1 ) 2 x1， (0 x1 1)
FAY
剪力和弯矩关系
§10-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
截面上的剪力等于截
FAy
2F
面任一侧外力的代数和。
FSE
FSE
5F 3
2F
F 3
39
目录
§10-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
截面上的弯矩等于截面任
ME
一侧外力对截面形心力矩的代
FAy
2F
数和。
M x qlx / 2 0 x l
45
目录
平面刚架的内力
B
y
ql
ql 2 2
ql 2
＋
FN
ql 2
根据各段的内力方程画内力图
ql2 竖杆AB：
2
FN y ql / 2 FS y ql qy M y qly qy2 / 2
ql
2
ql
－
2
横杆CB：
FN x 0 FS x ql / 2 M x qlx / 2
工程中以弯曲变形为主的杆件通常称为梁(Beam) 5
§10-1 弯曲的概念和实例
弯曲特点: 杆件受横向外力或外力偶作用 变形后轴线由直线变成了曲线
6
目录
§10-1 弯曲的概念和实例
7
目录
§10-1 弯曲的概念和实例
8
§10-1 弯曲的概念和实例
常见弯曲构件对称面（截面）
y
y
y
y
y
x
§10-1 弯曲的概念和实例
FS y ql qy 0 y l
梁的内力
MA=0
MC=FA×2=30×2kN·m=60kN·m
CD段：没有均布荷载作用，弯矩图是一条斜直线，需确定MC和MD左 MD左=FA×4-F×2=(30×4-20×2)kN·m=80kN·m
D截面：有逆时针方向的集中力偶M作用，弯矩图向上突变M=40kN·m
MD右=MD左-M=(80-40)kN·m=40kN·m
截面上必有弯矩M，且M=FAC。当左段梁若平衡，横截面 上必有两个内力分量：平行于横截面的竖向内力Fs以及位 于荷载作用面的内力偶M。内力Fs称梁横截面内的剪力， 而内力偶M称为梁横截面内的弯矩。
Fs
C
A
M
FA
x
若以右段梁为研究对象，由作用力与反作用力定律可知，
右段梁横截面上的内力值仍为Fs和M，指向与左段梁横截面
MBF0
F 6 M q 4 2 F A 8 0
解之得：
FA 30kN FB 30kN
（2）画剪力图
从左向右作图，全梁分为A端、AC段、C端、CD段、DB段和B端。
31
FA=30kN AC段：没有均布荷载作用，剪力图为一条水平线：FC左=FA右=30kN C端：有向下的集中力F作用，剪力图向下突变F=20kN
Mx=FA x-qx2/2= 81/32qa2
BC段：没有均布荷载作用，弯矩图是一条斜直线，需确定MB和MC。
MC 0
29
剪力图与弯矩图
30
[例] 如图所示，试画出该梁的剪力图和弯矩图。
F=20kN M=40kN
FA
FB
解：（1）计算支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程得：
MAF0
F B 8 M F 2 q 4 6 0
M144 kNm
工程力学
5qa Q1 R A 4
7qa 0得 R B 4
由截面法得内力结论： 梁任意截面上的剪力等于截面一侧梁上所有横向外力 的代数和。左侧梁上向上的外力为正(右侧梁上向下的外 力为正)，反之为负。 梁任意截面上的弯矩等于截面一侧梁上所有外力对 截面形心取矩的代数和。左侧梁上顺时旋转的弯矩为正 (右侧梁上逆时旋转弯矩为正)，反之为负。
斜直线
Q
自左向右突变
Q
无变化
Q C
x
Q<0
x
x
x
Q1 C
Q>0 M
斜直线
x M x
(-)
M
(+)
(-)
18:48
截面上的内力值
x
22
q
A
x
B
l
Fs
ql R A RB 2
ql Fs ( x) R A qx qx 2
RA
ql 2
RB
(0 x l )
ql 2
ql x M ( x) x qx 2 2
M
q l2 8
q ql l x 2 2 8
| Q | max F | M | max Fl
梁上集中荷载及支座处内力有以下特点
（1）集中力作用处，剪力无定值，定突变，变化的大小就是该处集中力的数 值。当该处集中力向上作用时，从左邻到右邻剪力的数值增加。 当该处集中力向下作用时，从左邻到右邻剪力的数值减小。 （2）集中力偶作用处，弯矩无定值，定突变，变化的大小就是该处集中力偶的 数值。当该集中力偶顺时转时，从左邻到右邻弯矩的数值增加。 当该集中力偶逆时转时，从左邻到右邻弯矩的数值减小。 （3）在两端的铰处或自由端，只要该处无集中力偶，则两端内侧截面的M=0。 若该处有集中力偶Me作用，则梁端内侧面或自由端内侧面M=Me （4）最大弯矩可能发生在 a)集中力作用处 b)集中力偶作用处
材料力学第五章梁的剪力图与弯矩图
29
§5-3
剪力和弯矩及其方程
为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先 建立Oxy坐标系。其中O为坐标原点，x坐 标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取 在梁的左端，x坐标轴的正方向自左向右， y坐标轴铅垂向上。
30
§5-3
剪力和弯矩及其方程
建立剪力方程和弯矩方程，需要根据梁上的外 力（包括载荷和约束力）作用状况，确定控制 面，从而确定要不要分段，以及分几段建立剪 力方程和弯矩方程。
FBy
F 0 M 0
y A
FAy FBy 2F
FSE O FAy ME
FBy
F 5F FAy 3 3
分析右段得到：
FBy
O
ME FSE
F
FBy
y
0
FSE FBy 0
M
o
0
3a M E FBy Fa 2
27
§5-3 剪力和弯矩及其方程
F FBy 3
3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，
梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力
并不作用在纵向对称面内的弯曲。
13
工程实际中的弯曲问题简图
P
P P P
P P P
P
14
平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
M M M
M
弯矩为正
弯矩为负
22
梁的控制面
集中力作用点两侧的截面
集中力偶作用点两侧的截面 集度相同的均布载荷起点和终点截面处
23
5-4剪力 弯矩与分布载荷集度间的微分关系
材料力学大连理工大学王博剪力、弯矩和分布载荷集度的微分关系问题：内力方程依赖坐标系 ——繁琐！能否根据外力直接画出内力图？关键：找到内力和外力之间的对应关系！ HA B C D E G F 1 F 2 M e q qOF d x q (x ) F S , M 与 q 的微分关系一、F S , M 与 q 的微分关系推导d x x yxF S (x ) F S +d F Sq (x ) M+d MM (x )设 q 向上为正 ∑F y = 0 F S +q d x －(F S ＋d F S ) = 0 ∑M C = 0 忽略高阶小量d M －F S d x － q (d x )2/2 = 0 (M ＋d M ) －M －F S d x －q (d x )2/2 = 0 ∴ d x q (x ) F S (x ) F S +d F SM+d M M (x ) Cq xF =d d S S d d F x M =F S , M 与 q 的微分关系理解： 1.它们反映了梁的内力与外力之间的关系，实际上就代表了梁微段上的平衡方程2.依据这些关系，使得根据外力直接画内力图成为可能 ∴ d x q (x )F S (x ) F S +d F SM+d M M (x ) q xF =d d S S d d F x M =q x M =22d d1. q = 0F S ,M图的若干规律(1)F S图M图F S﹥0F S﹤0q = 0F S = 0qxF=ddSSddFxM=qxM=22ddS 图M 图 q ﹤02. q = 常数q ﹥0抛物线 F S ,M 图的若干规律(2)q x F =d d S S d d F x M =q x M =22d d q F S MqllAB 22ql3. 集中力F 的影响F S ,M图的若干规律(3)F S图M图FF折角F F突变FqxF=ddSSddFxM=qxM=22dd4. 集中力偶M e的影响F S ,M图的若干规律(4)F S图M图M eM e突变Me无影响qxF=ddSSddFxM=qxM=22dd5. F S = 0的截面， 必有M max 或 M minF S ,M 图的若干规律(5)Q ： 该极值是全梁的极值，还是局部的极值？q xF =d d SSd d F xM=q xM=22d d F SMqABl2ql 2ql 22qlF SMF S >0 F S <0突变F 2突变F E突变M e 拐点折角极值折角例题HA BCD E GF 1F 2M e qqF A F E突变F 1HA BCD E G F 1F 2M e qq F AF E二、利用微分关系作F S , M 图—— 简易法 1. 控制截面的概念——外力规律发生变化的截面 集中力、集中力偶作用的截面分布载荷的起点和终点处的横截面2. 绘制F S，M 图的方法——简易法（1）与梁对齐平行画出代表梁的线段（2）确定控制截面的F，M 值S（3）利用微分关系，画出控制截面之间的F S , M 图形例题1解：1. 求支反力 3. 绘内力图2. 计算控制截面的内力值F Sqa qaqaaqa 2F A = qa (↑) F B = 2qa (↑) 求图示结构剪力弯矩图ABCqa qqa 22a a F A F B = qa = 2qa22qa例题2求图示梁的剪力图和弯矩图 F A =14.5 kN （↑） F B = 3.5 kN （↑） 2. 作F S , M 图解： 1. 求支反力3. 58. 56 46.0467 4. 83mM e = 3 kN·m M （kN·m ）F S （kN ）ACB D 2m 4m2mq = 3 kN/m F AF B三、叠加法作内力图1. 叠加原理在材料服从胡克定律和小变形的条件下——几个力共同作用引起梁的内力，等于这几个力分别单独作用时引起梁的内力的代数和。