物理竞赛班模拟卷(选拔)答案及评分标准

培尖教育2014年学科奥赛·自主招生特训夏令营物理竞赛班模拟卷(选拔) 参考答案及评分标准一、 平凸透镜在空气中焦距为f ，由薄透镜成像公式 ()12111111n u f R R ⎛⎫+==-- ⎪⎝⎭v 1R R =，2R =∞ 1Rn f∴=+ ① (1)对平凸透镜A ：光线先经球面折射成像，再经平面反射成像最后再经凹面折射成像。

凸面折射成像：11n n u R -+=v ∞→u ∴ 1nRn =-v 平面镜实物成虚像 凹面折射成像111n n nR R n -+=--v ()21Rn ∴=-v ∴()1212A R f f n ===-v ②(2)对平凸透镜B ：平行光线先经凹面反射成像，再经平面折射成像凹面反射成像: 1112u f R +=='v ∞→u ∴12R =v 再经平面折射成像，由视深公式得：2Rn '=v ∴()22B R Rf f n R f '==+v = ③ 【评分标准】：①4分，②③各8分.二、(1)从释放到绳与竖直线成α角,C 下降高度为H ，C 、A 的速度大小分别为1v ，2v . cot H L α= ① A,B 上升高度sin Lh L α=- ② 112222MgH mgh M m -=+⋅2212v v ③ 根据关联速度得：cos α=21v v ④ 由①②③④式得1v⑤C 物体速度最大时有：0=C a 对C ： 2T αcos =Mg ⑥对A 、B ： T －mg =A ma ⑦ ==A Cn a a ()ααsin /sin 21L v =231sin Lαv⑧ 由⑤⑥⑦⑧式得: 4(m M )2－5mM ＋(10－63)=0m M =85926.55± 舍去负根 m M =1.324 代入⑤得： max =v ○9(2)若mM =1 则 1=v ○10④式两边求导得：（或由加速度间关系得） 231sin cos A C a a Lαα=+v ○11 径向: αααcos 2cos cos C ma T T mg =-- ○12对A 、B ： T －mg =A m a ○13 对C: 2T αcos －mg =C ma ○14 由○10○11○12○13○14得：C a =(132-)g=0.155g ○15 方向竖直向上 【评分标准】：第一问共12分：③④⑥⑦⑧⑨式每式2分.第二问共13分：○10○11○12○13○14○15式每式2分, 方向1分.三、木塞B 维持平衡时两侧压强的最大差距 P ∆53.17510Pa fA==⨯ ① 第一阶段：（I ）下部气体压强1P <P ∆，故B 暂不会被射出。

接通电源后，（I ）上部气体吸热膨胀，活塞下移.当（I ）下部气体压强达到=2P ∆53.17510Pa P =⨯时，B 即被射出。

此时活塞距缸底2L ，由绝热过程方程()()γγ221SL P SL P = ② 得到：11220.50000.2500m rP L L L P ⎛⎫=⋅==⎪⎝⎭③ 设（I ）上，下部气体的物质的量均为n : 11nRT SL P = ④ ∴ 2.006mol n = ⑤则下部气体温度为：222476.3K P SL T nR== ⑥ 上部气体压强：()2532 4.00010Pa k L L P P S-=+=⨯ ⑦ 第二阶段：由于B 撞击K ，使C 开始工作，故此后（I ）下部及（Ⅱ）中气体连通，（I ）上部压强恒为3P ，设最终稳定时活塞距缸底x ，（I ）下部及（Ⅱ）中气体温度为4T ，压强为4P ，先假设0x ＞，即活塞未碰底由理想气体状态方程 ()44nRT L x S P =+ ⑧由热学第一定律： =+Q W ∆u○9 绝热故0=Q ，W 由（I ）上部气体做功1W ，弹簧做功2W 组成: ()x L S P W -=231-=2W ∆()()2221122P E k L L k L x =---()()()22123221122W W W P S L x k L L k L x ∴=+=-+--- ○10 理想气体内能增量 ∆V nC u =∆T ()2423T T nR -= ○11 故○9式化为: ()()()()2422223232121T T nR x L k L L k x L S P -=---+- ○12由活塞受力平衡可得出压强关系 ()34P Sx L k P =-+ ○13 把⑧○13代入○12得到关于x 的一元二次方程()0223332542322222332=--+--+-+SL P kL kLL nRT kL SL P x kL S P kx解之得：0.0141m x =（负根舍去）,代入○13得：54 2.39710Pa P =⨯ 代入⑧得：4739K T =由于0x ＞故假设成立, 所以最终活塞距气缸底部的距离 0.0141m x = ○14 最终气缸（Ⅱ）中气体温度4739K T = ○15【评分标准】：①②④⑥⑦⑧⑨○10○11○13○15式每式2分, ○14式3分. 四、（1）利用洛伦兹变换公式:2t x t ''+v① 当0='x 时有:t = ② （2）O 处实验者要能看到这一信号，还必须等光从O '传至0S 系测得O '处实验者发射光信号时，O '与O 相距t v ，光走过这段距离需要tcv 的时间，故O 处实验者看到信号时，对应S 系的时刻1T t t t c c ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭v v ③ 由②③式得：T '=④（3）在④式两边取增量有：∆T =∆t ' ⑤ 若令△t '表示O '处实验者连续发射两个波峰的时间间隔，则△T 表若令O 处实验者连续接收两个波峰的时间间隔，因此光源发光的频率0υ和接收者测得的频率υ分别为：01t υ='∆ 1Tυ=∆ ⑥ 由⑤⑥式得: 0υ=⑦ 这就是光源远离观察者时，光波的多普勒效应公式.【评分标准】：①②③④式每式3分，⑤⑦式每式4分. 五、根据静电中衡平衡态叠加原理，导体球外点电荷所受静电力，可以把导体球等效看作两个像电荷：一个像电荷带电q '-，距球心距离为x ，并在点电荷q 与球心连线上，使q 与q '-共同作用下，导体球电势为零；另一个像电荷带电q Q '+，处在导体球球心处。

求q '和x ：在q ，q '-作用下，导体球上各点电势为0，则0==B A ϕϕ由0A ϕ=得:0kq kq R R x '-=- ① 由0B ϕ=得: 03kq kq R k x'-=+ ② 由①②式得:12q q '=，R x 21= ③ 导体球外点电荷q 受静电力F ，令吸引时F 为负值 ()()()2222R qq Q k x R q kq F '++-'-= ④点电荷q 被吸引，则0F < ⑤ 由③④⑤式解得：718Q q < ⑥ 【评分标准】：①②④⑥式每式5分.六、开始时，M 、m 沿相反方向滑动，设绳拉力为F ，相对加速度为r a . 以地面为参考系，对M 有：M M FF Mg Ma a g Mμμ-=∴=- 以M 为参考系，对m 有：M r F ma mg ma μ+-=mgμMg2r M mF mg ma Mμ+∴-= ① 令0=r a 时，绳伸长量为o x ，则0F kx = mg kx MmM μ20=+ ② 021()()3Mmg x b a M m k μ∴==-+再伸长x ∆则：0()2r M m k x x mg ma M μ++∆-= r M mma k x M+∴=∆ ③ 又r a 的方向与x ∆方向相反，故m 相对于M 做简谐运动.圆频率ω== 振幅)(32)(2a b k m M Mmg a b A -=+--=μ相对速度sin )A t b a ωω==-r v 利用参考圆得：21)(32)(31cos -=---=a b a b t ω 23t ωπ∴=从开始到绳拉力0F =经历时间gab T t μπ63231-== ④ 绳拉力0F =时相对速度'r b a =-=v ⑤ 令绳拉力0F =时，M 速度大小为M v ，m 速度大小为m v ，质心速度大小为c v . 在地面参考系中，从开始到绳拉力0F =过程中，利用质点系动量定理得：()()c M m gt M m μ-=+v ⑥()c M m M mμ-∴=+v 根据质心速度公式m Mc m M M m-=+v v v ⑦ 相对速度r m M =v v +v ⑧由⑥⑦⑧式得:=M v 将ππ393+=M m 代入得：0M =v ⑨ 则此时m速度m v ○10 然后m 向M 做匀减速运动，222m ga μ=-v v ○11两物块碰撞前m 对地速度=v故两物块碰撞前的相对速度为：=v (2)b a > ○12 若2b a ≤，则M 与m 不会相碰。

【评分标准】：③④⑥⑦⑧⑨○11式每式3分，○12式4分.七、（1）先求圆盘的电阴R ，取半径为r ，宽为dr 的小球带h drrh dr dR πρπρ220== ∴⎰==a ha dR R 002πρ ①圆盘以角速度ω转动时产生电动势ε 221a B t ωϕε=∆∆= ② 稳定时磁力矩B M ，电流0I . 由①②式得：000ρωπεha B RI ==③⎰=⋅=aB a BI rdr BI M 020021④ 稳定时M M B = ⑤ 由①③④⑤式得:022MI Ba =⑥ ha B M 32002πρω= ⑦ （2）撤去外力矩，角速度为ω时电流为i ，电动势221a B ωε= ⑧ 对回路：iR dtdi L=-ε ⑨ 由转动定律：221122d Bia J ma dt ωβ-== ○10d B i dt m ω∴=- 由⑧⑨式得:212diB a L iR dtω-= ○11 22212d d i di Ba L R dt dt dt ω∴-= 由○10○11式得:222202d i di B a L R i dt dt m++= ○12 故撤去外力矩后电流i 随时间t 的变化方程为：22202022a d i di B a L i dt h dt mρπ++=【评分标准】：第一问共12分：①②④⑤⑥式每式2分，⑦式3分.第二问共12分：○9○10○11○12式每式3分.。