选修2-3计数原理章末测试题

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无锡外国语学校高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．重阳节，农历九月初九，谐音是“久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（） A ．50B ．40C ．35D ．302．()()4221x x x -+-的展开式中x 项的系数为（）A ．9-B ．5-C ．7D ．83．从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为（） A ．252B ．216C ．162D ．2284．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（） A ．40B ．36C ．32D ．205．若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++，则9a =（）A ．9B ．10C ．-9D ．-106．为深入贯彻实施党中央布置的“精准扶贫”计划，某地方党委政府决定安排5名党员干部到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（） A ．264种B ．480种C ．240种D ．720种7．某科技小组有四名男生两名女生.现从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为( ) A ．36CB ．1225C CC ．12212424C C C C +D ．36A8．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中甲型与乙型电视机都要取到，则不同的取法种数为（） A ．40B ．50C ．60D ．709．甲乙和其他2名同学合影留念，站成两排两列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这4名同学的站队方法有（） A ．8种B ．16种C ．32种D ．64种10．有5位同学参加青少年科技创新大赛的3个不同项目，要求每位同学参加一个项目且每个项目至少有一位同学，则不同的参加方法种数为（） A ．80 B ．120 C ．150 D ．360 11．现有6位同学站成一排照相，甲乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（） A ．720B ．360C ．240D ．12012．式子22223459C C C C ++++=（）A ．83B ．84C ．119D ．120二、填空题13．62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为________.14．已知()723801238()(21)x m x a a x a x a R x a x m +-=+++++∈，若127a =，则()81ii i a =⋅∑的值为_______.15．已知数列{}n a 共有21项，且11a =， 2115a =，11(1,2,3,,20)k k a a k +-==，则满足条件的不同数列{}n a 有______个. 16．已知集合{}123456,,,,,AB C a a a a a a =，且集合{}123,,A B C a a a =，则集合A 、B 、C 所有可能的情况有__________种.17．在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为________（结果用数值表示）. 18．计算2222223456C C C C C ++++=______.19．将5名上海世博会的志愿者分配到中国馆、美国馆、英国馆工作，要求每个国家馆至少分配一名志愿者且其中甲、乙两名志愿者不同时在同一个国家馆工作，则不同的分配方案有________种．20．某中学安排,,,A B C D 四支小队去3所不同的高校参观，上午每支小队各参观一所高校，下午A 小队有事返回学校，其余三支小队继续参观.要求每支小队上下午参观的高校不能相同，且每所高校上午和下午均有小队参观，则不同的安排有_____种.三、解答题21．从6名运动员中选出4人参加4100⨯接力赛，分别求满足下列条件的安排方法种数：（1）甲、乙两人都不跑中间两棒；（2）甲、乙二人不都跑中间两棒.22．袋中有相同的5个白球和4个黑球，从中任意摸出3个，求下列事件发生的概率. （1）摸出的全是白球或全是黑球、（2）摸出的白球个数多于黑球个数.23．我校学生会进行换届选举，共选举出7名学生会委员，其中甲、乙、丙是上一届的委员，现对7名成员进行如下分工.（1）若学生会正、副主席两职位只能由甲、乙、丙三人选两人担任，则有多少种不同的分工方法；（2）若甲不担任学生会主席，乙不能担任组织委员，则有多少种不同的分工方法？ 24．设(,)(1)n f x n x =+，*n N ∈. （1）设260126(,6)f x a a x a x a x =++++，求0246a a a a +++的值；（2）求12320192019201920192019232019C C C C +++⋯+的值；（3）*n N ∈，化简01122310144444n n n n n n n n n n C C C C C -----++++.25．已知.（1）若，求及的值；（2）若，求最大的系数；（3）定义，若化简.26．某中学将要举行校园歌手大赛，现有4男3女参加，需要安排他们的出场顺序.（结果．．用数字作答．．．．．）（1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？（3）如果3位女生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先把6人分成两组，再安排到两所敬老院，由此可得．【详解】先分组再安排：6人可按3,3分组或2,4分组，然后再安排到敬老院，方法为32266222()50C C A A +⨯=．故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查分组分配问题，涉及到平均分组和不平均分组，平均分组时要除以组数的阶乘．n 个不同元素按12,,,k m m m 分成k 组，若12,,,k m m m 两两不等，则分组数为312112kkmm m m n n m n m m m C C C C ---，若12,,,k m m m 中仅有i 个数相等，则分组数为312112kkm m m m n n m n m m mi iC C C C A---．2．A解析：A 【分析】将()()4221x x x -+-化简为:2444(1)(1)2(1)x x x x x --+--,写出4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)rr r r T C x -+=⋅-,即可求得答案.【详解】()()42244421(1)(1)2(1)x x x x x x x x -+---+-=-4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)r r r r T C x -+=⋅- 24(1)x x -中不含x 项,无需求解.4(1)x x --中含x 项,即当4r =时(44444)(1)x C xx --⋅⋅=--42(1)x -中含x 项,即当3r =时(43)34328(1)C x x -⋅=-- ∴ ()()4221x x x -+-的展开式中x 项9x -故选:A. 【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题.3．D解析：D 【分析】根据题意将10个数字分成三组:即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:每组自己全排列，每组各选一个，再利用排列与组合的知识求出个数，进而求出答案. 【详解】解:将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1,4,7}，被3除余2的有{2,5,8}，被3整除的有{3,6,9,0}.若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:①三个数字均取自第一组{1,4,7}中，或均取自第二组{2,5,8}中，有33212A =个； ②若三个数字均取自第三组{3,6,9,0}，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有324318A A -=个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有11133333162C C C A ⋅⋅⋅=个， ④若三组各取一个数字，第三组中取0，有112332236C C A ⋅⋅⋅=个，这样能被3整除的数共有12+18+162+36228=个. 故选：D. 【点睛】本题考查分类计数原理和排列组合知识，如何分类是关键，属于中档题.4．A解析：A 【分析】根据题意，先排好7个空座位，注意空座位是相同的，其中6个空位符合条件，将3人插入6个空位中，注意甲必须在三人中间，然后再排乙，丙，最后用分步计数原理求解. 【详解】除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，它们之间共可形成六个空，三人从6个空中选三位置坐上去有36C 种坐法，又甲坐在中间，所以乙、丙有22A 种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有36C 2240A ⋅=种. 故选：A . 【点睛】本题主要考查排列组合的实际应用，还考查了分析问题的能力，属于中档题.5．D解析：D 【解析】()()9011010019910999991...1[...]nn n x C C x C x a x a C C x C x +=++⇒+=++，()10101a x +=019910101010101010(...)a C C x C x C x ++++，根据已知条件得9x 的系数为0，10x 的系数为19999910101010101010011a a C a C a a C =-⎧⋅+⋅=⎧⇒⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩ 故选D. 6．C解析：C 【分析】先从5个党员干部里选2个，再从4个贫困村里选1个接受选出的2个党员，剩下的3名党员分配给3个贫困村，即得解. 【详解】先从5个党员干部里选2个，有25C 种方法，再从4个贫困村里选1个接受选出的2个党员，有14C 种方法，剩下的3名党员分配给3个贫困村，有33A 种方法.所以共有213543240C C A =种方法.故选：C. 【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．C解析：C 【分析】分只有一名女生入选和有二名女生入选两种情况，结合分步乘法计数原理以及分类加法计数原理，即可得出答案. 【详解】当只有一名女生入选时，先选1名女生，有12C 种，再选2名男生，有24C 种，则根据分步乘法计数原理可知，有1224C C 种当有二名女生入选时，选选2名女生，有22C 种，再选1名男生，有14C 种，则根据分步乘法计数原理可知，有2124C C 种所以从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为12212424C C C C +故选：C 【点睛】本题主要考查了组合的应用，涉及了分步乘法计数原理以及分类加法计数原理的应用，属于中档题.8．D解析：D 【分析】根据题意，可分为2种情况，①取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，②取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，结合组合数的公式，即可求解. 【详解】根据题意，可分为2种情况，①取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，共有124540C C =种不同的取法； ②取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，共有214530C C =种不同的取法，由分类计数原理，可得不同的取法共有403070+=种. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及组合数公式的应用，其中解答中合理分类，结合组合数的公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.9．A解析：A 【分析】根据题意，分3步进行讨论：先在4个位置中任选一个安排甲，再安排乙，最后将剩余的2个人，安排在其余的2个位置，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分3步进行讨论：1、先安排甲，在4个位置中任选一个即可，有14C 4=种选法；2、在与甲所选位置不在同一排也不在同一列只有一个位置，安排乙，即1种选法；3、将剩余的2个人，安排在其余的2个位置，有222A =种安排方法；则这4名同学的站队方法有4128⨯⨯=种；故选：A . 【点睛】本题主要考查排列、组合的综合应用，注意要优先分析受到限制的元素，属于中档题.10．C解析：C 【分析】根据题意，分清楚有两种情况，利用公式求得结果. 【详解】根据题意，可知有两种情况，一种是有三位同学去参加同一个项目，一种是有两个项目是两位同学参加，所以不同的参加方法种数为22333535332210310661502C C C A A A ⋅⨯⋅+⋅=⨯+⨯=种，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分类计数加法计数原理，排列组合综合题，属于中档题目.11．C解析：C 【分析】6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，这是相邻问题，一般用“捆绑法”.将甲乙两名同学“捆绑”在一起，看成一个元素，再与剩下的4人一起全排列，根据分步计数原理即可得出结果. 【详解】将甲乙“捆绑”在一起看成一个元素，与其余4人一起排列，而甲和乙之间还有一个排列，共有5252240A A =. 故选：C. 【点睛】本题考查了排列组合、两个基本原理的应用，相邻问题“捆绑法”求解，属于基础题.12．C解析：C 【分析】根据组合数的计算公式111rr r n n n C C C ++++=，化简运算，即可求解.【详解】由题意，根据组合数的计算公式111rr r n n n C C C ++++=，可得22223459C C C C ++++=32222334591C C C C C +++++-322244591C C C C =++++-32235591011119C C C C =+++-==-=.故选：C. 【点睛】本题主要考查了组合数的化简与运算，其中解答中熟记组合数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.二、填空题13．240【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的常数项【详解】展开式的通项公式令所以的展开式的常数项为故答案为【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数属于简单解析：240 【分析】先求出二项式6x⎛⎝的展开式的通项公式，令x 的指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中的常数项. 【详解】6x⎛- ⎝展开式的通项公式3662166(2),rr r r r r r T C x C x --+⎛==⨯-⨯ ⎝令36342r r -=⇒=,所以6x ⎛ ⎝的展开式的常数项为4462240C ⨯=,故答案为240. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C rn r rr n T ab -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14．43【分析】因为的展开通项为：根据求的将所给等式两边求导即可求得的值【详解】的展开通项为：又等式两边求导可得：令得：故答案为：【点睛】本题解题关键是掌握多项式系数的求法和导数基础知识考查了分析能力和解析：43 【分析】因为7(21)x -的展开通项为：777177(2)(1)(1)2rrr rr r r r T C x C x ---+=⋅⋅-⋅-⋅⋅=，根据127a =，求的m ，将所给等式两边求导，即可求得()81i i i a =⋅∑的值.【详解】7(21)x -的展开通项为：777177(2)(1)(1)2r r r rr r r r T C x C x ---+=⋅⋅-⋅-⋅⋅= 又777()(21)(21)(21)x m x x x m x +--+-=∴7661777011(1)2(1)211427a C m C m =⨯-⋅+⨯--+==⋅∴2m =80187(2)(21)x x a a x a x +-=++⋯+等式两边求导可得：762712381(21)(2)7(21)2238x x x a a x a x a x ⋅-++⋅⋅-⋅=+++⋯+6(21)(211428)x x x =--++67128(1627)(21)28x x a a x a x =+-=++⋯+令1x =，得：1282843a a a ++⋯=+∴()8143i i i a =⋅=∑故答案为：43 【点睛】本题解题关键是掌握多项式系数的求法和导数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15．【分析】转化条件得或求出满足的个数再利用组合的知识即可得解【详解】或设满足的个数为解得结合组合的应用满足要求的数列有个故答案为：【点睛】本题考查了数列递推公式的应用考查了组合的应用与转化化归思想属于解析：1140【分析】转化条件得11k k a a +-=或11k k a a +-=-，求出满足11k k a a +-=的个数，再利用组合的知识即可得解. 【详解】11k k a a +-=， ∴11k k a a +-=或11k k a a +-=-，设满足11k k a a +-=的个数为x ，()()()211212*********a a a a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅+-=， ∴()()20114x x +-⋅-=，解得17x =，结合组合的应用，满足要求的数列有20217301140C C ==个. 故答案为：1140. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了组合的应用与转化化归思想，属于中档题.16．【分析】由可知集合均含有元素作出韦恩图可知元素可以放在除之外的个区域中每个元素有个选择利用分步乘法计数原理可得结果【详解】如下图所示集合被分为了个区域由可知集合均含有元素则元素可以放在除之外的个区域解析：216【分析】由{}123,,AB C a a a =，可知集合A 、B 、C 均含有元素1a 、2a 、3a ，作出韦恩图，可知元素4a 、5a 、6a 可以放在除A B C ⋂⋂之外的6个区域中，每个元素有6个选择，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】如下图所示，集合A 、B 、C 被分为了7个区域，由{}123,,AB C a a a =，可知集合A 、B 、C 均含有元素1a 、2a 、3a ，则元素4a 、5a 、6a 可以放在除A B C ⋂⋂之外的6个区域中，每个元素有6个选择，由分步乘法计数原理可知，所有可能的情况种数为36216=. 故答案为：216. 【点睛】本题考查排列组合问题，考查分步乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.17．【分析】根据题意先求出四位教师参加三项不同的公益教学活动每位教师任选一项的所有情况有种每个项目都有该校教师参加的情况有种即可求得相应的概率【详解】解：由于四位教师参加三项不同的公益教学活动每位教师任解析：49【分析】根据题意，先求出四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项的所有情况有43种，每个项目都有该校教师参加的情况有2343C A ⋅种，即可求得相应的概率. 【详解】解：由于四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项的情况有：433333⨯⨯⨯=（种），而每个项目都有该校教师参加的情况有：234336C A ⋅=（种），则每个项目都有该校教师参加的概率为：436439=. 故答案为：49. 【点睛】本题考查概率的计算和分步乘法的计数原理，以及排列组合的应用，考查分析计算能力.18．35【分析】根据组合数的性质计算可得；【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查组合数的性质属于中档题解析：35 【分析】根据组合数的性质11mm mn n n C C C -++=计算可得；【详解】解：2222223456C C C C C ++++3222233456C C C C C =++++ 32224456C C C C =+++ 322556C C C =++3266C C =+ 3776535321C ⨯⨯===⨯⨯故答案为：35 【点睛】本题考查组合数的性质，属于中档题.19．114【分析】本题是一个分类计数问题每个国家馆至少分配一名志愿者则有两种不同的情况当按照221安排时共有当按照113安排时有其中包括甲和乙在一个馆里的情况减去不合题意的结果即可【详解】由题意知本题是解析：114 【分析】本题是一个分类计数问题，每个国家馆至少分配一名志愿者，则有两种不同的情况，当按照2，2，1安排时，共有223533902C C A =，当按照1，1，3安排时，有335360C A =，其中包括甲和乙在一个馆里的情况，减去不合题意的结果即可．【详解】由题意知本题是一个分类计数问题，每个国家馆至少分配一名志愿者，则有两种不同的情况，每一个馆的人数分别是2，2，1；1，1，3 当按照2，2，1安排时，共有223533902C C A =，当按照1，1，3安排时，有335360C A =，其中包括甲和乙在一个馆里的情况，当甲和乙在同一个馆里时，共有234336C A =， ∴满足条件的排列法共有906036114+-=，故答案为：114. 【点睛】本题考查计数原理的应用，解题的关键是先分组再做分配，考查加法原理和乘法原理的实际应用，属于中等题.20．【分析】本题属于分组分配问题可按上午参观时A 是否与其他小队分在一组进行讨论分上下午两步安排参观即可得出答案【详解】若与中的某一支小队分在一组上午有种参观方法下午参观时三支小队不去各自上午参观的高校有解析：【分析】本题属于分组分配问题，可按上午参观时A 是否与其他小队分在一组进行讨论，分上下午两步安排参观，即可得出答案. 【详解】若A 与B 、C 、D 中的某一支小队分在一组，上午有1333C A ⋅种参观方法，下午参观时B 、C 、D 三支小队不去各自上午参观的高校，有2种方法，故有1333236C A ⋅⋅=种；若B 、C 、D 中某两支队分在一组，上午有2333C A ⋅种参观方法，下午再安排时，也有2种方法，故有2333236C A ⋅⋅=种. 所以一共有363672+=种. 故答案为：72. 【点睛】本题考查考查分组分配问题，注意其中的分类分步，属于中档题.三、解答题21．（1）144（2）336 【分析】（1）第一步，安排中间2个位置，第二步，安排首尾2个位置，利用乘法原理可得结论．（2）利用间接法，任意排法，再去掉甲、乙跑中间的安排方法即可得解；【详解】解：（1）先选跑中间的两人有24A 种，再从余下的4人中选跑1、4棒的有24A ，则共有2244144A A =种.（2）用间接法：“不都跑”的否定是“都跑”，所以用任意排法46A ，再去掉甲、乙跑中间的安排方法2224A A 种，故满足条件的安排方法有246224336A A A =-种. 【点睛】本题考查计数原理的运用问题，解题的关键是正确分步．注意甲乙都不跑中间，包括了甲乙可能都不上场的情形．22．（1）16（2）2542【分析】（1）从袋中任意摸出3个球有39C 种不同情况，摸出的全是白球有35C 种不同情况，摸出的全是黑球有34C 种不同情况，计算概率得到答案.（2）摸出的3个球都是白球的事件，记为M ；摸出2个白球，1个黑球的事件，记为N .计算概率得到答案. 【详解】（1）设从袋中摸出的3个球全是白球或全是黑球的事件为A ，从袋中任意摸出3个球有39C 种不同情况，摸出的全是白球有35C 种不同情况，摸出的全是黑球有34C 种不同情况，因为从袋中任意摸出3个球的所有情况都是等可能的，所以()3354391041846C C P A C ++===. （2）设从袋中摸出的白球个数多于黑球个数的事件为B . 事件B 包含两个基本事件：第一个，摸出的3个球都是白球的事件，记为M ；第二个，摸出2个白球，1个黑球的事件，记为N .()3539542C P M C ==，()21543940108421C C P N C ===. 所以，()()()51025422142P B P M P N =+=+=. 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力. 23．（1）720；（2）3720. 【分析】（1）由学生会正、副主席两职位只能由甲乙丙三人中选出两人担任，利用排列、组合计算即可；（2）甲不担任学生会主席，乙不担任组织委员，可用间接法计算，即可求解．【详解】（1）由题意，学生会正、副主席两职位只能由甲乙丙三人中选出两人担任，则有225325720C A A =种不同的分工．（2）甲不担任学生会主席，乙不担任组织委员，则有76576523720A A A -+=种不同的分工．【点睛】本题主要考查了排列、组合及其简单的计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列数、组合数的公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．24．(1)32.（2）201820192⨯.（3）54n.【分析】（1）利用赋值法求解，令1x =和1x =-，两式相加可得；（2）利用11k k n n kC nC --=可求；（3）结合式子特点构造(41)n +可求. 【详解】（1）令1x =，得60126264a a a a +++⋯+== ① 令1x =-，得01260a a a a -+-⋯+= ② ①+②得024632a a a a +++=；（2）因为11k k n n kC nC --=所以12320192019201920192019232019C C C C ++++=()12201820182018201820182019C C C C ++++201820192=⨯；（3）01122310144444n n n n n n n n n n C C C C C -----+++⋯++011221144444n n n n nn n nnnC C C CC ---⎡⎤=+++++⎣⎦15(41)44nn=+=. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，结合组合数的性质，侧重考查数学解题模型的构建能力. 25．（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)由赋值法得到相应的数值；（2）将参数值代入表达式得到其通项公式为，由不等式，可得到，进而得到；（3）按照组合数的展开公式，分组求和即可. 【详解】（1）若，，令,则，令，则所以.（2）若，其通项公式为，由不等式解得，且，∴.所以.（3）若,【点睛】本题考查二项式定理的应用,以及组合数公式的相关运算，考查推理能力与计算能力，属于中等题。

苏教版高中数学选修2-3《计数原理与排列》测试题.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作选修2－3《计数原理与排列》测试题姓名班级成绩填空题：每空3分共100分，考试时间：45分钟1．一件工作可以用两种方法完成，有5人会用第1种方法完成，有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的总数是2．从A 村去B 村的道路有3条，从B 村去C 村的道路有2条，从A 村经过B 村去C 村不同走法的总数是3．用1、5、9、13中任意一个数作分子，4、8、12、16中任意一个数作分母，可构成个不同的分数？可构成个不同的真分数？4．设a N +∈且a<20，则(27－a)(28－a)(29－a)(30－a)…(34－a)用排列数可表示为5．有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有种不同的报名方法？6．有4名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军，有种不同的结果？7．已知A 2n =7A 24-n ，则n=8．关于x 的不等式A 9x ＞6A 29x -的解集为9．某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站下车，乘客下车的可能方式有种 10．5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数(1) 甲站正中间的排法有种，甲不站在正中间的排法有种．(2) 甲、乙相邻的排法有种，甲乙丙三人在一起的排法有种．(3) 甲站在乙前的排法有种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有种，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有种．(4) 甲乙不站两头的排法有种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有种．(5) 5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有种．(6) 女生互不相邻的排法有种，男女相间的排法有种．(7) 甲与乙、丙都不相邻的排法有种。

(8) 甲乙之间有且只有4人的排法有种．11．一排长椅上共有10个座位，现有4人就坐，恰有5个连续空位的坐法有种？12．六种不同商品在货架上排成一排，其中A 、B 两种必须连排，而C 、D 两种不能连排，则不同排法共有种13．高三（一）班学要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数有14．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆４种蔬菜品种中选出３种分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有种15．某文艺团体下基层进行宣传演出原准备的节目表中有6个节目，如果保持这些的相对顺序不变，在它们之间再插入2个小品节目，并且这两个小品节目在节目表中既不排在排头也不排在排尾，有种不同的插入方法．16．用4种不同的颜色涂入如图四个小矩形中，要求相邻矩形的涂色不得相同，则不同的涂色方法共有17．7人排成一排，若A 、B 两人连排在一起，C 、D 、E 三人两两不相邻，F 、G 两人顺序一定，不同的排法有种？18．一天的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、外语、微机、体育、地理6节课。

2020秋高中数学人教版2-3达标练习：章末评估验收(一) 第一章计数原理含解析

2020秋高中数学人教A版选修2-3达标练习：章末评估验收（一）第一章计数原理含解析章末评估验收（一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．若A错误!＝6C错误!，则m的值等于()A．9B．8 C．7 D．6解析:由A3m＝6C错误!,且m≥4得错误!＝m（m－1)（m－2)．所以m＝7.答案：C2．5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去"，则第二天可能出现的不同情况的种数为(）A．C错误!B．25C．52D．A25解析：“去"或“不去"，5个人中每个人都有两种选择，所以，出现的可能情况有2×2×2×2×2＝25(种）．答案：B3．将标号为1，2,…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数有（）A．120 B．240 C．360 D．720解析：首先确定3个球，有C错误!种方法，要求与其所在盒子的标号不一致有2种放法，故共有2C错误!＝240种方法．答案：B4．将A，B，C，D，E排成一列,要求A，B，C在排列中顺序为“A，B,C”或“C,B，A”(可以不相邻），则不同的排列方法有()A．12种B．20种C．40种D．60种解析：五个元素没有限制条件，全排列数为A错误!，若A、B、C的顺序为“A，B，C”或“C，B，A"（可以不相邻）,则不同的排列方法为2·错误!＝40.答案：C5．在(1－x）11的展开式中，含x的奇次幂的各项系数的和是()A．－210B．210C．－211D．211解析：（1－x）11的展开式中，含x的奇次幂的项即偶数项，由于偶数项的二项式系数和为210,偶数项的系数均为负数，故含x 的奇次幂的各项系数的和为－210。

高中数学《选修2-3》章节能力测试题(一)计数原理、排列组合及二项式定理的应用

章节能力测试题（一）计数原理、排列组合及二项式定理的应用一、选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分)1.由1，2，3，4，5五个数字组成没有重复数字的五位数，若2必须排在4的右边（可以不相邻），则不同的排法有（） A.A 55B.4×3×2C.60D.12A 552.设n 为自然数，则C 0n 2n －C 1n 2n －1＋…＋（－1）k C k n 2n －k ＋…＋（－1）n C n n 等于（）A.2nB.0C.－1D.13.5个人排成一行，要求甲、乙两人之间至少有1人，则不同的排法种数为（） A.48 B.72 C.96 D.1444.要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不排头，并且任何两个舞蹈节目不连排，则不同的排法种数是（）A.A 38A 58B.A 55A 33C.A 55A 35D.A 55A 385.（2x +1x）7的展开式中倒数第三项的系数是（） A.C 67·2B.C 67·26C.C 57·22D.C 57·256.从某班学生中，选出四个组长的总方法数与只选出正、副组长的总方法数的比为13∶2，则该班学生的人数为（） A.10 B.15 C.20 D.227.若（1+x ）n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 中，a 3＝a 12，则自然数n 的值是（） A.13 B.14 C.15 D.168.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（）A.90种B.180种C.270种D.540种9.设f （x ）=x 5－5x 4+10x 3－10x 2+5x +1，则f （x ）的反函数f －1（x ）等于（） A.1+52-xB.1+5xC.－1+52-xD.1－52-x10.某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，不同选法的种数共有（） A.10种 B.9种 C.8种 D.6种11.四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（） A.150种 B.147种 C.144种 D.141种 12.（3x +32）100的展开式中，系数为有理数的共有（） A.18项 B.17项 C.16项 D.15项二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.若C 215x=C x 215，则x =______.14.在数字1，2，3，5，6组成没有重复数字的四位数中，能被3整除的有个.15.把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人.若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有______种.16.若（3x＋1）n（n∈N）的展开式中各项系数之和是256，则展开式中x2的系数是______.三、解答题(本大题共6小题, 共74分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分）解下列不等式：（1）A23-n ＋n＞3；（2）A28+m＜6A m8.18.（本小题满分12分）由0，1，2，3，4，5共六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万又不是5的倍数的数有多少个？19.（本小题满分12分）解不等式（1）C4n ＞C6n；（2）C18-m＞3C m8.20.（本小题满分12分）求（1+2x－3x2）6的展开式中含x5的项.21.（本小题满分12分）一条铁路原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了m个车站(m>1)，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现有多少个车站？分析：首先由题意列出方程，再根据m、n为整数求出即可.22.（本小题满分14分）f（x）=（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）10.（1）求f（x）展开式中x3的系数；（2）求f（x）展开式中各项系数之和.绝密★启用前数学参考答案与解析1．C 解析:共有55602A =个五位数,故应选C ．2.D 解析:原式=（2－1）n ＝1.故应选D ．3.B 解析:先把5人任意排，再减去甲、乙两人相邻的情况，即A 55－2A 44=72.故应选B ．4.C 解析:先排独唱节目有A 55种，再将舞蹈节目插入独唱节目或节目后（只插入一个），有A 35种插法，故不同排法种数是A 55A 35.故应选C ．5.C 解析:展开式共8项，倒数第三项即第六项，因此其系数为C 57·22.故应选C ．6.B 解析:设为n 人，则有24A C n n =213，解得n =15.故应选B ． 7.C 解析:由于a 3＝C 3n ，a 12＝C 12n ，又a 3＝a 12，所以n =15.故应选C ．8.D 解析:让3所学校依次挑选，先由学校甲挑选，有C 13·C 26种，再由乙挑选，有C 12·C 24种，余下的到学校丙只有一种，于是不同的方法数共有C 13·C 26·C 12·C 24=540（种）.故应选D ．9.A 解析:∵f （x ）=（x －1）5+2，∴f －1（x ）=1+52-x .故应选A ．10.A 解析:每校先送两台，有1种方法.剩下的3台有3类送法：第一，送给一所学校有C 13种方法；第二，送给两所学校有A 23（一校2台，另一校1台）种方法；第三，送给三所学校（每校1台）有1种方法，故共有3+A 23+1=10种送法.故应选A ．11.D 解析:从10个点中任取4个点共有C 410种选法，而其中4点共面的情况有三类：第一，四面体四个面，共有4C 46种；第二，四面体各棱中点可以构成3个平行四边形，即有3种4点共面；第三，四面体一条棱上有3个点，它们还和与此棱相对棱中点共面，共有6种.因此满足条件的取法有C 410－4C 46－3－6=141.故应选D ．12.B 解析:T r +1=C r 100·（3x ）100－r·（32）r =C r100·32100r-·23r ·x 100－r ，要使系数为有理数，则3r 、2100r -∈Z ，∴r 为6的倍数，且首项为0，最小一项为96，又96=（n －1）·6，∴n =17.故应选B ．13.0，2或3解析:x 2－2x 或x 2=15－2x ，解得x =0，2或3.14.48解析:一个自然数能被3整除等价于这个自然数各位上的数字和能被3整除，分成两类，第一类由1，2，3，6组成四位数能被3整除，有A 44种方法，第二类由1，3，5，6组成四位数能被3整除，有A 44个，故共有2A 44=48个符合条件的自然数.15.9解析:先安排进二车间实习的人，有C 23种方法，再安排进一车间的人有C 13种方法，余下的2人进三车间.所以共有C 23·C 13＝9种分法.16.54解析:令x =1，则4n ＝256，可得n ＝4.因此展开式中含x 2的项为C 24（3x ）2＝54x 2.17.解析:（1）（n －3）（n －4）+n －3＞0，（n －3）（n －3）＞0，（n －3）2＞0，∴n ≠3.又n －3≥2，∴n ≥5且n ∈N .（2）原不等式可化为)!28(!8--m ＜6·)!8(!8m -，化简得m 2－15m ＋50＜0，（m －5）（m －10）＜0， 5＜m ＜10.又 6.m ,8,82≤⎩⎨⎧≤≤+即m m 又m ∈N ∴m ＝6. 18.解析:方法一，因为首位和个位上均不能排0和5，所以先从1，2，3，4中任选2个排在首位和个位，有A 24种排法，再排中间4位数有A 44种排法，因此共有A 22·A 44=288个符合要求的六位数.方法二，先排0、5有A 24种方法，再排其他数字有A 44种排法，所以共有A 24A 44=288个不同的六位数. 方法三，六个数字的全排列共有A 66个，其中0排在首位或个位上的有2A 55个，还有5排在首位或个位上的也有2A 55个，它们都不合要求应减去，但这两种情况都包含0和5分别在首位或个位上的排法2A 44种，所以有A 66－4A 55+2A 44=288个符合要求的六位数.19.解析:（1）由组合数公式，得!4)3)(2)(1(---n n n n ＞!6)5)(4)(3)(2)(1(-----n n n n n n化简得（n －4）（n －5）＜30，即n 2－9n －10＜0，－1＜n ＜10. 又n ∈N 且n ≥6，∴n =6，7，8，9.（2）由)!9()!1(!8m m --＞)!8(!!83m m -⨯得m -91＞m 3，即m ＞27－3m ，m ＞427=7－41.又0≤m －1≤8，且0≤m ≤8，m ∈N ，即7≤m ≤8，∴m =7或8.20.解析:∵（1+2x －3x 2）6=（3x 2－2x －1）6=［（x －1）（3x +1）］6=（x －1）6（3x +1）6，而（1+3x ）6的通项为T k +1=3k ·C k 6·x k ，（x －1）6=（1－x ）6的通项为T r +1=（－1）r ·C r 6·x r ， ∴（x －1）6（3x +1）6的通项为（－1）r ·C r 6·3k ·C k 6·x r +k .令r +k =5且k ∈{0，1，2，3，4，5，6}，r ∈{0，1，2，3，4，5，6}，∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,51,42,33,24,15,0k r k r k r k r k r k r 或或或或　或故所求的项为［C 06·35·C 56+（－1）1·C 16·34·C 44+（－1）2·C 26·33·C 33+（－1）3·C 36·32·C 26+（－1）4·C 46·31·C 16+（－1）5·C 56·30·C 06］x 5=－168x 5.21.解析:原有车站n 个，原有客运车票A 2n 种，又现有(n +m )个车站，现有客运车票A 2m n +种. ∵A 2m n +－A 2n =62，∴(n +m )(n +m －1)－n (n －1)=62.∴n =m 31－21(m －1)>0，即62>m 2－m ，∴m 2－m －62<0.又m >1，从而得出1<m <22491+.∴1<m ≤8，即m =2时，有n =15；当m =3、4、5、6、7、8时，n 均不为整数.故只有n =15时，m =2，即原有15个车站，现有17个车站.说明：上题虽是常用解法，但运算量较大，应根据m 、n 为整数利用整除性来解决. ∵(n +m )(n +m －1)－n (n －1)=62，∴m 2+2mn －m =62. ∴m （m +2n －1)=62.把62分解为1×62（舍去），2×31，由题意知⎩⎨⎧=-+=3112,2n m m 或⎩⎨⎧=-+=.212,31n m m解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==14,31,15,2n m n m （舍去）. 22.解析:（1）解法一：展开式中x 3的系数为N =C 33+C 34+C 35+…+C 310. 由C 3n +C 4n =C 41+n ，即得C 3n =C 41+n －C 4n . 所以N =C 33（C 45－C 44）+（C 46－C45）+…+（C 411－C 410）=C 411，或者N =C 44+C 34+C 35+…+C 310=C 45+C 35+…+C 310=C 46+C 36+…+C 310 =…=C 410+C 310=C 411=330.解法二：∵（1+x ）+（1+x ）2+…+（1+x ）10=)1(1)]1(1)[1(10x x x +-++-=x1［（1+x ）11－（1+x ）］，所以，所求的x 3的系数即（1+x ）11展开式中x 4的系数C 411，它的值为330.（2）解：令f （x ）=（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）10 =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 10x 10，则f （1）=a 0+a 1+a 2+…+a 10=2+22+23+…+210=21)21(210--=211－2=2046.所以，展开式各项系数之和为2046.。

《计数原理》测试1(新人教A版选修2-3)

计数原理1、若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A10 B.20 C.30 D.1202、在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（）A．58个B．57个C．56个D．60个3、某电视台连续播放6个广告，三个不同的商业广告，两个不同的奥运宣传广告，一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且奥运宣传广告与公益广告不能连续播放，两个奥运宣传广告也不能连续播放，则不同的播放方式有（）A．48种B．98种C．108种D．120种4、从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A．210种B．420种C．630种D．840种5、的展开式中的系数为（）A．6 B．-6 C．9 D．-96、将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不．一致的放入方法种数为（）A．120 B．240 C．360 D．7207、如图1，要用三根数据线将四台电脑A，B，C，D连接起来以实现资源共享，则不同的连接方案种数为______________8、由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有______________9、设，则的值为10、的展开式中第项和第项的二次项系数相等，则________.11、用五种不同的颜色，给图2中的（1）（2）（3）（4）的各部分涂色，每部分涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则涂色的方法共有种。

12、某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有多少种不同的选法？13、求二项式(-)15的展开式中：（1）常数项；（2）有几个有理项；14、个人坐在一排个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2) 个空位只有个相邻的坐法有多少种?(3) 个空位至多有个相邻的坐法有多少种?15、已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992，求的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项。

计数原理测试题(含答案)

圆梦教育中心高中数学选修2-3计数原理第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若m 为正整数，则乘积()()()=+++2021m m m m （）A ．20m AB ．21m AC ．2020+m AD ．2120+m A2．若直线0=+By Ax 的系数B A ,同时从0,1,2,3,5,7六个数字中取不同的值,则这些方程表示不同的直线条数（） A ． 22 B ． 30 C ． 12 D ． 153．四个编号为1，2，3，4的球放入三个不同的盒子里，每个盒子只能放一个球，编号为1的球必须放入，则不同的方法有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．96种4．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第几个数（） A ．6 B ．9 C ．10 D ．8 5．把一个圆周24等分,过其中任意三个分点可以连成圆的内接三角形,其中直角三角形的个数是（） A ．2024 B ．264 C ．132 D ．1226. 在(a-b)99的展开式中，系数最小的项为( )A.T 49B.T 50C.T 51D.T 52 7. 数11100-1的末尾连续为零的个数是( )A.0B.3C.5D.78. 若425225+=x x C C ，则x 的值为（）A ．4B ．7C ．4或7D ．不存在9．以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是（） A ．34CB ．3718C CC ．3718C C -6D ． 1248-C10．从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则nm等于（） A ．101B ．51 C ．103 D ．52第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．设含有8个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，S的值为___________．则T12．有4个不同的小球，全部放入4个不同的盒子内，恰好有两个盒子不放球的不同放法的总数为．13．在(x-1)11的展开式中，x的偶次幂的所有项的系数的和为.14．六位身高全不相同的同学在“一滩”拍照留念，老师要求他们前后两排各三人，则后排每个人的身高均比前排同学高的概率是．三、解答题（共计76分）15．（12分）平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上，此外任三点不共线．（1）过每两点连线，可得几条直线?（2）以每三点为顶点作三角形可作几个?（3）以一点为端点作过另一点的射线，这样的射线可作出几条?（4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量?16．（11分）在二次项12)(n mbx ax (a ＞0,b ＞0,m,n ≠0)中有2m+n ＝0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项，求它是第几项? 17．（12分）由1，2，3，4，5，6，7的七个数字，试问：（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？（3）（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？（4）（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？18．（12分）2006年6月9日世界杯足球赛将在德国举行，参赛球队共32支，（1）先平均分成8个小组，在每组内进行单循环赛（即每队之间轮流比赛一次），决出16强（即取各组前2名）。

人教版高二数学新课程选修2-3《计数原理》测试题(3)

高中数学选修2-3《计数原理》单元检测一、选择题（每小题5分）1．n N ∈且55n <,则乘积(55)(56)(69)n n n --- 等于 ( B ) A ．5569nn A -- B ．1569n A - C ．1555n A - D ．1469n A -2．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ B ）A ．81B ．64C ．12D ．143．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是（ B ）A.20 B ．16 C ．10 D ．64．在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是（ C ） A ．12694C C B.C 16C 299 C.C 3100－C 394 D.A 3100－A 3945．在812x⎛- ⎝的展开式中的常数项是（ A ） A.7 B ．7- C ．28 D ．28-6．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有（ B ）A.280种B.240种C.180种D.96种 7．某班举行联欢会，原定的五个节目已排出节目单，演出前又增加了两个节目，若将这两个节目插入原节目单中，则不同的插法总数为（ A ） A.42B.36C.30D.128．5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是 ( B )A.120 B ．120- C ．100 D ．100-9．某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 ( B )A.8种B.10种C.12种D.32种(第9题 )(第10题)10.从6个正方形拼成的12个顶点(如图)中任取3个顶点作为一组，其中可以构成三角形的组数为 ( C ) A ．208 B ．204 C ．200 D ．196二、填空题（每小题5分）11．已知0166777......)13(a x a x a x a x ++++=-，则6420a a a a +++= 8128- 。

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高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作单元测评(一)计数原理(A卷)(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有()A．70种B．112种C．140种D．168种解析：方法一(直接法)：分类完成：第1类，甲参加或乙参加，有C12C38种挑选方法；第2类，甲、乙都参加，有C22C28种挑选方法．所以不同的挑选方法共有C12C38＋C22C28＝140种．方法二(间接法)：从甲、乙等10人中挑选4人共有C410种挑选方法，甲、乙两人都不参加挑选方法有C48种，所以甲、乙两人中至少有1人参加的不同的挑选方法有C410－C48＝140种．答案：C2．五本不同的书在书架上排成一排，其中甲，乙两本必须连排，而丙，丁两本不能连排，则不同的排法共有( )A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种解析：甲，乙看作一本，除去丙，丁后排列，再将丙，丁插入，共有A 22A 23A 22＝2×3×2×2＝24种．答案：C3．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 5的展开式中，含x 4的项的系数是( )A ．－5B ．5C ．－10D ．10解析：T k ＋1＝C k 5·(x 2)5－k ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝C k 5·x 10－2k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ·(－1)k ＝C k 5·x 10－3k ·(－1)k. 由10－3k ＝4知k ＝2，即含x 4的项的系数为C 25(－1)2＝10.答案：D4．如图，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方法种数为( )A ．320B ．160C ．96D ．60解析：按③→①→②→④的顺序涂色，有C 15×C 14×C 14×C 14＝5×4×4×4＝320种不同的方法．答案：A5．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选出6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是() A．40 B．74C．84 D．200解析：可按包括前5个题的个数分类，共有不同的选法C35C34＋C45C24＋C55C14＝74种．答案：B6．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24 B．18C．12 D．6解析：若选0，则0只能在十位，此时组成的奇数的个数是A23＝6；若选2，则2只能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是2×A23＝12，根据分类加法计数原理得总个数为6＋12＝18.答案：B7．若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为()A．1 B．－1C．0 D．2解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋3)4×(－2＋3)4＝1.答案：A8．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场的顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是()A ．6A 33B ．3A 33 C ．2A 33D ．A 22A 14A 44解析：先选一名男歌手排在两名女歌手之间，有A 14种选法，这两名女歌手有A 22种排法，把这三人作为一个元素，与另外三名男歌手排列有A 44种排法，根据分步乘法计数原理，有A 14A 22A 44种出场方案．答案：D9．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，则不同的站法有( )A ．24种B ．36种C ．60种D ．66种解析：先排甲、乙外的3人，有A 33种排法，再插入甲、乙两人，有A 24种方法，又甲排在乙的左边和甲排在乙的右边各占12，故所求不同的站法有12A 33A 24＝36(种)．答案：B10．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )A ．72B ．96C ．108D ．144解析：从2,4,6三个偶数中选一个数放在个位，有C 13种方法，将其余两个偶数全排列，有A 22种排法，当1,3不相邻且不与5相邻时有A 33种方法，当1,3相邻且不与5相邻时有A 22·A 23种方法，故满足题意的偶数个数有C 13·A 22(A 33＋A 22·A 23)＝108个．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有__________种．解析：从除甲外的乙，丙，丁三名同学中选出两人有C 23种选法，再将3人安排到三个科目，有A 33种不同排法，因此共有C 23A 33＝18种不同方案．答案：1812.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式中的常数项为__________(用数字作答)．解析：(化简三项为二项)：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝132x 5·[(x ＋2)2]5＝132x5·(x ＋2)10. 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5项的系数，即C 510·(2)5. 所以所求的常数项为C 510·(2)532＝6322.答案：632213．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有__________种不同的方法(用数字作答)．解析：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，有C 29C 37C 44＝1 260种．答案：1 26014．某校邀请6位学生的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有__________种．解析：先从6对夫妻中任选出一对，有C 16种不同的选法，再从其余的10人中任选出2人，有C 210种选法，其中这2人恰好是一对夫妻的选法有C 15种，所以共有C 16(C 210－C 15)＝240种不同选法．答案：240三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n 展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，(1)求n ；(2)求展开式中含x 项的系数； (3)求展开式中所有含x 的有理项．解：(1)由已知得：4n －2n ＝240,2n ＝16，n ＝4. (2分)(2)二项展开式的通项为：C r 4(5x )4－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 454－r (－1)rx 4－32r ，令4－32r ＝1⇒r ＝2所以含x 项的系数：C 2452(－1)2＝150.(7分) (3)由(2)得：4－32r ∈Z ，(r ＝0,1,2,3,4)，即r ＝0,2,4.所以展开式中所有含x 的有理项为：第1项625x 4，第3项150x ，第5项x －2. (12分)16．(12分)一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，求满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况的种数．解：由题意知需要分两类：第1类，甲上7楼，乙和丙在2,3,4,5,6层楼每个人有5种下法，共有52种；(5分)第2类，甲不上7楼，则甲有4种下法，乙和丙选一人上7楼，另一人有5种下法，共有4×2×5种．(10分)根据分类加法计数原理知，共有52＋4×2×5＝65种可能情况．(12分) 17．(12分)现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字．(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？(3)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？(5)如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”，那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？解：(1)可以组成无重复数字的三位数A19A29＝648(个)；(2分)(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第A12A29＋A18＋A14＝156(个)；(4分)(3)可以组成无重复数字的四位偶数A39＋A14A18A28＝2 296(个)．(分0占个位和0不占个位两种情况)．(6分)(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数有A13A35＋C14C35A44＝1 140(个)．(分选出的偶数是0和不是0两种情况)(9分)(5)由这十个数字组成的所有“渐减数”共有C210＋C310＋C410＋…＋C1010＝210－C010－C110＝1 013(个)．(12分)18．(14分)10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求出现如下结果时，各有多少种情况？(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋子有2只成双，另两只不成双．解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C410种不同的选法，每双鞋子各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝C410·24＝3 360(种)．(4分)(2)从10双鞋子中选取2双有C210种取法，即45种不同取法．(8分)(3)先选取一双有C110种选法，再从9双鞋子中选取2双鞋有C29种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝C110C29·22＝1 440(种)．(14分)。