高中数学四种命题经典例题
高二数学命题及其关系试题答案及解析
高二数学命题及其关系试题答案及解析1.对任意复数、，定义，其中是的共轭复数.对任意复数、、，有如下四个命题：①；②；③；④.则真命题的个数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】①为真;②为真; ，而③为假；而④为假,答案选B.【考点】复数的概念与运算2.定义“正对数”：，现有四个命题：①若，则②若，则③若，则④若，则其中的真命题有：__________.（写出所有真命题的编号）【答案】①③④【解析】因为定义的“正对数”：是一个分段函数，所以对命题的判断必须分情况讨论：对于命题①（1）当，时，有，从而，，所以；（2）当，时，有，从而，，所以；这样若，则，即命题①正确.对于命题②举反例：当时，，所以，即命题②不正确.对于命题③，首先我们通过定义可知“正对数”有以下性质：，且，（1）当，时，，而，所以；（2）当，时，有，，而，因为，所以；（3）当，时，有，，而，所以；（4）当，时，，而，所以，综上即命题③正确.对于命题④首先我们通过定义可知“正对数”还具有性质：若，则，（1）当，时，有，从而，，所以；（2）当，时，有，从而，，所以；（3）当，时，与（2）同理，所以；（4）当，时，，，因为，所以，从而，综上即命题④正确.通过以上分析可知：真命题有①③④.【考点】指数函数、对数函数及不等式知识的综合.3.某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得（）A．当时，该命题不成立B．当时，该命题成立C．当时，该命题成立D．当时，该命题不成立【答案】D【解析】“当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立”它的逆否命题为“当时该命题不成立，那么当时该命题也不成立”，因为它们同真，所以当时该命题不成立，那么可推得当时，该命题也不成立，故选择D.【考点】四种命题和数学归纳法.4.已知，命题，命题.⑴若命题为真命题，求实数的取值范围；⑵若命题为真命题，命题为假命题，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）.【解析】（1）此小题即为恒成立问题，只需当时，恒成立即可；（2）对于q为真，只要，而命题为真命题，命题为假命题反映的是命题p与命题q一个为真另一个为假，分类讨论即可.试题解析：因为命题，令，所以，根据题意，只要时，即可，也就是，即；⑵由⑴可知，当命题p为真命题时，，命题q为真命题时，，解得，因为命题为真命题，命题为假命题，所以命题p与命题q一真一假，当命题p为真，命题q为假时，，当命题p为假，命题q为真时，，综上所述：或.【考点】恒成立问题，复合命题的基本概念，解不等式组，分类讨论的数学思想.5.下列命题中，真命题是()A．∃x∈R，e x≤0B．∀x∈R,2x＞x2C．a＋b＝0的充要条件是＝－1D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件【答案】【解析】中,在上恒成立,错误;中,当时,两者相等,错误;中,时, ,错误;所以选择.【考点】命题真假判断;条件判断.6.命题“”的否定为．【答案】，；【解析】全称命题的否定为特称命题，且结论变否定，∴命题的否定为“，”.【考点】逻辑与命题.7.下列命题错误的A．命题“若lnx＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则lnx≠0”B．“x>2”是“<”的充分不必要条件C．命题p：∈R，使得sinx>1，则p：∈R，均有sinx≤1D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题【答案】D【解析】若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个是假命题.故D错误.【考点】命题的真假判断.8.已知命题函数在上单调递增；命题不等式的解集是．若且为真命题，则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】由且为真命题知真真，若命题为真，则；若命题为真，则，解得，∴.【考点】逻辑关系、不等式的解法.9.给定两个命题,.若是的必要而不充分条件,则是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题可知不能推出，能推出，根据互为逆否命题同真同假，则可得：不能推出，能推出,所以是的充分而不必要条件.【考点】逆否命题的真假判定，充要条件.10.设命题：函数在区间上单调递减；命题：函数的最小值不大于0．如果命题为真命题，为假命题，求实数的取值范围．【答案】a∈(－∞，－2]∪[2,3)．【解析】由p为真命题，能够推导出a≥3．再由q为真命题，能够推导出a≤-2或a≥2．由题意P 和q有且只有一个是真命题，所以p真q假⇔⇔a∈ϕ，p假q真⇔⇔a≤-2或2≤a＜3．由此能够得到a的取值范围．试题解析：p为真命题⇔f′(x)＝3x2－a≤0在[－1,1]上恒成立⇔a≥3x2在[－1,1]上恒成立⇔a≥3.q为真命题⇔Δ＝a2－4≥0恒成立⇔a≤－2或a≥2.由题意p和q有且只有一个是真命题．p真q假⇔⇔a∈∅；p假q真⇔⇔a≤－2或2≤a<3.综上所述：a∈(－∞，－2]∪[2,3)．【考点】命题的真假判断与应用．11.若命题“”为真命题，则（）A．均为真命题B．中至少有一个为真命题C．中至多有一个为真命题D．均为假命题【答案】C【解析】因为命题“”为真命题，所以为假命题，因此中至少有一个为假命题，也即中至多有一个为真命题，所以选C.【考点】命题的真值表12.记命题p为“若a＝b，则cosa＝cosb”，则在命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是．【答案】2【解析】命题p为“若a＝b，则cosa＝cosb”，显然为真命题，所以其逆否命题也为真命题；命题p的逆命题为“若cosa＝cosb，则a＝b”为假命题，所以其逆否命题，即命题p的否命题也为假命题. 真命题个数是2.【考点】四种命题关系及真假判断13.下列命题中，真命题的是 .①必然事件的概率等于l②命题“若b＝3，则b2＝9”的逆命题③对立事件一定是互斥事件④命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题【答案】①③④【解析】②“若b＝3，则b2＝9”的逆命题为“若b2＝9，则b＝3”明显错误，为假命题；①③④均为真命题.【考点】逻辑与命题.14.下列命题中，真命题的是 .①必然事件的概率等于l②命题“若b＝3，则b2＝9”的逆命题③对立事件一定是互斥事件④命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题【答案】①③④【解析】②“若b＝3，则b2＝9”的逆命题为“若b2＝9，则b＝3”明显错误，为假命题；①③④均为真命题.【考点】逻辑与命题.15.命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数【答案】C【解析】由定义知，命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，而“都是”的否定为“不都是”，所以正确答案是C.【考点】命题的逆否命题16.下列命题①命题“若，则”的逆否命题是“若，则”.②命题③若为真命题，则p,q均为真命题.④“”是“”的充分不必要条件。
高一数学上 第一章：1.7.1四种命题
高一数学上第一章：1.7.1四种命题一、导入新课1、两个命题中, 如果第一个命题的条件(或题设) 是第二个命题的结论, 且第一个命题的结论是第二个命题的条件, 那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。
例如, 如果原命题是（1）同位角相等,两直线平行;它的逆命题是(2)两直线平行, 同位角相等.命题“同位角相等，两条直线平行”除了能构成它的逆命题外，是否还可以构成其它形式的命题？(1)同位角相等, 两直线平行;(2)两直线平行, 同位角相等.再看下面两个命题:(3)同位角不相等, 两直线不平行;(4)两直线不相等,同位角不平行.在命题(1)与命题(3)中,一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定,这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题.(1)同位角相等, 两直线平行;(4)两直线不相等, 同位角不平行.在命题(1)与命题(4)中,一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题。
一般地, 用p和q分别表示原命题的条件和结论, 用﹁p和﹁q分别表示p和q的否定. 于是四种命题的形式就是:原命题若p则q;逆命题若q则p;否命题若﹁ p则﹁ q;逆否命题若﹁q 则﹁ p;例1 把下列命题改写成“若p则q”的形式,并写出它们们的逆命题、否命题与逆否命题：（1）负数的平方是正数；（2）正方形的四条边相等.分析:关键是找出原命题的条件p与结论q.解: (1) 原命题可以写成: 若一个数是负数,则它的平方是正数.逆命题 :若一个数的平方是正数,则它是负数否命题: 若一个数不是负数,则它的平方不是正数.逆否命题: 若一个数的平方不是正数, 则它不是负数.（2）正方形的四条边相等(2) 原命题可以写成: 若一个四边形是正方形,则它的四条边相等.逆命题 :若一个四边形的四条边相等, 则它是正方形.否命题: 若一个四边形不是正方形, 则它的四条边不相等.逆否命题: 若一个四边形的四条边不相等, 则它不是正方形.课堂练习: 课本第30页二、四种命题的关系画出关系图：（略）练习、写出下列各命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．1、若 a = 0, 则 ab = 0 ．2、负数的立方是负数．3、若 x<0，则x>1．4、质数一定是奇数.总结上例四种命题的真假关系原命题的真假与其他三种命题的真假有什么关系？1．原命题为真，它的逆命题不一定为真．2．原命题为真，它的否命题不一定为真．3．原命题为真，它的逆否命题一定为真．四、四种命题与集合的联系命题：若x>1，则x>0. 语句p： x>1；语句q：x>0令A={x| x>1}； B={x| x>0}；即 A={x| p(x)为真}； B={x| q(x)为真}集合A包含于集合B，集合B不包含于集合A，B的补集包含于A的补集，B的补集不包含于A的补集所以：“若p，则q” 为真命题；“若q ，则p”为假命题；“若﹁ p，则﹁q”为假命题；“若﹁q ，则﹁p”为真命题；课堂练习：课本P32习题1.7 第4题:写出下列命题的其它三种命题,并判断真假.(1)若a+5是无理数, 则a是无理数.(2)矩形的两条对角线相等.课堂小结:1、写出四种命题时,需准确找出原命题的因果关系,即找出条件与结论.将命题写成“若……，则……”的形式；2、互为逆否的两个命题的真假值相同。
2019年高考数学总复习：四种命题的真假
2019 年高考总复习：命题的真假1．下列命题中是假命题的是 ( )A．? x∈R，log2x＝0 B．? x∈R， cosx＝12xC．? x∈R，x2>0 D ．? x∈R，2x>0答案 C解析因为 log 21＝ 0， cos0＝ 1，所以 A 、B 项均为真命题， 02＝ 0， C 项为假命题，2x>0，选项 D 为真命题．2．(2018 ·广东梅州联考 )已知命题 p：? x1，x2∈R，[f(x 1)－f(x2)](x 1－ x2)≥ 0，则非 p 是( ) A．? x1，x2?R，[f(x 1) －f(x 2)](x 1－ x2)<0B．? x1， x2∈ R， [f(x 1)－ f(x 2)](x 1－x2)<0C．? x1，x2?R，[f(x 1)－ f(x 2)](x 1－x2)<0D．? x1，x2∈R，[f(x1)－f(x 2)](x1－x2)<0答案 B解析根据全称命题否定的规则“ 改量词，否结论”，可知选 B.223．已知命题 p：若 x>y ，则－ x<－y；命题 q：若 x>y，则 x2>y2.在命题① p∧q；②p∨q；③p∧(非q)；④ (非 p)∨q中，真命题是 ( )A ．①③B ．①④C．②③ D ．②④答案 C解析若 x>y ，则－ x<－y 成立，即命题 p 正确；若 x>y，则 x2>y2不一定成立，即命题x 12 12C．? x∈R，2x≥2且 x2≤x D ．? x0∈R，2x0≥2且 x02≤x0答案 C解析特称命题的否定是全称命题，注意“ 或”的否定为“且”，故选 C.5．已知集合 A＝｛y|y＝x2＋2｝，集合 B＝｛x|y＝lg x － 3｝，则下列命题中真命题的个数是 ( )①? m∈ A， m?B；② ? m∈B，m?A ；③? m∈A，m∈B；④ ? m∈B，m∈A.A ． 4B ． 3C．2 D ．1q 不正确；则非 p是假命题，非 q为真命题，故 p∨q与 p∧(非 q)是真命题，故选 C.124．(2018 ·浙江临安一中模拟 )命题“ ? x0∈R ， 2x0<2或 x02>x0”的否定是 ( )1 2 x 1 2A．? x0∈R， 2x0≥12或 x02≤x0 B．? x∈R，2x≥12或 x2≤x答案 C解析因为 A ＝ {y|y ＝ x 2＋ 2} ，所以 A＝ {y|y ≥ 2} ，因为 B＝{x|y＝lg x－3} ，所以 B ＝ {x|x>3} ，所以 B 是 A 的真子集，所以①④为真，②③为假命题，所以真命题的个数为2，故选 C. 6．命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是 ( )A．所有不能被 2 整除的整数都是偶数B．所有能被 2 整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被 2 整除的整数是偶数D．存在一个能被 2 整除的整数不是偶数答案 D解析否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，故选 D.7．已知命题 p：? x0∈R，mx02＋1≤0；命题 q：? x∈R，x2＋mx＋1>0.若 p∨q 为假命题，则实数 m 的取值范围为 ( )A．{m|m ≥2} B．{m|m ≤－ 2}C．{m|m ≤－ 2或 m≥2} D．{m|－2≤m≤2}答案 A解析由 p：? x∈R，mx2＋1≤ 0，可得 m<0；由 q：? x∈R，x2＋mx＋1>0，可得Δ＝m2 －4<0，解得－ 2<m<2. 因为 p∨q 为假命题，所以 p 与 q 都是假命题，若 p 是假命题，则有 m≥0；若 q 是假命题，则有 m≤－2或 m≥ 2，故实数 m 的取值范围为 {m|m ≥ 2} ．故选 A.8．(2018 ·河北保定模拟 )命题“ ? x>0 ，xi >0”的否定是 ( )x0x0>0，－01≤0 或 x0＝1”，即“? x0>0，0≤ x0－1x0≤ 1”，故选 B.9．(2018 ·山东潍坊一模 )已知 p：函数 f(x) ＝(x－a)2在(－∞，－ 1)上是减函数，q：? x>0，a x2＋1≤ x x恒成立，则非 p 是 q 的 ( )xA．充分不必要条件C．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 p：函数 f(x)＝(x－a)2在(－∞，－1)上是减函数，所以－ 1≤ a，所以非 p：a<－1.x － 1x0 A．? x0<0，0≤ 0 x0－1x C． ? x>0，≤0x－1答案 B B ．? x0>0， 0≤ x0≤1 D．? x<0 ，0≤ x≤1解析x命题“? x>0，>0”的否定为x－1B．必要不充分条件x2＋ 1 1 1q：因为 x>0，所以x＝x＋x≥ 2 x·x＝2，x x xx＝1 时取等号，所以 a≤2.当且仅当则非 p 是 q 的充分不必要条件，故选 A.10．已知命题 p1：函数 y＝2x－2－x在R 上为增函数， p2：函数 y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题 q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（非 p1）∨p2和q4：p1∧（非 p2）中，真命题是 ________________________________________________________________________________________答案 q1， q4解析 p1是真命题，则非 p1为假命题； p2是假命题，则非 p2 为真命题．∴q1： p1∨ p2 是真命题， q2：p1∧p2 是假命题．∴q3：（非 p1）∨p2 为假命题， q4：p1∧（非 p2）为真命题．∴真命题是 q1， q4.π11．若“ ? x∈[0，4 ]，tanx≤m”是真命题，则实数 m 的最小值为________ ．答案 1π解析∵? x∈[0，4 ]，tanx∈[0，1]．∴m≥1，∴m 的最小值为 1.12．命题“任意 x∈R，存在 m∈Z，m2－m<x2＋x＋1”是 _____ 命题．（填“真”或“假” ）．答案真解析由于任意 x∈R，x2＋x＋1＝（x＋21）2＋43≥ 43，因此只需 m2－m<43，即－12<m< 32，即 0≤m≤1，所以当 m＝0或 m＝1 时，任意 x∈R，存在 m∈ Z ， m2－ m<x 2＋ x ＋1成立，因此该命题是真命题．13．（2018 ·北京朝阳区模拟）已知函数 f（x）＝a2x－2a＋1.若命题“ ? x∈（0，1），f（x）≠0”是假命题，则实数 a 的取值范围是．1答案（21，1）∪（1，＋∞ ）解析已知函数 f（x）＝a2x－2a＋1，命题“? x∈（0，1），f（x）≠0”是假命题，∴原命题的否定是：“存在实数 x0∈（0，1），使 f（x0）＝0”是真命题，∴ f（1）f（0）<0 ，即（a2－2a＋1）（－2a＋1）<0，21∴（a－1）2（2a－1）>0 ，解得 a>2，且 a≠1，∴实数 a的取值范围是（21，1）∪（1，＋∞）．14．（2018 ·山东青岛模拟）已知命题 p：? x0∈R，使 tanx0＝1；命题 q：x2－3x＋2<0 的解集是 {x|1<x<2} ，现有以下结论：①命题“ p且 q”是真命题；②命题“ p 且非 q”是假命题；③命题“非 p或 q”是真命题；④____________________ 命题“非 p 或非 q”是假命题．其中正确结论的序号为__________________________________ ． (写出所有正确结论的序号 )答案①②③④π解析当 x0＝时， tanx0＝ 1，所以命题 p 为真；不等式 x2－ 3x＋ 2<0 的解集是{x|1<x<2} ， 4所以命题 q也为真，故命题“p且 q”是真命题，①正确；命题“p且非 q”是假命题，②正确；命题“非 p 或 q”是真命题，③正确；命题“非 p 或非 q” 是假命题，④正确．15．(2018 山·东潍坊质检 )已知命题 p：? x>0，2ax－lnx≥0.若命题 p 的否定是真命题，则实数 a 的取值范围是．1答案 (－∞，21e)解析命题 p 的否定是： ? x0>0， 2ax0－lnx 0<0，即不等式 2ax－ lnx<0 有解．而不等式2axlnx lnx 1－ lnx 1 －lnx<0 可化为 2a< x，令 g(x)＝x，则 g′ (x)＝x2 ，可得 g(x)在 x＝e 处取得最大值e，因此要使不等式 2a<lnx有解，只需 2a<1，即 a<1.x e 2e16．若命题“ ? x0∈R，x02＋(a－1)x0＋1≤0”为假命题，则实数 a 的取值范围为 _______ ．答案 (－1， 3)解析由“? x 0∈ R ，x 02＋ (a－ 1)x 0＋ 1≤ 0”为假命题，得“? x ∈R ，x2＋ (a－ 1)x ＋ 1>0” 为真命题，所以Δ＝ (a－ 1)2－ 4<0 ，解得－ 1<a<3，所以 a 的取值范围为 (－1，3)．17．若 f(x) ＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，? x1∈［－1，2］，? x0∈［－1，2］，使 g(x 1) ＝ f(x 0)，则实数 a 的取值范围是．1答案 (0，12］解析由于函数 g(x)在定义域［－ 1，2］内是任意取值的，且必存在 x0∈［－1，2］，使得 g(x1) ＝f(x 0) ，因此问题等价于函数 g(x)的值域是函数 f(x)值域的子集．函数 f(x)的值域是［－1，13］，函数 g(x) 的值域是［2 － a，2＋ 2a］，则有 2－a≥－1 且 2＋2a≤3，即 a≤2.又a>0，故 a 的取值范围是 (0，12］．18． (2017 安·徽毛坦厂中学模拟 )已知命题 p：实数 x 满足 x2－ 4ax＋3a2<0(a>0)，q：实数 x x2－x－6≤ 0，x2＋2x－8>0.满足2(1)若 a＝1，且 p∧q 为真，求实数 x 的取值范围；(2)若非 p是非 q 的充分不必要条件，求实数 a的取值范围．答案 (1)(2，3) (2)(1 ，2］22解析 由 x 2－4ax ＋ 3a 2<0(a>0)，得 a<x<3a ，（1）a ＝ 1 时， p ： 1<x<3. 由 p ∧ q 为真，得 p ，q 均为真命题， 1<x<3 ， 则 得 2<x<3. 2<x ≤ 3，所以实数 x 的取值范围为 （2， 3）．（2）令 A ＝｛x|a<x<3a ｝ ， B ＝｛x|2<x ≤3｝． 由题意知， p 是 q 的必要不充分条件，0<a ≤ 2， 所以 所以 1<a ≤ 2. 3a>3，所以实数 a 的取值范围为 （1，2］．1．（2018 衡·中调研卷 ）已知命题 p ：方程 x 2－2ax －1＝0 有两个实数根； 命题 q ：函数 f （x ） ＝x 4＋x 的最小值为 4.给出下列命题：① p ∧q ；② p ∨q ；③p ∧（非 q ）；④ （非 p ）∨（非 q ）．则其中 x 真命题的个数为 （ ） A ．1 C ．3 D ．4答案 C解析 由于 Δ＝4a 2＋4>0，所以方程 x 2－2ax －1＝0 有两个实数根，即命题 p 是真命题；当4x<0 时， f （x ） ＝ x ＋x 4的值为负值，故命题 q 为假，所以 p ∨q ，p ∧ （非 q ），（非 p ）∨（非 q ）是真x 命题，故选 C.π2．（2017 四·川绵阳中学模拟 ）已知命题 p ：? x ∈［0， 2 ］，cos2x ＋cosx －m ＝0为真命题，则 实数 m 的取值范围是 ． 答案 ［－1， 2］2 1 2 9 π即 p 为真命题时， x 2－x －6≤0， 由2x 2＋2x －8>0， 即 q 为真a<x<3a. －2≤x ≤3， 得 x>2 或x<－4，2<x ≤ 3.B ．2解析令 f（x）＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2（cosx＋4）2－8，由于 x∈［0，］，所以 cosx ∈［0 ， 1］．于是 f（x）∈［－1，2］，因此实数 m 的取值范围是2［－1，2］．3．已知 a>0，设命题 p：函数 y＝a x在R 上单调递增；命题 q：不等式 ax2－ ax＋1>0 对? x ∈R 恒成立．若 p 且 q 为假， p 或 q 为真，求实数 a 的取值范围．答案（0， 1]∪[4，＋∞ ）解析∵y＝a x在R上单调递增，∴ p：a>1.又不等式 ax2－ax＋ 1>0 对? x∈ R 恒成立，∴Δ <0，即 a2－4a<0，∴ 0<a<4.∴ q：0<a<4.而命题 p 且 q 为假， p 或 q 为真，那么 p，q 中有且只有一个为真，一个为假．（1）若 p真，q 假，则 a≥4；（2）若 p假，q 真，则 0<a≤1.所以 a的取值范围为（0，1]∪[4，＋∞）．4．已知命题 p：“ ? x∈ [1， 2] ，x2－ a≥ 0”命题 q：“ ? x0∈R，x02＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“ p∧q”是真命题，求实数 a 的取值范围．答案 a≤－ 2 或 a＝ 1解析由“p∧ q”是真命题，则 p为真命题， q也为真命题，若 p 为真命题， a≤ x2恒成立，∵x∈[1，2]，∴x2∈[1，4]，∴a≤1.若 q为真命题，即 x 2＋ 2ax＋ 2－ a＝ 0有实根，Δ＝ 4a2 －4（2 － a）≥ 0，即 a≥1或 a≤－ 2，综上所求实数 a的取值范围为 a≤－2或a＝1.。
高中数学-命题的四种形式练习
高中数学-命题的四种形式练习课后训练1．命题“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题是( )A．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B都不是锐角B．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角C．在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B必有一钝角D．在△ABC中，若∠A，∠B都是锐角，则∠C＝90°2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A．若一个数是负数，则它的平方不是正数B．若一个数的平方是正数，则它是负数C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数3．下列说法正确的是( )A．一个命题的否命题为真，则它的逆命题为假B．一个命题的逆命题为真，则它的否命题为真C．一个命题的否命题为真，则它的逆否命题为真D．一个命题的逆否命题为真，则它的逆命题为真4．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数5．下列命题中，是真命题的为( )A．“若二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根，则b2－4ac＞0”的逆否命题B．“正方形的四条边相等”的逆命题C．“若x2－4＝0，则x＝2”的否命题D．“对顶角相等”的逆命题6．命题“到一个角的两边距离相等的点在该角的平分线上”的否命题是__________．7．命题“若x，y是偶数，则x＋y是偶数(x∈Z，y∈Z)”的逆否命题是__________，它是__________命题(填“真”或“假”)．8．有下列四个命题：①如果xy＝1，则lg x＋lg y＝0；②“如果sin α＋cos α＝π3，则α是第一象限角”的否命题；③“如果b≤0，则方程x2－2bx＋b＝0有实数根”的逆否命题；④“如果A∪B＝B，则A B”的逆命题．其中是真命题的有__________．9．写出命题“正n(n≥3)边形的n个内角全相等”的否定和否命题．10．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．(1)末尾数字是0或5的整数，能被5整除；(2)若a＝2，则函数y＝a x是增函数．参考答案1.答案：B2.答案：B3.答案：B 由四种命题的关系可知，一个命题的否命题与它的逆命题是互为逆否关系，根据互为逆否的两个命题是等效的(同真同假)，可得选项B正确．4.答案：B5.答案：C 对于A项，该命题是假命题，故其逆否命题也为假；对于B项的逆命题为“四条边相等的四边形是正方形”是假命题；对于C项的否命题为“若x2－4≠0，则x≠2”为真命题；对于D项的逆命题为“相等的角是对顶角”为假命题．6.答案：到一个角的两边距离不相等的点不在该角的平分线上7.答案：若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数(x∈Z，y∈Z) 真8.答案：③④命题①显然错误，例如：x＝－1，y＝－1时，lg x＋lg y无意义．对于②，其否命题为“如果sin α＋cos α≠π3，则α不是第一象限角”，因当α＝60°时，sin α＋cos α＝13π23，故知其否命题为假．对于命题③，因当b≤０时，Δ＝4b2－4b≥０恒成立，故方程x2－2bx＋b＝0有实数根．由原命题与其逆否命题真假相同，可知命题③的逆否命题是真命题．对于④，其逆命题为“若A B，则A∪B＝B”，显然为真．9.答案：分析：对该命题的结论加以否定得到其否定为：正n边形的n个内角不全相等．对该命题的结论和条件分别加以否定得到其否命题为：不是正n边形的n个内角不全相等．解：命题的否定：正n(n≥3)边形的n个内角不全相等．否命题：不是正n(n≥3)边形的n个内角不全相等．10.答案：分析：依据四种命题的定义分别写出逆命题、否命题、逆否命题．“０或5”的否定是“不是0且不是5”，“是”的否定词是“不是”，“等于”的否定词是“不等于”．解：(1)逆命题：能被5整除的整数，末尾数字是0或5；(真)否命题：末尾数字不是0且不是5的整数，不能被5整除；(真)逆否命题：不能被5整除的整数，末尾数字不是0且不是5；(真)(2)逆命题：若函数y＝a x是增函数，则a＝2；(假)否命题：若a≠2，则函数y＝a x不是增函数；(假)逆否命题：若函数y＝a x不是增函数，则a≠2.(真)。
高中数学命题练习题
1. 四种命题的形式：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q则p.2. 四种命题的关系3. 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.（2）复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.（3）复合命题的真假判断（利用真值表）：非真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假4.充分条件与必要条件①若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；②若p q，但q p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；⇒且p≠>q，则p是q成立的必要不充分条件；③若q p④若既有p q，又有q p，记作p q，则p 是q的充分必要条件（充要条件）.⑤若p≠>q且q≠>p，则p是q成立的既不充分也不必要条件．5. 对含有一个量词的命题进行否定（I）对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p：，他的否定：全称命题的否定是特称命题。
（II）对含有一个量词的特称命题的否定特称命题p：，他的否定：特称命题的否定是全称命题。
1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．（1）已知a ，b ，c 为实数，若0ac <，则20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；（2）两条平行线不相交；(3)若220x y +=，则x ，y 全为零． (4)已知是实数，若ab=0，则a=0或b=02 说明下列命题形式，指出构成它们的简单命题：⑴矩形的对角线垂直平分；⑵不等式220x x -->的解集是{2x x >或}1x <-；⑶43≥； ⑷方程没有实数根．3（2008广东）已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝ 4（2009年北京）“2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5（2008福建)设集合01x A xx ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭,{}03B x x =<<,那么“m A ∈”是“m B ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6（2007宁夏）已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（ ）A.1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB.1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC.1sin ,:>∈∃⌝x R x pD.1sin ,:>∈∀⌝x R x p。
高中数学命题的四种形式例题解析
1.3.2命题的四种形式学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题的概念命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位”和“换质”，一共可以构成四种不同形式的命题．(1)原命题：如果p，则q；(2)条件和结论“换位”：如果q，则p，这称为原命题的逆命题；(3)条件和结论“换质”(分别否定)：如果綈p，则綈q，这称为原命题的否命题．(4)条件和结论“换位”又“换质”：如果綈q，则綈p，这称为原命题的逆否命题．知识点二四种命题间的相互关系(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，即两命题等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，即两个命题不等价．1．有的命题没有逆命题．(×)2．两个互逆命题的真假性相同．(×)3．对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．(√)4．一个命题的四种命题中，真命题的个数一定为偶数．(√)题型一四种命题的结构形式例1把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．反思感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．跟踪训练1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．题型二四种命题的真假判断例2写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．解(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．反思感悟若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4. 跟踪训练2下列命题中为真命题的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④答案 B解析 ①原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”．故为真命题．②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．故为假命题． ③原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”． ∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m <0，∴m <－14<0.故为真命题．④原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”． ∵x 不是无理数，∴x 是有理数．又2是无理数，∴x －2是无理数，不是有理数．故为真命题． 故正确的命题为①③④，故选B. 题型三 等价命题的应用例3 证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明 原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0， 则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”． 若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．反思感悟 因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键．跟踪训练3 判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，则a ≥1”的逆否命题的真假． 解 先判断原命题的真假．因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集， 所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，a ≥74⇒a ≥1，所以原命题为真，又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．命题的等价性典例 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．解 张三走的原因是：“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的．李四走的原因是：“不该走的又走了”的逆否命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的．[素养评析] 逻辑推理是在数学活动中进行交流的基本思维品质，本例是利用原命题与其逆否命题的等价性的逻辑原理，得出相应的合理解释．1．命题“如果a ∉A ，则b ∈B ”的否命题是( ) A ．如果a ∉A ，则b ∉B B ．如果a ∈A ，则b ∉B C ．如果b ∈B ，则a ∉A D ．如果b ∉B ，则a ∉A答案 B解析 命题“如果p ，则q ”的否命题是“如果綈p ，则綈q ”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“若綈p ，则q ”的逆否命题为( ) A ．若p ，则綈q B ．若綈q ，则綈p C ．若綈q ，则p D ．若q ，则p 答案 C3．下列命题为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x ＝1，则x 2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题答案 A解析对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题．4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．答案 4解析逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，全为真命题．5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．解(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．一、选择题1．“如果x>y，则x2>y2”的逆否命题是()A．如果x≤y，则x2≤y2B．如果x>y，则x2<y2C．如果x2≤y2，则x≤y D．如果x<y，则x2<y2答案 C解析由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．命题“如果a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“如果a>－6，则a>－3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题．3．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为()A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一钝角D．以上都不对答案 B解析若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”．4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确答案 A解析设p为“如果A，则B”，那么q为“如果綈A，则綈B”，r为“如果綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．5．有下列四个命题：①“如果x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“如果q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．①②B．②③C．①③D．③④答案 C解析 命题①：“如果x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“如果x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ≤1”是真命题；命题④是假命题．6．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真、真、真 B ．假、假、真 C ．真、真、假 D ．假、假、假答案 A解析 从原命题、逆命题的真假入手，a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题、逆命题都为真命题，则其逆否命题、否命题也为真命题．7．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题为真命题，逆命题为假命题B ．原命题为假命题，逆命题为真命题C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题 答案 A解析 逆否命题：若a ，b 都小于1，则a ＋b <2，是真命题，所以原命题是真命题．逆命题：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2.例如，a ＝3，b ＝－3满足条件a ，b 中至少有一个不小于1，但a ＋b ＝0，故逆命题是假命题．故选A.8．关于命题“若拋物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}⇏∅”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论正确的是( ) A ．都是真命题 B ．都是假命题 C ．否命题是真命题 D ．逆否命题是真命题 答案 D解析 原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题．逆命题“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}D ＝/∅，则拋物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即拋物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D. 二、填空题9．下列命题：①“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“四边相等的四边形是正方形”的否命题； ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题； ④“如果ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题． 其中真命题是________．(填序号) 答案 ①②③解析 ①“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“如果x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“如果ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题是“如果a >b ，则ac 2>bc 2”，是假命题．所以真命题是①②③.10．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 11．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有______；互为逆否命题的有________． 答案 ②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤解析 命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断． 三、解答题12．判断下列命题的真假．(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；(2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；(3)若x2＋y2≠0，则xy≠0.考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假解(1)该命题的逆否命题是“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．(2)该命题的逆否命题是“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，故原命题为假．(3)该命题的逆否命题是“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，它为假命题，故原命题为假．13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．14．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M 中的元素不都是P的元素．A．1 B．2 C．3 D．4考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 B解析由于“M⊆P”为假命题，故M中至少有一个元素不属于P，∴②④正确．M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故①③错误．故选B.15．已知条件p ：|5x －1|＞a ＞0，其中a 为实数，条件q ：12x 2－3x ＋1＞0，请选取一个适当的a 值，利用所给出的两个条件p ，q 分别作为集合A ，B ，构造命题“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？ 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假解 由|5x －1|＞a ＞0，得5x －1＜－a 或5x －1＞a ，即x ＜1－a 5或x ＞1＋a 5. 由12x 2－3x ＋1＞0，得2x 2－3x ＋1＞0， 解得x ＜12或x ＞1. 为使“若A ，则B ”为真命题，而其逆命题为假命题，则需A B .令a ＝4，得p ：x ＜－35或x ＞1， 满足题意，故可以选取a ＝4，此时原命题是“若|5x －1|＞4，则12x 2－3x ＋1＞0”。
河南师范大学附属中学高中数学(普通班)同步练习：四种命题
1.1.2四种命题一、选择题1．已知命题：“若x≥0，y≥0,则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．命题“若x2<1，则－1〈x<1”的逆否命题是( ）A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2〈1C．若x>1或x<－1,则x2>1D．若x≥1或x≤1,则x2≥13．命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的否命题是( ）A．若ab≠0，则a≠0或b≠0B．若a≠0或b≠0，则ab≠0C．若ab≠0，则a≠0且b≠0D．若a≠0且b≠0，则ab≠04．给出以下4个命题：①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②若a>b，则am2>bm2;③在△ABC中,若sin A＝sin B，则A＝B；④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中,若b2－4ac<0,则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是（）A．①B．②C．③D．④5．有下列四个命题：(1）“若x＋y＝0,则x、y互为相反数”的逆命题；（2)“若a>b，则a2〉b2"的逆否命题；(3)“若x≤－3,则x2＋x－6>0”的否命题;（4）“若a b是无理数，则a、b是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．若命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的( )A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题二、填空题7．已知下列四个命题:①a是正数；②b是负数；③a＋b是负数；④ab是非正数．选择其中两个作为条件，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的命题是____________________________．8．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8"的逆命题是____________________；否命题是__________________，逆否命题是____________________．三、解答题9．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．(1）如果两圆外切，那么两圆心距等于两圆半径之和；（2）奇数不能被2整除．10．判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x ＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．1。
高中数学充分条件、必要条件与命题的四种形式例题解析
§1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一充分条件与必要条件1．当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．2．若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要不充分条件．知识点二充要条件1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．(×)2．“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件．(√) 3．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(√)4．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(√)5．若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)题型一充分、必要、充要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根；(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断解(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(2)因为m>0⇒方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m>0，即方程有实根，方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0⇏m>0，所以p是q的充分不必要条件．(3)p是q的既不充分也不必要条件．反思感悟充分条件、必要条件的两种常用的判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．(1)p ：两个三角形相似，q ：两个三角形全等； (2)p ：f (x )＝x ，q ：f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数； (3)p ：A ⊆B ，q ：A ∩B ＝A ； (4)p ：a >b ，q ：ac >bc . 考点 充要条件的概念及判断 题点 充要条件的判断解 (1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似， ∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵f (x )＝x ⇒f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，但f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数⇏f (x )＝x ，∴p 是q 的充分不必要条件．(3)∵p ⇒q ，且q ⇒p ，∴p 是q 的充要条件．(4)∵p ⇏q ，且q ⇏p ，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．题型二 充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围例2 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}． 引申探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ，所以A B .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9， 所以m ≥9，即实数m 的取值范围是[9，＋∞)．2．若本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解 因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在．反思感悟 由条件关系求参数的取值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系． (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．跟踪训练2 (1)“不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立”的一个充分不必要条件是“－2<x <－1”，则实数a 的取值范围是________． 考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 答案 (2，＋∞)解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0， 因为当－2<x <－1时不等式成立， 所以不等式的解集是－a <x <－1. 由题意有(－2，－1)(－a ，－1)， 所以－2>－a ，即a >2.(2)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________．考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 答案 [－1,5]解析 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.命题角度2 探求充要条件例3 求关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立的充要条件． 考点 充要条件的概念及判断 题点 寻求充要条件解 由题意可知，关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立，等价于对于方程ax 2－ax ＋1＝0中，⎩⎨⎧a >0，Δ<0⇔0<a <4.反思感悟 求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密．跟踪训练3 直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是m ＝________. 考点 充要条件的概念及判断 题点 寻求充要条件 答案 －4或0解析 由题意知，直线与圆相切等价于圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于半径2， 即|2＋m |2＝2，得m ＝－4或0.充要条件的证明典例 求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明 充分性(由ac <0推证方程有一正根和一负根)，∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0， ∴原方程一定有两不等实根，不妨设为x 1，x 2，则x 1x 2＝ca <0，∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根． 必要性(由方程有一正根和一负根推证ac <0)， ∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根， 不妨设为x 1，x 2，∴由根与系数的关系得x 1x 2＝ca <0，即ac <0，此时Δ＝b 2－4ac >0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.[素养评析] (1)一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”，即q ⇒p ；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即p ⇒q .(2)通过论证数学命题，学会有逻辑地思考问题，探索和表述论证过程，能很好的提升学生的逻辑思维品质．1．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件 答案 C解析 ∵－2<x <1⇏x >1或x <－1，且x >1或x <－1⇏－2<x <1，∴“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分也不必要条件．2．设命题p ：x 2－3x ＋2<0，q ：x －1x －2≤0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 命题p ：1<x <2；命题q ：1≤x <2，故p 是q 的充分不必要条件． 3．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由于当“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．4．记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－3]解析 由于A ＝{x |x 2＋x －6<0}＝{x |－3<x <2}，B ＝{x |y ＝lg(x －a )}＝{x |x >a }，而“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则有A ⊆B ，则有a ≤－3.5．“a ＝0”是“直线l 1：x －2ay －1＝0与l 2：2x －2ay －1＝0平行”的________条件． 答案 充要解析 (1)∵a ＝0，∴l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0， ∴l 1∥l 2，即a ＝0⇒l 1∥l 2. (2)若l 1∥l 2，当a ≠0时， l 1：y ＝12a x －12a ，l 2：y ＝1a x －12a .令12a ＝1a，方程无解． 当a ＝0时，l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，显然l 1∥l 2. ∴a ＝0是直线l 1与l 2平行的充要条件．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p 和结论q 之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件p 和结论q ，然后判断“p ⇒q ”及“q ⇒p ”的真假，根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．一、选择题1．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.2．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的命题个数为( ) ①若f (x )是周期函数，则f (x )＝sin x ； ②若x >5，则x >2； ③若x 2－9＝0，则x ＝3. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①中，周期函数还有很多，如y ＝cos x ，所以①中p 不是q 的充分条件；很明显②中p 是q 的充分条件；③中，当x 2－9＝0时，x ＝3或x ＝－3，所以③中p 不是q 的充分条件．所以p 是q 的充分条件的命题的个数为1，故选B.3．已知向量a ，b 为非零向量，则“a ⊥b ”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 |a ＋b |2＝|a －b |2⇔a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ⇔a ·b ＝0.4．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，则a 2＋b 2＝c 2是圆O 与直线l 相切的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由直线与圆相切得|c |a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝c 2；a 2＋b 2＝c 2时也有|c |a 2＋b 2＝1成立，即直线与圆相切．5．若a ，b ，c 是常数，则“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，都有ax 2＋bx ＋c >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当a >0且b 2－4ac <0时，对任意x ∈R ，ax 2＋bx ＋c >0成立，即充分性成立．反之，则不一定成立．如当a ＝0，b ＝0，且c >0时，对任意x ∈R ，ax 2＋bx ＋c >0成立．综上，“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，都有ax 2＋bx ＋c >0”的充分不必要条件．6．设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)内不是单调函数的充要条件是( ) A ．0<m <12B ．0<m <1 C.12<m <1 D ．m >1答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，－log 2x ，0<x <1.f (x )的图象在(0,1)内单调递减， 在(1，＋∞)内单调递增．f (x )在(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数等价于⎩⎪⎨⎪⎧m <1，2m ＋1>1⇔0<m <1. 7．已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是( ) A ．λ1＝λ2＝－1 B ．λ1＝λ2＝1 C ．λ1λ2＝1 D ．λ1λ2＝－1答案 C解析 依题意，知A ，B ，C 三点共线⇔AB →＝λAC →⇔λ1a ＋b ＝λa ＋λλ2b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝λ，λλ2＝1，即λ1λ2＝1.故选C.8．设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别是集合M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2<0，则M ≠N ， 即a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇏M ＝N ； 反之，若M ＝N ＝∅，即两个一元二次不等式的解集为空集时，只要求判别式Δ1<0，Δ2<0(a 1<0，a 2<0)，而与系数之比无关．二、填空题9．设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 由于方程有整数根，由判别式Δ＝16－4n ≥0.得1≤n ≤4，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1,3；当n ＝4时，方程有正整数解2.故n ＝3或4.10．设p ：1≤x <4，q ：x <m ，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 答案 [4，＋∞)解析 据题意知，p ⇒q ，则m ≥4.11．给出下列三个命题：①“a >b ”是“3a >3b ”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件．其中真命题的序号为________．答案 ③解析 ①∵函数y ＝3x 是R 上的增函数，∴“a >b ”是“3a >3b ”的充要条件，故①错误；②∵2π>π2，cos 2π>cos π2，∴α>β⇏cos α<cos β；∵cos π<cos 2π，π<2π，∴cos α<cos β⇏α>β.∴“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分也不必要条件，故②错误；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件，正确．三、解答题12．已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 化简B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}，①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}； ②当a <13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}． 因为p 是q 的充分条件且A 为非空集合，所以A ⊆B ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥13，a 2＋1≤3a ＋1，2a ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <13，a 2＋1≤2，2a ≥3a ＋1，解得1≤a ≤3或a ＝－1.综上，a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．13．设a ，b ，c 是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．求证：a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .证明 充分性：∵A ＝2B ，∴A －B ＝B ，则sin(A －B )＝sin B ，则sin A cos B －cos A sin B ＝sinB ，结合正弦、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，化简整理得a 2＝b (b ＋c )； 必要性：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a 2＝b (b ＋c )，得b 2＋bc ＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴1＋2cos A ＝c b ＝sin C sin B， 即sin B ＋2sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin B ＝sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )，由于A ，B 均为三角形的内角，故必有B ＝A －B ，即A ＝2B . 综上，知a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .14．已知p ：x 2＋2x －3>0，q ：x >a (a 为实数)．若綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则实数a 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 将x 2＋2x －3>0化为(x －1)(x ＋3)>0，所以p ：x >1或x <－3，所以綈p ：－3≤x ≤1.又綈q ：x ≤a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，所以a ≥1.15．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明 充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况，当xy ＝0时，不妨设x ＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时，又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件。
高中数学 1.1.2四种命题
四种命题(30分钟50分)一、选择题(每题3分,共18分)1.(2021·长春高二检测)命题“假设a∉A,那么b∈B”的否命题是( )A.假设a∉A,那么b∉BB.若a∈A,那么b∉BC.假设b∈B,那么a∉AD.若b∉B,那么a∉A【解析】选B.命题“假设p,那么q”的否命题是“若p,那么q”,“∈”与“∉”互为否定形式.2.以下命题的否命题为“邻补角互补”的是( )A.邻补角不互补B.互补的两个角是邻补角C.不是邻补角的两个角不互补D.不互补的两个角不是邻补角【解题指南】解答此题只需求命题“邻补角互补”的否命题,因此把所给命题的条件与结论都否定,即为所求.【解析】选C.“邻补角互补”与“不是邻补角的两个角不互补”互为否命题.【变式训练】“△ABC中,假设∠C=90°,那么∠B,∠A满是锐角”的否命题为( )A.△ABC中,假设∠C≠90°,那么∠A,∠B全不是锐角B.△ABC中,假设∠C≠90°,那么∠A,∠B不满是锐角C.△ABC中,假设∠C≠90°,那么∠A,∠B中必有一个钝角D.以上均不对【解析】选B.否命题条件与结论别离是原命题的条件与结论的否定,应选B.【误区警示】解答此题易显现选A的错误,致使显现这种错误的缘故是混淆了“满是”的否定是“不满是”,而非“全不是”.3.(2021·烟台高二检测)以下命题中为真命题的是( )A.命题“假设x>y,那么x>|y|”的逆命题B.命题“x>1,那么x2>1”的否命题C.命题“假设x=1,那么x2+x-2=0”的否命题D.命题“假设x2>0,那么x>1”的逆否命题【解析】选A.关于A:逆命题为假设x>|y|,那么x>y,真命题.关于B:否命题为假设x≤1,那么x2≤1,显然此命题为假,比如x=-2命题不成立.关于C:否命题为“假设x≠1,那么x2+x-2≠0”,此命题是假命题,如x=-2命题不成立.关于D:逆否命题为:假设x≤1,那么x2≤0,显然此命题是假命题,应选A.4.关于命题“假设|a|≠|b|,那么a≠b”的表达正确的选项是( )A.命题的逆命题为真命题B.命题的否命题为真命题C.命题的逆否命题为真命题D.以上都正确【解析】选C.命题“假设|a|≠|b|,那么a≠b”的逆命题为“若a≠b,那么|a|≠|b|”,是假命题.命题“假设|a|≠|b|,那么a≠b”的否命题为“假设|a|=|b|,那么a=b”,是假命题.命题“假设|a|≠|b|,那么a≠b”的逆否命题为“若a=b,那么|a|=|b|”,是真命题.5.命题“假设x2+y2=0,那么x=y=0”的逆否命题是( )A.假设x=y=0,那么x2+y2≠0B.假设x,y都不为0,那么x2+y2≠0C.假设x,y中至少有一个不为0,那么x2+y2≠0D.假设x,y中至少有一个不为0,那么x2+y2=0【解析】选C.将“x=y=0”否定得“x,y中至少有一个不为0”,故原命题的逆否命题为“假设x,y 中至少有一个不为0,那么x 2+y 2≠0”,应选C【误区警示】解答此题易显现选B 的错误,致使显现这种错误的缘故是对“x,y 全为0”的否定弄不清楚所致.事实上,x,y 全为0的否定为x,y 中至少有一个不为0.6.命题“若α=π4,那么tan α=1”的逆否命题是( ) A.假设α≠π4,那么tan α≠1 B.若α=π4,那么tan α≠1 C.假设tan α≠1,那么α≠π4 D.假设tan α≠1,那么α=π4【解题指南】由逆否命题的概念知,否定原命题的条件,“α≠π4”作结论;否定原命题的结论,“tan α≠1”作条件.【解析】选C.原命题的逆否命题是“假设tan α≠1,那么α≠π4”,应选C. 二、填空题(每题4分,共12分)7.(2021·九江高二检测)原命题:“设a,b,c ∈R,假设a>b,那么ac 2>bc 2”和它的逆命题,否命题,逆否命题中,真命题的个数是 .【解析】逆命题:假设ac 2>bc 2,那么a>b,真命题.否命题:假设a ≤b,那么ac 2≤bc 2,真命题.逆否命题:假设ac 2≤bc 2,那么a ≤b,假命题.答案:28.(2021·天津高二检测)请写出命题“假设a+b=2,那么a 2+b 2≥2”的否命题: .【解析】依照否命题的形式,原命题的否命题为“假设a+b ≠2,那么a 2+b 2<2”.答案:假设a+b ≠2,那么a 2+b 2<29.“不是等差数列的数列不是常数列”的逆否命题是 命题(填真、假).【解析】命题“不是等差数列的数列不是常数列”的逆否命题为“常数列是等差数列”,是真命题.答案:真三、解答题(每题10分,共20分)10.(2021·武汉高二检测)设命题p:假设m<0,那么关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实根.(1)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题.(2)判定命题p及其逆命题、否命题、逆否命题的真假.(直接写出结论)【解析】(1)p的逆命题:假设关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实根,那么m<0.p的否命题:假设m≥0,那么关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)无实根.p的逆否命题:假设关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)无实根,那么m≥0.(2)命题p及其逆否命题是真命题,命题p的逆命题和否命题是假命题.11.判定以下命题的真假:(1)“假设x∈A∪B,那么x∈B”的逆命题与逆否命题.(2)“假设自然数能被6整除,那么自然数能被2整除”的逆命题.【解析】(1)逆命题:假设x∈B,那么x∈A∪B.依照集合“并”的概念,逆命题为真.逆否命题:假设x∉B,那么x∉A∪B.逆否命题为假.如2∉{1,5}=B,A={2,3},但2∈A∪B.(2)逆命题:假设自然数能被2整除,那么自然数能被6整除.逆命题为假.反例:2,4,14,22等都不能被6整除. (30分钟50分)一、选择题(每题4分,共16分)1.(2021·重庆高二检测)已知直线l1:x+ay+1=0,直线l2:ax+y+2=0,那么命题“假设a=1或a=-1,那么直线l1与l2平行”的否命题为( )A.假设a≠1且a≠-1,那么直线l1与l2不平行B.假设a≠1或a≠-1,那么直线l1与l2不平行C.假设a=1或a=-1,那么直线l1与l2不平行D.假设a≠1或a≠-1,那么直线l1与l2平行【解析】选A.命题“假设A,那么B”的否命题为“若A,那么B”,显然“a=1或a=-1”的否定为“a≠1且a≠-1”,“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”,因此选A.【触类旁通】假设此题中条件不变,那么原命题的逆命题是.【解析】将原命题中,条件与结论互换即可.即逆命题为“假设直线l1与l2平行,那么a=1或a=-1”.答案:假设直线l1与l2平行,那么a=1或a=-12.以下四个命题:①“假设x+y=0,那么x,y互为相反数”的否命题;②“假设a>b,那么a2>b2”的逆否命题;③“假设x≤-3,那么x2-x-6>0”的否命题;④“同位角相等”的逆命题.其中真命题的个数是( )B.1【解析】选B.①否命题:假设x+y≠0,那么x,y不互为相反数,真命题.②逆否命题:假设a2≤b2,那么a≤b,假命题.③否命题:假设x>-3,那么x2-x-6≤0,假命题.④逆命题:相等的两个角是同位角,假命题.3.给出命题:假设函数y=f(x)是幂函数,那么函数y=f(x)的图象只是第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )B.2【解析】选C.逆命题与否命题错误,逆否命题正确,应选C.4.命题“假设-1<x<1,那么x2<1”的逆否命题是( )A.假设x≥1或x≤-1,那么x2≥1B.假设x2<1,那么-1<x<1C.假设x2>1,那么x>1或x<-1D.假设x2≥1,那么x≥1或x≤-1【解析】选D.假设原命题是“假设p,那么q”,那么逆否命题为“若q,那么p”,故此命题的逆否命题是“假设x2≥1,那么x≥1或x≤-1”.二、填空题(每题5分,共10分)5.(2021·广州高二检测)以下四个命题中:①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题;②“假设k>0,那么方程x2+2x-k=0有实根”的逆否命题;③“全等三角形的面积相等”的否命题;④“假设ab≠0,那么a≠0”的否命题.其中真命题的序号是.【解析】①逆命题为“假设一个三角形的三内角均为60°,那么那个三角形为等边三角形”,是真命题;②Δ=4+4k,当k>0时,Δ>0,因此原命题为真命题,其逆否命题是真命题;③不全等的两个三角形面积也有可能相等,因此③是假命题;④否命题为“假设ab=0,那么a=0”,是假命题.综上可知,真命题是①②.答案:①②【变式训练】有以下四个命题,其中真命题是__________.①“假设xy=1,那么x,y互为倒数”的逆命题;②“相似三角形的周长相等”的否命题;③“假设b≤0,那么方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题;④“假设A∪B=B,那么A⊇B”的逆否命题.【解析】①逆命题是:“假设x,y互为倒数,那么xy=1”,是真命题;②逆命题是:“假设两三角形的周长相等,那么它们相似”,是假命题,因此原命题的否命题也是假命题;③由b≤0得Δ=4b2-4(b2+b)≥0,因此③是真命题,其逆否命题也是真命题;④假设A∪B=B,那么A⊆B,因此原命题是假命题,其逆否命题也是假命题,因此④是假命题.综上可知①③为真命题.答案:①③6.(2021·成都高二检测)给出以下三个命题:①假设x2-3x+2=0,那么x=1或x=2;②假设-2≤x<3,那么(x+2)(x-3)≤0;③假设x,y∈N+,x+y是奇数,那么x,y中一个是奇数,一个是偶数,其中逆命题为真命题是.【解析】①③逆命题为真,②逆命题为假.答案:①③三、解答题(每题12分,共24分)7.写出命题:假设x+y=5,那么x=3且y=2的逆命题、否命题与逆否命题,并判定它们的真假.【解析】逆命题:假设x=3且y=2,那么x+y=5,是真命题.否命题:假设x+y≠5,那么x≠3或y≠2,是真命题.逆否命题:假设x≠3或y≠2,那么x+y≠5,是假命题.【变式训练】写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判定其真假.(1)实数的平方是非负数.(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.(3)弦的垂直平分线通过圆心,并平分弦所对的弧.【解析】(1)逆命题:假设一个数的平方是非负数,那么那个数是实数,真命题.否命题:假设一个数不是实数,那么它的平方不是非负数,真命题.逆否命题:假设一个数的平方不是非负数,那么那个数不是实数,真命题.(2)逆命题:假设两个三角形全等,那么这两个三角形等底等高,真命题.否命题:假设两个三角形不等底或不等高,那么这两个三角形不全等,真命题.逆否命题:假设两个三角形不全等,那么这两个三角形不等底或不等高,假命题.(3)逆命题:假设一条直线通过圆心,且平分弦所对的弧,那么这条直线是弦的垂直平分线,真命题.否命题:假设一条直线不是弦的垂直平分线,那么这条直线只是圆心或不平分弦所对的弧,真命题.逆否命题:假设一条直线不通过圆心或不平分弦所对的弧,那么这条直线不是弦的垂直平分线.真命题.8.(2021·苏州高二检测)在公比为q的等比数列{a n}中,前n项的和为S n,假设S m,S m+2,S m+1成等差数列,那么a m,a m+2,a m+1成等差数列.(1)写出那个命题的逆命题.(2)判定公比q 为何值时,逆命题为真?公比q 为何值时,逆命题为假?【解题指南】解答此题第一需依照逆命题的概念正确写出逆命题,然后依照等差数列的性质判定何时为真命题,何时为假命题.【解析】(1)逆命题:在公比为q 的等比数列{a n }中,前n 项和为S n ,假设a m ,a m+2,a m+1成等差数列,那么S m ,S m+2,S m+1成等差数列.(2)由{a n }为等比数列,因此a n ≠0,q ≠0.由a m ,a m+2,a m+1成等差数列,得2a m+2=a m +a m+1,因此2a m ·q 2=a m +a m ·q,因此2q 2-q-1=0.解得q=-12或q=1. 当q=1时,a n =a 1(n=1,2,…),因此S m+2=(m+2)a 1,S m =ma 1,S m+1=(m+1)a 1,因为2(m+2)a 1≠ma 1+(m+1)a 1,即2S m+2≠S m +S m+1,因此S m ,S m+2,S m+1不成等差数列.即q=1时,原命题的逆命题为假命题.当q=-12时,2S m+2=2·a 1(1−q m +2)1−q ,S m+1=a 1(1−q m +1)1−q ,S m =a 1(1−q m )1−q ,因此2S m+2=S m+1+S m ,因此S m ,S m+2,S m+1成等差数列.即q=-12时,原命题的逆命题为真命题.。
高中数学经典例题集
高中数学经典例题集1．已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线m,n,有下列四个命题:（1）若m//α,n//α,则m//n;（2）若m//α,n//α,m,n⊂β,则α//β;（3）若m//n,n⊂α,则m//α;（4）若α//β,m⊂α,则m//β.其中恰当命题的个数为2．已知m，n是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：①若α⊥β，m⊥α，则m∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，m⊥则n⊥α；④若m∥α，m⊂β，则α∥β．其中所有真命题的序号是n，3．若m,n,l是互不重合的直线，α,β,γ是互不重合的平面，给出下列命题：①若α⊥β,α⋂β=m,m⊥n,则n⊥α或n⊥β；②若α//β,α⋂γ=m,β⋂γ=n,则m//n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α⋂β=m,m//n,且n⊄α,n⊄β,则n//α且n//β；⑤若α⋂βm,=β⋂n,γ=αl⋂α⊥γβ=,α⊥γ,β⊥γ,且则m⊥n,m⊥l,n⊥l.其中恰当命题的序号就是.4．设、m、n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列四个命题正确的是.①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若αβ=l,βγ=m,γα=n，则m∥l∥n；④若αβ=m,βγ=l,γα=n，且n∥β,则m∥l.5．已知a、b是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，给出下列命题：①若α∥β，a⊂α，则a∥β；②若a、b与α所成角相等，则a∥b；③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ；④若a⊥α,a⊥β，则α∥β其中恰当的命题的序号就是.6．如图，空间中两个有一条公共边ad的正方形abcd和adef．设m、n分别是bd和ae的中点，那么①ad⊥mn；②mn∥平面cde；③mn∥ce；④mn、ce异面以上4个命题中正确的是7．得出以下四个命题①平行于同一平面的两条直线平行；②旋转轴同一平面的两条直线平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么它和这个平面内的任何直线都平行；④如果一条直线和一个平面垂直，那么它和这个平面内的任何直线都垂直．其中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）．8．关于直线m,n与平面α,β，存有以下四个命题：①若m//α,n//β且α//β，则m//n；②若m⊥α,n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α,n//β且α//β，则m⊥n；④若m//α,n⊥β且α⊥β，则m//n；（把你认为正确命题的序号都填上）9．将边长为2abcd沿较短对角线bd卷成四面体abcd，点e,f分别为ac,bd的中点，则下列命题中正确的是。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例命题“若＝，则与成反比例关系”的否命题是1 y x y k x
[ ]
A y x y
B y kx x y
C x y y ．若≠
，则与成正比例关系．若≠，则与成反比例关系．若与不成反比例关系，则≠k x
k x
D y x y ．若≠，则与不成反比例关系k x
分析 条件及结论同时否定，位置不变．
答 选D ．
例2 设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若p 则q ”形式为________．它的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________．
分析 只要确定了“p ”和“q ”，则四种命题形式都好写了． 解 若两个角是对顶角，则两个角相等；若两个角相等，则这两个角是对顶角；若两个角不是对顶点，则这两个角不相等；若两个角不相等，则这两个角不是对顶角．
例3 “若P ＝{x |x|＜1}，则0∈P ”的等价命题是________． 分析 等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题．
解原命题的等价命题可以是其逆否命题，所以填“若，则 0P p ≠{x||x|＜1}”
例4 分别写出命题“若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0”的逆命题、否命题和逆否命题．
分析根据命题的四种形式的结构确定．
解逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0；
否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0；
逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0．
说明：“x、y全为0”的否定不要写成“x、y全不为0”，应当是“x，y不全为0”，这要特别小心．
例5有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④“若∪＝，则”的逆否命题，其中真命题是
A B B A B
[ ] A．①②B．②③
C．①③D．③④
分析应用相应知识分别验证．
解写出相应命题并判定真假
①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题；
②“不相似三角形周长不相等”为假命题；
③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b＞－1”为真命题；
选C．
例6 以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．
①内接于圆的四边形的对角互补；
②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；
分析首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题．
解对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；
逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；
否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；
逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．对②：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件，“a＋c＝b＋d”是结论．所以：逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a ＝b，c＝d”；
否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a ＋c≠b＋d”(注意“a＝b，c＝d”的否定是“a≠b或c≠d”只需要至少有一个不等即可)；
逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a ≠b或c≠d”．
逆否命题还可以写成：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d 则a ＝b ，c ＝d 两个等式至少有一个不成立”
说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．
例7 已知下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．
分析 如果从正面分类讨论情况要复杂的多，而利用补集的思想(也含有反证法的思想)来求三个方程都没有实根的a 范围比较简单．
解由－－＜－－＜＋＜得 16a 4(34a)0(a 1)4a 04a 8a 0
2222⎧⎨⎪⎩⎪
说明：利用补集思想，体现了思维的逆向性．
例8 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
①＞时，－＋＝无实根；m mx x 10214
②当abc ＝0时，a ＝0或b ＝0或c ＝0．
分析 改造原命题成“若p 则q 形式”再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题．在判定各种形式命题的真假时要注意利用等价命题的原理和规律．
解①原命题：“若＞，则－＋＝无实根”，是真 m mx x 10214
命题；
逆命题：“若－＋＝无实根，则＞”，是真命题；否命题：“若≤，则－＋＝有实根”，是真命题；逆否命题：“若－＋＝有实根，则≤”，是真命题．mx x 10m m mx x 10mx x 10m 22214
14
14
②原命题；“若abc ＝0，则a ＝0或b ＝0或c ＝0”，是真命题；
逆命题：“若a ＝0或b ＝0或c ＝0，则abc ＝0”是真命题； 否命题：“若abc ≠0，则a ≠0且b ≠0且c ≠0”，是真命题；(注意：“a ＝0或b ＝0或c ＝0”的否定形式是“a ≠0且b ≠0且c ≠0”
逆否命题：“若a ≠0且b ≠0且c ≠0，则abc ≠0”，是真命题．
说明：判定四种形式命题的真假可以借助互为逆否命题的等价性．
例若、、均为实数，且＝－＋π，＝－＋π，＝－＋π，求证：、、中至少有一个大于．9 a b c a x 2y b y 2z c z 2x a b c 022223
6
分析 如果直接从条件推证，方向不明，过程不可预测，较难，可以使用反证法．
解 设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则有a ＋b ＋c ≤0，而
a b c (x 2y )(y 2z )(z 2x )222＋＋＝－＋π＋－＋π＋－＋π236 ＝(x 2－2x)＋(y 2－2y)＋(z 2－2z)＋π
＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)
∴ a ＋b ＋c ＞0这与a ＋b ＋c ≤0矛盾．
因此a 、b 、c 中至少有一个大于0．
说明：如下表，我们给出一些常见词语的否定．。