必修二直线与圆单元测试题

必修2 直线与圆 单元测试题
一、选择题 1.从点P (1，－2)引圆(x +1)2+(y －1)2=4的切线，则切线长是
( )A.4 B.3 C.2 D.1
2.以M (－4,3)为圆心的圆与直线2x +y －5=0相离，那么圆M 的半径r 的取值范围是( )A ．0＜r ＜2
B ．0＜r ＜5
C ．0＜r ＜25
D ．0＜r ＜10
3.圆(x +2
1)2+(y +1)2=168与圆(x －sin θ)2+(y －1)2=161 (θ为锐角)的位置关系是( )A.相离 B.外切 C.内切 D.相交
4.若m ≠0，则过（1，-1）的直线ax+3my+2a=0的斜率为（ ）
A.1
B.-3
C.31
D.-3
1 5.使圆x 2+y 2=r 2与x 2+y 2+2x －4y +4=0有公共点的充要条件是( )
A.r <5+1
B.r >5+1
C.|r －5|<1
D.|r －5|≤1 6.已知半径为1的动圆与圆(x －5)2+(y +7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．(x －5)2+(y +7)2=25 B ．(x －5)2+(y +7)2=17或(x －5)2+(y +7)2=15
C ．(x －5)2+(y +7)2=9
D ．(x －5)2+(y +7)2=25或(x －5)2+(y +7)2=9
7.已知圆x 2+y 2=r 2在曲线|x|+|y|=4的内部，则半径r 的范围是（ ）
A.0<r<22
B.0<r<2
C.0<r<2
D.0<r<4
8.由曲线y =|x |与x 2+y 2=4所围成的图形的最小面积是( )
A.4π
B.π
C.4
3π D.23π 9.过点(2，－3)且与直线x －2y +4=0的夹角为arctan 32的直线l 的方程是
( )（两条直线夹角公式）.A. x +8y +22=0或7x －4y －26=0 B. x +8y +22=0
C. x -8y +22=0或7x +4y －26=0
D.7x －4y －26=0
10.已知二元二次方程Ax 2+Cy 2
+Dx+Ey+F=0，则⎩⎨⎧>-+≠=04,022F E D C A 是方程表示圆的（ ）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
11.圆x 2+y 2－2x +4y －20=0截直线5x －12y +c =0所得的弦长为8，则c 的值
是( )A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34 D ．－68
12.过点(2，1)并与两坐标轴都相切的圆的方程是( )
A.(x －1)2+(y －1)2=1
B.(x －1)2+(y －1)2=1或(x －5)2+(y －5)2=5
C.(x －1)2+(y －1)2=1或(x －5)2+(y －5)2=25
D.(x －5)2+(y －5)2=5
二、填空题 13.曲线y=|x-2|-3与x 轴转成的面积是 .
14.已知M={(x,y)|x 2+y 2=1,0<y ≤1}，N={(x,y)|y=x+b,b ∈R}，并且M ∩N ≠∅，那么b 的取值范围是 .
15.圆(x －3)2+(y +1)2=1关于直线x +2y －3=0对称的圆的方程是_____.
16.直线x －2y －2k =0与2x －3y －k =0的交点在圆x 2+y 2=25上，则k 的值是_____.
三、解答题
17.求过A (1，2)与B (3，4)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程．
18.设t =3x －6y ，式中变量x 、y 满足下列条件
⎩⎨⎧≤+≤-,2|2|,1||y x y x ① 求t 的最大值和最小值．
19.已知圆x 2+y 2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b 对称，
（1）求k 、b 的值；
（2）若这时两圆的交点为A 、B ，求∠AOB 的度数.
20..若动圆C 与圆(x-2)2+y 2=1外切，且和直线x+1=0相切.求动圆圆心C 的轨迹E 的方程.
21.已知圆C ：x 2+y 2－2x +4y －4=0,是否存在斜率为1的直线l ,使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点.若存在，求出直线l 的方程;若不存在，说明理由.
22.设圆满足(1)y 轴截圆所得弦长为2.(2)被x 轴分成两段弧，其弧长之比为3∶1，在满足(1)、(2)的所有圆中，求圆心到直线l :x －2y =0的距离最小的圆的方程．
参考答案
一、选择题1.B 2.C 3.D 4.D 5.D 6.D 7.A 8.B 9.A 10.D 11.B 12.C
1.解析:勾股定理.答案B
2.解析:圆心到直线的距离d >r .答案C
3解析:两圆心之间的距离4)2
1(sin )11()21(sin 222++=+++=θθd ,
∵θ为锐角，∴0<sin θ<1,4
254)21(sin 417,2321sin 212<++<<+<θθ ,∴2
5217<<d ,两半径之和为25，两半径之差的绝对值为2，∴两圆相交.答案D
4. 解析:由a+3m(-1)+2a=0，得m=a.又m ≠0,∴a ≠0.∴直线的方程可写成x+3y+2=0，斜率为-3
1.答案D
5. 解析:由x 2+y 2+2x －4y +4=0得：(x +1)2+(y －2)2
=1,两圆心之间的距离为52122=+，∵|r －1|≤5≤r +1,∴5－1≤r ≤5+1,即－1≤r －5≤1,∴|r －5|≤1.答案D
6. 解析:有内切、外切两种情况.答案D
7. 解析:曲线|x|+|y|=4是顶点为（±4，0）、（0，±4）的正方形，其中一条边的方程为x+y-4=0(0≤x ≤4).∵圆在正方形的内部，∴2
|400|-+>r.即0<r<22.答案A
8. 解析:由图知，所围成的图形最小面积为圆x 2+y 2
=4的面积的41.答案B
9. 解析:设直线l 的方程为y +3=k (x －2),由夹角公式可得：|2
11||2
1|32k k +-=.解得：k =－81或k =4
7∴直线l 的方程为x +8y +22=0或7x －4y －26=0.答案A
10. 解析:取A=C=4，D=2，E=2，F=1时，满足⎩⎨⎧>-+≠=0
4,022F E D C A 但是4x 2+4y 2+2x+2y+1=0不表示圆，∴条件不是充分的.
方程31x 2+31y 2+x+y+1=0表示圆，其中A=31，C=3
1，D=1，E=1，F=1，不满足D 2+E 2-4F>0. ∴条件不是必要的. 答案D
11. 解析:∵弦长为8，圆半径为5，∴弦心距为
2245-=3，∵圆心坐标为(1，－2)，∴13
|)2(1215|c +-⨯-⨯=3，∴c =10或c =－68.答案B 12. 解析:设圆的方程是(x －a )2+(y －b )2=r 2(r ＞0),∵圆过第一象限的点(2，1)并与两
坐标轴都相切，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-==>>.)1()2(,||||,0,0222r b a r b a b a 解之得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===.555
111r b a r b a 或 因此，所求圆的方程是(x －1)2+(y －1)2=1或(x －5)2+(y －5)2=25.(此题也可画图排除A 、
B 、D) .答案C
二、填空题
13. 答案9 ,14.答案-1<b ≤2 ,15. 答案1)5
3()519(22=-+-y x , 16. 答案±1 13. 解析:y=|x-2|-3可写成y=⎩⎨⎧<--≥-).
2(1),2(5x x x x 曲线y=|x-2|-3与x 轴转成一个三角形，
其顶点分别是（2，-3）、（-1，0）、（5，0）.∴S Δ=
21[5-（-1）]×3=9. 14. 解析:集合M 为单位圆的上半圆，集合N 为直线，M ∩N ≠∅，是指直线与半圆有公共点.画出图形，易知-1<b ≤2.
15. 解析:已知圆的圆心(3，－1)关于直线x +2y －3=0的对称点的坐标是(
53,519)，所以圆(x －3)2+(y +1)2=1关于直线x +2y －3=0对称的圆的方程是1)5
3()519(22=-+-y x .
16. 解析:由⎩⎨⎧=--=--0
32022k y x k y x ,得⎩⎨⎧-=-=k y k x 34,∵交点(－4k ,－3k )在圆x 2+y 2=25上，∴(－4k )2+(－3k )2
=25,∴k =±1.
三、解答题
17. 解 设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，由题意，得
⎪⎩⎪⎨⎧=-=++++=++++.6404316902412F D F E D F E D 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧=-==,272212F E D ,或⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=.728F E D ∴所求圆的方程为x 2+y 2+12x －22y +27=0或x 2+y 2
－8x －2y +7=0.
18. 解 作出不等式组①表示的平面区域平行四边形ABCD 的边界和内部．ABCD 的顶点坐标分别为A (－1，0)、B (34,31--)、C (1，0)、D (34,31)．
作动直线l :3x －6y =t (t ∈R )．∵l 的方程可写成y =t x 6
121-, ∴当l 的纵截距最大时，t 最小;当l 的纵截距最小时，t 最大．
由图知当l 过B 点时，t 最大=3×(－31)－6×(－34)=7．当l 过D 点时，
t 最小=3×(31)－6×(3
4)=－7．
19. 解 （1）圆x 2+y 2+8x-4y=0可写成(x+4)2+(y-2)2=20.
∵圆x 2+y 2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b 对称，
∴y=kx+b 为以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线. ∴0
402---×k=-1，k=2. 点（0，0）与（-4，2）的中点为（-2，1），∴1=2×(-2)+b ，b=5.∴k=2，b=5.
（2）圆心（-4，2）到2x-y+5=0的距离为d=55
52)4(2=+--⨯.而圆的半径为25，
∴∠AOB=120°.
20. 解 设动圆的圆心C 的坐标为（x ，y ），则x-(-1)+1=22)2(y x +-，即x+2=22)2(y x +-，整理得y 2=8x.所以所求轨迹E 的方程为y 2=8x.
21. 解法一 假设存在斜率为1的直线l ,使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点.设l 的方程为y =x +b ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).
由OA ⊥OB 知，k OA ·k OB =－1, 即2
211x y x y ⋅=－1,∴y 1y 2=－x 1x 2. 由⎩⎨⎧=-+-++=0
442,22y x y x b x y , 得2x 2+2(b +1)x +b 2+4b －4=0, ∴x 1+x 2=－(b +1),x 1·x 2=2
2b +2b －2, y 1y 2=(x 1+b )(x 2+b )=x 1x 2+b (x 1+x 2)+b 2=22b +2b －2－b (b +1)+b 2=22
b +b －2 ∵y 1y 2=－x 1x 2 ∴2
2b +b －2=－(22b +2b －2) 即b 2
+3b －4=0. ∴b =－4或b =1. 又Δ=4(b +1)2－8(b 2+4b －4)=－4b 2－24b +36=－4(b 2+6b －9)
当b =－4时，Δ=－4×(16－24－9)>0; 当b =1时，Δ=－4×(1+6－9)>0
故存在这样的直线l ,它的方程是y =x －4或y =x +1,即x －y －4=0或x －y +1=0.
解法二 圆C 化成标准方程为(x －1)2+(y +2)2=9,
假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为(a ,b ).
由于CM ⊥l ,∴k CM ·k l =－1,即12-+a b ×1=－1,∴b =－a －1, ① 直线l 的方程为y －b =x －a ,即x －y +b －a =0,∴2
|3|||+-=a b CM ,
∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴|MA |=|MB |=|OM |，
而|MB |2=|CB |2－|CM |2=9－2)3(2+-a b ,|OM |2=a 2+b 2,∴9－2)3(2+-a b =a 2+b 2, ②
把①代入②得2a 2－a －3=0, ∴a =2
3或a =－1,
当a =2
3时，b =－25此时直线l 的方程为x －y －4=0;
当a =－1时，b =0此时直线l 的方程为x －y +1=0.
故这样的直线l 是存在的，它的方程为x －y －4=0或x －y +1=0.
22.解 设圆的圆心为P (a ,b ),半径为r ，则P 到x 轴，y 轴的距离分别为｜b ｜、｜a ｜，由题设知圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为90°,故圆P 截x 轴所得弦长为2r =2b . ∴r 2=2b 2 ①
又由y 轴截圆得弦长为2， ∴r 2=a 2+1
② 由①、②知2b 2－a 2=1.又圆心到l :x －2y =0的距离d =
5|2|b a -,∴5d 2=(a －2b )2=a 2+4b 2－4ab ≥a 2+4b 2－2(a 2+b 2)=2b 2－a 2=1.当且仅当a =b 时“=”号成立，
∴当a =b 时，d 最小为55，由⎩⎨⎧=-=1
222a b b a 得⎩⎨
⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=1
1b a 由①得r =2. ∴(x －1)2+(y －1)2=2或(x +1)2+(y +1)2=2为所求．。