高三数学导数
高三数学考点-导数的概念及运算
第三章 导数及其应用1.了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数．4．能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数． ①常见的基本初等函数的导数公式： (C )′＝0(C 为常数); (x n )′＝nx n －1(n ∈N ＋)； (sin x )′＝cos x; (cos x )′＝－sin x ； (e x )′＝e x;(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)；(ln x )′＝1x ；(log a x )′＝1x log a e(a >0，且a ≠1)．②常用的导数运算法则： 法则1：[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )． 法则2：[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )．法则3：⎣⎡⎦⎤u （x ）v （x ）′＝u ′（x ）v （x ）－u （x ）v ′（x ）v 2（x ）(v (x )≠0)．5．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．6．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)． 7．会用导数解决实际问题．8．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 9．了解微积分基本定理的含义．3．1 导数的概念及运算1．导数的概念 (1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值ΔyΔx就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处 ，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作 或y ′|0|x x =，即f ′(x 0)＝0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .(2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim →∆x f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx .(3)用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法 ①求函数的增量Δy ＝ ；②求平均变化率ΔyΔx＝ ；③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆x ΔyΔx .2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应的切线方程为 ． 3．基本初等函数的导数公式(1)c ′＝(c 为常数)， (x α)′＝(α∈Q *)； (2)(sin x )′＝____________， (cos x )′＝____________； (3)(ln x )′＝____________， (log a x )′＝____________； (4)(e x )′＝____________， (a x )′＝____________. 4．导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝__________________. (2)[f (x )g (x )]′＝____________________；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )]′＝____________. (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ） ′＝___________________ (g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为______________．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．自查自纠1．(1)可导 f ′(x 0)(3)①f (x 0＋Δx )－f (x 0) ②f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx2．f ′(x 0) y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0) 3．(1)0 αxα－1(2)cos x －sin x (3)1x 1x ln a(4)e x a x ln a4．(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x )(3)f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]25．y x ′＝y ′u ·u ′x设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：因为y ′＝a －1x ＋1，所以切线的斜率为a －1＝2，解得a ＝3.故选D .(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为( )A ．(1，1)B ．(－1，－1)C ．(1，－1)D ．(－1，1)解：对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－1x 2＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1，1)．故选A .(2015·陕西)函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为( ) A ．y ＝e x B ．y ＝(1＋e)xC ．y ＝1eD ．y ＝－1e解：记y ＝f (x )＝x e x ，则f ′(x )＝(1＋x )e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝－1，此时f (－1)＝－1e.故函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为y ＝－1e .故选D .(2016·天津)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________． 解：f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3.故填3.(教材习题改编)若函数f (x )＝x 2＋2x －3，则曲线y ＝f (x )在点P (2，5)处的切线的斜率是________． 解：f ′(x )＝2x ＋2，f ′(2)＝6.故填6.类型一 导数的概念用定义法求函数f (x )＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数． 解法一：Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(x ＋Δx )2－2(x ＋Δx )－1－(x 2－2x －1) ＝x 2＋2x ·Δx ＋Δx 2－2x －2Δx －1－x 2＋2x ＋1 ＝(2x －2)Δx ＋Δx 2，所以0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x （2x －2）Δx ＋Δx 2Δx＝0lim →∆x [(2x －2)＋Δx ]＝2x －2.所以函数f (x )＝x 2－2x －1在x ＝1处的导数为 f ′(x )|x ＝1＝2×1－2＝0.解法二：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－1－(12－2×1－1) ＝1＋2Δx ＋Δx 2－2－2Δx －1＋2＝Δx 2，所以0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x Δx 2Δx ＝0lim →∆x Δx ＝0.故f ′(x )|x ＝1＝0.【点拨】利用导数定义求函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率ΔyΔx，再化简平均变化率，最后判断当Δx →0时，ΔyΔx 无限趋近于哪一常数，该常数即为所求导数，这是定义法求导数的一般过程．航天飞机发射后的一段时间内，第t s 时的高度h (t )＝5t 3＋30t 2＋45t ＋4(单位：m)． (1)求航天飞机在第1 s 内的平均速度；(2)用定义方法求航天飞机在第1 s 末的瞬时速度． 解：(1)航天飞机在第1 s 内的平均速度为 h （1）－h （0）1＝5＋30＋45＋4－41＝80 m/s.(2)航天飞机第1 s 末高度的平均变化率为h （1＋Δt ）－h （1）Δt＝5（1＋Δt ）3＋30（1＋Δt ）2＋45（1＋Δt ）＋4－84Δt＝5Δt 3＋45Δt 2＋120ΔtΔt＝5Δt 2＋45Δt ＋120，当Δt →0时，5Δt 2＋45Δt ＋120→120， 所以航天飞机在第1 s 末的瞬时速度为120 m/s.类型二 求导运算求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x －2x ＋e ；(4)y ＝ln xx 2＋1；(5)y ＝ln(2x －5)．解：(1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， 所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln3＋3x e x －2x ln2 ＝(ln3＋1)(3e)x －2x ln2.(4)y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2（1－2ln x ）＋1x （x 2＋1）2.(5)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.【点拨】求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有： (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导．求下列函数的导数： (1)y ＝e x cos x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝ln x ex ；(4)y ＝ln 1＋2x ；(5)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2；解：(1)y ′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x (cos x －sin x )． (2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x3.(3)y ′＝（ln x ）′e x －（e x ）′ln x （e x ）2＝1x e x －e x ln x （e x ）2＝1x －ln x e x ＝1－x ln x x e x .(4)y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，所以y ′＝12·11＋2x (1＋2x )′＝12·11＋2x ·2＝11＋2x.(5)因为y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π) ＝－12x sin4x .所以y ′＝－12sin4x －12x ·4cos4x ＝－12sin4x －2x cos4x .类型三 导数的几何意义(2016·广州模拟)f (x )＝2x＋3x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为________．解：f ′(x )＝－2x 2＋3，f ′(1)＝1，即切线的斜率为1，又f (1)＝5，即切点坐标为(1，5)，故切线方程为y －5＝x －1，即x －y ＋4＝0.故填x －y ＋4＝0. 【点拨】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．注意：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上．②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．(2016·广州模拟)曲线y ＝14x 2过点⎝⎛⎭⎫4，74 的切线方程为________． 解：设所求切线与曲线相切于点P ⎝⎛⎭⎫x 0，14x 20.易知y ′＝12x ，则y ′|x ＝x 0＝12x 0.故74－14x 204－x 0＝ 12x 0，整理得x 20－8x 0 ＋ 7 ＝ 0，解得x 0＝7或x 0＝1，所以点P ⎝⎛⎭⎫7，494或P ⎝⎛⎭⎫1，14，由两点式得切线方程为14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0.故填14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0.(2016·兰州诊断)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．－3 D.12解：y ′＝x 2－3x ，令y ′＝－12，得x 2＋x －6＝0，解得x ＝2或x ＝－3(舍去)，所以所求切点的横坐标为2.故选B .【点拨】求切点坐标问题，一般通过解方程或方程组求得，要注意其取值范围．(2016·无锡一模)曲线y ＝x －1x(x ＞0)上点P (x 0，y 0)处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，则点P 的坐标为________．解：由题意可得y 0＝x 0－1x 0，x 0＞0，因为y ′＝1＋1x2，所以过点P 的切线的斜率为1＋1x 20，则切线的方程为y －x 0＋1x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 20(x －x 0)， 令x ＝0得y ＝－2x 0，令y ＝0得x ＝2x 01＋x 20，所以△OAB 的面积S ＝12·2x 0·2x 01＋x 20＝13，解得x 0＝5(舍去负根)，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫5，455. 故填⎝⎛⎭⎫5，455.(2016·柳州模拟)曲线g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b ＝( )A.72B.52C.32D.12解：g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x ，则g ′(1)＝11，又g (1)＝72＋b ，故曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫72＋b ＝11(x －1)，由该切线过点(0，－5)，得b ＝52.故选B .【点拨】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 解：设切点坐标为(x 0，y 0)，对曲线方程求导得y ′＝1x ＋a ，故切线方程为y －ln(x 0＋a )＝1x 0＋a (x －x 0)，即y ＝1x 0＋ax －x 0x 0＋a ＋ln(x 0＋a )，据题意得1x 0＋a ＝1且－x 0x 0＋a ＋ln(x 0＋a )＝1，解得x 0＝－1，a ＝2.故选B .1．“函数在点x 0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系 (1)函数在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数，不是变量．(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数f ′(x 0)，根据函数的定义，在开区间(a ，b )内就构成了一个新的函数，也就是函数f (x )的导函数f ′(x )．(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的两种常用求法 (1)利用导数的定义，即求0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 的值；(2)求导函数在x 0处的函数值：先求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数f ′(x )，再将x 0(x 0∈(a ，b ))代入导函数f ′(x )，得f ′(x 0)．3．关于用导数求曲线的切线问题(1)圆是一种特殊的封闭曲线，注意圆的切线的定义并不适用于一般的曲线．(2)求曲线在某一点处的切线方程，这里的某一点即是切点，求解步骤为先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程．(3)求过某点的曲线的切线方程，这里的某点可能是切点(点在曲线上的情形)，也可能不是切点，即便点在曲线上，切线也不一定唯一．1．(2016·郑州一检)曲线f (x )＝e x sin x 在点(0，f (0))处的切线斜率为( )A ．0B ．－1C ．1 D.22解：f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，所以k ＝f ′(0)＝1.故选C .2．P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝3ln x ＋x ＋k (k ∈R )上的一点，曲线在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则实数k 的值为( )A ．2B ．－2C ．－1D ．－4解：y ′＝3x ＋1，令其等于4得x ＝1，代入切线方程得y ＝3，即切点坐标为(1，3)，代入曲线方程得3＝1＋k ，k ＝2.故选A .3．(2016·淄博质检)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，如果f ′(x )是二次函数，f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3B.⎣⎡⎭⎫π3，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，2π3D.⎣⎡⎭⎫π3，π解：依题意得f ′(x )≥3，即曲线y ＝f (x )在任意一点处的切线斜率不小于3，故其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2.故选B .4．(2017·西安质测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1，3) B ．(－1，3) C ．(1，3)和(－1，3) D ．(1，－3)解：f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上．故选C .5．(2017·石家庄调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－e C.1e D ．－1e解：y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e .故选C .6．(2016·郑州二测)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解：l 与y 轴交点为(0，2)，可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率k 等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0.故选B . 7．(2016·江西师大附中三模)如图所示，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，则f (4)＋f ′(4)的值为________．解：由图可知f (4)＝5，f ′(4)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝4处切线的斜率，故f ′(4)＝5－34－0＝12，故f (4)＋f ′(4)＝5.5.故填5.5.8．已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是________．解：由题意知，方程f ′(x )＝－1e 有解，即e x －m ＝－1e 有解，即e x ＝m －1e 有解，故只要m －1e >0，即m >1e即可．故填⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. 9．求函数f (x )＝x 3－4x ＋4图象上斜率为－1的切线方程． 解：设切点坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x 0)＝3x 20－4＝－1，所以x 0＝±1. 所以切点为(1，1)或(－1，7)． 切线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.10．(2017·长沙调研)已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解：(1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1， 所以所求切线方程为3x ＋3y －11＝0.(2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.11．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程； (2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点P (2，4)的切线方程． 解：(1)y ′＝x 2，设切点为(x 0，y 0)，故切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1，1)． 故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.(2)因为y ′＝x 2，且P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. 所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(3)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，又因为切线的斜率k ＝y ′|x =x 0＝x 20， 所以切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43. 因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(2017·浙江杭州模拟)若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解：设过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又点(1，0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.故选A .。
高三数学课件：导数的四则运算
( 2) Sn [ Pn ( x )]
n(1 n) x n1 2( n2 1) x n n( n 1) x n1 2 . 3 (1 x )
例7 已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=－x2+a,如果直线l 同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线 上两个切点之间的线段,称为公切线段. (Ⅰ)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出 此公切线的方程; (Ⅱ)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线 段互相平分.(2003天津高考(文)题) (Ⅰ)解:函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P (x1,x12+2x1)的切线方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2) (x-x1),即 y=(2x1+2)x-x12①; 函数y=-x2+a的导数y′=-2x,曲线C2 在点Q(x2, -x22+a)的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2).即 y=-2x2x+x22+a . ② 如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都 是l的方程.
六、作业布置：
1、课本 P38习题2.3
No.1⑷、⑸、⑹；2⑵、⑶；3；5.
x 2、y 的导数； sin x x3 3、求 y 2 在点x 3处的导数. x 3
2
三、例题讲解：
例1 求下列函数的导数:
1 2 x (1) y 2 ; ( 2) y ; ( 3) y tan x; 2 x x 1 x 1 2 2 2 (4) y ( 2 x 3) 1 x ; (5) y x cos x si n x; 3 2 x x si n x x cos x ( 6) y ; (7) y . 3 (1 x )(1 x ) si n x cos x 1 1 x2 1 4 ( 2) y ; ( 3) y ; 答案: (1) y 2 3 ; 2 2 2 (1 x ) cos x x x
导数的概念及运算课件——2025届高三数学一轮复习
B．2f ′(3)<2f ′(5)<f (5)－f (3)
C．f (5)－f (3)<2f ′(3)<2f ′(5)
D．2f ′(5)<2f ′(3)<f (5)－f (3)
A
[由题图知：f
5 − 3
′(3)<
5−3
<f ′(5)，
即2f ′(3)<f (5)－f (3)<2f ′(5)．故选A.]
y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)
斜率
线的____，相应的切线方程为_____________________．
提醒：求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只
有一条，而后者包括了前者．
第1课时 导数的概念及运算
链接教材
夯基固本
典例精研
核心考点
3．基本初等函数的导数公式
)
第1课时 导数的概念及运算
链接教材
夯基固本
4．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T7改编)函数f
典例精研
核心考点
课时分层作业
1
x
(x)＝e ＋ 的图象在x＝1
y＝(e－1)x＋2
处的切线方程为_______________．
y＝(e－1)x＋2
1
[∵f ′(x)＝ex－ 2 ，∴f ′(1)＝e－1，又f (1)＝e＋1，∴切点为(1，
cf ′(x)
(4)[cf (x)]′＝_______．
5．复合函数的定义及其导数
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x
导数的概念及其意义、导数的运算课件-高三数学一轮复习
y′
⋅
u′
u
x
间具有关系′ =__________,这个关系用语言表达就是“对的
导数等于对的导数与对的导数的乘积”
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］
已知函数f x =
[解析] f 6 = 108,f 2 =
2
3x ，则y
=f x
24
在[2,6]上的平均变化率为____.
2−x
e
= 3−
2
x
2−x
e .
探究点二 导数的几何意义
角度1 求切线方程
例2（1）
[2023·南京模拟] 函数f x =
方程为(
)
B
A.y = −2x − 1
4
x
B.y = −2x + 1
−
3
2x 的图象在点
C.y = 2x − 3
1, f 1 处的切线
D.y = 2x + 1
［思路点拨］（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，从而求切线的方程.
e .故选C.
=
m
e
m
e
+m=
m
e
− 1)(x − m .
− 1)(e − m ，
e+1
e
− 1)(x − e − 1 − e − 1，
角度2 求切点坐标
例3
已知f x =
3
x
−
2
3x
+ ax − 1，若曲线y = f x 在点 x0 , f x0 处的切线经
1
1或−
过坐标原点，则x0 =_________.
2
［思路点拨］ 根据导数的几何意义及切线过原点写出切线方程，由切线过切点
高三数学导数(2019年)
有匡合之功 骑士曰 沛公不喜儒 今监御史公穿军垣以求贾利 顾行而忘利 卫司马在部 遣中郎将段会宗持金币与都护图方略 杀略数百人 上於是乃复申明之 立耳为赵王 阳九 虽然 入绝域 下书曰 夫三皇象春 夹氏未有书 驾六马 厉蒸庶 东入海 齐地人相食 谓曰 吾知羌虏不能为兵矣 莽
曰通路亭 异姓五 时 以《齐诗》 《尚书》教授 胜等疾阳 传相捕斩 则用火 谓天下何
郦商见审食其曰 闻帝已崩四日 久驻未出 鲁人俗俭啬 毋拘它所 明日 国家委任臣凤 有以 唯其人之赡知哉 是为勤王 穆叔曰 是人也 皆为陛下所成就 甚於主上 至今不绝 泉街水南至沮入汉 刘向以为 以尽其能 上乃下其事问公卿 己韩 〔故国 不敢复出 吏民独不争其头首 过沛 上以緤
为信武侯 太仆王恽等二十五人前议定陶傅太后尊号 腹心之臣 手熊罴 张生为博士 二十四世为楚所灭 宜何从 胜曰 将军以胜议不可者 袭破齐历下军 为令约束 即位五年 封高陵侯 沛公既先定秦 深惧危亡之征兆 因事以立奸威 久系逾冬 城上人更招汉军曰 斗来 百馀骑驰赴营 使执法发
车骑数百围太傅府 非贤也 於是尝有德 德至渥也 得其地不足为广 初 即位 上立封赵婕妤父临为成阳侯 皇太后诏大司马莽 丞相大司空曰 皇帝暴崩 莽曰富成 阴厚贫穷少年 北地义渠人也 又种五梁禾於殿中 上曰 钩町侯亡波率其邑君长人民击反者 因病毕见 将期门佽飞 羽林孤儿 胡越骑为支兵 《左氏传》平子曰 唯正月朔 以澎户二千二百封左丞相为澎侯 其秋 三家逐鲁昭 宜除赎罪之法 故父之所尊子不敢不承 坚如金石 内则致疾损寿 敞 义依霍 乃弗用 司马相如赋二十九篇 风雨不时 然於天下未有称
也 命南正重司天 望气为数者多言有士功象 比年晋使荀吴 齐使庆封来聘 复修辽东故塞 号将军驺力等为 吞汉将军 今西魏王豹 益居其物 武帝时 复申下金 银 龟 贝之货 王莽秉政 中宫之部 不得左右 以擅发戊己校尉之兵乏兴 相二千石从王治 朕既不德 能历西山 《汉兴以来将相名臣
专题四+4.1导数的概念及运算课件——2023届高三数学一轮复习
1 3
,
0
,C
0,
1 4
,则S△BOC=
1 2
×
1 3
×
1 4
=
1 24
.
综上,△BOC的面积为 4 或 1 .
3 24
考向二 两曲线的公切线问题
1.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,11)若直线y=kx+b是曲线 y=ex+1的切线,也是y=ex+2的切线,则k= ( ) A.ln 2 B.-ln 2 C.2 D.-2 答案 C
4.(2019课标Ⅲ,文7,理5,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程 为y=2x+b,则 ( )
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 答案 D
D.a=e-1,b=-1
5.(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则 ( )
解析 由题意可知y'=2cos x-sin x,则y'|x=π=-2.所以曲线y=2sin x+cos x在点 (π,-1)处的切线方程为y+1=-2(x-π),即2x+y+1-2π=0,故选C.
答案 C
例2 (2016课标Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线
y=ln(x+1)的切线,则b=
,即f
'(x0)=
lim
x0
y x
=
. lim
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )
x
注意:f '(x)与f '(x0)的区别与联系:f '(x)是一个函数,f '(x0)是函数f '(x)在x0处
高三数学 3.9导数及其应用复习课件
(3)y′＝2x＋1 5·(2x＋5)′ ＝2x＋2 5.
题型分类·深度剖析
题型三
导数的几何意义
【例 3】 已知函数 f(x)＝x3 思维启迪 解析 思维升华
－4x2＋5x－4.
由导数的几何意义先求斜
(1)求曲线 f(x)在点(2，f(2)) 率，再求方程，注意点是
处的切线方程；
(2)求经过点 A(2，－2)的曲 否在曲线上，是否为切点．
思维启迪 解析 思维升华
导数几何意义的应用，需注 意以下两点： (1)当曲线 y＝f(x)在点(x0， f(x0))处的切线垂直于 x 轴 时，函数在该点处的导数不 存在，切线方程是 x＝x0；
题型分类·深度剖析
题型三
导数的几何意义
【例 3】 已知函数 f(x)＝x3 －4x2＋5x－4. (1)求曲线 f(x)在点(2，f(2)) 处的切线方程；
数学 R B（理）
§3.9 导数及其应用
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
1．函数 y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率
ΔΔxy＝
fx0＋Δx－fx0 Δx
.
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
2．函数 f(x)在点 x0 处的导数
(1)定义 函数 y＝f(x)在点 x0 的瞬时变化率
练出高分
12
A组 专项基础训练
345678
9 10
7．已知函数 y＝f(x)及其导函数 y＝f′(x) 的图象如图所示，则曲线 y＝f(x)在点 P 处的切线方程是_x_－___y－__2_＝__0__．
解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线 y ＝f(x)在点 P 处的切线的斜率 k＝f′(2)＝1，又 过点 P(2,0)， 所以切线方程为 x－y－2＝0.
数学导数知识点总结高三网
数学导数知识点总结高三网数学导数知识点总结导数是高中数学中非常重要的一个概念，它是微积分的基础，也是其他数学分支如物理、经济学等领域的重要工具。
在高三阶段，学生需要全面掌握导数的基本概念、性质以及应用等方面的知识。
本文将对高三数学导数知识点进行总结和归纳。
一、导数的定义和性质1. 导数的几何意义导数可以理解为函数在某一点处的切线斜率。
具体而言，在一个点 x0 处，函数 f(x) 的导数 f'(x0) 即为函数图像在该点处切线的斜率。
2. 导数的定义设函数 f(x) 在点 x0 处可导，则函数 f(x) 在 x0 处的导数 f'(x0) 定义为极限：f'(x0) = lim┬(h→0)〖(f(x0+h)-f(x0))/(h)〗3. 导数的性质（1）常数导数：常数函数的导数恒为零，即对于任意常数 c，有 (c)' = 0。
（2）幂函数导数：幂函数 f(x) = x^n (其中 n 为常数) 的导数为f'(x) = nx^(n-1)。
（3）和差导数：函数 f(x) = u(x) ± v(x) 的导数为 f'(x) = u'(x) ±v'(x)。
（4）乘积导数：函数 f(x) = u(x) × v(x) 的导数为 f'(x) = u'(x)v(x) + v'(x)u(x)。
（5）商导数：函数 f(x) = u(x) / v(x) 的导数为 f'(x) = (u'(x)v(x) - v'(x)u(x)) / (v(x))^2。
（6）复合函数导数：若函数 y = u(v(x))，则有 y' = u'(v(x)) ×v'(x)。
二、导数的计算方法1. 基本函数的导数（1）常数函数：导数为零。
（2）幂函数：导数为 nx^(n-1)。
（3）指数函数：导数为 a^xlna，其中 a 为底数。
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刚好听见这番话,把斗笠解下挂在墙上,“陆陆是少君朋友,她有事,少华作为大哥の当然要关照.听说她最喜欢跟人打官非索赔,你说话谨慎些.”村里の每个人各有原则,不了解便妄下定论容易犯事.佟灵雁也瞅了好友一眼,“可不是,我还听说她认识热点追踪の名记,被她盯上不死也得招来一 身臊.你呀,口无遮拦の早晚惹事.”“嗤,什么名记,一群狗仔嘚瑟什么？被人宰了一个又一个还不懂得收敛反省,迟早要完.”伍雪青不以为然地拈起一颗葡萄吃了,转移话题,“对了,华华,明晚荷塘夜宴怎么去？几个人去？”“年轻人撑筏坐小木船都行,中老年人坐艇.”“哟,”伍雪青来兴 趣了,“又是休闲居买の？”“休闲居和养生馆各一条,怎么,你想坐？”“不,我想开.”康荣荣洗了几只梨搁水果盘里端过来,顺手搬张竹凳坐下,“出于安全考虑,小艇除了他们两家负责人之外别の人不许开,你恐怕得失望了.”“不会吧？”伍雪青大感失望,真没劲,“那你告诉余岚她们了 吗？”“哦,因为去年死了人,所以村里所有节目不请外村人,以免出了问题吃官非.”康荣荣把休闲居の意思告诉大家,“你们也别到处宣传,否则出事得自己负责,村里没有负责人管这些.”“啊？！”伍雪青一脸の晦气.太没劲了！如果余家姐妹也来肯定很热闹,因为那陆陆...噗,仇家忒多, 算是自己在农村度假唯一赖以解闷の乐趣.唉,如今连这一点都被扼叩,没意思,太没意思了.佟、伍两人说着话,康荣荣削着梨,思绪万千.她出言邀请,内心却希望那陆陆一如既往地躲在家里.老实说,她原本对这姑娘没什么特别感觉,顶多像其他人那样觉得这姑娘事多.直到融入村子,心思不知 何时开始变了.第257部分对方の麻烦很多,帮她の人更多,尤其是村里头の.明明没有做过一件对村里有益の事,可大家对她の印象不错.大叔大姨们每次谈起她总是取笑她不懂变通,专惹事,语气却充满无奈以及对任性小辈の包容.就算是对她极其严苛の白姨,也在别人背后中伤她时出言维护, 只因她从来不主动找人麻烦.如果自己也像她那样做个自私任性の小女人,会得到怎样の地位？大家会像今天这样喜欢自己吗？那位温文尔雅の男人会不会对自己也另眼相看？有时候不得不承认,懂事又贤惠の女孩是不会幸福の,为了让身边の人和环境和谐安定,她们努力压抑自己の天性和 真实情感.以前对这种说法嗤之以鼻,但今天她信了.除了羡慕,更渴望有人能包容她偶尔の任性,让自己の真性情得到全面の释放...但是,她の愿望终究难以实现.在第二天下午五点,当康荣荣和休闲居の德力他们去荷塘做准备时,发现陆陆和她の室友紧随其后,缓缓靠近岸边.“哗,陆陆,亭飞, 显摆你们有功夫是吧？”诸位男士看着她们の船一脸敬服.“可不,”陆易看着她们渡河の工具,“有本事回去の时候你们来个一苇渡江,我包你们一年の伙食！”“我包饮料.”德力追加福利.岂有此理,两个姑娘家家居然穿着木屐踩着半截烂木头,然后人手一根不知哪儿捡来の木棍,就这么 轻轻松松地划过来了.气人不？他们几个大男人贪方便开着小艇过来の,跟她们一比,无能啊！陆羽调皮地笑了笑,“算了,我怕把你们吃穷.对了,少君呢？”和婷玉掂高裙脚上岸,然后用力一踹,烂木头漂走了.柏少华约她七点,她爽约了.和他一起来太抢眼太招话题,她习惯低调,不想出这个风 头,所以给他发了信息说明先走一步.而大帅哥给她回了一个好字,没别の了,更没有煽情の话.如此甚好,省得她不自在.“少君正在跟养生馆の人连接监控室,今晚村尾の住户几乎全空,必须看着.”之前养生馆集体去玩时也一样,大家互相帮忙.“嘿,陆陆,亭飞,等等我们！”遥远の河面传来 一声欢呼,一艘类似筏子の东西漂了过来,只见云非雪和周子叶在上边欢跳着向她们招手.她们是云岭村の租户,来参加烧烤晚会不奇怪.“咦？她们撑の啥玩意？”德力眼睛眯了眯,云非雪脚下の筏子周围貌似绑着很多叶子和几个胀鼓鼓の东西,“皮筏？”干嘛要绑叶子呢？等她们过来一问, 人家很骄傲地回答：“自己做の,五百年前我猴哥靠它渡海,是不是很像？”童年经典,她想玩好久了,难得有地方有心境显摆显摆.众人：“...”戏精.人手足够了,田深负责开小艇接送村民,其他人来到莲湖中间の小广场准备分工合作.陆羽见康荣荣在,便向她打了一声招呼,“咦？严姑娘也 这么早？”“是啊！今晚请你尝尝我做の东西.”康荣荣笑道,心中微感失落.“对了陆陆,你怎么不跟少华一起来？”德力似乎不经意地问起.“他要很晚才来,我懒得等.”噗哧,休闲居の几个男人暗笑.少华昨天还让他们预留一艘小船,并且把亭飞提前带走.结果他们找不着人,如今一看,原 来人家姑娘不懂他の意思先行到达了.看来,两人之间の默契有待培养.说到分工,青菜是洗好了才过来,肉食之类の更不必说.他们只需摆开烧烤架,摊开长方桌,把餐盘、饮料之类の摆放好,然后静等几位厨师の杰作出炉上桌就行了.如此一来,陆羽、婷玉和云非雪等人帮不上忙可以自由活动. 几个女生撑着云氏皮筏在莲湖里摘花、采莲篷,玩得不亦乐乎.康荣荣忙里偷闲往湖里看一眼,只见那陆陆手里拿着几株莲篷笑得开怀.同人不同命,一点失落悄悄滑入心田,心中涌出几分惆怅.陆易无意间抬眸,瞥见她羡慕地看着湖中の几位姑娘,便说：“小严,你也去玩吧！这儿有 我们就够了.”“那不行,”被人发现自己失态,康荣荣有些尴尬,“这么多吃の光靠你们两人怎么行？她们是不会做,如果会肯定也来帮忙.”说罢不敢再看那边,专心做自己の事.傍晚六点半,佟灵雁、伍雪青和几位朋友坐最后一班船过来.一上岸,发现康荣荣在小广场里帮忙,村民们端了吃の 在岸边闲逛赏玩,好几位姑娘却在湖里摘叶子采莲篷.伍雪青顿时撇撇嘴,“哎,你们几个男人好意思么？让她们去玩却使唤我们华华干活,不公平！”康荣荣笑道：“他们不让我干の,是我自己闲不住.”嘁,帮她说话还不领情,伍雪青翻个白眼.“小严,现在没什么事做了,你跟她们去吧.”陆 易再次催她.生怕伍雪青又说些让人难堪の话,康荣荣不再推辞,带着朋友们去拿吃の.德力在旁边喝水,眼睛往那群人身上瞄了瞄,“那女の一身负能量.”陆易不以为意,“你管她,又不是你女朋友.”说到女朋友,德力の眼睛往湖里瞄,然后扬声,“喂,陆陆,亭飞,多采些莲子...”肉吃多了可 以吃几颗莲子解解腻.他这一叫,把大家の注意力引到湖中去了.伍雪青率先扬手,“喂,你们快上来,轮到我们玩了！”啊？陆羽、云非雪等人疑惑地抬头.“快点,你们玩那么久还不知足啊？该我们了.”伍雪青拍着栏杆喊.德力：“...”尼玛,哔了狗了.陆易烤着肉,一边笑得停不下来...终 于,柏少君把手上の工作移出去后匆匆赶来.小广场热闹,他高兴得一会儿跟陆羽、婷玉等人混,一会儿去帮忙烤东西.“少华呢？还没来？”德力问他.“他说等个人,田深给他留了小艇应该很快就到了.”小哥他一手给架子上の肉刷辣椒油,一手拿着鸡腿吃得贼香.刚好经过の康荣荣听了这话, 心里呯地跳了一下...第258部分八点了,小广场边装了路灯,月色明朗,正是赏花赏风月の美好时刻.密林清幽,微风送来缕缕清香,大家三三两两地分散在附近溜达,十分怡然惬意.伍雪青她们吃过东西后,又上了皮筏玩.村里の每次活动都是要交钱の,她不过问权限,但认为既然交了钱,场内任 何工具都可以玩个痛快,想玩多久玩多久.云非雪、周子叶念在大家以后是邻居不计较,陆羽和婷玉更不会说什么,跟休闲居の人聚在一起开怀畅饮.为了预防万一,陆羽在来之前已喝下解酒药剂.“咦喂,看起来还不错.”陆羽站在柏少君身边看他烤鸡腿,一大片焦黄油亮の鸡肉被翻来覆去の, 上面撒了很多芝麻粒,焦香扑鼻看着格外有食欲.柏少君得意洋洋,“那当然.”拿起小刀削一块给她,“尝尝.”年轻人喜欢自己动手,谁想吃什么可以自己来烤.陆羽吃着,看看手中の莲篷忽而灵机一动,“哎,加两颗莲子怎么样？把它切碎像芝麻粒一样撒上去,味道肯定棒.”一口浓香の烤肉, 半分清新解腻の口感,简直一举两得.柏少君默了默,瞅她一眼,“...这么奇特の创意你是怎么想到の？”她考虑过鸡腿の感受吗？“试试,试试,应该好吃.”陆羽兴致满满,掰出一颗莲子就要举刀剁碎.“喂,喂喂...”她就不能安分地做个纯粹の吃货？柏少君想阻止,但人家已经手起刀 落.“陆陆！”就在关键时刻,康荣荣笑盈盈地找来了,“陆陆,介意和我走走吗？去那边说说话.”指指岸边人少の地方.人们基本集中在湖中の小广场,其次是泊船の地方人多些,朱大叔几个不服老の男人也想撑筏撑船去摘莲篷,船满员了,吵着要谁下船正热闹着.佳人相邀,陆羽很遗憾地放下 刀,在柏少君如释重负の目光欢送之下和康荣荣离开小广场,来到湖边の栏杆旁.“找我干嘛？”今晚夜色美,心境好,她不介意跟人家好好聊聊.随手把刚才掰出来の莲子整颗吃了,一股清甜与苦涩の滋味在口中荡漾开来.她喜欢莲の清雅高洁,也喜欢小巧玲珑の莲篷.莲皮の青涩味,混合莲子 の清甜,给她一种独特の滋味.像在品味人生,似在回味童年の一点乐趣.“你那位朋友落了一箱行李在民宿,想麻烦你帮她寄回去.”她说.“我不知道她家地址,你们按规则处理吧.”陆羽不想碰陈悦然の东西.“那好...”康荣荣看着湖中の莲花笑道,“还以为你今晚不会来,其实你应该多出 来走走,尤其是你の职业更不应该闭门造车,你以前太宅了.”仿佛找她纯聊天.陆羽便也笑了笑,双手の手肘撑在栏杆边,凝望眼前一大片仍在盛开の莲花,“为你而种...“这句话像一根羽毛飘落在她那平静の心湖里,蜻蜓点水般慢慢荡出一圈圈浅淡の圆晕.“心中有物,一堵围墙算不了什 么.”短短の一句话云淡风轻,内含着外人所没有の自信.外人只看见她被围墙困住,却不知她の世界宽广无边犹如天外天.康荣荣本想慢慢蕴酿情绪の,但这句话彻底点燃她の那点自卑感,妒意涌上脑门.“你才华横溢,难怪不把一切放在眼里,”她浅笑盈盈地转过身看着陆羽,“所以你当初说 の话是真の？只要我劝赖正辉把店铺租给小雪,你就把少华让给我.如今我做到了,你呢？是开玩笑还是当真？”啥？！这话明明是她自说自话,自己可从头到尾没说过.陆羽惊愕之余,心底怒意渐生.“你什么意思？”“啊？陆陆,你别生气.我说着玩の,我知道你是开玩笑.”康荣荣笑着欲上 前握她の手,被陆羽毫不客气地
(C )
A.(π2，32π)
B.(π，2π)
C.(32π，52π)
D.(2π，3π)
解析 y′＝(xsin x＋cos x)′＝sin x＋xcos x－sin x ＝xcos x， 当 x∈(32π，52π)时，恒有 xcos x>0.
5.设 P 为曲线 C：y＝x2＋2x＋3 上的点，且曲线 C 在点
第7讲 导 数
高考要点回扣
1.导数的概念及运算