一元二次方程与几何问题-

一元二次方程与几何问题

一、课堂目标

会用一元二次方程解决几何图形面积问题，体验建立数学模型解决问题的一般过程，进一步体会方程思想．

二、知识讲解

1. 列方程解应用题的一般步骤

① 审：审题，分析题中已知是什么，求什么，明确各数量之间关系；

② 找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系；

③ 设：设未知数（一般求什么，就设什么为未知数）；

④ 列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程；

⑤ 解：解所列出的方程，求出未知数的值；

⑥ 验：检验所求解是否符合题意；

⑦ 答：写出答案（包括单位名称）．

2. 面积问题

利用平移的思想，构造完整图形。

例题

1.如图．某小区计划在一个长为、宽为的矩形内部修建三条同样宽的甬路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为，求甬路的宽度．分析：为了更容易寻找题目中的相等关系，可想象将横、竖甬路平移，这样问题转化为如图的情况，得到矩形．设甬路的宽度为．

（1）（2）

用含的代数式表示： ， ，矩形的面积为

．

列出方程并完成本题解答．

练习

2.在一块长、宽的矩形荒地上，要建一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，如果

如图所示设计，并使花园四周小路宽度都相等，那么小路的宽是多少？

3.如图，有一块长米，宽米的矩形草坪，计划沿水平和竖直方向各修一条宽度相同的小路，剩余

的草坪面积是原来的

，求小路的宽度．

例题

（1）（2）（3）4.用总长为的篱笆围成矩形场地．

根据题意，填写下表：矩形一边长/矩形面积/

当矩形场地的面积为时，求矩形的长和宽各为多少？

能围成面积为

的矩形场地吗？如能，求出矩形的长和宽，如不能，说明理由．

5.利用一面墙（墙的长度不限），另三边用长的篱笆围成一个面积为的矩形场地，求矩形

的长和宽．

练习

6.如图，要利用一面墙（墙长为

米）建羊圈，用米的围栏围成总面积为平方米的三个大小相

同的矩形羊圈，求羊圈的边长

、

各为多少米？

例题

7.有一块长，宽的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四

边折起来，做成一个底面面积为

的无盖的盒子，求这个盒子的容积．

练习

（1）（2）8.在边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，折成一个无盖的长方体．

如果剪去的小正方形的边长为，请用来表示这个无盖长方体的容积．

当剪去的小正方体的边长的值分别为和

时，比较折成的无盖长方体的容积的大

小．

9.某同学想用一块面积为的正方形纸片，（如图所示）沿着边的方向裁出一块面积为的

长方形纸片，使它的长宽之比为

，请你用所学过的知识来说明能否用这块纸片裁出符合要求的纸

片．

例题

10.如图，四边形中，，，，，点是上一

点，且，求的长．

练习

11.明代吴敬所著《九章算法比类大全》中有如下一数学问题：

方种芝麻斜种黍，勾股之田，十亩无零数．九十股差方为界，勾差十步分明许．借问贤家如何取，多少黍田，多少芝麻亩．算的二田无误处，智能才华算中举．

释义：有一块勾股田（），面积为亩整．在此田中，方形（正方形）田种芝麻，斜彤（直角三角形）田种黍．股差（）步，勾差（）为步．请问贤家用何法，算出共有多少黍田，

多少芝麻田？（古代亩平方步）

三、出门测

（1）（2）12.为了迎接“军运会”，江岸区永清街道决定对一块矩形空地进行改造．如图，已知该矩形空地长为

，宽为

，按照规划将预留总面积为

的四个小矩形区域（阴影部分）种植花草，并在花

草周围修建三条横向通道和三条纵向通道，各通道的宽度相等．

花草花草

花草

花草

求各通道的宽度．现有一工程队承接了对这的区域（阴影部分）进行种植花草的绿化任务，该工程队先按照原计划进行施工，在完成了

的绿化任务后，将工作效率提高

，结果提前天完成任务，则

该工程队原计划每天完成 平方米的绿化任务（直接写出答案）．

题集【A】

13.一个正方形的边长增加

，它的面积就增加

，这个正方形的边长是多少？

14.如图①：要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为

，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何实际每个彩条的宽度？设一份儿为，如图②：用含的代数式表示

、

和矩形

的面积，列出方程并完成本题解答．

15.如图所示，在宽，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，互相垂直，把耕地分成

大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为

，道路应为多宽？

16.列方程或方程组解应用题：

如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地（空白处），求原正方形空地的边长．

17.一块长方形木板长，宽，在木板中间挖去一个底边长为，高为的形孔，已

知剩下的木板面积是原来面积的，求挖去的形孔的宽度．

18.某小区有一块长米，宽米的矩形空地，如图所示，社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两地绿地之间及四周都留有宽度为米的人行通道，如果这两块绿地的面积之和为平方米，人行通道的宽度应是多少米？

米

米

19.在一幅长分米，宽分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是平方分米，求金色纸边的宽．

20.有一张面积为的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为，面积为，能

将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？请通过计算说明你的判断．