计数原理测试试卷
计数原理单元测试卷一
计数原理单元测试卷一同学们，今天我们进行的是计数原理单元的测试，请大家认真审题，仔细作答。
现在，让我们开始今天的测试。
一、选择题（每题3分，共30分）1. 某班级有30名学生，需要选出5名代表参加校运会，有多少种不同的选法？A. 3000B. 300C. 150D. 1002. 如果一个事件可以由n个步骤组成，每个步骤有两种选择，那么完成这个事件共有多少种不同的方法？A. 2^nB. n^2C. 2nD. n!3. 某图书馆有100本书，需要选出10本进行展示，如果不考虑书籍的排列顺序，共有多少种不同的选法？A. 100B. 10C. 10^100D. 100!/(10!*90!)...（此处省略其他选择题）二、填空题（每空2分，共20分）1. 如果一个事件有5种可能的结果，每种结果发生的概率相等，那么这个事件的期望值是______。
2. 从5个不同的数字中选出3个数字进行排列，不考虑排列顺序，共有______种不同的组合。
...（此处省略其他填空题）三、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是排列和组合，并给出一个例子说明它们的区别。
2. 请解释什么是二项式定理，并给出一个应用二项式定理的例子。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 某学校有5个班级，每个班级有50名学生。
现在需要从这5个班级中随机选出10名学生组成一个学习小组。
如果不考虑班级之间的差异，计算出有多少种不同的组合方式。
2. 假设有5个不同的球和5个不同的盒子，每个盒子只能放一个球。
计算出有多少种不同的放球方法。
五、论述题（共10分）请论述计数原理在日常生活中的应用，并给出至少两个具体的例子。
同学们，测试结束。
请检查自己的答案，确保没有遗漏。
希望你们都能取得好成绩。
如果有任何疑问，可以在课后与我讨论。
谢谢大家的努力和参与。
计数原理单元测试卷(A卷)
计数原理单元测试卷(A 卷)ʏ河南省郑州实验高中 曲海胜一㊁单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分㊂在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的㊂)1.从4名男生与3名女生中选2人去参加一场数学竞赛,则男女生各1人的不同的选派方法数为( )㊂A.7 B .12 C .18 D .242.2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国,吸引了国内众多业余球队参赛㊂现有6个参赛队伍代表站成一排照相,其中贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻,同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻,那么不同的站法共有( )种㊂A.144 B .72 C .36 D .243.已知C 7n +1=C 7n +C 8n (n ɪN *),则n =( )㊂A.14 B .15 C .13 D .124.北斗七星是夜空中的七颗亮星,我国汉代纬书‘春秋运斗枢“就有记载,它们组成的图形像我国古代舀酒的斗,故命名北斗七星㊂北斗七星不仅是天上的星象,也是古人藉以判断季节的依据之一㊂如图1所示,用点A ,B ,C ,D ,E ,F ,G 表示某一时期的北斗七星,其中B ,D ,E ,F 看作共线,其他任何3个点均不共线,过这7个点中任意2个点作直线,所得直线的条数为( )㊂图1A.4 B .13 C .15 D .165.如图2所示,古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界,画出形状相同的两个阴阳鱼,阳鱼的头部有个阴眼,阴鱼的头部有个阳眼,表示万物都在相互转化,互相渗透,阴中有阳,阳中有阴,阴阳相合,相生相克,蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律㊂由八卦模型图可抽象得到正八边形,从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形,其中梯形的个数为( )㊂图2A.16 B .20 C .24 D .286.在(1-x 2)x -1x6的展开式中,含x 2项的系数是( )㊂A.-20 B .5 C .15 D .357.某学校派出5名教师去3所乡村学校支教,其中有一对教师夫妇参与支教活动㊂根据相关要求,每位教师只能去1所学校参与支教,并且每所学校至少有1名教师参与支教,同时要求这对教师夫妇必须去同所学校支教,则不同的安排方案有( )㊂A.18种 B .24种C .36种D .48种8.中国南北朝时期的著作‘孙子算经“中,对同余除法有较深的研究,设a ,b ,m (m >0)均为整数,若a 和b 被m 除得的余数相同,则称a 和b 对模m 同余,记为a ʉb(m o d m )㊂如9和21被6除得的余数都是3,则记9ʉ21(m o d 6)㊂若a ʉb (m o d 10),且a =C 020+C 120㊃2+C 220㊃22+ +C 2020㊃220,则b 的值可以是( )㊂A.2019 B .2020C .2021D .2022二㊁多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分㊂在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求㊂全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分㊂)9.下列结论正确的是( )㊂11演练篇 核心考点A B 卷 高二数学 2024年3月A.10ˑ11ˑ ˑ20=A1020B.C26+C36=C37C.C38=C58D.A58+A48 A69-A59=52710.若(1-2x)2021=a0+a1x+a2x2+ a3x3+ +a2021x2021(xɪR),则()㊂A.a0+a1+a2+ +a2021=-1B.a1+a3+a5+ +a2021=32021+12C.a0+a2+a4+ +a2020=1-320212D.a12+a222+a323+ +a202122021=-111.2021年7月24日,中共中央办公厅㊁国务院办公厅印发‘关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见“,要求各地区各部门结合实际认真贯彻落实㊂同年8月,国务院教育督导委员会办公室印发专门通知,拟对各省 双减 工作落实进度每半月通报一次㊂2021年10月,全国人大表示: 双减 拟明确入法,避免加重义务教育阶段学生负担㊂2021年11月3日,市场监管总局等八部门发布‘关于做好校外培训广告管控的通知“,坚决杜绝地铁㊁公交站台等所属广告牌㊁广告位刊发校外培训广告㊂在 双减 政策的推动下,某市教育局提出了教师轮岗制度,让更多的学生享受到更好㊁更优质的师资,充分体现教育的公平性㊂现从该市某中学调8名不同科目的教师到另一所中学的4个不同班级任教,要求每个班级至少分配1名教师,至多分配3名教师,则()㊂A.将8名教师平均分配到4个不同的班级,有C28C26C24C22种分配方法B.有2个班级分配1名教师,另2个班级分配3名教师,有C18C17C36C33种分配方法C.根据班级实际情况,(1)班需要1名教师,(2)班和(3)班均需要2名教师,(4)班需要3名教师,则有C18C27C25C33种分配方法D.根据教学经验分析,甲㊁乙㊁丙3名教师分配到1个班级才可达到教学效果最优,则有C15C24C22+C15C14C33A22㊃A44种分配方法12.在某城市中,A,B两地之间有如图3所示的道路网,甲随机沿道路网选择一条最短路径,从A地出发到B地,则下列结论正确的是()㊂图3A.不同的路径共有31条B.不同的路径共有41条C.若甲途经C地,则不同的路径共有18条D.若甲途经C地,且不经过D地,则不同的路径共有8条三㊁填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分㊂)13.已知(1-x)9+m(x+1)10=a0+ a1x+a2x2+ +a9x9+a10x10,若a9=a10,则a2=㊂14.若(1-a x+x2)4的展开式中x5的系数为-56,则实数a=㊂15.在二项式x+124xn的展开式中,二项式的系数和为256,把展开式中所有的项重新排成一列,有理项都互不相邻的概率为㊂16.已知a,bɪ{-1,0,2,3},则关于x 的方程a x2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为㊂四㊁解答题(本题共6小题,共70分,解答时应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤㊂)17.(本小题10分)电影‘志愿军雄兵出击“讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下,中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利,著名的 松骨峰战斗 在该电影中就有场景㊂现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片,他们的座位在同一排且连在一起㊂(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种?2 1演练篇核心考点A B卷高二数学2024年3月(2)女生互不相邻的坐法有多少种?(3)甲㊁乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种(列出算式,并计算出结果)18.(本小题12分)(1)解关于x 的不等式A x 8<6A x -28㊂(2)求等式C 5n -1+C 3n -3C 3n -3=195中n 的值㊂19.(本小题12分)已知集合A ={x |1<l o g 2x <3,x ɪN *},B ={4,5,6,7,8}㊂(1)从A ɣB 中取出3个不同的元素组成三位数,则可以组成多少个?(2)从集合A 中取出1个元素,从集合B 中取出3个元素,可以组成多少个无重复数字且比4000大的正整数?20.(本小题12分)已知a x -1xn(a ɪR ,n ɪN *)的展开式的前三项的二项式系数之和为22,所有项的系数之和为1㊂(1)求n 和a 的值㊂(2)展开式中是否存在常数项?若存在,求出常数项;若不存在,请说明理由㊂21.(本小题12分)用1,2,3,4,5,6这6个数字,可以组成多少个无重复数字的:(1)四位偶数?(2)数字1㊁3㊁5互不相邻的六位数?(3)六位数?其中数字6㊁4㊁1按自左至右的顺序保持不变(如634512,562431)㊂注:所有结果均用数值表示㊂22.(本小题12分)已知(a -2x )8=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+ +a 8(x -1)8,其中实数a >0,且x 2的系数为81648㊂(1)求实数a 的值㊂(2)计算:(ⅰ)(a 0+a 2+a 4+a 6+a 8)㊃(a 1+a 3+a 5+a 7);(ⅱ)|a 0|+|a 1|+|a 2|+ +|a 8|㊂(结果用幂的形式表示)(责任编辑 徐利杰)31演练篇 核心考点A B 卷 高二数学 2024年3月。
(完整版)(数学选修23)第一章计数原理测试题
(数学选修2--3)第一章计数原理一、选择题1．将3个不同的小球放入4个盒子中，不同放法种数有〔〕A．81B．64C．12D．142．从4台甲型和5台乙型机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型机各1台，不同的取法共有〔〕A．140种3．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有〔〕A．A33B．4A33C．A55A32A33D．A22A33A21A31A334．a,b,c,d,e共5个人，从中1名1名副，但a不能当副，不同的法数是〔B．16C．10D．65．有男、女学生共8人，从男生中2人，从女生中1人分参加数学、物理、化学三科，共有90种不同方案，那么男、女生人数分是〔〕A．男生2人，女生6人B．男生3人，女生5人C．男生5人，女生3人D．男生6人，女生2人.x186．在的展开式中的常数是〔〕23xB．7C．28D．287．(12x)5(2x)的展开式中x3的的系数是〔〕B．120C．100D．1002n8．x展开式中只有第六二式系数最大,展开式中的常数是〔〕x2A．180B．90C．45D．360二、填空题1．从甲、乙，⋯⋯，等6人中出4名代表，那么〔1〕甲一定当，共有种法．〔2〕甲一定不入，共有种法.〔3〕甲、乙二人至少有一人当，共有种法.2．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，有种不同排法.3．由0,1,3,5,7,9六个数字成_____个没有重复数字的六位奇数.4．在(x3)10的展开式中，x6的系数是.5．在(1x2)20展开式中，如果第4r和第r 2的二式系数相等，r，T4r.6．在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，的四位数有_________________个？7．用1,4,5,x四个不同数字成四位数,288,.所有些四位数中的数字的和x8．从1,3,5,7,9中任取三个数字，从0,2,4,6,8中任取两个数字，成没有重复数字的五位数，共________________个？三、解答1．判断以下是排列是合？并算出果.1〕高三年学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？2〕高二年数学外小10人：①从中一名正和一名副，共有多少种不同的法？②从中2名参加省数学，有多少种不同的法？2．7个排成一排，在以下情况下，各有多少种不同排法？1〕甲排，（2〕甲不排，也不排尾，〔3〕甲、乙、丙三人必须在一起，4〕甲、乙之间有且只有两人，5〕甲、乙、丙三人两两不相邻，6〕甲在乙的左边〔不一定相邻〕，7〕甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序，8〕甲不排头，乙不排当中。
16.《计数原理》测试卷
《计数原理》测试卷1、从4名男生和6名女生，选出3名升旗手，要求至少包含1名男生，则不同的选法共有A．160 B．100 C．200 D．1402、的值为A．61 B．62 C．63 D．643、6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有(A)720种(B)360种(C)240种(D)120种4、有5名高中毕业生报考大学，有3所大学可供选择，每人只能填一个志愿，报名方案的种数为A．15 B．8 C．35 D．535、二项式的展开式中，项的系数为（）．．．．6、在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是()．A．－297 B．－252 C．297 D．2077、的系数为A．15 B．60 C．120 D．2408、在的展开式中，的系数为A．B．C．D．9、在的展开式常数项是A．－28 B．28 C．－7 D．710、展开式中的常数项是A.－36B.36C.－84D.8411、的展开式中，常数项为15，则＝A.3B.4C.5D.612、在的展开式中，的系数是A.-1120B.1120C.-1792D.179213、()10的展开式中不含的正整数指数幂的项数是A．11 B．9 C．7 D．514、若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为A．10 B．20 C．30 D．12015、的展开式中常数项是A．－14 B．14 C．－42 D．4216、若的展开式中的系数是80，则实数a的值是A．-2 B. C. D.217、展开式中，项的系数是A．15 B．14 C．12 D．1118、(2x－1)6＝a6x6＋a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a2＝()(A)60(B)－60(C)160(D)1519、展开式中的常数项为A．一1320 B．1320 C．一220 D．22020、若的展开式中的系数是80，则实数a的值是A．-2 B. C. D.221、甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。
计数原理测试卷
计数原理测试卷一、选择题1．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ）A ．81B ．64C ．12D ．142．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ）A ．140种 B.84种 C.70种 D.35种3．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ）A ．33AB ．334AC ．523533A A A -D ．2311323233A A A A A +4．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是（ ）A.20 B ．16 C ．10 D ．65．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ）A ．男生2人,女生6人B ．男生3人,女生5人C ．男生5人,女生3人D ．男生6人,女生2人.6．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ）A ．60个B ．48个C ．36个D ． 24个7．3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是( )A ．1260B ．120C ．240D ．7208．n N ∈且55n <,则乘积(55)(56)(69)n n n --- 等于( )A ．5569n n A --B ．1569n A -C ．1555n A -D ．1469n A -9．从字母,,,,,a b c d e f 中选出4个数字排成一列，其中一定要选出a 和b ，并且必须相邻（a 在b 的前面），共有排列方法（ ）种.A.36 B ．72 C ．90 D ．14410．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（ ）A ．120B ．240C ．280D ．60二、填空题1．从甲、乙，……，等6人中选出4名代表，那么（1）甲一定当选，共有 种选法．（2）甲一定不入选，共有 种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有 种选法.2．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有 种不同排法.3．由0,1,3,5,7,9这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数.4，n 个人参加某项资格考试，能否通过，有 种可能的结果？5，已知集合{}1,0,1S =-,{}1,2,3,4P =,从集合S ,P 中各取一个元素作为点的坐标,可作出不同的点共有____个.三、解答题1．判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？2．7个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（1）甲排头， （2）甲不排头，也不排尾，（3）甲、乙、丙三人必须在一起， （4）甲、乙之间有且只有两人，（5）甲、乙、丙三人两两不相邻， （6）甲在乙的左边（不一定相邻），（7）甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序， （8）甲不排头，乙不排当中。
计数原理单元测试卷(A卷)答案与提示
一、单选题1.B提示:从4名男生与3名女生中选2人,其中男女各1人,由分步计数原理可得,不同的选派方法数为4ˑ3=12㊂2.A 提示:先将不相邻的两队排除,将贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队看成一个整体,与余下两队排列,有A33种方法,再将不相邻的两队插入它们的空隙中,有A24种方法,最后贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队之间的排法有A22种,故不同的站法有A33A24A22=144 (种)㊂3.A 提示:由组合数性质知,C7n+C8n= C8n+1,故C7n+1=C8n+1,7+8=n+1㊂解得n=14㊂4.D 提示:(解法一)用间接方法,从这7个点中任选2个点作直线,一共有C27条,其中从共线的B,D,E,F的4个点中任选2个点,可得C24条直线㊂因此,所得直线的条数为C27-C24+1=16㊂(解法二)用直接方法,①过点B,D,E, F的直线只有1条;②过A,C,G中的任意2个点作直线,可作3条直线;③从B,D,E,F中任取1个点,从A, C,G中任取1个点作直线,可作直线条数为4ˑ3=12㊂综上,所得直线的条数为1+3+12= 16㊂5.C提示:梯形的上㊁下底平行且不相等,如图1所示㊂图1若以A B为底边,则可构成2个梯形,根据对称性可知此类梯形有2ˑ8=16(个)㊂若以A C为底边,则可构成1个梯形,此类梯形共有1ˑ8=8(个)㊂所以梯形总共的个数是16+8=24㊂6.D 提示:易知x-1x6的二项展开式中的通项T k+1=C k6x6-k-1x k= (-1)k C k6x6-2k㊂则含x2的项的系数为1㊃C26(-1)2-1㊃C36(-1)3=35㊂7.C提示:先将5个人分为3组,每组的人数分别为3㊁1㊁1或2㊁2㊁1㊂若3组的人数分别为3㊁1㊁1,则教师夫妇必在3人的一组,则教师夫妇这组还需从剩余的3人中抽1人,此时不同的分组方法数为C13=3㊂若3组人数分别为2㊁2㊁1,则2人一组中有一组是教师夫妇,只需将剩余3人分为2组,且这2组的人数分别为2㊁1,此时不同的分组方法数为C 23=3㊂接下来,将所分的3组分配给3所不同的学校,不同的安排方案种数为(3+3)A 33=6ˑ6=36㊂8.C 提示:a =C 020+C 120㊃2+C 220㊃22+ +C 2020㊃220=(1+2)20=320=910=(10-1)10㊂(10-1)10=C 010㊃1010-C 110㊃109+ -C 910㊃10+C 1010,故a ʉ1(m o d 10)㊂依次验证选项知2021ʉ1(m o d 10)㊂二㊁多选题9.B C D 提示:对于选项A ,A mn =n ˑ(n -1)ˑ(n -2)ˑ ˑ(n -m +1),故A 1020=20ˑ19ˑ18ˑ ˑ11,A 错误㊂对于选项B ,C 26+C 36=15+20=35,C 37=35,故B 正确㊂对于选项C ,因C m n =C n -mn,故C 正确㊂对于选项D ,A 58+A 48A 69-A 59=8ˑ7ˑ6ˑ5ˑ4+8ˑ7ˑ6ˑ59ˑ8ˑ7ˑ6ˑ5ˑ4-9ˑ8ˑ7ˑ6ˑ5=4+19ˑ4-9=527,故D 正确㊂10.A D 提示:由题意知,当x =0时,a 0=12021=1㊂当x =1时,a 0+a 1+a 2+a 3+ +a 2021=(-1)2021=-1,A 正确㊂当x =-1时,a 0-a 1+a 2-a 3+ -a 2021=32021,所以a 1+a 3+a 5+ +a 2021=-32021+12,a 0+a 2+a 4+ +a 2020=32021-12,B ,C 错误㊂a 12+a 222+ +a 202122021=a 1ˑ12+a 2ˑ122+ +a 2021ˑ122021㊂当x =12时,0=a 0+a 1ˑ12+a 2ˑ122+ +a 2021ˑ122021㊂因此,a 1ˑ12+a 2ˑ122+ +a2021ˑ122021=-a 0=-1,D 正确㊂11.A C D 提示:对于选项A ,将8名教师平均分配到4个不同班级,有C 28C 26C 24C 22A 44㊃A 44=C 28C 26C 24C 22(种)分配方法,故A 正确㊂对于选项B ,有2个班级分配1名教师,另2个班级分配3名教师,有C 18C 17C 36C 33A 22A22㊃A 44=6C 18C 17C 36C 33(种)分配方法,故B 错误㊂对于选项C ,(1)班需要1名教师,(2)班和(3)班均需要2名教师,(4)班需要3名教师,有C 18C 27C 25C 33A 22㊃A 22=C 18C 27C 25C 33(种)分配方法,故C 正确㊂对于选项D ,甲㊁乙㊁丙3名教师需分配一个班级,才能达到最优化教学效果㊂故剩余5名教师可按1,2,2和1,1,3两种情况分类,有C 15C 24C 22+C 15C 14C 33A 22㊃A 44种分配方法,故D 正确㊂12.A C 提示:由题中图知,从A 地出发到B 地的最短路径包含7步,其中3步向上,4步向右,且前3步中至少有1步向上,则不同的路径共有C 13C 24+C 23C 14+C 33=31(条),故A 正确㊁B 错误㊂若甲途经C 地,则不同的路径共有C 13C 24=18(条),故C 正确㊂若甲途经C 地,且不经过D 地,则不同的路径共有C 13C 13=9(条),故D 错误㊂三㊁填空题13.41 提示:a 9=C 99(-1)9+m C 110=10m -1,a 10=m ㊂因为a 9=a 10,所以10m -1=m ,解得m =19㊂a 2=C 29+19C 810=41㊂14.2 提示:(1-a x +x 2)4=[1+(x 2-a x )]4,所以[1+(x 2-a x )]4的展开式的通项为:T r +1=C r 4(x 2-a x )r =C r 4C t r (x 2)r -t㊃(-a x )t =C r 4C t r (-a )t x 2r -t,其中r =0,1,2,3,4,t =0,1, ,r ㊂令2r -t =5,解得t =1,r =3,或t =3,r =4㊂当t =1,r =3, 时,x 5的系数为C 34㊃C 13㊃(-a )=-12a ㊂当t =3,r =4,时,x 5的系数为C 44㊃C 34㊃(-a )3=-4a 3㊂因为x 5的系数为-56,所以-12a -4a3=-56,即a 3+3a -14=0,也即(a -2)㊃(a 2+2a +7)=0,解得a =2㊂15.512提示:在二项式x +124xn的展开式中,二项式系数的和为2n=256=28,解得n =8㊂x +124x8二项展开式的通项T r +1=C r8㊃12r㊃x4-34r,r =0,1,2,3,4,5,6,7,8㊂展开式共有9项,当r =0,4,8时,展开式为有理项㊂把展开式中所有的项重新排成一列,有理项都互不相邻,即把其他的6个无理项先任意排,再把这3个有理项插入形成的7个空隙中,方法共有A 66㊃A 37种方法㊂故有理项都互不相邻的概率P =A 66㊃A 37A99=512㊂16.12 提示:①当a =0时,b 取集合内任一实数均有实数解,此时有4对㊂②当a ʂ0时,一元二次方程有解则满足Δ=4-4a b ȡ0,即a b ɤ1㊂当a =-1时,b 可取的值有-1㊁0㊁2㊁3;当a =2时,b 可取的值有-1㊁0;当a =3时,b 可取的值有-1㊁0㊂共有12个实数对满足题意㊂四、解答题17.(1)先将4名女生排在一起,有A 44种排法;将排好的女生视为一个整体,再与3名男生进行排列,共有A 44种排法㊂由分步乘法计数原理知,共有A 44ˑA 44=24ˑ24=576(种)排法㊂(2)先将3名男生排好,共有A 33种排法㊂在这3名男生中间及两边的4个空位中插入4名女生,共有A 44种排法㊂由分步乘法计数原理知,共有A 33ˑA 44=6ˑ24=144(种)排法㊂(3)先将甲㊁乙㊁丙以外的4人排好,共有A 44种排法㊂甲㊁乙相邻,他们之间有A 22种排法㊂最后将排好的甲㊁乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人形成的5个空隙中,有A 25种排法㊂由分步计数原理知,共有A 44ˑA 25ˑA 22=24ˑ20ˑ2=960(种)排法㊂18.(1)由A x8<6A x -28,得3ɤx ɤ8,x ɪN *,8ˑ7ˑ ˑ(8-x +1)<6ˑ8ˑ7ˑ ˑ(8-x +3)㊂于是(8-x +2)(8-x +1)<6,整理得x 2-19x +84<0,解得7<x <12㊂所以x =8㊂(2)原方程变形为C 5n -1C3n -3+1=195,即C 5n -1=145C 3n -3,显然n ȡ6,n ɪN *㊂则(n -1)(n -2)(n -3)(n -4)(n -5)5!=145㊃(n -3)(n -4)(n -5)3!㊂化简整理得n 2-3n -54=0㊂而n ȡ6,解得n =9㊂所以n =9㊂19.(1)由1<l o g 2x <3,得l o g 22<l o g 2x <l o g 223,故2<x <8㊂所以A ={3,4,5,6,7},A ɣB ={3,4,5,6,7,8}㊂从A ɣB 中取出3个不同的元素组成三位数,可以组成A 36=120(个)三位数㊂(2)由(1)得A ={3,4,5,6,7},而且B ={4,5,6,7,8}㊂若从集合A 中取元素3,则3不能作千位上的数字,有C 35㊃C 13㊃A 33=180(个)满足题意的正整数㊂若不从集合A中取元素3,则有C14C34A44 =384(个)满足题意的正整数㊂所以,满足题意的正整数的个数为180+384=564㊂20.(1)由题意得,C0n+C1n+C2n=22㊂即1+n+n(n-1)2=22㊂解得n=6或n=-7(舍去)㊂因为所有项的系数之和为1,所以(a-1)6= 1,解得a=0(舍去)或a=2㊂(2)展开式中存在常数项㊂因为a x-1x n=2x-1x6,所以T k+1=C k6(2x)6-k-1x k= (-1)k C k626-k x6-3k2㊂令6-3k2=0,解得k=4㊂所以展开式中常数项为T5= (-1)4C4622x0=60㊂21.(1)要组成无重复数字的四位偶数,则个位数字为2㊁4㊁6其中一个即可,可以组成C13㊃A35=180(个)四位偶数㊂(2)要组成数字1㊁3㊁5互不相邻的六位数,先将2㊁4㊁6排列好,再将1㊁3㊁5插入到排列所形成的空隙中,则可以组成A33㊃A34= 144(个)数字1㊁3㊁5互不相邻的六位数㊂(3)将六位数的数字从左到右分别记作第一位㊁第二位㊁ ㊂将6㊁4分别安排在第一位和第二位,则有C14A33=24(个)㊂将6㊁4分别安排在第一位和第三位,则有C13A33=18(个)㊂将6㊁4分别安排在第一位和第四位,则有C12A33=12(个)㊂将6㊁4分别安排在第一位和第五位,则有A33=6(个)㊂将6㊁4分别安排在第二位和第三位,则有C13A33=18(个)㊂将6㊁4分别安排在第二位和第四位,则有C12A33=12(个)㊂将6㊁4分别安排在第二位和第五位,则有A33=6(个)㊂将6㊁4分别安排在第三位和第四位,则有C12A33=12(个)㊂将6㊁4分别安排在第三位和第五位,则有A33=6(个)㊂将6㊁4分别安排在第四位和第五位,则有A33=6(个)㊂综上,共有24+18+12+6+18+12+ 6+12+6+6=120(个)满足题意的六位数㊂22.(1)(a-2x)8的二项展开式的通项为T r+1=C r8a8-r㊃(-2x)r= (-2)r a8-r C r8x r㊂令r=2,得(-2)2a8-2C28=81648㊂又a>0,故a3=27,a=3㊂(2)(ⅰ)由(1)得(3-2x)8=a0+a1(x-1)+ a2(x-1)2+ +a8(x-1)8㊂令x=2,得a0+a1+a2+ +a8= (3-2ˑ2)8=1㊂①令x=0,得a0-a1+a2- -a7+a8= 38㊂②①+②,得2(a0+a2+a4+a6+a8)= 1+38,即a0+a2+a4+a6+a8=12(1+38)㊂①-②,得2(a1+a3+a5+a7)=1-38,即a1+a3+a5+a7=12(1-38)㊂故(a0+a2+a4+a6+a8)㊃(a1+a3+ a5+a7)=12(1+38)ˑ12(1-38)= 14(1-316)㊂(ⅱ)令x-1=t,则x=t+1㊂[3-2(t+1)]8=(1-2t)8=a0+a1t+ a2t2+ +a8t8㊂(1-2t)8的二项展开式的通项为T k+1 =C k8(-2t)k=(-2)k C k8t k㊂故a0,a2,a4,a6,a8为正数,a1,a3,a5,a7为负数㊂因此,|a0|+|a1|+|a2|+ +|a8|= a0-a1+a2- +a8=38㊂(责任编辑徐利杰)。
高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1．设01a <<，2a b +=，随机变量X 的分布列如表：则当()0,1a ∈内增大时（ ）A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大2．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ） A ．49B ．427C ．1927D ．481253．已知离散型随机变量X 的分布列为则D (X )的最大值是（ ） A ．29B ．59C ．89D ．2094．星期天上午，甲、乙、丙、丁到绿博园、四牟园、湿地公园、蟹岛游玩，每人只去一个地方，设事件A 为“4个人去的地方各不相同”，事件B 为“甲独自去一个地方”，则()P A B =（ ）A ．29B ．13C ．49D ．595．已知随机变量ξ的分布列如表，则ξ的标准差为（ ）A ．3.56B C ．3.2D 6．某班有18名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出6名学生，其中数学成绩优秀的学生数1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()21E X +=（ ） A ．13B ．12C ．5D ．47．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（ ）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<8．已知随机变量,X Y 的分布列如下:若成等差数列，则下列结论一定成立的是（）A ．()()D X Y D >B ．()() E X E Y =C ．()()E X E Y < D ．()()D X Y D =9．某工厂生产的零件外直径（单位：cm ）服从正态分布()10,0.04N ，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75cm 和9.35cm ，则可认为（ ）A ．上午生产情况异常，下午生产情况正常B ．上午生产情况正常，下午生产情况异常C ．上、下午生产情况均正常D ．上、下午生产情况均异常10．若随机变量ξ满足(1)4E ξ-=，(1)4D ξ-=，则下列说法正确的是 A ．4,4E D ξξ=-= B ．3,3E D ξξ=-= C ．4,4E D ξξ=-=- D ．3,4E D ξξ=-= 11．已知随机变量X ～N (2，σ2)，若P (X <a )＝0.32，则P (a ≤X <4－a )等于( )A ．0.32B ．0.68C ．0.36D ．0.6412．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.8P ξ<=，(02)P ξ<<=（ ）． A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2二、填空题13．设随机变量ξ服从二项分布16,2B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～ ，则()3P ξ≤等于__________14．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在[20，80]内的600人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[60，80]内的人为“老年人”，将上述人口分布的频率视为该城市年龄段在[20，80]的人口分布的概率.从该城市年龄段在[20，80]内的市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X 则随机变量X 的数学期望为______.15．改革开放40年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求.某城市的A 先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行.已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z 1（单位：分钟）服从正态分布N （33，42），下车后步行再到单位需要12分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z 2（单位：分钟）服从正态分布N （44，22），从地铁站步行到单位需要5分钟.现有下列说法：①若8：00出门，则乘坐公交一定不会迟到；②若8：02出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同；③若8：06出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大；④若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大.则以上说法中正确的序号是_____.参考数据：若Z ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜Z ≤μ+σ）=0.6826，P （μ﹣2σ＜Z ≤μ+2σ）=0.9544，P （μ﹣3σ＜Z ≤μ+3σ）=0.997416．测量某一目标的距离时，所产生的随机误差X 服从正态分布()220,10N ，如果独立测量3次，至少一次测量误差在()0,30内的概率是__________.附参考数据：()0.68P X μδμδ-<≤+=，()220.95P X μδμδ-<≤+=，()330.99P X μδμδ-<≤+=，20.1850.03=，30.1850.006=，20.8150.66=，30.8150.541=.17．随机变量ξ服从正态分布()240,N σ，若()300.2P ξ<=，则()3050P ξ<<=______．18．运动员参加射击比赛,每人射击4次(每次射一发),比赛规定:全不中得0分,只中一弹得15分,中两弹得40分,中三弹得65分,中四弹得100分.已知某一运动员每一次射击的命中率为35,则他的得分期望为_____. 19．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为________．20．投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以利用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用，设稿件能通过各初审专家评审的概率均为12，复审的稿件能通过评审的概率为13，若甲、乙两人分别向该出版社投稿1篇，两人的稿件是否被录用相互独立，则两人中恰有1人的稿件被录用的概率为__________.三、解答题21．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2:1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同. （1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过4次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列. 22．已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同，现从甲盒中任取三个球放入乙盒中.（1）求乙盒中红球个数X 的分布列与期望； （2）求从乙盒中任取一球是红球的概率.23．某投资公司准备在2020年年初将两千万投资东营经济开发区的“示范区”新型物流，商旅文化两个项目中的一个之中．项目一：新型物流仓是为企业提供仓储、运输、配送、货运信息等综合物流服务的平台．现准备投资建设10个新型物流仓，每个物流仓投资0.2千万元，假设每个物流仓盈利是相互独立的，据市场调研，到2022年底每个物流仓盈利的概率为(01)p p <<，若盈利则盈利为投资额的40%，否则盈利额为0．项目二：购物娱乐广场是一处融商业和娱乐于一体的现代化综合服务广场．据市场调研，投资到该项目上，到2022年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p 和1p -．（1）若投资项目一，记1X 为盈利的物流仓的个数，求()1E X （用p 表示）； （2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为2X 千万元，求()2E X （用p 表示）； （3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由．24．在湖北新冠疫情严重期间，我市响应国家号召，召集医务志愿者组成医疗队驰援湖北.某医院有2名女医生，3名男医生，3名女护士，1名男护士报名参加，医院计划从医生和护士中各选2名参加医疗队.（1）求选出的4名志愿全是女性的选派方法数；（2）记X 为选出的4名选手中男性的人数，求X 的概率分布和数学期望.25．某选修课的考试按A 级、B 级依次进行，只有当A 级成绩合格时，才可继续参加B 级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他A 级考试成绩合格的概率为23，B 级考试合格的概率为12．假设各级考试成绩合格与否均互不影响． （1）求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；（2）在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他一共参加3次考试的概率． 26．现有甲乙两组学生，分别参加某项体能测试，所得成绩的茎叶图如图.规定测试成绩大于等于90分为优秀，80至89分为良好，60至79分为合格，60分以下为不合格.（1）现从甲组数据中抽取一名学生的成绩，有放回地抽取6次，记抽到优秀成绩的次数为X ，求4P X ；（2）从甲、乙两组学生中任取3名学生，记抽中成绩优秀的学生数为Y ，求Y 的概率分布与数学期望.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先求出()E X ，利用方差的定义建立()()22=13D X a -，利用二次函数单调性判断出()D X 的变化.【详解】由题意：()1111333E X a b =⨯+⨯+⨯，∵2a b +=，∴()1E X =.∴()()()()()222221111=111123333D X a b a b -⨯+-⨯+-⨯=+-⨯ 又2a b +=，∴2b a =-，∴()()()()2222122=2=21=1333D X a b a a a +-⨯-+- ∴当01a <<时，()()22=13D X a -单调递减，即当()0,1a ∈内增大时()D X 减小. 故选：B2．A解析：A 【分析】根据题设分析知：芯片领域被选、不被选的概率分别为13、23，而3名学生选择互不影响，则选择芯片领域的学生数{0,1,2,3}X =，即X 服从二项分布，则有3321()()()33n n n P X n C -==即可求恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率.【详解】由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则： 芯片领域被选的概率为：51153=；不被选的概率为：12133-=；而选择芯片领域的人数{0,1,2,3}X =，∴X 服从二项分布1~3(,3)X B ，3321()()()33nnn P X n C -==，那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为123214(1)()()339P X C ===. 故选：A. 【点睛】本题考查了二项分布，需要理解题设条件独立重复试验的含义，并明确哪个随机变量服从二项分布，结合二项分布公式求概率.3．C解析：C 【分析】根据分布列中概率和为1可得a 的范围和b 的值，再求出,EX DX 的表达式，转化成求二次函数在闭区间的最值问题. 【详解】12133b a a b +-+=⇒=，又110033a a -≥⇒≤≤，1242()3333EX b a a a b a =+⨯-+⨯=++=+，2221(1)(2)()(3)3DX EX b EX a EX a =-⋅+-⋅-+-⋅2221215()()()()3333a b a a a a =--⋅+-⋅-+-⋅22212215()()()()33333a a a a a =--⋅+-⋅-+-⋅27239a a =-++，对称轴为7163a =>，∴max 1728()9999DX =-++=， 故选：C. 【点睛】本题考查标准差的最值求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将问题转化为函数的最值问题.4．A解析：A 【分析】甲独自去一个景点，有14C 种方法，其余3人去剩下的3个景点，有3327=种方法，由分步计数原理可求得甲独自去一个景点的有1427C ⋅种选择方法.若4个人去的地方各不相同，则属于排列问题，有44A 种.根据条件概率计算公式，即可求出相应的概率. 【详解】甲单独去一个景点有14C 4=种方法，其余3人去剩下的3个景点，有3327=种方法， 则甲独自去一个景点，有427108⨯=种方法， 而4个人去的地方各不相同，有4424A =种方法， 则242()1089P A B ==. 故选：A. 【点睛】本题考查了条件概率，分步乘法计数原理，排列问题，属于中档题.5．D解析：D 【分析】由分布列的性质求得x ，利用方差的计算公式可求得()D ξ，进而得到标准差. 【详解】由分布列的性质得：0.40.11x ++=，解得：0.5x =，()10.430.150.5 3.2E ξ∴=⨯+⨯+⨯=，()()()()2221 3.20.43 3.20.15 3.20.5 3.56D ξ∴=-⨯+-⨯+-⨯=，ξ∴=故选：D . 【点睛】本题考查根据离散型随机变量的分布列求解标准差的问题，考查了分布列的性质、数学期望和方差的求解，考查基础公式的应用.6．C解析：C 【分析】根据1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭得到()2E X =，再根据()()2121E X E X +=+，计算得到答案. 【详解】1~6,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1623E X =⨯=，故()()21215E X E X +=+=.故选：C . 【点睛】本题考查了二项分布的均值，同时也考查了期望性质的应用，意在考查学生的计算能力.7．D解析：D 【分析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出()(),E D ξξ和()E η()D η,根据01p <<比较大小即可得解. 【详解】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<. 则随机变量ξ的分布列为:所以,1E p D p p ==- 随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E p ηξξ=-=-所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):则1121E p p p p p p =-+-=-()()()()22211121D p p p p p p p p η=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误. ()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确 故选:D 【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.8．D解析：D 【分析】,,a b c 成等差数列，即2b a c =+，结合1a b c ++=，计算出()()()(), ,,E E Y D X X D Y ，由此判断出正确结论.【详解】由于,,a b c 成等差数列，故2b a c =+①，另根据分布列的知识可知1a b c ++=②.由①②得12,33b c a ==-. 所以()2243232333E X a b c a a a =++=++-=+， ()2282332333E Y a b c a a a ⎛⎫=++=++-=- ⎪⎝⎭，由于484224333a a a ⎛⎫+--=-+ ⎪⎝⎭正负无法确定，故()() ,E X E Y 大小无法比较. ()222444322212333D X a a a b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅+--⋅+--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2225211222233333a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()222888122232333D Y a a a b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅+-+⋅+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2225211222233333a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故()()D X Y D =. 故选D. 【点睛】本小题主要考查根据随机变量分布列计算数学期望和方差，考查等差中项的性质，考查运算求解能力，属于中档题.9．B解析：B 【解析】分析：根据3σ原则判断.详解：因为服从正态分布()10,0.04N ，所以10,0.2(100.23,100.23)(9.4,10.6)x μσ==∴∈-⨯+⨯= 所以上午生产情况正常，下午生产情况异常, 选B.点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.10．D解析：D 【解析】分析：由题意结合随机变量的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：随机变量ξ满足()14E ξ-=，()14D ξ-=， 则：()214,14E D ξξ-=-=， 据此可得：3,4E D ξξ=-=. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查期望的数学性质，方差的数学性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．C解析：C 【解析】如图，由正态曲线的对称性可得(4)12()0.36P a X a P X a ≤<-=-<=.12．C解析：C 【解析】∵P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ>4)＝0.2， 由题意知图象的对称轴为直线x ＝2，P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6. ∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3 二、填空题13．【分析】利用独立重复试验的概率计算出再将这些相加可得出【详解】由于所以因此故答案为【点睛】本题考查二项分布独立重复试验的概率解这类问题要注意将基本事件列举出来关键在于灵活利用独立重复试验的概率公式进 解析：2132【分析】利用独立重复试验的概率计算出()0P ξ=、()1P ξ=、()2P ξ=、()3P ξ=，再将这些相加可得出()3P ξ≤. 【详解】由于1~6,2B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，()6110264P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()616131232P C ξ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭， ()6261152264P C ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()636153216P C ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，因此，()()()()()213012332P P P P P ξξξξξ≤==+=+=+==，故答案为2132.【点睛】本题考查二项分布独立重复试验的概率，解这类问题要注意将基本事件列举出来，关键在于灵活利用独立重复试验的概率公式进行计算，考查计算能力，属于中等题．14．6【分析】通过频率分布直方图求出年龄段在的频率即概率通过二项分布求出数学期望即可【详解】通过频率分布直方图得年龄段在的频率为即概率为抽到老年人的人数为服从二项分布即所以期望为故答案为：06【点睛】本解析：6 【分析】通过频率分布直方图求出年龄段在[]60,80的频率即概率，通过二项分布求出数学期望即可.通过频率分布直方图得年龄段在[]60,80的频率为20.01100.2⨯⨯=，即概率为0.2， 抽到“老年人”的人数为X 服从二项分布，即()3,0.2X B ,所以期望为()30.20.6E X np ==⨯=， 故答案为：0.6. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，二项分布期望的求法，属于中档题.15．②④【分析】利用正态分布对每一个说法求解其概率逐项分析即可选出正确答案【详解】解：①若8：00出门江先生乘坐公交从家到车站需要5分钟下车后步行再到单位需要12分钟乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间解析：②④ 【分析】利用正态分布对每一个说法求解其概率，逐项分析，即可选出正确答案． 【详解】解：①若8：00出门，江先生乘坐公交，从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()233,4N ，故()()12145452P Z P Z -<<≥=10.99740.00132-==， ∴江先生仍有可能迟到，只不过概率较小，故①错误； ②若8：02出门，江先生乘坐公交，∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()233,4N ，故当满足P （Z≤41）()()1254125410.97722P Z P Z -=+=＜＜＜＜时，江先生乘坐公交不会迟到；若8：02出门，江先生乘坐地铁，∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间2Z 服从正态分布()244,2N ，故当满足P （Z≤48）()()1404840480.99722P Z P Z -=+=＜＜＜＜时，江先生乘坐地铁不会迟到，此时两种上班方式江先生不迟到的概率相当，故②正确； ③若8：06出门，江先生乘坐公交，∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()233,4N ，故当满足()()()129373729370.84132P Z P Z P Z -≤=+=＜＜＜＜时，江先生乘坐公交不会迟到；若8：06出门，江先生乘坐地铁，∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间2Z 服从正态分布()244,2N ，故当满足()1440.52P Z ≤==时，江先生乘坐地铁不会迟到， 此时两种上班方式，乘坐公交比地铁上班迟到的可能性小，故③错误； ④若8：12出门，江先生乘坐公交，∵从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间1Z 服从正态分布()233,4N ，故当满足()31P Z ≤时，江先生乘坐公交不会迟到， 而()()()1293731290.18572P Z P Z P Z -≤>≤==＜＜；若8：12出门，江先生乘坐地铁，∵从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间2Z 服从正态分布()244,2N ，故当满足()()13850380.001352P Z P Z -<<≤==时，江先生乘坐地铁不会迟到，由0.18570.00135>，∴若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大，故④正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，正确理解题意是关键，考查计算能力，属于中档题．16．994【分析】根据正态分布的性质求出在一次测量中误差在内的概率再求出测量3次每次测量误差均不在内的概率根据对立事件的性质可得结果【详解】由题意可知在一次测量中误差在内满足其概率为测量3次每次测量误差解析：994 【分析】根据正态分布的性质求出在一次测量中误差在()0,30内的概率，再求出测量3次，每次测量误差均不在()0,30内的概率，根据对立事件的性质可得结果. 【详解】由题意可知在一次测量中误差在()0,30内满足2X μδμδ-<<+， 其概率为()()()111220.950.680.815222p p X p X μδμδμδμδ=-<≤++-<≤+=⨯+=， 测量3次，每次测量误差均不在()0,30内的概率为：()3310.8150.1850.006-==，∴独立测量3次，至少一次测量误差在()0,30内的概率是10.0060.994-=， 故答案为：0.994. 【点睛】本题主要考查正态分布概率的求法，n 次独立重复试验的模型，利用对立事件解决问题是解题的关键，属于中档题.17．6【解析】【分析】根据随机变量服从正态分布知正态曲线的对称轴是且依据正态分布对称性即可求得答案【详解】解：根据随机变量服从正态分布知正态曲线的对称轴是利用正态分布的对称性可得所以故答案为06【点睛】解析：6 【解析】 【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是40ξ=，且()300.2P ξ<=，依据正态分布对称性，即可求得答案． 【详解】解：根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是40ξ=， 利用正态分布的对称性可得()()50300.2P P ξξ>=<=， 所以()()()30501503010.40.6P P P ξξξ⎡⎤<<=->+<=-=⎣⎦ 故答案为0.6 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18．552【解析】分析：由次独立重复试验的概率公式计算出射中01234次的概率得到得分的分布列再由期望公式得期望详解：设该运动员中弹数为ξ得分数为η则P(ξ=4)==01296P(ξ=3)==03456解析：552. 【解析】分析：由n 次独立重复试验的概率公式计算出射中0，1，2，3，4次的概率得到得分的分布列，再由期望公式得期望．详解：设该运动员中弹数为ξ,得分数为η,则P (ξ=4)=435⎛⎫ ⎪⎝⎭=0.129 6, P (ξ=3)=33432C ?·55⎛⎫ ⎪⎝⎭=0.345 6,P (ξ=2)=222432C ?·55⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=0.345 6,P (ξ=1)=31432C ?·55⎛⎫⎪⎝⎭=0.153 6,P (ξ=0)=425⎛⎫ ⎪⎝⎭=0.025 6. 由题意可知P (η)=P (ξ),所以E (η)=100×0.129 6+65×0.345 6+40×0.345 6+15×0.153 6+0×0.025 6=51.552.点睛：本题考查随机变量的分布列与期望．解题时关键是理解射击时命中n 次就是n 次独立重复试验，由此可由概率公式计算出概率，从而可得得分的分布列，由分布列的期望公式计算出期望．19．ξ 0 1 P 【分析】正方体的12条棱中任取两条共有种情况若两条棱相交则交点必在正方体的顶点处过任意一个顶点的棱有3条共有对相交棱若两条棱平行则它们的距离为1或而距离为的共有6对ξ的可正方体的12条棱中任取两条共有212C 种情况，若两条棱相交，则交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，共有238C 对相交棱，若两条棱平行，则它们的距离为16对，ξ的可能取值为0，1. 【详解】ξ的可能取值为0，1若两条棱相交，则交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，所以P (ξ＝0)＝232128C C＝411，若两条棱平行，则它们的距离为16对，则P (ξ＝2126C ＝111，P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1－411－111＝611，所以随机变量ξ的分布列为：20．【分析】计算出每人的稿件能被录用的概率然后利用独立重复试验的概率公式可求得结果【详解】记事件甲的稿件被录用则因此甲乙两人分别向该出版社投稿篇则两人中恰有人的稿件被录用的概率为故答案为：【点睛】思路点 解析：3572【分析】计算出每人的稿件能被录用的概率，然后利用独立重复试验的概率公式可求得结果. 【详解】记事件:A 甲的稿件被录用，则()2212111522312P A C ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因此，甲、乙两人分别向该出版社投稿1篇，则两人中恰有1人的稿件被录用的概率为125735121272P C =⋅⋅=. 故答案为：3572. 【点睛】思路点睛：独立重复试验概率求法的三个步骤：（1）判断：依据n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验； （2）分拆：判断所求事件是否需要分拆；（3）计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算.三、解答题21．（1）80243；（2）分布列答案见解析. 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题可知，随机变量ξ的可能取值有0、1、2、3、4，计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，由此可得出随机变量ξ的分布列. 【详解】（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为13，用X 表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则X 服从二项分布，即15,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率为3225218033243P C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）随机变量ξ的可能取值为：0、1、2、3、4，()103P ξ==，()2121339P ξ==⨯=，()221423327P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()321833381P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()42164381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以ξ的分布列如下表所示：思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 22．（1）答案见解析，32；（2）14. 【分析】（1）由题意知X 的可能取值为0，1，2，3.分别求出随机变量取各值的概率，得出分布列，再由期望公式求出期望；（2）分乙盒中红球个数为0，为1，为2，为3时的概率，再得用概率的加法公式可得答案. 【详解】解：（1）由题意知X 的可能取值为0，1，2，3.()0333361020C C P X C ===，()1233369120C C P X C ===，()2133369220C C P X C ===，()3033361320C C P X C ===， 所以X 的分布列为所以()0123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）当乙盒中红球个数为0时，10P =， 当乙盒中红球个数为1时，291320640P =⨯=， 当乙盒中红球个数为2时，392320620P =⨯=， 当乙盒中红球个数为3时，413120640P =⨯=， 所以从乙盒中任取一球是红球的概率为123414P P P P +++=. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，以及概率的加法公式，属于中档题. 23．（1）()110E X p =；（2）()2 1.60.6E X p =-；（3）分类讨论，见解析. 【分析】（1）由题意结合二项分布的期望公式即可得解；（2）由题意列出分布列，利用离散型随机变量期望公式即可得解；（3）由题意分别计算出项目一、项目二的利润的期望与方差，分类比较即可得解. 【详解】（1）由题意1~(10,)X B p ，则盈利的物流仓数的期望()110E X p =；（2）若投资项目二，盈利的金额为20.51⨯=（千万元），亏损的金额为20.30.6⨯=（千万元）， 则2X 的分布列为所以盈利的期望)20.6(1) 1.60.6E X p p p =--=-； （3）若盈利，则每个物流仓盈利0.240%0.08⨯=（千万元），若选择项目一，盈利的期望为()()110.080.080.08100.8E X E X p p ==⨯=（千万元），方差为()()22110.080.080.0810(1)0.064(1)D X D X p p p p ==⨯-=-，若选择项目二，盈利的方差为：()222(1 1.60.6)(0.6 1.60.6)(1) 2.56(1)D X p p p p p p =-++--+-=-，①当()()120.08E X E X =时，0.8 1.60.6p p =-，解得34p =， 而()()120.08D X D X <，故选择项目一；②当()()120.08E X E X >时，0.8 1.60.6p p >-，解得304p <<，此时选择项目一； ③当()()120.08E X E X <时，0.8 1.60.6p p <-，解得34p >，此时选择项目二． 【点睛】本题考查了离散型随机变量期望与方差的求解和应用，考查了二项分布的应用与分类讨论思想，属于中档题. 24．（1）3（2）详见解析 【分析】（1）选出的4名志愿全是女性，则从2名女医生选2人有22C 种选法，从3名女护士选2人有23C 选法，根据乘法原理可得答案.（2）由题意有X 的取值可能为0,1,2,3，再分别计算出X 取各个值的概率，列出分布列，求出期望即可. 【详解】解：（1）从2名女医生选2人有22C 种选法，从3名女护士选2人有23C 选法 则选出的4名志愿全是女性有22233C C ⋅=种不同的选法. 所以选出的4名志愿全是女性的选派方法数有3种， （2）X 的取值可能为0,1,2,3()222322541020C C P X C C ===，()11221132323122547120C C C C C C P X C C +===， ()22111133323122549220C C C C C C P X C C +===， ()21133122543320C C C P X C C ===，列表如下：。
(易错题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(答案解析)
一、选择题1．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ） A ．49B ．427C ．1927D ．481252．甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛．若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为13，乙获胜的概率为23各局比赛结果相互独立．则甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率为（ ） A ．1781B ．5681C ．6481D ．25813．已知随机变量ξ服从正态分布(1,2)N ，则(23)D ξ+=（ ） A ．4B ．6C ．8D ．114．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于67的是（ ）A ．至少有1个深度贫困村B ．有1个或2个深度贫困村C ．有2个或3个深度贫困村D ．恰有2个深度贫困村5．已知19,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()E X 、()D X 的值依次为（ ）. A ．3，2B ．2，3C ．6，2D ．2，66．已知离散型随机变量X 的分布列如图：则均值E (X )与方差D (X )分别为( )A ．1.4,0.2B ．0.44,1.4C ．1.4,0.44D ．0.44,0.27．有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率是( ) A ．0.72B ．0.8C ．89D ．0.98．某班学生的考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格,则他语文也不及格的概率是( ) A ．15B ．310C ．12D ．359．某学校高三模拟考试中数学成绩X 服从正态分布()75,121N ，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为（ ）人．参考数据：()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=） A ．261B ．341C ．477D ．68310．若随机变量X 的分布列为：已知随机变量Y aX b =+(,,0)a b R a ∈>，且()10,()4E Y D Y ==，则a 与b 的值为( ) A ．10,3a b == B ．3,10a b == C ．5,6a b == D ．6,5a b == 11．已知随机变量X 的方差()D X m =，设32Y X =+，则()D Y =（ ） A ．9mB ．3mC ．mD ．32m +12．已知随机变量X 的分布列为则E(6X ＋8)＝( ) A ．13.2B ．21.2C ．20.2D ．22.2二、填空题13．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1000，210）.且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过1000小时的平均值为______台.14．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为_________．15．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠.若该电梯在底层有6个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X 表示这6位乘客在第20层下电梯的人数，则(4)P X ==________.16．随机变量()2,XN μσ，()()222x f x μσ--=满足：（1）x R ∀∈，()()f x f x ''-=-； （2）()f σ'-=， 则()12P X <≤=________.附：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；()220.9545P X μσμσ-<≤+≈；()330.9973P X μσμσ-<≤+≈.17．若随机变量2~5,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3D X =_______． 18．已知随机变量服从正态分布()22,N σ，若(0)0.16P X ≤=，则(24)P X <≤=________.19．在一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标以数字0,两个面上标以数字1,一个面上标以数字2,将这个小正方体抛掷2次,则向上一面上的数字之积的均值是____.20．某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队.经过对本地养鱼场年利润率的调研，其结果是：年利润亏损10%的概率为0.2，年利润获利30%的概率为0.4，年利润获利50%的概率为0.4，对远洋捕捞队的调研结果是：年利润获利为60%的概率为0.7，持平的概率为0.2，年利润亏损20%的可能性为0.1. 为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对远洋捕捞队的投资不得高于本地养鱼场的投资的2倍.根据调研数据，该公司如何分配投资金额，明年两个项目的利润之和最大值为_________千万.三、解答题21．为加快推进我区城乡绿化步伐，植树节之际，决定组织开展职工义务植树活动，某单位一办公室现安排4个人去参加植树活动，该活动有甲､乙两个地点可供选择.约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个地点植树，掷出点数为1或2的人去甲地，掷出点数大于2的人去乙地.（1）求这4个人中恰有2人去甲地的概率；（2）求这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率；（3）用,X Y 分别表示这4个人中去甲､乙两地的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ.22．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A ，B ，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过A ，B ，C 每个项目测试的概率都是12. （1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望.23．某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“33+”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S ，从学生群体S 中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如下表：(I)从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；(II)从所调查的50名学生中任选2名，记X 表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望；(III)将频率视为概率，现从学生群体S 中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y ，求事件“2y ≥”的概率.24．某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动．(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求()P B 和()|P B A ． 25．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布()2,N μσ.（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)u u σσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)u u σσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.9510.12 9.969.9610.01 9.929.9810.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，()16162221111160.2121616i i i i s x x x x ==⎛⎫=-=-≈ ⎪⎝⎭∑∑，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =.用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()–330.9974P Z μσμσ<<+=，160.99740.9592≈0.09≈.26．某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为12，复审能通过的概率为310，各专家评审的结果相互独立.（1）求某应聘人员被录用的概率；（2）若4人应聘，设X 为被录用的人数，试求随机变量X 的分布列.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据题设分析知：芯片领域被选、不被选的概率分别为13、23，而3名学生选择互不影响，则选择芯片领域的学生数{0,1,2,3}X =，即X 服从二项分布，则有3321()()()33n n n P X n C -==即可求恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率.【详解】由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则： 芯片领域被选的概率为：51153=；不被选的概率为：12133-=；而选择芯片领域的人数{0,1,2,3}X =，∴X 服从二项分布1~3(,3)X B ，3321()()()33nnn P X n C -==，那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为123214(1)()()339P X C ===. 故选：A. 【点睛】本题考查了二项分布，需要理解题设条件独立重复试验的含义，并明确哪个随机变量服从二项分布，结合二项分布公式求概率.2．A解析：A 【分析】甲在4局内（含4局）赢得比赛包含3种情况：①甲胜第1、2局；②乙胜第1局，甲胜2、3局；③甲胜第1局，乙胜第2局，甲胜第3、4局，由此可求得甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率. 【详解】由题意，甲在4局内（含4局）赢得比赛包含3种情况：①甲胜第1、2局，概率为211()3p =；②乙胜第1局，甲胜2、3局，概率为2221()33p =⨯； ③甲胜第1局，乙胜第2局，甲胜第3、4局，概率为23121()333p =⨯⨯， 所以甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率为22212112117()()()33333381p =+⨯+⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了概率的求法，以及相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式的应用，着重考查分类讨论思想，以及计算能力.3．C解析：C 【分析】由已知条件求得()2D ξ=，再由2(23)2()D D ξξ+=⨯，即可求解. 【详解】由题意，随机变量ξ服从正态分布(1,2)N ，可得()2D ξ=， 所以2(23)2()8D D ξξ+=⨯=. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，其中解答中熟记方差的求法是解答的关键，着重考查了计算能力.4．B解析：B 【分析】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，则X 服从超几何分布，故()33437k kC C P X k C -==，分别求得概率，再验证选项. 【详解】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，X 服从超几何分布，故()33437k kC C P X k C -==， 所以()3043374035C C P X C ===， ()21433718135C C P X C ===，()12433712235C C P X C ===，()0343371335C C P X C ===， ()()6127P X P X =+==. 故选：B 【点睛】本题主要考查超几何分布及其应用，属于基础题.5．A解析：A 【分析】直接利用二项分布公式计算得到答案. 【详解】19,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()=⨯=1933E X ，()1191233D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查了二项分布，意在考查学生对于二项分布的理解.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质，求得，再利用随机变量的均值和方差的公式，即可求解，得到答案． 【详解】由离散型随机变量的分布列的性质可得，解得， 所以随机变量的均值为，方差为，故选C ． 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及均值与方程的计算，其中解答中根据离散型随机变量的分布列的性质，求得的值，再利用均值和方差的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7．A解析：A 【分析】设一批种子的发芽率为事件A ，则()0.9P A =，出芽后的幼苗成活率为事件B ，则()|0.8P B A =，根据条件概率公式计算即可，【详解】设一批种子的发芽率为事件A ，则()0.9P A =， 出芽后的幼苗成活率为事件B ，则()|0.8P B A =，∴这粒种子能成长为幼苗的概率()()()|0.90.80.72P P AB P A P B A ===⨯=. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了条件概率的问题，关键是分清是在什么条件下发生的，属于基础题．8．A解析：A 【分析】由题意设这个班有100人，则数学不及格有15人，语文不及格有5人，都不及格的有3人，则数学不及格的人里头有3人语文不及格，由此能求出已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率． 【详解】由题意设这个班有100人，则数学不及格有15人，语文不及格有5人，都不及格的有3人， 则数学不及格的人里头有3人语文不及格，∴已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率为31155p ==，故选A ． 【点睛】本题主要考查概率的求法，设这个班有100人可使得该问题更加直观明了，属于基础题.9．B解析：B 【解析】分析：正态总体的取值关于75x =对称，位于6486（，）之间的概率是0.6826，根据概率求出位于6486（，）这个范围中的个数，根据对称性除以2 得到要求的结果． 详解：正态总体的取值关于75x =对称，位于6486（，）之间的概率是(75117511)0.682?6P X －＋＝<<，则估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为110000.682?63412⨯⨯≈人. 故选B .点睛：题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关75X =于对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．10．C解析：C 【解析】 分析:详解：由随机变量X 的分布列可知，m 10.20.8=-=， ∴()00.210.80.8E X =⨯+⨯=，()10.20.80.16D X =⨯⨯=，∴()()()()2b 10?4E Y aE X D Y a D X =+===， ∴20.8a b 10? 0.164a +==， ∴5,6a b == 故选C点睛：本题考查了随机变量的数学期望及其方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．A解析：A 【解析】∵()D X m =，∴2()(32)3()D Y D X D X =+=9()D X =9m =，故选A ．12．B解析：B 【解析】由题意知，E(X)＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，∴E(6X ＋8)＝6E(X)＋8＝6×2.2＋8＝21.2.选B.二、填空题13．375【分析】由正态分布可知每个元件正常工作超过10000小时的概率为从而求出部件正常工作超过10000小时的概率再根据二项分布求出平均值【详解】由正态分布可知每个元件正常工作超过10000小时的概解析：375 【分析】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为12，从而求出部件正常工作超过10000小时的概率，再根据二项分布求出平均值. 【详解】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为12， 则部件正常工作超过10000小时的概率为21131228⎡⎤⎛⎫-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为310003758⨯=台. 故答案为：375. 【点睛】本题考查正态分布和相互独立事件及二项分布，考查逻辑推理能力、运算求解能力.14．【分析】设事件表示该选手能正确回答第轮的问题选手被淘汰考虑对立事件代入的值可得结果；【详解】记该选手能正确回答第轮的问题为事件则该选手被淘汰的概率：故答案为：【点睛】求复杂互斥事件概率的两种方法：( 解析：101125【分析】设事件(1,2,3)i A i =表示“该选手能正确回答第i 轮的问题”，选手被淘汰，考虑对立事件，代入123(),(),()P A P A P A 的值，可得结果； 【详解】记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件(1,2,3)i A i =，则()()()123432,,555P A P A P A ===. 该选手被淘汰的概率：112123112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A A P A A A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯= 故答案为：101125【点睛】求复杂互斥事件概率的两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；(2)间接法：先求该事件的对立事件的概率，再由()1()P A P A =－求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．15．【分析】根据次独立重复试验的概率公式进行求解即可【详解】解：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验这是次独立重复试验故即有123456故答案为：【点睛】本题主要考查次独立重复试验的概率的计算根据 解析：20243【分析】根据n 次独立重复试验的概率公式进行求解即可． 【详解】解：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是6次独立重复试验，故1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．即有6612()()()33k kk P X k C -==⨯，0k =，1，2，3，4，5，6．42641220(4)()()33243P X C ∴==⨯=．故答案为：20243【点睛】本题主要考查n 次独立重复试验的概率的计算，根据题意确实是6次独立重复试验，是解决本题的关键，属于中档题．16．1359【分析】对函数求导得导函数解析式由已知关系分别求得再由正态分布图像的对称性求得答案【详解】因为所以又则且所以故答案为：01359【点睛】本题考查由正态分布的对称性求概率问题属于中档题解析：1359 【分析】对函数()f x 求导得导函数解析式，由已知关系分别求得2,μσ，再由正态分布图像的对称性求得答案. 【详解】 因为()()222x f x μσ--=，所以()()()22221x f x x μσμσ--'=--又x R ∀∈，()()f x f x ''-=-，则()()()2202200001f μσμμσ--'=--=⇒=且()()()2222211f σσσσσσ--'-=--==⇒= 所以()()()220.13592122P P X X X P μσμσμσμσ-<≤+-<≤+-<≤=≈故答案为：0.1359 【点睛】本题考查由正态分布的对称性求概率问题，属于中档题.17．10【分析】根据题意可知随机变量满足二项分布根据公式即可求出随机变量的方差再利用公式即可求出【详解】故答案为【点睛】本题主要考查满足二项分布的随机变量方差的求解解题时利用公式将求的问题转化为求的问题解析：10 【分析】根据题意可知，随机变量2~5,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足二项分布，根据公式()(1)D X np p =-，即可求出随机变量的方差，再利用公式2()()D aX b a D X +=即可求出()3D X 。
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[新课标人教版] 排列、组合与二项式定理（选修2－3）注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。
考试结束，试题和答题卡一并收回。
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共16小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．组合数C rn （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ）A ．r +1n +1C r -1n -1 B ．(n +1)(r +1)C r -1n -1 C ．nr C r -1n -1 D ．n r C r -1n -12． 一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是 （ ）A ．40B ．74C ．84D ．200 3．以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有（ ）A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个4． 从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是（ ） A ．512B ．968C ．1013D ．10245．如果()n x x x +的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是（ ） A ．6810C x B ．5710C x xC ．468C x D ．6811C xx6． 用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是（ ）A ．36B ．32C ．24D ．207．现有一个碱基A ，2个碱基C ，3个碱基G ，由这6个碱基组成的不同的碱基序列有（ ） A ．20个B ．60个C ．120个D ．90个8． 某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为 （ ） A ．504B ．210C ．336D ．1209．在342005(1)(1)(1)x x x ++++⋯⋯++的展开式中，x 3的系数等于（ ）A ．42005CB ．42006CC ．32005CD ．32006C10．现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人，分别参加数理化三科竞赛，共有90种不同方案，则男、女生人数可能是 （ ） A ．2男6女B ．3男5女C ．5男3女D ．6男2女11．若x ∈R ，n ∈N ＋ ，定义nx M ＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n －1)，例如55M -＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，则函数199()x f x xM-=的奇偶性为 （ ）A ．是偶函数而不是奇函数B ．是奇函数而不是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数12．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5，6}，从A 到B 的映射f (x )，B 中有且仅有2个元素有原象，则这样的映射个数为 （ ） A ．8 B ．9 C ．24 D ．2713．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有 （ ） A ．24种B ．36种C ．60种D ．66种14．等腰三角形的三边均为正数，它们周长不大于10，这样不同形状的三角形的种数为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．1115．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有 （ ） A ．36种B ．42种C ．50种D ．72种16．若1021022012100210139(2),()()x a a x a x a x a a a a a a -=+++⋯+++⋯+-++⋯+则 的值为 （ ）A ．0B ．2C ．－1D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上．17．某电子器件的电路中，在A ，B 之间有C ，D ，E ，F 四个焊点（如图），如果焊点脱落，则可能导致电路不通．今发现A ，B 间电路不通，则焊点脱落的不同情况有 种．18．正整数a 1a 2…a n …a 2n －2a 2n －1称为凹数，如果a 1>a 2>…a n ，且a 2n －1>a 2n －2>…>a n ，其中a i （i ＝1,2,3,…）∈{0,1,2,…,9}，请回答三位凹数a 1a 2a 3（a 1≠a 3）共有 个（用数字作答）．19．若(x －2)5= a 5x 5+ a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=__________.(用数字作答)20．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有 ．21．已知（x ＋1）6（ax －1）2的展开式中，x 3的系数是56，则实数a 的值为 ． 三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）将7个相同的小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？23．（本小题满分12分）已知(41x ＋3x 2)n 展开式中的倒数第三项的系数为45，求：（1）含x 3的项； （2）系数最大的项．24．（本小题满分14分）规定(1)(1),m x A x x x m =--+ 其中x R ∈，m 为正整数，且01,x A = 这是排列数(,m n A n m 是正整数，且)m n ≤的一种推广．（1）求315A -的值； （2）排列数的两个性质：①11m m n n A nA --=， ②11m m m n n n A m A A -++=．(其中m ，n 是正整数)是否都能推广到(,m x A x R m ∈是正整数）的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；（3）确定函数3x A 的单调区间．25．(本题满分14分) 一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为),3(N n n n ∈≥等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.（1）如图1，圆环分成的3等份为321,,a a a ，有多少不同的种植方法？如图2，圆环分成的4等份为4321,,,a a a a ，有多少不同的种植方法？（2）如图3，圆环分成的n 等份为321,,a a a ，……，a n ，有多少不同的种植方法？排列组合二项式定理参考答案一、选择题 题号 1 2345678910 11 12 13 14 15 16 答案 D B C B B D B A B BADBCBD提示1．D 用公式验证，也可以用特殊值法．2．B 分三步：33425154545474.C C C C C C ++=3．C 46312.C -=4．B 分8类：3451001210012101010101010101010101010()2(11045)968.C C C C C C C C C C C +++⋯+=+++⋯+-++=-++=5．B 12512,10,n n -=∴=中间项为5555761010().T C x x C xx ==6．D 按首位数字的奇偶性分两类：2332223322()20A A A A A +-=7．B 分三步：12365360C C C = 8．A 939966504,504.A A A==或9．B 原式＝10．B 设有男生x 人，则2138390,(1)(8)30x x C C A x x x -=--=即，检验知B 正确．11．A 2222()(9)(8)(9191)(1)(4)(81).f x x x x x x x x x =--⋯-+-=--⋯-12．D 223327.C =13．B 先排甲、乙外的3人，有33A 种排法，再插入甲、乙两人，有24A 种方法，又甲排乙的左边和甲排乙的右边各占12 ，故所求不同和站法有3234136().2A A =种 14．C 共有（1，1，1），（1，2，2），（1，3，3），（1，4，4），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，4，4），（3，3，3）（3，3，4）10种．15．B 每人值班2天的排法或减去甲值周一或乙值周六的排法，再加上甲值周一且乙值周六的排法，共有2212264544242().C C A C A -+=种16．D 设f (x )＝(2－x )10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…－a 9＋a 10)＝f (1)f (－1)＝(2＋1)10(2－1)10＝1。
二、填空题17．13 按焊点脱落个数为1，2，3，4分四类，有12342444(,)13.C C F C C C +++=中选一18．240 3102240C =19．31 设f(x)＝(x －2)5=a 5x 5+ a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0,32003320062006442006(1)[1(1)](1)(1)(1).1(1)x x x x x x C x x+-+-+++=+-+即求中的系数为则f(1)＝(1－2)5= a 5+ a 4+a 3+a 2+a 1+a 0＝－1, 又，a 0＝（－2)5＝－32．故a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=3120．65 分二类：第一类，甲上7楼，有52种；第二类：甲不上7楼，有4×2×5种，共有52＋4×2×5＝65种． 21．－1或66261524335226666(1)(1)(1)(21).x a x x C x C x C x C x a x a x x+-=+++++-+ 项的系数为345226651(2)56,560,1 6.C C a C a a a a a ⋅+-+⋅=--=∴=-=即或三、解答题22．解法1：∵7＝1＋1＋1＋4＝1＋1＋2＋3＝1＋2＋2＋2，∴分三类，共有分法12144420().C A C ++=种解法2（隔板法）：将7个小球排成一排，插入3块隔板，故共有分法3620().C =种 23．解：⑴由题设知2245,45,10.n n n C C n -==∴=即21113010363341211010710433101130()(),3,6,12210.r rrrr r r T C xx C xr x T C xC x x ---+-=⋅======令得含的项为⑵系数最大的项为中间项，即55302551212610252.T C xx -==24．解：（Ⅰ）315A -()()()1516174080=---=-；（Ⅱ）性质①、②均可推广，推广的形式分别是：①11m m x x A xA --=， ②()11,m m mx xx A mA A x R m N -+++=∈∈事实上，在①中，当1m =时，左边1x A x ==， 右边01x xA x -==，等式成立；当2m ≥时，左边()()()121x x x x m =---+()()()()()12111x x x x m ⎡⎤=-----+⎣⎦11m x xA --= ， 因此，①11mm x x A xA --=成立；在②中，当1m =时，左边10111x x x A A x A +=+=+==右边，等式成立；当2m ≥时，左边()()()121x x x x m =---+ ()()()122mx x x x m +---+()()()()1221x x x x m x m m =---+-++⎡⎤⎣⎦ ()()()()11211x x x x x m =+--+-+⎡⎤⎣⎦ 1mx A +==右边，因此 ②()11,m m mx xx A mA A x R m N -+++=∈∈成立。