第三章 总结与测试

第三章 总结与测试一 主要内容总结 ㈠ 可测集的概念：⑴ 目标：满足勒贝格测度公里：对于是直线上的一部分集合簇μ，使得每一个μ∈E，都对应一个实数m ，满足①非负性；②可列可加性；③正则性 ⑵ 可测集的引入 ① 外测度的定义：外测度的性质：正则性且0*=φm ，单调性，次可列可加性。

② Carath éodory 条件及其等价条件：nRE ⊂⇔CE可测⇔对nRT⊂∀，成立()()CETmE T mTm ***+⋂=⇔对EA⊂∀, CEB ⊂, 成立*()**m A B m A m B =+ 。

③ 可测集的性质（见课本P60-65）：定理1-3等价条件；定理4-7运算性质；定理8-9，关于极限的封闭性；补充定理10-11，关于上、下极限的封闭性；㈡ 可测集的结构描述（可测集的存在性）：1、 Borel 可测集: 由开集生成的σ-代数中的元素(集合)。

这类集合包含零测度集，区间（开区间、闭区间、半开半闭区间），开集，闭集，δG 型集，σF 型集等等。

2、 非Borel 集的可测集: 运用Borel 可测集逼近 ⑴ 开集、闭集有限逼近法（理论效果不理想）：若E 可测，对于任意ε>0，恒有开集G 及闭集F ，使,FE G ⊂⊂而()m G E ε-<,()m E F ε-<。

⑵ δG 、σF 型集无限逼近法（理论效果理想）：设nRE⊂是任意可测集，则一定存在可测集δG 型集G （或σF 型集F ），使得EG⊃()E F ⊂,且()0=-E G m ()()0=-F E m 或。

⑶ 设pER⊂, 那么存在δG 型集G , pR G ⊂，使得E G ⊃且E m mG *= 。

㈢证明集合可测的方法总结： 1. 定义及其等价条件法。

2. 零测集法3. 分解法（按可测集合的结构把一个集合分解成一个可测集加上或减去一个零测集）4. 夹逼性定理5. 利用已知结论法（P69的例1与P75的习题11）二 测试题1. 证明:若E 有界,则*.m E <+∞2. 可数点集的外测度为零.3. 设是直线上一有界集合,*0m E >,则对任意小于*m E 的正数c,恒有E 的子集1E ,使1*c m E =.4. 设12,,,n S S S 是一些互不相交的可测集合，,1,2,,,i i E S i n ⊂= 求证1212*()***n nm E E E m E m E m E =+++5. 若*0m E =，则E 可测。

6. 证明康托尔（Cantor ）集合的测度为零。

7. 设,pA BR⊂且*m B<+∞。

若A 是可测集，证明*()**()m A B m A m B m A B =+-注：本题中条件*m B<+∞去掉，结论依然成立。

8. 证明：若E 可测，对于任意ε>0，恒有开集G 及闭集F ，使,FE G ⊂⊂而()m G E ε-<,()m E F ε-<。

9. 设,qE R ⊂存在两列可测集{},{},n n A B ，使得n nA EB ⊂⊂，且()0(n n m B A n -→→∞则E 可测。

10. 设,pA B R⊂，证明： *()*()**m A B m A B m A m B+≤+ 。

11. 设pER⊂，若对任意正整数0ε>存在闭集FE⊂，使得*()m E F ε-<，证明E 是可测集。

12. 若nRE⊂，对0>∀ε，存在开集G , 使得GE⊂且满足*()m G E ε-<，证明E 是可测集。

13.证明直线上所有可测集合作成的类μ的基数等于直线上所有集合类的基数。

14. 设nRE⊂是任意可测集，则一定存在δG 型集G ，使得E G ⊃,且()0=-E G m 。

15. 设 {}i S 是一列递增的可测集合，则 ()n n n n mS S m ∞→∞→=lim lim 。

注：本题去掉可测条件，结论依然成立, 见课本（第二版）P70例题3。

16. 有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集。

17. 若A B⊂, B可测，且+∞<mB, 则 ()mB A m B A m-=-**。

18．用一句话概括可测集的结构，并用公式表示。

19. 在直线上是否存在只含一个内点的集合E ，且满足0m E =。

20. 试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ⊂，且12m E =。

21*. 设,nA BR⊂，A B⋃可测，且()m A B ⋃<+∞，若()**m A B m A m B ⋃=+，则,A B皆可测。

22. 设,n A B R ∈，A B⊂，A 可测，且*m A m B =<+∞，试证明B 可测。

23. 若nE R⊂，*m E<+∞，若{}*s u p |m Em F FE =是包含于的闭集，证明E 可测。

24. 设(){}2,|,ARξηξη=⊂之一为有理数，求*m A？25. 若nA R⊂，且*0m A =，则对nE R ∀⊂，成立()**m E A m E⋃=。

26. 设E 是[0,1]中的可测集，若()1m E =，证明：对任意可测集合[0,1]A⊂，(]m E A m A⋂=。

27. 设pER⊂, 求证存在G δ型集G ,pG R⊂，使得GE⊃且*m Gm E= 。

28．设{}n E 是[0,1]中的可测集列，若()1,1,2,,n m E n == 则11n n m E ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭。

29．设{}k E 是nR 的一列的可测集，若1()j j m E ∞=<+∞∑，证明()lim 0jj mE →∞=。

提示：由上限集的定义，可知对对任意自然数l ，1lim j k kj j k jk lE E E∞∞∞→∞====⊂，因此又由单调性及次可数可加性即得()1lim ()jk k kj k lj k j k l m E m E m E m E∞∞∞∞→∞====⎛⎫⎛⎫=≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ ，而又因为1()j j m E ∞=<+∞∑，在上式中令l→∞，上式最右端趋于零。

并由测度的非负性得到()lim 0jj mE →∞=。

30. 设{}k E 是nR 的一列的可测集，且1()k k m E ∞=<+∞∑，试证明n R 中几乎所有点之多能属于{}k E 中的有限个。

提示：因为limlim j j j j E E →∞→∞⊂，于是()lim lim j jj j m E m E →∞→∞⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，应用上题的结论可得lim 0j j m E →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，命题的证。

31. 设{}n E 是一列的可测集，证明limnn E →∞，limnn E →∞都是可测集，且满足（i ）limlim ()n n n n m E m E →∞→∞⎛⎫≤ ⎪⎝⎭；(ii) 若存在0n ，使得()()lim lim n nn n m E m E →∞→∞≤，则。

32. 设[0,1]E⊂，若()0m E =，则E =Φ；若()1m E =，则[0,1]E=。

提示：假设E ≠Φ，即P E∈为E的某一内点，则一定存在邻域(,)(,)U P P P E δδδ=-+⊂，因此()20m E δ≥>，矛盾。

其次利用闭包与内核的对偶关系容易证得，即由()1m E =，于是()0c m E =，从而()c E =Φ，根据()()ccE EΦ==，因此[0,1]E =。

33. 若有界集E 满足条件inf{()|,}sup{()|(),,}m G G G E G m F m F F F F E =⊂=<+∞=⊂，证明E 是可测集。

提示：令in f{()|,}su p {()|(),,}m G G G E G m F m F F F F E α==⊂=<+∞=⊂， 由上确界与下确界的定义，0ε∀>，可得()m G αε≤+，()m F αε≥-，从而()()m G m F ε-≤即()m GF ε-≤。

于是对任意n 成立1()0()nn m G F n n-≤→→∞。

且满足n n G E F ⊂⊂，因此运用夹逼性定理可得E是可测集。

34. 设E 是一可测集，则（i ）in f{|,}m E m G G G E G ==⊂；（ii ）sup{()|(),,}m Em F m F F F F E =<+∞=⊂。

35． 设121,,n nn E E E E E∞=⊃⊃⊃⊃=对任意n ，()n m E =∞，求E 的测度。

36. 在1R 中作一个仅含无理数的闭集F ，使得()0m F >。