高考数学导数解法知识分享
高考中数学导数的解法
1、导数的背景：
（1）切线的斜率；（2）瞬时速度.
如一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）
2、导函数的概念：如果函数()f x 在开区间（a,b ）内可导，对于开区间（a,b ）内的每一个0x ，都对应着一个导数 ()0f x ' ，这样()f x 在开区间（a,b ）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做()f x 在开区间（a,b ）内的导函数， 记作 ()0
lim x y
f x y x
?→?'='=?()()
lim
x f x x f x x
?→+?-=?，
导函数也简称为导数。
提醒：导数的另一种形式0
0x
x 0)()(lim )(0
x x x f x f x f y x x --='='→=
如（1）*??
?>+≤==
1
1)(2
x b
ax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b
解：??
?>+≤==1
1)(2
x b
ax x x
x f y 在1=x 处可导，必连续1)(lim 1
=-→x f x
b a x f x +=+
→)(lim 1 1)1(=f
∴ 1=+b a
2lim 0
=??-
→?x
y x a x y x =??+→?0lim
∴ 2=a 1-=b
（2）*已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限： （1）h
h a f h a f h 2)
()3(lim
--+→?；
（2）h
a f h a f h )
()(lim 20-+→?
分析：在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不论△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在a x =处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。 解：（1）h
h a f h a f h 2)
()3(lim
--+→
h h a f a f a f h a f h 2)
()()()3(lim 0--+-+=→b a f a f h
a f h a f h a f h a f h h a f a f h a f h a f h h h h 2)('2
1
)('23)()(lim 213)()3(lim 232)
()(lim
2)()3(lim
0000=+=---+-+=--+-+=→→→→ （2）??
????-+=-+→→h h a f h a f h a f h a f h h 22020
)()(lim )
()(lim
00)('lim )
()(lim 0220=?=?-+=→→a f h h a f h a f h h
说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。
可以证明：可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数
3、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率
()()00f x x f x y x x
+?-?=?V ；（3）取极限，得导数()00lim x y
f x x →?'=?V 。
也可（1）求)(x f '，（2）)(0x f '.
4、导数的几何意义：函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点
()()0,0P x f x 处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是()0f x '，相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-。 特别提醒：
（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线(只有当此点
在曲线上时，此点处的切线的斜率才是0()f x ')，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条切线，也未必和曲线只有一个交点； （2）求过某一点的切线方程时也是通过切点坐标来求。
如（1）P 在曲线3
2
3+
-=x x y 上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是______（答：),4
3[)2,0[ππ
πY ）；
（2）直线13+=x y 是曲线a x y -=3的一条切线,则实数a 的值为_______（答：－3或1）； （4）曲线13++=x x y 在点)3,1(处的切线方程是______________（答：410x y --=）；
（5）已知函数x ax x x f 43
2)(23++-=，又导函数)('x f y =的图象与x 轴交于(,0),(2,0),0k k k ->。①求a 的值；②求过点)0,0(的曲线)(x f y =的切线方程（答：①1；②4y x =或35
8
y x =
）。 5、导数的运算法则：
;
)(;)(;)(2
v v u v u v u v u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='±
6.常见函数的导数公式:
（1）常数函数的导数为0，即0C '=（C 为常数）； （2）()()1n n x nx n Q -'=∈，
与此有关的如下：(
)
11
22
11,x x x x '
'
-????='=-'==
? ???
?? cosx )(sinx =' ;e )(e -sinx ;)(cosx x x ='=' ;
log 1)(log ;x 1)(lnx lna;a )(a e a x
a x x x
='=
'= 7.（理科）复合函数的导数：;x u x u y y '?'='
一般按以下三个步骤进行：
（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；
（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）； （3）把中间变量代回原自变量（一般是x ）的函数。
也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导)'(μy ，中间变量对自变量求导)'(x μ；最后求x y ''μμ?，并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解——求导——回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。
如（1）已知函数n m mx x f -=)(的导数为38)(x x f ='，则=n m _____（答：
1
4
）； （2）函数2)1)(1(+-=x x y 的导数为__________（答：2321y x x '=+-）；
（3）若对任意x R ∈，3()4,(1)1f x x f '==-，则)(x f 是______（答：2)(4-=x x f ） 8、函数的单调性：
（1）函数的单调性与导数的关系
①若()0f x '>,则()f x 为增函数；若()0f x '<,则()f x 为减函数；若()0f x '=恒成立,则()f x 为常数函数；若()f x '的符号不确定,则()f x 不是单调函数。可导函数y ＝f （x ）
在某个区间内0)(>'x f 是函数f(x)在该区间上为增函数的充分条件
②若函数()y f x =在区间（,a b ）上单调递增，则()0f x '≥，反之等号不成立（等号不恒成立时，反过来就成立）；若函数()y f x =在区间（,a b ）上单调递减，则()0f x '≤，反之等号不成立（等号不恒成立时，反过来就成立）。
提醒：导数求单调性可用于求函数值域，证明不等式（不等式一端化为0）
如（1）函数c bx ax x x f +++=23)(，其中c b a ,,为实数，当032<-b a 时，)(x f 的单调性是______（答：增函数）；
（2）设0>a 函数ax x x f -=3)(在),1[+∞上单调函数，则实数a 的取值范围______（答：03a <≤）
； （3）已知函数b bx x x f ()(3+-=为常数）在区间)1,0(上单调递增，且方程0)(=x f 的根都在区间]2,2[-内，则b 的取值范围是____________（答：[3,4]）；
（4）已知1)(2+=x x f ，22)(24++=x x x g ，设)()()(x f x g x λ?-=，试问是否存在实数λ，使
)(x ?在)1,(--∞上是减函数，并且在)0,1(-上是增函数？（答：4λ=）
（2）利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求()f x '（注意定义域）；（2）求方程()0f x '=的根，设根为12,,n x x x L ；（3）12,,n x x x L 将给定区间分成n+1个子区间（在此有一个比较根的大小问题），再在每一个子区间内判断()f x '的符号，由此确定每一子区间的单调性。
如设函数cx bx ax x f ++=23)(在1,1-=x 处有极值，且2)2(=-f ，求)(x f 的单调区间。 （答：递增区间（－1,1），递减区间(),1,(1,)-∞-+∞）
（3）利用导数函数的单调性确定参变数（已知函数)(x f 的单调性） 转化为0)(0)(≤'≥'x f x f 或恒成立 7、函数的极值：
（1）定义：设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近所有的点，都有0()()f x f x <，就说是0()f x 函数()f x 的一个极大值。记作y 极大值＝0()f x ，如果对0x 附近所有的点，都有
0()()f x f x >，就说是0()f x 函数()f x 的一个极小值。记作y 极小值＝0()f x 。极大值和极小值统