不等式的证明
不等式证明的基本方法
4． 放缩法是在证明不等式或变形中， 将条件或结论或变换中的 式子放大或缩小进行求证的方法．放缩时要看准目标，做到 有的放矢， 注意放缩适度． 放缩法是证明不等式的常用技巧， 有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，要控制难 度．
比较法
(2010 年高考江苏卷试题)设 a、b 是非负实数，求证：a3 ＋b3≥ ab(a2＋b2)． 【思路分析】 先作差，再用不等式的基本性质解答．
不等式证明的基本方法
1．比较法是证明不等式最常用最基本的方法，有两种： (1)求差法：a＞b⇔a－b＞0； a (2)求商法：a＞b＞0⇔b>1，(b>0)．
2．分析法、综合法是证明数学问题的两大最基本的方法． 综合法是以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直 到推出问题的结论为止，简而言之，就是“由因导果”． 分析法是从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐 步上溯，直到使结论成立的条件与已知条件或已知事实吻合 为止，简而言之，就是“执果索因”．
分析法与综合法
如果 a＞0，b＞0，求证：a3＋b3≥a2b＋ab2. 【证法一】 (用分析法) 要证 a3＋b3≥a2b＋ab2， 只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b) ∵a＞0，b＞0，有 a＋b＞0，故只需证 a2－ab＋b2≥ab， 只需证(a－b)2≥0 显然(a－b)2≥0 成立，以上各步均可逆， ∴a3＋b3≥a2b＋ab2
1．设 a>0，a≠1,0<x<1.求证：|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
证明：方法一：(平方后作差)
2 log2 (1 － x ) － log a a(1＋x)
＝[loga(1－x)＋loga(1＋x)]· [loga(1－x)－loga(1＋x)]＝ 1－x loga(1－x )· loga . 1＋x
证明基本不等式的方法
证明基本不等式的方法基本不等式是解决数学不等式问题中常用的方法，其核心思想是将一个不等式转化为另一个更简单的不等式，从而得到所需的解集。
在证明基本不等式的方法上，可以分为以下几种常见的方式：1.数学归纳法：数学归纳法是证明基本不等式的一种常用方法。
首先，我们需要证明当不等式成立时，对于一些特定的值$n$，不等式也成立。
接着，我们假设当$n=k$时不等式成立，可以通过这个假设证明当$n=k+1$时不等式成立。
最后，根据归纳法的原理，我们可以得出不等式对于所有自然数$n$成立。
2.递推法：递推法是证明基本不等式的另一种常用方法。
我们首先找到一个较小的数$k$，证明不等式对于这个特定的数成立。
然后，我们假设当$n=k$时不等式成立，接着通过这个假设证明当$n=k+1$时不等式也成立。
最后，根据递推法的原理，我们可以得出不等式对于所有自然数$n$成立。
3.反证法：反证法是证明基本不等式的另一种有效方法。
我们首先假设不等式不成立，即假设存在一些数使得不等式不成立。
接着，我们通过一系列的推导和推理，得出矛盾的结论。
这表明我们的假设是错误的，即不等式是成立的。
4.变量替换法：变量替换法是证明基本不等式的一种常用方法。
我们首先对不等式进行变量替换，将其转化为一个使用其他变量的等价不等式。
然后，通过对这个等价不等式进行一系列的变换和推导，我们可以得出所需的结论。
5.辅助不等式法：辅助不等式法是证明基本不等式的一种有效方法。
我们首先找到一个与原不等式相关的不等式，这个不等式往往更容易证明。
然后，我们通过对这个辅助不等式的推导和推理，结合原不等式的特点，得出所需的结论。
无论采用哪种方法，证明基本不等式的关键在于用恰当的方法将其转化为另一个更简单或更容易证明的不等式。
此外，在证明过程中需要注意推导的合理性和严密性，关注每一步的符号变化和不等式的严格性，避免出现错误的结论。
在证明过程中，也可以适当地运用数学知识和技巧，如代数运算、函数性质和数列性质等，使证明更加简洁和高效。
高中数学不等式的证明方法
高中数学不等式的证明方法高中数学中，不等式的证明是一个非常重要的部分。
搞懂这些证明不仅能帮助你解决复杂的数学问题，还能在考试中加分。
接下来，我们就一起“啃”啃这块“硬骨头”，看一看如何在不等式的世界里游刃有余。
1. 不等式的基本概念1.1 什么是不等式？简单来说，不等式就是两个数或者两个表达式之间的大小关系，比如 ( a > b ) 或者( x leq y )。
它们告诉我们一个数大于、等于或小于另一个数。
1.2 不等式的类型常见的不等式有：大于不等式 ( a > b )、小于不等式 ( a < b )、大于等于不等式 ( a geq b ) 和小于等于不等式 ( a leq b )。
不同的类型会在证明方法上有所不同。
2. 不等式证明的基本方法2.1 直接证明法这种方法最简单，直观明了。
比如，我们要证明 ( 2 + 3 > 4 )，那就是直接算出结果，2+3确实大于4。
这种方法适合比较简单的证明。
2.2 反证法反证法就是假设一个错误的情况，然后推导出矛盾，从而证明最初的假设是对的。
例如，要证明 ( x > 3 ) 对于某个特定的 ( x ) 成立，我们可以假设 ( x leq 3 )，然后找到一个矛盾，进而证明 ( x > 3 ) 是对的。
2.3 归纳法归纳法特别适合处理涉及多个步骤的问题。
我们先证明最简单的情况，然后假设对于某个 ( n ) 成立，接着证明对于 ( n+1 ) 也成立。
这种方法特别适合证明不等式的一些规律。
3. 常用的不等式证明技巧3.1 均值不等式均值不等式在不等式证明中非常有用。
比如，算术平均数和几何平均数的关系，就是一个经典的例子。
记住这个不等式：算术平均数总是大于或等于几何平均数。
这个原理可以帮助我们解决很多看似棘手的问题。
3.2 柯西不等式柯西不等式是一个很有用的工具，特别是在处理向量或矩阵时。
它告诉我们，对于任意的向量 ( mathbf{a} ) 和 ( mathbf{b} )，都有 ((mathbf{a} cdot mathbf{b})^2 leq (mathbf{a} cdot mathbf{a})(mathbf{b} cdot mathbf{b}))。
不等式的常见证明方法
不等式常见的三种证明方法渠县中学 刘业毅一用基本不等式证明设c b a ,,都是正数。
求证：.c b a cab b ac a bc ++≥++ 证明：.22c bac a bc b ac a bc =•≥+ .22b cab a bc c ab a bc =•≥+ .22a cab b ac c ab b ac =•≥+ ).(2)(2c b a cab b ac a bc ++≥++ .c b a cab b ac a bc ++≥++ 点评：可用综合法分析乘积形式运用不等式可以转化为所求。
思维训练：设c b a ,,都是正数。
求证：.222c b a c b a a c b ++≥++ 二 放缩法证明不等式已知，对于任意的n 为正整数，求证： 1+221+321+ +n 21<47 分析：通过变形将数列{n 21}放缩为可求数列。
解： n 21=n n •1<)1(1-n n =11-n —n1（n ≥2） ∴1+221+321+ +n 21<1+221+231⨯+341⨯+ +)1(1-n n =1+41+(21—31+31—41+ +11-n —n1) =45+21—n1 =47—n 1 点评：放缩为可求和数列或公式是高考重要思想方法。
思维训练：设c b a ,,都是正数，a+b>c,求证：a a +1+b b +1>cc +1三 构造函数法证明 证明不等式3ln 3121112ln <+++++<nn n （n 为正整数） 分析：显然要构造一个含n 的不等式，然后用叠加法证明。
我们构造一个函数,1)(',ln 1)(2xx x f x x x x f -=+-=可得这个函数在x=1时取得最小值0.及对x>0有不等式x x 11ln -≥，如果令x=k k 1+，则有111ln +>+k k k ，如果令x=1+k k ，则kk k ->+11ln ，即kk k k 1ln )1ln(11<-+<+，然后叠加不等式即可。
证明不等式的小措施
在学习中，我们经常会遇到不等式证明题.证明不等式的方法有很多种，如比较法、综合法、分析法、反证法、换元法等，本文重点谈一谈证明不等式的三种常用措施.一、利用分析法分析法是指从需要证明的不等式出发，寻找使该不等式成立的条件，从而证明不等式成立，即由“果”寻“因”.运用分析法证明不等式的基本步骤为：①研究待证不等式，将其进行适当的变形、化简；②灵活运用相关的定理、公式、定义进行推理、论证，逐步与已知条件或某些结论靠拢，寻找使其成立需要的条件；③得出结论.例1.已知a，b∈R+，证明：+≥a+b.分析：题目中的已知条件较为简单，解答本题，需由“果”寻“因”，运用分析法来求证.从待证不等式出发，通过开方、移项、运用完全平方式，将其化为完全平方式，从而证明不等式成立.证明：要证明+1+a≥a+b，只需证明1+a2-ab+b2≥()1+a2()1+b2，则需证明()1+a2-1+b22+()a-b2≥0，而()1+a2-1+b22≥0，()a-b2≥0，所以()1+a2-1+b22+()a-b2≥0，所以命题得证.二、运用反证法运用反证法证明不等式，需先假设待证不等式不成立，若原不等式为A≥B，则可假设A<B成立.再将假设的不等式作为条件，据此进行推理、分析，得出与已知条件或某些定义、定理、公式相矛盾的结论，从而说明假设不成立，进而证明不等式成立.例2.已知a,b,c∈(0，+∞)，则a+4b，b+9c，c+16a三个数中至少有一个不小于6.证明：假设a+4b，b+9c，c+16a都小于6，则a+4b+b+9c+c+16a<18,由基本不等式可得a+4b+b+9c+c+16a≥+=18，这与假设的结论相矛盾，故假设不成立，所以a+4b，b+9c，c+16a三个数中至少有一个不小于6.本题从正面入手较为困难，需采用反证法来求证.首先假设结论不成立，即a+4b、b+9c、c+16a都小于6，然后利用基本不等式，得出与已知相矛盾的结论，从而证明原结论成立.三、换元运用换元法证明不等式，需用新变量替换不等式或者其中的某一个代数式，通过换元，使其结构、形式得以改变，如将无理式转变为有理式，将分式转化为整式等.再结合已知条件化简、整理换元后的式子，从而证明原不等式成立.例3.若x i∈()0，+∞，i=1，2，3，⋯，n，证明：x21x21+x2x3+x22x22+x2x3+⋯+x2n-1x2n-1+x n x1+x2nx2n+x1x2≤n-1.证明：由题意可知，x2ix2i+x i+1x i+2=1-x i+1x i+2x2i+x i+1x i+2=1-11+x2i xi+1xi+2，()1≤i≤n，设yi=x2ixi+1xi+2，y i>0，可得0<y i y j≤1()i≠j，则11+yi+11+yj=2+y i+y j()1+yi()1+yj=1+y i+y j+11+y i+y j+y i y j≥1，则x21x21+x2x3+x22x22+x2x3+⋯+x2n-1x2n-1+x n x1+x2nx2n+x1x2=n-æèçöø÷11+y1+11+y2+⋯+11+yn≤n-1，所以x21x21+x2x3+x22x22+x2x3+⋯+x2n-1x2n-1+x n x1+x2nx2n+x1x2≤n-1.令yi=x2ixi+1xi+2，通过换元，将不等式转化为结构简单的式子，再根据已知条件进行推理、分析，便可快速证明结论.一般来说，分析法主要适用于证明含有根式、分式、绝对值的不等式；反证法适用于证明从正面入手较为困难的不等式问题；换元法适用于证明不等式结构复杂的问题.有时，可同时使用两个或两个以上的方法来证明不等式，这样能有效地提升解题的效率.（作者单位：江苏省扬州市高邮市临泽中学）杨乐42。
不等式证明几种方法
同理： ,
以上三式相乘：(1a)a•(1b)b•(1c)c≤ 与①矛盾
∴原式成立
例五、已知a+b+c> 0，ab+bc+ca> 0，abc> 0，求证：a,b,c> 0
证：设a< 0,∵abc> 0,∴bc< 0
又由a+b+c> 0,则b+c=a> 0
∴ab+bc+ca=a(b+c) +bc< 0与题设矛盾
8．若x,y> 0，且x+y>2，则 和 中至少有一个小于2
一、裂项放缩
例1.(1)求 的值; (2)求证: .
解析:(1)因为 ,所以
(2)因为 ,所以
奇巧积累
:(1) (2)
(3)
(4)
(5) (6)
(7) (8)
(9)
(10) (11)
(11)
(12)
(13)
(14) (15)
(15)
例2.(1)求证:
分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为 பைடு நூலகம்则周长为 的圆的半径为 ，截面积为 ；周长为 的正方形为 ，截面积为 。所以本题只需证明 。
证明：设截面的周长为 ，则截面是圆的水管的截面面积为 ，截面是正方形的水管的截面面积为 。只需证明： 。
为了证明上式成立，只需证明 。
例3、已知a，b，m都是正数，并且 求证： （1）
证法一要证（1），只需证 （2）
要证（2），只需证 （3）
要证（3），只需证 （4）
已知（4）成立，所以（1）成立。
不等式证明的几种方法
不等式证明的几种方法1.直接证明法直接证明法是最常用的证明方法之一、该方法是通过运用数学定义、公理和已知条件，直接推导出要证明的不等式。
例如，要证明a+b≥2√ab，我们可以通过平方两边的方式将不等式变形为(a-b)^2≥0的形式，再通过数学运算的方式得出结论。
2.反证法反证法是常用的证明方法之一，尤其适用于不等式证明。
该方法是先假设要证明的不等式为假，然后通过推导得出与已知条件矛盾的结论，从而证明所假设的不等式为真。
例如，要证明3√ab≥2(a+b)不成立，我们可以先假设不等式成立，然后通过运算推导出与已知条件不符的结果。
由此可知，不等式不成立。
3.数学归纳法数学归纳法适用于一类特殊的不等式，即对于其中一自然数n，当n=1时不等式成立，且当n=k时不等式成立，则当n=k+1时不等式也成立。
通过反证法证明。
例如，要证明n^2<2^n，首先当n=1时，不等式成立。
假设当n=k时，不等式也成立，即k^2<2^k成立。
我们需要证明当n=k+1时，不等式也成立，即(k+1)^2<2^(k+1)成立。
通过反证法推导出与已知条件矛盾的结果，即可证明不等式成立。
4.几何法几何法可以通过将不等式转化为几何问题来证明。
例如，要证明a^2+b^2≥2ab，可以将不等式转化为平面上两点的距离的问题。
通过建立几何模型，可以直观地看出不等式成立的原因。
例如，可以将两个正方形的面积进行比较，或者使用勾股定理来解决问题。
5.代数方法代数方法是通过将不等式转化为代数方程或函数的性质来证明。
例如，要证明3a^2+3b^2+2c^2≥4ab+4bc+4ca，可以通过将不等式整理为一个二次函数的形式，然后通过对函数进行研究来得出结论。
以上是几种常见的不等式证明方法，其中每种方法都有其独特的适用范围和优势。
在实际应用中，根据具体的题目和情况选择合适的证明方法可以更高效地解决问题。
基本不等式的20种证明方法
基本不等式的20种证明方法
基本不等式“基本”在哪里？你认为怎样得引入最能体现他的本质？
（1）做差证明
（2）分析法证明
（3）综合法证明
（4）排序不等式
根据排序不等式所说的逆序和小于等于顺序和，便能得到
化简得
（5）函数证明
我们对原函数求导,并令导数等于零。
求的最小值
得出
（5）指数证明
首先这里要用到两个梯形的面积公式。
一个是大家小学都学过的
易得
进而有
进一步有
指取对有
（6）琴生不等式证明
取 y=lnx
由琴生不等式得到
进而有
（7）无字证明（Charles D. Gallant）
（8）无字证明（Doris Schattschneider）
（9）无字证明（Roland H. Eddy）
（10）无字证明（Ayoub B. Ayoub）
（11）无字证明（Sidney H. Kung）
（12）无字证明（Michael K. Brozinsky）
（13）无字证明（Edwin Beckenbach & RichardBellman）
（14）无字证明
（15）无字证明（RBN）
（16）无字证明
进而有
（17）无字证明
进而有
（18）无字证明
有
（19）构造函数证明
由
得
（20）构造期望方差证明
由
得
另外还有向量法，复数法，积分法等，均值定理在数学内外有广泛得运用，不仅可以推广，还可以联系多个领域，一个简单结论证明的背后往往可展示引人人胜的各种思路！。
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不等式的证明典例分析
【例1】a，b，c是三角形的三边，0
m>.求证：
a b c
a m
b m
c m
+>
+++
；
【例2】已知a b c
>>，求证
111
a b b c a c
+>
---
.
【例3】已知a b c
>>，求证：
114
a b b c a c
+
---
≥．
【例4】已知0
a>，0
b>，且1
a b
+=．求证：
1125
4
a b
a b
⎛⎫⎛⎫
++
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
≥．
【例5】 若a b c +∈R 、、，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
≥．
【例6】 设,,a b c +∈R ，求证：11
()()4a b c a b c
++++≥．
【例7】 已知,,a b c +∈R ，求证：222
a b c a b c b c a
++++≥．
【例8】 已知,,x y z +∈R ，且1x y z ++=
【例9】 若半径为1的圆内接ABC ∆的面积是
1
4
，三边长分别为，，a b c ，求证：
⑴1abc =111
a b c
++．
【例10】 已知a b c 、、是互不相等的正数，
求证：222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>．
【例11】 已知,,a b c 是一个三角形的三边之长，
求证：(
1)(1)(1)8a b c a b c a b c
b c a c a b a b c
++++++---+-+-+-≥．
【例12】 若a b c +∈R 、、，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
≥．
【例13】 ⑴已知,,a b c ∈R ，求证：222a b c ab bc ca ++++≥
⑵若0a >，0b >，且1a b +=，求证：
11
4a b
+≥．
【例14】设x，y，z.
【例15】已知a，b，c)
a b c
++.【例16】已知锐角ABC
∆的三边长分别为a，b，c，且a边上的高为h，求证：
b c
+
【例17】设a、b、c是正实数，且满足1
abc=，证明：
111
1111
a b c
b c a
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-+-+-+
⎪⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
≤．
【例18】 证明下列不等式：
⑴若,,x y z ∈R ，,,a b c +∈R （+R 为正实数），则
222
2()b c c a a b x y z xy yz zx a b c
+++++++≥． ⑵若x ，y ，z +∈R （+R 为正实数），且x y z xyz ++=，则2
1112y z z x x y
x y z x y z ⎛⎫+++++++ ⎪⎝⎭
≥．
【例19】 设0a b +>，求证：22111222
11
log ()log (1)log (1)22≥a b a b ++++．
【例20】 已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，证明：222
3
3
3
3
a b c a b c ++++≥
【例21】 设0(12)i x i n >=，，，且121n x x x ++
+=，n ∈N ，n ≥2．
求
证12121313112323111
()()()()()4
n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+++++++++
++≤
．
【例22】 证明柯西不等式：
()2
1122n n a b a b a b ++
+()()22
2
22212
12n n a a a b b b +++++
+≤(),1,2
i i a b R i n ∈=
等号当且仅当120n a a a ====或i i b ka =时成立（k 为常数，1,2
i n =）
【例23】 设()()20f x ax bx c a =++≠，若(0)1f ≤，(1)f ≤1，(1)1f -≤，
试证明：对于任意11x -≤≤，有()5
4
f x ≤．。