湍流模型理论(DOC)

湍流模型理论

§3.1 引言

自然界中的实际流动绝大部分是三维的湍流流动，如河流，血液流动等。湍流是流体粘性运动最复杂的形式，湍流流动的核心特征是其在物理上近乎于无穷多的尺度和数学上强烈的非线性，这使得人们无论是通过理论分析、实验研究还是计算机模拟来彻底认识湍流都非常困难。回顾计算流体力学的发展，特别是活跃的80年代，不仅提出和发展了一大批高精度、高分辨率的计算格式，从主控方程看相当成功地解决了Euler方程的数值模拟，可以说Euler方程数值模拟方法的精度已接近于它有效使用范围的极限；同时还发展了一大批有效的网格生成技术及相应的软件，具体实现了工程计算所需要的复杂外形的计算网格；且随着计算机的发展，无论从计算时间还是从计算费用考虑，Euler方程都已能适用于各种实践所需。在此基础上，80年代还进行了求解可压缩雷诺平均方程及其三维定态粘流流动的模拟。90年代又开始一个非定常粘流流场模拟的新局面，这里所说的粘流流场具有高雷诺数、非定常、不稳定、剧烈分离流动的特点，显然需要继续探求更高精度的计算方法和更实用可靠的网格生成技术。但更为重要的关键性的决策将是，研究湍流机理，建立相应的模式，并进行适当的模拟仍是解决湍流问题的重要途径。

要反映湍流流场的真实情况，目前数值模拟主要有三种方法：1.平均N-S

方程的求解，2.大涡模拟（LES），3.直接数值模拟（DNS）。但是由于叶轮机械内部结构的复杂性以及目前计算机运算速度较慢，大涡模拟和直接数值模拟还很少用于叶轮机械内部湍流场的计算，更多的是通过求解平均N-S方程来进行数值模拟。因为平均N-S方程的不封闭性，人们引入了湍流模型来封闭方程组，所以模拟结果的好坏很大程度上取决于湍流模型的准确度。自70年代以来，湍流模型的研究发展迅速，建立了一系列的零方程、一方程、两方程模型和二阶矩模型，已经能够十分成功的模拟边界层和剪切层流动。但是，对于复杂的工业流动，比如航空发动机中的压气机动静叶相互干扰问题，大曲率绕流，激波与边界层相互干扰，流动分离，高速旋转以及其他一些原因，常常会改变湍流的结构，使那些能够预测简单流动的湍流模型失效，所以完善现有湍流模型和寻找新的湍流模型在实际工作中显得尤为重要。

§3.2 湍流模型概述

§3.2.1 湍流模型的引入

湍流模式理论或简称湍流模型，就是以雷诺平均运动方程与脉动运动方程为基

础，依靠理论与经验的结合，引进一系列模型假设，而建立起的一组描写湍流平

均量的封闭方程组。湍流运动物理上近乎无穷多尺度漩涡流动和数学上的强烈非

线性，使得理论实验和数值模拟都很难解决湍流问题。虽然N-S方程能够准确地

描述湍流运动地细节，但求解这样一个复杂的方程会花费大量的精力和时间。实

际上往往采用平均N-S方程来描述工程和物理学问题中遇到的湍流运动。当我们

对三维非定常随机不规则的有旋湍流流动的N-S方程平均后，得到相应的平均方

u u，从而形成了湍流基本方程，此时平均方程中增加了六个未知的雷诺应力项i j

程的不封闭问题。根据湍流运动规律以寻找附加条件和关系式从而使方程封闭就

促使了几年来各种湍流模型的发展，而且在平均过程中失去了很多流动的细节信

息，为了找回这些失去的流动信息，也必须引入湍流模型。目前虽然许多湍流模

型已经取得了某些预报能力，但至今还没有得到一个有效的统一的湍流模型。同

样，在叶轮机械内流研究中，如何找到一种更合适更准确的湍流模型也有待于进

一步研究。

§3.2.2 湍流模型的发展历程

模型理论的思想可追溯到100多年前，为了求解雷诺应力使方程封闭，早期的处

理方法是模仿粘性流体应力张量与变形率张量关联表达式，直接将脉动特征速度

与平均运动场中速度联系起来。十九世纪后期，Boussinesq提出用涡粘性系数

的方法来模拟湍流流动，通过涡粘度将雷诺应力和平均流场联系起来，涡粘系数

的数值用实验方法确定。到二次世界大战前，发展了一系列的所谓半经验理论，

其中包括得到广泛应用的普朗特混合长度理论，以及G.I泰勒涡量传递理论和

Karman相似理论。他们的基本思想都是建立在对雷诺应力的模型假设上，使雷

诺平均运动方程组得以封闭。1940年，我国流体力学专家周培源教授在世界上

首次推出了一般湍流的雷诺应力输运微分方程；1951年在西德的Rotta又发展

了周培源先生的工作，提出了完整的雷诺应力模型。他们的工作现在被认为是以

二阶封闭模型为主的现代湍流模型理论的最早奠基工作。但因为当时计算机水平

的落后，方程组实际求解还不可能。70年代后期，由于计算机技术的飞速发展，

周培源等人的理论重新获得了生命力，湍流模型的研究得到迅速发展。建立的一

系列的两方程模型和二阶矩模型，已经能十分成功地模拟边界层和剪切层流动，

但是对于复杂的工业流动，比如大曲率绕流，旋转流动，透平叶栅动静叶互相干

扰等，这些因素对湍流的影响还不清楚，这些复杂流动也构成了进入二十一世纪

后学术上和应用上先进湍流模型的研究[48]。

§3.2.3湍流模型研究的现状和进展

湍流模型可根据微分方程的个数分为零方程模型、一方程模型、二方程模型和多方程模型。这里所说的微分方程是指除了时均N-S方程外，还要增加其他方程才能是方程封闭，增加多少个方程，则该模型就被成为多少个模型。下面分别介绍各种湍流模型的研究现状和进展。

3.2.3.1 零方程模型

零方程模型建立在涡粘性假设基础上，把平均N-S方程中的雷诺应力假设为平均物理量的某种函数，使方程组封闭。由于涡粘系数在整个边界层中并不是一个常数，而且湍流边界层仅仅局限于依靠壁面的一个小部分区域内，普朗特在

dU dy）直接1925年提出了动量传递混合长度理论，将湍流应力和平均速度（/

建立关系，此后各国学者在这方面做了大量工作，下面简介几个应用比较广泛的零方程模型。

一种在工程上最为常用的代数模型是由Cebeci-Smith[49]给出的，可用来计算湍流边界层。C-S模型在工程计算中得到了广泛的应用，其准确度和可靠性也得到了较多实验的验证。实践证明，对于逆压力梯度或顺压力梯度很大的平衡湍流边界层及接近分离区的流动，其精度不是很好。后来Baldwin与Lomax对该公式进行了修正，得到了Baldwin-Lomax（B-L）[50]模型。B-L模型以涡粘性假设为基础，属于局部平衡模型，其中系数是不可压缩流体平板附面层实验结果。由于该模型简单，计算工作量小，且对于湍流附面层流动计算具有一定精度，故广泛应用于工程计算中。在应用中人们也发现了B-L模型的不足之处，模型中各系数都是平板附面层经验值，没有考虑压力梯度对附面层的影响。还有很多研究者都曾对代数模型进行了修正，但收效甚微。NASA Ames研究中心曾对代数模型做过广泛系统的研究，发现对于复杂流动的预测它所得到的结果远不如两方程模型精确。虽然零方程模型精度不高，但由于零方程模型简单，因此在全世界得到了广泛的应用。一般来说，零方程模型有如下优缺点，一是零方程模型适用于中等压力梯度的二维流动，能够很好预报主流速度，但对湍流应力仅能做定性预报。二是零模型只适用于预测具有轻微的横向流动的二维边界层。三是零方程模型不适用于绕流，旋转效应及有分离的流动，对三维复杂流动或是湍流运输效应占主导地位的流动会产生较大误差。四是各向同性假设使得零方程模型不能预测大逆压梯度，或是由于湍流输运所造成的二次流动。五是零方程模型不能预测激波引起的分离流动。

3.2.3.2 一方程模型