江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学二模考试试题(十一)

2020届高三年级第二次模拟考试(十一)

数学

(满分160分，考试时间120分钟)

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1. 已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x|－1

2. 已知i 为虚数单位，则复数(1－2i)2的虚部为________．

3. 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为________．

4. 已知箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球，一次摸出2只球，则摸到的2只球颜色相同的概率为________．

5. 如图是抽取某学校160名学生的体重频率分布直方图，已知从左到右的前3组的频率成等差数列，则第2组的频数为________．

6. 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是________．

7. 已知函数f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧log 2（3－x ），x≤0，2x －1， x>0，若f(a －1)＝12，则实数a ＝________． 8. 中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，则这匹马在最后一天行走的里程数为________．

9. 已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为________．

10. 设定义在区间⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数y ＝33sin x 的图象与y ＝3cos 2x ＋2的图象交于点P ，则点P 到x 轴的距离为________．

11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5a ＝8b ，A ＝2B ，则sin ⎝

⎛⎭⎪⎫A －π4＝________． 12. 若在直线l ：ax ＋y －4a ＝0上存在相距为2的两个动点A ，B ，在圆O ：x 2＋y 2

＝1上存在点C ，使得△ABC 为等腰直角三角形(C 为直角顶点)，则实数a 的取值范围是________．

13. 在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝1，∠BAC＝90°，D ，E 分别为BC ，AD 的中点，过点

E 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，则BQ →·CP →的最大值为________．

14. 已知函数f(x)＝x 2＋|x －a|，g(x)＝(2a －1)x ＋aln x ，若函数y ＝f(x)与函数y ＝g(x)的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是________．

二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

如图，在三棱锥DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分别为BD，CD的中点．求证：

(1) EF∥平面ABC；

(2) B D⊥平面ACE.

16. (本小题满分14分)

已知向量a＝(2cos α，2sin α)，b＝(cos α－sin α，cos α＋sin α)．

(1) 求向量a与b的夹角；

(2) 若(λb－a)⊥a，求实数λ的值．

某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴(如图)．拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中点A，B，C，D均在该抛物线上．经测量，直路的AB长为40米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米．设点C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米．

(1) 求出n关于m的函数关系式；

(2) 当m为多大时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？并求出其最大值．

已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，焦点到相应准线的距离为33

. (1) 求椭圆E 的标准方程；

(2) 已知P(t ，0)为椭圆E 外一动点，过点P 分别作直线l 1和l 2，直线l 1和l 2分别交椭

圆E 于点A ，B 和点C ，D ，且直线l 1和l 2的斜率分别为定值k 1和k 2，求证：PA·PB PC·PD 为定值．

已知函数f(x)＝(x ＋1)ln x ＋ax(a∈R )．

(1) 若函数y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x ＋y ＋b ＝0，求实数a ，b 的值；

(2) 设函数g(x)＝f （x ）x

，x∈[1，e](其中e 为自然对数的底数)． ①当a ＝－1时，求函数g(x)的最大值；

②若函数h(x)＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪g （x

）e x 是单调减函数，求实数a 的取值范围．

定义：若有穷数列a1，a2，…，a n同时满足下列三个条件，则称该数列为P数列．

①首项a1＝1；②a1

或商a j

a i

仍是该数列中的项．

(1) 问：等差数列1，3，5是否为P数列？

(2) 若数列a，b，c，6是P数列，求实数b的取值范围；

(3) 若n>4，且数列b1，b2，…，b n是P数列，求证：数列b1，b2，…，b n是等比数列．

2020届高三年级第二次模拟考试(十一)

数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A. [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)

已知x ，y∈R ，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10 y 属于特征值－1的一个特征向量，求矩阵A 的另

一个特征值．

B. [选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)

在极坐标系中，已知直线l ：ρsin ⎝

⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，在直角坐标系(原点与极点重合，x 轴的正方向为极轴的正方向)中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t ＋14t ，x ＝t －14t

(t 为参数)．设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB 的长．

C. [选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)

若不等式|x ＋1|＋|x －a|≥5对任意的x∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．