专题：二次函数中的动点问题.doc

二次函数中的动点问题（二）

平行四边形的存在性问题

一、技巧提炼

1、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像和性质

a ＞0 a ＜0

y

图象x

O

开口

对称轴

顶点坐标

最值当 x＝时， y 有最值是当 x＝时， y 有最值是增在对称轴左侧y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而

减

在对称轴右侧y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而

性

2、平行四边形模型探究

如图 1，点A

x1, y1、B x2, y2、C x3, y3是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标

系中

是否存在点D，使得以A、 B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点 D 的坐标。

图1图2

如图 2，过A、B、C分别作 BC、AC、AB 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。

3、平面直角坐标系中直线和直线 l 2:

当 l

1 ∥l

2

时 k = k ; 当 l

1

⊥l 时 k ·k = -1

1 2 2 1 2

4、二次函数中平行四边形的存在性问题：

解题思路：（1）先分类（ 2）再画图（ 3）后计算

二、精讲精练

2

1、已知抛物线y=ax +bx+c 与 x 轴相交于A、B 两点（ A、B 分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于 C 点，且 OA： OB： OC=1： 3： 3，△ ABC的面积为6，（如图 1）

（1）求抛物线的解析式；

（2）坐标平面内是否存在点M，使得以点M、A、B、C 为顶点四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图 2，在直线 BC上方的抛物线上是否存在一动点 P，△ BCP面积最大？如果存在，求出最大面积，并指

出此时 P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

2、（2013?黔西南州）如图，已知抛物线经过A（﹣ 2， 0），B（﹣ 3，3）及原点 O，顶点为 C

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）设点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且以 AO为边的四边形 AODE是平行四边形，求点 D的

坐标。

【变式练习】

（2007?河南）如图，对称轴为直线x= 7

的抛物线经过点A（6， 0）和 B（ 0，4）．2

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点 E（ x， y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以 OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

①当平行四边形OEAF的面积为 24 时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．

四、方法规律

1、平行四边形模型探究

如图 1，点 A x 1 , y 1 、 B x 2 , y 2 、 C x 3 , y 3 是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中

是否存在点 D ，使得以 、 、

C 、

D 四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点

D 的坐标。

A B

图1

图2

以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，

直接写出第四个顶点的坐标。

2、平面直角坐标系中直线

和直线 l 2:

当 l 1 ∥l 2 时 k 1= k 2;

当 l 1 ⊥l 2 时 k 1·k 2= -1

五、实战训练

1、抛物线 y ＝－ ( x ＋2) 2－ 3 的顶点坐标是（）

( A) （2，－ 3）；( B) （－ 2， 3）；( C) （2， 3）；( D) （－ 2，－ 3）

2、已知抛物线y ax2 bx c a 0 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）

A、 a ＞0

B、b＜0

C、 c ＜0

D、a +b+ c ＞0

3、函数y ax 2 a 0 与 y ax 2 a 0 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

4、如图，一次函数

0) 2 1

y1 kx n k

与二次函数y2 ax bx c(a 0)

的图象相交于

(

，

5)

、

( A

B(9，2)两点，则关于x 的不等式kx n ax2 bx c 的解集为（）

A、 1 x 9

B、 1 x 9

C、 1 x 9

D、 x 1 或 x 9

5、出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出(8 x) 个，则当 x 为多少元，一天出售该种手工艺品

的总利润 y 最大。

6、（2012?宜宾）如图，抛物线y=x 2﹣ 2x+c 的顶点 A 在直线 l ： y=x﹣ 5 上。

（1）求抛物线顶点 A 的坐标；

（2）设抛物线与 y 轴交于点 B，与 x 轴交于点 C． D（ C点在 D点的左侧），试判断△ ABD 的形状；

（ 3）在直线 l 上是否存在一点P，使以点P、 A、 B、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由。