计数原理单元测精彩试题
计数原理单元测试卷一
计数原理单元测试卷一同学们，今天我们进行的是计数原理单元的测试，请大家认真审题，仔细作答。
现在，让我们开始今天的测试。
一、选择题（每题3分，共30分）1. 某班级有30名学生，需要选出5名代表参加校运会，有多少种不同的选法？A. 3000B. 300C. 150D. 1002. 如果一个事件可以由n个步骤组成，每个步骤有两种选择，那么完成这个事件共有多少种不同的方法？A. 2^nB. n^2C. 2nD. n!3. 某图书馆有100本书，需要选出10本进行展示，如果不考虑书籍的排列顺序，共有多少种不同的选法？A. 100B. 10C. 10^100D. 100!/(10!*90!)...（此处省略其他选择题）二、填空题（每空2分，共20分）1. 如果一个事件有5种可能的结果，每种结果发生的概率相等，那么这个事件的期望值是______。
2. 从5个不同的数字中选出3个数字进行排列，不考虑排列顺序，共有______种不同的组合。
...（此处省略其他填空题）三、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是排列和组合，并给出一个例子说明它们的区别。
2. 请解释什么是二项式定理，并给出一个应用二项式定理的例子。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 某学校有5个班级，每个班级有50名学生。
现在需要从这5个班级中随机选出10名学生组成一个学习小组。
如果不考虑班级之间的差异，计算出有多少种不同的组合方式。
2. 假设有5个不同的球和5个不同的盒子，每个盒子只能放一个球。
计算出有多少种不同的放球方法。
五、论述题（共10分）请论述计数原理在日常生活中的应用，并给出至少两个具体的例子。
同学们，测试结束。
请检查自己的答案，确保没有遗漏。
希望你们都能取得好成绩。
如果有任何疑问，可以在课后与我讨论。
谢谢大家的努力和参与。
16.《计数原理》测试卷
《计数原理》测试卷1、从4名男生和6名女生，选出3名升旗手，要求至少包含1名男生，则不同的选法共有A．160 B．100 C．200 D．1402、的值为A．61 B．62 C．63 D．643、6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有(A)720种(B)360种(C)240种(D)120种4、有5名高中毕业生报考大学，有3所大学可供选择，每人只能填一个志愿，报名方案的种数为A．15 B．8 C．35 D．535、二项式的展开式中，项的系数为（）．．．．6、在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是()．A．－297 B．－252 C．297 D．2077、的系数为A．15 B．60 C．120 D．2408、在的展开式中，的系数为A．B．C．D．9、在的展开式常数项是A．－28 B．28 C．－7 D．710、展开式中的常数项是A.－36B.36C.－84D.8411、的展开式中，常数项为15，则＝A.3B.4C.5D.612、在的展开式中，的系数是A.-1120B.1120C.-1792D.179213、()10的展开式中不含的正整数指数幂的项数是A．11 B．9 C．7 D．514、若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为A．10 B．20 C．30 D．12015、的展开式中常数项是A．－14 B．14 C．－42 D．4216、若的展开式中的系数是80，则实数a的值是A．-2 B. C. D.217、展开式中，项的系数是A．15 B．14 C．12 D．1118、(2x－1)6＝a6x6＋a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a2＝()(A)60(B)－60(C)160(D)1519、展开式中的常数项为A．一1320 B．1320 C．一220 D．22020、若的展开式中的系数是80，则实数a的值是A．-2 B. C. D.221、甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
(典型题)高中数学选修三第一单元《计数原理》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．4(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．42．712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为（ ） A ．448B ．448-C ．672D ．672-3．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）．A ．420B ．180C ．64D ．254．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（ ） A ．30B ．36C ．360D ．12965．已知（x a x）5的展开式中，常数项为10，则a ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．26．若0k m n ≤≤≤，且m ，n ，k ∈N ，则0CC mn m k n k n k --==∑（ ）A ．2m n +B ．C 2n mmC ．2C nmnD ．2C m mn7．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．18．已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有( ) A ．35种B ．38种C ．105种D ．630种9．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则0mn m k n k n k CC --==∑（ ）A ．2m n +B ．2mn m CC ．2n mn C D ．2m mn C10．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（）A ．36B ．64C ．80D ．9611．已知自然数k ，则(18)(19)(20)(99)k k k k ----…等于（ ） A ．1899kk C --B ．8299k C -C ．1899kk A --D ．8299k A -12．将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ） A ．315B ．640C ．840D ．5040二、填空题13．二项式261(2)x x -的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）14．()3621()x x x-的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）15．在()()()238111x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数是_______________.16．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)17．若二项式nx x ⎛⎝展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为____________.18．622x x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）19．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）20．已知关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根的个数为n ，若1101(1)(1)(3)n x x a a x +++=++2101121011(3)(3)(3)a x a x a x +++++++，则1a 的值为______.三、解答题21．已知二项式*1()(,2)2nx n N n x∈≥，若该二项式的展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列. （1）求正整数n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大项，并指出是第几项？ 22．设函数(,)(1)(0,0)x f x y my m y =+>>.（1）当3m =时，求()9,f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）已知(2,)f n y 的展开式中各项的二项式系数和比(,)f n y 的展开式中各项的二项式系数和大4032，若01(,)nn f n y a a y a y =++⋅⋅⋅+，且2135a =，求1i ni a =∑23．计算：（1）2490n n A A =；（2）383321nn nn C C -++.24．已知()10210012101mx a a x a x a x +=++++中，0m ≠，且63140a a +=.（1）求m ；（2）求246810a a a a a ++++.25．已知二项式10x⎛⎝的展开式.(1)求展开式中含4x 项的系数；(2)如果第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，求r 的值．26．在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为102，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.已知()123012321nn n x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+（n *∈N ），若()21nx -的展开式中，______. （1）求n 的值；（2）求123n a a a a +++⋅⋅⋅+的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，令2r 即可得出答案．【详解】4(1)x +的展开式中，14,(0,1,2,3,4)r r r r T x +==，令2r ，2x ∴的系数为246C =．故选：C ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．2．B解析：B 【分析】求出展开式的通项公式，利用x 的次数为5进行求解即可． 【详解】展开式的通项公式77727171(2)(1)2rr rr r r r rx T C x C x---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 由725r -=得1r =，所以展开式中5x 的系数为1717(1)2764448C --⋅=-⨯=-，故选：B ． 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求二项展开式指定项的系数，属于简单题目.3．B解析：B 【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，讨论A ，D 同色和异色，根据乘法原理可得结论． 【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行 区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，A ，D 不同色，D 有3种，C 有2种涂法，有5432120⨯⨯⨯=种， A ，D 同色，D 有1种涂法，C 有3种涂法，有54360⨯⨯=种， 共有180种不同的涂色方案． 故选：B ． 【点睛】本题考查计数原理的应用，解题关键是分步和分类的方法选取，属于中等题.4．B解析：B 【分析】依据回文数对称的特征，可知有两种情况：1、在6个数字中任取1个组成16C 个回文数；2、在6个数字中任取2个26C 种取法，又由两个数可互换位置22A 种，即2262C A 个回文数；结合两种情况即可求出组成4位“回文数”的个数 【详解】由题意知：组成4位“回文数”∴当由一个数组成回文数，在6个数字中任取1个：16C 种 当有两组相同的数，在6个数字中任取2个：26C 种又∵在6个数字中任取2个时，前两位互换位置又可以组成另一个数 ∴2个数组成回文数的个数：22A 种故，在6个数字中任取2个组成回文数的个数：2262C A综上，有数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为：2262C A +16C =36 故选：B 【点睛】本题考查了排列组合，根据回文数的特征—对称性，先由分类计数得到取数的方法数，再由分步计数得到各类取数中组成回文数的个数，最后加总即为所有组成4位“回文数”的个数5．A解析：A 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项为10，求得a 的值． 【详解】5()a x x x -的展开式中，通项公式为15552155()()()rr r r r rr a T C x x C a x x--+==--，令15502r-=，求得3r =， 可得常数项为335()10C a -=，求得1a =-. 故选：A 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查根据展开式的某一项求参数的值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．D解析：D 【分析】根据已知条件，运用组合数的阶乘可得：n m k m kn k n n m C C C C --=，再由二项式系数的性质，可得所要求的和. 【详解】()()()()()()()()!!!!!!!!!!!!!!!!n m k n knm kn mn k n n C Cn m m k k n k n m m k k n m C C m n m k m k ---=⋅=-⋅-⋅--⋅-⋅=⋅=⋅-⋅-则()012mmn m k m k m m m m n knn m n m m m n k k CC C C C C C C C --====⋅+++=∑∑故选：D 【点睛】本题考查了组合数的计算以及二项式系数的性质，属于一般题.7．B解析：B 【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值. 【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.8．C解析：C 【分析】根据题意，分2步进行分析，第一步从3件次品中抽取2件次品，第二步从7件正品中抽取3件正品，根据乘法原理计算求得结果． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①.从3件次品中抽取2件次品，有23C 种抽取方法，;②.从7件正品中抽取3件正品，有37C 种抽取方法， 则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有2337105C C ⨯=种； 故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的实际应用，注意是一次性抽取，抽出的5件产品步需要进行排列．9．D解析：D 【分析】先利用特殊值排除A,B,C ，再根据组合数公式以及二项式定理论证D 成立.令0m =得，CC C C 1mn m k n n k n n n k --===∑，在选择项中，令0m =排除A ，C ；在选择项中，令1m =，101110C C C C C C 2mn m k n n n k n n n n n k n -----==+=∑排除B ，()!!()!()!!()!mmn m k n knk k n k n CC n m m k k n k --==-=⋅---∑∑000!!2()!!!()!mm mm k m k m mn m n m n k k k n m C C C C C n m m k m k ====⋅=⋅==--∑∑∑,故选D 【点睛】本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.10．C解析：C 【分析】把问题分割成每一个“田”字里，求解. 【详解】每一个“田”字里有4个“L ”形，如图因为56⨯的方格纸内共有4520⨯=个“田”字，所以共有20480⨯=个“L ”形.. 【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.11．D解析：D 【解析】分析：直接利用排列数计算公式即可得到答案. 详解：()()()()()()829999!181920...9917!k k k k k k A k ------==-.故选：D.点睛：合理利用排列数计算公式是解题的关键.12．A解析：A 【分析】分两步进行，第一步先选三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，第二步再将剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子中，然后利用分布计数原理求解.有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同有3735C =种放法，剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子有11339C C ⋅=种放法，所以有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为359315⨯=种， 故选：A 【点睛】本题主要考查组合应用题以及分布计数原理，属于中档题.二、填空题13．60【分析】根据二项式展开式的通项公式求解【详解】有题意可得二项式展开式的通项为：令可得此时【点睛】本题考查二项式定理的应用考查通项公式考查计算能力属于基础题解析：60 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解. 【详解】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rr T C xC xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查通项公式，考查计算能力，属于基础题.14．180【分析】根据二项式定理结合展开式通项即可确定的指数形式将多项式展开即可确定常数项【详解】的展开式中的通项公式而分别令解得或∴的展开式中的常数项故答案为：180【点睛】本题考查了二项式定理通项展解析：180 【分析】根据二项式定理，结合展开式通项即可确定x 的指数形式.将多项式展开，即可确定常数项. 【详解】62x ⎫⎪⎭的展开式中的通项公式 363216622kkkk k k k T C C x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，而()666332221)x x x x x =-⎫⎫⎫-⎪⎪⎪⎭⎭⎭ 分别令3332k -=-，3302k -=，解得4k =，或2k =．∴()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项44226622180C C -=． 故答案为：180． 【点睛】本题考查了二项式定理通项展开式的应用，多项式的乘法展开式，常数项的求法，属于中档题.15．84【分析】通过求出各项二项展开式中项的系数利用组合数的性质求出系数和即可得结果【详解】的展开式中含项的系数为：故答案是：84【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题涉及到的知识点有指定项解析：84 【分析】通过求出各项二项展开式中2x 项的系数，利用组合数的性质求出系数和即可得结果. 【详解】()()()238111x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数为：2222222322222223456783345678C C C C C C C C C C C C C C ++++++=++++++399878432C ⨯⨯===⨯， 故答案是：84. 【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题，涉及到的知识点有指定项的二项式系数，组合数公式，属于简单题目.16．【解析】分析：根据排列定义求结果详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置从中任选3个位置给3名大学毕业生则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60( 解析：60【解析】分析：根据排列定义求结果.详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有35A ＝5×4×3＝60(种)．点睛：本题考查排列定义，考查基本求解能力.17．15【解析】二项式展开式中各项系数的和为64令得的通项为令常数项为故答案为【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项系数及各项系数和的求法属于简单题二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一关于二项解析：15【解析】二项式nx ⎛+ ⎝展开式中各项系数的和为64，∴令1x =，得6264,8,n n x ⎛== ⎝的通项为36622166r r r r r r T C x x C x ---+=⋅=，令360,42r r -==，常数项为4615C =，故答案为15.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项、系数及各项系数和的求法，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.18．60【解析】的展开式的通项公式为令得∴的系数为故答案为60解析：60 【解析】62x ⎛ ⎝的展开式的通项公式为()366621661222xrr x r r r r T C x C x ---+⎛⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎝⎭⎝ 令3632r -=得2r∴3x 的系数为2622612602C -⎛⎫-⋅⋅= ⎪⎝⎭故答案为6019．8【解析】当在最右边位置时由种排法符合条件；当在从右数第二个位置时由种排法符合条件把件不同的产品摆成一排若其中的产品与产品都摆在产品的左侧则不同的摆法有种故答案为解析：8 【解析】当C 在最右边位置时，由336A = 种排法符合条件；当C 在从右数第二个位置时，由222A =种排法符合条件，把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有6+2=8种，故答案为8.20．【分析】利用图象法判断出关于的方程的实数根的个数由此求得利用结合二项式展开式求得【详解】当时画出和的图象如下图所示由图可知两个函数图象有个交点所以关于的方程的实数根个数为1所以所以所以故答案为：【点 解析：11265【分析】利用图象法判断出关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根的个数，由此求得n ，利用132x x +=+-，结合二项式展开式求得1a . 【详解】当01a <<时，画出x y a =和log ay x =的图象如下图所示，由图可知两个函数图象有1个交点，所以关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根个数为1，所以1n =.所以()()()()11111113232n x x x x +++=+-++-，所以10101111(2)11265a C =+-=.故答案为：11265【点睛】本小题主要考查方程的根的个数判断，考查二项式展开式，属于中档题.三、解答题21．（1）8；（2）2358x -，展开式中二项式系数最大项为第五项. 【分析】（1）根据二项展开式的通项，分别求得123,,T T T ，结合等差中项公式，列出方程，即可求解；（2）根据二项式系数的性质，即可求解. 【详解】（1）由二项式*1()(,2)2nx n N n x∈≥， 可得021212123111,,222nn n nn n T C x T C x T C x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列，可得10211224n n n C C C ⨯⨯=+， 整理得1(1)142n n n -=+，即2980n n -+=，解得1n =或8n =.因为*,2n N n ∈≥，所以8n =.（2）当8n =时，展开式中二项式系数最大项为第五项44425813528T C x x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.【点睛】对于二项式中的项的求解方法：（1）求二项式的特定项问题，实质是在考查通项r n rr r n T C ab -=的特点，一把需要建立方程求得r 的值，在将r 的值代回通项，主要r 的取值范围(0,1,2,,)k n =；（2）若n 为偶数时，中间一项（第12n+项）的二项式系数最大； （3）若n 为奇数时，中间一项（第12n +项和第112n ++项）的二项式系数最大. 22．（1）4511206T y =，5633618T y =；（2）4095. 【分析】（1）根据二项式的性质知二项式系数最大项为第5、第6项，代入通项计算；（2）利用展开式中各项的二项式系数和公式列出等式求解n ，代入(,)f n y 由2135a =列等式求解m ，即可利用赋值法求1i ni a =∑.【详解】（1）9(9,)(13)f y y =+，二项式系数最大项为第5、第6项，44459(3)11206T C y y ==，55569(3)33618T C y y ==.（2）由题意：2224032n n -=，即()()2642630nn-+=，解得6n =，6260126(6,)(1)f y my a a y a y a y =+=+++⋅⋅⋅+，则2226135a C m ==，29m =，解得3m =或3-（舍去），则6(6,)(13)f y y =+，令1y =可得601264a a a a =+++⋅⋅⋅，所以661260126011414095n i ii i a aa a a a a a a a ====++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅-=-=∑∑.【点睛】本题考查二项式定理，涉及二项式系数最大项、展开式中二项式系数和、赋值法求展开式中项的系数和，属于中档题. 23．（1）12；（2）466. 【分析】（1）由排列数公式化简后再解方程可得；（2）由组合数性质求得n 的范围，求得n ，再利用组合性质变形后计算． 【详解】（1）由2490n n A A =，得90(1)(1)(2)(3)n n n n n n -=---，且4n ≥，解得12n =；（2）由题意383321n nn n -≤⎧⎨≤+⎩，*n N ∈，解得10n =．∴383321n n n n C C -++283021303130313029314662C C C C ⨯=+=+=+=. 【点睛】本题考查排列数公式和组合数公式，掌握排列数和组合数性质是解题关键．在组合数中一定要注意上标不大于下标． 24．（1）2m =-（2）29524 【分析】（1）由二项式定理求出第4项和第7项的系数，代入已知可得m ；（2）令1x =得所有项系数和，令1x =-得奇数项系数和与偶数项系数和的差，两者结合后可得偶数项系数和，0a 是常数项易求，从而可得246810a a a a a ++++， 【详解】（1）因为10iii a C m =，1,2,310i =，依题意得：66331010140C m C m +=，331098710981404321321m m ⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫+=⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭因为0m ≠，所以38m =-，得2m =-. （2）()102100121012x a a x a x a x -=+++令1x =得：()10012345678910121a a a a a a a a a a a ++++++++++=-=.① 令1x =-得：()1010012345678910123a a a a a a a a a a a -+-+-+-+-+=+=.② 由①+②得：()10024*******a a a a a a +++++=+，即10024*******a a a a a a ++++++=. 又()001021a C =-=，所以1010246810133112952422a a a a a +-++++=-==【点睛】本题考查二项式定理的应用和赋值法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注. 25．（1）3360；（2）1 【分析】（1）写出二项展开式的通项公式，当x 的指数是4时，可得到关于k 方程，解方程可得k 的值，从而可得展开式中含4x 项的系数；（2）根据上一问写出的通项公式，利用第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，可得到一个关于r 的方程，解方程即可得结果. 【详解】(1)设第k ＋1项为T k ＋1＝令10－k ＝4，解得k ＝4，故展开式中含x 4项的系数为()441023360C =-.(2)∵第3r 项的二项式系数为，第r ＋2项的二项式系数为，∵＝，故3r －1＝r ＋1或3r －1＋r ＋1＝10，解得r ＝1或r ＝2.5(不合题意，舍去)，∴r ＝1. 26．（1）10；（2）1031- 【分析】（1）分别选择不同方案，根据展开式系数关系即可求出； （2）令0x =和1x =-可求出. 【详解】（1）选择条件①，若()21nx -的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则52n=， 10n ∴=；选择条件②，若()21nx -的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则37n n C C =，10n ∴=；选择条件②，若()21nx -的展开式中所有二项式系数的和为102，则1022n，10n ∴=；（2）由（1）知10n =，则()101231001231021x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+， 令0x =，得01a =，令1x =-，则100123101012331a a a a a a a a a +=-+-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++=+，101231031a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=-.【点睛】本题考查二项展开式系数关系，属于基础题.。
(压轴题)高中数学选修三第一单元《计数原理》检测卷(答案解析)
一、选择题1．已知()272901291(21)(1)(1)(1)()x x a a x a x a x x R +-=+-+-++-∈.则1a =（ ） A ．-30B ．30C ．-40D ．402．已知()52x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为2-，则展开式中的常数项为（ ） A ．80B ．80-C ．40D ．40-3．712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为（ ）A ．448B ．448-C ．672D ．672-4．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（ ） A ．30B ．36C ．360D ．12965．动点M 位于数轴上的原点处，M 每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离.经过3次跳动后，M 在数轴上可能位置的个数为（ ） A ．7B ．9C ．11D ．136．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ）A ．180B ．192C ．420D ．4807．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（）A ．36B ．64C ．80D ．968．六安一中高三教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2~5层的某一层楼上课，则满足且仅有一人上5楼上课，且甲不在2楼上课的所有可能的情况有（ ）种 A ．27B ．81C ．54D ．1089．在二项式(2n x x的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，则系数最小的项是 A ．第6项B ．第5项C ．第4项D ．第3项10．从A ，B ，C ，D ，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) A ．24 B ．48 C ．72D ．12011．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ） A ．180种B ．150种C ．96种D ．114种12．1231261823n nn n n n C C C C -+++⋯+⨯=（ ）A ．2123n + B ．()2413n- C ．123n -⨯ D ．()2313n- 二、填空题13．()()6122x x --的展开式中5x 的系数为________．14．二项展开式012233(1),N n n n n n n n n x C C x C x C x C x n ++=+++++∈，两边对x 求导，得112321(1)23n n n n n n n n x C C x C x nC x --+=++++，令1x =， 可得1231232nn n n n n C C C nC n -++++=⋅，类比上述方法，则123234(1)n n n n n C C C n C +++++=______．15．计算546101011C C C +-的结果为__________.16．若()316*2323C n n C n N ++=∈，()20123nn n x a a x a x a x -=++++且，则()121nn a a a -+-+-的值为____________.17．二项式636ax ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中5x 320a x dx =⎰________.18．若()523450123452x a a x a x a x a x a x -=+++++，则012345a a a a a a -+-+-=_________.19．()()42x y x y ++的展开式中32x y 的系数为______________.20．6名同学站成一排，甲、乙两人相邻，丙与丁不相邻，则共有______种不同的排法（用数字作答）.三、解答题21．在二项式12312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中． （1）求该二项展开式中所有项的系数和的值； （2）求该二项展开式中含4x 项的系数； （3）求该二项展开式中系数最大的项．22．从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数.试问： （1）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？（2）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）23．已知)23nx展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992，其中,2n N n +∈≥．（Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求其展开式中的有理项．24．已知在2nx ⎫⎪⎭的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是6: 1. （1）求展开式中11x 的系数； （2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求2319819n nn n n n C C C -++++的值.25．已知：22)nx(n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1. （1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含32x 的项.26．已知在1nx ⎛+ ⎝的展开式中所有奇数项的二项式系数和为128. （1）求展开式中常数项；（2）求展开式中二项式系数最大的项.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】令1t x =-，得29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，进而得含t 的项为767722(2)tC C t +，从而得解.【详解】令1t x =-，则有：27290129[(1)1][2(1)1]()t t a a t a t a t x R +++-=++++∈，即29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，7(21)t +展开式的通项公式为：77(2)r r C t -，所以29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+中含t 的项为：767722(2)30tC C t t +=.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令1t x =-，转化为求27(22)(21)t t t +++的展开中含t 的项.2．B解析：B 【分析】令1x =，由展开式中所有项的系数和为2-，列出方程并求出a 的值，得出展开式中常数项为52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数与52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的0x 的系数之和，然后利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】解：由题可知，()52x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为2-， 令1x =，则所有项的系数和为()()5211121a a ⎛⎫+-=-+=- ⎪⎝⎭，解得：1a =，()()555522221x a x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为：52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数与52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的0x 的系数之和， 由于52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：()5515522rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，当521r -=-时，即3r =时，52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数为：()335280C ⨯-=-，当520r -=时，无整数解，所以()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为80-.故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查利用赋值法求二项展开式所有项的系数和，以及二项展开式的通项公式，属于中档题.3．B解析：B 【分析】求出展开式的通项公式，利用x 的次数为5进行求解即可． 【详解】展开式的通项公式77727171(2)(1)2r r r r rr r rx T C x C x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由725r -=得1r =，所以展开式中5x 的系数为1717(1)2764448C --⋅=-⨯=-，故选：B ． 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求二项展开式指定项的系数，属于简单题目.4．B解析：B 【分析】依据回文数对称的特征，可知有两种情况：1、在6个数字中任取1个组成16C 个回文数；2、在6个数字中任取2个26C 种取法，又由两个数可互换位置22A 种，即2262C A 个回文数；结合两种情况即可求出组成4位“回文数”的个数 【详解】由题意知：组成4位“回文数”∴当由一个数组成回文数，在6个数字中任取1个：16C 种 当有两组相同的数，在6个数字中任取2个：26C 种又∵在6个数字中任取2个时，前两位互换位置又可以组成另一个数 ∴2个数组成回文数的个数：22A 种故，在6个数字中任取2个组成回文数的个数：2262C A综上，有数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为：2262C A +16C =36 故选：B 【点睛】本题考查了排列组合，根据回文数的特征—对称性，先由分类计数得到取数的方法数，再由分步计数得到各类取数中组成回文数的个数，最后加总即为所有组成4位“回文数”的个数5．D解析：D 【分析】根据题意，分为动点M ①向左跳三次，②向右跳三次，③向左跳2次，向右跳1次，④向左跳1次，向右跳2次，四种情况进行讨论，得到相应的位置，从而得到答案. 【详解】根据题意，分4种情况讨论：①，动点M 向左跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，②，动点M 向右跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有6，5，4，3，③，动点M 向左跳2次，向右跳1次，故有﹣3，﹣2，﹣1，0，2， ④，动点M 向左跳1次，向右跳2次，故有0，1，2，3，故M 在数轴上可能位置的个数为﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6共有13个， 故选：D. 【点睛】本题考查分类计数原理，考查了分类讨论的思想，属于中档题.6．C解析：C 【分析】就使用颜色的种类分类计数可得不同的涂色方案的总数. 【详解】相邻的区域不能用同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色.若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有35C ，相对的两个直角三角形必同色，此时共有不同的涂色方案数为335360C A （种）.若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有45C ，相对的两个直角三角形必同色，余下两个直角三角形不同色，此时共有不同的涂色方案数为414524240C C A =（种）.若5块区域只用5种颜色涂色，则每块区域涂色均不同，此时共有不同的涂色方案数为55120A =（种）.综上，共有不同的涂色方案数为420（种）. 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用，注意根据题设要求合理分类分步，此类问题属于中档题.7．C解析：C 【分析】把问题分割成每一个“田”字里，求解. 【详解】每一个“田”字里有4个“L ”形，如图因为56⨯的方格纸内共有4520⨯=个“田”字，所以共有20480⨯=个“L ”形.. 【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.8．B解析：B 【分析】以特殊元素甲为主体，根据分类计数原理，计算出所有可能的情况，求得结果. 【详解】甲在五楼有33种情况，甲不在五楼且不在二楼有11232354C C ⨯=种情况，由分类加法计数原理知共有542781+=种不同的情况， 故选B. 【点睛】该题主要考查排列组合的有关知识，需要理解排列组合的概念，根据题目要求分情况计数，属于简单题目.9．C解析：C 【分析】由已知条件先计算出n 的值，然后计算出系数最小的项 【详解】由题意二项式n的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，故8n =二项式展开式的通项为8821881122rrrrrrr r T C C ---+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要系数最小，则r 为奇数 当1r =时，18142C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭当3r =时，338172C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭当5r =时，5581724C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭当7r =时，77811216C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭故当当3r =时系数最小 则系数最小的项是第4项 故选C 【点睛】本题主要考查了二项式展开式的应用，结合其通项即可计算出系数最小的项，较为基础10．C解析：C 【分析】根据题意,分2种情况讨论: ①A 不参加任何竞赛,此时只需要将,,,B C D E 四个人全排列，对应参加四科竞赛即可；②A 参加竞赛,依次分析A 与其他四人的情况数目，由分步计数原理可得此时参加方案的种数，进而由分类计数原理计算可得结论. 【详解】A 参加时参赛方案有31342348C A A = (种)，A 不参加时参赛方案有4424A = (种)，所以不同的参赛方案共72种，故选C. 【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.11．D解析：D 【解析】分析：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，先算出总共的安排方法，再减去甲和乙在同一个路口的情况即可.详解：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：①三个路口人数情况3，1，1，共有335360C A =种情况；②三个路口人数情况2，2，1，共有2235332290C C A A ⋅=种情况. 若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有234336C A =种，故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有609036114+-=种. 故选：D.点睛：本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.12．B解析：B 【解析】1212618323n nn n n C C C C -++++⨯=1220012222(333)(33331)33n n n n n n n n n n n C C C C C C C =⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯-22[(13)1](41)33n n =+-=-选B. 二、填空题13．【分析】本题首先可确定二项式展开式的通项然后分别对第一个因式取1以及第一个因式取两种情况进行讨论即可得出结果【详解】二项式展开式的通项为当第一个因式取1时第二个因式应取含的项则对应系数为：；当第一个 解析：132-【分析】本题首先可确定二项式()62x -展开式的通项，然后分别对第一个因式取1以及第一个因式取2x -两种情况进行讨论，即可得出结果. 【详解】二项式()62x -展开式的通项为6162kkkkT C x ，当第一个因式取1时，第二个因式应取含5x 的项，则对应系数为：()55612112C ⨯⨯⨯-=-；当第一个因式取2x -时，第二个因式应取含4x 的项，则对应系数为：()()42622120C -⨯⨯=-；则()()6121x x -+的展开式中5x 的系数为12120132--=-， 故答案为：132-. 【点睛】本题考查展开式中特定项的系数，考查二项式展开式的通项的应用，二项式()na b +展开式的通项为1C k n k kk n T a b -+=，考查推理能力与计算能力，是中档题.14．【分析】依据类比推理观察式子的特点可得然后两边求导并代入特殊值可得结果【详解】两边对求导左边右边令故答案为：【点睛】本题考查类比推理以及二项式定理与导数的结合难点在于找到式子属中档题 解析：1(2)21n n -+⋅-【分析】依据类比推理观察式子的特点，可得01223341(1)n n n n n n n n x x C x C x C x C x C x ++=+++++，然后两边求导并代入特殊值，可得结果. 【详解】01223341(1)n n n n n n n n x x C x C x C x C x C x ++=+++++，两边对x 求导，左边1(1)(1)nn x nx x -=+++右边012233234(1)n nn n n n n C C x C x C x n C x =++++++令1x =，01231234(1)(2)2nn n n n n n C C C C n C n -++++++=+⋅1231234(1)(2)21n n n n n n C C C n C n -∴+++++=+⋅-．故答案为：1(2)21n n -+⋅-【点睛】本题考查类比推理以及二项式定理与导数的结合，难点在于找到式子01223341(1)n n n n n n n n x x C x C x C x C x C x ++=+++++，属中档题.15．【分析】利用组合数的性质来进行计算可得出结果【详解】由组合数的性质可得故答案为【点睛】本题考查组合数的计算解题的关键就是利用组合数的性质进行计算考查计算能力属于中等题 解析：0【分析】利用组合数的性质111k k k n n n C C C ++++=来进行计算，可得出结果.由组合数的性质可得5465655101011111111110C C C C C C C +-=-=-=，故答案为0.【点睛】本题考查组合数的计算，解题的关键就是利用组合数的性质进行计算，考查计算能力，属于中等题.16．175【分析】先利用二项式系数的性质求得n ＝4再令x ＝﹣1可得a0﹣a1+a2﹣…+（﹣1）nan 的值再令x ＝0可得a0=81即可求解【详解】由C233n+1＝C23n+6（n ∈N*）可得3n+1+解析：175 【分析】先利用二项式系数的性质求得n ＝4，再令x ＝﹣1可得 a 0﹣a 1+a 2﹣…+（﹣1）n a n 的值，再令x ＝0可得a 0=81，即可求解. 【详解】由C 233n +1＝C 23n +6（n ∈N *）可得 3n +1+（n +6）＝23，或 3n +1＝n +6，解得 n ＝4 或n 52=（舍去）．故（3﹣x ）4＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 4 x 4，令x ＝﹣1可得 a 0﹣a 1+a 2﹣…+（﹣1）n a n ＝44＝256， 再令x ＝0可得a 0=81，∴﹣a 1+a 2﹣…+（﹣1）n a n ＝256-81=175， 故答案为 175． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和问题，属于中档题．17．【解析】分析：先根据二项展开式的通项求得的系数进而得到的值然后再根据微积分基本定理求解即可详解：二项式的展开式的通项为令可得的系数为由题意得解得∴点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项解析：13【解析】分析：先根据二项展开式的通项求得5x 的系数，进而得到a 的值，然后再根据微积分基本定理求解即可．详解：二项式6ax ⎛+ ⎝⎭的展开式的通项为666166()()((),0,1,2,,666r r r r r r rr T C ax a C x r ---+===，令1r =，可得5x 5156a C =，5=，∴12310011|33x dx x ==⎰． 点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项，然后根据题目要求求解．定积分计算的关键是确定被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求解．18．【分析】根据二项式定理知为正数为负数然后令可得出所求代数式的值【详解】展开式通项为当为偶数时即为正数；当为奇数时即为负数故答案为：【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值的和差计算解题时要结合二项 解析：1【分析】根据二项式定理知0a 、2a 、4a 为正数，1a 、3a 、5a 为负数，然后令1x =可得出所求代数式的值. 【详解】展开式通项为()55152rrrr r r r T C x a x -+==⋅⋅-=∑，当r 为偶数时，0r a >，即0a 、2a 、4a 为正数；当r 为奇数时，0r a <，即1a 、3a 、5a 为负数.()5012345012345211a a a a a a a a a a a a ∴-+-+-=+++++=-=.故答案为：1. 【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值的和差计算，解题时要结合二项展开式通项确定各系数的正负，便于去绝对值，考查计算能力，属于中等题.19．14【分析】针对部分由二项式定理知通项为结合整个代数式有的项组成为即可求其系数【详解】对于由二项式通项知：∴含项的组成为：∴的系数为14故答案为：14【点睛】本题考查二项式定理根据已知代数式形式求指解析：14 【分析】针对4()x y +部分由二项式定理知通项为414r rr r T C xy -+=，结合整个代数式有32x y 的项组成为22213442x C x y y C x y ⋅+⋅即可求其系数. 【详解】对于4()x y +，由二项式通项知：414r rr r T C xy -+=，∴含32x y 项的组成为：22213213244442(2)x C x y y C x y C C x y ⋅+⋅=+， ∴32x y 的系数为14. 故答案为：14. 【点睛】本题考查二项式定理，根据已知代数式形式求指定项的系数，属于基础题.20．【分析】甲乙两人相邻用捆绑法丙与丁不相邻用插空法【详解】先排丙与丁以外的人且甲乙在一起有种排法再排丙丁两人有种排法∴共有种排法【点睛】本题考查了排列知识的应用求解排列问题的六种主要方法:直接法:把符 解析：144【分析】甲、乙两人相邻用捆绑法，丙与丁不相邻用插空法. 【详解】先排丙与丁以外的4人且甲、乙在一起，有323212A A =种排法，再排丙、丁两人有2412A =种排法，∴共有1212144⨯=种排法. 【点睛】本题考查了排列知识的应用. 求解排列问题的六种主要方法:直接法:把符合条件的排列数直接列式计算; 优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列; 插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;间接法:正难则反、等价转化的方法.三、解答题21．（1）123（2）7920（3）20126720x 【分析】（1）令1x =，即可得该二项展开式中所有项的系数和的值；（2）在通项公式中，令x 的幂指数等于4，求得r 的值，可得含4x 项的系数；（3）根据1211312121211112122222r r r rr r r rC C C C ----+-⎧⎨⎩，求得r 的值，可得结论； 【详解】（1）令1x =，可得该二项展开式中所有项的系数和的值为123；（2）二项展开式中，通项公式为123641122r rr r T C x --+=，令3644r -=，求得8r =， 故含4x 项的系数为841227920C =．（3）第1r +项的系数为12122r rC-，由1211312121211112122222r r r r r r r rC C C C ----+-⎧⎨⎩，求得4r =，故该二项展开式中系数最大的项为 384201421(2)()126720C x x x=． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题． 22．（1）576；（2）144 【分析】（1）先从3个偶数抽取2个偶数和从4个奇数中抽取3个奇数，利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进行全排列；（2）利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，即可得出结果. 【详解】解：可知从1到7的7个数字中，有3个偶数，4个奇数， （1）五位数中，偶数排在一起的有：23413442576C C A A =个，（2）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有：23233423144C C A A =个. 【点睛】本题考查数字的排列问题，涉及排列和组合的实际应用以及排列数和组合数的运算公式，考查利用捆绑法解决相邻问题，利用插空法解决不相邻问题，考查运算能力． 23．（Ⅰ）5n =；（Ⅱ）690x 、10243x . 【分析】（Ⅰ）由题意)23nx展开式中二项式系数和为2n 、各项系数和为()134nn +=，列方程即可得解；（Ⅱ）写出展开式的通项公式4103153r r rr T C x++=⋅⋅，分别令2r 、=5r 即可得解.【详解】（Ⅰ）由题意可得)23nx展开式中二项式系数和为2n ，令1x =，可得)23nx展开式中各项系数和为()134nn +=，则由题意可得42992n n -=，化简得()()2322310nn-+=， 由2310n +>可得2320n -=， 所以5n =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得))52233nxx=，则其展开式的通项公式()5241023315533rr rr r rr T C x xC x-++⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，要使4103r +为有理数，则2r 或=5r ，当2r时，41022663553390r r r C xC x x +⋅⋅=⋅⋅=；当=5r 时，41055101035533243r r rC xC x x +⋅⋅=⋅⋅=；所以其展开式中的有理项为690x 、10243x . 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.24．（1）18-；（2）325376x -；（3）91019-.【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出展开式中的第6项的系数与第4项的系数，列出方程求出n 的值，代入二项展开式的通项公式即可求解；（2）利用两边夹定理，设第1r +项系数的绝对值最大，列出关于r 的不等式即可求解； （3）利用二项式定理求解即可. 【详解】（1）由5533(2):(2)6:1n n C C --=，得9n =，∴通项2752219(2)r r rr TC x-+=-，令2751122r-=，解得1r =， ∴展开式中11x 的系数为119(2)18C -=-.（2）设第1r +项系数的绝对值最大，则11991199221732022r r r r r rr r C C r C C ++--⎧≥⇒≤≤⎨≥⎩，所以6r =， ∴系数绝对值最大的项为27303662229(2)5376C x x ---=.（3）原式()90012299999991110199991(19)1999C C C C -⎡⎤=++++-=+-=⎣⎦. 【点睛】本题考查二项式定理的应用、二项展开式的通项公式和系数最大项的求解；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 25．(1)1，(2)3216x -【解析】由题意知，第五项系数为44(2)n C ⋅-，第三项的系数22(2)n C ⋅-， 则有4422(2)10(2)n n C C ⋅-=⋅-，解8n =．（1）令1x =得各项系数的和为8(12)1-=．（2）通项公式828218822()(2)rr r rr r rr T C C x x---+=⋅⋅-=⋅-⋅，令83222r r --=， 则1r =，故展开式中含32x 的项为32216T x =-．26．（1）1792；（2）831120x -.【分析】（1）先根据二项式系数的性质，求出n 的值，然后写出通项，即可进一步求常数项； （2）二项式系数的最大项，即为中间项，由此利用通项法求解． 【详解】解：（1）二项式系数和为2256n =，∴8n =.483182rrr k T C x-++=⋅，(08,)r r N ≤≤∈.显然，当4803r -+=时，6r =. 所以常数项为667821792T C x ==. （2）∵8n =∴第5项二项式系数最大，∴4r =. 故二项式系数最大的项为488444335821120T C xx -+⨯-==.【点睛】本题考查二项式展开式中二项式系数的性质，通项法研究展开式中的特定项问题，属于中档题．。
高中数学第4章计数原理单元测评湘教版选择性必修第一册
第4章测评一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，若从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳的不同的方法有() A.240种 B.180种C.120种D.90种2.根据数组中的数构成的规律，其中的a所表示的数是()A.2B.4C.6D.83.下列计算结果是21的是()A. B.C. D.4.在(a+b)n的二项展开式中，与第r项二项式系数相同的项是()A.第n-r项B.第n-r-1项C.第n-r+1项D.第n-r+2项5.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.如果某重卦中有3个阳爻，3个阴爻，则该重卦的种数是()A.6B.15C.20D.16.某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课.如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则所有符合条件的排法总数为()A.24B.144C.48D.967.1+4的展开式中，常数项为()A.1B.3C.4D.138.在(1+x)6(1+y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3，0)+f(0，3)=()A.80B.8C.40D.24二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.(2022广东清远高二期末)若n的展开式中含x2项，则n的值可能是()A.6B.9C.12D.1410.若(2x+1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，x∈R，则()A.a0=1B.a0=0C.a0+a1+a2+…+a10=310D.a0+a1+a2+…+a10=311.在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则下列说法正确的是()A.恰好取到一件次品有种不同取法B.至少取到一件次品有种不同取法C.两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有种不同取法D.把取出的产品送到检验机构检查，能检验出有次品的不同方式有种12.小赵、小李、小罗、小王、小张五人报名志愿者服务，现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有()A.若五人每人可任选一项工作，则不同的选法有54种B.若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案C.若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案D.已知五人身高各不相同，若安排五人拍照，前排两人，后排三人，后排三人中要求身高最高的站中间，则有40种不同的站法三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.n的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，则n的值为.14.学校要邀请9位学生家长中的6人参加一个座谈会，其中甲、乙两位家长不能同时参加，则不同的邀请方法为种.15.若(ax-1)6展开式中x3的系数为-160，则实数a的值为，展开式中各项系数之和为.16.(2022山东无棣高二期中)若x6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6，则a3= .四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2022福建宁德高二期中)(1)计算:+…+(用数字作答).(2)解不等式:3≤2+6.18.(12分)(2022山东菏泽十二校高二期中)在①前三项系数成等差数列，②二项式系数之和为64这两个条件中，任选一个，补充在问题中，并进行解答.问题:在x+n的展开式中，，求n的值及展开式中的常数项.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.(12分)(2022山东潍坊高二期末)已知3x-n的展开式中各项系数之和为32.(1)求n的值;(2)求x+3x-n展开式中的常数项.20.(12分)(2022江苏南京鼓楼高二期末)我们曾用组合模型发现了组合恒等式，这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同来得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫作“算两次”，对此，我们并不陌生，例如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式.(1)某医院有内科医生8名，外科医生x(x≥3)名，现要派3名医生参加赈灾医疗队，已知某内科医生必须参加的选法有66种，求x的值;(2)化简:+…+.21.(12分)现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球.(1)若将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法?(2)若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则有多少种不同的排法?(3)现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数.(4)若将这些小球放入甲、乙、丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法?(注:请列出解题过程，结果保留数字)22.(12分)(1)如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法?(2)如图2所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，已知C地(十字路口)在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法?(3)如图3所示，某地有南北街道5条，东西街道6条(注意有一段DE不通)，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法?(4)如图4所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，已知C地(十字路口)在修路，无法通行，且有一段路DE无法通行，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法?参考答案第4章测评1.D根据分类加法计数原理，得方法种数为30+20+40=90.故选D.2.C从第三行起头尾两个数均为1，中间数等于上一行肩上两数之和，所以a=3+3=6.故选C.3.D由题意可知=12+15=27，=35，=42，=21.4.D第r项的二项式系数是，由于，所以与第r项二项式系数相同的项是第n-r+2项.故选D.5.C根据题意，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，某重卦中有3个阳爻，3个阴爻，则满足题意的重卦有=20种.故选C.6.D根据题意，先排数学有2种方法，物理和化学相邻有种排法，再与剩下的3节随意安排，有种安排方法，故所有符合条件的排法总数为2=96.故选D.7.D由于1+4表示4个因式+1的乘积，故展开式中的常数项可能有以下几种情况:①所有的因式都取1;②有两个因式取，一个因式取1，一个因式取.故展开式中的常数项为1+=13，故选D.8.D在(1+x)6(1+y)4的展开式中，x3y0项的系数为=20，即f(3，0)=20;x0y3项的系数为=4，即f(0，3)=4，所以f(3，0)+f(0，3)=24.故选D.9.BD因为n的展开式的通项为T r+1=)n-r r=·x-2r=，令=2，得n=4+5r，因为r∈N，若r=1，则n=9，故B正确;若r=2，则n=14，故D正确.故选BD.10.AC因为(2x+1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，所以令x=0可得a0=1，令x=1可得a0+a1+a2+…+a10=310.故选AC.11.AC在含有3件次品的50件产品中，任取2件，恰好取到1件次品包含的基本事件个数为，A正确;至少取到1件次品包括两种情况:只抽到一件次品，抽到两件次品，所以至少取到一件次品有种不同取法，B错误;两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有种不同取法，C正确;由题意可知有次品即可，所以把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有种不同方式，D错误.故选AC.12.BCD对于A，若五人每人可任选一项工作，则每人都有4种选法，则5人共有4×4×4×4×4=45种选法，A错误;对于B，先将5人分为4组，将分好的4组安排四项不同的工作，有=240种分配方法，B正确; 对于C，分2步分析:在5人中任选2人，安排礼仪工作，有=10种选法，再将剩下3人安排剩下的三项工作，有=6种情况，则有10×6=60种不同的方案，C正确;对于D，分2步分析:在5人中任选2人，安排在第一排，有=20排法，剩下3人安排在第二排，要求身高最高的站中间，有2种排法，则有20×2=40种不同的方案，D正确.故选BCD.13.5因为n的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，所以，解得n=5.14.49若甲、乙两位家长都不参加，则有=7种不同的方法;若甲、乙两位家长只有1人参加，则有=42种不同的方法.综上所述，共有7+42=49种不同的方法.15.21若(ax-1)6展开式中x3的系数为-160，则有(ax)3(-1)3=-20a3x3，即-20a3=-160，解得a=2.由a=2，则(ax-1)6=(2x-1)6，令x=1，得(2x-1)6=16=1，即展开式中各项系数之和为1.16.-20x6=[-1+(1+x)]6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6，∴a3=(-1)3=-20.17.解(1)根据题意，+…++…++…+=495.(2)根据题意，x∈N+，且x≥3，3≤2+6，即3x(x-1)(x-2)≤2(x+1)·x+6x(x-1)，变形可得3(x-1)(x-2)≤8x-4，解得≤x≤5.又x≥3，则x=3或4或5.所以原不等式的解集为{3，4，5}.18.解因为二项展开式的通项为T r+1=x n-r r=·r x n-2r.选择①:前三项的系数成等差数列，前三项的系数分别为·0=1，·2=，则2×=1+，解得n=8或1(舍去).当n=8时，T r+1=·2-r x8-2r，令8-2r=0，解得r=4，所以展开式的常数项为·2-4=.选择②:二项式系数和为64，则2n=64，所以n=6.当n=6时，T r+1=·2-r x6-2r，令6-2r=0，解得r=3，所以展开式的常数项为·2-3=.19.解(1)由题意，令x=1得(3-1)n=2n=32，解得n=5.(2)因为二项式3x-5的通项为T r+1=(3x)5-r·-r=(-1)r·35-r·x5-2r.令5-2r=-1，解得r=3，故展开式中含有项的系数为(-1)3·32，再令5-2r=1，解得r=2，展开式中含有x项的系数为(-1)2·33，所以x+3x-5展开式中的常数项为x··(-1)3·32·x-1+·(-1)2·33·x=-9+27=18=180.20.解(1)内科医生8名，外科医生x(x≥3)名，现要派3名医生参加赈灾医疗队，某内科医生必须参加，该事件等同于从剩下7名内科医生，外科医生x(x≥3)名，派2名医生参加赈灾医疗队，即=66，=66，即x2+13x-90=0，解得x=5或x=-18(舍去).(2)∵(1+x)n(1+x)n=(x+x2+…+x n)(x+x2+…+x n)，∴x n+1的系数+…+，∴原式可以看作(1+x)n(1+x)n展开式中x n+1的系数减，∴原式=-n.21.解(1)依题意将D，E两个球看作一个整体与其他3个球全排列，由分步乘法计数原理可知不同的排列方法有=48种.(2)将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则先把A安在中间位置，从A的2侧各选一个位置插入D，E，其余小球任意排，方法有=16种.(3)将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数为=9种.(4)将这些小球放入甲、乙、丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中.若按3，1，1分配，方法有·=60种，若按2，2，1分配，方法有·=90种.综上可得，不同的放法共有60+90=150种.22.解(1)由题意可知，由A到B的最短距离需要9步完成，其中向南走5次，向西走4次，故不同的走法共有=126种.(2)若先经过C再到B，需向南走3次，向西走2次，共种走法，由C到B需向南走2次，向西走2次，共种走法，故先经过C再到B共有种走法，故不经过C共有=66种.(3)经过ED，由A到D，需要3步，由E到B，需要5步，由A到D共有种走法，由E到B共有种走法，所以经过ED的走法共有种，故不经过ED的走法共有=96种.(4)由A经过DE到C的走法共有种，再由C到B需要向南、向西各走2次，共有种走法，故经过DE到C再到B的走法共有种走法，故不经过DE也不经过C的走法共有=54种.。
计数原理专项练习(含详解)
计数原理专项练习一、单选题（本大题共20小题，共100.0分）1. 从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()A. 224B. 112C. 56D. 282. A ，B ，C ，D 四位妈妈相约各带一名小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能带一位大人和一名小孩，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，则A 的小孩坐C 妈妈或D 妈妈的车的概率是()A.13B.12C.59D.233. 袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，则其中至少有1个黑球的概率是()A.B.C.D.4. 已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数为A.B.C.D.5.2.5PM 是指大气中直径小于或等于0.0000025米的颗粒物，数0.0000025用科学计数法表示为() A. 72510-⨯ B. 62.510-⨯ C. 50.2510-⨯ D. 72.510-⨯6. 若集合1A ，2A 满足12A A A =，则称12(,)A A 为集合A 的一个分拆，并规定：当且仅当12A A =时，12(,)A A 与21(,)A A 为集合A 的同一种分拆，则集合12{,}A a a =的不同分拆种数是()A. 8B. 9C. 16D. 187. 已知1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则9a 等于()A. 10B. 10-C. 20D. 20-8. 如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前项之和为，则的值为()A. 361B. 295C. 153D. 669. 设2012(1)n x a a x a x -=+++…nn a x +，若12||||...||127n a a a +++=，则展开式中二项式系数最大的项为A. 第4项B. 第5项C. 第4项或第5项D. 第7项10. 二项式(1)()nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则()n =A. 4B. 5C. 6D. 711. 二项式的展开式中二项式系数最大的项为()A. 第 3 项B. 第 6 项C. 第 6 、 7 项D. 第 5 、 7 项12. 甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外2位教师前面值班的概率是A.B.C.D.13. 212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，展开式中的所有项的系数和是()A. 0B. 256C. 64D.16414. 9.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A. 66种B. 65种C. 63种D. 60种15. 102012(2)x a a x a x -=+++ (10)10.a x +则123a a a +++…10()a +=A. 1B. 1-C. 1023D. 1023-16. 腾冲第八中学数学组有实习老师共5名，现将他们分配到高二年级的90、91、92三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有()A. 30种B. 90种C. 180种D. 270种17. 从3名语文老师、4名数学老师和5名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文、数学和英语老师都至少有1人的选派方法种数是()A. 590B. 570C. 360D. 21018. 若*n N ∈，且521235n n n C A ---=，则n 的值为()A. 8B. 9C. 10D. 1119. 我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数”，例如123就是一个“吉祥数”，则这样的“吉祥数”一共有()A. 28个B. 21个C. 35个D. 56个20. 将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有()种.A. 252B. 112C. 20D. 56二、单空题（本大题共10小题，共50.0分） 21. 如图，它满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)表中的递推关系类似杨辉三角，则第n 行()2n 第2个数是________22. 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是__________.23. 二项式51(2)x x+的展开式中3x 的系数为______.24. 已知4男3女排队，每名男生至多与一名女生相邻，共有______ 种不同的排法．(结果用数值表示)25. 被4除，所得的余数为________.26. 若22242n C A =，则!3!3!n n =-________.27. 2015年世博会在意大利米兰举行，其中某大学要从6名男生和2名女生中选出3人作为奥运会的志愿者，若男生甲与女生乙至少有一个入选，则不同的选法共有__________________________种(结果用数字表示).28. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为____________29. __________.30. 已知3828128(1)(2)(1)(1)...(1)x x a a x a x a x ++-=+-+-++-，则6a 的值为_____.答案和解析1.【答案】B试题分析：根据分层抽样，从8个人中抽取男生1人，女生2人；所以取2个女生1个男生的方法：.2.【答案】D解： 记A ，B ，C ，D 四位妈妈的小孩分别为a ，b ，c ，d ， 由于孩子都不坐自己妈妈的车， 假设A 与b 一辆车，则有3种情况，同理A 与c 一辆车及A 和d 一辆车，都有3种情况， 所以不同的坐车方式有3339++=种，而A 的小孩a 坐C 妈妈或D 妈妈的车的情况有336+=种情况， 所以所求概率为62.93P == 3.【答案】B解：至少有1个黑球，包括1个黑球、2个黑球，其方法数为 11205353C C C C +袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，∴共有方法数为 28C∴至少有1个黑球的概率是1120535328C C C C C +.4.【答案】A解：因为函数的最小值为，即.展开式的通项公式为，由，得，所以，即项的系数为15.5.【答案】B6.【答案】B解：12A A A =，对1A 分以下几种情况讨论：①若1A =∅，必有212{,}A a a =，共1种拆分；②11{}A a =，则22{}A a =或12{,}a a ，共2种拆分；同理12{}A a =时，有2种拆分； ③若112{,}A a a =，则2A =∅、1{}a 、2{}a ，12{,}a a ，共4种拆分；∴共有12249+++=种不同的拆分．7.【答案】D 8.【答案】A解：从杨辉三角形的生成过程，可以得到你的这个数列的通项公式.n 为偶数时，，n 为奇数时，02221c C ==，12333C C ==，246C =，325510C C ==，….然后求前21项和，偶数项和为75， 奇数项和为最后.9.【答案】C解：令0x =，可得01a =，令1x =-，可得0122n n a a a a ++++=，所以1221127n n a a a +++=-=，解得7n =，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项，第5项.10.【答案】C因为(1)nx +的展开式中2x 的系数为2n C ，即215n C =，亦即230n n -=，解得6(5n n ==-舍).11.【答案】C解：，在二项式的展开式中二项式系数最大的项为第 6 、 7 项，12.【答案】A解：依题意，甲、乙、丙3人的相对顺序共有人种，其中甲位于乙、丙前面的共有种，因此所求的概率为，13.【答案】D解：根据21()2nx x-的展开式中只有第4项的二项式系数最大， 得展开式中项数是2417⨯-=，716n ∴=-=；令1x =，得展开式中的所有项的系数和是611(1).264-=14.【答案】A解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况， 当取得4个偶数时，有1=种结果，当取得4个奇数时，有5=种结果， 当取得2奇2偶时有61060=⨯=∴共有156066++=种结果，15.【答案】D解：令1x =代入二项式102012(2)x a a x a x -=+++…1010a x +，得1001(21)a a -=++…101a +=，令0x =得1002a =，10122a a ∴+++…101a +=，12a a ∴++…101023a +=-，16.【答案】B解：把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有1225422215C C C A =种方法，再将3组分到3个班，共有331590A ⋅=种不同的分配方案，17.【答案】A解：直接法：3名语文、1名数学和1名英语，有31134520C C C =种， 1名语文、3名数学和1名英语1名，有13134560C C C =种， 1名语文、1名数学和1名英语3名，有113345120C C C =种， 2名语文、2名数学和1名英语1名，有22134590C C C =种，1名语文、2名数学和2名英语1名，有122345180C C C =种， 2名语文、1名数学和2名英语1名，有212345120C C C =种，共计206012090180120590+++++=种18.【答案】B解：*n N ∈，且521235n n n C A ---=，()()05122(1)(2)(3)(4)35234321n n n n n n n n n ⎧⎪--⎪∴-⎨⎪----⎪⋅=--⨯⨯⨯⎩， 即()()5(1)(2)(3)(4)35234321n n n n n n n ⎧⎪----⎨⋅=⨯--⎪⨯⨯⨯⎩，因此5(1)(4)40n n n ⎧⎨--=⎩，即255360n n n ⎧⎨--=⎩，解得9n =， 所以n 的值为9.19.【答案】B解：因为1146++=，1236++=，2226++=，0156++=，0246++=，0336++=，0066++=， 所以可以分为7类，当三个位数字为1，1，4时，三位数有3个，当三个位数字为1，2，3时，三位数有336A =个，当三个位数字为2，2，2时，三位数有1个， 当三个位数字为0，1，5时，三位数有4个， 当三个位数字为0，2，4时，三位数有4个， 当三个位数字为0，3，3时，三位数有2个， 当三个位数字为0，0，6时，三位数有1个，根据分类计数原理得三位数共有361442121.++++++=20.【答案】B解：分两步去做：第一步，先把学生分成两组，有两种分组方法，第一种是：一组2人，另一组5人，有2721C =种分法；第二一种是：一组3人，另一组4人，有3735C =种分法；第二步，把两组学生分到甲、乙两间宿舍，第一种有222A =种分配方法，第二种也有222A =种分配方法；最后，把两步方法数相乘，共有22327272212352112C A C A +=⨯+⨯=种方法.21.【答案】222n n -+解：设第(2)n n 行的第2个数构成数列{}n a ，则有322a a -=，433a a -=，544a a -=，…，11n n a a n --=-，相加得()()2122123(1)(2)22n n n n a a n n +-+--=+++-=⨯-=， 则()()21222.22nn n n n a +--+=+=22.【答案】19400解：设A 表示甲命中目标，B 表示乙命中目标，则A 、B 相互独立， 停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，此时的概率13433()(1)(1)45480P P A B A =⋅⋅=-⨯-⨯=， ②第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而乙在第二次射击时命中，此时的概率234341()(1)(1)(1)4545100P P A B A B =⋅⋅⋅=-⨯-⨯-⨯=， 故停止射击时甲射击了两次的概率12311980100400P P P =+=+=， 23.【答案】80解：二项式51(2)x x+的展开式的通项公式为5552155(2)2r r r r r r r T C x x C x ----+=⋅⋅=⋅⋅， 令523r -=，1r =，故展开式中3x 的系数为 415280C ⋅=，24.【答案】2304解：第一类，把4男生捆绑在一起，插入到3名女生排列所形成的4个空的1个空中，故有431434576A A A =种，第二类，把4男生平均分为2组，分别插入到3名女生排列所形成的4个空的2个空中，故有232434864A A A =种，第三类，把4男生分为(3,1)两组，把把1名男生插入到3名女生排列所形成的4个空的头或尾，把在一起的3个男生插入到剩下的3个空中的1个，故有1133124333864A A A A A =种，根据分类计数原理得，5768648642304++=25.【答案】0解：显然能被4整除，余数为0.26.【答案】35解：222(1)42n C A n n =-=，解得7n =，或6(n =-舍去)，337!353!(3)!n n C C n ∴===-， 27.【答案】36解：从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，，男生甲与女生乙至少有一个入选，则不同的选法共有， 28.【答案】0.6解：从3名男生中任取2人“捆”在一起记作A ，(A 共有22326C A =种不同排法)，剩下一名男生记作B ，将A ，B 插入到3名女生全排列后所成的4个空中的2个空中，故有22233243432C A A A =种，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为664324320.6.720P A === 29.【答案】40-解：，30.【答案】28解：3(1)x +展开后不会出现6x ， 又88(2)[(1)1]x x -=--， 所以6a 表示6(1)x -的系数， 所以6268(1)28.a C =-=。
(常考题)人教版高中数学选修三第一单元《计数原理》检测(含答案解析)(4)
一、选择题1．把5名同学分配到图书馆、食堂、学生活动中心做志愿者，每个地方至少去一个同学，不同的安排方法共有（ ）种． A ．60B ．72C ．96D ．1502．已知()272901291(21)(1)(1)(1)()x x a a x a x a x x R +-=+-+-++-∈.则1a =（ ） A ．-30B ．30C ．-40D ．403．2020是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年.复旦大学团委发起了“跟着驻村第一书记去扶贫”的实践活动，其中学生小明与另外3名学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个贫困村参与扶贫工作，若每个村至少分配1名学生，则小明恰好分配到甲村的方法数是（ ） A ．3B ．8C ．12D ．64．已知231(1)nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，*n N ∈，则n 的值可以是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．85．若()352()x x a -+的展开式的各项系数和为32，则实数a 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．16．在二项式()12nx -的展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式的中间项的系数为（ ） A ．960- B ．960 C ．1120D ．16807．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．18．设2019220190122019(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则201920182017012201820192222a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+的值为（ ）A ．20192B ．1C ．0D ．-19．有m 位同学按照身高由低到高站成一列，现在需要在该队列中插入另外n 位同学，但是不能改变原来的m 位同学的顺序，则所有排列的种数为（ ） A ．mm n C + B ．mm n A +C ．nm n A +D ．m nm n A A +10．在(nx的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为128，则4x 的系数为（ ） A ．21B ．63C ．189D ．72911．如果21()2nx x-的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是( )A ．0B ．256C ．64D ．16412．将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ） A ．315B ．640C ．840D ．5040二、填空题13．有2个不同的红球和3个不同的黄球，将这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，且同色球不能放在同一个盒子中，则不同的放置方法有________种.（用数字作答）14．二项展开式012233(1),N n n n n n n n n x C C x C x C x C x n ++=+++++∈，两边对x 求导，得112321(1)23n n n n n n n n x C C x C x nC x --+=++++，令1x =， 可得1231232nn n n n n C C C nC n -++++=⋅，类比上述方法，则123234(1)n n n n n C C C n C +++++=______．15．对于无理数x ,用x 表示与x 最接近的整数,如3π=2=.设n *∈N ，对于区间11,22n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的无理数x ,定义x xm m C C =,我们知道,若m *∈N ,()n m n *∈N ≤和()r r n *∈N ≤,则有以下两个恒等式成立：①m n m n n C C -=；②11r r r m m m C C C -+=+,那么对于正整数n 和两个无理数()0,m n ∈,()1,r n ∈,以下两个等式依然成立的序号是______；①m n m n n C C -=；②11r r r n n n C C C -+=+.16．621(2)x x-的展开式中的常数项为______． 17．若()316*2323C n n C n N ++=∈，()20123nn n x a a x a x a x -=++++且，则()121nn a a a -+-+-的值为____________.18．已知(12)n x +展开式中只有第4项的二项式系数最大，则21(1)(12)n x x++展开式中常数项为_______．19．62x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）20．已知25270127(231)(2)x x x a a x a x a x ++-=++++，求01234567a a a a a a a a +++++++=_______三、解答题21．已知nx⎛+ ⎝的展开式中只有第五项的二项式系数最大.（1）求该展开式中有理项的项数； （2）求该展开式中系数最大的项. 22．三个女生和五个男生排成一排.（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法； （2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法.23．已知在2nx ⎫⎪⎭的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是6: 1. （1）求展开式中11x 的系数； （2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求2319819n nn n n n C C C -++++的值.24．已知多项式12nx ⎫⎪⎭的展开式中，第3项与第5项的二项式系数之比为2：5. （1）求n 的值；（2）求展开式中含x 项的系数.25．（1）已知()727012712x a a x a x a x -=++++.求：①127a a a +++；②0127a a a a ++++；（2）在522x ⎫⎪⎭的展开式中，求：①展示式中的第3项；②展开式中二项式系数最大的项.26．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①第5项的系数与第3项的系数之比是14：3；②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；③22110n n nC C -+-=.已知在n的展开式中，________. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含5x 的项.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】先把5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，再将他们分配下去即可求出． 【详解】5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，故共有1235452225C C C A +=种分组方式，再将他们分配到图书馆、食堂、学生活动中心有336A =种方式，根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有256150⨯=种． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查有限制条件的排列组合问题的解法应用，解题关键是对“至少”的处理，属于中档题．方法点睛：常见排列问题的求法有： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数．2．B解析：B 【分析】令1t x =-，得29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，进而得含t 的项为767722(2)tC C t +，从而得解.【详解】令1t x =-，则有：27290129[(1)1][2(1)1]()t t a a t a t a t x R +++-=++++∈，即29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，7(21)t +展开式的通项公式为：77(2)r r C t -，所以29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+中含t 的项为：767722(2)30tC C t t +=.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令1t x =-，转化为求27(22)(21)t t t +++的展开中含t 的项.3．C解析：C 【分析】对甲村分配的学生人数进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果. 【详解】若甲村只分配到1名学生，则该学生必为小明，此时分配方法数为22326C A =种；若甲村分配到2名学生，则甲村除了分配到小明外，还应从其余3名学生中挑选1名学生分配到该村，此时分配方法数为12326C A =种.综上所述，不同的分配方法种数为6612+=种. 故选：C. 【点睛】方法点睛：不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．4．C解析：C 【分析】将条件转化为31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项，然后写出31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项，即可分析出答案. 【详解】因为231(1)nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，所以31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为：4131,0,1,2,,rr n r r n r r n n T C x C x r n x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以当n 取5,6,7,8时，方程40,41,42n r n r n r -=-=-=无解检验可得7n = 故选：C 【点睛】本题考查的是二项式定理的知识，在解决二项式展开式的指定项有关的问题的时候，一般先写出展开式的通项.5．D解析：D 【分析】根据题意，用赋值法，在()352()xx a -+中，令1x =可得()521(1)32a -+=，解可得a的值，即可得答案． 【详解】 根据题意，()352()xx a -+的展开式的各项系数和为32，令1x =可得：()521(1)32a -+=， 解可得：1a =， 故选：D ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意特殊值的应用．6．C解析：C 【分析】先根据条件求出8n =，再由二项式定理及展开式通项公式，即可得答案. 【详解】由已知可得：2256n =，所以8n =，则展开式的中间项为44458(2)1120T C x x =-=，即展开式的中间项的系数为1120. 故选：C ． 【点睛】本题考查由二项式定理及展开式通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．7．B解析：B 【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值. 【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.8．C解析：C 【分析】首先采用赋值法，令12x =，代入求值201932019120232019112 (022222)a a a a a ⎛⎫-⨯=+++++= ⎪⎝⎭，通分后即得结果. 【详解】 令12x =， 201932019120232019112 (022222)a a a a a ⎛⎫-⨯=+++++= ⎪⎝⎭, 20192018201732019012201820191202320192019222...2...022222a a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅++⋅++++++==，∴ 2019201820170122018201922220a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=.故选C 【点睛】本题考查二项式定理和二项式系数的性质，涉及系数和的时候可以采用赋值法求和，本题意在考查化归转化和计算求解能力，属于中档题型.9．C解析：C 【分析】将问题转化为将这m n +个同学中新插入的n 个同学重新排序，再利用排列数的定义可得出答案． 【详解】问题等价于将这m n +个同学中新插入的n 个同学重新排序，因此，所有排列的种数为nm n A +，故选C.【点睛】本题考查排列问题，解题的关键就是将问题进行等价转化，考查转化与化归数学思想的应用，属于中等题．10．C解析：C 【解析】分析：令1x =得各项系数和，由已知比值求得指数n ，写出二项展开式通项，再令x 的指数为4求得项数，然后可得系数．详解：由题意41282n n =，解得7n =，∴37721773rr r r r rr T C x C x --+==，令3742r-=，解得2r ，∴4x 的系数为2273189C =．故选C ． 点睛：本题考查二项式定理，考查二项式的性质．在()n a b +的展开式中二项式系数和为2n ，而展开式中各项系数的和是在展开式中令变量值为1可得，二项展开式通项公式为1C r n r rr n T ab -+=． 11．D解析：D 【解析】分析：先确定n 值，再根据赋值法求所有项的系数和.详解：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n ＝6.令x ＝1，则展开式中所有项的系数和是611(1)264-=, 选D.点睛：二项式系数最大项的确定方法 ①如果n 是偶数，则中间一项(第12n+ 项)的二项式系数最大； ②如果n 是奇数，则中间两项第12n +项与第1(1)2n ++项的二项式系数相等并最大. 12．A解析：A 【分析】分两步进行，第一步先选三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，第二步再将剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子中，然后利用分布计数原理求解. 【详解】有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同有3735C =种放法，剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子有11339C C ⋅=种放法，所以有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为359315⨯=种， 故选：A 【点睛】本题主要考查组合应用题以及分布计数原理，属于中档题.二、填空题13．【分析】由题意可得一个盒子里有2个球一定为1红1黄其余盒子每个盒子放一个根据分步计数原理可得【详解】解：这5个球放入4个不同的盒子中要求每个盒子至少放一个球且同色球不能放在同一个盒子中则一个盒子里有 解析：144【分析】由题意可得一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，根据分步计数原理可得． 【详解】解：这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球， 且同色球不能放在同一个盒子中，则一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，故有11134233144C C C A =种，故答案为：144. 【点睛】本题考查了分步计数原理，运用组合数的运算，理解题目意思是关键..14．【分析】依据类比推理观察式子的特点可得然后两边求导并代入特殊值可得结果【详解】两边对求导左边右边令故答案为：【点睛】本题考查类比推理以及二项式定理与导数的结合难点在于找到式子属中档题 解析：1(2)21n n -+⋅-【分析】依据类比推理观察式子的特点，可得01223341(1)n n n n n n n n x x C x C x C x C x C x ++=+++++，然后两边求导并代入特殊值，可得结果. 【详解】01223341(1)n n n n n n n n x x C x C x C x C x C x ++=+++++，两边对x 求导，左边1(1)(1)nn x nx x -=+++右边012233234(1)n nn n n n n C C x C x C x n C x =++++++令1x =，01231234(1)(2)2nn n n n n n C C C C n C n -++++++=+⋅1231234(1)(2)21n n n n n n C C C n C n -∴+++++=+⋅-．故答案为：1(2)21n n -+⋅-【点睛】本题考查类比推理以及二项式定理与导数的结合，难点在于找到式子01223341(1)n n n n n n n n x x C x C x C x C x C x ++=+++++，属中档题.15．①②【分析】根据新定义结合组合数公式进行分类讨论即可【详解】当时由定义可知：当时由定义可知：故①成立；当时由定义可知：当时由定义可知：故②成立故答案为：①②【点睛】本题考查了新定义题考查了数学阅读能解析：①，②.. 【分析】根据新定义,结合组合数公式,进行分类讨论即可. 【详解】当1()2m n +>时,由定义可知：m n 〈〉=,01,1m m n n m n m n n n n nn C C C C C C 〈〉-〈-〉======, 当1()2m n +<时,由定义可知：1m n 〈〉=-,11,m m n n m n m n n n n nn C C C n C C C n 〈〉--〈-〉======, 故①m n mn n C C -=成立；当1()2r n +>时,由定义可知：r n 〈〉=,1111111,1r r n r r r r n n n n n n nn n n n C C C n C C C C C C n 〈〉-〈〉〈-〉-+++===++=+=+=+, 当1()2r n +<时,由定义可知：1r n 〈〉=-,11112111(1)(1)(1),222r r n r r r r n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C n 〈〉--〈〉〈-〉--++++-+===+=+=+=+=故②11r r r n n n C C C -+=+成立.故答案为：①，②. 【点睛】本题考查了新定义题,考查了数学阅读能力,考查了组合数的计算公式,考查了分类讨论思想.16．240【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数再代入得结果【详解】令得所以的展开式中的常数项为【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项考查基本分析求解能力属基础题解析：240 【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数，再代入得结果 【详解】()()616211C 2rrrr r T x x -+⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭()31261C 2r r r r x -⎡⎤=-⋅⎣⎦， 令3120r -=得，4r =，所以6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为()44461C 2240-⋅=.【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项，考查基本分析求解能力，属基础题.17．175【分析】先利用二项式系数的性质求得n ＝4再令x ＝﹣1可得a0﹣a1+a2﹣…+（﹣1）nan 的值再令x ＝0可得a0=81即可求解【详解】由C233n+1＝C23n+6（n ∈N*）可得3n+1+解析：175 【分析】先利用二项式系数的性质求得n ＝4，再令x ＝﹣1可得 a 0﹣a 1+a 2﹣…+（﹣1）n a n 的值，再令x ＝0可得a 0=81，即可求解. 【详解】由C 233n +1＝C 23n +6（n ∈N *）可得 3n +1+（n +6）＝23，或 3n +1＝n +6，解得 n ＝4 或n 52=（舍去）．故（3﹣x ）4＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 4 x 4，令x ＝﹣1可得 a 0﹣a 1+a 2﹣…+（﹣1）n a n ＝44＝256， 再令x ＝0可得a 0=81，∴﹣a 1+a 2﹣…+（﹣1）n a n ＝256-81=175， 故答案为 175． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和问题，属于中档题．18．61【解析】分析：根据题设可列出关于的不等式求出代入可求展开式中常数项为详解：的展开式中只有第4项的二项式系数最大即最大解得又则展开式中常数项为点睛：在二项展开式中有时存在一些特殊的项如常数项有理项解析：61 【解析】分析：根据题设可列出关于n 的不等式，求出6n =，代入可求21(1)(12)nx x ++展开式中常数项为61. 详解：(12)n x +的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即3n C 最大，3234n n n nC C C C ⎧>∴⎨>⎩，解得57n <<， 又*,6n N n ∈∴=， 则21(1)(12)n x x++展开式中常数项为02266261C C +⋅=. 点睛：在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式1r T +.19．60【解析】的展开式的通项公式为令得∴的系数为故答案为60解析：60 【解析】62x ⎛ ⎝的展开式的通项公式为()366621661222xrr x r r r r T C x C x ---+⎛⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎝⎭⎝ 令3632r -=得2r∴3x 的系数为2622612602C -⎛⎫-⋅⋅= ⎪⎝⎭故答案为6020．【分析】在展开式中令可得系数和【详解】令得故答案为：【点睛】本题考查二项式定理在二项展开式中求系数和或部分项的系数项的常用方法是赋值法设二项展开式为则有：奇数项系数和为偶数项系数和为 解析：6-【分析】在展开式中令1x =可得系数和． 【详解】令1x =得501234567(231)(12)6a a a a a a a a +++++++=++-=-. 故答案为：6-． 【点睛】本题考查二项式定理，在二项展开式中求系数和或部分项的系数项的常用方法是赋值法，设二项展开式为2012()n n f x a a x a x a x =+++，则有：012(1)n f a a a a =++++，奇数项系数和为024(1)(1)2f f a a a +-+++=， 偶数项系数和为135(1)(1)2f f a a a --+++=．三、解答题21．（1）5；（2）121792x 和11792x -【分析】（1）先求出8n =，再写出二项式展开式的通项382182k k kk T C x-+=⨯⨯，令382kZ -∈即可求解；（2）设第1k +项系数最大，则118811882222k k k k k k k k C C C C --++⎧⨯≥⨯⎨⨯≥⨯⎩，即可解得k 的值，进而可得展开式中系数最大的项. 【详解】（1）由题意可得：152n+=，得8n =，8x ⎛+ ⎝的展开式通项为138********k k k k k k kk T C x x C x ---+=⨯⨯=⨯⨯，()08k ≤≤，要求展开式中有理项，只需令382kZ -∈， 所以0,2,4,6,8k = 所以有理项有5项，（2）设第1k +项系数最大，则118811882222k k k k kk k k C C C C --++⎧⨯≥⨯⎨⨯≥⨯⎩ ， 即()()()()()()118!8!22!8!1!81!8!8!22!8!1!81!k k k k k k k k k k k k -+⎧⨯≥⨯⎪---+⎪⎨⎪⨯≥⨯⎪-+--⎩，即2191281k k k k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得：56k ≤≤，因为k Z ∈， 所以5k =或6k =所以1155226821792T C x x =⨯⨯=，166127821792T C x x -=⨯⨯=所以展开式中系数最大的项为121792x 和11792x -. 【点睛】解二项式的题关键是求二项式展开式的通项，求有理项需要让x 的指数位置是整数，求展开式中系数最大的项需要满足第1k +项的系数大于等于第k 项的系数，第1k +项的系数大于等于第2k +项的系数，属于中档题 22．（1）4320；（2）14400 【分析】（1）利用捆绑法，先将女生捆绑，再和男生一起排列，计算即得解； （2）利用插空法，先排男生，再将女生插入男生空隙，即得解. 【详解】（1）由题意，女生必须全排在一起，利用捆绑法有36364320A A =种不同的排法；（2）女生必须全分开，利用插空法有535614400A A =种不同的排法【点睛】本题考查了排列组合的实际应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于基础题23．（1）18-；（2）325376x -；（3）91019-.【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出展开式中的第6项的系数与第4项的系数，列出方程求出n 的值，代入二项展开式的通项公式即可求解；（2）利用两边夹定理，设第1r +项系数的绝对值最大，列出关于r 的不等式即可求解； （3）利用二项式定理求解即可. 【详解】（1）由5533(2):(2)6:1n n C C --=，得9n =，∴通项2752219(2)r r rr TC x-+=-，令2751122r-=，解得1r =， ∴展开式中11x 的系数为119(2)18C -=-.（2）设第1r +项系数的绝对值最大，则11991199221732022r r r r r rr r C C r C C ++--⎧≥⇒≤≤⎨≥⎩，所以6r =， ∴系数绝对值最大的项为27303662229(2)5376C x x ---=.（3）原式()90012299999991110199991(19)1999C C C C -⎡⎤=++++-=+-=⎣⎦. 【点睛】本题考查二项式定理的应用、二项展开式的通项公式和系数最大项的求解；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.24．（1）8；（2）7. 【分析】（1）根据二项式系数的比值列式求解n ；（2）先求出展开式的通项，然后求解所求项的系数． 【详解】（1）因为多项式12nx ⎫⎪⎭的展开式中第3项、第5项二项式系数分别为2n C ，4n C ， 又第3项与第5项的二项式系数之比为2：5.所以，2425n n C C =，. 即()()()()122112354321n n n n n n -⨯=---⨯⨯⨯， 化简得25240n n --=，解得8n =或3n =-（舍去）； 故n 的值为8.（2）又因为展开式通项83821881122rx rr r r r T C C xx --+⎛⎫⎛⎫=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当8312r-=时，解得2r ；.所以2238172T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以展开式中含x 项的系数为7. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有给定项的二项式系数，利用通项求特定项的系数，属于简单题目.25．（1）①2-；②2187；（2）①5240x -；②5240x -或580x -. 【分析】（1）①运用赋值法，令0x =，求得01a =，令1x =，求得012345671a a a a a a a a +++++++=-，由此可求得答案.②由二项式的展开式判断0a 、2a 、4a 、6a 都大于零，而1a 、3a 、5a 、7a 都小于零，令1x =-，可求得答案；（2）先求出展开式的通项公式，①令2r 时，求展示式中的第3项；②令2r 或3时，求得二项式系数最大项．【详解】解：（1）令0x =，则01a =，令1x =，则()7012345671211a a a a a a a a +++++++=-⨯=-. ①∴12372a a a a ++++=-.②∵()712x -展开式中，0a 、2a 、4a 、6a 都大于零，而1a 、3a 、5a 、7a 都小于零， ∴()()012702461357a a a a a a a a a a a a ++++=+++-+++，令1x =-，则7012345673a a a a a a a a -+-+-+-=.所以01272187a a a a ++++=.（2）522x ⎫⎪⎭的展开式中第1r +项为()()551225215522rrrrr r r T C x x C x---+==⋅⋅，①当2r 时，所以展示式中的第3项为55222235240T C x x --=⋅⋅=.②2r或3时，二项式系数5rC 最大，2r时，由（1）知52340T x -=，3r =时，445545280T C x x --==．【点睛】方法点睛：求最大二项式系数时：如果n 是奇数，最大的就是最中间一个，如果n 是偶数,最大的就是最中间两个；求系数的最大项时：设第r +1项为系数最大项，需列出不等式组+1+2+1r r r rT T T T ≥⎧⎨≥⎩，解之求得r .26．（1）56252x-；（2）5x . 【分析】（1）先求出二项展开式的通项，根据条件求出n ，即可知道二项式系数最大的项； （2）令x 的指数为5，即可计算出r ，求出含5x 的项. 【详解】可知3561(1)rn rr n r r r r n n T C C x --+⎛==- ⎝， 方案一：选条件①，（1）由题可知4422(1)14(1)3n n C C -=-， !2!(2)!144!(4)!!3n n n n -∴⨯=-，25500n n ∴--=，解得10n =或5n =-（舍去），所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，555566610(1)252T C x x =-=-，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，566252T x =-；（2）由（1）知56110510,(1)r rr r n T C x-+==-，令5556r -=，0r ∴=，51T x ∴=， 所以展开式中含5x 的项是第一项，为5x ； 方案二：选条件②， （1）由题可知21212552n nnnnn nC CC C -++=+==，整理得21100n n +-=，解得10n =或11n =-（舍去）， 所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，555566610(1)252T C x x =-=-，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，566252T x =-；（2）同方案一（2）； 方案三：选条件③， （1）222211110n n nn n n C C C C C -++-=-==，10n ∴=，所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，555566610(1)252T C x x =-=-，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，566252T x=-；（2）同方案一（2）.【点睛】本题考查二项展开式的相关性质，属于中档题.。
(典型题)高中数学选修三第一单元《计数原理》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（ ） A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种2．4(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ） A ．8B ．7C ．6D ．43．从5名志愿者中选出4人分别到A 、B 、C 、D 四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到A 、B 二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有（ ） A ．120种 B ．24种C ．18种D ．36种4．已知（x x ﹣a x）5的展开式中，常数项为10，则a ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．25．某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则： ①若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号； ②若开启2号或4号，则关闭1号； ③禁止同时关闭5号和1号. 则阀门的不同开闭方式种数为（ ） A ．7B ．8C ．11D ．146．在某次体检中，学号为i （1,2,3,4i =）的四位同学的体重()f i 是集合{45,48,52,57,60}kg kg kg kg kg 中的元素，并满足(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤，则这四位同学的体重所有可能的情况有（ ） A ．55种B ．60种C ．65种D ．70种7．()52112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式的常数项为（） A ．112B ．48C ．-112D ．-488．在下方程序框图中，若输入的a b 、分别为18、100，输出的a 的值为m ，则二项式342()(1)x m x x x+⋅-+的展开式中的常数项是A ．224B ．336C ．112D ．5609．从A ，B ，C ，D ，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) A ．24 B ．48 C ．72D ．12010．从5种主料中选2种，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为 A ．18 B ．200C ．2800D ．3360011．在(nx的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为128，则4x 的系数为（ ） A ．21B ．63C ．189D ．72912．在2310(1)(1)(1)x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 项的系数为（ ） A ．45B ．55C ．120D ．165二、填空题13．二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）14．化简：()()()1231223312131n n n n nn n n n C p p C p p C p p nC p ----+-+-++=______.15．4名志愿者被随机分配到、、A B C 三个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者,则甲､乙两名志愿者没有分配到同一个岗位服务的概率为______. 16．621(2)x x-的展开式中的常数项为______． 17．已知()2n1(2x )n N*x-∈的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x项的系数是______.(结果用数值表示) 18．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有__________种．19．若()*212nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是__________.20．高三年级毕业成人礼活动中，要求A ，B ，C 三个班级各出三人，组成33⨯小方阵，则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为__.三、解答题21．在二项式()32nx -的展开式中.（1）若前3项的二项式系数和等于67，求二项式系数最大的项；（2）若第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，求奇次项系数和.22．已知nx ⎛⎝的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于128. （1）求展开式中所有项的系数和； （2）求展开式中所有的有理项.23．已知n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. （1）求n ；（2）求第三项的二项式系数及展开式中x 的系数；（3）求展开式中系数的绝对值最大的项.24．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止.（1）若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是多少？ （2）若恰在第2次测试才测试到第1件次品，第7次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？25．已知二项式1nx ⎫⎪⎭的展开式中各项的系数和为256. （1）求n ；（2）求展开式中的常数项．26．已知n的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大255（1）求展开式所有的有理项； （2）求展开式中系数最大的项.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果. 【详解】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶， 先选出两个垃圾桶，有246C =种选法，之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有33A 种放法；所以不同的摆放方法共有23436636C A ⋅=⨯=种， 故选：C. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有246C =种选法； （2）之后就相当于三个元素的一个全排； （3）利用分步乘法计数原理求得结果.2．C解析：C 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，令2r 即可得出答案．【详解】4(1)x +的展开式中，14,(0,1,2,3,4)rr r r T x +==，令2r ，2x ∴的系数为246C =．故选：C ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．3．D解析：D 【分析】根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，②、甲、乙两人都被选中，根据分类计数原理可得 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，到C ，D 中的一个部门，其他三人到剩余的部门，有113223··24C C A =种选派方案． ②、甲、乙两人都被选中，安排到C ，D 部门，从其他三人中选出2人，到剩余的部门，有2223·12A A =种选派方案， 综上可得，共有24+12=36中不同的选派方案， 故选D ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中档题．4．A解析：A 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项为10，求得a 的值． 【详解】5()a x x x -的展开式中，通项公式为15552155()()()rr r r r rr a T C x x C a x x--+==--，令15502r-=，求得3r =， 可得常数项为335()10C a -=，求得1a =-. 故选：A 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查根据展开式的某一项求参数的值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．A解析：A 【分析】分两类解决，第一类：若开启3号，然后对2号和4号开启其中一个即可判断出1号和5号情况，第二类：若关闭3号，关闭2号关闭4号，对1号进行讨论，即可判断5号,由此可计算出结果. 【详解】解：依题意，第一类：若开启3号，则开启4号并且关闭2号，此时关闭1号，开启5号， 此时有1种方法； 第二类：若关闭3号，①开启2号关闭4号或关闭2号开启4号或开启2号开启4号时，则关闭1号，开启5号，此时有种3方法；②关闭2号关闭4号，则开启1号关闭5号或开启1号开启5号或关闭1号，开启5号， 此时有种3方法；综上所述，共有1337++=种方式. 故选：A. 【点睛】本题考查分类加法计数原理，属于中档题.6．D解析：D 【分析】根据(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中等号所取个数分类讨论，利用组合知识求出即可. 【详解】解：当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中全部取等号时，情况有155C =种；当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中有两个取等号，一个不取等号时，情况有215330C C =种；当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中有一个取等号，两个不取等号时，情况有315330C C =种；当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中都不取等号时，情况有455C =种；共560+60+5=70+种. 故选：D. 【点睛】本题考查分类讨论研究组合问题，关键是要找准分类标准，是中档题.7．D解析：D 【分析】把51(2)x-按照二项式定理展开，可得()52112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式的常数项． 【详解】 由于()()52205142332455555111111121()2()4()8()1632x x C C C C C x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---⋅-⋅+⋅-⋅+⋅- ⎪⎭= ⎪⎝⎝⎭故展开式的常数项为3583248C -+=-，故选D ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查了二项式展开式，属于基础题.8．D解析：D 【分析】由程序图先求出m 的值，然后代入二项式中，求出展开式中的常数项 【详解】由程序图可知求输入18100a b ==，的最大公约数，即输出2m =则二项式为())348332812161x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+⋅-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)81的展开通项为()82181rrr r T C x-+=-要求展开式中的常数项，则当取38x时，令832r-= 解得2r =，则结果为288224C =，则当取12x 时，令812r-=，解得6r =，则结果为6812336C =，故展开式中的常数项为224336560+=，故选D【点睛】本题考查了运用流程图求两个数的最大公约数，并求出二项式展开式中的常数项，在求解过程中注意题目的化简求解，属于中档题9．C【分析】根据题意,分2种情况讨论: ①A 不参加任何竞赛,此时只需要将,,,B C D E 四个人全排列，对应参加四科竞赛即可；②A 参加竞赛,依次分析A 与其他四人的情况数目，由分步计数原理可得此时参加方案的种数，进而由分类计数原理计算可得结论. 【详解】A 参加时参赛方案有31342348C A A = (种)，A 不参加时参赛方案有4424A = (种)，所以不同的参赛方案共72种，故选C. 【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.10．C解析：C 【分析】根据组合定义以及分布计数原理列式求解. 【详解】从5种主料中选2种，有2510C =种方法, 从8种辅料中选3种，有3856C =种方法,根据分布计数原理得烹饪出不同的菜的种数为10565=2800⨯⨯，选C. 【点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：分布计数原理与分类计数原理，具体问题可使用对应方法：如 (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.11．C解析：C 【解析】分析：令1x =得各项系数和，由已知比值求得指数n ，写出二项展开式通项，再令x 的指数为4求得项数，然后可得系数．详解：由题意41282n n =，解得7n =，∴37721773r r r r r rr T C x C x --+==，令3742r-=，解得2r ，∴4x 的系数为2273189C =．点睛：本题考查二项式定理，考查二项式的性质．在()n a b +的展开式中二项式系数和为2n ，而展开式中各项系数的和是在展开式中令变量值为1可得，二项展开式通项公式为1C r n r rr n T ab -+=． 12．D解析：D 【解析】分析：由题意可得展开式中含2x 项的系数为222223410C C C C +++⋯+ ，再利用二项式系数的性质化为 311C ，从而得到答案．详解：()()()2310111x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中含2x 项的系数为222232341011 165.C C C C C +++⋯+==故选D.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．二、填空题13．60【分析】根据二项式展开式的通项公式求解【详解】有题意可得二项式展开式的通项为：令可得此时【点睛】本题考查二项式定理的应用考查通项公式考查计算能力属于基础题解析：60 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解. 【详解】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrrr r r rr T C xC xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查通项公式，考查计算能力，属于基础题.14．【分析】由将原式转化为再由二项式定理可得答案【详解】∴故答案为：【点睛】本题考查组合数公式和二项式定理的应用考查转化思想属于中档题 解析：np【分析】由11=kk n n kC nC --将原式转化为()()()1232311110121111n n n n nn n n n nC p p nC p p nC p p nC p ---------+-+-++，再由二项式定理可得答案. 【详解】()()()()111!1!!=!()!1!()!1!()!k k nn nk n n n kn kC nC k n k k k n k k n k ----===-----，∴()()()1231223312131n n n n nn n n n C p p C p p C p p nC p ----+-+-++()()()123212311111=111n n n n nn n n n nC p p nC p p nC p p nC p ---------+-+-++()()11211111=11n n n n n n n np C p C p C p p -------+⎦+⎡⎤-+-⎣1[(1)]n np p p -=-+ 11n np -=⋅np =故答案为：np 【点睛】本题考查组合数公式和二项式定理的应用，考查转化思想，属于中档题.15．【分析】要保证每个岗位至少一人人所以首先将四个人分成三组在将三组全排列求出总事件数然后再将甲乙分到不同两组得出甲乙不在同一岗位的基本事件数总而得出概率【详解】因为每个岗位至少有一人所以要将四个人分成解析：56【分析】要保证每个岗位至少一人人，所以首先将四个人分成三组，在将三组全排列求出总事件数，然后再将甲乙分到不同两组，得出甲乙不在同一岗位的基本事件数，总而得出概率. 【详解】因为每个岗位至少有一人，所以要将四个人分成三组，则只能是211、、所以总事件数为： 2113421322=36C C C A A ⋅⋅⋅， 甲乙不在同一岗位的基本事件数：()11232223+=30C C C A ⋅⋅ 所以甲､乙两名志愿者没有分配到同一个岗位服务的概率305=366P =， 故答案为：56. 【点睛】本题考查等可能性事件的概率，利用排列组合公式求出基本事件的总数和满足某个事件的基本事件个数是解答本题的关键.16．240【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数再代入得结果【详解】令得所以的展开式中的常数项为【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项考查基本分析求解能力属基础题解析：240 【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数，再代入得结果 【详解】()()616211C 2rrrr r T x x -+⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭()31261C 2r r r r x -⎡⎤=-⋅⎣⎦， 令3120r -=得，4r =，所以6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为()44461C 2240-⋅=.【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项，考查基本分析求解能力，属基础题.17．-84【分析】由已知求得n 写出二项展开式的通项由x 的指数为求得r 则答案可求【详解】由题意得其二项展开式的通项由得展开式中含项的系数是故答案为【点睛】本题考查二项式定理关键是熟记二项展开式的通项是基础题解析：-84 【分析】由已知求得n ，写出二项展开式的通项，由x 的指数为1-求得r ，则答案可求． 【详解】由题意，n 2128=，得n 7=．2n 2711(2x )(2x )x x∴-=-，其二项展开式的通项r27rr r 7r r143r r 1771T C (2x )()(1)2C x x---+=⋅⋅-=-⋅⋅⋅．由143r 1-=-，得r 5=．∴展开式中含1x项的系数是574C 84-⨯=-． 故答案为84-． 【点睛】本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．18．10【分析】分类讨论：选择两门理科学科一门文科学科；选择三门理科学科即可得出结论【详解】选择两门理科学科一门文科学科有种；选择三门理科学科有1种故共有10种故答案为10【点睛】本题考查计数原理的应用解析：10 【分析】分类讨论：选择两门理科学科，一门文科学科；选择三门理科学科，即可得出结论． 【详解】选择两门理科学科，一门文科学科，有2133C C 9=种；选择三门理科学科，有1种，故共有10种． 故答案为10． 【点睛】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．19．240【解析】分析：利用二项式系数的性质求得n 的值再利用二项展开式的通项公式求得展开式中的常数项详解：的展开式中所有二项式系数和为则；则展开式的通项公式为令求得可得展开式中的常数项是故答案为240点解析：240 【解析】分析：利用二项式系数的性质求得n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．详解：212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式系数和为264n =，，则6n = ； 则6221122n x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式的通项公式为626631661212r r r r r rr r r T C x x C x ----+=⋅-⋅⋅=⋅-⋅⋅（）（）（），令630r -=，求得2r ，可得展开式中的常数项是224612240C ⋅-⋅=（）， 故答案为240．点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．20．【分析】根据题意由排列组合数公式计算三个班级各出三人组成小方阵和来自同一班级的同学既不在同一行也不在同一列的排法由古典概型公式计算可得答案【详解】根据题意三个班级各出三人组成小方阵有种安排方法若来自 解析：1140【分析】根据题意，由排列、组合数公式计算“三个班级各出三人，组成33⨯小方阵”和“来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列”的排法，由古典概型公式计算可得答案. 【详解】根据题意，A ，B ，C 三个班级各出三人，组成33⨯小方阵，有99A 种安排方法，若来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列，则第一行队伍的排法有336A =种，第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；第一行的每个位置的人员安排方法有33327⨯⨯=种，第二行的每个位置的人员安排有2228⨯⨯=种，第三行的每个位置的人员安排有1111⨯⨯=种，则自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率99622781140P A ⨯⨯⨯==； 故答案为：1140. 【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法以及排列组合的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）5610777536T x =-，677185024T x =；（2）19152+.【分析】（1）由题意得01267n n n C C C ++=，化简为21320n n +-=，解得n 的值，可以写出结果；（2）由题意得217n n C C =，解得n =19，在()1932x -的展开式中，分别令1x =和1x =-，得到2个式子，相减可得要求式子的值． 【详解】（1）在二项式()32nx -的展开式中，前3项的二项式系数和为01267n n n C C C ++=，化简为21320n n +-=，解得11n =或12n =-（舍），二项式为()1132x -，展开式共有12项，∴则展开式中二项式系数最大的项为第6和第7项，()55656113210777536T C x x =-=-和()6656711327185024T C x x =-=.（2）当第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，得217n n C C =，计算得19n =，二项式为()1932x -.在()192319012319..32.a a x a x a x x a x =+++++-中， 令1x =，则0123191...a a a a a =+++++，①令1x =-，则190123195...a a a a a =-+-+-，②①+②得()1902418152...a a a a +=++++，奇次项系数和为19152+.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，展开式的奇次项系数和，属于中档题． 22．（1）1256；（2）716.【分析】（1）先利用二项式系数的性质，求出n 的值，然后令1x =，即可求出展开式中所有项系数的和.（2）求出通项，然后令x 的指数为整数，即可求出所有的有理项. 【详解】解：（1）由已知得02412128n n n n C C C -+++==，故8n =.在nx ⎛ ⎝中，令1x =可得展开式中各项系数的和为8112256⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）展开式的通项为4831812kk k k T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵08k ≤≤，k ∈N ，令0k =，3，6，得4883r-=，4，0. 所以有理项为：81T x =，447T x =-，7716T =. 【点睛】本题考查利用二项展开式的通项研究系数、特定项的问题，同时考查学生运用转化思想解决问题的意识及计算能力.属于中档题. 23．（1）8n =（2）28；358（3）527x 或747x - 【分析】(1)根据等差数列的知识及二项式系数的性质，列式求得n ；(2)直接求解第三项的二项式系数，然后写出二项展开式的通项，由x 的指数为1求得r ,则展开式中x 的系数可求；(3)根据二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项. 【详解】(1)二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列，则 10211224n n n C C C ⋅=+⋅，解得：1n =(舍去)或8n =；(2)由(1)可得：8n=，所以展开式中第三项的二项式系数为2828C =，展开式的通项为1638418812r rrr r r r T C C x--+⎛⎛⎫=⋅⋅=-⋅⋅ ⎪ ⎝⎭⎝， 令16314r-=，解得4r =，所以展开式中x 的系数为48135168C ⋅=； (3)由(2)可得：1188118811221122r r r r rr rr C C C C ++--⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得23r ≤≤，所以展开式中系数的绝对值最大的项为16324825223172T C x x -⨯⎛⎫=-⋅⎭=⋅ ⎪⎝或37316344438127T C x x -⨯⎛⎫=-⋅⋅=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用、二项展开式的通项公式、二项式系数的性质，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题. 24．（1）576种；（2）17280种. 【分析】（1）由已知得第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，且前4次有一件正品出现，根据排列组合知识可得不同的测试方法总数；（2）由已知分3步进行分析：先排第1次测试，只能取正品，再从4件次品中选2件排在第2次和第7次的位置上测试，最后排余下4件的测试位置，再每一步中运用排列组合知识，再由分步乘法原理可得测试方法总数. 【详解】（1）根据题意，若恰在第5次测试后就找出了所有次品， 即第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，则前4次有一件正品出现，所以共有()11344634576A C C A ⋅=种不同的测试方法； （2）根据题意，分3步进行分析：先排第1次测试，只能取正品，有6种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第2次和第7次的位置上测试，有2412A=种测试方法，最后排余下4件的测试位置，有2454240C A =种测试方法. 所以共有61224017280⨯⨯=种不同的测试方法. 【点睛】本题考查分类、分步计数原理，综合考查排列组合知识，属于中档题. 25．（1）8；（2）28. 【分析】⑴观察1nx ⎫⎪⎭可知，展开式中各项系数的和为256，即112...256nn n n n C C C C ++++=，解出得到n 的值⑵利用二次展开式中的第1r +项，即通项公式11rn rr r nT C x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，将第一问的n 代入，并整理，令x 的次数为0，解出r ，得到答案 【详解】（1）由题意，得112...256nn n n n C C C C ++++=，即2n ＝256，解得n ＝8.（2）该二项展开式中的第1r +项为T r ＋1＝8483881rr rr r CC x x --⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令843r-＝0，得r ＝2，此时，常数项为238T C =＝28.【点睛】本题主要考的是利用赋值法解决展开式的系数和问题，考查了利用二次展开式的通项公式解决二次展开式的特定项问题． 26．（1）4112,256x x -；（2）731792x -【分析】令1x =可得展开式的各项系数之和，而展开式的二项式系数之和为2n ，列方程可求n 的值及通项， （1）832r r--为整数，可得r 的值，进而可得展开式中所有的有理项； （2）假设第1r +项最大，且r 为偶数，则22882288(2)(2)(2)(2)r r r r r r r r C C C C ++--⎧-≥-⎨-≥-⎩，解出r 的值，进而可求得系数最大的项. 【详解】解：令1x =可得，展开式中各项系数之和为(1)n-，而展开式中的二项式系数之和为2n ，2(1)255n n ∴--=，8n ∴=，883322188(2)(2)r r rr r rrr r T C xxC x----+∴=-=-，（1）当832r r--为整数时，1r T +为有理项，则2,8r =， 所以展开式所有的有理项为：4112,256x x -； （2）设第1r +项最大，且r 为偶数则22882288(2)(2)(2)(2)r r r r r r r r C C C C ++--⎧-≥-⎨-≥-⎩， 解得：6r =，所以展开式中系数最大的项为：8667663238(2)1792C xx ----=.【点睛】本题主要考查了利用赋值法求解二项展开式的各项系数之和及展开式的二项式系数和的应用，二项展开式的通项的应用，属于基本知识的综合应用.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
文档《计数原理》单元测试题一、选择题位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同51．）报名方法共有（．32种 C．25种 D A．10种 B．20种3门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4 门，则不同的选修方案共有（）．192种 C．96种 D BA．36种．48种位老人相2位老人拍照，要求排成一排，23. 记者要为5名志愿者和他们帮助的）邻但不排在两端，不同的排法共有（ 480种 D．．种 B960种 C．720种A．1440个数字互不个数字组成，其中44. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4 ）相同的牌照号码共有（????2242244411AAA10．个 A．个个 B． C个． D10CCA26261010262641062( ) 的展开式中．（xx－项的系数是y）y5210840 C. 210 D.－A. 840 B. －可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个，53，4由数字0，1，2，6.( )数有 D.52C.48 B.60 A.72组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排4，3，，7.用01，2. ）个数应是第（列，则数字12340D.8C.10 A.6 B.9个点，且两直线上nCD上有个点，CD为平面内两条相交直线，AB上有m8.AB和( ) 个点为顶点的三角形的个数是各有一个与交点重合，则以这m+n-12212121111212212CCCC?CC?CCCC?CCCCCC? A.D. B.C.1mnnnnmmm?nmnn1n??m1m?1m?1??10????22102xax?????a?2?x??aax a?a?????a?a?a?????a,则的9.设102109101220值为( )D. C.1 B.-1 A.0文档BA地，则路地前往10．某城市的街道如图，某人要从( ) 程最短的走法有 D.32种 B.10种 C.12种 A.8种10题）（第个顶点作为一组，其中可以构中任取3个顶点(如图)11．从6个正方形拼成的12 成三角形的196 ．．204 C．200 D组数为 ( )A．208 B其中恰好有一双的取法种数为12. 从不同号码的五双靴中任取4只，（）A.120 B.240 C.360 D.72题）（第11二、填空题个球排成一943个黄球、个白球，同色球不加以区分，将这13. 今有2个红球、列.种不同的方法（用数字作答）有相邻的4组成没有重复数字的五位数，则其中数字21，3114. 用数字0，，2，，个（用数字作答）．偶数有1n3nx= .+)的展开式中含有常数项，则最小的正整数若15. (2x名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委名成员中选出5316. 从班委会种。
（用员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____ 数字作答）三、解答题名女生中选出三名代表名男生,3417．从?(1)不同的选法共有多少种? 至少有一名女生的不同的选法共有多少种(2)? 代表中男、女生都要有的不同的选法共有多少种(3)文档18．平面内有12个点，其中有4点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点可得到多少个不同的三角形？19．六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（l）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端．20．把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.（1）43251是这个数列的第几项？（2）这个数列的第96项是多少？（3）求所有五位数的各位上的数字之和（4）求这个数列的各项和.在项的二项式系数相等。
r+2项和第21.4r的展开式中，如果第文档（1）求r的值；（2）写出展开式中的第4r项和第r+2项。
求证：能被25整除。
22.文档第一章计数原理单元测试题参考答一、选择题：（每题5分，共60分）1、D2、C 解析．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各233C?C?C?96种，选3门，则不同的选修方案共有C选修4445A位老人作一组插入其中，且两位老人有名志愿者先排成一排，有2种方法，3、B 解析：555A4?2?B=960种不同的排法，选左右顺序，共有5个数字互不个数字组成，其中4A 解析：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接44、??241AC A 相同的牌照号码共有个，选10263323种不同的排法,其中0在首位的有种不5、A 6、B 解析:只考虑奇偶相间,则有2AAAA32333323种. 符合题意,所以共有260AA?AA?33323个; 第二类是千位为2 7、C 解析: 比12340小的分三类:第一类是千位比2小为0,有,A?632个; 第三类是十位比4小为0,有1个.共有6+2+1=9个,所以百位比3小为0,有A2?212340是第10个数.8、D 解析:在一条线上取2个点时,另一个点一定在另一条直线上,且不能是交点.9、C 10、B 11、C1C,而后从每双中各取一只双,,再从剩下的4双鞋中取出12、A 解析:先取出一双有2种取法51112211有种不同的取法. ,种不同的取法共有C120CCC?CCC4225224二、填空题(每小题4分，共16分）13、1260 解析：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有342C?C1260C35914、24 解析：可以分情况讨论：①若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，32?A?12个五位数；②若末位数字为13，4，各为个数字，共可以组成2，则1322?A?4个五位数；不是首位数字，则有③若0其余与它相邻，3个数字排列，且2末位数字为4，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不2)A?2?(2是首位数字，则有个24=8个五位数，所以全部合理的五位数共有2文档11rrn?n?r3n)?)(T?C(2x3x为常数项，(2 解析：若)+的展开式中含有常数项，15、7n?1r xx7r?3n nrn等于即7. =6=7，时成立，最小的正整数=0，当216、36种解析．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余3人中选出1人担任文娱委员，12C?A?3?4?3?36不同的选法共有人担任学习委员和体育委员，人中选24再从43种三、解答题3?C35种； 17.解：（1）即从7名学生中选出三名代表，共有选法712213CC?CC?C?31）至少有一名女生的不同选法共有种；（233434333?30?CC?C3 （）男、女生都要有的不同的选法共有种。
37418.解：把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准。
点中有两点为三角形的顶点，共有：4 第一类：共线的（个）；点中有一点为三角形的顶点，共有4 （个）；第二类：共线的点中没有点作为三角形的顶点，共有：第三类：共线的4 （个）。
共有三角形：由分类计数原理知，（个）。
答：可得到216个不同的三角形。
个，有 1 要使甲不站在两端，可先让甲在中间 4 个位置上任选19.解析：（l）方法一：个位置上作全排列有种站法，根据分步乘法人在另外 5 5 种站法，然后其余 480 （种）计数原理共有站法有 2 个人站， 5 方法二：由于甲不站两端，种这两个位置只能从其余个人中选共有站法种站法，然后中间 4 根据分步乘法计数原理，480人有站法，（种）种站法，甲在两端共有方法三：种站法，从总数若对甲没有限制条件共有480（种）中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有2（种站法，再把甲、）方法一：共有240 （种）根据分步乘法计数原理，乙进行全排列，种站法，有站法．个人作全排列，有种站法，再在 5 个空档中选方法二：先把甲、乙以外的 4种方法，共有种方法，最后让甲、乙全排列，有出一个供甲、乙放入，有（种）240文档（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的 4 个有（含两端）中， 4 人形成的 5 人站队，个空档有种；第二步再将甲、乙排在= 480 （种）.种，故共有站法为个人全排列有，6 也可用“间接法”由（2）知甲、240乙相邻有种站法，－种站法，所以不相邻的站法有（种）．＝720－240480个人作全排列，有种，然后将甲、乙按条件插入站先将甲、乙以外的 4 (4)方法一：种，故共有种站法．队，有人排在甲、乙之间的两个位置上，有 2 个人中任选方法二：先从甲、乙以外的 4人作全排列有种方法，人看作一个“大”元素与余下 2 种，然后把甲、乙及中间 2种方法，故共有144 最后对甲、乙进行排列，有种站法．首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有）方法一：（种，再让其他 4 人在中间位5种，根据分步乘法计数原理，共有置作全排列，有种站法．首先考虑两个特殊位置，甲、乙去站有种站法，然后考虑中间 4 个位置，方法二：种站法．人去站，有 4 种站法，由分步乘法计数原理共有由剩下的种，且甲在左端而乙在右）方法一：甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有（6种，共有端的站法有种站法．甲站右端有种，②以元素甲分类可分为两类：①甲在中间 4 个位置之方法二：=504 种站法．种，故共有一，而乙不在右端有的数，分为以下三类解：⑴先考虑大于20.432514 =24 打头的有：第一类：以5A43 =6 第二类：以45打头的有：A32 =2第三类：以435打头的有：A2??2543的五位数有：故不大于43251（个）A88A?A?A??5423即43251是第88项.⑵数列共有A=120项，96项以后还有120-96=24项，即比96项所表示的五位数大的五位数有24个，所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项.即为45321.4A个五位数，所以万位上各个数字的和为：，5各在万位上时都有31（3）因为，2，，4441+2+3+4+5）·（A44A五位数，所有五位数的各位上的同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有个4文档4数字之和5·（1+2+3+4+5）·=1800A44A个五位数，所以万位上数字的和为：5各在万位上时都有3，4，（4）因为1，2，4410000 ）··1+2+3+4+5（A44A个五位数，所以这个数列各项和为：同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有441+10+100+1000+10000）（1+2+3+4+5）··（A4项的二项式系数为r+24r，根据二项的二项式系数为，第21.解：（1）展开式第时它们的二项式项式系数的性质，当且仅当或系数相等，解得。