数据结构课件——第7章 树与森林

2013-8-20
3
树、森林的概念及术语
树的定义还可形式化的描述为二元组的形式： T＝（D，R） 其中D为树T中结点的集合，R为树中结点之间关系的集合。 当树为空树时，D＝Φ；当树T不为空树时有： D＝{Root}∪DF 其中，Root为树T的根结点，DF 为根结点Root的子树集合。DF可由 下式表示： DF ＝T1∪T 2∪…∪T m , 且T i∩T j＝Φ（i≠j，1≤i≤m， 1≤j≤m） 当树T的结点个数n≤1时，R＝Φ；当树T的结点个数n>1时有： R＝{<Root，ri>，i＝1，2，…，m} 其中，Root为树T的根结点，ri是树T的根结点Root的子树Ti的根结点。
第7章
7.1 7.2 7.3 7.4
二叉树
树的概念与ADT定义 树、森林的存储结构 树、森林与二叉树的转换 树、森林的遍历
1
2013-8-20
本章主要内容
一、树的概念、术语、性质及ADT定义 二、树、森林的4类存储结构 三、树、森林与二叉树的转换 四、树、森林的遍历方法
返回首页
2013-8-20 2
2013-8-20
16
双亲表示法
例如:下图所示的树，其双亲表示法如右图所示。图中用parent域的值为1表示该结是根结点，无双亲结点。
序号
0
A
data A B C D E F G H I
parent -1 0 0 1 1 1 2 4 4
17
1
B C
2 3
D
E
F
G
4 5
H
I
6 7 8
2013-8-20
2013-8-20
2013-8-20
13
树与森林的性质
性质4．一棵具有n个结点的k叉树，其最小深度为 [log k (n (k-1))]+1。 性质5．设一棵具有n个结点的树中有度为0、1、2、…、m的结点个 数分别为： n n0、n1、n2、…、nm 个，则n0 = 1+ (i 1)ni 。
i 1
性质6．设森林中的所有树共包含n个结点和m条边，则该森林必含nm棵树。
2013-8-20
7
树、森林的概念及术语
三、树的表示法
1．图形表示法 2．集合嵌套表示法 3．凹入表表示法 4．广义表表示法
A
A
C G
B D E H
B H E I
D F
I F C G
(a)
(b)
2013-8-20
8
7．1．2 树的ADT定义
数据操作P： 1、初始化一棵空树InitTree（&T）。 操作结果：构造一棵空树，返回根结点指针。 2、创建一棵树CreateTree（&T，n）。 初始条件：树T已初始化为空树。 操作结果：构造一棵含n个结点的树，返回根结点指针。 3．清空一棵树ClearTree（&T）。 初始条件：树T已存在。 操作结果：将树T清为空树，释放所有结点，返回根结点指针。 4．撤消一棵树ClearTree（&T）。 初始条件：树T已存在。 操作结果：将树T撤消。 5．判断树是否为空树TreeEmpty（T）。 初始条件：树T已存在。 操作结果：若树T为空树，则返回TRUE，否则返回FALSE。
二、 孩子表示法
1．多重链表表示法
（1） 不等长结点结构。每个结点指针域的个数等于该结点的度数； （2） 等长结点结构。每个结点指针域的个数等于树的度数。假设树 的度为k，所有结点都含k个指针域，另外增加一个度数域degre ， 存放结点的度。 结点结构如图所示。
2013-8-20
18
三、孩子链表表示法
2013-8-20 22
五、孩子兄弟表示法
在树中，每个结点除数据信息域外，再增加两个分别指向该结点 的最左边的第一个孩子结点和第一个兄弟结点的指针。存储表示的结 点结构如图所示。
firstchild data nextsibling
存储结构定义如下：
typedef struct CSNode { TElemType data; struct CSNode *firstchild , *nextsibling ; } CSNode , *CSTree ;
2013-8-20
6
树、森林的概念及术语
按结点的层次关系，可以将结点划分几类。相邻两层之间，具有 相同根结点的下层结点称为上层结点的子女结点。上层结点称为下层 结点的双亲结点。间隔层次之间的结点，上面的称为祖先结点，下面 的称为子孙结点。同层的结点若是同父则称为兄弟结点，不同父的称 为堂兄结点。 当一棵树中任何结点的各子树从左到右规定是有次序的，若交换 了某结点各子树的相对位置，则构成不同的树，则称这棵树为有序树； 反之，则称为无序树。 由零棵或有限棵不相交的树构成的集合称为森林。任何一棵树， 删去根结点就变成了森林，对任何森林，增加一个根结点，将森林的 每棵树作为子树，就构成树。
7．1 树的概念与ADT定义
7.1 树、森林的概念及术语
一、树的定义
树（Tree）是n（n≥0）个有限数据元素的集合，当n＝0时，称 为空树。在一棵非空的树T中： （1）有一个特殊的数据元素称为树的根结点，该结点没有前驱结 点。 （2）若n>1时，除根结点之外的其余数据元素被分成m（m>0） 个互不相交的集合T1，T2，…，Tm，其中每一个集合Ti（1≤i≤m） 本身又是一棵树。称T1，T2，…，Tm为这个根结点的子树。
2013-8-20
10
树的ADT定义
10．取某个非根结点的双亲结点Parent（T, cur_e）。 初始条件：树T已存在，cur_e是树中某个结点。 操作结果：返回结点cur_e的双亲结点值。 11．取某个结点的最左边的孩子结点值LeftChild（T, cur_e）。 初始条件：树T已存在，cur_e是树中某个结点。 操作结果：若cur_e是非叶结点，则返回cur_e的最左边孩子结 点，否则返回空。 12．取某个结点的最右边的孩子结点值RightChild（T, cur_e）。 初始条件：树T已存在，cur_e是树中某个结点。 操作结果：若cur_e有右兄弟结点，则返回cur_e的最右兄弟结 点的值，否则返回空。
Data firstchild 0 1 ... i ... n-1 n r 结点个数域 根节点位置域 Child next ...
... ...
2013-8-20
19
三、孩子链表表示法
存储结构定义如下：
#define MAXSIZE 100 // 定义结点最大个数 typedef struct CTNode { // 定义孩子链表结点类型 int child ; struct CTNode *next ; } *Childptr ; typedef struct { // 定义数组元素结点类型 TElemType data ; Childptr firstchild ; } CTBos ; typedef struct { // 定义结点数组类型 CTBos nodes[ MAXSIZE ] ; Int n , r ; // 结点个数与根结点位置 } CTree ;
2013-8-20 9
树的ADT定义
6．求树的深度TreeDepth（T）。 初始条件：树T已存在。 操作结果：返回树的深度。 7．取根结点的值Root（T， &e）。 初始条件：树T已存在。 操作结果：由e返回树T根结点的值。 8．取某个结点的值Value（T, cur_e ,）。 初始条件：树T已存在，cur_e是树中某个结点。 操作结果：返回结点cur_e的值。 9．为某个结点赋值Assign（T, cur_e , value）。 初始条件：树T已存在，cur_e是树中某个结点。 操作结果：将结点cur_e赋值为value。
n r 结点个数域 根节点位置域
...
2013-8-20
21
四、双亲孩子表示法
存储表示描述：
#define MAXSIZE 100 // 定义结点最大个数 typedef struct CTNode { // 定义孩子链表结点类型 int child ; struct CTNode *next ; } *Childptr ; typedef struct { // 定义数组元素结点类型 int parent ; TElemType data ; Childptr firstchild ; } CTBos ; typedef struct { // 定义结点数组类型 CTBos nodes[ MAXSIZE ] ; int n , r ; // 结点个数与根结点位置 } CTree ;
2013-8-20
15
双亲表示法
存储结构定义如下：
# define MAXNODE 100 // 树中结点的最大个数 typedef struct PTNode { // 数组元素结构 TElemType data; // 数据元素 int parent ; // 双亲指针 } PTNode ; typedef struct { // 树的存储结构 PTNode data[ MAXNODE ] ; // 数组域 int r , n ; // 根结点指针和结点个数 } Ptree ;
返回首页
2013-8-20 14
7．2 树与森林的存储结构
一、 双亲表示法 。用一组连续的存储空间（一维数组）存储树中
的各个结点，数组中的每个元素表示树的一个结点，数组元素为结构 体类型，其中包括结点本身的信息以及结点的双亲结点在数组中的序 号，树的这种存储方法称为双亲表示法。
如图：
0 data r parent 结点数组域 n 1 2 … i … n-1
2013-8-20
12
7．1．3 树与森林的性质
性质1．设一棵树有n个结点，边数为 e ，则e = n-1,且e等于各结点 的度数之和。