人教A版2020届高考数学二轮复习(理)讲义及题型归纳(基础)：概率与统计

表 13-1
1
2
3
…
n
P
p1
p2
p3
pn
① pi 1 1 i n,i N ;
② p1 p2 pn 1 .
（2） E 表示 的期望： E =1 p1 2 p2 …+n pn ，反应随机变量的平均水平，若随机变量 ， 满足 =a b ，则 E aE b .
（3）D 表示 的方差：D = 1-E 2 p1 2 -E 2 p2 n -E 2 pn ，反映随机变量 取值的波动性。
2
, 是参数，且 0 ， ）。
其图像如图 13-7 所示，有以下性质： ①曲线在 x 轴上方，并且关于直线 x 对称；
②曲线在 x 处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形 状； ③曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“矮胖”， 越小，曲线越“高瘦”；
2
（3）几何分布：若在一次实验中事件发生的概率为 p 0 p 1 ，则在 n 次独立重复实验中，在第 k
次首次发生的概率为 p k 1 p k1 p
， k 1, 2,，
E
=
1 p
。
（4）超几何分布：总数为 N 的两类物品，其中一类为 M 件，从 N 中取 n 件恰含 M 中的 m 件，
m 0,1, 2, k
④ f x 图像与 x 轴之间的面积为 1.
（2） E = ， D = 2 ，记作 ~ N , 2 .
当 0, 1 时， 服从标准正态分布，记作 ~ N 0,1 .
（3） ~ N , 2 ，则 在 , ， 2 , 2 ， 3 , 3 上取值的概率分别
二、命题趋势探究
1.高考命题中，该部分命题形式有选择题、填空题，但更多的是解答题。 2.主要以离散型随机变量分布列为主体命题，计算离散型随机变量的期望和方差，其中二项分布与超 几何分布为重要考点，难度中等以下。 3.有关正态分布的考题多为一道小题。
三、知识点精讲
（一）.条件概率与独立事件
（1）在事件 A 发生的条件下，时间 B 发生的概率叫做 A 发生时 B 发生的条件概率，记作 P B A ，
为 68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的 3 原则。
3
四、解答题总结
1．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立，设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数， DX 2.4 ， P(X 4) P(X 6) ，则 p =
A．0．7
B．0．6
（3）在 n 次独立重复实验中，事件 A 发生 k 0 k n 次的概率记作 Pn k ，记 A 在其中一次实验中 发生的概率为 P A p ，则 Pn k Cnk pk 1 pnk .
1
（二）.离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质
（1）离散型随机变量 的分布列（如表 13-1 所示）.
D 越小表明随机变量越稳定，反之越不稳定。若随机变量 ， 满足 =a b ，则 D =a2D 。
（三）.几种特殊的分布列、期望、方差
（1）两点分布（又称 0，1 分布）
01 P 1- p p
E = p ， D = p 1 p .
（2）二项分布：若在一次实验中事件发生的概率为 p 0 p 1 ，则在 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次 概 率 p k = Cnk pk 1 p nk k 0,1, 2,, n ， 称 服 从 参 数 为 n, p 的 二 项 分 布 ， 记 作 ~ B n, p ， E = np ， D = p 1 p .
（a）放入 i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 i i 1, 2 ； （b）放入 i 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi i 1, 2 ．则
A． p1 p2, E 1 E 2
B． p1 p2, E 1 E 2
C． p1 p2, E 1 E 2
，其中 k 为 M 与 n 的较小者，P
m=
C C m nm M NM CNn
，称
服从参数为 N , M , n 的超几何
分布，记作
~ H N,M,n
，此时有公式
E
=
nM N
。
（四）.正态分布
（1）若 X 是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为 f x
1
x 2
e 2 2 ， x R （其中
p1
p2
1 2
，则
A． E(1) < E(2 ) ， D(1) < D(2 )
B． E(1) < E(2 ) ， D(1) > D(2 )
C． E(1) > E(2 ) ， D(1) < D(2 )
D． E(1) > E(2 ) ， D(1) > D(2 )
4．已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙盒中有 m 个红球和 n 个篮球 m 3, n 3 ，从乙盒中随机抽取 i i 1, 2 个球放入甲盒中．
C．0．4
2．设 0 p 1，随机变量 的分布列是D．0．30 Nhomakorabea1
2
1 p
1
p
P
2
2
2
则当 p 在 (0,1) 内增大时，
A． D( ) 减小
B． D( ) 增大
C． D( ) 先减小后增大
D． D( ) 先增大后减小
3．已知随机变量 i
满足 P(i
1)
pi
， P(i
0)
1
pi
， i =1，2．若 0
条件概率公式为 P B
A =
P AB P A
。
（2）若 P B A =P（B），即 P AB =P( A)P(B) ,称 A 与 B 为相互独立事件。 A 与 B 相互独立，即 A 发
生与否对 B 的发生与否无影响，反之亦然。即 A, B 相互独立，则有公式 P AB =P( A)P(B) 。
概率与统计
一、考纲解读
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性。 2.理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用。 3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解 n 次独立重复实验的模型及二项分布，并能解决一 些简单的实际问题。 4.理解取有限个值的离散型变量均值，方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能 解决一些实际问题。 5.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义。