《微分几何》考试试卷与参考答案

《微分几何》结业考试试卷

一、判断题：（正确打√，错误打×。每题2分，共10分））

1、等距变换一定是保角变换. （ ）

2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （ ）

3、二阶微分方程2

2

A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （ ） 4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. （ ）

5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. （ ）

二、填空题：（每空3分，共33分）

1、 已知3

3

{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02

x π

<<

，则α= ，

β= ，γ= ，κ= ，τ= .

2、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02

v π

≤<

，则它的第一基本形式

为 ，第二基本形式为 ，高斯曲率K = ，

平均曲率 H = ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv =的法曲率 ，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为 。 三、计算题（每小题12分，共24分） 1、求曲面3

3

z x y =-的渐近曲线.

2、已知曲面的第一基本形式为2

2

()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率.

密

线

封

层次

报读学校

专业

姓名

四、综合题：（每小题11分，共33分）

1、设空间两条曲线Γ和C的曲率处处不为零，若曲线Γ和C可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C在对应点的切线夹固定角.

2、给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.

3、问曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线Γ是测地线吗？为什么？

《微分几何》参考答案

一、判断题：1. √ 2. √ 3. ⨯ 4. ⨯ 5. √ 二、填空题：

① 1

{3cos ,3sin ,4}5

x x -- ②{sin ,cos ,0}x x

③

1

{4cos ,4sin ,3}5

x x -- ④

6

25sin 2x

⑤

8

25sin 2x

⑥ 222(36)du u dv ++

⑦

du dv

⑧

22

36

(36)u -+ ⑨ 0

⑩

○

11 66

,3737

- 三、计算题：1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.

解 设33{,,}r u v u v =-

则 2{1,0,3}u r u =，2{0,1,3}v r v =-，2243,3,1}||9u v u v r r n u v r r u ⨯=

=-⨯

{0,0,6}uu r u =，0uv r =，{0,0,6}vv r v =-

4

9uu L n r u =⋅=

0uv M n r =⋅=，4

9vv N n r u =

⋅=

（6分）

因渐近曲线的微分方程为

2220Ldu Mdu dv Ndv ++=

即22udu vdv =0=

∴ 渐近曲线为3

3

221u v C =+或

33

222()u v C -=+ （12分）

2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地 曲率.

解 E G v ==，0F =，0u G =，1v E

=

（4分）

u-线的测地曲率

u

g κ==

（8分）

v-线的测地曲率

0v

g κ=

= （12分）

四、综合题：

1. 设空间两条曲线Γ和C 的曲率处处不为零，若曲线Γ和C 可以建立一一 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.

证 设 :()r r s Γ=，:()r r s **Γ=，则由//ββ*知ββ*=±，

从而0αβ*

⋅=，0αβ*

⋅=，

()0d ds ds ds

αακβακαβ**

***⋅=⋅+⋅= ∴ constant αα*⋅=，即 cos ,C αα*=

这表明曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角. （11分）

2. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的 法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.

证 设 :(,)r r u v ∑=，:(),()u u s v v s Γ==，其中s 是Γ的自然参数，记

,r n θ=，则cos r n θ⋅=，两边求导，得d 0d n

n r

s

τβ-⋅+=， （4分） 由Γ为曲率线知d //d n r ，即d d //d d n r s s α=， 因此d d 0d d n n r

n r r s s

τβκ⋅=⋅=-⋅= 。

若0τ=，则Γ为平面曲线； （6分）

若0n β⋅=，则因Γ为曲面∑上的一条曲率线， 故d d n n r κ=. 而

0n n n κκβκβ=⋅=⋅=，所以d 0n =，即n 为常向量. 于是Γ为平面曲线. （11分） 3. 问曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的

曲线Γ是测地线吗？为什么？

答：曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的 曲线Γ是测地线. （3分）

事实上，设:()(1,2)i

i

u u s i T ==，则Γ的切向量为12

12du du r r ds ds

α=+（5分） 记 1

du a ds '=，22du a ds =，111,i j ij i j Da da a du =+Γ∑，222,i j

ij

i j

Da da a du =+Γ∑ 则曲线Γ的切向量α沿Γ平行移动⇔0D α=⇔ 120,0Da Da ==