高考数学压轴专题2020-2021备战高考《坐标系与参数方程》全集汇编及解析

数学《坐标系与参数方程》知识点

一、13

1．能化为普通方程210x y +-=的参数方程为（ ）

A ．2sin ,

cos x t y t

=??=?（t 为参数）

B ．2

tan ,1tan x y ??

=??=-?（?为参数）

C ．x y t ?=??

=??（t 为参数）

D ．2

cos ,

sin x y θθ=??

=?

（θ为参数） 【答案】B 【解析】

A:21,[1,1]y x x =-∈- ;B 21,y x x =-∈R ;C:21,[0,)y x x =-∈+∞ ;D:

21,[1,1]y x x =-∈-，所以选B.

点睛：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，经常用到公式：

2222

1

cos sin 1,1tan cos θθθθ

+=+=

.不要忘了参数的范围.

2．点(,)ρθ满足223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=，则2

ρ的最大值为（ ） A ．

72

B ．4

C ．

92

D ．5

【答案】B 【解析】 【分析】

将2

2

3cos 2sin 6cos ρθρθθ+=化成直角坐标方程，则2ρ的最大值为2

2x

y + 的最大

值。 【详解】

223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=两边同时乘ρ，化为22326x y x +=，得

22332y x x =-，则()2222211919

369(3)22222x y x x x x x +=-+=--++=--+.由

223

302

y x x =-…，可得02x 剟，所以当2x =时，222x y ρ=+取得最大值4．

故选B 【点睛】

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化以及利用二次函数求最值，属于一般题。

3．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或

B ．2

x =

C ．2202x y x +==或

D ．2y =

【答案】C 【解析】

由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C.

【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=??

=??+=?

，利用这个公式可以实现直角坐标

与极坐标的相互转化．

4．已知直线2sin 301sin 30

x t y t ?

?

?=-?=-+?（t 为参数）与圆22

8x y +=相交于B 、C 两点，则||BC 的值为（ ）

A

．B

C

．D

【答案】B 【解析】 【分析】

根据参数方程与普通方程的互化方法，然后联立方程组，通过弦长公式，即可得出结论． 【详解】

曲线2sin 301sin 30

x t y t ?

?

?=-?=-+?（t 为参数），化为普通方程1y x =-， 将1y x =-代入2

2

8x y +=，可得22270x x --=， ∴

BC ==，故选B ． 【点睛】

本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．

5．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θ

θ=??

=?

(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴

建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离

C ．直线过圆心

D ．相交但直线不过圆

心 【答案】D 【解析】

分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】

圆的参数方程2cos 2sin x y θ

θ

=??

=?(θ为参数)224x y ?+= 直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=?--=

圆心到直线的距离为：9

25

d r =

<=相交 圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心. 故答案选D 【点睛】

本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.

6．在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：20y kx ++=与曲线C ：

2cos ρθ=相交，则k 的取值范围是( )

A ．34

k <-

B ．34

k ≥-

C ．k R ∈

D ．k R ∈但0k ≠

【答案】A 【解析】

分析：一般先将原极坐标方程2cos ρθ=两边同乘以ρ后，把极坐标系中的方程化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即可．

详解：将原极坐标方程2cos ρθ=，化为：2

2cos ρρθ=，

化成直角坐标方程为：22

20x y x +-=， 即2

2

(1)1x y -+=．

则圆心到直线的距离d =

由题意得：1d <

，即1d =<，

解之得：34

k <-． 故选A ．

点睛：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用

cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，进行代换即得．

7．若直线l ：y kx =与曲线C ：2cos sin x y θ

θ=+??

=?

（θ为参数）有唯一的公共点，则实数k

A

B

．C

D

．±

【答案】D 【解析】 【分析】

根据题意，将曲线C 的参数方程消去θ，得到曲线C 的普通方程2

2

(2)1x y -+=，可知曲线C 为圆，又知圆C 与直线相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得k 。 【详解】

Q 曲线C ：2cos sin x y θ

θ

=+??

=?，消去θ，得

∴曲线C ： 22(2)1x y -+=

又知圆C 与直线相切。可得，

1=

解得k =，给故答案选D 。 【点睛】

本题主要考查了参数方程与普通方程的转化以及圆与直线的关系的几何关系表达。

8．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22

162

x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半

轴为极轴建立极坐标系，直线l

的极坐标方程为cos()6

π

ρθ+

=M 的极坐标方

程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2

2

11OA

OB

+

的

最大值为（ ） A ．

3

4

B ．

25

C ．

23

D ．

13

【答案】C 【解析】

分析：先由曲线C 的直角坐标方程得到其极坐标方程为()2

2

1+2sin 6ρ

θ=，设A 、B 两

点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，将射线M 的极坐标方程为θα=分别代入曲线C 和直线l 的极坐标方程，得到关于α的三角函数，利用三角函数性质可得结果.

详解：∵曲线C 的方程为22

162

x y +=，即2236x y +=，

∴曲线C 的极坐标方程为()2

2

1+2sin 6ρ

θ=

设A 、B 两点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，

联立()22

1+2sin 6

ρθθα?=??=??，得221112sin 6θρ+=，同理得222cos 163πθρ??+ ???=， 根据极坐标的几何意义可得22

2222

12cos 111112sin 663OA OB

πθθρρ??+ ?+??+=+=+

1+1cos 21cos 23sin 23666

ππθθθ???

?-+++-+ ? ?????=，即可得其最大值为2

3

，故选C. 点睛：本题考查两线段的倒数的平方和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，充分理解极坐标中ρ的几何意义以及联立两曲线的极坐标方程得到交点的极坐标是解题的关键，是中档题．

9．

设曲线:sin x C y ??

?=??=?? （?为参数）与x 轴的交点分别为M N ，，点P 是曲线C 上的动点，且点P 不在坐标轴上，则直线PM 与PN 的斜率之积为（ ） A ．

1

3

B ．13

-

C ．

34

D ．43

-

【答案】B 【解析】 【分析】

由曲线C 的参数方程，求得曲线C 的普通方程为2

213x y +=

，可设

(M N

，,sin )P ??，再根据斜率公式，得到

22sin 3cos 3

PM PN

k k ???=-，即可求解． 【详解】

由题意，曲线:sin x C y ??

?=??=?? （?为参数），所以曲线C 的普通方程为2

213x y +=，

又由曲线C 与x 轴的交点分别为M N ，，点P 是曲线C 上的动点，且点P 不在坐标轴

上，

可设(,sin )M N P ??， 则直线PM 与PN 的斜率之积：

22

sin 13cos 3

33cos 33cos 3PM PN

k k ?????=?==--+-，故选B ． 【点睛】

本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程的互化公式，利用直线的斜率公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

10．如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上

移动（包含端点A 、C 、D ），P 是圆Q 上及其内部的动点，设BP mBC nBA

=+u u u v u u u v u u u v

（,m n ∈R ），则m n +的取值范围是（ ）

A ．[221]

B ．[422,42]-+

C ．22

[1] D ．22

[1+ 【答案】D 【解析】 【分析】

建立如图所示平面直角坐标系，可得,BA BC u u u r u u u r 的坐标，进而可得BP u u u r

的坐标．分类讨论，当

动圆Q 的圆心在CD 上运动或在AD 上运动时，利用圆的参数方程相关知识，设出点P 坐标，再利用三角函数求m n +的最值． 【详解】

解：建立如图所示平面直角坐标系，可得，

(0,4),(4,0)BA BC ==u u u r u u u r ，可得(4,0)(0,4)(4,4)BP m n m n =+=u u u r

，

当点Q 在CD 上运动时，设(4,),

[0,4]Q t t ∈，

则点P 在圆Q ：22

(4)()1x y t -+-=上及内部，

故可设(4cos ,sin ),

(,01)P r t r R r θθθ++∈≤≤，

则(4cos ,sin )BP r t r θθ=++u u u r

，

44cos 4sin m r n t r θθ

=+?∴?=+?， 444(sin cos )42sin 4m n t r t r πθθθ?

?∴+=+++=+++ ???，

04,01,t r R θ≤≤≤≤∈Q ，

当50,1,4t r πθ===时，m n +42-2

1-； 当4,

1,4

t r π

θ===

时，m n +取最大值为

82

4

+，即224+

m n ∴+的取值范围是2212?+??

?

； 当点Q 在AD 上运动时，设(,4),[0,4]Q s s ∈，

则点P 在圆Q ：22

()(4)1x s y -+-=上及其内部，

故可设(cos ,4sin ),

(,01)P s r r R r θθθ++∈≤≤，

则(cos ,4sin )BP s r r θθ=++u u u r

，

4cos 44sin m s r n r θθ

=+?∴?=+?， 444(sin cos )42sin 4m n s r s r πθθθ?

?∴+=+++=+++ ??

?，

04,01,s r R θ≤≤≤≤∈Q ，

当50,1,4s r πθ===时，m n +1；

当4,

1,4

s r π

θ===

时，m n +，即2+

m n ∴+的取值范围是1244?-

+??

?

； 故选：D ． 【点睛】

本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

11．已知实数x ，y 满足2212

x y +≤，则2222

267x y x y x +-++-+的最小值等于

（ ）

A ．5

B ．7

C -

D ．9-

【答案】D 【解析】 【分析】

设x θ=

，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．

【详解】

因为实数x ，y 满足2

212

x

y +?，

设x θ=

，sin y θ=，

222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+

2|cos 8|θθ-+，

22cos 8(cos 100θθθ-+=-->Q 恒成立，

222222|2||67|sin cos 899x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--…

故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于9- 故选：D ． 【点睛】

本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

12．已知二次函数()()2

1211y a a x a x =+-++，当1,2,3,,,a n =L L 时，其抛物线在

x 轴上截得线段长依次为12,,,,n d d d L L ，则()12lim n n d d d →+∞

+++K 的值是

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】A 【解析】 【分析】

当a n =时，()()2

1211y n n x n x =+-++，运用韦达定理得

()12111

11

n d x x n n n n =-==

==-++，运

用裂项相消求和可得12.n d d d ++?+由此能求出()12lim n n d d d →+∞

+++K 【详解】

当a n =时，()()2

1211y n n x n x =+-++， 由()()2

12110n n x n x +-++=，可得()12211n x x n n ++=

+，()

121

1x x n n =+，

由()1211111

n d x x n n n n =-==

==-++，

1211111111

112233411n d d d n n n ∴++?+=-+-+-+?+-=-++．

∴()121lim lim 111n n n d d d n →+∞→+∞

?

?+++=-= ?+??

K 故选：A ． 【点睛】

本题主要考查了函数的极限的运算，裂项相消求和，根与系数的关系，属于中档题．

13．直线122x t y t

=+??=+?（t 是参数）被圆22

9x y +=截得的弦长等于（ ）

A ．

125

B C ．

5

D 【答案】D 【解析】 【分析】

先消参数得直线普通方程，再根据垂径定理得弦长. 【详解】 直线122x t

y t

=+??

=+?（t 是参数），消去参数化为普通方程：230x y -+=．

圆心()0,0O 到直线的距离

d =

，

∴直线被圆22

9x y +=

截得的弦长5===.

故选D ． 【点睛】

本题考查参数方程化普通方程以及垂径定理，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．已知曲线Γ

的参数方程为(3cos ln x t t t y t ?=-?

?=??

其中参数t R ∈，,则曲线Γ（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称

C ．关于原点对称

D ．没有对称轴

【答案】C 【解析】 【分析】

设()x f t =，()y g t = t R ∈，首先判断这两个函数都是奇函数，然后再判断函数关于原点对称. 【详解】

设()x f t =，()y g t = t R ∈

()()()()()3

33cos cos cos f t t t t t t t t t t x -=----=-+=--=-，

()x f t ∴=是奇函数， ()()

(

(

ln ln g t g t t t -+=-+

++

((

ln ln ln10t t =-+== ,

()y g t ∴=也是奇函数，

设点()()(

)

,P f t g t 在函数图象上，那么关于原点的对称点是()()()

,Q f t g t --，

()f t Q 和()g t 都是奇函数，

所以点Q 的坐标是()()()

,Q f t g t --，可知点Q 在曲线上，

∴ 函数图象关于原点对称.

故选：C 【点睛】

本题考查函数图象和性质的综合应用，意在考查转化与计算能力，属于中档题型.

15．设x 、y 满足223412,x y +=则2x y +的最大值为（ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

【解析】 【分析】

由2

2

3412x y +=得出22

143

x y +=，表示椭圆，写出椭圆的参数方程，利用三角函数求

2x y +的最大值.

【详解】

由题可得：22

143x y +=

则2cos (x y θθθ

=???

=??为参数），

有22cos x y θθ+=+

14sin 2

2con θθ??=+ ?

???

4sin 6πθ??

=+

??

?

. 因为1sin 16πθ?

?-≤+≤ ??

?，

则： 44sin 46πθ??

-≤+

≤ ??

?

， 所以2x y +的最大值为4. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查与椭圆上动点有关的最值问题，利用椭圆的参数方程，转化为三角函数求最值.

16．已知P 为曲线3cos 4sin x y θ

θ=??=?

（θ为参数，0θπ剟

）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为

4

π

，则P 点的坐标是（ ） A ．(3,4)

B

．2? ? C ．(-3,-4) D ．1212,55?? ???

【答案】D 【解析】 【分析】

根据两点斜率公式求出点P 的参数θ即可求解.

设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ. 由题意知3cos 4sin θθ=，

∴3

tan 4

θ=，又0θπ剟

， ∴3sin 5θ=

，4cos 5

θ=， ∴4123cos 355x θ==?

=，312

4sin 455

y θ==?=， ∴点P 的坐标为1212,55??

???

.

故选D. 【点睛】

本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.

17．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为 A ．1ρ= B ．cos ρθ= C ．2cos ρθ= D ．2sin ρθ=

【答案】C 【解析】

由题意知圆的极坐标方程为221rcos cos ρθθ==??，即2cos ρθ=．故选C ．

18．把曲线12cos 2sin x C y θθ

=??=?：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的1

4，纵坐标压缩为

原来的

4

，得到的曲线2C 为 A ．2

2

1241x y +=

B ．2

2

4413

y x +=

C ．2

2

13

y x +=

D ．22344x y +=

【答案】B 【解析】

根据题意，曲线C 2：

12θ x cos y θθ?=??

??=??

（为参数），

消去参数，化为直角坐标方程是2

2

4413

y x +=

点睛：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，经常用到公式：

22221

cos sin 1,1tan cos θθθθ

+=+=

.不要忘了参数的范围.

19．极坐标方程2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=表示的曲线是（ ） A ．一个圆 B ．两个圆 C ．两条直线 D ．一个圆和一条直线

【答案】D 【解析】

分析：2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=化为()()cos 130ρθρ+-=，然后化为直角坐标方程即可得结论.

详解：2

cos 3cos 30ρθρθρ-+-=化为()()cos 130ρθρ+-=，

因为cos 10ρθ+=表示一条直线1x =-

30ρ-=表示圆229x y +=，

所以，极坐标方程2

cos 3cos 30ρθρθρ-+-= 表示的曲线是一个圆和一条直线，故选D.

点睛：本题主要考查极坐标方程的应用，属于中档题. 极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．

20．已知点()1,2A -，()2,0B ，P

为曲线y =上任意一点，则AP AB ?u u u v u u u v 的取值范围为（ ） A ．[]1,7 B ．[]1,7-

C

．1,3?+?

D

．1,3?-+?

【答案】A 【解析】 【分析】

结合已知曲线方程，引入参数方程，然后结合和角正弦公式及正弦函数的性质即可求解． 【详解】

解：设(),P x y

则由y =()221043x y y +=≥，

令2cos ,x y θθ==，[]

(0,θπ∈，

()1,2AP x y ∴=-+u u u v ，()1,2AB =u u u v

，

124232cos 34sin 36AP AB x y x y πθθθ?

?∴?=-++=++=++=++ ??

?u u u v u u u v ，

0θπ≤≤Q ，

76

6

6

π

π

πθ∴≤+

≤

， 1sin 126πθ?

?-

≤+≤ ??

?， 14sin 376πθ?

?∴≤++≤ ??

?，

【点睛】

本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数性质的简单应用，参数方程的应用是求解本题的关键.