高考数学理科二轮经典重点题型：第39练(含答案)

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2019高三数学9月第二次阶段考试题(理带答案)精品教育.doc

2019年高三数学9月第二次阶段考试题（理带答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.函数的定义域为( )A. (0,1)B. [0,1)C. (0,1]D.[0,1]2. 函数f(x)=xa的图象过点，则f[f(9)]=( )A. B.3 C. D.3.若f(x)是偶函数，且当x∈[0，+∞)时，f(x)=x-1，则f(x-1)<0的解集是A.(-1,0)B.(-∞,0)∪(1,2)C. (1，2)D.(0，2)4.已知曲线与y2=x3-x2+2x在x=x0处切线的斜率的乘积为3，则x0的值为( )A.- 2B.2C.D.15.下列函数图像中，正确的是( )6.若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是 ( ) A.f(x)-1是奇函数 B. f(x)-1是偶函数C. f(x)+1是奇函数D.f(x)+1是偶函数11.偶函数f(x)满足f (x-1)=f (x+1)，且当x∈[0，1]时，f (x)=-x+1，则关于x的方程f (x)=lg(x+1)在x∈[0，9]上解的个数是 ( )A.7B.8C.9D.1012. 定义在R上的函数f(x)，当x∈(-1，1]时，f (x)=x2-x，且对任意的x满足f (x-2)=af (x)(常数a>0)，则函数f(x)在区间(5，7]上的最小值是 ( )A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13.函数的定义域为 .14. 若函数y=x2+(a+2)x+3(x∈[a，b])的图象关于直线x=1对称，则b=___________.15.函数在R上是减函数，则实数a的取值范围是___________.16.已知函数f(x) =x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是____.三、解答题(本大题6小题，共70分。

2024年高考数学必练题及答案解析

设平面 PBC 与平面 PCE 构成的二面角的平面角为 θ ，则 h
，
又θ∈[0，π]，sinθ≥0，
∴
h
，
∴平面 PBC 与平面 PCE 构成的二面角的正弦值为．
， h＜，＞
【点评】本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．
【解答】（1）证明：因为 DC＝DA AB，PA＝PB，
所以 PB＝PA＝DA AB，
在△PAB 中，有
，
所以 PA⊥PB，又∠ADC＝90°，即∠APC＝90°，所以 PA⊥PC，因为 PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面 PBC，所以 PA⊥平面 PBC，
又 BC⊂平面 PBC，所以 PA⊥BC；（2）解：取 AC 的中点 E，BC 的中点 F，连结 EF，PE，则 EF∥AB，因为∠BAC＝90°，所以 AB⊥AC，所以 EF⊥AC，因为 DC＝DA，即 PC＝PA，所以 PE⊥AC，所以∠PEF 为二面角 P﹣AC﹣B 的平面角，∠PEF ，
，
又 DE∥PA，
，∴OM∥DE，且 OM＝DE，
∴四边形 OMED 是平行四边形，则 OD∥EM，∴EM⊥平面 PAC，
又 EM⊂平面 PCE，∴平面 PAC⊥平面 PCE．
（2）由（1）中证明知，OM⊥平面 ABCD，则 OB，OC，OM 两两垂直，以 OB，OC，
OM 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
2024 年高考数学考前必练题
1．如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABEF 为正方形，平面 ABEF⊥平面 CDFE，CD∥ EF，DF⊥EF，EF＝2CD＝2．（1）若 DF＝2，求二面角 A﹣CE﹣F 的正弦值；（2）若平面 ACF⊥平面 BCE，求 DF 的长．

高考数学命题热点名师解密：专题(39)快速解选择题的解法大全(理)(含答案)

专题39 快速解选择题的解法大全一、题型特点近几年来，在新课标全国卷Ⅰ数学试题中选择题一直是12道题，填空题一直是4道题，所占分值为80分，约占数学试题总分数的53%. 且在高考题中属于中低难度的试题，仅有个别题属于较高难度试题，在一般的情况下分别按由易到难的顺序排列，在高考数学中选择题和填空题是一种只要求得到结果，不要求写出解答过程的试题．具有概括性强、小巧灵活、知识覆盖面广，其中融入多种数学思想和方法等特点，可以有效地检验考生的数学思维层次及分析问题、判断问题、推理问题和解决问题的能力．二、解题思路做选填题的步骤为：1．首先，审题．能很好的把数学的三种语言(文字语言、图形语言、数字符号语言)之间快速转化并发掘题目中的隐含条件，要去伪存真，快速领会题目的真正含义．2．其次，要注意选填题的解题技巧．小题小做、巧做，简单做，要多用数形结合、特殊值法等技巧，节约时间．3．最后，仔细检查答卷不能有漏填的现象(遇到不会做的，也不要空着不做，一定要写一个答案)，不能有把答案抄错的现象．三、典例分析 (一)直接演绎法所谓直接演绎法，就是直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果．例1(2015课标全国Ⅰ)已知点M(x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B .⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C .⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233【解析】选A .由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0, 即x 20－3＋y 20<0. ∵点M(x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20. ∴2＋2y 20－3＋y 20<0， ∴－33<y 0<33.故选A . 【反思】直接演绎法是解选择填空题最基本的方法，涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目，充分挖掘题设条件，通过严谨的推理，正确的运算必能得出正确的答案．因此，学会熟练运用基本知识，并能迅速分析题目，抓住主干，吃透题意是用直接演绎法解题的不二法宝．练习1．已知为三角形内角，且，若，则关于的形状的判断，正确的是A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．三种形状都有可能【答案】C练习2．如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为( )A． B． C．3 D．【答案】D【解析】，得到，所以，结合的面积为，得到,得到，所以，故选D。

2018版高考数学全国理科专题复习：专题6 数列第39练

一、选择题1．(2016·东营期中)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( ) A ．15 B ．12 C ．－12D ．－152．(2016·山西晋中联考)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于( ) A ．13 B ．10 C ．9D ．63．(2016·河南中原名校联考二)已知函数f (x )＝x 2＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，若数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 20的值为( )A.325462B.1920C.119256D.2 0102 0114．(2016·衡水期中)1＋(1＋12)＋(1＋12＋14)＋…＋(1＋12＋14＋…＋1210)的值为( )A ．18＋129B ．20＋1210C ．22＋1211D ．18＋12105．数列{a n }满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 013等于( ) A.2 0122 013B.2 0131 007C.2 0121 007D.2 0132 014二、填空题6．(2017·合肥质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －2n ，则S n ＝________. 7．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是________________．8．数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________.9．(2016·云南师大附中月考)设S ＝1＋112＋122＋1＋122＋132＋1＋132＋142＋…＋1＋12 0142＋12 0152，则不大于S 的最大整数S ]＝________. 三、解答题10．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564.答案精析1．A 依题意可知a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝3，…，a 9＋a 10＝3， ∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝5×3＝15. 故选A.]2．D ∵数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ＝1－12n ，∴S n ＝(1－12)＋(1－14)＋(1－18)＋…＋(1－12n )＝n －(12＋14＋18＋…＋12n )＝n －12[1－(12)n ]1－12＝n －1＋12n .由S n ＝32164＝n －1＋12n ，可得n ＝6.故选D.]3．A 因为f (x )＝x 2＋ax ，所以f ′(x )＝2x ＋a ，又函数f (x )＝x 2＋ax 的图象在点A (0，f (0))处的切线l 与直线2x －y ＋2＝0平行，所以f ′(0)＝a ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ，所以1f (n )＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)，所以S 20＝12(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(120－122)]＝12(1＋12－121－122)＝325462.故选A.]4．B 设a n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2(1－12n )＝2－12n －1，∴S n ＝2n －1－12n1－12＝2n －2(1－12n )＝2n －2＋12n －1，∴S 11＝20＋1210，故选B.]5．B 因为a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ＝1＋a n ＋n ，所以a n ＋1－a n ＝n ＋1.用累加法：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，所以1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 013＝2(1－12＋12－13＋13－14＋…＋12 013－12 014)＝2⎝⎛⎭⎫1－12 014＝2 0131 007，故选B.] 6．n ·2n解析 ∵S n ＝2a n －2n ＝2(S n －S n －1)－2n ，即S n ＝2S n －1＋2n (n ≥2)， ∴S n 2n ＝2S n －12n ＋1＝S n －12n 1＋1， ∴S n 2n －S n －12n －1＝1，且S 1＝a 1＝2，∴S 12＝1， ∴数列{S n 2n }是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n2n ＝n ，∴S n ＝n ·2n .7．12，1) 解析由已知可得a 1＝f (1)＝12，a 2＝f (2)＝f (1)]2＝(12)2，a 3＝f (3)＝f (2)·f (1)＝f (1)]3＝(12)3，…，a n ＝f (n )＝f (1)]n ＝(12)n ，所以S n ＝12＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n ＝12[1－(12)n ]1－12＝1－(12)n ，因为n ∈N *，所以12≤S n <1.8．3 018解析由于f (n )＝cos n π2的值具有周期性，所以可从数列的周期性及从头开始连续四项的和为定值入手解决．当n ＝4k ＋1(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋1)cos 4k ＋12π＋1＝1，当n ＝4k ＋2(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋2)cos 4k ＋22π＋1＝－(4k ＋2)＋1＝－4k －1，当n ＝4k ＋3(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋3)cos 4k ＋32π＋1＝1，当n ＝4k ＋4(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋4)cos 4k ＋42π＋1＝(4k ＋4)＋1＝4k ＋5，∴a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝1－4k －1＋1＋4k ＋5＝6. ∴S 2 012＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋…＋a 2 012＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＋a 2 012) ＝6×503＝3 018. 9．2 014 解析 ∵1＋1n 2＋1(1＋n )2＝(n 2＋n )2＋2(n 2＋n )＋1n 2(1＋n )2＝n 2＋n ＋1n (n ＋1)＝1＋(1n －1n ＋1)，∴S ＝1＋(11－12)＋1＋(12－13)＋…＋1＋(12 014－12 015)＝2 015－12 015，故S ]＝2 014.10．(1)解由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0，由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0. 所以S n ＝n 2＋n (n ∈N *)． n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式．所以a n ＝2n (n ∈N *)． (2)证明由a n ＝2n (n ∈N *)，得b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n ＝n ＋14n 2(n ＋2)2＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋2)2， T n ＝116⎝⎛⎭⎫1－132＋⎝⎛⎭⎫122－142＋⎝⎛⎭⎫132－152＋…＋ ⎝⎛⎭⎫1(n －1)2－1(n ＋1)2＋⎝⎛⎭⎫1n 2－1(n ＋2)2]＝116⎣⎡⎦⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2 <116⎝⎛⎭⎫1＋122＝564(n ∈N *)．即对于任意的n ∈N *，都有T n <564.。

高考理科数学试题及答案39

高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届高考数学二轮复习-数列题型解答题专项训练【含解析】

2025届高考数学二轮复习-数列题型解答题专项训练一、解答题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()113n n S a =-.（1）求1a ，2a ；（2）证明：数列{}n a 是等比数列.答案：（1）112a =-；214a =（2）数列{}n a 是首项和公比均为12-的等比数列解析：（1）当1n =时，()111113a S a ==-，所以112a =-.当2n =时，()22211123S a a =-+=-，所以214a =.（2）由()113n n S a =-，得()1111(2)3n n S a n --=-≥，所以()111(2)3n n n n n a S S a a n --=-=-≥，所以11(2)2n n a a n -=-≥.又112a =-，所以数列{}n a 是首项和公比均为12-的等比数列.所以数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）知()32121n a n n =+-=+.3．在数列{}n a 中,14a =,1431n n a a n +=-+,*n ∈N .（1）设n n b a n =-,求证：数列{}n b 是等比数列;（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .答案：（1）见解析（2）()1412n n n ++-解析：（1）证明：1431,n n a a n +=-+11(1)43114()4,n n n n n b a n a n n a n b ++∴=-+=-+--=-=又111413,b a =-=-=∴数列{}n b 是首项为3、公比为4的等比数列;（2）由（1）可知134n n a n --=⨯,即134n n a n -=+⨯,()()()31411412142n n n n n n n S -++∴=+=--.4．在数列{}n a 中,616a =,点()()1,n n a a n *+∈N 在直线30x y -+=上.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若2n n n b a =,求数列{}n b 的前n 项和n T .答案：（1）32n a n =-（2）见解析解析：（1）依题意,130n n a a +-+=,即13n n a a +-=,因此数列{}n a 是公差为3的等差数列,则63(6)32n a a n n =+-=-,所以数列{}n a 的通项公式是32n a n =-.（2）由（1）得(32)2n n b n =-⋅,则132421242(32)2n n T n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯,于是23121242(35)2(32)2n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯,两式相减得2123112(12))23(222(32)22(312)232n n n n n T n n ++--=+++⋅⋅⋅+--⋅--⋅-=+⋅-1(532)10n n +⋅=--,所以1(35)210n n T n +=-⋅+.5．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且636S =,1a ,3a ,13a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,若不等式4n kT <对任意的*n ∈N 都成立,求实数k的取值范围.答案：（1）21n a n =-（2）2k ≥.解析：（1）设等差数列{}n a 公差为d ,由题意1211161536(2)(12)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩,0d ≠,解得112a d =⎧⎨=⎩,所以12(1)21n a n n =+-=-;（2）由（1）111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+,所以1111111111(1)()((12323522121221n T n n n =-+-++-=--++,易知n T 是递增的且12n T <,不等式4n k T <对任意的*n ∈N 都成立,则142k ≥,所以2k ≥.6．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足24(1)n S n =+,n +∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,若对任意的n +∈N ,不等式25n T a a <-恒成立,求实数a 的取值范围.答案：（1） 1, 1 21, 24n n a n n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩（2）3a ≤-或4a ≥解析：（1）24(1)n S n =+当1n =时,214(11)a =+,即11a =当2n ≥时,由1n n n a S S -=-,故224(1)21n a n n n =+-=+,得214n n a +=.易见11a =不符合该式,故 1 121, 24n n a n n =⎧⎪=⎨+=⎪⎩，（2）由0n a >,易知n T 递增;112145T a a ==当2n ≥时,()()111611821232123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭.从而41111111281285577921235235n T n n n ⎛⎫=+-+-++-=-< ⎪+++⎝⎭.又由25n T a a <-,故212a a ≤-,解得3a ≤-或4a ≥即实数a 的取值范围为3a ≤-或4a ≥7．记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知112a =,n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列.（1）求{}n a 的通项公式;（2）设()1nn n b a =-,求{}n b 的前2n 项和2n T .答案：（1）12n a n =（2）2n解析：（1）由n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列,且111S a =,则()11111222n n S n n a =+-⨯=+,即()21n n S n a =+,当2n ≥时,112n n S na --=,两式相减可得：()121n n n a n a na -=+-,整理可得11n n a na n -=-,故121121121121212n n n n n a a a n n a a n n a a a n ----=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯-=-,将1n =代入上式,12n a =,故{}n a 的通项公式为12n a n =.（2）由()1nn n b a =-,则21212342221n n n n a a T b a a a a b b -=-+-+-+-+++=()()()()22121242132122n n n n n a a n a a a a a a a a --++=+++-+++=-()111122*********n nn n ⎡⎤=⨯+⨯-⨯-⨯⎢⎥⎦=-⎣.8．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列,且11a =,34a =,数列{}n b 中()*221log log n n n b a a n +=+∈N .（1）求数列{}n b 的通项公式;（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ,数列{}n c 满足141n n c S =-,求数列{}n c 的前n 项和n T .答案：（1）21n b n =-（2）21n nT n =+解析：（1）正项等比数列{}n a 的公比为q ,由231a a q =,得24q =,而0q >,解得2q =,于是1112n n n a a q --==,由221log log n n n b a a +=+,得12222log o 21l g n n n n b -=+=-,所以数列{}n b 的通项公式21n b n =-.（2）由（1）知,21n b n =-,显然数列{}n b 是等差数列,21(21)2n n S n n +-=⋅=,2111111(4141(21)(21)22121n n c S n n n n n ====----+-+,所以11111111[(1)()()](1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++.9．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,满足33a =,410S =.数列{}n b 满足12b =,112n n n nb a b a ++=,*n ∈N .（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;（2）设数列{}n c 满足()1(1)32n n n n n c a b +-+=,*n ∈N ,求数列{}n c 的前n 项和n T .答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ,11234610a d a d +=⎧∴⎨+=⎩,解得11a =,1d =,n a n ∴=.()121n n n b b n ++=,112n n b n b n++∴=,且121b =,所以n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列,2n nb n∴=,2n n b n ∴=⋅（2）()()()()1111(1)3211(1)(1)(1)12212212n n n nn n n n n n n c n n n n n n ++++⎛⎫-+--==-+=- ⎪ ⎪+⋅⋅+⋅⋅+⋅⎝⎭,()1111(1)212n n n T n ++∴=---+⋅10．已知各项为正的数列{}n a 的首项为2,26a =,22211122n n n n n n n n a a a a a a a a +++++-=--.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列{}n a 的前n 项和n S ,求数列{}28n n S a +-(其中*n ∈N )前n 项和的最小值.答案：（1）42n a n =-（2）最小值为38-解析：（1）因为22211122n n n n n n n n a a a a a a a a +++++-=--,所以有()()12120n n n n n a a a a a +++++-=,而0n a >,10n n a a +∴+≠,所以2120n n n a a a +++-=,则211121n n n n n n a a a a a a a a +++--=-=-=⋅⋅⋅=-,又12a =,26a =,∴214a a -=,由等差数列定义知数列{}n a 是以2为首项,4为公差的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为42n a n =-.（2）由（1）有2(1)=2+4=22n n n S n n -⨯,()()2282430253n n S a n n n n ∴+-=+-=+-,令280n n S a +->,有4,5,6,n =⋅⋅⋅;280n n S a +-<,有1,2n =;280n n S a +-=,有3n =.所以{}28n n S a +-前n 项和的最小值为()()()()215132252338+-++-=-,当且仅当2n =,3时取到.11．记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知2n S n =,等比数列{}n b 满足11b a =,35b a =.（1）求{}n a 的通项公式;（2）求{}n b 的前n 项和n T .答案：（1）()*21n a n n =-∈N （2）当3q =时,3122n n T =-;当3q =-时,1(3)44n n T -=-.解析：（1）当1n =时,111a S ==,当2n ≥时,1n n n a S S -=-22(1)n n =--21n =-,因为11a =适合上式,所以()*21n a n n =-∈N .（2）由（1）得11b =,39b =,设等比数列{}n b 的公比为q ,则2319b b q =⋅=,解得3q =±,当3q =时,()113311322n n nT ⋅-==--,当3q =-时,11(3)1(3)1(3)44nn n T ⎡⎤⋅---⎣⎦==---.12．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知221nn S n a n+=+.（1）证明：{}n a 是等差数列；（2）若4a ，7a ，9a 成等比数列，求n S 的最小值.答案：（1）证明见解析（2）12n =或13时，n S 取得最小值，最小值为-78解析：（1）由221nn S n a n+=+，得2n n 22S n a n n +=+，①所以2112(1)2(1)(1)n n S n a n n ++++=+++，②②-①，得112212(1)21n n n a n a n a n ++++=+-+，化简得11n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为1的等差数列.（2）由（1）知数列{}n a 的公差为1.由2749a a a =，得()()()2111638a a a +=++，解得112a =-.所以22(1)251256251222228n n n n n S n n --⎛⎫=-+==-- ⎪⎝⎭，所以当12n =或13时，n S 取得最小值，最小值为-78.13．已知数列{}n a 满足11a =，11,,22,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，数列{}n b 满足22n n b a =-.（1）求2a ，3a .（2）求证：数列{}n b 是等比数列，并求其通项公式.（3）已知12log n n c b =，求证：122311111n nc c c c c c -+++<.答案：（1）232a =，352a =-（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）由数列{}n a 的递推关系，知2113122a a =+=，325222a a =-⨯=-.（2）()12221212211112(21)2(21)4(21)12222n n n n n n b a a n a n a n n a ++++=-=++-=+-=-+-=-()211222n n a b =-=.因为12122b a =-=-，所以数列{}n b 的各项均不为0，所以112n n b b +=，即数列{}n b 是首项为12-，公比为12的等比数列，所以1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（3）由（2）知11221log log 2nn n c b n ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以12231111n nc c c c c c -+++1111223(1)n n =+++⨯⨯-1111112231n n=-+-++--11n=-1<.14．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，2a ，3a ，44a -成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21log nn na b a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T ≤<.答案：（1）2n n a =（2）证明见解析解析：（1）因为2a ，3a ，44a -成等差数列，所以32424a a a =+-，又因为数列{}n a 的公比为2，所以2311122224a a a ⨯=+⨯-，即1118284a a a =+-，解得12a =，所以1222n n n a -=⨯=.（2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n nn n a n b a +++===，所以2323412222n nn T +=++++，①231123122222n n n n n T ++=++++，②①-②得23111111122222n nn n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭212111111111122221111221122n n n n n n -+++⎛⎫-- ⎪++⎝⎭=+-=+---11112133122222n n n n n +++++=+--=-.所以3332n nn T +=-<.又因为102n n n b +=>，所以{}n T 是递增数列，所以11n T T ≥=，所以13n T ≤<.15．在①221n n b b =+，②212a b b =+，③1b ，2b ，4b 成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列{}n a 中，11a =，13n n a a +=，公差不等于0的等差数列{}n b 满足__________，__________求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .答案：选①②；选②③解析：因为11a =，13n n a a +=，所以{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以13n n a -=.方案一：选①②.设数列{}n b 的公差为d ，因为23a =，所以123b b +=.因为221n n b b =+，所以1n =时，2121b b =+，解得123b =，273b =，所以53d =，所以533n n b -=，满足221n n b b =+，所以533n n n b n a -=，所以12123122712533333n n nn b b b n S a a a -=+++=++++，所以2341127125853333333n n n n n S +--=+++++，两式相减，得23111122111532515533109533333336233223n n n n n n n n n S ++++--+⎛⎫=++++-=+--=- ⎪⨯⨯⎝⎭，所以9109443n n n S +=-⨯.方案二：选②③.设数列{}n b 的公差为d ，因为2133a a ==，所以123b b +=，即123b d +=.因为1b ，2b ，4b 成等比数列，所以2214b b b =，即()()21113b d b b d +=+，化简得21d b d =.因为0d ≠，所以11d b ==，所以n b n =，所以13n n n b n a -=，所以120121121233333n n n n b b b n S a a a -=+++=++++，所以123111231333333n n nn n S --=+++++，两式相减，得1231211113132311333333233223n n n n n n n n n S -+⎛⎫=+++++-=--=- ⎪⨯⎝⎭，所以1923443n n n S -+=-⨯.方案三：选①③.设数列{}n b 的公差为d ，因为221n n b b =+，所以1n =时，2121b b =+，所以11d b =+.又1b ，2b ，4b 成等比数列，所以2214b b b =，即()()21113b d b b d +=+，化简得21d b d =.因为0d ≠，所以1b d =，此式与11d b =+矛盾.所以等差数列{}n b 不存在，故不符合题意.。

高考数学理科二轮经典重点题型第练(含答案)

高考数学理科二轮经典重点题型第练(含答案)第11练寻图有道，破解有方——函数的图象问题题型一对函数图象的直接考查某3例1(2022·四川)函数y＝()3－1破题切入点从函数定义域入手，考虑函数变化趋势，借助特殊值．答案C某3解析由3－1≠0得某≠0，∴函数y＝{某|某≠0}，可排除选项A；当某＝－13－1某－13364时，y＝>0，可排除选项B；当某＝2时，y＝1，当某＝4时，y＝，但从选项D的函128013数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.题型二对函数零点的考查11例2已知函数f(某)满足f(某)＝f()，当某∈[1,3]时，f(某)＝ln 某．若在区间[3]内，函数g(某)＝某3f(某)－a某与某轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是()11A．(0，B．(0，e2eln31ln31C．，)D．[，)3e32e破题切入点求出f(某)在[，3]上的解析式，数形结合解决．3答案C1111解析由题意可知当某在区间[，1]内时，∈[1,3]，f(某)＝f()＝ln＝－ln某，则f(某)＝3某某某1－ln某，某∈[3，1，函数g(某)＝f(某)－a某与某轴有三个不同的交点，即f(某)－a某＝0有三个不ln某，某∈[1，3]，同的根，即f(某)＝a某有三个不同的根，即函数f(某)的图象与直线y＝a某有三个不同的交点，当1某在区间，1)上时，函数f(某)的图象与直线y＝a某有一个交点，当某∈[1,3]时，函数f(某)的图3ln3象与直线y＝a某有两个交点．当直线y＝a某过点(3，ln3)时，a的值满足ln3＝3a，即a＝3当直线y＝a某与f(某)相切时，设切点为(某0，ln 某0)，则点(某0，ln某0)在直线上，故ln某0＝a某0，而111a＝(ln某)′|某某0＝，所以ln某0＝1，某0＝e，即a＝，函数f(某)的图象与直线y＝a某有三个某0某0eln31不同的交点，则a的取值范围是[)．3e题型三综合考查函数图象例3已知函数f(某)的图象与函数h(某)＝某＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．某(1)求f(某)的解析式；(2)若g(某)＝f(某)·某＋a某，且g(某)在区间[0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．破题切入点(1)根据对称性求f(某)的解析式，考查函数图象的对称变换．(2)求出g(某)的解析式，根据二次函数求字母a 的取值范围．解(1)∵f(某)的图象与h(某)的图象关于点A(0,1)对称，设f(某)图象上任意一点坐标为B(某，y)，某′2＋某0，其关于A(0,1)的对称点为B′(某′，y′)，则y＋y′21，某′＝－某，∴y′＝2－y.∵B′(某′，y′)在h(某)上，∴y′＝某′2.某′1∴2－y＝－某－＋2，某11∴y＝某f(某)＝某＋.某某(2)∵g(某)＝某2＋a某＋1，a又g(某)在[0,2]上为减函数，∴－≥2，即a≤－4.2∴a的取值范围为(－∞，－4]．总结提高(1)求函数图象时首先考虑函数定义域，然后考虑特殊值以及函数变化趋势，特殊值首先考虑坐标轴上的点．(2)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质．(4)在解决综合问题时，图象只能作为分析工具而不能作为解题过程，在应用过程中要使图象尽量准确．1．(2022·山东)函数y＝某co某＋in某的图象大致为()答案Dπ解析函数y＝某co某＋in某为奇函数，排除B.取某C；取某＝π，排除A，故选D.22．(2022·课标全国Ⅰ)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角某的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成某的函数f(某)，则y＝f(某)在[0，π]的图象大致为()答案B解析|MM′|π如图所示，当某∈(0时，则P(co某，in某)，M(co某,0)，作MM′⊥OP，M′为垂足，则2|OM|f某1π1π＝in某，in某，∴f(某)＝in某co某＝某，则当某＝f(某)ma某＝；当某∈(，π)时，co某2422有f某13π1in(π－某)，f(某)＝－in某co某＝－某，当某＝f(某)ma某＝.只有B选项的图象|co某|242符合．3．(2022·山东)已知函数f(某)＝|某－2|＋1，g(某)＝k某，若方程f(某)＝g(某)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()11 A．(0，)B．，1)22C．(1,2)D．(2，＋∞)答案B解析先作出函数f(某)＝|某－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(某)＝k某与直线AB平行时斜率为1，11当直线g(某)＝k某过Af(某)＝g(某)有两个不相等的实根时，k的范围为(，1)．224．已知函数f(某)＝2某－2，则函数y＝|f(某)|的图象可能是()答案B解析函数f(某)＝2某－2是把函数y＝2某的图象向下平移两个单位长度得到的，由2某－2<0得某<1，即在(－∞，1)上，函数f(某)＝2某－2的图象位于某轴下方，根据指数函数图象的特点，不难看出把某轴下方的部分对称到某轴上方后得到函数y＝|f(某)|的图象．故选B.5．(2022·湖北)已知函数f(某)是定义在R上的奇函数，当某≥0时，f(某)＝(|某－a2|＋|某－2a2|－23a2)．若某∈R，f(某－1)≤f(某)，则实数a的取值范围为()116 A．[－，B．[－]6666113C．[－]D．[－]3333答案B11解析因为当某≥0时，f(某)某－a2|＋|某－2a2|－3a2)，所以当0≤某≤a2时，f(某)＝a2－某＋2a222－某－3a2)＝－某；当a2<某<2a2时，f(某)某－a2＋2a2－某－3a2)＝－a2；21当某≥2a2时，f(某)某－a2＋某－2a2－3a2)＝某－3a2.2－某，0≤某≤a，1222综上，函数f(某)＝(|某－a2|＋|某－2a2|－3a2)在某≥0时的解析式等价于f(某)＝－a，a<某<2a，2某－3a2，某≥2a2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(某)在R上的大致图象如下，2观察图象可知，要使某∈R，f(某－1)≤f(某)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－66a≤666．(2022·江西)如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC 两边相交于E、D两点．设弧FG的长为某(0<某<π)，y＝EB＋BC＋CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y＝f(某)的图象大致是()答案D解析如图所示，连接OF，OG，过点O作OM⊥FG，过点A作AH⊥BC，交DE于点N.因为弧FG的长度为某，所以∠FOG＝某，某ANAE某则AN＝OM＝co＝co，2AHAB223某2323某则AE＝，所以EB＝.323324343某3所以y＝EB＋BC＋CD＝co＋33233某co＋23(0<某<π)．327．已知定义在R上的函数f(某)满足：①函数y＝f(某－1)的图象关于点(1,0)对称；33②对某∈R，f(－某)＝f(＋某)成立；4433③当某∈(]时，f(某)＝log2(－3某＋1)．24则f(2022)＝________.答案－2解析由①知函数y＝f(某)的图象关于原点对称，即函数为奇函数(通过图象变换易推出)，由②333知函数图象关于直线某＝f(－某)＝f(＋某)，由奇函数可得f(某)＝－f(某)，据此可推4223出f某)＝－f(3＋某)，则有f(某)＝f(某＋3)，故函数以3为周期，因此f(2022)＝f(1)＝－f(－1)2＝－log24＝－2.8．已知函数f(某)＝某2＋1的定义域为[a，b](a<b)，值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内，点(a，b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是________．答案4解析由f(某)＝某2＋1＝1，得某＝0；由f(某)＝某2＋1＝5，得某2＝4，即某＝±2.如图所示，根据题意，得－2≤a≤0，a＝－2，或所以点(a，b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2b＝20≤b≤2，的正方形，其面积为4.19．(2022·江苏)已知f(某)是定义在R上且周期为3的函数，当某∈[0,3)时，f(某)＝|某2－2某＋若2函数y＝f(某)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．1答案(0，2解析作出函数y＝f(某)在[－3,4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)11＝0<a22某|某|y|y|10．方程＋＝－1的曲线即为函数y＝f(某)的图象，对于函数y＝f(某)，有如下结论：①f(某)169在R上单调递减；②函数F(某)＝4f(某)＋3某不存在零点；③函数y＝f(某)的值域是R；④f(某)的图象不经过第一象限．其中正确的有________．答案①②③④解析某|某|y|y|由方程＋＝－1可知，169某，y不可能同时大于0，分类讨论：某2y2当某<0，y≥0时，1表示双曲线的一部分；169某2y2当某<0，y<0时，1表示椭圆的一部分；169y2某2当某≥0，y<01表示双曲线的一部分；916作出图象可知①③④正确，对于②的判断：3某2y2y2某2由于y＝－是双曲线－＝1和1的渐近线，41699163所以结合图形可知曲线y＝f(某)与直线y＝－某没有交点，4则F(某)＝4f(某)＋3某不存在零点．11．已知函数f(某)＝某k＋b(其中k，b∈R且k，b为常数)的图象经过A(4,2)、B(16,4)两点．(1)求f(某)的解析式；(2)如果函数g(某)与f(某)的图象关于直线y＝某对称，解关于某的不等式：g(某)＋g(某－2)>2a(某－2)＋4.k2＝4＋b1解(1)b＝0，k＝f(某)＝某.k24＝16＋b(2)设M(某，y)是曲线y＝g(某)上任意一点，由于函数g(某)与f(某)的图象关于直线y＝某对称，所以M(某，y)关于直线y＝某的对称点M′(y，某)必在曲线y＝f(某)上，所以某＝y，即y＝某2，所以g(某)＝某2(某≥0)，于是g(某)＋g(某－2)>2a(某－2)＋4某－2≥022某＋某－2>2a某－2＋4某≥2.某－a某－2>0①若a≤2，则不等式的解集为{某|某>2}；②若a>2，则不等式的解集为{某|某>a}．12．已知函数y＝f(某)的定义域为R，并对一切实数某，都满足f(2＋某)＝f(2－某)．(1)证明：函数y＝f(某)的图象关于直线某＝2对称；(2)若f(某)是偶函数，且某∈[0,2]时，f(某)＝2某－1，求某∈[－4,0]时f(某)的表达式．(1)证明设P(某0，y0)是函数y＝f(某)图象上任一点，则y0＝f(某0)，点P关于直线某＝2的对称点为P′(4－某0，y0)．因为f(4－某0)＝f[2＋(2－某0)]＝f[2－(2－某0)]＝f(某0)＝y0，所以P′也在y＝f(某)的图象上，所以函数y＝f(某)的图象关于直线某＝2对称．(2)解当某∈[－2,0]时，－某∈[0,2]，所以f(－某)＝－2某－1.又因为f(某)为偶函数，所以f(某)＝f(－某)＝－2某－1，某∈[－2,0]．当某∈[－4，－2]时，4＋某∈[0,2]，所以f(4＋某)＝2(4＋某)－1＝2某＋7，而f(4＋某)＝f(－某)＝f(某)，所以f(某)＝2某＋7，某∈[－4，－2]．2某＋7，某∈[－4，－2]，所以f(某)＝－2某－1，某∈[－2，0].。

2023年高考-数学(理科)考试备考题库附带答案9

2023年高考-数学（理科）考试备考题库附带答案第1卷一.全考点押密题库(共50题)1.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB = 90° ，C为该球面上的动点。

若三棱锥 O - ABC 体积的最大值为36，则球 O 的表面积为A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π正确答案：C,2.(填空题)(每题 5.00 分) 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为7/8,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5√15，则该圆锥的侧面积为.正确答案：40√2π，3.(单项选择题)(每题 5.00 分) 记SN.为等差数列αN}的前n项和.若3S3=S2+S4，α=2,则α5= {A. -12B. -10C. 10D. 12正确答案：B,4.(填空题)(每题5.00 分) 已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是_______?正确答案：-3√3/2，5.(单项选择题)(每题 5.00 分) 双曲线x2/α2-y2/b2=1(α>0,b>0)的离心率为√3，则其渐近线方程为A. y=±√2xB. y=±√3xC. y=±√2/2xD. y=±√3/2x正确答案：A,6.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A. 3√3/4B. 2√3/3C. 3√2/4D. √3/2正确答案：A,7.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知集合A=x∣x2-x-2>0}，则CRA={A. x∣-12}{D. {x∣x≦-1}∪{x∣x≧2}正确答案：B,8.(单项选择题)(每题 5.00 分) 在△ABC中，cos C/2=√5/5,BC=1,AC=5,则AB=A. 4√2B. √30C. √29D. 2√5正确答案：A,9.(填空题)(每题 5.00 分) 某髙科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。

广东高考理数大二轮专项训练专题等差数列和等比数列(含答案)

2016广东高考理数大二轮专项训练第1讲等差数列和等比数列考情解读 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．1．a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．等差数列和等比数列热点一等差数列例1 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6＝12，则S 7的值是( ) A ．21 B ．24 C ．28 D ．7(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若－1<a 3<1,0<a 6<3，则S 9的取值范围是________．思维启迪 (1)利用a 1＋a 7＝2a 4建立S 7和已知条件的联系；(2)将a 3，a 6的范围整体代入．答案 (1)C (2)(－3,21)解析 (1)由题意可知，a 2＋a 6＝2a 4，则3a 4＝12，a 4＝4，所以S 7＝7×(a 1＋a 7)2＝7a 4＝28.(2)S 9＝9a 1＋36d ＝3(a 1＋2d )＋6(a 1＋5d ) 又－1<a 3<1,0<a 6<3，∴－3<3(a 1＋2d )<3,0<6(a 1＋5d )<18，故－3<S 9<21.思维升华 (1)等差数列问题的基本思想是求解a 1和d ，可利用方程思想； (2)等差数列的性质①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，仍成等差数列； ③a m －a n ＝(m －n )d ⇔d ＝a m －a nm －n(m ，n ∈N *)；④a n b n ＝A 2n －1B 2n －1(A 2n －1，B 2n －1分别为{a n }，{b n }的前2n －1项的和)． (3)等差数列前n 项和的问题可以利用函数的性质或者转化为等差数列的项，利用性质解决．(1)已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64(2)在等差数列{a n }中，a 5<0，a 6>0且a 6>|a 5|，S n 是数列的前n 项的和，则下列说法正确的是( ) A ．S 1，S 2，S 3均小于0，S 4，S 5，S 6…均大于0 B ．S 1，S 2，…S 5均小于0，S 6，S 7，…均大于0 C ．S 1，S 2，…S 9均小于0，S 10，S 11…均大于0 D ．S 1，S 2，…S 11均小于0，S 12，S 13…均大于0 答案 (1)A (2)C解析 (1)因为a 8是a 7，a 9的等差中项，所以2a 8＝a 7＋a 9＝16⇒a 8＝8，再由等差数列前n 项和的计算公式可得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11·2a 62＝11a 6，又因为S 11＝992，所以a 6＝92，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，故选A. (2)由题意可知a 6＋a 5>0，故S 10＝(a 1＋a 10)×102＝(a 5＋a 6)×102>0，而S 9＝(a 1＋a 9)×92＝2a 5×92＝9a 5<0，故选C.热点二等比数列例2 (1)(2014·安徽)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝_____________________.(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n 等于( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1思维启迪 (1)列方程求出d ，代入q 即可；(2)求出a 1，q ，代入化简．答案 (1)1 (2)D解析 (1)设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ， a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1， ∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1.(2)∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，∴q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×(12)n －1＝42n ，∴S n ＝2×(1－(12)n )1－12＝4(1－12n )，∴S na n ＝4(1－12n )42n＝2n －1，故选D. 思维升华 (1){a n }为等比数列，其性质如下：①若m 、n 、r 、s ∈N *，且m ＋n ＝r ＋s ，则a m ·a n ＝a r ·a s ； ②a n ＝a m q n －m ；③S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列(q ≠－1)． (2)等比数列前n 项和公式 S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a nq1－q(q ≠1).①能“知三求二”；②注意讨论公比q 是否为1；③a 1≠0.(1)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8(2)在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝34，a 2·a n －1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 (1)D (2)B解析 (1)∵a 4－2a 27＋3a 8＝0，∴2a 27＝a 4＋3a 8，即2a 27＝4a 7，∴a 7＝2，∴b 7＝2，又∵b 2b 8b 11＝b 1qb 1q 7b 1q 10＝b 31q 18＝(b 7)3＝8，故选D.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2a n －1＝a 1a n ＝64，又a 1＋a n ＝34，解得a 1＝2，a n ＝32或a 1＝32，a n ＝2.当a 1＝2，a n ＝32时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q 1－q ＝62，解得q ＝2.又a n ＝a 1q n －1，所以2×2n －1＝2n ＝32，解得n ＝5.同理，当a 1＝32，a n ＝2时，由S n ＝62，解得q ＝12.由a n ＝a 1q n －1＝32×(12)n －1＝2，得(12)n －1＝116＝(12)4，即n －1＝4，n ＝5.综上，项数n 等于5，故选B.热点三等差数列、等比数列的综合应用例3 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．思维启迪 (1)利用方程思想求出a 1，代入公式求出a n 和S n ；(2)将恒成立问题通过分离法转化为最值．解 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，∴a 1＝4， ∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n (9－n )2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m ＝4[1－(12)m ]1－12＝8[1－(12)m ]，∵(12)m 随m 增加而递减， ∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n (9－n )2＝－12(n 2－9n )＝－12[(n －92)2－814]，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ，则10<4＋λ，得λ>6.即实数λ的取值范围为(6，＋∞)．思维升华等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．(2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问题，求解时用等差(比)数列的相关知识，将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可．已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)，求证：1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n <12.(1)解 ∵12，a n ，S n 成等差数列，∴2a n ＝S n ＋12，当n ＝1时，2a 1＝S 1＋12，∴a 1＝12，当n ≥2时，S n ＝2a n －12，S n －1＝2a n －1－12，两式相减得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1， ∴a na n －1＝2， ∴数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，∴a n ＝12×2n －1＝2n －2.(2)证明 b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)＝log 222n ＋1－2×log 222n ＋3－2＝(2n －1)(2n ＋1)， 1b n ＝12n －1×12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)， 1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)<12(n ∈N *)．即1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n <12.1．在等差(比)数列中，a 1，d (q )，n ，a n ，S n 五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d (公比q )这两个基本量的有关运算． 2．等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．3．等差、等比数列的单调性 (1)等差数列的单调性d >0⇔{a n }为递增数列，S n 有最小值． d <0⇔{a n }为递减数列，S n 有最大值． d ＝0⇔{a n }为常数列． (2)等比数列的单调性当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }为递增数列，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }为递减数列． 4．常用结论(1)若{a n }，{b n }均是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则{ma n ＋kb n }，{S nn }仍为等差数列，其中m ，k 为常数．(2)若{a n }，{b n }均是等比数列，则{ca n }(c ≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }，{ma n b n }(m 为常数)，{a 2n }，{1a n }仍为等比数列．(3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…，成等比数列，且公比为a 3－a 2a 2－a 1＝(a 2－a 1)qa 2－a 1＝q .(4)等比数列(q ≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，成等比数列，其公差为q k .等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，成等差数列，公差为k 2d . 5．易错提醒(1)应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．(2)三个数a ，b ，c 成等差数列的充要条件是b ＝a ＋c2，但三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b2＝ac.真题感悟1．(2014·大纲全国)等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg a n}的前8项和等于() A．6 B．5 C．4 D．3答案 C解析数列{lg a n}的前8项和S8＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4.2．(2014·北京)若等差数列{a n}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{a n}的前n项和最大．答案8解析∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<－a8<0.∴数列的前8项和最大，即n＝8.押题精练1．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列一定成立的是()A．若a3>0，则a2 013<0B．若a4>0，则a2 014<0C．若a3>0，则a2 013>0D．若a4>0，则a2 014>0答案 C解析因为a3＝a1q2，a2 013＝a1q2 012，而q2与q2 012均为正数，若a3>0，则a1>0，所以a2 013>0，故选C.2．已知数列{a n}是首项为a，公差为1的等差数列，b n＝1＋a na n.若对任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，则实数a的取值范围为________．答案(－8，－7)解析a n＝a＋(n－1)×1＝n＋a－1，所以b n＝1＋a na n＝n＋an＋a－1，因为对任意的n∈N*，都有b n ≥b 8成立，即n ＋a n ＋a －1≥8＋a 8＋a －1(n ∈N *)恒成立，即n －8(a ＋7)(n ＋a －1)≤0(n ∈N *)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7<0，1－a <9，解得－8<a <－7. 3．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14恰好是等比数列{b n }的前三项． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，(T n ＋32)k ≥3n －6恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)当n ≥2时，由题设知4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，∴4a n ＝4S n －4S n －1＝a 2n ＋1－a 2n －4， ∴a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2，∵a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2.∴当n ≥2时，{a n }是公差d ＝2的等差数列． ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴a 25＝a 2·a 14，(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3，由条件可知，4a 1＝a 22－5＝4，∴a 1＝1， ∵a 2－a 1＝3－1＝2，∴{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. ∵等比数列{b n }的公比q ＝a 5a 2＝2×5－13＝3，∴等比数列{b n }的通项公式为b n ＝3n . (2)T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝3(1－3n )1－3＝3n ＋1－32，∴(3n ＋1－32＋32)k ≥3n －6对任意的n ∈N *恒成立，∴k ≥2n －43n 对任意的n ∈N *恒成立，令c n ＝2n －43n ，c n －c n －1＝2n －43n －2n －63n －1＝－2(2n －7)3n ，当n ≤3时，c n >c n －1；当n ≥4时，c n <c n －1. ∴(c n )max ＝c 3＝227，∴k ≥227.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．等比数列{a n }中a 1＝3，a 4＝24，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 答案 C解析由题意可得q 3＝8，所以q ＝2.所以a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝84. 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝6＋a 7，则S 9的值是( ) A ．27 B ．36 C ．45 D ．54 答案 D解析由2a 6＝6＋a 7得a 5＝6，所以S 9＝9a 5＝54.故选D.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C解析由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝－2，又S m ＝a 1－a m q1－q ＝－11，故a 1＝－1，又a m ＝a 1·q m －1＝－16，代入可求得m ＝5.4．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )A ．0B ．3C ．8D ．11 答案 B解析 ∵{b n }为等差数列，设其公差为d ，由b 3＝－2，b 10＝12，∴7d ＝b 10－b 3＝12－(－2)＝14，∴d ＝2，∵b 3＝－2，∴b 1＝b 3－2d ＝－2－4＝－6，∴b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋7×62·d ＝7×(－6)＋21×2＝0，又b 1＋b 2＋…＋b 7＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝a 8－a 1＝a 8－3，∴a 8－3＝0，a 8＝3.故选B.5．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2 014等于( ) A.16B ．－16C ．6D ．－6答案 D解析由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1得a n ＋1＝1＋a n 1－a n，而a 1＝2，所以a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，则数列是以4为周期，且a 1a 2a 3a 4＝1，所以T 2 014＝(a 1a 2a 3a 4)503a 1a 2＝1503×2×(－3)＝－6，故选D.6．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4 000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，Q (2 011，a 2 011)，则OP →·OQ →等于( )A ．2 011B ．－2 011C ．0D ．1答案 A解析由S 21＝S 4 000得a 22＋a 23＋…＋a 4 000＝0，由于a 22＋a 4 000＝a 23＋a 3 999＝…＝2a 2 011，所以a 22＋a 23＋…＋a 4 000＝3 979a 2 011＝0，从而a 2 011＝0，而OP →·OQ →＝2 011＋a 2 011a n ＝2 011.二、填空题7．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝________. 答案 3解析设等比数列{a n }的公比为q ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝8，a 1q 4＋a 1q 6＝4，解得q 4＝12. 又a 9＋a 11＝a 1q 8＋a 3q 8＝(a 1＋a 3)q 8＝8×(12)2＝2， a 13＋a 15＝a 1q 12＋a 3q 12＝(a 1＋a 3)q 12＝8×(12)3＝1，所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3.8．(2014·广东)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝______.答案 50解析因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n ＝________. 答案 6解析设等差数列的公差为d ，则由a 4＋a 6＝－6得2a 5＝－6，∴a 5＝－3.又∵a 1＝－11，∴－3＝－11＋4d ，∴d ＝2，∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，故当n ＝6时，S n 取最小值．10．已知数列{a n }的首项为a 1＝2，且a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＝________，a n ＝________.答案 2×⎝⎛⎭⎫32n －1⎩⎪⎨⎪⎧ 2 (n ＝1)，⎝⎛⎭⎫32n －2(n ≥2)解析由a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，可得a n ＋1＝12S n ，所以S n ＋1－S n ＝12S n ，即S n ＋1＝32S n ，由此可知数列{S n }是一个等比数列，其中首项S 1＝a 1＝2，公比为32，所以S n ＝2×⎝⎛⎭⎫32n －1，由此得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)，⎝⎛⎭⎫32n －2(n ≥2).三、解答题11．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列． (1)解设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d .依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15.解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d .依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54. 所以b n ＝b 1·q n －1＝54·2n －1＝5·2n －3，即数列{b n }的通项公式b n ＝5·2n －3.(2)证明由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n )1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2. 所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此{S n ＋54}是以52为首项，2为公比的等比数列． 12．若数列{b n }对于n ∈N *，都有b n ＋2－b n ＝d (常数)，则称数列{b n }是公差为d 的准等差数列，如数列{c n }，若c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n －1，n 为奇数，4n －9，n 为偶数，则数列{c n }是公差为8的准等差数列．设数列{a n }满足a 1＝a ，对于n ∈N *，都有a n ＋a n ＋1＝2n .(1)求证：{a n }为准等差数列；(2)求{a n }的通项公式及前20项和S 20.(1)证明 ∵a n ＋1＋a n ＝2n ，①∴a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋2.②由②－①得a n ＋2－a n ＝2(n ∈N *)，∴{a n }是公差为2的准等差数列．(2)解已知a 1＝a ，a n ＋1＋a n ＝2n (n ∈N *)，∴a 1＋a 2＝2，即a 2＝2－a .∴由(1)可知a 1，a 3，a 5，…，成以a 为首项，2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…，成以2－a 为首项，2为公差的等差数列．∴当n 为偶数时，a n ＝2－a ＋(n 2－1)×2＝n －a ，当n 为奇数时，a n ＝a ＋(n ＋12－1)×2＝n ＋a －1， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋a －1，n 为奇数，n －a ，n 为偶数. S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 19＋a 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝2×1＋2×3＋…＋2×19＝2×(1＋19)×102＝200. 13．(2013·湖北)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18.即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n . 假设存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，得n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}．。

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第39练二项式定理的两类重点题型——求和与求展开项题型一用公式求展开项例1 若(x ＋2x 2)n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．360 B ．180 C ．90 D ．45破题切入点从第六项二项式系数最大可得n 值，再利用展开式的通项公式即可．答案 B解析依题意知：n ＝10，∴T k ＋1＝C k 10(x )10－k ·(2x 2)k ＝C k 102k ·x 5－52k ，令5－52k ＝0，得k ＝2， ∴常数项为C 21022＝180.题型二赋值法求系数之和例2 若(1＋2x )2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n －1x 2n －1＋a 2n x 2n ，则a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝________. 破题切入点令x ＝±1可得关于各项系数的两个方程，联立方程即可求解．答案 3n －12解析令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝3n ；①令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n ＝1.②①－②，可得a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝3n －12. 总结提高 (1)(1)在使用通项公式T k ＋1＝C k n a n －k b k 时，通项公式表示的是第k ＋1项的值，而不是第k 项的值，展开式中第k ＋1项的二项式系数C k n 与第k ＋1项的系数不同．(2)二项展开式中项的系数的和或差可以通过对二项式展开式两端字母的赋值进行解决，一般是对x 赋值为±1或0.另外要注意掌握(1＋x )n 展开式中各项系数的绝对值的和就是展开式中各项系数的和，只需令x ＝1即可．而要求(1－x )n 的展开式中各项系数的绝对值的和，只需令x ＝－1即可．1．(2014·四川)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．10答案 C解析因为(1＋x )6的展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 6x k ，x (1＋x )6的展开式中含x 3的项为C 26x3＝15x 3，所以系数为15.2．(2014·浙江)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)等于( )A ．45B ．60C ．120D ．210答案 C解析因为f (m ，n )＝C m 6C n 4，所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.3．设⎝⎛⎭⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( )A ．－150B ．150C ．300D ．－300答案 B解析 M ＝⎝⎛⎭⎫5×1－11n ＝4n ，N ＝2n ⇒4n －2n ＝240⇒2n ＝16⇒n ＝4，T r ＋1＝(－1)r C r 4·54－r ·x 4－3r 2⇒r ＝2，则(－1)2C 24·52＝150. 4．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．11D ．12答案 D解析化51为52－1，用二项式定理展开．512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012522 012－C 12 012522 011＋…＋C 2 0112 012×52×(－1)2 011＋C 2 0122 012×(－1)2 012＋a .因为52能被13整除，所以只需C 2 0122 012×(－1)2 012＋a 能被13整除，即a ＋1能被13整除，因为0≤a <13，所以a ＝12.5．若(1＋x )(2－x )2 011＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 011x 2 011＋a 2 012x 2 012，则a 2＋a 4＋…＋a 2 010＋a 2 012等于( )A ．2－22 011B ．2－22 012C ．1－22 011D ．1－22 012答案 C解析采用赋值法，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 011＋a 2 012＝2，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 011＋a 2 012＝0，把两式相加，得2(a 0＋a 2＋…＋a 2 012)＝2，所以a 0＋a 2＋…＋a 2 012＝1，又令x ＝0，得a 0＝22 011，所以a 2＋a 4＋…＋a 2 010＋a 2 012＝1－22 011.故选C.6．设f (x )是⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 6展开式的中间项，若f (x )≤mx 在区间⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，5)B ．(－∞，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)答案 D解析由于T k ＋1＝C k 6⎝⎛⎭⎫12k x 12－3k ，故展开式中间的一项为T 3＋1＝C 36·⎝⎛⎭⎫123·x 3＝52x 3，f (x )≤mx ⇔52x 3≤mx 在⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，即m ≥52x 2，又52x 2≤5，故实数m 的取值范围是m ≥5. 7．(2014·大纲全国)⎝⎛⎭⎫x y －y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________．(用数字作答) 答案 70解析由T k ＋1＝C k 8(x y )8－k (－y x)k ＝(－1)k C k 8x 8－3k 2y 32k －4知，要求x 2y 2的系数，则⎩⎨⎧ 8－3k 2＝2，32k －4＝2，解得k ＝4，∴x 2y 2的系数为(－1)4C 48＝70. 8．(2014·山东)若(ax 2＋b x)6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．答案 2解析 (ax 2＋b x )6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(ax 2)6－k ·(b x)k ＝C k 6a 6－k b k x 12－3k ，令12－3k ＝3，得k ＝3，由C 36a 6－3b 3＝20得ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，故a 2＋b 2的最小值为2.9．(2014·成都模拟)已知(x ＋a x)6(a >0)的展开式中常数项为240，则(x ＋a )(x －2a )2的展开式中x 2项的系数为________．答案－6解析 (x ＋a x )6的二项展开式的通项T k ＋1＝C k 6x 6－k (a x )k ＝C k 6a k x 6－3k 2，令6－3k 2＝0，得k ＝4，则其常数项为C 46a 4＝15a 4＝240，则a 4＝16，由a >0，故a ＝2.又(x ＋a )(x －2a )2的展开式中，x2项为－3ax 2，故x 2项的系数为(－3)×2＝－6.10．(1－x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为________．答案 0解析 ∵T k ＋1＝C k 20(－x 12)k ＝(－1)k ·C k 20·x 2k，∴x 与x 9的系数分别为C 220与C 1820.又∵C 220＝C 1820，∴C 220－C 1820＝0.11．已知(1＋2x )n 的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的56. (1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；(2)求展开式中的有理项．解根据题意，设该项为第r ＋1项，则有⎩⎪⎨⎪⎧ C r n 2r ＝2C r －1n 2r －1，C r n 2r ＝56C r ＋1n 2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧ C r n ＝C r －1n，C r n ＝53C r ＋1n ，亦即⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝2r －1，n ！r ！(n －r )！＝53×n ！(r ＋1)！(n －r －1)！，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，n ＝7. (1)令x ＝1得展开式中所有项的系数之和为(1＋2)7＝37＝2 187.所有项的二项式系数之和为27＝128.(2)展开式的通项为T r ＋1＝C r 72r x r 2，r ≤7且r ∈N . 于是当r ＝0,2,4,6时，对应项为有理项，即有理项为T 1＝C 0720x 0＝1，T 3＝C 2722x ＝84x ，T 5＝C 4724x 2＝560x 2，T 7＝C 6726x 3＝448x 3.12．已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n . (1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，所以n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.所以T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫124×23＝352， T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫123×24＝70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.所以T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫12727＝3 432. (2)因为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，所以n ＝12或n ＝－13(舍去)．设T k ＋1项的系数最大．因为⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭⎫1212(1＋4x )12，所以⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1，所以9.4≤k ≤10.4. 又因为0≤k ≤12且k ∈N ，所以k ＝10. 所以展开式中系数最大的项为T 11.T 11＝⎝⎛⎭⎫1212C 1012410x 10＝16 896x 10.。