2006-2011年高考理科数学试题及解析-重庆卷
2011年高考数学重庆卷试题评析及建议
2011年高考数学重庆卷试题评析及建议重庆市南开中学解传江重庆市教育科学研究院张晓斌一、命题范围及试卷结构本次考试的命题范围是全日制普通高中数学必修课和选修课的全部内容。
本次试题充分考虑了文理科学生的实际情况，拉大了文理科试题的差异，既体现了个性，也体现了共性，文理科试题差异个数见表1。
表1 文理科试题差异个数相同题姊妹题不同题题目总数0 4 17 21本次试卷结构和分值分布文理科完全相同，且分值安排偏向于学生容易得分的题目。
二、命题原则及指导思想今年重庆高考数学试题，按照国家教育部考试中心2010年制定的《数学考试大纲》的要求，严格遵循现行中学数学教学大纲的规定，力求发挥三个有利——有利于高校选拨优秀人才，有利于全体学生正常发挥水平，有利于指导中学数学教学。
充分体现“以四基为本，深化能力立意，积极改革创新，注重导向作用”的命题指导思想，并希望能对中学数学教学如何实施素质教育和培养学生创新意识与实践能力方面产生良好的影响。
三、试题的特点1.低起点，多层次，重基础，宽角度这是今年高考文理科数学试题的一个最大特点，也是往年所不能企及的，重视基础知识、基本技能的全面考查，不少题目起点低，入手容易深入难，为大多数考生作答创造了条件，也有利于考生能够发挥出正常水平，获得自己较为满意的成绩。
如文理科选择题的前8个题，填空题的前3个题，每一个解答题的绝大多数学生都能够得到满分的，这样考生就获得了一个基本分数，也就有时间有信心去解决后面一些稍难的问题。
本次考题严格遵循考试大纲，注重基本知识、基本技能和基本的数学思想方法的考查，大多数题目是常规常见题，较好的体现了循序渐进，入手宽，深入难，分步设防，多层次，多题把关的设题思路，使不同层次的学生都能下笔答题，获得较为理想的成绩，这样区分度也会自然提高。
应该说这是今后高考命题在难度控制上的一个参照。
2.突出数学本质与数学思想方法的考查本次考题不偏不怪，常规常见，题面叙述平适近人，数学味较浓，淡化非数学成分，不少试题体现了对数量关系和空间形式的要求，突出了数学本质的考查。
2006年高考数学试卷(全国Ⅰ.理)含详解
2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果时间A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果时间A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径 一、选择题⑴、设集合{}20M x x x =-<，{}2N x x =<，则 A ．M N =∅ B ．M N M = C ．M N M = D ．M N R =⑵、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => C ．()22()x f x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+> ⑶、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =A ．14-B ．4-C ．4D ．14⑷、如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =A ．1B ．1-CD ．⑸、函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为A ．,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ B ．()(),1,k k k Z ππ+∈C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭⑹、ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A ．14 B ．34C ．4D ．3⑺、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π⑻、抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 A ．43 B ．75 C ．85D ．3 ⑼、设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。
一般高等学校招生全国统一考试重庆卷理含详解
（A）30 种
（B）90 种
（9）如图所示，单位圆中 AAB 的长为 x ， f (x)表示弧 AAB 与弦 AB 所围成的弓
形面积的 2 倍，则函数 y f (x) 的图像是（ ）
（C）180 种
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2006年全国3卷高考理科数学试题
2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷3）理科数学1.设集合2{|0}M x x x =-<，{|||2}N x x =<，则 A.M N =∅ B.M N M = C.M N M = D.M N R =2.已知函数xy e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A.2(2)()xf x e x R =∈ B.(2)ln 2ln (0)f x x x => C.(2)2()x f x e x R =∈ D.(2)ln ln 2(0)f x x x =+> 3.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = A.14-B.4-C.4D.144.如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =A.1B.1- D.5.函数()tan()4f x x π=+的单调增区间为A.(2k ππ-，)2k ππ+，k Z ∈ B.(k π，(1))k π+，k Z ∈C.3(4k ππ-，)4k ππ+，k Z ∈D.(4k ππ-，3)4k ππ+，k Z ∈6.ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若a b c 、、成等比数列，且2c a =，则cos B =A.14 B.34C.4D.37.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π 8.抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 A.43 B.75C.85D.39.设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++= .如果向量1b 、2b 、3b，满足2i i b a = ，且i a 顺时针旋转30︒后与i b同向，其中i =1，2，3，则A.1230b b b -++=B.1230b b b -+=C.1230b b b +-=D.1230b b b ++=10.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=A.120B.105C.90D.7511.用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为A.2B.2C.2D.220cm12.设集合{I =1，2，3，4，5}.选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有A.50种B.49种C.48种D.47种 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在横线上.13.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为于_______________.14.设2z y x =-，式中变量x y 、满足下列条件2132231x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z 的最大值为________.15.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种.（用数字作答） 16.设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<.若()()f x f x '+是奇函数，则ϕ=__________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值.18.（本小题满分12分）A B 、是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A 有效的概率为23，服用B 有效的概率为12. ⑴求一个试验组为甲类组的概率；⑵观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望. 19.（本小题满分12分）如图，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段.点A B 、在1l 上，C 在2l 上，AM MB MN ==.⑴证明：AC ⊥NB ；⑵若60ACB ∠=︒，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值.20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，有一个以1(0F ，和2(0F 为焦点、离心率为2的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+.求：⑴点M 的轨迹方程；⑵OM的最小值.21.（本小题满分14分） 已知函数1()1axx f x e x-+=-. ⑴设0a >，讨论()y f x =的单调性；⑵若对任意(0x ∈，1)恒有()1f x >，求a 的取值范围. 22.（本小题满分12分） 设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，n =1，2，3... ⑴求首项1a 与通项n a ；⑵设2n n n T S =，n =1，2，3，证明：132ni i T =<∑.。
2011年普通高等学校招生全国统一考试重庆卷数学试题卷(理工农医类)(2)
2011年普通高等学校招生全国统一考试重庆卷数学试题卷(理工农医类)(2)1 / 11 / 12011 年一般高等学校招生全国一致考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）满分 150 分 .考试时间120 分钟 .注意事项：1． 答题前，务势必自己的姓名，准考据号填写在答题卡规定的地点上 .2．答选择题时，一定使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需变动，用橡皮擦擦洁净后，再选其余答案标号.3．答非选择题时，一定使用0.5 毫米黑色署名笔，将答案书写在答题卡规定的地点上.4．全部题目一定在答题卡上作答，在试题卷上答题无效 .5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10 小题，每题5 分，共 50 分.在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .i 2 i 3 i 41．复数1 iA ． 1 1 iB ． 1 1 iC ．1 1iD ．1 1i2 222 22 2 22”是“ x”的．“ xA ．充足而不用要条件B ．必需而不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要3．已知 lim(ax，则 a)xxxA ．B ． 2C ． 3D ． 64． (1 3x) n (此中 nN 且 n ≥6) 的睁开式中 x 5与x 6 的系数相等，则 n=A ． 6B ． 7C ． 8D ． 95．以下区间中，函数f （x ）= In(2 x) 在其上为增函数的是A ．（ - ,1 ]B ．1,4C ． 0,3D ． 1,2326．若△ ABC 的内角 A 、B 、C 所对的边 a 、b 、c 知足（ a 2c 24 ，且 C=60 °，则 abb ） 的值为4B ．843C ． 12A ．D ．31 437．已知 a ＞0， b ＞ 0，a+b=2，则 y=的最小值是a b。
2011年数学理(重庆)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选其他答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数2341i i i i++=-A ．1122i -- B ．1122i -+ C ．1122i - D ．1122i + 2．“x <-1”是“x 2-1>0”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要3．已知lim()x ax x x→∞2-1+=2-13，则a = A ．-6B ． 2C ．3D ．64．(13)(6)n x n N n +∈其中且≥的展开式中56x x 与的系数相等，则n=A ．6B ．7C ．8D ．95．下列区间中，函数f x =(2)In x -（）在其上为增函数的是A ．（-,1∞]B ．41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．)30,2⎡⎢⎣D ．[)1,26．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足22a b 4c +-=（），且C=60°，则ab 的值为A ．43B ．8-C ． 1D ．237．已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则y=14a b+的最小值是A ．72B ．4C ．92D ．58．在圆06222=--+y x y x 内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为A ．25B ．210C．D ．2209．高为4的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为ABC ．1D10．设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为 A ．-8 B ．8 C ．12 D ．13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上 11．在等差数列{}n a 中，3737a a +=，则2468a a a a +++=__________ 12．已知单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则122e e -=__________13．将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率__________ 14．已知1sin cos 2α=+α，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为__________ 15．设圆C 位于抛物线22y x =与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为__________三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（本小题满分13分）设a R ∈，()()2cos sin cos cos 2f x x a x x x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭满足()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求函数()f x 在11[,]424ππ上的最大值和最小值. 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A 片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望 18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）设()f x x ax bx 32=+++1的导数'()f x 满足'(),'()f a f b 1=22=-，其中常数,a b R ∈． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线方程； （Ⅱ） 设()'()x g x f x e -=，求函数()g x 的极值．19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）如题（19）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB BC ⊥，AD CD =，CAD ∠=30︒．（Ⅰ）若AD =2，AB BC =2，求四面体ABCD 的体积；（Ⅱ）若二面角C AB D --为60︒，求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值．20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）如题（20）图，椭圆的中心为原点O ，离心率e =，一条准线的方程为x =（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）设动点P 满足：OP OM ON =+2uu u r uuu r uuu r，其中,M N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为1-2，问：是否存在两个定点,F F 12，使得PF PF 12+为定值？若存在，求,F F 12的坐标；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分，（I ）小问5分，（II ）小问7分）设实数数列}{n a 的前n 项和n S ，满足)(*11N n S a S n n n ∈=++ （I ）若122,2a S a -成等比数列，求2S 和3a ； （II ）求证：对14303k k k a a +≥≤≤≤有参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分. 1—5 CADBD 6—10 ACBCD二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分25分.11．74 1213．1132 14．2- 151 三、解答题：满分75分. 16．（本题13分）解：22()sin cos cos sin f x a x x x x =-+ sin 2cos 2.2ax x =-由1()(0)1,322a f f a π-=+=-=得解得因此()2cos 22sin(2).6f x x x x π=-=-当[,],2[,],()43632x x f x πππππ∈-∈时为增函数， 当113[,],2[,],()324624x x f x πππππ∈-∈时为减函数， 所以11()[,]() 2.443f x f πππ=在上的最大值为又因为11()()424f f ππ== 故11()[,]424f x ππ在上的最小值为11()24f π= 17．（本题13分）解：这是等可能性事件的概率计算问题.（I ）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式2242C ⋅种，从而恰有2人申请A 片区房源的概率为224428.273C ⋅= 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验. 记“申请A 片区房源”为事件A ，则1().3P A =从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人申请A 片区房源的概率为22244128(2)()().3327P C ==（II ）ξ的所有可能值为1，2，3.又421322243244234431(1),273()(22)1414(2)((2))272733P C C C C C C P P ξξξ===+-======或12123342434444(3)((3)).9933C C C C A P P ξξ======或 综上知，ξ有分布列从而有114465123.2727927E ξ=⨯+⨯+⨯= 18．（本题13分）解：（I ）因32()1,f x x ax bx =+++故2()32.f x x ax b '=++ 令1,(1)32,x f a b '==++得由已知(1)2,322, 3.f a a b a b '=++==-因此解得 又令2,(2)124,x f a b '==++得由已知(2),f b '=- 因此124,a b b ++=-解得3.2a =-因此3235()31,(1)22f x x x x f =--+=-从而 又因为3(1)2()3,2f '=⨯-=-故曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线方程为5()3(1),6210.2y x x y --=--+-=即（II ）由（I ）知2()(333)xg x x x e -=--，从而有2()(39).xg x x x e -'=-+令212()0,390,0, 3.g x x x x x '=-+===得解得 当(,0),()0,()(,0)x g x g x '∈-∞<-∞时故在上为减函数； 当(0,3),()0,()x g x g x '∈>时故在（0，3）上为增函数； 当(3,)x ∈+∞时，()0,()(3,)g x g x '<+∞故在上为减函数；从而函数1()0g x x =在处取得极小值2(0)3,3g x =-=在处取得极大值3(3)15.g e -= 19．（本题12分）（I ）解：如答（19）图1，设F 为AC 的中点，由于AD=CD ，所以DF ⊥AC.故由平面ABC ⊥平面ACD ，知DF ⊥平面ABC ， 即DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°在Rt △ABC 中，因AC=2AF=AB=2BC ，由勾股定理易知BC AB == 故四面体ABCD 的体积1114.332555ABC V S DF ∆=⋅⋅=⨯⨯=（II ）解法一：如答（19）图1，设G ，H 分别为边CD ，BD 的中点，则FG//AD ，GH//BC ，从而∠FGH 是异面直线AD 与BC 所成的角或其补角.设E 为边AB 的中点，则EF//BC ，由AB ⊥BC ，知EF ⊥AB.又由（I ）有DF ⊥平面ABC ， 故由三垂线定理知DE ⊥AB.所以∠DEF 为二面角C —AB —D 的平面角，由题设知∠DEF=60°设,sin .2a AD a DF AD CAD ==⋅=则在,cot ,236a Rt DEF EF DF DEF ∆=⋅=⋅=中从而1.2GH BC EF === 因Rt △ADE ≌Rt △BDE ，故BD=AD=a ，从而，在Rt △BDF 中，122aFH BD ==， 又1,22aFG AD ==从而在△FGH 中，因FG=FH ，由余弦定理得222cos 226FG GH FH GH FGH FG GH FG +-===⋅ 因此，异面直线AD 与BC解法二：如答（19）图2，过F 作FM ⊥AC ，交AB 于M ，已知AD=CD ，平面ABC ⊥平面ACD ，易知FC ，FD ，FM 两两垂直，以F 为原点，射线FM ，FC ，FD 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系F —xyz.不妨设AD=2，由CD=AD ，∠CAD=30°，易知点A ，C ，D 的坐标分别为(0,(0,0,1),A C D AD = 则 显然向量(0,0,1)k =是平面ABC 的法向量. 已知二面角C —AB —D 为60°，故可取平面ABD 的单位法向量(,,)n l m n =，使得1,60,.2n k n <>==从而222,0,61,n AD n m l m n l ⊥+==-++== 由从而由得设点B的坐标为(,,0);,,B x y AB BC n AB l ⊥⊥= 由取223,,0,9,)0,36x y x x y x y y ⎧⎧+==⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪-+=⎩⎪⎪=⎩⎪⎩解之得舍去易知3l =-. 因此点B的坐标为(,,0).99B所以(,99CB =- 从而cos ,||||AD CBAD CB AD CB ⋅<>===故异面直线AD 与BC20．（本题12分）解：（I）由22c a e a c===解得2222,2a c b a c ===-=，故椭圆的标准方程为221.42x y += （II ）设1122(,),(,),(,)P x y M x y N x y ，则由2OP OM ON =+ 得112212121212(,)(,)2(,)(2,2),2,2.x y x y x y x x y y x x x y y y =+=++=+=+即因为点M ，N 在椭圆2224x y +=上，所以2222112224,24x y x y +=+=，故222222*********(44)2(44)x y x x x x y y y y +=+++++2222112212121212(2)4(2)4(2)204(2).x y x y x x y y x x y y =+++++=++设,OM ON k k 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知12121,2OM ON y y k k x x ⋅==-因此121220,x x y y += 所以22220.x y += 所以P221+=上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1，F 2，则由椭圆的定义|PF 1|+|PF 2|为定值，又因c ==，因此两焦点的坐标为12(F F21．（本题12分）（I ）解：由题意2221222221122,2,S a a S S S a S a a ⎧=-=-⎨==⎩得，由S 2是等比中项知220. 2.S S ≠=-因此 由23332S a S a S +==解得23222.1213S a S -===---（II ）证法一：由题设条件有11,n n n n S a a S +++=故11111,1,,11n n n n n n n n S aS a a S S a ++++≠≠==--且 从而对3k ≥有112112112111211111.11111k k k k k k k k k k k k k k k k a a S a S a a a a S a S a a a a ---------------++-====-+--++-- ①因2221111131()0024k k k k a a a a -----+=-+>≥且，由①得0k a ≥ 要证43k a ≤，由①只要证212114,31k k k a a a ---≤-+即证222111134(1),(2)0.k k k k a a a a ----≤-+-≥即 此式明显成立. 因此4(3).3k a k ≤≥ 最后证1.k k a a +≤若不然212,1kk k k k a a a a a +=>-+ 又因220,1,(1)0.1kk k k k a a a a a ≥>-<-+故即矛盾. 因此1(3).k k a a k +≤≥证法二：由题设知111n n n n n S S a a S +++=+=，故方程21110n n n n x S x S S a +++-+=有根和（可能相同）.因此判别式21140.n n S S ++∆=-≥又由2212212121.1n n n n n n n n n a S S a a S a S a +++++++++=+=≠=-得且因此22222222240,3401(1)n n n n n n a a a a a a ++++++-≥-≤--即， 解得240.3n a +≤≤ 因此40(3).3k a k ≤≤≥由110(3)1k k k S a k S --=≥≥-，得111211122111(1)(1)11110.131()24k k k k k k k k k k k k k kkk k k S S Sa a a a a S a S S S a a S S S --+-------=-=-=-----=-=-≤-+-+因此1(3).k ka a k +≤≥。
巧思妙解2011年高考数学题重庆卷
巧思妙解2011年高考数学题（重庆卷）杨洪林1.（文19）设f（x）= 2 x3 + ax2 + bx + 1的导数为f′（x），若函数y = f′（x）的图象关于直线x = - 对称，且f′（1）= 0.（1）求实数a、b的值；（2）求函数f（x）的极值.【参考答案】（1）因为f（x）= 2 x3 + ax2 + bx + 1，故f′（x）= 6x2 + 2ax + b.从而f′（x）= 6，即f′（x）关于直线x = -对称，从而由题设条件知-= -，解得a = 3.又由于f′（1）= 0，即6 + 2a + b = 0，解得b = - 12.（2）由（1）知f（x）= 2 x3 + 3x2 - 12x + 1，f（x）= 6 x2 + 6x -12 = 6（x + 2）（x - 1）.令f′（x）= 0，即6（x + 1）（x - 2）= 0，解得x1 = -2，x2 = 1.当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＞0，故f（x）在（-∞，-2）上为增函数；当x∈（-2,1）时，f′（x）＜0. 故f（x）在（-2，1）上为减函数；当x∈（1, +∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（1, +∞）上为增函数.从而函数f（x）在x1 = -2处取得极大值f（-2）= 21，在x2 = 1处取得极小值f（1）= -6.·巧思·①利用“曲线y = f′（x）关于直线x += 0对称”“f′（x）中x2 与x的系数相同”，以及“f′（1）= 0”“f′（x）含有因式（x -1）”，立即可得a、b的值。
②将f（x）化为2（x - c）2（x - d）+ m的形式，根据极值的定义可知，若c＜d，则f（c）= m 为f（x）的极大值；若c＞d，则f（c）= m为f（x）的极小值。
·妙解·（1）题设f′（x）= 6x2 + 2ax + b = 6（x2 + x -2）a = 3, b = -12.（2）f（x）= 2 x3 + 3x2 - 12x + 1 =（x + 2）2（2x - 5）+ 21 =（x -1）2（2x + 7）- 6 f（x）max =f（-2）= 21，f（x）min = f（1）= - 6.【评注】①先将f′（x）由一般式化为“顶点式”，后与题设条件对照，是“由简变繁”；而改为先将f′（x）由条件决定的“顶点式”还原成一般式,，后与原式对照，则是“化繁为简”，且缩减不少过程。
高考理科数学试题及答案2006
高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2011年高考试题数学圆锥曲线(理科)
2011年高考试题数学圆锥曲线（理科）解析数学一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科8)已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为(A)22154x y -= (B) 22145x y -= (C) 22136x y -= (D) 22163x y -=3. (2011年高考全国新课标卷理科7)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）3 答案：B解析：由题意知，AB 为双曲线的通径，所以，AB a a b 422==，222=∴ab又3122=+=ab e ，故选B.点评：本题考查双曲线标准方程和简单几何性质，通过通经与长轴的4倍的关系可以计算出离心率的关键22ab 的值，从而的离心率。
4.(2011年高考浙江卷理科8)已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则 （A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 【答案】 C【解析】由1C 恰好将线段AB 三等分得133A A x x x x =⇒=，由222A y x x x y=⎧⇒=⎨+⎩,x ∴=y=) 在椭圆上,1=2211a b ⇒=又225,a b -=212b ∴=，故选C 5.(2011年高考安徽卷理科2)双曲线x y 222-=8的实轴长是（A ）2 (B)【答案】A【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.【解析】x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C.6. (2011年高考湖南卷理科5)设双曲线()019222>=-a y ax 的渐近线方程为023=±y x ，则a 的值为A.4B. 3C. 2D. 18.(2011年高考陕西卷理科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（A ）28y x =- （B ）28y x = （C ）24y x =- （D ）24y x = 【答案】B【解析】：设抛物线方程为2y ax =，则准线方程为4a x =-于是24a-=-8a ⇒= 9. (2011年高考四川卷理科10)在抛物线25(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为( )（A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)-10. (2011年高考全国卷理科10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠= (A)45 (B)35 (C)35- (D)45- 【答案】D【解析】：24(1,0)y x F = 得，准线方程为1x =-，由24(1,2),(4,4)24y xA B y x ⎧=-⎨=-⎩得=，由抛物线的定义得2,5AF BF ==由余弦定理得4cos 5AFB ∠==- 故选D11．(2011年高考福建卷理科7)设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于A ．1322或B ．23或2C ．12或2D ．2332或 【答案】A二、填空题:1.(2011年高考辽宁卷理科13)已知点（2,3）在双曲线C ：1by -a x 2222=（a ＞0，b ＞0）上，C 的焦距为4，则它的离心率为_____________.3. (2011年高考江西卷理科14)若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是【答案】22154x y +=【解析】因为一条切线为x=1,且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，所以椭圆的右焦点为(1,0),即1c =,设点P （1，12）,连结OP,则OP ⊥AB,因为12OP k =,所以2AB k =-,又因为直线AB 过点(1,0),所以直线AB 的方程为220x y +-=,因为点(0,)b 在直线AB 上,所以2b =,又因为1c =,所以25a =,故椭圆方程是22154x y +=.4. (2011年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上，。
2011年高考试题——(全国卷理)解析版
2011 年高考题全国卷II数学试题· 理科全解全析科目：数学试卷名称2011 年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷II(理科)知识点检索号题目及解析新课标（1）复数z 1 i ， z为 z 的共轭复数，则 zz z 1（A）2i（ B）i（ C）i（ D）2i【思路点拨】先求出的z 共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。
【精讲精析】选 B. z 1i, zz z 1 (1 i )(1 i) (1 i ) 1 i .（2）函数y 2 x (x≥0)的反函数为（A）y x2( x R)（ B）4（C）y4x 2( x R)（）Dyx2 ( x≥0) 4y 4x2 (x≥0)【思路点拨】先反解用y 表示 x, 注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域。
【精讲精析】选 B. 在函数y2x (x≥0) 中， y0 且反解x 得x y2，所以4y 2 x ( x≥0)的反函数为 y x2( x 0) .4（3）下面四个条件中，使a＞ b 成立的充分而不必要的条件是（A）a＞b 1（ B）a＞b 1（ C）a2＞b2（ D）a3＞b3【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b，而由 a>b 推不出选项的选项 .【精讲精析】选 A. 即寻找命题 P 使 P a b, a b 推不出P，逐项验证可选A。
（4）设S n为等差数列a n的前n项和，若a11，公差d 2 ，S k 2S k24 ，则k（A） 8（B）7（C） 6（D） 5【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。
思路二：利用 S k 2 S k a k 2 a k 1 直接利用通项公式即可求解，运算稍简。
【精讲精析】选 D.Sk 2S kak 2ak 12a 1 (2k 1)d 2 (2k 1)2 24 k 5.（5）设函数 f ( x)cos x( ＞0) ，将 yf (x) 的图像向右平移个单位长度后，3所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于（A ）1（B ） 3（C ） 6（D ） 93【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将 y f ( x) 的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了是此函数周期的整数倍。
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2006 （1）已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A= {2，4，5，7}，B = {3，4，5}，则（CUA）∪（CUB）= （A）{1，6} （B）{4，5} （C）{2，3，4，5，7} （D）{1，2，3，6，7} （2）在等差数列{a n}中，若a4+ a6=12，Sn是数列{a n}的前n项和，则S9的值为 （A）48 （B）54 （C）60 （D）66 （3）过坐标原点且与圆0252422yxyx相切的直线的方程为
（A）y =－3x 或xy31 （B）y = 3x 或xy31 （C）y =－3x或xy31 （D）y = 3x 或xy31
（4）对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l （A）平行 （B）相交 （C）垂直 （D）互为异面直线 （5）若nxx13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为
（A）－540 （B）－162 （C）162 （D）540 （6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在[56.5, 64.5]的学生人数是 （A）20 （B）30 （C）40 （D）50 （7）与向量27,21,21,27ba的夹角相等, 且模为1的向量是 （A）53,54 （B）53,54或 53,54 （C）31,322 （D）31,322或31,322 （8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配 方案有 （A）30种 （B）90种 （C）180种 （D）270种
（9）如图所示, 单位圆中弧AB 的长为)(,xfx表示弧AB 与弦AB所围 成的弓形面积的2倍，则函数)(xfy的图象是
（10）若a, b, c > 0且324)(bccbaa,则cba2的最小值为 （A）13 （B）13
（C）232 （D）232 （11）复数 的值是_______．
（12）12)12(312limnnnn_______．
⌒ ⌒ 1 + 2i 3 + i3 （13）已知4cos,13124sin,53)sin(,,43,则_______． （14）在数列na中, 若32,111nnaaa（n≥1）, 则该数列的通项na_______． （15）设,1,0aa函数)32lg(2)(xxaxf有最大值, 则不等式0)75(log2xxa的解集为_______． （16）已知变量yx,满足约束条件41yx,22yx, 若目标函数yaxz（其中0a）仅在点（3,1）处取得最大值，则a的取值范围为_______． 三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17） 设函数2cos3)(xfωx + sinωxcosωx + a（其中ω> 0, a∈R）, 且)(xf的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6．
（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果)(xf在区间65,3上的最小值为3, 求a的值．
（18）(本小题满分13分) 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠．若该电梯在底层载有5 位乘客, 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为31, 用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数, 求： （Ⅰ）随机变量的分布列； （Ⅱ）随机变量的期望．
（19）(本小题满分13分) 如图, 在四棱锥ABCDP中, PA底面ABCD, DAB为直角, ,2,//ABCDADCDAB E、F分
别为PC、CD的中点． （Ⅰ）试证：CD平面BEF； （Ⅱ）设ABkPA, 且二面角CBDE的平面角大于30°, 求k的取值范围． （20）(本小题满分13分) 已知函数xecbxxxf)()(2, 其中Rcb,为常数． （Ⅰ）若)1(42cb, 讨论函数)(xf的单调性； （Ⅱ）若)1(42cb, 且,4)(lim0xcxfx 试证：26b．
（21）(本小题满分12分) 已知定义域为R的函数)(xf满足xxxfxxxff22)())((． （Ⅰ）若3)2(f, 求)1(f； 又若)(,)0(afaf求； （Ⅱ）设有且仅有一个实数0x
, 使得00)(xxf,求函数)(xf的解析表达式．
（22）(本小题满分12分) 已知一列椭圆,1:222nnbyxC
10nb, n = 1, 2, „, 若椭圆Cn上有一点
Pn, 使Pn到右准线ln的距离dn是| Pn Fn |与 | Pn Gn |的等差中项, 其中Fn、Gn分别是Cn
的左、右焦点． （Ⅰ）试证：2
3
nb （n≥1）；
（Ⅱ）取232nnbn,并用Sn表示△PnFnGn的面积,试证：121nnSSSS且 （n≥3）．
一、选择题：每小题5分，满分50分. （1）D （2）B （3）A （4）C （5）A （6）C （7）B （8）B （9）D （10）D 二、填空题：每小题4分，满分24分. （11）i107101 （12）21 （13）6556
（14）321n （15）（2，3） （16）a>1 三、解答题：满分76分. （17）（本小题13分） 解：（Ⅰ）axxxf|23|2sin212cos23)(
.23)32sin(ax
依题意得 .2362 解得.21
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.23)3sin()(axxf 又当]65,3[x时，]67,0[3x 故1)3sin(21x，
从而]65,3[)(在xf上取得最小值.2321a 因此，由题设知213 ,32321aa故. （18分）（本小题满分13分） 解法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，5. 由等可能性事件的概率公式得
.2438032)1(,2433232)0(541555CPP
.2434032)3(,2438032)2(54355325CPCP .243131)5(,2431032)4(5545PCP 从而ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5
P 24332 24380 24380 24340 24310 243
1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得ξ的期望为 .3524340524315243104243403243802243801243320E 解法二：（Ⅰ）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验. 故),31,5(B即 .5,4,3,2,1,0 ,)32()31()(545kCkPkk
由此计算ξ的分布列如解法一. （Ⅱ）.35315E 解法三：（Ⅰ）同解法一或解法二 （Ⅱ）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等. 即,53E 从而.35E （19）（本小题13分） 解法一： （Ⅰ）证：由已知ABDF//且∠DAB为直角，故ABFD是矩形，从而CD⊥BF.
又PA⊥底面ABCD, CD⊥AD, 故由三垂线定理知CD⊥PD. 在△PDC中, E、F分 别为PC、CD的中点，故EF//PD，从而CD⊥EF，由此得CD⊥面BEF. （Ⅱ）连接AC交BF于G，易知G为AC的中点，连接 EG，则在△PAC中易知EG//PA，又因 PA⊥底面ABCD，故EG⊥底面ABCD. 在底 面ABCD中，过G作GH⊥BD，垂足为H，连接 EH，由三垂线定理知EH⊥BD. 从而∠EHG为 二面角E—BD—C的平面角. 设AB=A，则在△PAC中，有 kaPABG2121 以下计算GH，考虑底面的平面图（如答（19）图2），连结GD， 因DFGBGHBDSGBD2121
故.BDDFGBGH 在△ABD中，因AB=a，AD=2a，得.5aBD 而ABDFaADFBGB,2121，从而得 aaaaBDABGBGH555
因此.255521tankakaGHEGEHG 由k>0知∠EHG是锐角，故要使∠EHG>30°，必须 ,3330tan25k
解之得，k的取值范围为.15152k 解法二： （Ⅰ）如图，以A为原点, AB所在直线为x轴, AD所在直线为y轴, AP所在直线为z轴建立 空间直角坐标系，设AB=a，则易知点A，B，C，D，F的坐标分别为 A（0，0，0），B（a，0，0），C（2a，2a，0）， D（0，2a，0），F（a，2a，0）
从而)0,2,0( ),0,0,2(aBFaDC， . ,0BFDCBFDC故 设PA=B，则P（0，0，b），而E为PC中点，故 )2,,(baaE. 从而).2,,0(baBE
. ,0BEDCBEDC故 由此得CD⊥面BEF. （Ⅱ）设E在xOy平面上的投影为G, 过G作为GH⊥BD垂足为H, 由三垂线定理知EH⊥BD. 从而∠EHG为二面角E—BD—C的平面角.
由)0,,( ),2,,( ),,0,0(aaGkaaaEkaPABkPA得.
设)0,,(yxH，则)0,2,(),0,,(aaBDayaxCH， 由0)(2)(0ayaaxaBDGH得，即