参数估计与假设检验练习题
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第5章 参数估计与假设检验练习题
1、设随机变量 X 的数学期望为 μ ，方差为 σ2 ，（X 1 ，X 2 ，···，X n ）为X 的一个样本，
试比较 ))(1(12
∑=-n i i X n E μ 与 ))(1(1
2∑=-n i i X X n E 的大小。
（ 前者大于后者 ）
2、设随机变量 X 与Y 相互独立，已知 EX = 3，EY = 4，DX = DY = σ2 ，试问：k 取何值时，Z = k ( X 2 - Y 2 ) + Y 2 是 σ2 的无偏估计 。
（ 16 / 7 ）
3、设正态总体 X ~ N ( μ , σ2 ) ，参数 μ ，σ2 均未知，（ X 1 ，X 2 ，… ，X n ）（ n ≥ 2 ）
为简单随机样本，试确定 C ，使得 ∑-=+-=1
1212
)(ˆn i i i X X C σ
为 σ2 的无偏估计。 （ )
1(21
-n ）
4、假设总体 X 的数学期望为 μ ，方差为 σ 2 ，),...,,(21n X X X 为来自总体 X 的一个样本，
X 、S 2 分别为样本均值和样本方差，试确定常数 c ，使得 22cS X - 为 μ 2 的无偏估计量.
（ 1 / n ）
5、设 X 1 ，X 2 是取自总体 N ( μ , σ2 ) （ μ 未知）的一个样本，试说明下列三个统计量
2114341ˆX X +=μ
，2122121ˆX X +=μ
，2132
1
31ˆX X +=μ 中哪个最有效。
（ 2ˆμ
）
6、设某总体 X 的密度函数为：⎪⎩⎪
⎨⎧><=其它
03),(3
2θθθx x x f ，（ X 1 ，X 2 ，… ，X n ）为该
总体的样本， Y n = max ( X 1 , X 2 , … , X n ) ，试比较未知参数 θ 的估计量 X 34 与 n Y n
n 313+ 哪个更有效？
（ n > 1 时，n Y n
n 31
3+ 更有效 ）
7、从某正态总体取出容量为10的样本，计算出
15010
1
=∑=i i
x
，272010
1
2=∑=i i x 。求总体期望与
方差的矩估计 μ
ˆ 和 2ˆσ 。
（ 15 ；47 ）
8、设总体 X 具有密度 ⎪⎩
⎪
⎨⎧≤>=+-C
x C x x
C x f 01);()1
1(1ϑϑϑϑ ，其中参数 0 < ϑ < 1，C 为已知常数，且C > 0，从中抽得一样本 X 1 ，X 2 ，… ，X n ，求参数 ϑ 的矩估计量。
（ 1 - C /⎺X ，其中 ∑==n
i i X n X 1
1 ）
9、设总体 X 服从（ 0，ϑ ）上的均匀分布，其中 ϑ > 0 是未知参数，（ X 1 ，X 2 ，… ，
X n ）为简单随机样本，求出 ϑ 的矩估计量 ϑ
ˆ ，并判断 ϑˆ 是否为 ϑ 的无偏估计量。
（ 2⎺X ，其中 ∑==n
i i X n X 1
1 ；是 ）
10、设（ X 1 ，X 2 ，… ，X n ）为总体 X 的一组样本，总体 X 密度函数为：
⎪⎩
⎪⎨⎧<<-=--其它
01011);(12x x x f ϑϑ
ϑϑ ， 其中 ϑ > 1 且未知。试求该总体未知参数 ϑ 的极大似然估计量。
（ ∑=-=n
i i M L E X n 1
ln 11ˆϑ ）
11、设总体 X 的概率密度为 ⎩
⎨⎧∉∈-=-)1,0(,0)
1,0(,)1();(1x x x x f θθθ ，其中 θ > 0 是未知参数，
（X 1 ，X 2 ，…… ，X n ）是取自总体X 的一个样本，试求：总体期望 EX 的最大似然估计量值和最大似然估计量。
（ n
x x n
i i
n
i i
M L E ---=
∑∑==1
1
)1l n ()
1l n (ˆϑ ；n
X
X
n
i i
n
i i
MLE ----
=∑∑==1
1
)1ln()
1ln(ˆϑ ）
12、设样本 X 1 ，X 2 ，… ，X n 为取自分布密度为 f ( x ) 的总体，其中
⎩
⎨
⎧<≥=--0
00
)()(1x x e x x f x
r ϑϑϑ （ r 已知），ϑ > 0，求参数 ϑ 的极大似然估计。
（ x r M L E =ϑˆ ，其中 ∑==n i i x n x 11 ； X r M L E =ϑˆ ，其中 ∑==n
i i X n X 1
1 ）
13、已知某地区各月因交通事故死亡的人数为 3，4，3，0，2，5，1，0，7，2，0，3 。若死亡人数X 服从参数为 λ 的Poisson 分布，求：（1）λ 的极大似然估计值；（2）利用（1）的结果求 P ( X > 2 ) 。
（ （1）5.2ˆ=MLE λ ； （2）0.4562 ）