湍流模型理论(DOC)
湍流模型及其在物理学中的应用
湍流模型及其在物理学中的应用湍流是一个普遍存在于自然界和人类社会中的现象，具有复杂性、不可预知性和不稳定性等特点。
湍流现象包括气体、液体、等离子体、大气等许多领域，因此它的研究具有重要的理论和实际意义。
为了研究湍流现象，科学家们发展了许多不同的模型和方法，其中湍流模型是重要的研究工具之一。
本文将介绍湍流模型和它在物理学中的应用。
一、湍流模型概述湍流模型是对湍流现象进行数学描述的一种方法，它认为湍流现象是由一系列不同尺度的涡旋体产生的，涡旋体之间存在相互作用和相互影响。
目前常用的湍流模型包括：1. 线性模型：线性模型假设涡旋体是线性的、稳定的。
这种模型有简单、精确、易于解析等特点，但它并不能精确地描述实际湍流现象。
2. 非线性模型：非线性模型是近年来湍流研究的主要方向。
它认为涡旋体是非线性的、不稳定的，并且涡旋体之间存在复杂的相互作用和相互影响。
这种模型适用于对高度非线性湍流现象的研究，但通常需要进行复杂的计算。
3. 统计模型：统计模型是一种基于大量实验数据和经验规律的模型。
它主要通过统计分析来确定湍流现象的统计特性。
目前最常用的统计模型是雷诺平均 Navier-Stokes 方程（RANS），该方程将湍流速度分解为平均流和涡旋脉动流两部分。
这种模型适用于时间尺度大于湍流时间尺度的湍流现象。
通过使用不同的模型可以更好地描述和了解湍流现象，从而为湍流研究提供了重要的工具和技术。
二、湍流模型在物理学中的应用湍流研究既具有理论意义，又具有实际应用价值。
下面介绍湍流模型在物理学中的一些应用。
1. 大气湍流预测大气湍流预测是天气预报、气候变化预测等领域的重要研究方向之一。
湍流对气象学有着深远的影响，因此了解和预测大气湍流现象对准确预测天气和气候变化至关重要。
目前常用的预测方法包括数值模拟、机器学习等。
其中，湍流模型是数值模拟的重要组成部分，通过使用湍流模型可以更好地模拟大气湍流，并提高预测精度。
2. 涡旋动力学研究涡旋动力学是湍流研究的一个重要分支领域，它研究涡旋体之间的相互影响和相互作用，以及这些影响和作用所产生的复杂运动规律。
(完整word版)湍流模型理论
湍流模型理论§3.1 引言自然界中的实际流动绝大部分是三维的湍流流动，如河流,血液流动等。
湍流是流体粘性运动最复杂的形式，湍流流动的核心特征是其在物理上近乎于无穷多的尺度和数学上强烈的非线性，这使得人们无论是通过理论分析、实验研究还是计算机模拟来彻底认识湍流都非常困难。
回顾计算流体力学的发展,特别是活跃的80年代，不仅提出和发展了一大批高精度、高分辨率的计算格式,从主控方程看相当成功地解决了Euler方程的数值模拟,可以说Euler方程数值模拟方法的精度已接近于它有效使用范围的极限；同时还发展了一大批有效的网格生成技术及相应的软件，具体实现了工程计算所需要的复杂外形的计算网格；且随着计算机的发展，无论从计算时间还是从计算费用考虑，Euler方程都已能适用于各种实践所需。
在此基础上，80年代还进行了求解可压缩雷诺平均方程及其三维定态粘流流动的模拟。
90年代又开始一个非定常粘流流场模拟的新局面，这里所说的粘流流场具有高雷诺数、非定常、不稳定、剧烈分离流动的特点，显然需要继续探求更高精度的计算方法和更实用可靠的网格生成技术.但更为重要的关键性的决策将是，研究湍流机理,建立相应的模式，并进行适当的模拟仍是解决湍流问题的重要途径。
要反映湍流流场的真实情况,目前数值模拟主要有三种方法：1。
平均N-S方程的求解，2。
大涡模拟（LES），3。
直接数值模拟（DNS)。
但是由于叶轮机械内部结构的复杂性以及目前计算机运算速度较慢，大涡模拟和直接数值模拟还很少用于叶轮机械内部湍流场的计算,更多的是通过求解平均N-S方程来进行数值模拟。
因为平均N-S方程的不封闭性，人们引入了湍流模型来封闭方程组,所以模拟结果的好坏很大程度上取决于湍流模型的准确度。
自70年代以来，湍流模型的研究发展迅速，建立了一系列的零方程、一方程、两方程模型和二阶矩模型，已经能够十分成功的模拟边界层和剪切层流动。
但是,对于复杂的工业流动，比如航空发动机中的压气机动静叶相互干扰问题，大曲率绕流，激波与边界层相互干扰，流动分离，高速旋转以及其他一些原因，常常会改变湍流的结构，使那些能够预测简单流动的湍流模型失效，所以完善现有湍流模型和寻找新的湍流模型在实际工作中显得尤为重要。
湍流模型介绍范文
湍流模型介绍范文
湍流是流体动力学中最经典的问题之一，它是流体动力学研究的重要
研究内容。
它解释了流体加速度、压强分布、能量消耗等物理问题，对于
流体的稳定和可控性流动有重要的理论意义和工程实用价值。
湍流是指流体在微观上无序的运动，是流体动力学中最为重要的研究
问题之一、湍流从经典流体动力学的研究开始，并从上世纪20年代开始
有效地分析和解释了液体及气体的湍流特性，是一种具有重要理论意义和
广泛工程应用的性质。
湍流的主要特征是流体在一些方向上呈现出无规则
的游走运动，其速度在空间上周期性变化，而每一次变化都有一定的方向，但其流体结构比较复杂，特别是对于湍流流动的性质研究，许多流体动力
学问题尚未有效解决。
湍流模型是用来描述湍流流动的性质的一种数学模型。
经典的湍流模
型是在19世纪末期，由英国的贝尔（G.I.Boltzmann）提出的，他的湍流
模型是首先将湍流流动分解成振荡和定常流动两部分，并用一系列简单的
数学方程来描述湍流的特性。
在20世纪30年代，英国的拉瓦锡
（L.R.von Karman）提出了完整的湍流动力学模型，它是由经典的湍流和
贝尔拉瓦锡方程组组成的。
湍流理论和湍流模型(博士课程课件)
工程上，将下临界雷诺数作为流态的判断依据。
1.1 湍流的不规则性
湍流速度场是时间、空间坐标、实验次数的不规则函数
ui ui(x,t, ~)
在不规则湍流中，流动的最小时间尺度和最小空间尺度都远远大于分 子热运动的相应尺度，因此湍流运动产生质量和能量的输运远大于分 子热运动产生的宏观输运，所以湍流场中质量和能量的平均扩散远大 于层流扩散。
1.5 湍流脉动的测量原理
湍流脉动的时间序列具有宽频带，测量仪器准确、响应特性好。
测量点的脉动速度的时间序列测量方法：热丝风速计法、激光多普勒测速法
脉动场的脉动速度的时间序列测量方法：统称为粒子图像测速法(PIV, paticle
数据采集的要求
image velocimetry)
(1) 测量精度：仪器精度+电子系统的高信噪比和宽频带的频率响应特性
脉动速度频谱
Su(u )2 1 R u(u )ex i p)d (
其逆变换为
R u(u ) Su(u )exip)d (
时间相关函数与频谱是一一对应的，
它们是统计量在时域和频域之间的转换。
当τ=0时 u2 Suu()d , Suu(ω)表示湍动能在频带中的分布，它在所有
频段上的积分等于湍动能的系综平均或时间平均值。
湍流：流体作复杂的、无规则的、随机的非定常运动，也称紊流;
上临界流速：层流变湍流 下临界流速：湍流变层流
ReRce(232) 0
Vc',
Rc'
Vc'd
Vc'd
Vc,
Rc
VcdVcd
流动为层流
Vc Vc'
RceReRc'e(138)0流0动为不稳定的过渡状态
湍流的数学模型简介精心整理版共88页
一般认为，无论湍流流动多么复杂，非稳态的连续性方 程和N-S方程(动量方程)仍然适用于湍流的瞬时流动。
第1章 湍流导论
1.3、湍流的基本方程（不可压） ❖ N-S方程
ui ui ui'
将非稳态N-S方程对时间作平均，即把湍流的运动看成是时间平均
流动与瞬间脉动流动的叠加：
'
及 t的概念，直接建立以雷诺应力为因变量的微分方程，然
后作适当假设使之封闭。这种模型也称为二阶封闭模型。
代数应力方程模型（Algebraic Stress Model，ASM）
主要思想是设法将应力的微分方程简化为代数表达式， 以减少RSM模型过分复杂的弱点，同时保留湍流各项异性 的基本特点。
3.2 湍流模型具体介绍
第2章 湍流的数值模拟方法简介
2.2 模型比较
湍流模型方法 (RANS方法)
大涡模拟方法 (LES方法)
给出了时间平均的流动信息，易于工程应用
抹去了流动的瞬态特性及细观结构，适合高雷 诺数，不具普适性
介于RANS与DNS之间，非常成功的应用于RANS
不能满足要求的高端应用，如燃烧、混合、外部空 气动力学。
、 k-g 模型等 。其中，应用最普遍的是 k-ε模型。
针对k-ε模型不足，许多学者对标准的模型进行了修正。
▪ 重整化群k-ε模型（renormalization group，RNG model） ▪ 可实现k-ε模型（realizable k-ε model） ▪ 多尺度k-ε模型（multiscale model of turbulence）
Contents
1
湍流导论
2
湍流的数学模型简介
3
湍流模型
湍流模型推导对纳维斯托克斯方程做时间平均处理，即采用雷诺平均法（RANS ：Reynolds-Averaged Navier-Stokes ），可以得到湍流基本方程。
对于任意变量φ，按照雷诺时间平均法，可以拆分为如下格式：φφφ'+=“-” 表示对时间的平均，上标“’”代表脉动量。
按照dt TTt tφφ⎰∆+∆=1计算平均值，将流动变量i u 和p 转换成时间平均和脉动值之和u u u i '+=，p p p '+=为了使方程组更具有封闭性，必须模化雷诺应力，引入模型使方程组封闭。
其方法之一是湍流粘性系数法。
按照基于Boussinesq 的涡粘假设湍流粘性系数法有ij i i t i jj i t j i x u k x u xu u u δμρμρ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=''-32 上述方程式中t μ为涡粘系数，i u 为时均速度，ij δ是Kronecker 符号，k 为湍流动能（当j i =时，1=ij δ；当j i ≠时，0=ij δ）。
2i i u u k ''=确定涡粘性系数t μ就是整个湍流模型的目标关键，确定湍流粘性系数法具体可以分为零方程模型、一方程模型、和二方程模型等等。
一 零方程模型零方程模型也可称作代数模型，直接建立雷诺应力和时均值的代数关系，从而把涡粘系数和时均值联系到一起的模型。
1 混合长度模式混合长度模式是基于分子运动的比拟，在二维剪切层中导出的。
混合长度l 类比分子运动自由程，在经历混合长度的横向距离上，脉动速度正比于混合长度及流向平均速度梯度，即：yUlu ∂∂∝' （1.1-1） 而粘性系数应当正比于脉动速度和混合长度之积（分子粘性系数正比于自由程和分子热运动速度之积），从而涡粘系数有如下的估计式：yUl l u v t ∂∂∝'∝2（1.1-2） 在湍流输运中，涡粘系数和沃扩散系数之比定义为普朗特数t Pr ，即：t t t v κ=Pr （1.1-3）工程计算中通常采用0.1~8.0Pr =t 。
湍流模型
湍流模型一、 引言以时均量表示的湍流基本方程都刻有相应的瞬时值方程经雷诺分解后再取时均导出。
因此经雷诺平均后，得到了描述湍流时均化的基本方程组，其共包含四个方程，包含一个平均流连续方程一个、以及三个雷诺方程。
但是方程组中的未知量的个数远远多于方程数，除了四个时均量)3,2,1(,=i u p i 外，还有对称的雷诺应力张量''j i u u 的六个分量，因此湍流的时均化方程是不封闭的。
若导入雷诺应力方程，尽管''j i u u 被表达，但是只能在现有方程组中导入更多的变量，方程组不封闭的问题仍旧得不到有效的解决。
湍流模型问题就是建立脉动关联量与平均量之间的关系，或更一般的说，建立高阶关联量与低阶关联量之间的关系，使湍流平均运动的方程组能够封闭。
由于没有“附加”的物理定律可用于建立这些关系，所以湍流模型问题很复杂很困难的。
人们只能以大量的试验观测为基础，通过量纲分析、张量分析或其它手段，包括合理的推理和猜测，提出假设，建立模型，然后与试验对比，进行进一步的修正和精确化。
由此可见，迄今为止建立的湍流模型没有一个是建立在完全严密的理论基础上的，所以也称之为湍流的半经验理论。
二、 湍流模型的主要型式模式理论的思想可以追溯至100多年前。
1872年布辛涅斯克就提出了用涡粘性系数来模拟雷诺应力 )(''i j j i T j i x U x U u u ∂∂+∂∂=-υρ1925年，普朗特沿这一方向做了重要的工作，提出了混合长度理论。
但是混合长度理论本身没有给出确定混合长度l 的理论，冯卡门的相似性假设却使估计l 与空间坐标的关系成为可能。
对于冯卡门的理论，在离避免很近的区域，流动状态将受分子粘性很大的影响，而相似性理论都不能反映这一情况。
为此，范德列斯特提出了对相似理论中的l 的修正公式。
现在广泛使用的一种零方程模型是由薛贝赛和斯密斯提出的两层模型，对于边界层的内层，以范德列斯特模型为基础，在外层则用尾迹型。
低速流体流动中的湍流模型
低速流体流动中的湍流模型引言湍流是流体力学中一个复杂而重要的现象，它经常在自然界和工程实践中出现。
湍流现象给流体的流动带来了不确定性和不稳定性，使得流动过程变得复杂且难以预测。
在高速流动中，湍流现象更加明显，但同样在低速流动中也会有一定程度的湍流出现。
因此，研究低速流动中的湍流模型对于理解与控制流体流动具有重要的理论和实际意义。
低速流体流动的特点低速流体流动是指流场中的流速较慢，流动过程中的湍流现象相对较弱。
在低速流动中，流体的速度梯度较小，粘性作用在流动量级上起主导作用。
流体粘性具有剪切阻力效应，当流体在壁面附近流动时，流体颗粒之间的相互作用会导致速度剖面的变化。
此外，低速流动通常具有较高的雷诺数（Reynolds number），所以流动在全过程中都保持在层流状态。
低速流体流动的湍流模型及评估方法湍流模型是用来描述湍流流动的数学模型。
在低速流体流动中，湍流模型主要有两种：1) 统计湍流模型，2) 湍流可压缩性模型。
统计湍流模型统计湍流模型是在统计学的框架下，通过描述湍流统计量之间的关系来描述和预测湍流流动。
最常见的统计湍流模型是基于雷诺平均（Reynolds-averaged）的Navier-Stokes方程，通过对流场的统计平均值进行建模。
这种模型适用于各类低速流动和多种流动与换热过程。
统计湍流模型根据湍流运动的不同时间尺度，又可分为：1) Eddy-Viscosity模型，2) Reynolds Stress模型。
1.Eddy-Viscosity模型是一种基于湍流粘性模型的统计湍流模型。
这种模型假设湍流运动中存在一定的等效的湍流粘性，通过引入湍流粘性系数来描述湍流现象。
Eddy-Viscosity模型在工程实践中应用广泛，因为它相对简单和高效。
2.Reynolds Stress模型是将湍流动量传输建模为湍流应力的纳维尔-斯托克斯方程。
这种模型通过对流场的湍流应力进行求解，得到湍流的分布情况。
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湍流模型理论§3.1 引言自然界中的实际流动绝大部分是三维的湍流流动，如河流，血液流动等。
湍流是流体粘性运动最复杂的形式，湍流流动的核心特征是其在物理上近乎于无穷多的尺度和数学上强烈的非线性，这使得人们无论是通过理论分析、实验研究还是计算机模拟来彻底认识湍流都非常困难。
回顾计算流体力学的发展，特别是活跃的80年代，不仅提出和发展了一大批高精度、高分辨率的计算格式，从主控方程看相当成功地解决了Euler方程的数值模拟，可以说Euler方程数值模拟方法的精度已接近于它有效使用范围的极限；同时还发展了一大批有效的网格生成技术及相应的软件，具体实现了工程计算所需要的复杂外形的计算网格；且随着计算机的发展，无论从计算时间还是从计算费用考虑，Euler方程都已能适用于各种实践所需。
在此基础上，80年代还进行了求解可压缩雷诺平均方程及其三维定态粘流流动的模拟。
90年代又开始一个非定常粘流流场模拟的新局面，这里所说的粘流流场具有高雷诺数、非定常、不稳定、剧烈分离流动的特点，显然需要继续探求更高精度的计算方法和更实用可靠的网格生成技术。
但更为重要的关键性的决策将是，研究湍流机理，建立相应的模式，并进行适当的模拟仍是解决湍流问题的重要途径。
要反映湍流流场的真实情况，目前数值模拟主要有三种方法：1.平均N-S方程的求解，2.大涡模拟（LES），3.直接数值模拟（DNS）。
但是由于叶轮机械内部结构的复杂性以及目前计算机运算速度较慢，大涡模拟和直接数值模拟还很少用于叶轮机械内部湍流场的计算，更多的是通过求解平均N-S方程来进行数值模拟。
因为平均N-S方程的不封闭性，人们引入了湍流模型来封闭方程组，所以模拟结果的好坏很大程度上取决于湍流模型的准确度。
自70年代以来，湍流模型的研究发展迅速，建立了一系列的零方程、一方程、两方程模型和二阶矩模型，已经能够十分成功的模拟边界层和剪切层流动。
但是，对于复杂的工业流动，比如航空发动机中的压气机动静叶相互干扰问题，大曲率绕流，激波与边界层相互干扰，流动分离，高速旋转以及其他一些原因，常常会改变湍流的结构，使那些能够预测简单流动的湍流模型失效，所以完善现有湍流模型和寻找新的湍流模型在实际工作中显得尤为重要。
§3.2 湍流模型概述§3.2.1 湍流模型的引入湍流模式理论或简称湍流模型，就是以雷诺平均运动方程与脉动运动方程为基础，依靠理论与经验的结合，引进一系列模型假设，而建立起的一组描写湍流平均量的封闭方程组。
湍流运动物理上近乎无穷多尺度漩涡流动和数学上的强烈非线性，使得理论实验和数值模拟都很难解决湍流问题。
虽然N-S方程能够准确地描述湍流运动地细节，但求解这样一个复杂的方程会花费大量的精力和时间。
实际上往往采用平均N-S方程来描述工程和物理学问题中遇到的湍流运动。
当我们对三维非定常随机不规则的有旋湍流流动的N-S方程平均后，得到相应的平均方u u，从而形成了湍流基本方程，此时平均方程中增加了六个未知的雷诺应力项i j程的不封闭问题。
根据湍流运动规律以寻找附加条件和关系式从而使方程封闭就促使了几年来各种湍流模型的发展，而且在平均过程中失去了很多流动的细节信息，为了找回这些失去的流动信息，也必须引入湍流模型。
目前虽然许多湍流模型已经取得了某些预报能力，但至今还没有得到一个有效的统一的湍流模型。
同样，在叶轮机械内流研究中，如何找到一种更合适更准确的湍流模型也有待于进一步研究。
§3.2.2 湍流模型的发展历程模型理论的思想可追溯到100多年前，为了求解雷诺应力使方程封闭，早期的处理方法是模仿粘性流体应力张量与变形率张量关联表达式，直接将脉动特征速度与平均运动场中速度联系起来。
十九世纪后期，Boussinesq提出用涡粘性系数的方法来模拟湍流流动，通过涡粘度将雷诺应力和平均流场联系起来，涡粘系数的数值用实验方法确定。
到二次世界大战前，发展了一系列的所谓半经验理论，其中包括得到广泛应用的普朗特混合长度理论，以及G.I泰勒涡量传递理论和Karman相似理论。
他们的基本思想都是建立在对雷诺应力的模型假设上，使雷诺平均运动方程组得以封闭。
1940年，我国流体力学专家周培源教授在世界上首次推出了一般湍流的雷诺应力输运微分方程；1951年在西德的Rotta又发展了周培源先生的工作，提出了完整的雷诺应力模型。
他们的工作现在被认为是以二阶封闭模型为主的现代湍流模型理论的最早奠基工作。
但因为当时计算机水平的落后，方程组实际求解还不可能。
70年代后期，由于计算机技术的飞速发展，周培源等人的理论重新获得了生命力，湍流模型的研究得到迅速发展。
建立的一系列的两方程模型和二阶矩模型，已经能十分成功地模拟边界层和剪切层流动，但是对于复杂的工业流动，比如大曲率绕流，旋转流动，透平叶栅动静叶互相干扰等，这些因素对湍流的影响还不清楚，这些复杂流动也构成了进入二十一世纪后学术上和应用上先进湍流模型的研究[48]。
§3.2.3湍流模型研究的现状和进展湍流模型可根据微分方程的个数分为零方程模型、一方程模型、二方程模型和多方程模型。
这里所说的微分方程是指除了时均N-S方程外，还要增加其他方程才能是方程封闭，增加多少个方程，则该模型就被成为多少个模型。
下面分别介绍各种湍流模型的研究现状和进展。
3.2.3.1 零方程模型零方程模型建立在涡粘性假设基础上，把平均N-S方程中的雷诺应力假设为平均物理量的某种函数，使方程组封闭。
由于涡粘系数在整个边界层中并不是一个常数，而且湍流边界层仅仅局限于依靠壁面的一个小部分区域内，普朗特在dU dy）直接1925年提出了动量传递混合长度理论，将湍流应力和平均速度（/建立关系，此后各国学者在这方面做了大量工作，下面简介几个应用比较广泛的零方程模型。
一种在工程上最为常用的代数模型是由Cebeci-Smith[49]给出的，可用来计算湍流边界层。
C-S模型在工程计算中得到了广泛的应用，其准确度和可靠性也得到了较多实验的验证。
实践证明，对于逆压力梯度或顺压力梯度很大的平衡湍流边界层及接近分离区的流动，其精度不是很好。
后来Baldwin与Lomax对该公式进行了修正，得到了Baldwin-Lomax（B-L）[50]模型。
B-L模型以涡粘性假设为基础，属于局部平衡模型，其中系数是不可压缩流体平板附面层实验结果。
由于该模型简单，计算工作量小，且对于湍流附面层流动计算具有一定精度，故广泛应用于工程计算中。
在应用中人们也发现了B-L模型的不足之处，模型中各系数都是平板附面层经验值，没有考虑压力梯度对附面层的影响。
还有很多研究者都曾对代数模型进行了修正，但收效甚微。
NASA Ames研究中心曾对代数模型做过广泛系统的研究，发现对于复杂流动的预测它所得到的结果远不如两方程模型精确。
虽然零方程模型精度不高，但由于零方程模型简单，因此在全世界得到了广泛的应用。
一般来说，零方程模型有如下优缺点，一是零方程模型适用于中等压力梯度的二维流动，能够很好预报主流速度，但对湍流应力仅能做定性预报。
二是零模型只适用于预测具有轻微的横向流动的二维边界层。
三是零方程模型不适用于绕流，旋转效应及有分离的流动，对三维复杂流动或是湍流运输效应占主导地位的流动会产生较大误差。
四是各向同性假设使得零方程模型不能预测大逆压梯度，或是由于湍流输运所造成的二次流动。
五是零方程模型不能预测激波引起的分离流动。
3.2.3.2 一方程模型一方程模型将湍动能方程作为一个附加的偏微分方程，加上其他代数经验关系式使方程组封闭，一般也称为能量方程模型。
它考虑了对流和湍流扩散输运，以湍动能表示特征速度，并由方程求出脉动特征速度，放弃了将脉动特征速度与平均速度梯度直接联系起来的做法，因此能量方程模型比零方程模型更优越。
但是能量方程模型也假定了涡粘性系数各向同性，而且特征长度仍需要经验确定，对运动过程影响的考虑也不充分，因而对于复杂流动的应用受到很大的限制。
大多数的一方程模型采用涡粘性假设，其精度和计算量介于零方程模型和二方程模型之间。
一方程模型的来源由两种，一种从经验和量纲分析出发，针对简单流动逐步发展起来，如Spalart-Allmaras(S-A)模型[51]；另一种由二方程模型简化而来，如Baldwin-Barth(B-B)模型[52]。
上述两种模型都有相似的特点，不象零方程模型那样需要分内外层模型，也不需要沿法线方向网格线寻找最大值，因此可用到非结构网格中，但是计算量比零方程模型大。
随着模型理论的发展和广大科研工作者的努力，一方程模型也不断得到改进和完善。
宁方飞等推导了Splart-Allmaras 模型的守恒形式，将其用于了二维扩压器和三维压气机转子湍流流场的计算，取得了很好的效果，表明Splart-Allmaras 模型用于内流计算是成功的[53]。
3.2.3.3 两方程模型两方程模型是目前湍流模型研究中的热门，也是目前应用最广泛的一种湍流模型，这与其内在的物理本质有必然联系。
应用比较广泛的两方程模型有Jones 与Launder 提出的标准k ε-（S-k-eps ）模型[54]，和经过修正的各种低雷诺数k ε-模型，以及由k ε-模型发展而来的k ω-模型和q ω-模型。
另外还有很多关于k ε-模型的非线性代数应力模型。
自Jones 与Launder 提出的标准k ε-模型以来，该模型就以其简单，计算精度精度较高而广泛应用于各种湍流研究中。
标准k ε-模型在推演过程中，采用了以下几项基本处理：（1）用湍动能k 反映特征速度；（2）用湍动能耗散率ε反映特征长度尺度；（3）引进了2/t C k μνε=的关系式（4）利用Boussinesq 假定进行简化。
正因为如此，可以认为k ε-有以下优点：一是通过求解偏微分方程考虑湍流物理量的输运过程，即通过求解偏微分方程来确定脉动特征速度与平均速度梯度的关系，而不是直接将两者联系起来。
二是特征长度不是由经验确定，而是以耗散尺度作为特征长度，并由求解相应的偏微分得到，因而k ε-模型在一定程度上考虑了流动场中各点的湍动能传递和流动的历史作用。
计算结果表明，它能较好地用于某些复杂流动，例如环流、渠道流、边壁射流和自由湍射流，甚至某些复杂的三维流。
然而，标准k ε-模型也有一定的局限性，主要表现在：一是仍然采用了Boussinesq 假定，即采用了梯度型和湍流粘性系数各向同性的概念，因而使k ε-模型难以准确模拟剪切层中平均场流动方向的改变对湍流场的影响；二是采用了一系列的经验常数，这些系数都是在一定实验条件下得出来的，因而也限制了模型的使用范围。
近十年来人们不断对k ε-模型进行了改进。
在近壁面雷诺数较低，雷诺应力具有明显的各向异性，分子粘性对流动的影响相对增强,它不仅影响了平均流的输运,而且直接或间接地影响各种湍流过程,此外，湍流动能k 的产生率及耗散率ε达到极大，近似处于局部平衡，平均流速度和温度的二阶导数大，即平均流参数的梯度变化大。